OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I"

Transkript

1 PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke kan måle, og de skal kunne anvende Pythagoras læresætning. Eleverne skal undersøge og argumentere for enkle beviser og sammenhænge inden for plangeometri. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler.

2 PLNGEOMETRI ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne kan undersøge og argumentere for kongruens eller ligedannethed ved trekanter kan bruge deres viden om linjer ved trekanter til at beregne afstande, som de ikke kender kan anvende Pythagoras læresætning til beregninger kan argumentere for geometriske sammenhænge og følge enkle beviser kan formulere sætninger om sammenhænge inden for plangeometri. PRINTRK 7 egreber og navngivning 8 Højdemålinger U2 Sømbrætpapir U3 Fladedækning U4 Firkanter og tesselering E4 egreber og fagord Plangeometri E5 Egenskaber ved kvadrat MTERILER Elastikker Karton Klinometre Limstifter Målebånd Sakse Sømbrætter Teodolit Tommestokke IGITLE VÆRKTØJER Geometriprogram FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Kongruens Ligedannethed Topvinkler Ensliggende vinkler Pythagoras læresætning Pythagoræiske tripler.

3 PLNGEOMETRI OPGVE 3 Haven er 13 m bred. Elevernes egne forklaringer. er er flere muligt, fx: Hækken deler haven i to kongruente trekanter (siderne er parvis lige store). e to trekanter har derfor samme areal. er skal plantes ,85 m hæk. Elevernes egne forklaringer. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 1 Elevernes egne tegninger. Facit afhænger af elevernes tegninger. Eleverne egne forklaringer. Pointen er, at alle trekanterne har samme areal, fordi de har samme grundlinje (det afsatte linjestykke på m) og samme højde (den vinkelrette afstand mellem l og m). I de to sidste opgaver går vi ud fra, at den omtalte have udgør en sådan del af Frodes grund, at han faktisk har mulighed for at foretage de ændringer i havens udseende, som beskrives i spørgsmålene. E Elevernes egne undersøgelse. en korteste diagonal fås, når firkanten er et kvadrat. F Havens sider bliver da 260 = ,12 m. iagonalens længde bliver = ,80 m. KTIVITET: EGREER OG NVNGIVNING EL 1 - G Intet facit. EL 2 - Intet facit. Elevernes eget arbejde med geometriske begreber og navngivning. OPGVE 2 h = 3 3 5,20 = 60, = 30, = 90. Elevernes egne tegninger.

4 PLNGEOMETRI UNERSØGELSE: KONGRUENS EL 1 - Undersøgelse, der skal munde ud i erkendelsen af, at to trekanter, der har to sider og den mellemliggende vinkel parvis lige store, er kongruente. EL 2 - Undersøgelse, der skal munde ud i erkendelsen af, at to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 4 Elevernes egne tegninger og forklaringer. lle ensvinklede trekanter er ligedannede. Elevernes egne tegninger og forklaringer. To ensvinklede trekanter er kongruente, hvis sidelængderne er parvis lige store ellers ikke. OPGVE 5 Elevernes egne tegninger. Vinklerne er parvis lige store. et gælder i alle trekanter. EL 3 - Undersøgelse, der skal munde ud i erkendelsen af, at to trekanter, der har alle vinkler parvis lige store, ikke nødvendigvis er kongruente. ette er selvfølgelig som der står i teksten en sætning, grammatisk set. I matematisk forstand ville vi næppe kalde det en sætning (i betydningen et teorem). En matematisk sætning udtrykker sædvanligvis, at noget under bestemte betingelser er tilfældet. enne sætning fortæller, at noget (kongruens) ikke er tilfældet. Ikke desto mindre kan der være god grund til at angribe nogle begreber fra den synsvinkel især, hvis man erfaringsmæssigt ved, at misforståelser ofte optræder i den sammenhæng, man arbejder med. OPGVE 6 = E = 90 = E = 55 Elevernes egne forklaringer. Trekanterne er ligedannede, fordi de er ensvinklede. E = 8,4 real() = 12,6 real(e) = 50,4 E Elevundersøgelse. F Elevundersøgelsen munder (forhåbentlig) ud i erkendelsen af, at når sidelængderne fordobles, firedobles arealet. OPGVE 7 Sand. Når to trekanter har to vinkler parvis lige store, vil også den tredje vinkel være lige stor i de to trekanter, da vinkelsummen er 180 i begge trekanter. Sand. I alle ligesidede trekanter er de tre vinkler alle lig med 60. Ligesidede trekanter er altså ensvinklede og dermed ligedannede. Falsk. Her er lejlighed til at diskutere med klassen, hvad formuleringen trekanter, der har tre ens vinkler dækker over. er er jo en grund til, at man i denne sammenhæng bruger den måske lidt kunstige sprogbrug parvis lige store. etyder trekanter der har tre ens vinkler, at 1. de tre vinkler i hver af trekanterne er lige store (og dermed lig med 60 ), eller betyder det, at 2. enhver af disse trekanter har vinkler, der er parvis

5 PLNGEOMETRI lige store med vinklerne i enhver anden af disse trekanter? Man kan indvende, at svaret ikke betyder så meget, for i begge tilfælde er påstanden falsk. I begge tilfælde er trekanterne ligedannede men ikke nødvendigvis kongruente. Falsk.

6 PLNGEOMETRI Elevernes egne forklaringer. OPGVE 13 Elevernes egne skitser. e kan naturligvis se ud på mange måder. Her er et forslag, hvor h betegner højden af træet. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 8 u og v er topvinkler, x og y er topvinkler. u og x udgør tilsammen en lige vinkel, der har vinkelmålet 180. Tilsvarende med x og v. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 9 Elevernes egne begrundelser for beregning. egrundelserne bør involvere ligedannede/ensvinklede trekanter. Træet er 8,96 m højt. Topvinkelpar: (a, c), (b, d), (e, g) og (h, f). e ensliggende vinkelpar ved skæring af l og m med den tredje linje er: (a, e), (b, f), (d, h) og (c, g). OPGVE 14 Elevernes egne skitser. Her er et forslag: OPGVE 10 Elevernes egne begrundelser. Sandt. Sandt. OPGVE 11 = 4 9 = 4,5. 8 E: E = 48,37 ; E = 41,63 E: E = 48,37 ; E = 41,63 Elevernes egne forklaringer. Højden af yers Rock er ifølge disse målinger 1,73 11, = 330,96 m høj. et er ikke helt galt, når man tænker på, hvor nøjagtige målingerne nu kan være Gyldendals encyklopædi en Store anske angiver højden af yers Rock til 335 m. OPGVE 12 = 8,4 6,22 8 = 6,53. : = 180 ( ) = 47 E er ensvinklet med, så vi har =, E = og =.

7 PLNGEOMETRI ikke uden om algebraen, så hjælp kan være en nødvendighed. Fælles tavleregning i klassen med input fra klassen ( Hvad gør vi nu?, Hvad er mon næste træk? ) kan også være en mulighed: h 2 + ( s 2 )2 = s 2 h 2 = s 2 s2 2 2 h 2 = 4 s2 s h 2 = 3 s2 2 2 h = 3 s2 2 2 h = s 2 3 FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 15 en manglende sidelængde (hypotenusen) er 41 6,403. en manglende katetelængde er 64,0625 8,004. en manglende katetelængde er 49,2 7,014. I første oplag af MULTI 8 har der her indsneget sig en trykfejl i arealformlen for en ligesidet trekant med sidelængden s. en rigtige formel er: = 3 4 s2 Elevernes egne forklaringer. Forklaringen (dvs. beviset for formlen) hviler på, at man bruger arealformlen = 1 hg, og indsætter h = 2 s 2 3 og g = s. OPGVE 16 evis for, at h = 5 3 ved hjælp af Pythagoras. 2 er skal regnes på denne trekant: UNERSØGELSE: LÆNGER PÅ SØMRÆT EL 1 Længden af den gule elastik er 5, og længden af den grønne elastik er 10. er er i alt ( 25 ) = 300 forskellige linjestykker 2 mellem to af de 25 punkter (søm) på et 5 5- sømbræt, men der er kun 14 forskellige afstande. h 2 + ( 5 2 )2 = 5 2 h 2 = h 2 = h 2 = h = h = Hvis en elev ikke magter alle de algebraiske omskrivninger, vil det være tilstrækkeligt at bruge Pythagoras og lommeregner til at udregne højden. erved fås h = 4, Hvis man yderligere på lommeregneres udregner til også at blive 4,330127, bør det accepteres som et bevis. realet af trekanten er = ,83. 4 eregningerne her følger beregningerne i, med siden s i stedet for 5, men denne gang slipper man e forskellige længder er angivet på figurerne herover. Elevernes egne forklaringer.

8 PLNGEOMETRI emærk, at arbejdet med at finde længder på et sømbræt giver mulighed for at visualisere en af regnereglerne for kvadratrødder, nemlig (for positive a og b): a 2 b = a 2 b = a b For eksempel kan det på sømbrættet ses, at 8 = 2 2, at 18 = 3 2, og at 32 = 4 2. firkanten er lig med = 10 m og her kommer snoren ind i billedet. OPGVE 18 iagonalen i et rektangel er lig med , og da 136 < 140, har Ole træ nok. OPGVE 19 t omskrive tallene 8, 18 og 32 så reglen kommer i anvendelse og giver det ønskede resultat er en mulig differentieringsopgave (8 = 2 2 2, 18 = 3 2 2, 32 = 4 2 2). Tilsvarende kan omskrivningen 20 = 2 5 visualiseres: Undersøgelse af muligheden for ved brug af Pythagoras at finde sidelængder i retvinklede trekanter i forskellige situationer. Svarene er: Ja. Ja. I denne situation kender vi ganske vist kun én side (hypotenusen), men vi ved yderligere, at de to kateter er lige lange. Kalder vi hypotenusens længde for c og betegner længden af kateterne med x, har vi: x 2 + x 2 = c 2 2x 2 = c 2 x = 2 2 Nej. Ja. En anden differentieringsmulighed for de hurtige elever ligger også lige for: Hvor mange forskellige længder kan I finde på et 6 6-sømbræt (20), på et 7 7-sømbræt (27), Hvor mange på et n n-sømbræt? [n + (n 1) + (n 2) = n(n+1) 2 1 = n2 +n 2 ]. 2 OPGVE 17 Elevernes egne forklaringer. Hvis man (fx med et målebånd) afsætter et firkantet område med sidelængderne på de to par af modsatte sider lig med hhv. 8 m og 6 m, er man sikker på, at pladsen er et parallelogram. Hvis man yderligere ønsker, at pladsen er rektangulær, skal man sikre sig, at en af vinklerne er ret (hvis én vinkel i et parallelogram er ret, er de andre også rette). ette kan gøres ved at bruge den omvendte Pythagoras, dvs. ved at sikre sig at diagonalerne i

9 PLNGEOMETRI UNERSØGELSE: PYTHGORÆISKE TRIPLER EL 1 (6, 8, 10) er en pythagoræisk tripel. Elevernes egne forklaringer. lle tripler af formen (3n, 4n, 5n), hvor n N vil være brugbare. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 20 Ikke retvinklet. Retvinklet. Retvinklet. Ikke retvinklet. OPGVE 21 Kateterne er 5 cm. Hypotenusen er 50 = 5 2 7,07 cm. EL 2 E Undersøgelse af om den givne opskrift leder til en pythagoræisk tripel. Hvis vi betegner de tre tal a, b og c (i den rækkefølge de fremkommer af opskriften), hører det med til undersøgelsen at eftervise, at a 2 + b 2 = c 2. Fra en pythagoræisk tripel (a, b, c) kan nye tripler kan dannes ved multiplikation med et naturligt tal. Elevernes egne forklaringer. Ved at følge opskriften med et tal n (som forudsættes ulige) fås triplen (n 2, n2 1 2, n2 + 1 ) 2 Hvis punkt - er gennemarbejdet, er det ikke meget at argumentere for i dette punkt. For ethvert ulige tal > 1 giver formlen i en pythagoræisk tripel og der er uendelig mange ulige tal. OPGVE 22 OPGVE 23 Stien E står vinkelret på, hvis = 90, dvs. hvis trekant E er retvinklet. et kan undersøges med den omvendte pythagoræiske læresætning. Hvis 2 + E 2 = E 2 er E = 90 : 2 + E 2 = = = = = E 2 ltså har ske ret. - E og er ensvinklede. kan så beregnes ved: = E = E 300 = 600 = 450 m. 400 Kan være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. Kan ikke være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. Kan ikke være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. Kan være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. E F Længden af stykket kan beregnes (Pythagoras) til 750 m. en angivne rute, er derfor = 1800 m lang. To runder er således 3,6 km lang, så ske har ret. Ruten E er i alt 1700 m lang. Elevernes egne svar.

10 PLNGEOMETRI OPGVE 24 FITLISTE OG UYENE VEJLENING UNERSØGELSE: VINKELSUM I TREKNTER ET EVIS EL 1 Elevernes egne undersøgelser og forklaringer af bevisets forudsætninger. EL 2 - Elevernes diskussion om beviset. Tankegangen i beviset er: 1. v 1 + v 2 + v 3 = 180, da de tre vinkler tilsammen udgør en lige vinkel. 2. v 1 = (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) 3. v 2 = (topvinkler) 4. v 3 = (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) 5. ltså er + + = v 1 + v 2 + v 3 = 180. Elevernes egne argumenter. Følgende elementer kan tænkes at indgå: 1. I en ligesidet trekant falder højde, median og vinkelhalveringslinje fra hver vinkel sammen. 2. Kongruenssætningen fra side 81, EL 1: To trekanter, der har to sider og den mellemliggende vinkel parvis lige store, er kongruente. Forholdet mellem og E er = 2, dvs. er E 1 dobbelt så lang som E. Elevernes egne forklaringer. I forklaringen vil formentlig indgå, at alle vinkler i en ligesidet trekant er 60, og at den tegnede højde også er vinkelhalveringslinje for. eraf vinkelstørrelserne 60 og 30 og så følger 90 jo af sig selv. Elevernes egne formuleringer. Sætningen kan formuleres på mange måder, men dens indhold er, at i en trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste katete. OPGVE 25 Sandt. rug ensliggende vinkler ved parallelle linjer: = M og = N. Sandt. Følger af punkt og af, at M og N er midtpunkter. Elevernes egne forklaringer. Hjælp til at komme i gang med beviset er indeholdt i punkt. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 26 En median i en trekant er et linjestykke, der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af den modstående side. Sandt. Sandt. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 27 Sandt. Følger af, at =, idet de begge er lig med 90. Sandt. Følger af, at =, idet de begge er lig med 90. Sandt. Følger af punkt og punkt.

11 , PLNGEOMETRI Elevernes egne forklaringer på størrelsen af vinkel i en regulær n-kant. EL 3 Undersøgelse: Hvilke regulære polygoner kan være fladedækkende? e fladedækkende regulære polygoner er den ligesidede trekant, kvadratet og den regulære sekskant. Elevernes egne beskrivelser af en regel for fladedækning. e er flere mulighed for at formulere et rigtigt svar. FITLISTE OG UYENE VEJLENING UNERSØGELSE: REGULÆRE POLYGONER OG FLEÆKNING EL 1 Elevernes egne definitioner, som skal indeholde nedenstående. En polygon er en plan, lukket figur, der er begrænset af rette linjestykker. Om man vil stille eleverne til regnskab for tilføjelsen uden selvgennemskæringer kommer an på, hvor meget der i klassen er gjort ud af denne tilføjelse i forbindelse med arbejdet med kapitel 3. Elevernes egne definitioner, som skal indeholde nedenstående. En polygon, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store. EL 2, Vinkelsum i n-kant og vinkelstørrelse i regulær n-kant (regnearksudskrift): ntal kanter n: Vinkelsum UNERSØGELSE: FIRKNTER OG TESSELERING EL 1 - rbejde med undersøgelsesarket U4. Ingen egentlige facits. EL 2 Elevernes egne undersøgelser. Elevernes egne forklaringer. lle firkanter kan tesselere. OPGVE 28 en regulære 12-kant har vinkelstørrelsen 150. Vinkelsummen i den regulære 12-kant er OPGVE 29 Elevernes egne beskrivelser af forskellige forhold vedrørende de to trekanter. eskrivelserne kunne fx omfatte, at: trekanterne er retvinklede trekanterne er ensvinklede. trekanterne er ligebenede. trekanterne er ligedannede Højden af tagtrekanten er 2,75 m (se figuren herunder), så husets højde er 3,5 + 2,75 = 6,25 m. Vinkelstørr else i regulær polygon:

12 PLNGEOMETRI Trekant er ligebenet. Højden fra er så også median. Fodpunktet M for højden fra er derfor midtpunktet af. Heraf følger de indskrevne sideog vinkelmål. OPGVE 30 Elevernes egne undersøgelser og argumenter. Elevernes egne argumenter.

13 PLNGEOMETRI EVLUERING EL 1 - Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. EL 2 - Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. FITLISTE OG UYENE VEJLENING TEM: HØJEMÅLINGER EL 1 Intet facit. Elevernes diskussion af metoder og eventuelle forskelle i fundne højder. EL 3 E = 125 = 5 5 ( 11,18 cm) real(e) = 25 cm 2. real(gm) = 6,25 cm 2. EL 4 real(e) = 1 4 s2 real(gm) = 1 16 s2 E = s 2 + ( s 2 )2 = 1 s 5 ( 1,12s) 2 EL 5 e to blå vinkler er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. e to grønne vinkler er topvinkler. Flere argumentationsmuligheder fx vil spejling i GH føre KJ over i IJ. ltså er de to trekanter kongruente. Vinkel F er fælles for de to trekanter. et er derfor nok at vise lighed mellem to andre vinkler fx er F = FMJ (ensliggende vinkler ved parallelle linjer).

14 PLNGEOMETRI OPGVE 2 Elevernes egne skitser. På tegningen herunder er de ensliggende vinkler ved parallelle linjer markeret med samme farve: FITLISTE OG UYENE VEJLENING TRÆN 1 FÆRIGHEER OPGVE 1 Længdeforholdet mellem den lille og den store trekant er 1 : 2. Længdeforholdet mellem den lille og den store firkant er 1 : 3. Manglende mål i trekant : = 2,25 = 7,25 = 16 = 135 På tegningen herunder er topvinklerne markeret med samme farve: Manglende mål i trekant : = 29 Manglende mål i firkant : = 2,5 = 2,2 = 59 = 83 = 116 Manglende mål i firkant : = 5,7 = 102 = 116 er ligedannet med E. OPGVE 3 c = 41 ( 6,40) b = 96 = 4 6 ( 9,80) OPGVE 4 Retvinklet. Retvinklet.

15 PLNGEOMETRI E F Ikke retvinklet. Retvinklet. Retvinklet. Ikke retvinklet. = 87,5 ; E = 128 OPGVE 2 OPGVE 5 iagonalen er 569 cm. ( 23,85 cm). OPGVE 6 c = 15 c = 89 ( 9,43) b = 72 = 6 2 ( 8,49) a = 1,95 ( 1,40) er ligedannet med F, da de to trekanter er ensvinklede: er fælles, = E og = F, da begge vinkelpar er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. G = 2 3,46 = 2,31 3 E = = EF = = OPGVE 3 OPGVE 7 Omkreds = 30 cm. real = 30 cm 2. TRÆN 2 FÆRIGHEER E Retvinklet. Retvinklet. Ikke retvinklet. Ikke retvinklet. Ikke retvinklet. OPGVE 1 I første oplag af MULTI 8 mangler en oplysning. Umiddelbart efter linjen Figurerne er parvis ligedannede skal der tilføjes: Trekant E er ligebenet. Længdeforholdet mellem den blå og den gule figur er 1 : 2,5. Manglende sidelængder i E : = 18,25 : 2,5 = 7,3 OPGVE 4 c = 138,33 cm ( 11,76 cm) c = m ( 921,73 m) b = 8 m a = 8,9316 m ( 2,99 m) OPGVE 5 a E er ligebenet er E = = 6, og da E = 90, kan E beregnes ved hjælp af Pythagoras: E = = 72 = 6 2 ( 8,49) en største pind skal være 90 cm lang. Længden af den blå tape er 2 ( ) = 30 ( 2 + 5) 219,02 cm. a E er ligebenet er desuden = E = 45. Manglende sidelængder i E: = 2,5 6 = 15 = 2,5 6,3 = 15,75 E = 2,5 6 2 = 15 2 ( 21,21) Vinkelstørrelser markeret med blåt i E: = 45 ; = 198,5 ;

16 PLNGEOMETRI - I skemaet herunder er højder og afstande beregnet: Udslået Sammenklappet Gulvafstand højde højde 2x3 67,65 cm 72 cm 49,30 cm 2x4 90,2 cm 96 cm 63,73 cm OPGVE 3 FITLISTE OG UYENE VEJLENING Helle kan måle en diagonal i firkanten. Hvis den er lig med ,4 cm, er pladen retvinklet. Som det fremgår af punkt, er pladen ikke retvinklet. iagonalen skal være 65,30 cm lang. TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 E er ensvinklet med. Længdeforholdet er 2 : 3. Heraf fås: = 3 E = 3 1,6 = 2,4 m 2 2 OPGVE 4 I første oplag af MULTI 8 er der indskrevet forkerte mål på skitsen af elmasten. Herunder ses skitsen med de korrekte mål: = ,2 2 = 10,44 3,23 m = 3,23 m E = 1,6 m (givet) =, da de er grundvinkler i en ligesidet trekant, og grundvinkler i en ligesidet trekant er lige store. i = i E, da disse to vinkler er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. OPGVE 2 I sammenfoldet tilstand er stigen 6 24 = 144 cm høj. en vandrette afstand mellem stigens ben kan ved hjælp af Pythagoras beregnes som det dobbelte af den mindste katete i denne retvinklede trekant (halvdelen af stigen set fra siden): E og HF er ligedannede. Omkredsen af E er 14,72. Omkredsen af HF er 25,1. e to orange vinkler er lige store. Siden står vinkelret på siden E. OPGVE 5 er er ,15 m (dvs. ca. 336 km) til horisonten. fstanden er 98,59 cm.

17 PLNGEOMETRI TRÆN 2 PROLEMLØSNING Fx et ligesidet trapez OPGVE 1 I MULTI 8 1. oplag 1. udgave er der fejl i denne opgave. Opgaven skal se sådan ud: Skitse Fx en femkant I denne figur gælder, at FE, og er parallelle. esuden gælder F = og E =. Tegn et rektangel, et parallelogram, et ligesidet trapez, en femkant og en anden sekskant, der opfylder de samme betingelser. Hvilke betingelser skal gælde, hvis og E i trekant EF skal være lige store? egrund dit svar. Hvilke betingelser skal gælde, hvis arealet af firkant skal være lig med arealet af firkant FE? Facit til opgave 1 Fx et rektangel Fx en sekskant Trekant EF skal være ligebenet, dvs. F = EF e to firkanter skal være kongruente. OPGVE 2 Elevernes egne skitser. Herunder er et forslag: Fx et parallelogram Længden af sigen er 7,00 m.

18 PLNGEOMETRI Situationen ser nu således ud: Stigen står nu 5,44 m op ad muren. OPGVE 3 Elevernes egne beskrivelser af en metode. fstanden fra muren til bredden er 11,25 m. OPGVE 4 en korteste bardun er 8,60 m. en længste bardun skal fæstnes 10,0 m oppe ad masten. Masten er 12,5 m høj. er skal i alt bruges 3 8, , ,25 = 65,4 m bardun.

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan.

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. I den første del af kapitlet skal du arbejde med trekanter, hvor du skal

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere

Læs mere

Plangeometri BEGREBER OG NAVNGIVNING. FORHÅNDSVIDEN Du skal bruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. PLANGEOMETRI 79 OPGAVE 2

Plangeometri BEGREBER OG NAVNGIVNING. FORHÅNDSVIDEN Du skal bruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. PLANGEOMETRI 79 OPGAVE 2 Plangeometri KTIVITT OPGV 2 PLNGOMTRI 79 GRR OG NVNGIVNING I en ligesidet trekant er siderne 6 m. realet af trekanten er 1,6 m 2. I dette kapitel skal du arejde med ktivitet for to til tre personer. eregn

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Trigonometri - Facitliste

Trigonometri - Facitliste Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

GEOMETRISK TEGNING. to- og tredimensionale figurer. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med:

GEOMETRISK TEGNING. to- og tredimensionale figurer. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: OM KPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne undersøge og gengive to- og tredimensionale figurer fra omverdenen. Eleverne skal, med og uden digitale værktøjer, tegne,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

OM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse

OM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse OM KPITLET I dette kapitel om digitale værktøjer skal eleverne arbejde med anvendelse og vurdering af forskellige digitale værktøjer, som kan bruges til at løse opgaver og matematiske problemstillinger.

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer,

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

OM KAPITLET RUMGEOMETRI. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse

OM KAPITLET RUMGEOMETRI. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse OM KPITLET I dette kapitel om rumgeometri skal eleverne arbejde med at tegne rumlige figurer med et digitalt værktøj, som kan tegne i 3D. De skal undersøge og lære forskellige formler til beregning af

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 7 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder

Færdigheds- og vidensområder Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Tegning. Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn arbejdstegninger

Tegning. Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn arbejdstegninger Tegning Arbejds- og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning Målestoksforhold bruges når man skal vise noget større eller mindre end det er i virkeligheden.

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10

Læs mere

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER MATEMATISKE UNDERSØGELSER

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER MATEMATISKE UNDERSØGELSER OM KAPITLET I dette kapitel om matematiske undersøgelser skal eleverne løse og undersøge problemer ved hjælp af matematik. Eleverne skal både undersøge rene matematiske problemer og hverdagsrelaterede

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Opgave 1 -Tages kvadrat

Opgave 1 -Tages kvadrat Opgave 1 -Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

GEOMETRISK TEGNING SIDE OM KAPITLET

GEOMETRISK TEGNING SIDE OM KAPITLET GOMTRISK TGNING SI 114-133 OM KPITLT I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. e skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Kompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019

Kompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019 Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig

Læs mere

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere

Læs mere

Fraktaler INTRO. FRAKTALER M l 57

Fraktaler INTRO. FRAKTALER M l 57 Fraktaler De fleste figurer, I arbejder med i matematiktimerne, har rette linjer eller glatte kurver fx rektangler og cirkler Disse figurer kan ofte bruges til at beskrive menneskeskabte ting som fx bygninger

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger

Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger Navn: Klasse: Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan tegne isometrisk tegninger

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

Årsplan 2017/2018 Matematik 8. kl. Kapitel 1: Regnehierarkiet

Årsplan 2017/2018 Matematik 8. kl. Kapitel 1: Regnehierarkiet Årsplan 07/08 Matematik 8. kl. I grundbogen Matematrix 8 arbejder elevern med bogens emner og opgaver (næsten) udelukkende på computer i word, excel og geogebra. Eleverne skal udover det daglige arbejde

Læs mere

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER LÆS OG SKRIV MATEMATIK A1 LÆS MATEMATIK Brug de tre rammer i modellen, når du skal løse en matematikopgave. Det er ikke sikkert, du skal bruge alle punkter i hver ramme til alle opgaver. Find ud af, hvilke

Læs mere

Årsplan i matematik klasse

Årsplan i matematik klasse 32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Linjespillet. Figurer. Format6. Nr. 18. Kopiark til elevbog side 16

Linjespillet. Figurer. Format6. Nr. 18. Kopiark til elevbog side 16 Nr. 18 Linjespillet Farv højde Farv linje Farv linjestykke Farv halvlinje Farv en parallel linje Farv en vinkelret linje Par- eller gruppeaktivitet. Kast på skift en 6-sidet terning. Vælg en farve hver.

Læs mere

6 Geometri. Faglige mål. Geometriske begreber. Vinkler. Modeller. Kongruens og ligedannethed

6 Geometri. Faglige mål. Geometriske begreber. Vinkler. Modeller. Kongruens og ligedannethed 6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Geometriske begreber: kunne sætte matematiske begreber ind i en matematisk kontekst samt kende den visuelle betydning

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

På opdagelse i GeoGebra

På opdagelse i GeoGebra På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Trekanthøjder Figurer

Trekanthøjder Figurer Trekanthøjder D E N C B F G T I H L N S J M F K ST O T I U Q R V SK X Y 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd 24 24 /0/2 :46 M Trekanthøjder D B L F E H C G I J I L K M O R S N Y Q G Y E T U 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering MULTI 7 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Læs og skriv matematik Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Kun beregnet billetpris. Korrekt regneudtryk, ingen facit.

Kun beregnet billetpris. Korrekt regneudtryk, ingen facit. Opgavenummer 1.1 200 2 46 108 Hun skal have 108 kr. retur. Korrekt regneudtryk, korrekt facit og korrekt konklusion (bidrager positivt til helhedsindtryk). 46 46 92 200 92 108 Hun skal have 108 kr. tilbage.

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel Mattip om realer 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan realberegning af et kvadrat eller rektangel Tegning/konstruktion af kvadrater og rektangler realberegning af et parallelogram

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b. Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627

Læs mere