OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

Transkript

1 PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke kan måle, og de skal kunne anvende Pythagoras læresætning. Eleverne skal undersøge og argumentere for enkle beviser og sammenhænge inden for plangeometri. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler.

2 PLNGEOMETRI ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne kan undersøge og argumentere for kongruens eller ligedannethed ved trekanter kan bruge deres viden om linjer ved trekanter til at beregne afstande, som de ikke kender kan anvende Pythagoras læresætning til beregninger kan argumentere for geometriske sammenhænge og følge enkle beviser kan formulere sætninger om sammenhænge inden for plangeometri. PRINTRK 7 egreber og navngivning 8 Højdemålinger U2 Sømbrætpapir U3 Fladedækning U4 Firkanter og tesselering E4 egreber og fagord Plangeometri E5 Egenskaber ved kvadrat MTERILER Elastikker Karton Klinometre Limstifter Målebånd Sakse Sømbrætter Teodolit Tommestokke IGITLE VÆRKTØJER Geometriprogram FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Kongruens Ligedannethed Topvinkler Ensliggende vinkler Pythagoras læresætning Pythagoræiske tripler.

3 PLNGEOMETRI OPGVE 3 Haven er 13 m bred. Elevernes egne forklaringer. er er flere muligt, fx: Hækken deler haven i to kongruente trekanter (siderne er parvis lige store). e to trekanter har derfor samme areal. er skal plantes ,85 m hæk. Elevernes egne forklaringer. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 1 Elevernes egne tegninger. Facit afhænger af elevernes tegninger. Eleverne egne forklaringer. Pointen er, at alle trekanterne har samme areal, fordi de har samme grundlinje (det afsatte linjestykke på m) og samme højde (den vinkelrette afstand mellem l og m). I de to sidste opgaver går vi ud fra, at den omtalte have udgør en sådan del af Frodes grund, at han faktisk har mulighed for at foretage de ændringer i havens udseende, som beskrives i spørgsmålene. E Elevernes egne undersøgelse. en korteste diagonal fås, når firkanten er et kvadrat. F Havens sider bliver da 260 = ,12 m. iagonalens længde bliver = ,80 m. KTIVITET: EGREER OG NVNGIVNING EL 1 - G Intet facit. EL 2 - Intet facit. Elevernes eget arbejde med geometriske begreber og navngivning. OPGVE 2 h = 3 3 5,20 = 60, = 30, = 90. Elevernes egne tegninger.

4 PLNGEOMETRI UNERSØGELSE: KONGRUENS EL 1 - Undersøgelse, der skal munde ud i erkendelsen af, at to trekanter, der har to sider og den mellemliggende vinkel parvis lige store, er kongruente. EL 2 - Undersøgelse, der skal munde ud i erkendelsen af, at to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 4 Elevernes egne tegninger og forklaringer. lle ensvinklede trekanter er ligedannede. Elevernes egne tegninger og forklaringer. To ensvinklede trekanter er kongruente, hvis sidelængderne er parvis lige store ellers ikke. OPGVE 5 Elevernes egne tegninger. Vinklerne er parvis lige store. et gælder i alle trekanter. EL 3 - Undersøgelse, der skal munde ud i erkendelsen af, at to trekanter, der har alle vinkler parvis lige store, ikke nødvendigvis er kongruente. ette er selvfølgelig som der står i teksten en sætning, grammatisk set. I matematisk forstand ville vi næppe kalde det en sætning (i betydningen et teorem). En matematisk sætning udtrykker sædvanligvis, at noget under bestemte betingelser er tilfældet. enne sætning fortæller, at noget (kongruens) ikke er tilfældet. Ikke desto mindre kan der være god grund til at angribe nogle begreber fra den synsvinkel især, hvis man erfaringsmæssigt ved, at misforståelser ofte optræder i den sammenhæng, man arbejder med. OPGVE 6 = E = 90 = E = 55 Elevernes egne forklaringer. Trekanterne er ligedannede, fordi de er ensvinklede. E = 8,4 real() = 12,6 real(e) = 50,4 E Elevundersøgelse. F Elevundersøgelsen munder (forhåbentlig) ud i erkendelsen af, at når sidelængderne fordobles, firedobles arealet. OPGVE 7 Sand. Når to trekanter har to vinkler parvis lige store, vil også den tredje vinkel være lige stor i de to trekanter, da vinkelsummen er 180 i begge trekanter. Sand. I alle ligesidede trekanter er de tre vinkler alle lig med 60. Ligesidede trekanter er altså ensvinklede og dermed ligedannede. Falsk. Her er lejlighed til at diskutere med klassen, hvad formuleringen trekanter, der har tre ens vinkler dækker over. er er jo en grund til, at man i denne sammenhæng bruger den måske lidt kunstige sprogbrug parvis lige store. etyder trekanter der har tre ens vinkler, at 1. de tre vinkler i hver af trekanterne er lige store (og dermed lig med 60 ), eller betyder det, at 2. enhver af disse trekanter har vinkler, der er parvis

5 PLNGEOMETRI lige store med vinklerne i enhver anden af disse trekanter? Man kan indvende, at svaret ikke betyder så meget, for i begge tilfælde er påstanden falsk. I begge tilfælde er trekanterne ligedannede men ikke nødvendigvis kongruente. Falsk.

6 PLNGEOMETRI Elevernes egne forklaringer. OPGVE 13 Elevernes egne skitser. e kan naturligvis se ud på mange måder. Her er et forslag, hvor h betegner højden af træet. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 8 u og v er topvinkler, x og y er topvinkler. u og x udgør tilsammen en lige vinkel, der har vinkelmålet 180. Tilsvarende med x og v. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 9 Elevernes egne begrundelser for beregning. egrundelserne bør involvere ligedannede/ensvinklede trekanter. Træet er 8,96 m højt. Topvinkelpar: (a, c), (b, d), (e, g) og (h, f). e ensliggende vinkelpar ved skæring af l og m med den tredje linje er: (a, e), (b, f), (d, h) og (c, g). OPGVE 14 Elevernes egne skitser. Her er et forslag: OPGVE 10 Elevernes egne begrundelser. Sandt. Sandt. OPGVE 11 = 4 9 = 4,5. 8 E: E = 48,37 ; E = 41,63 E: E = 48,37 ; E = 41,63 Elevernes egne forklaringer. Højden af yers Rock er ifølge disse målinger 1,73 11, = 330,96 m høj. et er ikke helt galt, når man tænker på, hvor nøjagtige målingerne nu kan være Gyldendals encyklopædi en Store anske angiver højden af yers Rock til 335 m. OPGVE 12 = 8,4 6,22 8 = 6,53. : = 180 ( ) = 47 E er ensvinklet med, så vi har =, E = og =.

7 PLNGEOMETRI ikke uden om algebraen, så hjælp kan være en nødvendighed. Fælles tavleregning i klassen med input fra klassen ( Hvad gør vi nu?, Hvad er mon næste træk? ) kan også være en mulighed: h 2 + ( s 2 )2 = s 2 h 2 = s 2 s2 2 2 h 2 = 4 s2 s h 2 = 3 s2 2 2 h = 3 s2 2 2 h = s 2 3 FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 15 en manglende sidelængde (hypotenusen) er 41 6,403. en manglende katetelængde er 64,0625 8,004. en manglende katetelængde er 49,2 7,014. I første oplag af MULTI 8 har der her indsneget sig en trykfejl i arealformlen for en ligesidet trekant med sidelængden s. en rigtige formel er: = 3 4 s2 Elevernes egne forklaringer. Forklaringen (dvs. beviset for formlen) hviler på, at man bruger arealformlen = 1 hg, og indsætter h = 2 s 2 3 og g = s. OPGVE 16 evis for, at h = 5 3 ved hjælp af Pythagoras. 2 er skal regnes på denne trekant: UNERSØGELSE: LÆNGER PÅ SØMRÆT EL 1 Længden af den gule elastik er 5, og længden af den grønne elastik er 10. er er i alt ( 25 ) = 300 forskellige linjestykker 2 mellem to af de 25 punkter (søm) på et 5 5- sømbræt, men der er kun 14 forskellige afstande. h 2 + ( 5 2 )2 = 5 2 h 2 = h 2 = h 2 = h = h = Hvis en elev ikke magter alle de algebraiske omskrivninger, vil det være tilstrækkeligt at bruge Pythagoras og lommeregner til at udregne højden. erved fås h = 4, Hvis man yderligere på lommeregneres udregner til også at blive 4,330127, bør det accepteres som et bevis. realet af trekanten er = ,83. 4 eregningerne her følger beregningerne i, med siden s i stedet for 5, men denne gang slipper man e forskellige længder er angivet på figurerne herover. Elevernes egne forklaringer.

8 PLNGEOMETRI emærk, at arbejdet med at finde længder på et sømbræt giver mulighed for at visualisere en af regnereglerne for kvadratrødder, nemlig (for positive a og b): a 2 b = a 2 b = a b For eksempel kan det på sømbrættet ses, at 8 = 2 2, at 18 = 3 2, og at 32 = 4 2. firkanten er lig med = 10 m og her kommer snoren ind i billedet. OPGVE 18 iagonalen i et rektangel er lig med , og da 136 < 140, har Ole træ nok. OPGVE 19 t omskrive tallene 8, 18 og 32 så reglen kommer i anvendelse og giver det ønskede resultat er en mulig differentieringsopgave (8 = 2 2 2, 18 = 3 2 2, 32 = 4 2 2). Tilsvarende kan omskrivningen 20 = 2 5 visualiseres: Undersøgelse af muligheden for ved brug af Pythagoras at finde sidelængder i retvinklede trekanter i forskellige situationer. Svarene er: Ja. Ja. I denne situation kender vi ganske vist kun én side (hypotenusen), men vi ved yderligere, at de to kateter er lige lange. Kalder vi hypotenusens længde for c og betegner længden af kateterne med x, har vi: x 2 + x 2 = c 2 2x 2 = c 2 x = 2 2 Nej. Ja. En anden differentieringsmulighed for de hurtige elever ligger også lige for: Hvor mange forskellige længder kan I finde på et 6 6-sømbræt (20), på et 7 7-sømbræt (27), Hvor mange på et n n-sømbræt? [n + (n 1) + (n 2) = n(n+1) 2 1 = n2 +n 2 ]. 2 OPGVE 17 Elevernes egne forklaringer. Hvis man (fx med et målebånd) afsætter et firkantet område med sidelængderne på de to par af modsatte sider lig med hhv. 8 m og 6 m, er man sikker på, at pladsen er et parallelogram. Hvis man yderligere ønsker, at pladsen er rektangulær, skal man sikre sig, at en af vinklerne er ret (hvis én vinkel i et parallelogram er ret, er de andre også rette). ette kan gøres ved at bruge den omvendte Pythagoras, dvs. ved at sikre sig at diagonalerne i

9 PLNGEOMETRI UNERSØGELSE: PYTHGORÆISKE TRIPLER EL 1 (6, 8, 10) er en pythagoræisk tripel. Elevernes egne forklaringer. lle tripler af formen (3n, 4n, 5n), hvor n N vil være brugbare. FITLISTE OG UYENE VEJLENING OPGVE 20 Ikke retvinklet. Retvinklet. Retvinklet. Ikke retvinklet. OPGVE 21 Kateterne er 5 cm. Hypotenusen er 50 = 5 2 7,07 cm. EL 2 E Undersøgelse af om den givne opskrift leder til en pythagoræisk tripel. Hvis vi betegner de tre tal a, b og c (i den rækkefølge de fremkommer af opskriften), hører det med til undersøgelsen at eftervise, at a 2 + b 2 = c 2. Fra en pythagoræisk tripel (a, b, c) kan nye tripler kan dannes ved multiplikation med et naturligt tal. Elevernes egne forklaringer. Ved at følge opskriften med et tal n (som forudsættes ulige) fås triplen (n 2, n2 1 2, n2 + 1 ) 2 Hvis punkt - er gennemarbejdet, er det ikke meget at argumentere for i dette punkt. For ethvert ulige tal > 1 giver formlen i en pythagoræisk tripel og der er uendelig mange ulige tal. OPGVE 22 OPGVE 23 Stien E står vinkelret på, hvis = 90, dvs. hvis trekant E er retvinklet. et kan undersøges med den omvendte pythagoræiske læresætning. Hvis 2 + E 2 = E 2 er E = 90 : 2 + E 2 = = = = = E 2 ltså har ske ret. - E og er ensvinklede. kan så beregnes ved: = E = E 300 = 600 = 450 m. 400 Kan være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. Kan ikke være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. Kan ikke være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. Kan være det mindste talpar i en pythagoræisk tripel. E F Længden af stykket kan beregnes (Pythagoras) til 750 m. en angivne rute, er derfor = 1800 m lang. To runder er således 3,6 km lang, så ske har ret. Ruten E er i alt 1700 m lang. Elevernes egne svar.

10 PLNGEOMETRI OPGVE 24 FITLISTE OG UYENE VEJLENING UNERSØGELSE: VINKELSUM I TREKNTER ET EVIS EL 1 Elevernes egne undersøgelser og forklaringer af bevisets forudsætninger. EL 2 - Elevernes diskussion om beviset. Tankegangen i beviset er: 1. v 1 + v 2 + v 3 = 180, da de tre vinkler tilsammen udgør en lige vinkel. 2. v 1 = (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) 3. v 2 = (topvinkler) 4. v 3 = (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) 5. ltså er + + = v 1 + v 2 + v 3 = 180. Elevernes egne argumenter. Følgende elementer kan tænkes at indgå: 1. I en ligesidet trekant falder højde, median og vinkelhalveringslinje fra hver vinkel sammen. 2. Kongruenssætningen fra side 81, EL 1: To trekanter, der har to sider og den mellemliggende vinkel parvis lige store, er kongruente. Forholdet mellem og E er = 2, dvs. er E 1 dobbelt så lang som E. Elevernes egne forklaringer. I forklaringen vil formentlig indgå, at alle vinkler i en ligesidet trekant er 60, og at den tegnede højde også er vinkelhalveringslinje for. eraf vinkelstørrelserne 60 og 30 og så følger 90 jo af sig selv. Elevernes egne formuleringer. Sætningen kan formuleres på mange måder, men dens indhold er, at i en trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste katete. OPGVE 25 Sandt. rug ensliggende vinkler ved parallelle linjer: = M og = N. Sandt. Følger af punkt og af, at M og N er midtpunkter. Elevernes egne forklaringer. Hjælp til at komme i gang med beviset er indeholdt i punkt. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 26 En median i en trekant er et linjestykke, der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af den modstående side. Sandt. Sandt. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 27 Sandt. Følger af, at =, idet de begge er lig med 90. Sandt. Følger af, at =, idet de begge er lig med 90. Sandt. Følger af punkt og punkt.

11 , PLNGEOMETRI Elevernes egne forklaringer på størrelsen af vinkel i en regulær n-kant. EL 3 Undersøgelse: Hvilke regulære polygoner kan være fladedækkende? e fladedækkende regulære polygoner er den ligesidede trekant, kvadratet og den regulære sekskant. Elevernes egne beskrivelser af en regel for fladedækning. e er flere mulighed for at formulere et rigtigt svar. FITLISTE OG UYENE VEJLENING UNERSØGELSE: REGULÆRE POLYGONER OG FLEÆKNING EL 1 Elevernes egne definitioner, som skal indeholde nedenstående. En polygon er en plan, lukket figur, der er begrænset af rette linjestykker. Om man vil stille eleverne til regnskab for tilføjelsen uden selvgennemskæringer kommer an på, hvor meget der i klassen er gjort ud af denne tilføjelse i forbindelse med arbejdet med kapitel 3. Elevernes egne definitioner, som skal indeholde nedenstående. En polygon, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store. EL 2, Vinkelsum i n-kant og vinkelstørrelse i regulær n-kant (regnearksudskrift): ntal kanter n: Vinkelsum UNERSØGELSE: FIRKNTER OG TESSELERING EL 1 - rbejde med undersøgelsesarket U4. Ingen egentlige facits. EL 2 Elevernes egne undersøgelser. Elevernes egne forklaringer. lle firkanter kan tesselere. OPGVE 28 en regulære 12-kant har vinkelstørrelsen 150. Vinkelsummen i den regulære 12-kant er OPGVE 29 Elevernes egne beskrivelser af forskellige forhold vedrørende de to trekanter. eskrivelserne kunne fx omfatte, at: trekanterne er retvinklede trekanterne er ensvinklede. trekanterne er ligebenede. trekanterne er ligedannede Højden af tagtrekanten er 2,75 m (se figuren herunder), så husets højde er 3,5 + 2,75 = 6,25 m. Vinkelstørr else i regulær polygon:

12 PLNGEOMETRI Trekant er ligebenet. Højden fra er så også median. Fodpunktet M for højden fra er derfor midtpunktet af. Heraf følger de indskrevne sideog vinkelmål. OPGVE 30 Elevernes egne undersøgelser og argumenter. Elevernes egne argumenter.

13 PLNGEOMETRI EVLUERING EL 1 - Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. EL 2 - Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. FITLISTE OG UYENE VEJLENING TEM: HØJEMÅLINGER EL 1 Intet facit. Elevernes diskussion af metoder og eventuelle forskelle i fundne højder. EL 3 E = 125 = 5 5 ( 11,18 cm) real(e) = 25 cm 2. real(gm) = 6,25 cm 2. EL 4 real(e) = 1 4 s2 real(gm) = 1 16 s2 E = s 2 + ( s 2 )2 = 1 s 5 ( 1,12s) 2 EL 5 e to blå vinkler er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. e to grønne vinkler er topvinkler. Flere argumentationsmuligheder fx vil spejling i GH føre KJ over i IJ. ltså er de to trekanter kongruente. Vinkel F er fælles for de to trekanter. et er derfor nok at vise lighed mellem to andre vinkler fx er F = FMJ (ensliggende vinkler ved parallelle linjer).

14 PLNGEOMETRI OPGVE 2 Elevernes egne skitser. På tegningen herunder er de ensliggende vinkler ved parallelle linjer markeret med samme farve: FITLISTE OG UYENE VEJLENING TRÆN 1 FÆRIGHEER OPGVE 1 Længdeforholdet mellem den lille og den store trekant er 1 : 2. Længdeforholdet mellem den lille og den store firkant er 1 : 3. Manglende mål i trekant : = 2,25 = 7,25 = 16 = 135 På tegningen herunder er topvinklerne markeret med samme farve: Manglende mål i trekant : = 29 Manglende mål i firkant : = 2,5 = 2,2 = 59 = 83 = 116 Manglende mål i firkant : = 5,7 = 102 = 116 er ligedannet med E. OPGVE 3 c = 41 ( 6,40) b = 96 = 4 6 ( 9,80) OPGVE 4 Retvinklet. Retvinklet.

15 PLNGEOMETRI E F Ikke retvinklet. Retvinklet. Retvinklet. Ikke retvinklet. = 87,5 ; E = 128 OPGVE 2 OPGVE 5 iagonalen er 569 cm. ( 23,85 cm). OPGVE 6 c = 15 c = 89 ( 9,43) b = 72 = 6 2 ( 8,49) a = 1,95 ( 1,40) er ligedannet med F, da de to trekanter er ensvinklede: er fælles, = E og = F, da begge vinkelpar er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. G = 2 3,46 = 2,31 3 E = = EF = = OPGVE 3 OPGVE 7 Omkreds = 30 cm. real = 30 cm 2. TRÆN 2 FÆRIGHEER E Retvinklet. Retvinklet. Ikke retvinklet. Ikke retvinklet. Ikke retvinklet. OPGVE 1 I første oplag af MULTI 8 mangler en oplysning. Umiddelbart efter linjen Figurerne er parvis ligedannede skal der tilføjes: Trekant E er ligebenet. Længdeforholdet mellem den blå og den gule figur er 1 : 2,5. Manglende sidelængder i E : = 18,25 : 2,5 = 7,3 OPGVE 4 c = 138,33 cm ( 11,76 cm) c = m ( 921,73 m) b = 8 m a = 8,9316 m ( 2,99 m) OPGVE 5 a E er ligebenet er E = = 6, og da E = 90, kan E beregnes ved hjælp af Pythagoras: E = = 72 = 6 2 ( 8,49) en største pind skal være 90 cm lang. Længden af den blå tape er 2 ( ) = 30 ( 2 + 5) 219,02 cm. a E er ligebenet er desuden = E = 45. Manglende sidelængder i E: = 2,5 6 = 15 = 2,5 6,3 = 15,75 E = 2,5 6 2 = 15 2 ( 21,21) Vinkelstørrelser markeret med blåt i E: = 45 ; = 198,5 ;

16 PLNGEOMETRI - I skemaet herunder er højder og afstande beregnet: Udslået Sammenklappet Gulvafstand højde højde 2x3 67,65 cm 72 cm 49,30 cm 2x4 90,2 cm 96 cm 63,73 cm OPGVE 3 FITLISTE OG UYENE VEJLENING Helle kan måle en diagonal i firkanten. Hvis den er lig med ,4 cm, er pladen retvinklet. Som det fremgår af punkt, er pladen ikke retvinklet. iagonalen skal være 65,30 cm lang. TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 E er ensvinklet med. Længdeforholdet er 2 : 3. Heraf fås: = 3 E = 3 1,6 = 2,4 m 2 2 OPGVE 4 I første oplag af MULTI 8 er der indskrevet forkerte mål på skitsen af elmasten. Herunder ses skitsen med de korrekte mål: = ,2 2 = 10,44 3,23 m = 3,23 m E = 1,6 m (givet) =, da de er grundvinkler i en ligesidet trekant, og grundvinkler i en ligesidet trekant er lige store. i = i E, da disse to vinkler er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. OPGVE 2 I sammenfoldet tilstand er stigen 6 24 = 144 cm høj. en vandrette afstand mellem stigens ben kan ved hjælp af Pythagoras beregnes som det dobbelte af den mindste katete i denne retvinklede trekant (halvdelen af stigen set fra siden): E og HF er ligedannede. Omkredsen af E er 14,72. Omkredsen af HF er 25,1. e to orange vinkler er lige store. Siden står vinkelret på siden E. OPGVE 5 er er ,15 m (dvs. ca. 336 km) til horisonten. fstanden er 98,59 cm.

17 PLNGEOMETRI TRÆN 2 PROLEMLØSNING Fx et ligesidet trapez OPGVE 1 I MULTI 8 1. oplag 1. udgave er der fejl i denne opgave. Opgaven skal se sådan ud: Skitse Fx en femkant I denne figur gælder, at FE, og er parallelle. esuden gælder F = og E =. Tegn et rektangel, et parallelogram, et ligesidet trapez, en femkant og en anden sekskant, der opfylder de samme betingelser. Hvilke betingelser skal gælde, hvis og E i trekant EF skal være lige store? egrund dit svar. Hvilke betingelser skal gælde, hvis arealet af firkant skal være lig med arealet af firkant FE? Facit til opgave 1 Fx et rektangel Fx en sekskant Trekant EF skal være ligebenet, dvs. F = EF e to firkanter skal være kongruente. OPGVE 2 Elevernes egne skitser. Herunder er et forslag: Fx et parallelogram Længden af sigen er 7,00 m.

18 PLNGEOMETRI Situationen ser nu således ud: Stigen står nu 5,44 m op ad muren. OPGVE 3 Elevernes egne beskrivelser af en metode. fstanden fra muren til bredden er 11,25 m. OPGVE 4 en korteste bardun er 8,60 m. en længste bardun skal fæstnes 10,0 m oppe ad masten. Masten er 12,5 m høj. er skal i alt bruges 3 8, , ,25 = 65,4 m bardun.