Hamiltons princip. Et systems bane (i konfigurationsrummet) fra t 1 til t 2 er bestemt
|
|
- Sven Thomsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hamtons prncp.1 Konfguratonsrum q 3 Et systems bane ( konfguratonsrummet) fra t t er bestemt af, at aktonsntegraet I = Lt har en statonær vær. t q 1 q () Systemet ska være monogensk, vs. ae kræfter (ekskusvt bnngskræfter) ska være bestemt ve et generaseret skaært potentae V = V (q 1,...,q n, q 1,..., q n,t). () L er Lagrangefunktonen L = L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t)=t V. () At aktonsntegraet er statonært betyer, at et er ekstremat eer at ntegraes varaton er 0: δi = δ L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) t =0 (v) V ska vse, at Lagranges gnnger Hamtons prncp.
2 Varatonsregnng (Euer-Lagrange) (). To varabe: J = Statonær vær af J = f(x, ẋ, t)t, x = x(t), ẋ = x t Varaton af x(t): x 7 x(t, α) =x(t)+αη(t), me bbetngese η( )=0ogη(t )=0. J(α) = t Z 1 t f x(t, α), ẋ(t, α),t t og en statonær vær af J f(x 1,x, ẋ 1, ẋ,t)t ³ J α J ³ f α = x x α + f ẋ t. Devs ntegraton af sste e: ẋ α Z f ẋ t ẋ α t = f x f x ³ f x t = t ẋ αt ẋ α t ẋ α t = ³ J h f x = α α=0 x α ³ f x ³ f t = t ẋ α α=0 x f t ẋ ³ J Ska gæe for vkårgt η(t), vs. δj = δα =0 f α α=0 x t x 1 7 x 1 (t, α) =x 1 (t)+αη 1 (t), x 7 x (t, α) =x (t)+αη (t) Z J t ³ f α = x 1 x 1 α + f ẋ 1 ẋ 1 α + f x x α + f ẋ t og erme ẋ α ³ J h³ f = f ³ f η α α=0 x 1 t ẋ 1 + f η 1 x t ẋ t =0 som umebart kan generaseres t et vkårgt anta (uafhængge) varabe. α=0 =0. ³ f x t ẋ α t η t ³ f =0 ẋ
3 Varatonsregnng (Euer-Lagrange) ().3 δj = δ f(x 1,...,x n, ẋ 1,...,ẋ n,t)t =0 f f =0, x t ẋ =1,,...,n Eksempe (): Korteste afstan meem to punkter (0, 0) og (a, b) panen Kvaratet på enfferentee bueænge: (s) =(x) +(y). For en parametrske kurve (x, y) = x(t),y(t) ³ s ³ x ³ Z y t pẋ gæer = + eer s =(±) + ẏ t t t t, f = p f ẋ + ẏ, x =0, f ẋ = ẋ pẋ + ẏ, δs =0 0 ³ ẋ pẋ =0 t + ẏ ẋ pẋ + ẏ = c 1 og tsvarene ẏ eer pẋ + ẏ = c ẏ = α ẋ, α = c. c 1 Antages y = y(x) fås at ẏ = y 0 (x)ẋ og erme at y 0 (x) =α. Løsnngen er en rette ne y(x) =αx + β = b a x s = p 1+(y0 ) ẋt = Z a 0 p 1+(b/a) x = p a + b Eksempe (): Hamtons prncp δi = δ L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) t =0 L Lagrange gnnger: L =0, =1,,...,n q t q
4 Lagrange-mutpkatorer.4 At fne ekstremum af F (x, y) mebbetngesenf(x, y) =0eranaogttatbestemme ekstremum af G(x, y) =F (x, y)+λf(x, y), hvor x og y er uafhængge varabe. λ kaes for en Lagrange-mutpkator (Øvese). Generaseret t mange varabe kan Lagrange-mutpkatorer benyttes t at bestemme e generaseree bnngskræfter svarene t en eer fere (m) bnnger: L = T V = L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) f α = f α (q 1,...,q n,t)=0 (α =1,...,m). mx Inføres L = L + λ α f α kanhamtonsprncpbenyttes: δi = δ L t =0, α=1 L afhænger af n m uafhængge og m afhængge koornater, mens ae n varabe ska antages uafhængge L. Metoen er kun anveneg for (sem-)hoonomske bnnger. De n Lagrangegnnger, uet fra varatonsprncppet δi = 0, samt e m betngeser f α = 0 gver en bestemmese af e n generaseree koornater q (t) samtem Lagrangemutpkatorer λ α (t), hvor λ α (t) bestemmer e n komponenter af bnngskræfterne Q f (t): Q f = L Q f t q q = ³ (L L) (L L) mx f α = λ t q q Ae vrknnger af anre (påtrykte + anre bnngs-) kræfter er metaget L = T V,og Q f er erfor bnngskræfterne fra e m bnnger. Bemærk, at kravet om at et vrtuee arbee af bnngskræfterne er 0 ska stagvæk være opfyt, P Qf δq =0. α=1
5 Eksempe: Runng på skråpan.5 x F Mgcos φ θ O Rng: masse M raus r (I) Newton: () Mẍ = Mgsn φ F () Mr θ = Fr (moment om O) () Runng x = rθ ẍ = 1 g sn φ, F = 1 Mgsn φ (II) Lagrange (generaseree koornater x, θ): Mg φ L = T V = 1 Mẋ + 1 Mr θ ( Mgxsn φ) Bnng: f(x, θ) =x rθ =0 Bnngen emnerer én varabe (r θ = ẋ): L = L(x, ẋ, t) =Mẋ + Mgxsn φ t ẋ L x =Mẍ Mgsn φ =0 (III) Lagrange-mutpkator: L = L + λf = 1 Mẋ + 1 Mr θ + Mgxsn φ + λ(x rθ) L = Mẍ Mgsn φ λ =0, t ẋ x Q t θ L θ = Mr θ + λr =0, Qθ = λ f θ = λr x = λ f x = λ Insættes f(x, θ) =0,eerr θ =ẍ ẍ = 1 g sn φ, λ = Mẍ Mgsn φ = 1 Mgsn φ = F
6 Bevaresessætnnger og symmetrer.6 Hvs V kke afhænger af ṙ er L ẋ = T ẋ = ẋ h X 1 m (ẋ + ẏ + ż ) = m ẋ = p x Den generaseree bevægesesmænge p svarene t koornaten q efneres som: p L q For partker me annger e er V (generaseret) hastghesafhængg og p x 6= m ẋ : L = X h 1 m ṙ e φ(r )+e A(r ) ṙ p x = L = m ẋ ẋ + e A x At L er cyksk mht. koornaten q,eeratq er en cyksk koornat, betyer at L er uafhængg af q.erettetfæefås: 0= L L = L = t q q t q t p = ṗ eer p = konstant når L =0. q Den generaseree bevægesesmænge af en cyksk (uafhængg) koornat er bevaret. For aee partker er p (kke m ṙ ) bevaret, hvs φ og A er uafhængge af r (og A 6= 0). Cykske koornater kan entfceres ve symmetrbetragtnnger: Systemet har en transatonssymmetr når q 7 q + δq kke ænrer e fysske forho V og T og erme L uafhængg af q eer q er en cyksk koornat. Transatonssymmetr mht. q mefører at p er bevaret. Én-partke eksemper: V er konstant angs x: L cyksk mht. x og p x er bevaret. V rotatonssymmetrsk om z: L er cyksk mht. φ og p φ = L z =(r p) z = mr φ er bevaret. N partker: V (r) uafhænggafx: R x er en cyksk koornat og P x = MṘx er konstant.
7 Eksemper på transaton().7 For et konservatvt system (V er uafhængg q ) p = L = T og f. Lagranges gnnger ṗ q q = L = T V = T + Q q q q q r (q α ) p α = T = ³ 1 q α q α n q α r (q α + q α ) Antag, at q α 7 q α + q α svarer t en transaton af systemet,vs.ataestevektorerænresmenq α, hvor α er et bestemt neks og n er en konstant vektor: r = m q α 0 r (q α + q α ) r (q α ) q α F r = X Q α = X X m ṙ = X m ṙ ṙ = X q α Hvs bnngerne kke afhænger ekspct af t: X T = 1 M k q q k, M k = X r m r, se (1.7) q q k k M k = X ³ r m q r + r r =0, et α q q k q q k T er uafhængg af q α og erme ṗ α = T + Q = Q α. α = nq α q α = n F n = F n se (1.49) m v r = n X m q v = n P α r = n er konstant. Hvs V (q α )=V (q α + q α ) Q α =0 og p α er en bevægeseskonstant.
8 Eksemper på transaton () For et konservatvt system (V er uafhængg q ) p = L = T og f. Lagranges gnnger ṗ q q = L = T V = T + Q q q q q n r (q α ) θ p α = T = ³ 1 q α q α r (q α + q α ) q α 7 q α + q α svarer t en rotaton af systemet: Ae stevektorer rees vnken n q α om n, hvor α er et bestemt neks, og n er en konstant vektor. r (q α + q α )=r (q α )+[n r (q α )]q α eer r = n r Q α = X X m ṙ = X m ṙ ṙ = X q α Hvs bnngerne kke afhænger ekspct af t: X T = 1 M k q q k, M k = X r m r, q q k k M k = X ³ r m r + r r = X q q k q q k T er uafhængg af q α og erme ṗ α = T + Q = Q α. α F r = X F n r = n X r F = n N m v n r = n X r (m v )=n L m ³ n r q r q k + r q n r q k =0. Hvs V (q α )=V (q α + q α ) Q α =0 og p α er en bevægeseskonstant..8
9 Jacobs ntegra og energbevarese.9 L t = X L t = X L q q t t + X q q + X L q q t + L t L q q t + L t = X L og Lagranges gnnger = L q t q q t q + L t Jacobs ntegra eer energfunktonen : h(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) X L q L q opfyer reatonen h t = L, vs. afhænger L kke ekspct af t er Jacobs ntegra bevaret. t h er mange tfæe en totae energ af systemet. Det er tfæet, hvs V kke afhænger af q,ogt er kvaratsk eer en homogen funkton af. gra q h = X q p L = X L q L = X T q q (T V )=T (T V )=T + V = E q [Homogen funkton af nte gra: f(τx 1, τx,...,τx p )=τ n f(x 1,x,...,x p ) px f(x 1,x,...,x p ) x = nf(x x 1,x,...,x p ) (Euers teorem, øvese).] =1 For en aet partke fås: L = 1 mṙ qφ(r)+qa(r) ṙ, p x = mẋ + qa x, h = ẋp x + ẏp y + żp z L = ẋ(mẋ+qa x )+ẏ(mẏ +qa y )+ż(mż +qa z ) 1 m(ẋ +ẏ +ż )+qφ q(a x ẋ+a y ẏ +A z ż) = 1 m ẋ + ẏ + ż + qφ = T + qφ = E (et magnetske fet ufører ntet arbee, et F B = qv B er vnkeret på r = vt). Benyttes Rayeghs sspaton F = 1 kv fås Q = F q og h t = E t = F
Classical Mechanics (3. edition) by Goldstein, Poole & Safko
Classcal Mechancs (3. eton). by Golsten, Poole & Safko Mekansk bevægelse af en partkel: Newtons anen lov v = r p, p = mv, F = t t ṗ Bevarelsesteorem for en partkels bevægelsesmænge: Hvs en totale kraft
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereKanoniske transformationer (i)
Kanonske transformatoner () 9.1 Værden af transformatoner: Polære koordnater: (x, y, z) =(r cos φ sn θ,rsn φ sn θ,rcos θ) T = 1 2 m ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 1 2 m ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ φ 2. Hvs V = V (r,
Læs merePC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e.
PC PSI PT MÉTHODES ET EXERCICES JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON Mathématiques méthodes et exercices 3 e édition Conception et création de couverture : Atelier 3+ Dunod, 201 5 rue Laromiguière,
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMinikaos - må ikke bruges til noget. Henrik Dahl
Minikaos - må ikke bruges til noget. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. 1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Aperiodisk adfærd Attraktor Der findes baner, der ikke lander i FP eller i periodiske baner eller
Læs mereFysik 2, Foreslåede løsninger til prøveeksamenssæt, januar 2007
Fysik 2 Foresåede øsninger ti prøveeksamenssæt januar 2007 Opgave a) Størresen af kraften i cirkebevægesen er Totaenergien er da F = m r 2 v = E = m r = m v2 r r + 2 mv2 = m 2r b) umskibets totaenergi
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereFormelsamling Kaos 2005
Formelsamling Kaos 2005 Lykke Pedersen Indhold 1 En dimension 2 1.1 Fixpunkter og stabiliet...................... 2 1.2 Bifurkationer........................... 3 2 To dimensioner 4 2.1 Lineære systemer.........................
Læs mereElektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi
lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,
Læs mereNoter til fysik 3: Statistisk fysik
Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop
Læs mereKonusdrejning. Angivelse af konusitet. Konusberegninger ved hjælp af formler. Konusdrejning
Konusrejning Konusrejning Angiese af konusitet Angieser En konus kan angies e f.eks. konus 1:4, s. at for her 4 mm af konusens ænge foranrer iameteren sig 1 mm. Tinærmet æri Forskeen er uen praktisk betyning
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereOutline. Chapter 6: (cont d) Qijin Chen. November 21, 2013 NH = =6 CH = 15 4
Chapter 6: Qjn Chen Department of Physcs, Zhejang Unversty November 1, 013 Copyrght c 013 by Qjn Chen; all rghts reserved. ω 3 4 1. (cont d) 1 3 n3n3n 3n (x 1, y 1, z 1 )(x, y, z ) (x 1 x ) + (y 1 y )
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs merePontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures
Pontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures Jesper Carlsson NADA, KTH jesperc@nada.kth.se Collaborators: Anders Szepessy, Mattias Sandberg October 5, 2005 A typical optimal design
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereyt () p0 cos( t) OPGAVE 1
SKRIFTLIG EKSAMEN I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlægskonstruktion, 8.semester Fredag den 22. juni 2 kl. 9.-3. Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE B yt ) p cos t) l x A Konstruktionen på figuren er lodret
Læs mereEnergitæthed i et elektrostatisk felt
Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske
Læs mereKoblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005
Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereVELKOMMEN TIL DEN NYE SKOLE NYE FAG
VELOMMEN TIL DEN NYE SOLE +5 x MÅL: Ae eever ska trves og bve så dygtge, de kan! DAN S VEJEN DERTIL: En ny skoedag der er vareret, faggt udfordrende og motverende for den enkete eev Ae eever får en mere
Læs mereGeneraliserede koordinater. Opstilling af Euler-Lagrange ligningerne
Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen Generiseree koorinter. Opstiin f Euer-rne ininerne. = T - U Hvis et syste er estet ve eneriseree koorinter q i er Euer-rnes ininer for ekstreu f en
Læs mereMatematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses
Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget
Læs mereχ 2 -fordelte variable
χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereDOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereEulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2
Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereOpsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test
Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mere2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk
Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereREGULARITET AF LØSNINGER M.M.
REGULARITET AF LØSNINGER M.M. E. SKIBSTED Inhol 1. Plan og forusætninger 1 2. Generalisering af [B, Theorem 3.8] 1 3. Autonomt tilfæle 3 3.1. Mængen D er åben 3 3.2. Strømmen er kontinuert på D 4 4. Tisafhængige
Læs mereLøsninger til kapitel 12
Løsnnger tl kaptel 1 Opgave 1.1 HypoStat gver umddelbart: ft = 7 En P Teststørrelse H 0 : Alle P passer mandag 80 0,14857 48,8571 3,89737 H 1 : Ikke alle P passer trsdag 30 0,14857 48,8571 1,48899 onsdag
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSlides til Makro 2, Forelæsning oktober 2006 Chapter 5, anden halvdel
DEN FULDSÆNDIGE SOLOW-MODEL Y t = K α t (A t L t ) 1 α, Slides til Makro 2, Forelæsning 7 26 oktober 2006 Chapter 5, anden halvdel r t = αk α 1 t (A t L t ) 1 α = α Ã Kt A t L t! α 1, Ã! α w t =(1 α) Kt
Læs mereDokumentation til iltforhold i Østerå
Dokumentation ti itforhod i Østerå Beregning af mætningskoncentration Partiatryk af it i atmosfæren: V P Patm () Vatm P : Partiatryk af it P atm : Atmosfæretryk V V atm : Reativ voumenande af it i atmosfæren
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereKursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition
Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient
Læs mereA hybrid high-order locking-free method for linear elasticity on general meshes
A hybri high-orer locking-free metho for linear elasticity on general meshes Daniele Antonio Di Pietro, Alexanre Ern o cite this version: Daniele Antonio Di Pietro, Alexanre Ern. A hybri high-orer locking-free
Læs mereMAT1 A&D. Martin Raussen. Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark
Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark Efterår 2007 Prædiken Introduktion 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Præsentation Mål med forelæsningen konkret abstrakt forhold
Læs mereLogistisk regression. Logistisk regression. Probit model Fortolkning udfra latent variabel. Odds/Odds ratio
Logstsk regresson Logstsk regresson Odds/Odds rato Probt model Fortolknng udfra latent varabel En varabel Y parameter p P( Y 1 Bernoull/bnomal fordelngen 1 1 p. er Bernoull- fordelt med sandsynlgheds hvs
Læs mereDiffusion over membraner Hvor vil molekylerne være? Simple/komplexe systemer. Veterinær biofysik kapitel 8 Forelæsning 2
Dffson over ebraner Hvor vl olekylerne være? Sple/koplexe systeer Begreber Flx Inflx og efflx Kesk potentale Elektrokesk potentale Elektrokesk lgevægt Mebranpereabltet Modeller for ebranpereabltet Dffson
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereMatematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion
Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereDLU med CES-nytte. Resumé:
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr* Grane Høegh 17. august 2006 DLU med CES-nytte Resumé: Her papret undersøges det om en generalserng af den bagvedlggende nyttefunkton DLU fra Cobb-Douglas med
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen
Læs mere1 2 3 4 1 2 3 4 (p A ) (p B ) (p C ) 1 2, 3, 4 2, 3, 4 {2, 3, 4} 1 2 (p A ) (p B ) (p C ) d d {1, 2} (p A,p B )=0
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereKolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011
Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik Georg M. Bruun Fysiklærerdag Wednesday, January 6, Hovedbudskaber Bose-Einstein Kondensation = Identitetskrise for kvantepartikler BEC i atomare ultrakolde
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereFigur 3: Illustration af hvordan en børsteløs DC-motor kan betragtes rent magnetisk.
Opstlnng af oel for en børsteløs D-otor Danel R. Peersen & Jesper. Larsen 4. aprl 2003 I ette arbejsbla vl er blve opstllet en oel af en børsteløs D otor (LDM). Moellen er opstllet e et forål at kunne
Læs mereMÅLESTOKSFORHOLD HFB 2012 / 13. Målestoksforhold OP SL AG. Byggecentrum
MÅLESTOKSFORHOLD Målestoksforhold 340 MÅLEENHEDER Måleenheder Omsætning: Gl. dansk mål metermål gl. engelsk mål (= amerikansk mål). Se også: Målesystemer og enheder. Gl. dansk mål Metermål Gl. engelsk
Læs mere3.3. Mindste kvadraters metode Det overbestemte problem.
3.3. Mndste kvadraters etode. 3.3. Det overbestete proble. Mndste kvadraters etode er tradtonelt blevet anvendt tl at bestee en n-densonal vektor x, udfra observatoner,, > n. V har et overbestet proble.
Læs mereElektromagnetisk induktion
Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 8 Elektromotorsk kraft Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres
Læs mere