Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Transkript

1 Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach

2 Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra Mike Vandal Auerbach, Mike Vandal Auerbach. Materialet er udgivet under en Kreditering-IkkeKommerciel-DelPåSammeVilkår 4.0 International licens (CC BY-NC-SA 4.0).

3 Forord Disse noter dækker en del af kernestoffet (og en smule mere) i et studieretningsforløb på A- eller B-niveau på stx. Materialet bygger på tidligere noter til hhv. A- og B-niveau tilpasset gymnasiereformen Noterne er skrevet med det formål at have en grundbog, som kun indeholder den grundliggende matematiske teori. I forbindelse med samarbejde i studieretningen eller med andre fag er det derfor nødvendigt at supplere med eksempler og andet materiale, der dækker konkrete anvendelser. Til gengæld dækker noterne den rent matematiske fremstilling af kernestoffet på stx, hvilket ifølge min opfattelse gør dem velegnede til en første behandling af stoffet samt i forbindelse med eksamenslæsningen. Til slut en stor tak til de mange matematikkolleger, der er kommet med rettelser og gode ændringsforslag. De fejl og mangler, der stadig måtte findes, er naturligvis udelukkende mit ansvar. Mike Vandal Auerbach 3

4

5 Indhold 1 Trigonometriske funktioner Grafer for de trigonometriske funktioner Svingninger Grader og radianer Inverse trigonometriske funktioner Ligninger med cos og sin Vektorer i planen Addition og subtraktion Vektorer og vinkler Skalarprodukt Vektorprojektion Determinant Plangeometri Linjens parameterfremstilling Linjens ligning Afstanden fra et punkt til en linje Cirkler Cirklens parameterfremstilling Rentesregning Indledende procentregning Procentvis vækst Forskellige tidsperioder Gennemsnitlig rente Indekstal Annuiteter Opsparing og lån Eksponentielle funktioner Eksponentiel vækst Beregning af forskriften Fordoblings- og halveringskonstant Eksponentiel regression Logaritmer Den naturlige logaritme Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Grafen for en potensfunktion Potensvækst Proportionalitet Potensregression A Mængdelære 85 A.1 Mængder A.2 Mængdebygger A.3 Intervaller A.4 Mængdeoperationer A.5 Relationer mellem mængder Bibliografi 91 Indeks 92 5

6

7 Trigonometriske funktioner 1 De trigonometriske funktioner er en gruppe af funktioner, der kan anvendes til at beskrive svingninger, og som også hyppigt anvendes inden for geometri. I dette kapitel beskrives de tre trigonometriske funktioner sinus (sin), cosinus (cos) og tangens (tan). De tre funktioner bliver defineret ud fra det, man kalder enhedscirklen. Det er en cirkel med radius 1, som er placeret i et koordinatsystem, sådan at centrum ligger i (0; 0), se figur 1.1. I stedet for at lade x betegne førstekoordinaten, lader man x betegne buelængden x fra punktet (1; 0) og mod urets retning, se figur 1.1 (hvis man går med uret, bliver x negativ). 1 1 Går man x op langs enhedscirklen kommer man til punktet P. Cosinus og sinus defineres som hhv. første- og andenkoordinaten til dette punkt, se figur 1.2. Tangens er forholdet mellem sinus og cosinus. De tre funktioner defineres altså på følgende måde: 1 1 (2) (1) Figur 1.1: Enhedscirklen og buelængden x. Definition 1.1 Lad P være slutpunktet for buen med længde x. Så er 1. cos(x) lig med P s førstekoordinat. 2. sin(x) lig med P s andenkoordinat. 3. tan(x) = sin(x) cos(x). Bemærk, at tan(x) kun er defineret, hvis cos(x) 0. (2) sin(x) 1 P x -1 cos(x) 1-1 (1) Enhedscirklen er en cirkel med radius 1. Herudfra kan man beregne enhedscirklens omkreds, som er 2πr = 2π 1 = 2π. Dvs. at hvis buelængden er π så svarer det til en halv cirkel, og punktet P har koordinaterne ( 1; 0). Hvis buelængden er π 2, så har man bevæget sig en kvart cirkel med uret, og P har koordinaterne (0; 1). Figur 1.3 viser nogle sammenhænge mellem buelængder og koordinater, både grafisk og på tabelform. Da sin(x) og cos(x) er koordinater til et punkt på enhedscirklen, som jo har radius 1, følger det i øvrigt, at både sin(x) og cos(x) må ligge mellem 1 og 1, altså at 1 cos(x) 1 og 1 sin(x) 1. Figur 1.2: Definitionen på cos(x) og sin(x). 7

8 8 Trigonometriske funktioner Figur 1.3: På figuren til venstre ses koordinaterne for endepunkterne af en række buer med forskellig længde. I tabellen til højre ses de samme informationer, nu blot angivet som cosinus og sinus til de forskellige værdier af x. ( 1; 0) π (2) 1 (0,643; 0,766) 0,873 0,2 (1) 0,2 0,524 1 (0,866; 0,5) π 2 x cos(x) sin(x) π ,524 0,866 0,5 0,873 0,643 0,766 π 1 0 (0; 1) (a) Endepunkterne for forskellige buelængder (b) Tabel over sammenhængen. Ved at se på symmetri i enhedscirklen, kan man udlede følgende sætning, der ikke bevises: Sætning 1.2 Der gælder 1. cos ( π 2 x ) = sin(x) 2. sin ( π 2 x ) = cos(x) 3. cos( x) = cos(x) 4. sin( x) = sin(x) 5. cos(π x) = cos(x) 6. sin(π x) = sin(x) 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 1 (2) (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 (2) Figur 1.4: Graferne for funktionerne cos(x) (øverst) og sin(x) (nederst). Idet radius i enhedscirklen er 1, gælder der også følgende sammenhæng mellem cosinus og sinus, som kan udledes ved at anvende Pythagoras sætning: Sætning 1.3: Grundrelationen mellem cosinus og sinus Der gælder cos(x) 2 + sin(x) 2 = Grafer for de trigonometriske funktioner Cosinus og sinus kan behandles som matematiske funktioner helt på linje med andre typer funktioner, man kan bl.a. tegne deres grafer. Graferne for de to funktioner kan ses på figur 1.4. Man kunne fristes til at tro, at fordi enhedscirklen har en omkreds på 2π, så har cos(x) og sin(x) kun funktionsværdier, når x ligger i intervallet mellem 0 og 2π, men dette er ikke rigtigt. Værdier af x, der ligger over 2π, svarer blot til, at man går mere end én omgang rundt i cirklen; mens de negative værdier svarer til, at man går modsat rundt. Funktionsværdierne vil så gentage sig selv for hver hel omgang, man går rundt i cirklen dette er beskrevet nærmere nedenfor. På graferne på figur 1.4 er førsteaksen inddelt i enheder af π. Dette skyldes, at det er ud for disse værdier, graferne skærer førsteaksen og antager deres maksima og minima. Hvis x s værdi er en brøkdel af π, er det også i mange

9 1.2 Svingninger 9 tilfælde muligt at angive de eksakte værdier af cos(x) og sin(x). Nogle af de eksakte funktionsværdier af cos(x) og sin(x) kan ses i tabel 1.5. Periodicitet Ved at se på graferne for de to funktioner kan man udlede, at de er periodiske. At en funktion er periodisk betyder, at funktionen gentager sig selv. Man kan se på graferne for cos(x) og sin(x), at hver gang man går 2π frem eller tilbage på førsteaksen, finder man de samme funktionsværdier. Dette skyldes, at cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen, og 2π svarer til en hel omgang rundt i cirklen. Derfor vil cos(x) og sin(x) have samme værdi, når x stiger eller falder med et helt tal gange 2π, dvs. cos(x + k 2π) = cos(x) sin(x + k 2π) = sin(x) hvor k er et helt tal. Tabel 1.5: Funktionsværdier for cos og sin. x cos(x) sin(x) π 1 0 π π 4 π π π 1 0 3π π 1 0 Man siger, at de to funktioner er periodiske med perioden T = 2π. Perioden kan i øvrigt også aflæses som afstanden mellem to af bølgetoppene på grafen. Fordi de to funktioner er periodiske, kan de bruges til at beskrive en lang række fænomener i naturen, der udviser et gentagende mønster, som f.eks. bølger og svingninger. Tangens I det ovenstående er tangens ikke blevet omtalt. Grafen for tan(x) kan ses på figur 1.6. Som man kan ane på figuren, går funktionsværdien mod hhv. når x nærmer sig ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2 osv. Dette skyldes at tan(x) er defineret som tan(x) = sin(x) cos(x), (2) 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π og det er netop i disse værdier af x, at cos(x) = 0. Som man måske også kan se på figuren er tan(x) periodisk med perioden π. Figur 1.6: Grafen for tan(x). 1.2 Svingninger Som nævnt ovenfor, kan de trigonometriske funktioner cosinus og sinus bruges til at beskrive svingninger. Mange svingninger kan beskrives vha. grafer, der er bølgeformede på samme måde som graferne for cosinus og sinus (se figur 1.4. Funktioner, der har den type grafer, har formen f (x) = a sin(bx + c). Man kan derfor definere sinussvingninger på følgende måde:

10 10 Trigonometriske funktioner Definition 1.4 En sinussvingning er grafen for en funktion af typen f (x) = a sin(bx + c), hvor a > 0, b > 0 og c er et vilkårligt tal. Man kan nu undersøge, hvordan konstanterne a, b og c påvirker grafens udseende. 4 2 f (1) 3π 2π π π 2π 3π 2 4 (2) Figur 1.7: Graferne for f (x) = sin(x), g(x) = 2 sin(x) og h(x) = 4 sin(x). 4 2 (1) 3π 2π π π 2π 3π 2 4 (2) Figur 1.8: Graferne for f (x) = 3 sin(x), g(x) = 3 sin ( 1 2 x ) og h(x) = 3 sin(2x). h h g f g På figur 1.7 ses graferne for de tre funktioner f (x) = sin(x), g(x) = 2 sin(x) og h(x) = 4 sin(x). Disse tre funktioner adskiller sig kun i værdien af tallet a. Som man kan se har alle graferne samme form, men ikke samme højde. Tallet a bestemmer altså bølgehøjden dvs. afstanden fra førsteaksen til bølgetoppene på graferne. Herefter undersøges 3 funktioner med forskellige værdier af b. Det kunne f.eks. være f (x) = 3 sin(x), g(x) = 3 sin ( 1 2 x ) og h(x) = 3 sin(2x). Som det fremgår af figuren, har de tre grafer samme bølgehøjde hvilket skyldes, at de alle har a = 3 men de svinger til gengæld ikke lige hurtigt, dvs. de har forskellig periode. For funktionen sin(x) var perioden 2π. Dvs. når x løber fra 0 til 2π gennemfører grafen én svingning. Men hvad nu med funktionen f (x) = a sin(bx)? Denne funktion må gennemløbe en hel svingning, når bx går fra 0 til 2π. Man løser derfor de to ligninger bx = 0 og bx = 2π og får: bx = 0 x = 0 bx = 2π x = 2π b. Altså svarer funktionens periode til, at x løber fra 0 til 2π b. Det betyder, at jo større tallet b er, desto mindre er perioden, hvilket man også kan se på figur 1.8. Perioden T er altså T = 2π b. Det sidste tal, c, kan man også undersøge ved at tegne grafer for funktioner med forskellige værdier af c, se figur 1.9. De tre funktioner har forskrifterne f (x) = 3 sin ( 1 2 x ), g(x) = 3 sin ( 1 2 x + 2 ) og h(x) = 3 ( 1 2 x 1 ). Som man kan se, er de tre grafer parallelforskydninger af hinanden. Fordi sin(x) skærer førsteaksen, når x = 0, vil grafen for a sin(bx + c) skære førsteaksen, når bx + c = 0, dvs. når x = c b. Dette tal kaldes faseforskydningen, og det viser, hvor grafen skærer førsteaksen første gang. Idet grafen skærer førsteaksen, hver gang der er gået en halv periode, kan man finde

11 1.2 Svingninger 11 de andre skæringer med førsteaksen ved at lægge en halv periode et helt antal gange til faseforskydningen (eller trække den fra et helt antal gange). Idet perioden er T = 2π b, er en halv periode π b, og dvs. grafen skærer grafen førsteaksen i, c 2π, b c π, c b b c + π,, b c + 2π, b Resultaterne kan opsummeres i følgende sætning: Sætning 1.5 For funktionen f (x) = a sin(bx + c) er c + 3π,. b 1. a lig med amplituden (afstanden fra førsteaksen til en bølgetop), 2. perioden (dvs. afstanden fra bølgetop til bølgetop) givet ved 4 2 (1) 3π 2π π π 2π 3π 2 4 (2) Figur 1.9: Graferne for f (x) = 3 sin ( 1 2 x ), g(x) = 3 sin ( 1 2 x + 2 ) og h(x) = 3 ( 1 2 x 1 ). f g h og 3. faseforskydningen lig med c b. T = 2π b, Eksempel 1.6 Funktionen f (x) = 4,5 sin(0,43x + 1,2), har en amplitude på a = 4,5, dvs. bølgetoppene har en højde på 4,5 over førsteaksen. Konstanten b = 0,43, dvs. perioden er T = 2π 0,43 = 14,6. Faseforskydningen beregnes ud fra c = 1,2, og man får c b = 1,2 0,43 = 2,8. Grafen skærer altså førsteaksen i 2,8. Vil man finde de andre nulpunkter, kan man lægge en halv periode (dvs ,6 = 7,3) til eller trække den fra et vilkårligt antal gange. Cosinus Grafen for cosinus-funktionen er også en bølge. Men ifølge sætning 1.2, så er cos(x) = cos( x) = cos ( π 2 x π 2 ) = cos ( π 2 (x + π 2 )) = sin (x + π 2 ). Altså er cosinus-funktionen faktisk sinus-funktionen med en faseforskydning på π 2. Dvs. at en svingning, der kan beskrives vha. en cosinusfunktion, lige så godt kan beskrives vha. sinus.

12 12 Trigonometriske funktioner 1.3 Grader og radianer 1 Der er ingen matematisk grund til, at man har valgt tallet 360. Faktisk er det et levn fra det babyloniske 60-talssystem.[2] 5π 6 3π 4 π 180 2π π 6 3π 4 2π 3 π 2 90 π 2 π π 6 π 3 0 π 4 π 4 Figur 1.10: Sammenhængen mellem grader og radianer. (2) π 6 0,628 0 (1) Figur 1.11: 36 svarer til 0,628 radianer. 2 De tre funktioner kaldes undertiden også arccos, arcsin og arctan. arc står for arcus, som betyder bue på latin. arcsin er altså den bue, hvis sinus har en bestemt værdi. I computerprogrammer kaldes de tre funktioner i øvrigt ofte asin, acos og atan. Sinus og cosinus er ovenfor blevet defineret ud fra buelængder i enhedscirklen. Men i virkeligheden kunne man lige så godt have defineret dem ud fra de vinkler, som buerne udspænder. Man kan faktisk måle størrelsen af en vinkel ved at se, hvor stor en buelængde på enhedscirklen, den svarer til. Når man gør det, siger man at vinklen er målt i radianer. Vil man hellere have vinklen i grader, er det forholdsvist simpelt at regne om mellem de to mål. En cirkel svarer som bekendt til en vinkel på Da enhedscirklens omkreds er 2π, kommer 2π radianer altså til at svare til 360. Og en ret vinkel (90 ) kommer til at svare til π 2. Figur 1.10 viser sammenhængen mellem grader og radianer som vinkelmål. Da 2π i radianer svarer til en hel cirkel, og 360 også svarer til en hel cirkel, får man 360 = 2π 1 = π 180, dvs. man kan omregne fra grader til radianer ved at gange med π 180. Og man kan så regne om fra radianer til grader ved at gange med den omvendte brøk 180 π. Eksempel 1.7 Hvad er vinklen 36 i radianer? For at svare på dette spørgsmål beregnes 36 π 180 = 36π 180 = π 5 0, svarer altså til π 5 radianer. Dvs. en vinkel på 36 spænder over en bue med længden 0,628 i enhedscirklen, se figur Hvis man betragter de trigonometriske funktioner som matematiske funktioner, vil man normalt ikke regne i grader. Men de trigonometriske funktioner finder også anvendelse i løsningen af geometriske problemer, hvor de kan bruges til at omregne mellem længder og vinkler og her vil det være naturligt at angive vinklerne i grader, frem for i radianer. 1.4 Inverse trigonometriske funktioner I dette afsnit gennemgås de såkaldt inverse trigonometriske funktioner sin 1, cos 1 og tan 1. 2 De tre funktioner bruges til at løse ligninger, hvor man kender sinus, cosinus eller tangens til den ubekendte. De giver altså buelængden, hvis man kender enten cosinus, sinus eller tangens. Eksempel 1.8 For at løse ligningen cos(x) = 0,8 bruges cos 1 : cos(x) = 0,8 v = cos 1 (0,8). cos 1 (0,8) regnes ud på en lommeregner, og man får x = cos 1 (0,8) = 0,644.

13 1.5 Ligninger med cos og sin 13 Eksempel 1.9 Ligningen sin(b) = 0,5 løses således: sin(b) = 0,5 B = sin 1 (0,5) = 0,524. Som det fremgår af eksemplerne ovenfor, får man kun én løsning. Men cosinus og sinus er periodiske funktioner, så ligningerne har i princippet uendeligt mange løsninger. Men en udregning på en lommeregner kan selvfølgelig kun give én. Spørgsmålet er så, hvilken? Det viser sig at der gælder følgende: 1. cos 1 giver altid tal i intervallet fra 0 til π. 2. sin 1 giver altid resultater i intervallet fra π 2 til π tan 1 giver altid resultater i intervallet fra π 2 til π 2. Hvis man vil finde flere løsninger, skal man derfor tænke sig godt om eller løse ligningerne grafisk vha. et CAS-værktøj. 1.5 Ligninger med cos og sin (2) π sin 1 (a) 1 I dette afsnit gennemgås, hvordan man kan løse ligninger med cosinus og sinus og finde alle løsningerne. Fordi sinus og cosinus er periodiske, så vil ligninger, der involverer disse funktioner, som tidligere nævnt ofte have mere end én løsning og typisk uendeligt mange løsninger. a sin 1 (a) 1 (1) Hvis man f.eks. skal løse ligningen sin(x) = a, hvor a er et eller andet tal, er en af løsningerne x = sin 1 (a). Men sin 1 giver som nævnt ovenfor kun den af løsningerne, der ligger mellem π 2 og π 2.3 På figur 1.12 kan man se angivet på enhedscirklen, at der også er en anden løsning, som er givet ved Figur 1.12: Ligningen sin(x) = a har to løsninger mellem 0 og 2π. 3 Hvilket svarer til 90 og 90. x = π sin 1 (a). Idet man kan lægge et helt antal gange 2π til x og få de samme funktionsværdier, betyder det, at ligningen sin(x) = a har løsningerne x = sin 1 (a) + k 2π x = π sin 1 (a) + k 2π, k Z. k Z betyder, at k er et helt tal. Samme type argument kan man lave for ligningen cos(x) = a, sådan at man får følgende sætning. 4 4 Bemærk i øvrigt, at 1 a 1, idet funktionsværdierne for både cos og sin ligger i dette interval.

14 14 Trigonometriske funktioner Sætning 1.10 Når 1 a 1, gælder 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 (2) Figur 1.13: Løsningerne til sin(x) = 0,7 kan findes ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse skæringspunkternes førstekoordinater. 1. Ligningen cos(x) = a har løsningerne x = cos 1 (a) + k 2π x = cos 1 (a) + k 2π, k Z. 2. Ligningen sin(x) = a har løsningerne x = sin 1 (a) + k 2π x = π sin 1 (a) + k 2π, k Z. Eksempel 1.11 Løsningerne til ligningen sin(x) = 0,7 kan bestemmes grafisk ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse førstekoordinaterne til skæringspunkterne (se figur 1.13). Bruger man i stedet sætning 1.10, finder man løsningerne x = sin 1 (0,7) + k 2π x = π sin 1 (0,7) + k 2π, k Z, 5 Her regner man ud, hvad sin 1 (0,7) og π sin 1 (0,7) rent faktisk giver. dvs. 5 x = 0, k 2π x = 2, k 2π, k Z. Eksempel 1.12 Ligningen løser man ved først at isolere cos(x): 3 cos(x) 1 = 0,8 3 cos(x) 1 = 0,8 3 cos(x) = 1,8 cos(x) = 0,6. Herefter bruger man sætning 1.10, og får x = cos 1 (0,6) + k 2π x = cos 1 (0,6) + k 2π, k Z, som kan reduceres til x = 0, k 2π x = 0, k 2π, k Z. Eksempel 1.13 Løsningerne til ligningen sin(2x 1) = 0,3 finder man også ved at bruge sætning Nu står der 2x 1 i parentesen, så man får 2x 1 = sin 1 (0,3) + k 2π 2x 1 = π sin 1 (0,3) + k 2π, k Z. I disse to ligninger isolerer man x: x = sin 1 (0,3) + k 2π x = π sin 1 (0,3) + k 2π

15 1.5 Ligninger med cos og sin 15 Reducerer man, fås dvs. x = 1, k 2π 2 x = k 2π 2 x = 0, k π x = 1, k π, k Z., Ved at se på enhedscirklen og argumentere, som der blev gjort i foregående afsnit, kan man også komme frem til følgende sætning, som ikke bevises her. Sætning 1.14 Ligningen tan(x) = a har løsningerne x = tan 1 (a) + k π, k Z. Eksempel 1.15 Ligningen tan(x) = 0,5 kan man løse ved at bruge sætning 1.14: x = tan 1 (0,5) + k π, k Z, dvs. x = π 4 + k π, k Z. Eksempel 1.16 Ligningen 4 tan(x) + 7 = 10 løser man også ved at bruge sætning Blot skal man her først isolere tan(x): 4 tan(x) + 7 = 10 4 tan(x) = 3 tan(x) = 3 4. Herefter kan man bruge sætningen, hvorved man får dvs. x = tan 1 3 ( 4 ) + k π, k Z, x = 0, k π, k Z.

16

17 Vektorer i planen 2 Hvis man kigger på et sted i et 2-dimensionalt koordinatsystem, kan man udtrykke stedets placering som et punkt (x; y), hvor x-koordinaten angiver stedets placering højre/venstre, mens y-koordinaten angiver placeringen op/ned. Men hvis man bevæger sig i et koordinatsystem, så kan man også angive bevægelsen ved et koordinatsæt, som viser hvor mange enheder, man har bevæget sig højre/venstre, og hvor mange enheder, man har bevæget sig op/ned. En sådan rutebeskrivelse kalder man en vektor, og den vises ofte med en pil i et koordinatsystem. Et par eksempler på vektorer kan ses på figur 2.1. Bemærk, at koordinatsættet for en vektor skrives lodret. Det gør man for at den ikke skal forveksles med et punkt. Vektoren 1 ( 2 ) 2 ( 0) 0 ( 0) 3 ( 3) 1 ( 2 ) Figur 2.1: Eksempler på vektorer i planen. beskriver altså følgende bevægelse i et koordinatsystem: 1 enhed mod venstre og 2 enheder opad. Symbolet for en vektor er et bogstav med en pil over, f.eks. # a. Pilen over a et viser, at der er tale om en vektor. Man har altså følgende definition på en vektor. Definition 2.1 En vektor i planen er en matematisk størrelse, der angiver en bevægelse i planen vha. to koordinater: # b # a = ( a x a y ). Det er her vigtigt at pointere, at en vektor kun er fastlagt af sine koordinater, og ikke ligger et bestemt sted. Enhver pil med samme retning er derfor en repræsentant for den samme vektor. For vektorerne på figur 2.2 gælder derfor, at # a = # b, 4 ( 5) # a 4 ( 5) Figur 2.2: To repræsentanter for den samme vektor. fordi de to pile har de samme koordinater (nemlig 4 mod højre, 5 op). De repræsenterer altså den samme vektor. 17

18 18 Vektorer i planen 4 # a = ( 3 4 ) I stedet for at tale om vektorens koordinater, kan man også tale om, at vektoren har en længde og en retning. Længden af vektoren svarer til længden af en pil, der repræsenterer vektoren. Denne længde kan findes vha. Pythagoras sætning. Ser man på figur 2.3, ser man, at pilen, der repræsenterer vektoren # a = ( 3 4 ), er hypotenuse i en retvinklet trekant, hvor kateterne er hhv. 3 og 4. Vektorens længde # a kan altså beregnes ved at bruge Pythagoras sætning på vektorens koordinater # a = ( 3) = 5. 3 Figur 2.3: Længden af en vektor kan findes vha. Pythagoras sætning. Der gælder derfor følgende sætning: Sætning 2.2 Hvis vektoren # a har koordinaterne # a x a =, så er vektorens længde ( a y ) # a = a 2 x + a 2 y. En speciel vektor er i øvrigt den vektor, der har koordinaterne ( 0 0). Det er den eneste vektor, der har længden 0, den kaldes derfor nulvektoren, # 0 : Definition 2.3 Den vektor, hvis længde er 0, kaldes nulvektoren, # 0. 1 (2) 1 A # AB # AB B (1) Figur 2.4: To repræsentanter for vektoren # AB. Da denne vektors længde er 0, har den ingen retning. Man kalder den derfor for en uegentlig vektor. Har man to punkter i planen, fastlægger disse en vektor. På figur 2.4 ses to repræsentater for vektoren AB. # Pilen fra A til B fastlægger vektoren AB; # men fordi alle pile med samme længde og retning er repræsentanter for den samme vektor, kan man altså lige så godt tegne vektoren et andet sted som det også er gjort på figuren. Man har følgende definition: Definition 2.4 Hvis A og B er to punkter i planen, så er vektoren # AB den vektor, der kan repræsenteres ved en pil fra A til B. Koordinaterne for vektoren # AB kan man finde ved at undersøge, hvor meget x-koordinaterne ændrer sig, når man flytter sig fra A til B. Hvis de to punkters koordinater er A(x 1 ; y 1 ) og B(x 2 ; y 2 ), så må x-koordinaten vokse med x 2 x 1 og y-koordinaten vokse med y 2 y 1. Man har derfor følgende sætning:

19 2.1 Addition og subtraktion 19 Sætning 2.5 Vektoren # AB mellem punkterne A(x 1 ; y 1 ) og B(x 2 ; y 2 ) har koordinaterne # AB = ( x 2 x 1 y 2 y 1 ). Hvis man har ét punkt i et koordinatsystem, kan man herudfra definere en vektor, der har samme koordinater som punktet, dette er en såkaldt stedvektor, der går fra origo (dvs. (0; 0)) til punktet (se figur 2.5). Definition 2.6 Hvis A(x 0 ; y 0 ) er et punkt i et koordinatsystem, defineres stedvektoren til punktet som # OA = ( x 0 y 0 ). # OA er vektoren fra O(0; 0) til A(x 0 ; y 0 ). O (2) A(x 0 ; y 0 ) # OA = ( x 0 y 0 ) (1) Figur 2.5: Vektoren # OA har samme koordinater som punktet A. 2.1 Addition og subtraktion I dette afsnit beskrives det, hvordan man regner med vektorer. Vektorer kan lægges sammen og trækkes fra hinanden. Disse operationer er ganske enkelt defineret ved, at man regner på koordinaterne hver for sig. Definition 2.7 Hvis der er givet to vektorer så definerer man # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ), # a + # b = ( a x + b x a y + b y ) og # a # b = ( a x b x a y b y ). Ved at analysere figur 2.6 kan man forholdsvist let argumentere for følgende sætning: Sætning 2.8 # b Summen # a + # b af de to vektorer # a og # b er den vektor, man får ved at tegne en pil fra # a s begyndelsespunkt til # b s slutpunkt, når vektor # a # b lægges i forlængelse af vektor # a. Man kan også gange en vektor med et tal. Dette defineres på følgende måde: # a + # b Figur 2.6: Addition af vektorer.

20 20 Vektorer i planen Definition 2.9 Lad # a x a = være en vektor, og lad t være et tal. Så er ( a y ) 1 # 2 a 2 # a 2 # a # a 3 # a t # a = ( t a x t a y ). Fra denne defininition følger det, at når man ganger en vektor med t, bliver den t gange så lang og hvis t < 0, så skifter vektoren retning. Dette er illustreret på figur 2.7. For vektorer mellem punkter gælder specielt følgende vigtige sætning, som er illustreret på figur 2.8. Figur 2.7: Multiplikation af en vektor med et tal. C B Sætning 2.10: Indskudssætningen Hvis A, B og C er tre punkter i planen, så er # AB = AC # + CB #. A Figur 2.8: Indskudssætningen: AB # = AC # + # CB. Bevis Lad de tre punkter have koordinaterne A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) og C(x 3 ; y 3 ). Så er # AC + CB # x 2 x 3 = ( y 2 y 3 ) + x 3 x 1 ( y 3 y 1 ) = x 2 x 3 + x 3 x 1 ( y 2 y 3 + y 3 y 1 ) = ( x 2 x 1 y 2 y 1 ) = # AB. Idet der altså gælder, at # AC + # CB = # AB, er sætningen bevist. 2.2 Vektorer og vinkler Selvom vektorer ikke ligger et bestemt sted, men betegner en bevægelse, kan man alligevel sammenligne dem geometrisk. Idet vektorer angiver en retning, kan man nemlig tale om, hvilken vinkel de danner med hinanden, og om de er parallelle eller ortogonale. Den følgende definition omhandler de forskellige tilfælde:

21 2.3 Skalarprodukt 21 Definition 2.11 To vektorer # a og # b kaldes Ensrettede hvis # a og # b peger i samme parallelle retning. Modsat rettede hvis # a og # b peger i modsatte parallelle retninger. Parallelle, # a # b hvis # a og # b er enten ensrettede eller modsat rettede. Ortogonale, # a # b hvis # a står vinkelret på # b. Da nulvektoren ikke er en egentlig vektor er denne hverken parallel med eller vinkelret på nogen anden vektor. Ovenstående definition handler indirekte om vinkler mellem vektorer. Skal man måle vinklen mellem vektorer direkte, kan den måles på forskellig vis. Enten kan man måle den mindst mulige vinkel. Eller man kan måle vinklen ved at gå i en bestemt retning fra den ene vektor til den anden. w # a v = ( # a, # b ) # b Definition 2.12: Vinkler mellem vektorer Hvis # a og # b er to vektorer, definerer man Figur 2.9: Vinklen v er vinklen mellem # a og # b, og w er vinklen fra # a til # b. 1. vinklen mellem vektorerne # a og # b, som er den mindste vinkel, der udspændes mellem vektorerne, og 2. vinklen fra # a til # b, som er den vinkel, man får ved at bevæge sig fra vektor # a til vektor # b i positiv omløbsretning. 1 Vinklen mellem vektorerne # a og # b betegnes også med ( # a, # b ). Forskellen på de to vinkler kan ses på figur Husk at positiv omløbsretning er mod uret. Vinklen mellem # a og # b er altså en vinkel mellem 0 og 180, mens vinklen fra # a til # b er en vinkel mellem 0 og Skalarprodukt Indtil videre er der kun set på addition og subtraktion, når man regner med vektorer. Der findes dog for vektorer i planen også en form for multiplikation. Det er ikke muligt at gange to vektorer med hinanden og få en ny vektor; men der findes en form for multiplikation, som kaldes skalarproduktet, 2 hvor resultatet er en skalar, dvs. et tal. 2 Det kaldes også somme tider prikproduktet, fordi symbolet er en prik.

22 22 Vektorer i planen Definition 2.13: Skalarprodukt Hvis de to vektorer # a og # b har koordinaterne # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ), så er skalarproduktet af de to vektorer tallet # a # b = ax b x + a y b y. Eksempel 2.14 Hvis # a = ( 3 2) og # b = ( 8 5), så er # a # b = ( 5) = 24 + ( 10) = 14. Bemærk i øvrigt, at når man regner med almindelige variable, er det normalt at udelade gangetegnet og skrive f.eks. ab i stedet for a b; men for vektorer skal man altid skrive symbolet. Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet: Sætning 2.15 Hvis # a, # b og # c er vektorer, gælder der # a # a = # a 2. (længde og skalarprodukt) # a # b = # b # a. (den kommutative lov) # a ( # b + # c ) = # a # b + # a # c. 4. ( # a + # b ) # c = # a # c + # b # c. 5. ( # a + # b ) ( # a + # b ) = # a 2 + # b # a # b. 6. ( # a # b ) ( # a # b ) = # a 2 + # b 2 2 # a # b. 7. ( # a + # b ) ( # a # b ) = # a 2 # b 2. (den distributive lov) Bevis Alle regnereglerne kan bevises ved regning med koordinater. Her bevises 1, 3 og 5; resten overlades til læseren. Hvis # a x a =, så er ( a y ) Hermed er 1 bevist. # a # a = ax a x + a y a y = a 2 x + a 2 y = ( a 2 x + a 2 y)2 = # a 2.

23 2.3 Skalarprodukt 23 Hvis de tre vektorer # a, # b og # c har koordinaterne # a = ( a x a y ), # b = ( b x b y ) og # c = ( c x c y ), så er hvilket beviser 3. # # a ( b + # a x c ) = ( a y ) b x + c x ( b y + c y ) = a x (b x + c x ) + a y (b y + c y ) = a x b x + a x c x + a y b y + a y c y = a x b x + a y b y + a x c x + a y c y = # a # b + # a # c, For de to vektorer # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ) gælder ( # a + # b ) # # a x + b x ( a + b ) = ( a y + b y ) a x + b x ( a y + b y ) = (a x + b x )(a x + b x ) + (a y + b y )(a y + b y ) = a 2 x + b 2 x + 2a x b x + a 2 y + b 2 y + 2a y b y = (a 2 x + a 2 y) + (b 2 x + b 2 y) + 2(a x b x + a y b y ) = # a 2 + # b # a # b, (2) hvorved også 5 er bevist. # b Skalarproduktet viser sig at være en praktisk størrelse, fordi det kan fortælle noget om, hvordan vektorer ligger i forhold til hinanden. På figur 2.10 ses to vektorer # a og # b, hvor # a er placeret langs med førsteaksen, og vektoren # b danner vinklen v med førsteaksen. Man kan derfor skrive de to vektorers 1 (cos(v); sin(v)) v # 1 a (1) koordinater som # a = ( # a 0 ) og # # b cos(v) b = ( # b sin(v)). Figur 2.10: Vektor # a og # b sammen med enhedscirklen. Skalarproduktet mellem disse to vektorer bliver så # a # b = # a # b cos(v) + 0 # b sin(v) = # a # b cos(v), hvor v er vinklen mellem vektorerne. Det viser sig, at denne formel gælder generelt, og ikke kun, hvis vektorerne er placeret som på figur Man har altså følgende sætning:

24 24 Vektorer i planen Sætning 2.16 Hvis v = ( # a, # b ), så er # a # b = # a # b cos(v). # a = ( 1 6 ) 60,8 # b = ( 5 4) Hvis man skriver lidt om på formlen i denne sætning, får man cos(v) = # a # b # a # b, som kan bruges direkte til at bestemme vinklen mellem to vektorer. Eksempel 2.17 Her beregnes vinklen mellem de to vektorer # a = ( 1 6 ) og # b = ( 5 4). Først beregnes de to vektorers længder: Figur 2.11: Vinklen mellem vektor # a og # b er 60,8. # a = ( 1) = = 37 # b = = = 41. Disse kan nu indsættes i formlen cos(v) = # a # b # a # b = ( og man finder vinklen v ) ( 4) = = v = cos 1 19 ( 1517 ) = 60,8. Altså er vinklen mellem de to vektorer 60,8 (se figur 2.11) , Vinklen mellem to vektorer ligger mellem 0 og 180. Hvis der for en vinkel v gælder, at 0 v < 90, er cos(v) > 0. Hvis 90 < v 180, er cos(v) < 0. Specielt for v = 90 gælder cos(v) = 0. Sætning 2.16 fører derfor til følgende: Sætning 2.18 Lad v være vinklen mellem de to vektorer # a og # b. Der gælder da 1. Hvis # a # b > 0, så er 0 v < Hvis # a # b = 0, så er v = 90, dvs. # a # b. 3. Hvis # a # b < 0, så er 90 < v 180. Denne sætning giver en nem test for, om to vektorer er ortogonale. Man skal blot beregne deres skalarprodukt. Hvis det giver 0, så er vektorerne ortogonale. Ellers er de ikke.

25 2.4 Vektorprojektion 25 # a # b # a Figur 2.12: Projektionen af # a på # b, når vinklen mellem de to vektorer er hhv. spids og stump. # a # b (a) Spids vinkel. # a # b # b (b) Stump vinkel. Eksempel 2.19 For de to vektorer # a = ( 2 6) og # b = ( 3 1) er # # 2 a b = ( 6) 3 ( 1) = ( 1) = 0. Da # a # b = 0 er disse to vektorer ortogonale. Eksempel 2.20 Der er givet to vektorer # a = ( 2 t) og # b = ( 3 4), hvor t er et tal. Hvis de to vektorer er ortogonale, hvad er så tallet t? Her beregnes først # # 2 a b = ( t) 3 = t 4 = 6 + 4t. ( 4) Idet de to vektorer er ortogonale, er # a # b = 0, dvs t = 0 4t = 6 t = 6 4 = 3 2. Hvis de to vektorer er ortogonale, har man altså, at t = Vektorprojektion At projicere vektor # a på # b gøres ved at nedfælde vektor # a vinkelret på vektor # b. Det illustreres lettest ved at lade de to vektorer have samme begyndelsespunkt. På figur 2.12 ses, hvordan vektor # a # b, der er projektionen af # a på # b, ligger, når vinklen mellem de to vektorer er spids, og når den er stump. Som man kan se på figuren er # a # b # b, og de to vektorer er ensrettede, hvis vinklen mellem # a og # b er spids, og modsat rettede, hvis den er stump. Koordinaterne til # a # b kan bestemmes vha. følgende sætning:

26 26 Vektorer i planen # c # a # b Sætning 2.21 For projektionen # a # b af vektor # a på # b, gælder at og # a # b = # a # b = # # a b # 2 # b, b # a # b #. b Bevis På figur 2.13 ses det stumpvinklede tilfælde. Der er tillige indtegnet en vektor # c, som opfylder # a # b + # c = # a # c = # a # a # b. # a # b Figur 2.13: Projektionen af # a på # b, når vinklen mellem # a og # b er stump. Idet # a # b # b, findes der et tal t, så # a # b = t # b, dvs. # c = # a t # b. Tager man skalarproduktet med # b på begge sider af denne ligning, får man # c # b = ( # a t # b ) # b. Men # c # b = 0, da disse to vektorer står vinkelret på hinanden, så ligningen kan omskrives til 0 = ( # a t # b ) # b 0 = # a # b t # b # b 0 = # a # b t # b 2 t = Da # a # b = t # b, får man altså # # a b # 2. b # a # b = # # a b # 2 # b. b Den anden del af sætningen omhandler længden af projektionsvektoren. Men da man kender en formel for vektoren, tager man blot længden af denne og får # # # a # a b b = # 2 # b = # a # b # # 2 b = # a # b #, b b b og sætningen er dermed vist.

27 2.5 Determinant 27 Eksempel 2.22 Hvis # a = ( 8 4) så er # a s projektion på # b og # b = ( 3 9), # b 8 # a # b = ( 4) 3 ( 9) ( 9) = ( 3 9) = ( 9) = 2 ( 6). # a # b # a Vektorerne kan ses på figur Figur 2.14: Projektionen af # a på # b. 2.5 Determinant Vha. skalarproduktet kan man afgøre, om to vektorer er ortogonale. Der findes en anden størrelse, determinanten, som kan bruges til at afgøre om vektorer er parallelle. Før determinanten kan defineres, skal man dog lige have defineret følgende: Definition 2.23 For en vektor # a defineres tværvektoren # a som den vektor, man får ved at dreje # a 90 i positiv omløbsretning (dvs. mod uret). # a Et eksempel på en tværvektor kan ses på figur En tværvektors koordinater er givet ud fra den oprindelige vektors koordinater: Figur 2.15: Tværvektoren # a til # a. # a Sætning 2.24 Hvis # a = ( a x a y ), så er # a = ( a y a x ). Bevis (skitse) På figur 2.16 er de to vektorer # a og # a indtegnet i et koordinatsystem. Som det ses af figuren er # a y a = ( a x ). a x # a # a a y For tværvektorer gælder følgende sætning, som kan bevises ved regning med koordinater: Sætning 2.25 a y Figur 2.16: Koordinaterne til # a kan findes ud fra koordinaterne til # a. a x For to vektorer # a og # b gælder # a = # a, og # a + # b = # a + # b.

28 28 Vektorer i planen Determinanten af to vektorer # a og # b er defineret ud fra tværvektoren til # a og skalarproduktet. Man har følgende: Definition 2.26 For to vektorer # a og # b definerer man determinanten, det ( # a, # b ) = # a # b. Hvis de to vektorer har koordinaterne # a x a = ( a y ) og # b x b = ( b y ) skriver man også det # # a x b x ( a, b ) = = a x b y a y b x. a y b y a x b x Notationen er opfundet for gøre beregningen af determinanten a y b y mere overskuelig. Den skal forstås på den måde, at man først beregner produktet af diagonalen fra øverste venstre hjørne til nederste højre, og derefter fratrækker produktet af diagonalen fra nederste venstre hjørne til øverste højre: a x b x = a x b y a y b x. a y b y Eksempel 2.27 Determinanten af de to vektorer # a = ( 3 2) og # b = ( 4 1 ) er det # # 3 4 ( a, b ) = = ( 4) = 3 ( 8) = Når man tager determinanten af to vektorer # a og # b er rækkefølgen ikke ligegyldig. Følgende sætning angiver en række regneregler for determinanten: Sætning 2.28 For vektorerne # a, # b og # c gælder der 1. det ( # b, # a ) = det ( # a, # b ), 2. det ( # a + # b, # c ) = det ( # a, # c ) + det ( # b, # c ), 3. det ( # a, # b + # c ) = det ( # a, # b ) + det ( # a, # c ).

29 2.5 Determinant 29 Bevis Den første del kan bevises ved regning med koordinater. Hvis # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ), så er # det ( b, # a ) = b x b y a x a y = b x a y b y a x = a y b x a x b y = (a x b y a y b x ) = det ( # a, # b ). For det ( # a + # b, # c ) gælder der ifølge sætning 2.15 og 2.25 samt definition 2.26, at det ( # a + # b, # c ) = ( # a + # b ) # c = ( # a + # b ) # c = # a # c + # b # c = det ( # a, # c ) + det ( # b, # c ). Den sidste del af beviset overlades som en øvelse til læseren. Hvis det ( # a, # b ) = 0 er # a # b = 0. Ifølge sætning 2.18 betyder det, at # a og # b er ortogonale. Hvis # a og # b er ortogonale, må # a og # b være parallelle. Der gælder derfor følgende sætning: Sætning 2.29 For to vektorer # a og # b gælder der det ( # a, # b ) = 0 # a # b. Man kan derfor ved at beregne determinanten afgøre, om to vektorer er parallelle. Det viser sig, at determinanten har en geometrisk fortolkning. Størrelsen af determinanten er nemlig lig arealet af det parallelogram, der udspændes af de to vektorer. Der gælder altså: Sætning 2.30 Det parallelogram, der udspændes af de to vektorer # a og # b har arealet P = det ( # a, # b ). # b # a # a # b P Bevis På figur 2.17 ses parallelogrammet udspændt af de to vektorer # a og # b. Parallelogrammets grundlinje udgøres af vektor # a, dvs. dens længde er # a. # a Figur 2.17: Parallelogrammet udspændt af # a og # b.

30 30 Vektorer i planen På figuren er også indtegnet # a samt projektionen # b # a af # b på denne vektor. Vektoren # b # a står vinkelret på # a, og dens længde svarer til afstanden mellem to parallelle sider i parallelogrammet. Arealet P må derfor have størrelsen P = # b # a # a. Vha. sætning 2.21 kan dette omskrives til P = # b # a # # a. a Men da # a = # a er dette det samme som P = # b # a # # a = b # a = a det # # ( a, b ). Eksempel 2.31 Her beregnes arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne # 3 a = ( 2) og # 5 b = ( 1) Ifølge sætning 2.30 er arealet det ( # a, # b 3 5 ) = = = 7 = Arealet af parallelogrammet er altså 7. Eksempel 2.32 De to vektorer # a = ( 2 t) og # b = ( 1 4), udspænder et parallelogram med areal 10. Hvad er tallet t? Anvender man sætning 2.30 kan man opstille et udtryk for arealet: det ( # a, # b 2 1 ) = = 2 4 t 1 = 8 t. t 4 Da man ved, at arealet er 10, får man derfor ligningen 8 t = 10. Idet der er tale om en ligning med numerisk værdi, er der i virkeligheden to ligninger. Hvis 8 t giver 10, er ligningen opfyldt; men det er den også, hvis 8 t giver 10, dvs. 8 t = 10 8 t = 10 t = 2 t = 18. Altså er arealet af parallelogrammet 10, hvis t = 2 eller t = 18.

31 2.5 Determinant 31 Figur 2.18: Placeringen af # a og # b i forhold til hinanden, afgør hvordan man skal beregne w, som er vinklen mellem # a og # b. # a # a w # b v # a v w # b # a (a) w = 90 v (b) w = v 90 Hvis en trekant har hjørner i punkterne A, B og C, vil dens areal være halvdelen af arealet af det parallelogram, der er udspændt af vektorerne # AB og AC. # Man kan derfor ud fra sætning 2.30 komme frem til følgende sætning, der omhandler arealet af trekanter: Sætning 2.33 Trekanten med hjørner i punkterne A, B og C har arealet T = 1 2 det ( AB, # AC) #. Eksempel 2.34 En trekant har hjørner i punkterne A( 1; 3), B(0; 5) og C(7; 2). Arealet af denne trekant kan bestemmes vha. sætning Først beregnes koordinaterne til vektorerne AB # og AC. # Man får # 0 ( 1) AB = ( 5 3 ) = 1 ( 2) # 7 ( 1) AC = ( 2 3 ) = 8 ( 1). Arealet af trekant ABC kan nu beregnes: T = 1 2 det ( AB, # AC) # = 1 2 Arealet af trekant ABC er altså = ( 1) 2 8 = = Ind til videre er det kun den numeriske værdi af determinanten, der har fået en geometrisk fortolkning. Det viser sig dog, at man kan angive en formel, der knytter værdien af determinanten (med fortegn) til geometrien af vektorerne. Sætning 2.35 Hvis der er givet to vektorer # a og # b, og v er vinklen fra # a til # b, så er det ( # a, # b ) = # a # b sin(v).

32 32 Vektorer i planen Bevis Hvis v er vinklen fra # a til # b, så kan vinklen w mellem # a og # b beregnes som w = 90 v når 0 v < v < 360 w = v 90 når 90 v < 270 Sammenhængen mellem v og w kan findes ved at analysere placeringen af # a, # a og # b, se figur Det betyder, at cos(w) = cos(90 v) = sin(v), eller cos(w) = cos(v 90 ) = cos( (90 v)) = cos(90 v) = sin(v). I begge tilfælde er altså cos(w) = sin(v). 3 I beregningen udnyttes, at a = # # a, da Det betyder, at 3 en tværvektor har samme længde som den oprindelige vektor. det( # a, # b ) = # # a b = # # a b cos(w) = # a # b sin(v). Hermed er sætningen bevist.

33 Plangeometri 3 Plangeometri handler, som navnet måske antyder, om geometri i planen. I dette kapitel ses derfor på punkter, linjer og cirkler, og sammenhænge mellem disse. Hvis man lægger et koordinatsystem ind i planen, kan man tale om punkter ud fra deres koordinatsæt. Vha. punkter og vektorer kan man dernæst udlede ligninger for de punkter, der f.eks. ligger på en linje eller på en cirkel. Det er nyttigt at kunne tale om afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Der gælder følgende sætning: Sætning 3.1 Afstanden mellem punkterne A(x 1 ; y 1 ) og B(x 2 ; y 2 ) er AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Bevis Afstanden fra A til B er lig med længden af vektoren # AB, dvs. AB = # AB = x 2 x 1 ( y 2 y 1 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (2) AB B(x 2 ; y 2 ) y 2 y 1 Sætningen kan også bevises ved at se linjen AB som hypotenusen i en retvinklet trekant, og derefter anvende Pythagoras sætning. Se figur 3.1. A(x 1 ; y 1 ) x 2 x 1 (1) 3.1 Linjens parameterfremstilling En linje i et koordinatsystem kan beskrives ud fra et punkt på linjen og den retning, linjen har i koordinatsystemet. Når man skal beskrive en linjes retning, kan dette gøres vha. en vektor. Figur 3.1: Afstanden mellem to punkter kan findes vha. Pythagoras sætning. Definition 3.2 En vektor # r, der er parallel med en linje l, kaldes en retningsvektor for l. En vektor # n, der står vinkelret på en linje l, kaldes en normalvektor for l. 33

34 34 Plangeometri Det er her vigtigt at bemærke, at en linje ikke har én retningsvektor, men uendeligt mange. Hvis # r er en retningsvektor, så vil enhver vektor, der er parallel med # r, nemlig også være en retningsvektor. Det samme gælder for en normalvektor. Når man skal beskrive linjen er det ligeledes ligegyldigt, hvilket punkt man starter med. En linje indeholder uendeligt mange punkter, og ethvert af disse koblet med en retningsvektor kan bruges til at beskrive linjen. # P 0 P = t # r P # OP O (2) P 0 # OP 0 # r l (1) Figur 3.2: Ud fra denne figur kan man udlede en sammenhæng mellem et tilfældigt punkt P på linjen, det kendte punkt P 0 og retningsvektoren # r. Har man et punkt og en retningsvektor for en linje, kan linjen beskrives ved en såkaldt parameterfremstilling, som er en ligning, der fortæller, hvordan ethvert punkt på linjen kan beregnes ud fra et startpunkt og en retningsvektor. På figur 3.2 ses en linje l, et punkt P 0 (x 0 ; y 0 ) på linjen og en retningsvektor # r for linjen. På figuren er der også indtegnet et tilfældigt punkt P(x; y) på linjen. Ifølge indskudssætningen (sætning 2.10) gælder der # OP = OP # 0 + P # 0 P. Dette kan også ses på figuren. Men vektoren P # 0 P er parallel med # r, dvs. der findes et tal t, så P # 0 P = t # r. Altså får man ligningen # OP = OP # 0 + t # r. # OP og OP # 0 er stedvektorerne til de to punkter P(x; y) og P 0 (x 0 ; y 0 ), så det er vektorer, der har samme koordinater som de to punkter. Dvs. man kan sætte dette ind i ligningen og få x ( y) = x 0 ( y 0 ) + t # r. (3.1) Ethvert punkt P(x; y) på linjen kan findes ud fra denne ligning for en eller anden værdi af t. Lader man nu t gennemløbe alle de reelle tal, får man alle punkterne på linjen. En ligning af typen (3.1), hvor t R, kaldes en parameterfremstilling for linjen l. Tallet t, der gennemløber de reelle tal, kaldes parameteren. Der gælder altså Sætning 3.3 En parameterfremstilling for en linje i planen er givet ved x 0 x ( y) = ( y 0 ) + t ( r y ), t R, r x hvor (x 0 ; y 0 ) er et punkt på linjen, og # r x r = er en retningsvektor ( r y ) for linjen.

35 3.1 Linjens parameterfremstilling 35 Eksempel 3.4 Hvis en linje l går gennem punktet (3; 2) og har en retningsvektor # 1 r =, så er dens parameterfremstilling ( 5 ) l x ( y) = 3 ( 2) + t 1 ( 5 ), t R. Eksempel 3.5 Her findes en parameterfremstilling for den linje m, der går gennem de to punkter A(3; 4) og B( 2; 6). For at kunne opskrive en parameterfremstilling, skal man bruge en retningsvektor. Da både A og B ligger på linjen, kan # AB bruges som retningsvektor. # 2 3 AB = ( 6 4 ) = 5 ( 2 ). Man skal tillige bruge et punkt, linjen går igennem. Her er det oplagt at vælge enten A eller B. Bruger man A bliver parameterfremstillingen (2) m x ( y) = 3 ( 4) + t 5 ( 2 ), t R. Punkterne A og B, linjen m og retningsvektoren # AB kan ses på figur 3.3. B( 2; 6) # r = # AB A(3; 4) Idet m går igennem uendeligt mange punkter og har uendeligt mange 5 retningsvektorer (alle vektorer, der er parallelle med ), er f.eks. ( 2 ) 1 1 m (1) x ( y) = 2 ( 6 ) + t 5 ( 2 ) og x ( y) = 3 ( 4) + t 10 ( 4 ) Figur 3.3: Punkterne A og B samt linjen m. også parameterfremstillinger for m. En parameterfremstilling er i virkeligheden en vektor-ligning, hvor koordinaterne til retningsvektoren er funktioner af parameteren t. Det ( y) x betyder, at man ud fra parameterfremstillingen x ( y) = x 0 ( y 0 ) + t r x ( r y ), t R, kan finde de to koordinatfunktioner x(t) og y(t) givet ved x(t) = x 0 + r x t og y(t) = y 0 + r y t. De to funktioner viser, hvordan punktets x- og y-koordinat ændrer sig som funktion af parameteren t. Parameteren t i en parameterfremstilling fortolkes derfor ofte som en tid. Dvs. efterhånden som tiden t går, bevæger punktet (x(t); y(t)) sig langs den kurve, som parameterfremstillingen angiver. 1 Hvis to linjer ikke er parallelle, har de et skæringspunkt. Koordinatfunktionerne kan her bruges til at bestemme skæringspunktet mellem to linjer. 1 Det er ikke kun linjer, der har parameterfremstillinger. Der kan stilles parameterfremstillinger op for uendeligt mange forskellige kurver i et koordinatsystem, f.eks. cirkler eller parabler.

36 36 Plangeometri 2 Når man opstiller flere parameterfremstillinger, er det vigtigt at parametrene kaldes noget forskelligt, da det ikke drejer sig om den samme variabel. Eksempel 3.6 To linjer er givet ved parameterfremstillingerne 2 l m x ( y) = 3 ( 3) + t 1 ( 6 ), t R x ( y) = 4 ( 1 ) + s 5 ( 8), s R For linjen l er koordinatfunktionerne derfor og for m får man x l = 3 + t ( 1) og y l = 3 + t 6, x m = 4 + s (5) og y m = 1 + s 8. For at finde skæringspunktet skal man finde den værdi af t og den værdi af s, der giver samme punkt, når man sætter dem ind i ligningerne. Dvs. de værdier for t og s, hvor x l = x m og y l = y m. Det giver to ligninger med to ubekendte: 3 t = 4 + 5s (3.2) 3 + 6t = 1 + 8s. Disse to ligninger kan løses vha. lige store koefficienters metode. Forlænger man den øverste ligning med 6, får man 18 6t = s 3 + 6t = 1 + 8s. Lægger man disse to ligninger sammen, forsvinder parameteren t; man får nemlig 15 = s s = 1. Da man nu kender parameteren s, kan skæringspunktet beregnes ud fra parameterfremstillingen for m. Sætter man s = 1 i parameterfremstillingen får man x ( y) = 4 ( 1 ) ( 8) = 1 ( 9). Altså skærer de to linjer hinanden i (1; 9). Hvis man vil bekræfte denne beregning, kan man beregne værdien af parameteren t, f.eks. vha. ligningen (3.2). Sætter man s = 1 ind i denne ligning, får man 3 t = t = 2. Når man sætter t = 2 ind i parameterfremstillingen for l, får man x ( y) = 3 ( 3) ( 6 ) = 1 ( 9), hvilket blot bekræfter, at de to linjer skærer hinanden i (1; 9).

37 3.2 Linjens ligning Linjens ligning Som bekendt kan linjer også beskrives ved ligninger. En parameterfremstilling for en linje kan derfor altid omskrives til en ligning for linjen. Antag f.eks., at en given linje l har parameterfremstillingen l x ( y) = x 0 ( y 0 ) + t # r, t R. Så kan parameterfremstillingen omskrives til x x 0 ( y y 0 ) = t # r. (3.3) Tværvektoren # r til retningsvektoren # r står vinkelret på linjen. Den er derfor en normalvektor for linjen. Koordinaterne til denne normalvektor kan findes ud fra # r s koordinater. Nedenfor kaldes koordinaterne blot a og b, dvs. # r = ( a b). Hvis man tager skalarproduktet med denne vektor på begge sider af ligningen (3.3) får man # r ( x x 0 y y 0 ) = # r t # r, men fordi # r # r, giver højre side 0, dvs. man får # r ( x x 0 y y 0 ) = 0 a ( b) x x 0 ( y y 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0. Der gælder altså følgende sætning: Sætning 3.7 En linje, som går gennem punktet (x 0 ; y 0 ) og har normalvektor # n = a, kan beskrives ved ligningen ( b) a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0, der også kan skrives hvor c = ax 0 by 0. ax + by + c = 0, Eksempel 3.8 Linjen gennem (3; 1), som har normalvektoren # 5 n = ( 2) har ligningen 5(x 3) + ( 2)(y 1) = 0

38 38 Plangeometri 5x 15 2y + 2 = 0 5x 2y 13 = 0. Eksempel 3.9 Linjen med parameterfremstillingen l x ( y) = 1 ( 5 ) + t 4 ( 3), t R kan omskrives til en ligning ved først at finde en normalvektor. Her tages tværvektoren til linjens retningsvektor, dvs. # 4 n = ( 3) = ( 3) ( 4 ) = 3 ( 4). Linjen går gennem punktet ( 1; 5). Linjens ligning er derfor som kan reduceres til l 3(x ( 1)) + 4(y 5) = 0, l 3x + 4y 17 = 0. Det er vigtigt at bemærke, at tallet a, som optræder i ligningen ax+by+c = 0, ikke er en hældningskoefficient. Hvis b 0 kan linjen dog omskrives ax + by + c = 0 y = a b x c b. dvs. linjens hældningskoefficient er a b. Hvis b = 0 kan denne omskrivning ikke lade sig gøre, fordi man som bekendt ikke kan dividere med 0. Er b = 0 har linjens ligning formen ax + c = 0 x = c a, dvs. linjen er parallel med andenaksen (altså lodret ). 3 Linjens hældningskoefficient og skæring med andenaksen kaldes her α og β, for at de ikke skal forveksles med konstanterne a og b i ligningen ax + bx + c = 0. Formen ax + by + c = 0 kan altså beskrive enhver linje i et koordinatsystem, også de lodrette hvilket man ikke kan med en ligning på formen y = αx + β, 3 Ud fra ovenstående argument, får man sætningen Sætning 3.10 Hvis en linje er givet ved ligningen hvor b 0, kan den omskrives til ax + by + c = 0, y = αx + β, hvor α = a b er hældningskoefficienten, og β = c b er skæringen med andenaksen. Hvis b = 0 er linjen parallel med andenaksen og kan ikke omskrives til denne form.