(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "(studienummer) (underskrift) (bord nr)"

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2013 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 11 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 II.3 III.1 III.2 III.3 III.4 III.5 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave IV.1 V.1 V.2 V.3 VI.1 VI.2 VII.1 VII.2 VIII.1 VIII.2 (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave IX.1 IX.2 IX.3 X.1 X.2 X.3 X.4 X.5 XI.1 XI.2 (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I En kasse indeholder 6 sedler: På 1 af sedlerne står der et 1-tal På 2 af sedlerne står der et 2-tal På 2 af sedlerne står der et 3-tal På 1 af sedlerne står der et 4-tal Der udtrækkes 2 sedler fra kassen, og følgende stokastiske variabel indføres: X, som beskriver antal sedler med et 4-tal blandt de 2 udtrukne. De 2 sedler udtrækkes uden mellemliggende tilbagelægning. I.1 (1) Middelværdi og varians for X, samt P (X = 0) bliver: 1 µ x = 1/3, σx 2 = 2/9 og P (X = 0) = 2/3 2 µ x = 1/3, σx 2 = 2/9 og P (X = 0) = 29/30 3 µ x = 1/3, σx 2 = 5/18 og P (X = 0) = 25/36 4 µ x = 1/3, σx 2 = 5/18 og P (X = 0) = 29/30 5 µ x = 1/3, σx 2 = 2/9 og P (X = 0) = 25/36 I.2 (2) De 2 sedler udtrækkes nu med mellemliggende tilbagelægning. Hvad er sandsynligheden for at ingen af de to udrukne sedler er en seddel med et 1-tal? 1 1/36 2 5/6 3 25/36 4 1/4 5 2/3 Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Bemandingen til besvarelse af opkald på en virksomhed er baseret på, at der kommer 180 telefonopkald pr. time tilfældigt fordelt. I 9 perioder på 5 minutter er følgende antal opkald (pr. 5 minutter) registreret: Hvis der sker 20 opkald eller flere i en periode på 5 minutter overstiges kapaciteten, og der kommer en uønsket ventetid - der er altså en kapacitet på 19 opkald pr. 5 minutter. II.1 (3) Bruger man den sædvanlige poissonmodel for sådanne data, kan man ud fra registreringerne finde en P-værdi for hypotesen: H 0 : µ = 180 H 1 : µ > 180 hvor µ er middelværdien for antal opkald pr. time, som: 1 P (X 29), X P o(λ), λ = 9 2 P (X 170), X N(135, ) 3 P (X 170), X N(170, ) 4 P (X = 170), X P o(λ), λ = P (X 170), X P o(λ), λ = 135 bliver: II.2 (4) Sandsynligheden for, at kapaciteten overstiges en tilfældig periode på 5 minutter 1 P (X 20) = 0.125, hvor X P o(15) 2 P (X 5) = 0.999, hvor X P o(15) 3 P (X 5) = 0.560, hvor X P o(5) 4 P (X < 5) = 0.440, hvor X P o(5) 5 P (X 9) = 0.070, hvor X P o(15) Fortsæt på side 4 3

4 II.3 (5) Hvis sandsynligheden skal være mindst 99% for, at alle opkald ekspederes uden ventetid inden for en tilfældigt valgt periode på 5 minutter, hvor stor skal kapaciteten pr. 5 minutter da mindst være? 1 Kapaciteten skal være mindst 22 pr. 5 minutter 2 Kapaciteten skal være mindst 23 pr. 5 minutter 3 Kapaciteten skal være mindst 24 pr. 5 minutter 4 Kapaciteten skal være mindst 25 pr. 5 minutter 5 Kapaciteten skal være mindst 26 pr. 5 minutter Opgave III Længden af et afskåret aluminiumsprofil kontrolleres ved, at der udtages en stikprøve på 16 emner, hvis længde måles. Måleresultaterne fra en sådan stikprøve er angivet nedenfor, alle mål er i mm: Af data fås: x = og s = Kravene til profilernes længde er: µ L = 180mm og σ L = 0.08mm III.1 (6) Udføres hypotesetestet: H 0 : σ 2 = H 1 : σ 2 > Fås følgende P-værdi og konklusion, hvis α = 5% anvendes: 1 P-værdi= 0.12, nulhypotesen kan afvises 2 P-værdi> 0.05, nulhypotesen kan ikke afvises 3 P-værdi< 0.05, nulhypotesen kan afvises 4 P-værdi= 0.88, nulhypotesen kan afvises 5 P-værdi= 0.88, nulhypotesen kan ikke afvises Fortsæt på side 5 4

5 III.2 (7) Udføres hypotesetestet: H 0 : µ = 180 H 1 : µ 180 fås følgende sædvanlige teststørrelse og konklusion, hvis α = 5% anvendes: 1 Teststørrelse: Konklusion: Nulhypotesen forkastes 2 Teststørrelse: Konklusion: Nulhypotesen forkastes 3 Teststørrelse: Konklusion: Nulhypotesen kan ikke forkastes 4 Teststørrelse: Konklusion: Nulhypotesen kan ikke forkastes 5 Teststørrelse: Konklusion: Nulhypotesen kan ikke forkastes III.3 (8) Et 90%-konfidensinterval for µ bliver: ± / ± / ± / ± / ± /4 III.4 (9) Et 99%-konfidensinterval for σ bliver: < σ < < σ < < σ < ± / ± /16 Fortsæt på side 6 5

6 III.5 (10) Middelprofillængden for en ny produktion af profiler ønskes bestemt ved en ny stikprøve. Hvis man antager, at spredningen er omtrent 0.1, altså σ = 0.1mm, og man ønsker, at et 95%-konfidensinterval skal have en bredde på kun 0.05mm, hvor mange profiler skal så måles? (1.96/0.05)2, dvs mindst (1.96/0.025)2, dvs mindst ( /0.025) 2, dvs mindst 62 4 ( /0.025) 2, dvs mindst 27 5 ( /0.05) 2, dvs mindst 107 Opgave IV En parallelforbindelse af to eletriske modstande R 1 og R 2 giver en samlet modstand R p, der er givet ved: R P = R 1 R 2 R 1 + R 2 I en given parallelforbindelse anvendes to modstande med følgende værdier og spredninger: (i Ohm) R 1 = 500, σ 1 = 25 R 2 = 100, σ 2 = 5 IV.1 (11) Variansen for den samlede modstand R p bliver omtrentlig: 1 1/ /2 5 = / /2 5 2 = ( ) ( ) 5 2 = ( ) 2 ( ) = ( ) ( ) = Fortsæt på side 7 6

7 Opgave V En virksomhed skal anvende nogle rør. Det er væsentligt for anvendelsen, at rørenes indvendige ruhed er mindst mulig. For at finde de bedst egnede rør, indhentes rørprøver fra fire mulige leverandører. På hver rørprøve foretages 9 målinger af den indvendige ruhed, måledata fremgår af nedenstående tabel: Ruhed Række- Rækkegennemsnit spredning A B C D En chef ønsker leverandør A og B sammenlignet uden brug af nogen antagelse om normalfordeling, og får lavet følgende kørsel i R: xa=c(17,25,22,21,16,22,23,20,17) xb=c(21,25,20,19,24,19,21,21,17) k = Asamples = replicate(k, sample (xa, replace = TRUE)) Bsamples = replicate(k, sample (xb, replace = TRUE)) mymeandifs = apply(asamples, 2, mean)-apply(bsamples, 2, mean) hist(mymeandifs) Histogrammet, der laves i sidste linie, viser bootstrap-fordelingen af middelforskellene: Histogram of mymeandifs Frequency mymeandifs Fortsæt på side 8 7

8 muligheder: V.1 (12) Hvad er den eneste fornuftige konklusion baseret på R-kørslen blandt følgende 1 De to spredninger er signifikant forskellige på niveau 5% 2 Der er på niveau 1% signifikant forskel på middelruheden for leverandør A og B 3 Der er på niveau 5% ikke signifikant forskel på middelruheden for leverandør A og B 4 Spredningen man ser i histogrammet er omtrent 1, og derfor er der ingen forskel på de to middelværdier 5 Histogrammet er ikke symmetrisk, og derfor kan vi ikke bruge det til noget V.2 (13) Der foretages nu en sædvanlig variansanalyse af hele datamaterialet. Det oplyses at SS total = 4 9 i=1 j=1 (y ij ȳ) 2 = Hvad bliver F-teststørrelsen for den sædvanlige hypotese i denne situation: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 og konklusionen derpå med α = 5%? 1 F = / = 1.23, så hypotesen accepteres 2 F = / = 1.23, så hypotesen forkastes 3 F = = 4.15, så hypotesen accepteres 4 F = = 4.15, så hypotesen forkastes 5 F = = 11.40, så hypotesen forkastes V.3 (14) Man ønsker at sammenligne varianserne for leverandør C og D, og følgende hypotese skal derfor testes: (alene baseret på data for disse to leverandører) H 0 : σc 2 = σd 2 H 1 : σc 2 σd 2 Man får følgende sædvanlige teststørrelse og kritisk værdi med α = 0.10: 1 Teststørrelse: Kritisk værdi: Teststørrelse: Kritisk værdi: Teststørrelse: Kritisk værdi: Teststørrelse: Kritisk værdi: Teststørrelse: /9. Kritisk værdi: Fortsæt på side 9 8

9 Opgave VI En virksomhed, der sælger udendørs belysning, får fremstillet en lampe i 3 materialevarianter, i kobber, med malet overflade og i rustfrit stål. Lamperne sælges dels i Danmark og dels til eksport. For 250 lamper er den procentvise fordelingen af salget mellem de 3 varianter og Danmark/eksport opgjort. Data fremgår af nedenstående tabel. Land Danmark Eksport Kobbervariant 7.2% 6.4% Malet variant 28.0% 34.8% Rustfri variant 8.8% 14.8% VI.1 (15) Er der signifikant forskel på andelen, der eksporteres og andelen der sælges i Danmark? (Med α = 0.05) 1 Nej, idet 15/ 250/4 = 1.90 ligger inden for ± Ja, idet 15/ 250/4 = 1.90 ligger inden for ± Ja, idet 15 2 /(250/4) = 3.6 er større end Ja, idet 15 2 /(250/4) = 3.6 er mindre end ± Nej, idet 15/ 250/4 = 1.90 er større end VI.2 (16) Den relevante kritiske værdi for at teste om der er signifikant forskel på hvorledes varianterne fordeler sig i Danmark og i udlandet bliver: (med α = 0.05) 1 z = χ (3) = χ (2) = χ (1) = F 0.05 (3, 2) = Fortsæt på side 10 9

10 Opgave VII I et klinisk forsøg med et kolesterolsænkende middel, har man målt 15 patienters kolesteroltal (i mmol/l) før behandlingen, og 3 uger efter behandlingens start. Data er angivet i nedenstående tabel: Patient Før Efter Følgende kørsler i R udførtes: x1=c(9.1,8.0,7.7,10.0,9.6,7.9,9.0,7.1,8.3,9.6,8.2,9.2,7.3,8.5,9.5) x2=c(8.2,6.4,6.6,8.5,8.0,5.8,7.8,7.2,6.7,9.8,7.1,7.7,6.0,6.6,8.4) t.test(x1,x2,var.equal=true) t.test(x1,x2,pair=true) med følgende resultater: > t.test(x1,x2,var.equal=true) Two Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = 28, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y > t.test(x1,x2,pair=true) Paired t-test data: x1 and x2 t = , df = 14, p-value = 3.672e-06 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences Fortsæt på side 11 10

11 α = 0.001? VII.1 (17) Kan der baseret på disse data påvises et signifikant fald i kolesteroltallet med 1 Nej, idet den relevante P-værdi er mindre end Nej, idet den relevante P-værdi er mindre end Nej, idet den relevante P-værdi er mindre end Ja, idet den relevante P-værdi er større end Ja, idet den relevante P-værdi er mindre end VII.2 (18) Hvad er medianen for kolesteroltallet for patienterne før behandlingen? = = Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VIII Ved produktion af plastslanger, skal slangediameteren løbende kontrolleres. Ved en prøveproduktion er der fremstillet to stykker slange med to forskellige indstillinger på maskinen. Diameteren er målt 10 steder på hver slange med følgende resultater: (i mm) Indstilling 1: n 1 = 10, x 1 = 5.996, s 1 = Indstilling 2: n 2 = 10, x 2 = 6.014, s 2 = VIII.1 (19) De to varianser kan ikke påvises signifikant forskellige (med α = 0.10), idet: / 10 = > t 0.025(18) = = < F 0.05 (9, 9) = = < F 0.01(9, 9) = / 20 = > t 0.025(18) = = 1.37 < χ (9) = VIII.2 (20) Antag at varianserne for de to indstillinger er ens. Hvad er da 95%-konfidensintervallet for middeldiameterforskellen? ± / ± / ± 1.96 ( ) 2/ ± / ± /10 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave IX Ved kommunalvalget i november 2013 fik socialdemokraterne (A) p = 29.5% af stemmerne på landsplan. En tidlig såkaldt exitpoll estimerede, at de kun ville få 22.7% af stemmerne. Antag at exitpoll en var baseret på 740 personer, hvoraf altså 168 personer angav at have stemt på A. IX.1 (21) På tidspunktet for exitpoll en kendtes p naturligvis ikke. Testes nedenstående hypotese baseret på exitpoll en: H 0 : p = H 1 : p fås følgende teststørrelse og konklusion: (med α = 0.001) 1 Teststørrelse: 0.227/0.295 = Konklusion: Vi afviser nulhypotesen, idet 0.77 > Teststørrelse: = Konklusion: Vi accepterer nulhypotesen, idet 0.16 < z = Teststørrelse: = Konklusion: Vi accepterer nulhypotesen, idet 0.15 < z = Teststørrelse: Konklusion: Vi afviser nulhypotesen, idet 4.05 < z = Teststørrelse: Konklusion: Vi accepterer nulhypotesen, idet 4.05 > χ (1) = IX.2 (22) Et 95%-konfidensinterval for p baseret på exitpoll en bliver: ± ± ± ± ± Fortsæt på side 14 13

14 IX.3 (23) Med udgangspunkt i det scenarie, at en stemmeandel er omkring 30%, hvor stor en exitpoll skal man i så fald lave for at opnå et 99%-konfidensinterval med en bredde på 0.01? (2.326/0.02) personer (1.96/0.02) personer 3 1/4 (2.576/0.01) personer 4 1/4 (1.96/0.01) personer (2.576/(0.01/2)) personer Opgave X Ved en undersøgelse af forureningen i et vandløb er koncentrationen af forurening målt 5 forskellige steder. Hvert sted er der udtaget 4 vandprøver og koncentrationen er målt (i mg/l). Resultatet af analysen er angivet i nedenstående tabel: Observationssted I ne- Det oplyses yderligere at observationsstederne har forskellig afstand til forureningskilden. denstående tabel er disse afstande samt den gennemsnitlige forurening angivet: Afstand fra forureningskilde (i km) Gennemsnitlig koncentration To relevante analyser køres i R, først: Koncentration=c(9.9,8.8,10.3,9.5,10.5, 9.1,10.0,11.0,10.9,11.3, 9.7,10.1,9.5,9.9,11.9, 8.5,9.8,10.2,10.6,12.3) Sted=factor(c(1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5)) anova(lm(koncentration~sted)) med følgende resultat, hvor en del af det sædvanlige R-output dog er udeladt (og erstattet af et X ): Fortsæt på side 15 14

15 Analysis of Variance Table Response: Koncentration Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Sted X X X X Residuals X X og dernæst:(2. analyse) Koncentration=c(9.3,9.675,10.250,10.225,11.500) Afstand=c(10,8,6,4,2) summary(lm(koncentration~afstand)) med følgende resultat: Call: lm(formula = Koncentration ~ Afstand) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-05 *** Afstand * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 3 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 3 DF, p-value: X.1 (24) Baseret på den første analyse, hvad bliver teststørrelse og kritisk værdi (med α = 0.05) for hypotesen om ingen forskel i middelværdierne for de fem observationssteder? 1 Teststørrelse = 6.45 og kritisk værdi = Teststørrelse = 1.72 og kritisk værdi = Teststørrelse = 2.78 og kritisk værdi = Teststørrelse = og kritisk værdi = Teststørrelse = 1.72 og kritisk værdi = 3.84 Fortsæt på side 16 15

16 X.2 (25) Et 90%-konfidensinterval for middelforskellen mellem observationssted 1 og 2 bliver: ± / ± / ± / ± / ± /4 X.3 (26) Hvad er parameter-estimaterne for de 3 ukendte parametre i den sædvanlige lineære regressionsmodel, der ligger til grund for den anden analyse: 1) Afskæring med y-aksen, 2) hældningen og 3) (residual)spredningen? 1 1) , 2) og 3) ) , 2) og 3) ) , 2) og 3) ) 4.734, 2) og 3) ) 0.06, 2) 0 og 3) X.4 (27) Hvor stor en del af koncentrationsvariationen kan forklares af afstanden? % % % % 5 95% Fortsæt på side 17 16

17 X.5 (28) Et 95%-konfidensinterval for den forventede forureningskoncentration 7km fra kilden bliver: ± ± ± ± ± 0.17 Fortsæt på side 18 17

18 Opgave XI Der skal produceres nogle plastslanger for hvilke trækbrudstyrken er væsentlig. Der produceres derfor prøveemner, og der foretages en trækprøvning af disse, hvor emnernes trækbrudspænding bestemmes. To forskellige granulater og fire mulige leverandører deltager i forsøget. Måleresultaterne (i MPa) )fra forsøget er opgivet i nedenstående tabel. Granulat g1 g2 Leverandør a Leverandør b Leverandør c Leverandør d Følgende kørtes i R: Y=c(34.2,34.8,31.3,31.9,33.1,31.2,30.2,31.6) Leverandoer=c("a","b","c","d","a","b","c","d") Granulat=factor(c(1,1,1,1,2,2,2,2)) anova(lm(y~leverandoer+granulat)) med følgende resultat: Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Leverandoer Granulat Residuals Fortsæt på side 19 18

19 XI.1 (29) Hvilken fordeling har været brugt for at finde P-værdien ? 1 t-fordelingen med frihedsgraderne ν = 7 2 F-fordelingen med frihedsgraderne ν 1 = 3 og ν 2 = 3 3 F-fordelingen med frihedsgraderne ν 1 = 3 og ν 2 = 1 4 χ 2 -fordelingen med frihedsgraderne ν = 7 5 F-fordelingen med frihedsgraderne ν 1 = 4 og ν 2 = 8 XI.2 (30) Hvad er den mest korrekte konklusion baseret på analysen? (brug α = 0.05) 1 Der kan påvises signifikant forskel i varianserne fra variansanalysen 2 Der kan påvises signifikant forskel i middelværdierne for de 2 granulater men ikke for de 4 leverandører 3 Der kan ikke påvises signifikant forskel i middelværdierne for hverken de 4 leverandører eller de 2 granulater 4 Der kan påvises signifikant forskel i middelværdierne for såvel de 4 leverandører som de 2 granulater 5 Der kan påvises signifikant forskel i middelværdierne for de 4 leverandører men ikke for de 2 granulater SÆTTET ER SLUT. GOD JUL! 19

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 1. december 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 30. maj 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 26. maj 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 V.1 VI.1 VI.2 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 V.1 VI.1 VI.2 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 23. maj 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2014 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet!

Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 2. juni 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar 5 4 4 2 3 1 1 5 4 1

Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar 5 4 4 2 3 1 1 5 4 1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 1. juni 2005 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af (navn)

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr)

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 25 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2016 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter Opgave I I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3. Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

(student number) (signature) (table number)

(student number) (signature) (table number) Technical University of Denmark Page 1 of 25 pages. Written examination: 13. december 2016 Course name and number: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Aids and facilities allowed: All The questions

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Modul 11: Simpel lineær regression

Modul 11: Simpel lineær regression Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................

Læs mere

2 0.9245. Multiple choice opgaver

2 0.9245. Multiple choice opgaver Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12

Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption

Læs mere

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1 Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Side 1 af 21 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2003. Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 21 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2003. Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider Skriftlig prøve: 15. december 2003 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier

Læs mere

Multipel Lineær Regression

Multipel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 27. maj 20 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere