cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t."

Transkript

1 Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er dog vigtigt her, at ma bemærker hvad lemmaet egetlig er: defiitioe på tæthedsfuktioer. Supplerede opgave Betragt målrummet R, BR, λ. i Afgør hvilke af følgede fuktioer tilhører L λ du skal begrude dit svar: ut sit + t cost, vt + t, wt e t, zt e t. Bemærk først, at u, v, w og z er kotiuerte og dermed Riema-itegrable på alle afsluttede og begræsede itervaller; edvidere er de også målelige ikke-egative fuktioer. Vi ka også øjes med at fide fx lim ut dt sup N ut dt, altså bestemme e græse for e følge af Riema-itegraler. Årsage er, at u N givet ved u [,] u er e voksede følge af ikke-egative målelige fuktioer, med supremum og græseværdi lig u, således at vi ved Beppo-Levis sætig 9.6 blot skal fide supremum eller græseværdie for [,] u dλ, som jf. Theorem.8 er lig det tilsvarede Riema-itegral som vi emt ka fide. Lad os begyde med u. Idet ut +t for alle t R og dt arcta arcta arcta, + t har vi dermed ut dt [,] u dλ [,] + t dλt dt arcta + t jf. Properties 9.8 og Theorem.8. Idet arcta er begræset opadtil af π, har vi dermed, at u dλ sup ut dt π, N hvormed u L λ jf. Theorem.3.

2 Fuktioe v er straks lidt sværere. Bemærk først, at cost for alle t [ 3π, 5π ] og t [ 7π, 9π ]. Ved π-periodicitet af cost fås derfor, at cost, for x [ π, + ] π. Alle oveståede åbe itervaller er Borel-mægder og idbyrdes disjukte. Kaldes foreige for A, har vi, at A samt at A A, hvor A [ π, + π]. Dermed følger af Corollary 9.9, at v dλ A v dλ A v dλ A v dλ. Lad os derfor lege med A v dλ først. Idet vi har for x A, at vt Properties 9.8, at A v dλ A t + t dλt + π π + t +t + t dt,, følger af idet t +t er Riema-itegrabel på ethvert afsluttet og begræset iterval grudet kotiuitet. Vi har da, at + π π dt log + t π log log + + π π log + π +. log + log π log π + π Ved skriver vi π + + som π + + ; ved beytter vi, at π. Derfor vil N A v dλ N + π π + t dt N log +. + Ka vi vise, at det sidste udtryk ovefor går imod for N, vil vi kue slutte, at v ikke er itegrabel og derfor ikke ligger i L λ. Sæt a + for N. Atag, at N log + a kovergerer imod a R for N. Da dee følge er voksede, vil også følge, at følge har supremum lig a se Kalkulus, kapitel. Da ville N a + a + a N, hvormed N N log a log + a + a N log + a a, så N a e a for vilkårligt N. Imidlertid ved vi, at følge a divergerer, hvormed vi har e modstrid og dermed det øskede. For w s vedkommede har vi, at wt dt hvormed w dλ, således at w / L λ. e t dt [ e t ] e e, Vi har til sidst z at kigge på. Sidst har vi, at z for z, således at e z e for

3 z, samt at z z for z, hvormed e z e z for z. Altså vil zt dt e t dt + e t dt + dt + e t dt e t dt e t dt + e e + e. e t dt Vi beytter substitutio ved, samt at itegrade er e lige fuktio. Da dette gælder for alle N, vil z dλ + e, hvormed z L λ. ii Lad s > og lad u: R R ved givet ved { /x ux s, hvis < x,, ellers. Vis, at u M + R BR for alle s >. For hvilke s > gælder det, at u L λ? Betragt følgede lemma først: Lemma. Lad A R være åbe og lad f : A R k være kotiuert. Udvidelse f : R R k givet ved fx { fx, hvis x A,, ellers er B /B k -målelig. Bevis. Lad G R k være åbe.; det er ok at vise, at f G er e Borel-mægde for at koklude målelighed. Da vil f G A f G A være åbe i R grudet kotiuitet. Hvis / G, fides itet x f G, således at x A c, thi vi da ville have G fx, e modstrid. Hvis G, vil der for alle x A c gælde, at fx G, hvormed x f G, således at x f G A c. Omvedt gælder altid de modsatte iklusio, således at som dermed altid er afsluttet uaset G. Altså er f G A c {, hvis / G, A c, hvis G, f G f G A f G A c altid e foreig af e åbe mægde og e afsluttet mægde, som dermed er Borel. Lad s > og defiér g :, R ved gs /x s. Da er g kotiuert. Dermed er udvidelse g, givet ved gs for s, og ellers, B/B-målelig. Ved at lægge de B/B-målelige fuktio x til, fås etop u, så u er også målelig jf. Corollary 8.9. Da ux for alle x R, vil dermed gælde, at u M + R BR. Vi har først og fremmest u dλ lim [,] u dλ jf. Beppo-Levis sætig Theorem 9.6 supremum er lig græseværdie for voksede følger. Da u på disse afsluttede og begræsede itervaller er kotiuert, er u Riema-itegrabel, så jf. Theorem.8 vil [,] u dλ / { x s dx { log log, hvis s s, ellers s s s log, hvis s ellers s s, 3

4 Hvis s, vil itegralere altså gå imod ; hvis s >, vil s < og s >, således at s og s for. Altså vil itegralere også gå imod for s >. Slutteligt har vi for < s <, at s for, således at itegralere har græseværdie s for. Altså har vi, at u L λ hvis og ku hvis < s <. iii Lad s > og lad v : R R ved givet ved vx { /x s, hvis x,, ellers. Vis, at v M + R BR for alle s >. For hvilke s > gælder det, at v L λ? Defiér gs x s for x >. Da er g defieret på e åbe mægde og er kotiuert, så gx { /x s, hvis x >,, ellers. er B/B-målelig. Lægges {} x til, fås v, således at v selv er B/B-målelig. Da vx for alle x R, vil v M + R BR. På samme måde som før har vi, at v dλ lim [,] v dλ. Samme argumetatio som i ii giver, at { log log, hvis s [,] u dλ x s dx s s s {, ellers log, hvis s s s, ellers. Vi ser, at itegralere ku går imod oget edeligt hvis s >, så v L λ hvis og ku hvis s >. Supplerede opgave Betragt målrummet N, PN, µ, hvor µ er tællemålet. Lad s > og betragt fuktioe u: N R givet ved uj /j s. For hvilke s > gælder det, at u L µ? Vi har aturligvis, at u er positiv og målelig, hvormed vi har jf. Examples 9. ii, idet µ δ j, at u dµ u dµ uj j s, som vi ved kovergerer hvis og ku hvis s > fra Aalyse. Supplerede opgave 3 i Bestem græse lim cos x + 7 e x dx. Vi vil beytte Lebesgue s Domiated Covergece Theorem Theorem., fremover forkortet DCT. Defiér x + 7 u x cos e x, x R,

5 for alle N; da er u kotiuert og dermed målelig for alle N. Bemærk u, at u x e x. Fuktioe x e x er kotiuert, og dermed Riema-itegrabel på alle afsluttede, begræsede itervaller; tilmed gælder, at Dermed vil e x dx e x dx + e x dx e e e + e e. e x dλx lim e x dx lim e. Altså er x e x ideholdt i L λ. Af Theorem.3 følger u, at alle u er ideholdt i L λ. Bemærk, at x ux : lim u + 7 x cos lim e x cos7e x. Af DCT følger u, at u L λ, samt at x + 7 cos e x dx u dλ u dλ jf. Theorem.. cos7 cos7e x dλx cos7 e x dλx ii Vis, at π lim six dx. Defiér u x [,π] x six. Da er u et produkt af målelige fuktioer deribladt e kotiuert og dermed selv målelig jf. Corollary 8.. Bemærk, at u x [,π] x [,π] x. Idet [,π] er ikke-egativ og målelig, samt [,π] dλ λ[, π] π, følger at alle u L λ for alle N ved Theorem.3. Bemærk, at six six for x [, π] med six <, dvs. for x / { π, 3π }. For x / [, π] vil u x, således at, hvis x π u x six igetig, hvis x 3π, ellers. Hvis vi altså defierer ux { π } x for x R, vil u x ux λ-æste overalt, og DCT giver os u, at π six dx u dλ u dλ λ{ π }, som øsket, idet vi beytter Theorem.8 til de første lighed. Supplerede opgave I dee opgave har vi brug for at itegrere komplekse fuktioer. Dette eme vil blive taget op i Kapitel. Idtil da beytter vi, at itegralet af e kompleks fuktio ka bestemmes ved at iddele de i real- og imagiærdele. Stort set alle resultater i Kapitel om itegralet af reelle fuktioer ka overføres til itegralet af komplekse fuktioer. Betragt målrummet R, BR, λ, lad u L λ, og betragt fuktioe vt uxe ixt dx, t R. π 5

6 Vis, at v er veldefieret og kotiuert. Sæt u x ixux, og atag at u L λ. Vis, at v er differetiabel, og at v t u xe ixt dx. π Fuktioe v kaldes Fourier-trasformatioe af fuktioe u. Bemærk først, at hvis betigelsere i Theorem. Cotiuity lemma er opfyldt, vil v være veldefieret og kotiuert se beviset!. Defiér g : R R R ved gt, x π uxe ixt. For fast t R, vil gt, x ux ux π for alle x R. idet e ixt. Da u L λ, vil x gt, x tilhøre L λ jf. Theorem.3, så a er opfyldt. Holdes x R fast, er t gt, x klart kotiuert, idet ux blot er et tal, så b er opfyldt, og c har vi allerede vist, idet gt, x ux for alle t, x R R og vi ved, at u L λ, idet u L λ jf. Theorem.3. Dermed er vt uxe ixt dx uxe ixt dx π π veldefieret og kotiuert på hele R. Vi går u i gag med at tjekke betigelsere i Theorem.5 Differetiability lemma. Vi lader g være defieret som før. a har vi allerede vist, og for fast x R er t gx, t differetiabel på R med afledt g x, t ux ixe ixt u xe ixt. t π π Slutteligt gælder for alle t, x R, at g x, t t u x u x. π Pr. atagelse gælder u L λ, så u L λ jf. Theorem.3, hvormed betigelse c er opfyldt. Altså er v differetiabel med differetialkvotiet g v t x, t dx u xe ixt dx u xe ixt dx, t π π som øsket. Supplerede opgave 5 Lad X, A være et målbart rum, og lad µ,..., µ k være mål på X, A. Sæt µ µ + + µ k. Gør rede for, at µ er et mål på X, A, vis at L µ L µ L µ k, og vis at u dµ u dµ + + u dµ k for alle u L µ. Vi viste i Supplerede opgave 3.5 fra Uge, at µ var et mål ellers er det også idholdet af Opgave.6 fra Uge. E fuktio u: X R er A/ B-målelig hvis og ku hvis u + og u er, jf. Corollary 8.. Atag derfor, at u: X R er A/ B-målelig. Både u + og u er derfor målelige og ikke-egative fuktioer, og jf. Supplerede opgave 3.5 gælder derfor µ ± dµ u ± dµ + + u ± dµ k u ± dµ j for alle j,..., k. 6

7 Hvis u L µ, vil u +, u L µ jf. Theorem.3, hvormed u ± dµ j µ ± dµ < for alle j,..., k. Altså vil u +, u L µ j for alle j,..., k, så med Theorem.3 sluttes, at u L j for disse j. Hvis omvedt u L µ j for alle j,..., k, vil gælde, at u +, u L µ j for alle j. Altså er summe i altid edelig dvs. <, hvormed µ ± dµ <. Vi slutter, at u +, u L µ, hvormed u L µ. Altså er mægdelighede vist. Slutteligt gælder, at for u L µ, vil u L µ j for alle j,..., k. Da vil u dµ u + dµ u dµ k k u + dµ j u dµ j som øsket. Supplerede opgave 6 k k u dµ j, u + dµ j u dµ j Lad X, A, µ være et målrum, og lad u: X R + være e målelig fuktio. i Vis, at fuktioe t µ u t, er aftagede. Bemærk, at oveståede udtryk altid giver meig, idet u er målelig og t, er e Borel-mægde for ethvert t R. Vi behøver ku at tjekke, at fuktioe er aftagede over de positive tal, idet u t, X for alle t <. Vi får så de kostate værdi µx for t <, som er større ed alle værdier fuktioe atager for t. For t < t vil t, t,, hvormed u t, u t, fordi urbilleder er ice. Grudet mootoi for mål Propositio.3 ii fås u, at µ u t, µ u t,, så fuktioe er aftagede. ii Vis, at u dµ µ u t, dt. Lad os atage først, at f E + A er e simpel fuktio. Vi ka dermed fide e stadardrepræsetatio f y j Aj, hvor A j ere er disjukte målelige mægder i A og y j ere er ikke-egative tal. Vi ka atage, at y j > for alle j, thi hvis et af dem var lig, kue vi blot fjere det tilsvarede led fra oveståede sum ude at ædre på lighede. Edvidere ka vi atage, at y < y < < y ellers ka vi slå A j er samme til ye målelige mægder. For t y vil µ f t, µ f y, grudet i. Idet de største værdi f ka atage er y, vil f y, være de tomme mægde, således at µ f t, for alle t y. Altså vil µf t, dt [, tµf t, dt [,ytµf t, dt. 7

8 Sæt y. Vi påstår u, at for y j t < y j vil f t, A j A for alle j,...,. Lad emlig et sådat j være givet og lad y j t < y j. Hvis x f t,, vil fx > t y j. Specielt vil fx >, så der må ødvedigvis gælde, at x A k for et k,...,. Hvis ikke, vil fx jf. forskrifte på f. Dette k ka ikke opfylde k j, thi vi så ville have fx y k y j, e modstrid. Altså må k {j,..., }, så x A j A. Hvis omvedt x A k for et k j,...,, vil fx y k y j > t, hvormed x f t,. Vi ka u skrive [,ytµf t, [yj,y jtµf t, [yj,y jt µa k, kj [yj,y jtµa j A da A k ere er disjukte. Bemærk, at dette giver oget adet virkelig godt: hvis f er e simpel fuktio, er t [,ytµf t, også e simpel fuktio! Dette vil blive yttigt, år vi geeraliserer. Nu vil [,ytµf t, dt [yj,y jt µa k dt kj kj [yj,y jtµa k dt y j y j µa k k kj y y µa k + y y µa k +? + y y k k µa k + y y µa µa y y + µa y y + + µa y y y µa + + y µa y j µa. Ved spørgsmålsteget er der følgede forklarig: vi samler simpelthe led efter hvert µa k. Fx forekommer µa ku i de første sum, så µa får koefficiet y y ; µa forekommer ku i de to første, så dee får koefficiet y y + y y y y osv., op til µa. Ethvert led har desude µa k som faktor, så vi magler ikke oget efter at have samlet koefficieter på dee måde. Idet f dµ y j Aj dµ y j µa j jf. Properties 9.8, følger, at de øskede lighed gælder for simple fuktioer f E + A. Tilbage til u. Der fides jf. Theorem 8.8 e voksede følge u j j N af simple og ikke-egative fuktioer som kovergerer imod u. Da vil jf. Corollary 9.7 gælde, at u dµ lim u j dµ lim µ u j t, dt. j j Vi fadt før, at t [, tµ u j t, var e simpel fuktio. Beteg dee med f j. Lad t R være fast. For j < k vil u j x u k x, da følge u j var voksede. Vi har altså, at x u j t, medfører u k x u j x > t, så u j t, u t,. Mootoi af mål giver u, at f jx k 8

9 f k x. Da følge af mægder u j t, j N er voksede, gælder jf. Theorem., at lim j µu j t, µ j N u j t,. Vi viser u, at u t, j N u j t,. Hvis ux > t for et x X, ka vi lade ε ux t. Idet u j x ux for j, fides N N så j N medfører u j x ux < t. Dermed vil ux u N x < ux t og derfor u N x > t, så der fides N N så x u N t,. Hvis der omvedt fides j N så x u j t, eller u j x > t, vil ux u j x > t, så x u t,. Altså slutter vi lighede, og dermed vil Derfor vil lim µ u j t, µ u t,. j f j t [, tµ u t, for j. Da f j j N er e voksede følge af simple fuktioer med oveståede som græse, følger u af Corollary 9.7, at µ u t, dt [, tµ u t, dt lim f j dλ lim µ u j t, dt. j j Dermed vil som øsket. u dµ lim j Supplerede opgave 7 µ u j t, dt µ u t, dt, Betragt målrummet N, PN. Lad µ være målet på N, PN givet ved µ j δ j. i Vis, at µ er et sadsylighedsmål. Vi ved allerede fra Opgave.6 ii, at µ er et mål, idet δ j er mål for alle j N. Husk, at δ j A hvis j A og giver ellers. Idet j N for alle j N d oh!, vil δ j N for alle j N, hvormed så µ er et sadsylighedsmål. ii µn j δ j N j, Bestem µe, hvor E N er mægde af lige tal. For lige j N, vil δ j E, og for ulige j N vil δ j E. Altså vil iii µe j δ j E j j j j lige Vis, at N er de eeste ulmægde. 3. Vi viser, at N medfører µn > for N N. Hvis N, fides N, hvormed µn µ{} >, som øsket. 9

10 iv Lad u: N R være givet ved uj 3/ j. Bereg u dµ. Da u er positiv og målelig alle fuktioer N R er jo, følger af Examples 9. ii, at.6 j 3 j 3 u dµ j uj j 3 3. Giv et eksempel på e følge af itegrable fuktioer u j j N med u j x ux for j og alle x, og e itegrabel fuktio u, me så lim j uj dµ u dµ. Modsiger dette DCT, Theorem.? Lad X, A, µ R, BR, µ og defiér u j x j, j x for x R. Da vil u j x for alle x R. Alle u j er er ikke-egative og målelige fuktioer, med u j dλ jλ,, j me u dλ. Dette modsiger ikke DCT, fordi der ikke fides e itegrabel positiv øvre græse w for alle u j er simultat uiformt. Dette ka ses ved hjælp af e tegig; alterativt ka bemærkes at for + x < for et N, vil sup u j x u x. j N Hvis w er e positiv og målelig fuktio på R, BR med w u j for alle j, vil specielt gælde, at w sup j N u j, således at wx [ +, x. Deraf fås ved Corollary 9.9 og Properties 9.8, at. w dλ [ +, dλ Vis, at fuktioe G: R R givet ved Gt : + R\{} sitx x + x dx + +. er differetiabel og fid G og G. Brug et græseargumet, partiel itegratio og formle t t sitx x x sitx til at vise, at tg x sitx t + x dx. R Vi får brug for ogle begræsiger, idet itegrade ellers ka opføre sig ret uterligt. Lad N > og defiér g : N, N R R ved { sitx gt, x x+x, hvis x, hvis x. Vi bemærker for x og t, at sitx x + x tsitx tx + x.

11 Eftersom siu u for u, ka vi grudet kotiuitet af fuktioe { siu u hu u hvis < t hvis t også kokludere, at de er begræset på [, ]. Der fides altså M så hu M for alle u [, ]; for u > vil siu u u, således at fuktioe R R givet ved u { siu u hvis t hvis t er begræset af e kostat M max{m, }. Lad os u se, hvad vi ka gøre med gt, x. Hvis ete x eller t er lig, fås, at gt, x ; hvis x R med x og t N, N med t, vil tx, så gt, x tsitx tx + x t M + x NM + x. Vi fadt i Supplerede opgave, at x +x tilhørte L λ; jf. Theorem. er sidste fuktio ovefor også ideholdt i L λ, så jf. Theorem.3 er x gt, x ideholdt i L λ for ethvert fast t N, N. Altså er a i Theorem.5 opfyldt. Lad u x R \ {} være fast. Da er t gt, x sitx x+x g costx t, x t + x. differetiabel, med differetialkvotiet Hvis x, er gt, x for alle t N, N, som også er differetiabel med g t t, x. Altså er b også opfyldt. Lad til sidst t, x N, N R. Hvis x, vil g t, x t + x. Da g g t t, x hvis x, har vi derfor klart t t, x +x for vilkårlige t, x. Da fuktioe x +x er målelig, itegrabel og ikke-egativ, følger c. Dermed vil fuktioe G: N, N R givet ved sitx Gt x + x dx gt, x dx R\{} omskrivige er gyldig, idet {} er e ulmægde differetiabel med afledet g G costx t t, x dx t R + x dx, idet g costx t t, x +x for æste alle x R. Da N var vilkårlig, slutter vi, at G er differetiabel overalt på R med samme differetialkvotiet. Vi ser straks, at G, samt G dx lim + x dx lim + x [arctax] π + π π. Vi har, at x sitx + x t costx + x,

12 således at tg t R lim lim t costx + x dx lim + x [sitx t costx + x dx x sitx + x dx [sitx lim + x [sitx lim lim + x [ sitx ] ] ] ] } + x {{ } sitx sitx + + R x sitx + x dx x sitx + x dx, dx + x x + x dx som øsket. Ved beyttes Theorem. hvor vi på itegrade har gaget idikatorfuktioer t [,] ; disse produkter har e itegrabel majorat +x, hvormed vi beytter Theorem.8 for at omskrive til Riema-itegraler. Ved beyttes samme trick, hvor vi bemærker, at x sitx + x x + x }{{ + x }}{{. }.6 itegrabel begræset Betragt fuktioere u Q [,] og v { N}. Bevis eller falsificér: For at kue tale om Riema-itegraler betragter vi fuktioere restrigeret til [, ]. i Fuktioe u er på de ratioale tal og ellers. Derfor er u kotiuert overalt, udtage på mægde Q [, ]. Eftersom dette er e ulmægde, er u æste overalt kotiuert og dermed Riemaitegrabel ved Theorem.8. Forkert. u er ikke kotiuert på de irratioale tal i [, ]; tag fx x [, ] \ Q og vælg e følge x Q [, ]. Da vil ux, me ux. Derfor er mægde af tal i, hvor u er diskotiuert ikke e Lebesgue-ulmægde, så u er ikke Riema-itegrabel. ii Fuktioe v er overalt, udtage på værdiere x / for N. Derfor er v kotiuert overalt bortset fra på e tællelig mægde, dvs. e ulmægde, og v er æste overalt kotiuert, og derfor Riema-itegrabel ved Theorem.8. Dette er sadt. v har ku diskotiuitetspukter {} { N}, som stadig er tællelig og derfor har Lebesgue-mål. Altså er v Riema-itegrabel jf. Theorem.8. iii Fuktioere u og v er Lebesgue-itegrable med u dλ v dλ. Dette følger klart, da u og v er positive og målelige; itegralere er lig målet af mægdere idikatorfuktioere tages over, og dermed begge lig, idet mægdere er tællelige.

13 iv Fuktioe u er ikke Riema-itegrabel. Dette er også sadt. Hvis π er e iddelig af [, ], har vi idet både Q [, ] og [, ] \ Q er tætte i [, ], at ifimum over et iterval i iddelige altid er og at supremum over samme er lig. Dermed vil sup π S π [u] og if π S π [u] se otatioe side 9, således at u ikke ka være Riema-itegrabel. 3

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Deskriptiv teori: momenter

Deskriptiv teori: momenter Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n! Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4.

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4. MATEMATIK 2~ MATEMATISK ANALYSE 1984-85 Kapitel I. METRISKE RUM 1. Metriske rum. Normerede rum. 1. 1. Metrik 1.2. Normeret rum 1. 3. Kugler i et metrisk rum 1.4. Kovergete følger Opgaver til 1 r. 1.1 r.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Asymptotisk estimationsteori

Asymptotisk estimationsteori Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere