FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:

Transkript

1 FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående X ). Specelt: x = {kx k Z}. V omtaler et udtryk som k 1 x k t x t hvor k Z som en Z-lnearkombnaton af x 1,..., x t. Hvs F er en abelsk gruppe og X F, kaldes X en bass for F, såfremt X = F, og: k 1 x k t x t = 0 k 1 =... = k t = 0, når k Z, x X. Sætnng 1. Lad F være en abelsk gruppe og lad n N. Da er følgende betngelser ækvvalente: () F har en bass bestående af n elementer. () F er (ndre) drekte sum af n uendelge cyklske grupper. () F = Z n. Bevs: () () : Lad X = {x 1,..., x n } F være bass for F. Specelt har v da, at kx = 0 k = 0 for k Z og = 1,..., n, så v ser, at x er uendelg cyklsk. Lad {1,..., n} og lad z x ( x x 1 + x x n ). Da fndes k 1,..., k n Z, så z kan skrves men også z = k x, z = j k j x j. V får da: k x + j ( k j )x j = 0 hvorfor k = 0 (og også k j = 0 for j ). Altså er z = 0. Altså haves x ( x x 1 + x x n ) = 0 for = 1,..., n. Idet klart F = x x n, følger konklusonen () af tdlgere sætnng. () () : V ved, at en uendelg cyklsk gruppe er somorf med Z. () () : Antag, at F = Z n og lad f : Z n F være en somorf. Sæt: for = 1,..., n. x := f((0,..., 1,..., 0)) 1

2 2 IAN KIMING Da f er homomorf, fnder v for k 1,..., k n Z: f((k 1,..., k n )) = f k (0,..., 1,..., 0) = k f((0,..., 1,..., 0)) = k x. Da f er surjektv, ser v dermed, at F = x 1,..., x n. Lad k 1,..., k n Z og antag, at k 1 x k n x n = 0. Som ovenfor ses da, at f((k 1,..., k n )) = 0. Men da f er njektv, har v Ker f = 0 hvormed k 1 =... = k n = 0. Altså er {x 1,..., x n } en bass for F. En abelsk gruppe, der opfylder betngelserne Sætnng 1 (for et eller andet n) kaldes en endelgt frembragt, fr abelsk gruppe (og senere vl v også kalde en sådan gruppe for en fr abelsk gruppe af endelg rang). Sætnng 2. Lad F være en endelgt frembragt, fr abelsk gruppe og antag, at {x 1,..., x n } og {y 1,..., y m } er baser for F. Da gælder m = n. Bevs: Da F har bass {x 1,..., x n }, ser v af Sætnng 1, at F = Z n. Mere præcst ser v af bevset for Sætnng 1, at v har en somorf f : Z n F gvet ved: f(k 1,..., k n ) = k x. Nu ser man umddelbart, at 2F := {2z z F } er en undergruppe F. Da F er abelsk, er 2F en normal undergruppe af F. V kan da betragte kvotenten F/2F og den kanonske homomorf κ: F F/2F. Lad ϕ betegne den sammensatte homomorf: ϕ := κ f : Z n F/2F. Det er klart, at ϕ er surjektv, det både f og κ er surjektve. Hvs (k 1,..., k n ) er et element Ker ϕ, er k 1 x k n x n 2F, dvs.: k 1 x k n x n = 2 z for et vst z F. Da {x 1,..., x n } er en bass for F, kan v mdlertd også skrve z på formen: z = l 1 x l n x n med vsse l Z. V får da: (k 1 2l 1 )x (k n 2l n )x n = 0 hvormed k = 2l for = 1,..., n, det v gen udnytter, at {x 1,..., x n } er bass for F. V har nu ndset, at Ker ϕ = (2Z) n Z n. Af første somorfsætnng følger nu, at F/2F = Z n /(2Z) n = (Z/2Z) n = (Z/2) n hvor det andet somorftegn følger af en tdlgere, generel sætnng om drekte produkter.

3 FRIE ABELSKE GRUPPER. 3 Idet Z/2 = 2, ser v, at (Z/2) n = 2 n hvormed sluttes, at F/2F = 2 n. Gentages ovenstående argument med basen {y 1,..., y m }, fås tlsvarende F/2F = 2 m. Altså må m = n. V ser altså, at hvs F er en endelgt frembragt, fr abelsk gruppe, da er antallet af elementer en bass entydgt bestemt ved F (selvom v om et øjeblk skal se, at basen på ngen som helst måde er entydgt bestemt). Dette antal kaldes F s rang. Hvs F har rang n, sger v også,at F er en fr abelsk gruppe af rang n. Sætnng 3. Lad F 1 og F 2 være fre abelske grupper af endelg rang. Da gælder F 1 = F2 hvs og kun hvs F 1 og F 2 har samme rang. Bevs: Hvs F 1 og F 2 har samme rang n, gælder F 1 = Z n = F2, og dermed F 1 = F2. Antag omvendt, at F 1 = F2, og lad ϕ: F 1 F 2 være en somorf. Lad n betegne rangen af F 1. Dermed har F 1 altså en bass {x 1,..., x n } bestående af n elementer. Sæt nu: y := ϕ(x ) for = 1,..., n. Da ϕ er surjektv, og da {x 1,..., x n } frembrnger F 1, ser v, at {y 1,..., y n } frembrnger F 2. Såfremt k 1,..., k n Z med k 1 y k n y n = 0, ser v, at v må have k 1 x k n x n = 0 og dermed k 1 =... = k n = 0, det ϕ er njektv. Altså er {y 1,..., y n } en bass for F 2, og F 2 har dermed også rang n. Sætnng 4. Lad G være en endelgt frembragt, abelsk gruppe. Da er G et homomorft bllede af en fr abelsk gruppe af endelg rank. Mere præcst kan denne rank tages tl at være antallet af elementer et sæt af frembrngere for G. Bevs: Antag, at G er frembragt af {a 1,..., a n }. Afbldnngen Z n G gvet ved: (k 1,..., k n ) k 1 a k n a n er en homomorf, og den er surjektv, det {a 1,..., a n } frembrnger G. Idet Z n er en fr abelsk gruppe af rang n, følger påstanden. Lemma 1. Lad F være en fr abelsk gruppe af rang n og lad {x 1,..., x n } være en bass for F. For ethvert a Z og for j er da også {x 1,..., x j 1, x j + ax, x j+1,..., x n } en bass for F. Bevs: Idet x j = ax +(x j +ax ), ser v, at x j x 1,..., x j 1, x j +ax, x j+1,..., x n. Da klart også x t x 1,..., x j 1, x j +ax, x j+1,..., x n for t j, har v x 1,..., x n x 1,..., x j 1, x j + ax, x j+1,..., x n. Dermed må det x 1,..., x n frembrnger F. Hvs k 1,..., k n Z med x 1,..., x j 1, x j + ax, x j+1,..., x n = F, k 1 x k j 1 x j 1 + k j (x j + ax ) + k j+1 x j k n x n = 0, har v k 1 x (k + ak j )x +... k j x j k n x n = 0 hvlket umddelbart ses at medføre k 1 =... = k n = 0.

4 4 IAN KIMING Sætnng 5. Lad F være en fr abelsk gruppe af rang n og lad G være en undergruppe 0. Da fndes en bass {x 1,..., x n } for F, et naturlgt tal r med 1 r n og naturlge tal d 1,..., d r med d 1 d 2... d r således, at G er fr abelsk gruppe med bass {d 1 x 1,..., d r x r }. Bevs: V benytter ndukton efter n. Antag derfor først, at n = 1. Da er F = Z. Lad ϕ: F Z være en somorf. Da er ϕ(g) en undergruppe Z og har derfor (det G 0) form d for et vst d N. V ser, at G er undergruppen dx 1 F. For nduktonsskrdtet antager v n > 1, og at den ønskede konkluson er korrekt for fre abelske grupper af rang < n. Lad S betegne mængden af alle s Z for hvlke der ekssterer en bass {y 1,..., y n } for F og et element g G af form g = sy 1 + k 2 y k n y n. Bemærk, at v den stuaton også har, at {y 2, y 1, y 3,..., y n } er en bass for F, og at elementet g mht. denne bass har fremstllngen g = k 2 y 2 + sy 1 + k 3 y k n y n hvorfor v må have k 2 S. På samme vs ses, at k 3,..., k n S. Bemærk også, at hvs {y 1,..., y n } er en bass for F, da er også { y 1,..., y n } en bass for F. Dette vser, at s S s S. Hvs S {0}, ndeholder S derfor et postvt tal. Nu, det G 0, er S {0}, og S har altså et mndste postvt element d 1. Pgra. defntonen af S fndes der så en bass {y 1,..., y n } for F og et element g G af form g = d 1 y 1 + k 2 y k n y n for vsse k 2,..., k n Z. Skrv nu k = d 1 q + r med q, r Z og 0 r < d 1 for = 2,..., n. Da er: g = d 1 (y 1 + q 2 y q n y n ) + r 2 y r n y n. Sættes x 1 := y 1 + q 2 y q n y n, ser v ved gentagen anvendelse af Lemma 1, at {x 1, y 2,..., y n } også er en bass for F. Idet g = d 1 x 1 + r 2 y r n y n denne bass, og det 0 r < d 1, ser v pgra. ovenstående bemærkng, at r S for alle. Pgra. mnmalteten af d 1 må derfor r = 0 for alle. Med andre ord har v: g = d 1 x 1. Betragt nu undergruppen H := y 2,..., y n af F. Det er klart, at {y 2,..., y n } er en bass for H, og at H følgelg er en fr abelsk gruppe af rang n 1. V påstår nu, at G = g (G H) = d 1 x 1 (G H): For det første har v d 1 x 1 (G H) = 0, det jo ethvert element denne undergruppe er Z-lnearkombnaton af såvel d 1 x 1 og dermed af x 1 som af y 2,..., y n, det jo G H H. Lad u G. Idet {x 1, y 2,..., y n } er bass for F, kan v skrve u = t 1 x 1 + t 2 y t n y n og vdere t 1 = d 1 q 1 + r 1 med 0 r 1 < d 1. Da er: G u q 1 (d 1 x 1 ) = r 1 x 1 + t 2 y t n y n, og gen pgra. mnmalteten af d 1 ser v, at r 1 = 0. Men så er jo t 2 y t n y n G H hvormed u = q 1 (d 1 x 1 ) + (t 2 y t n y n ) d 1 x 1 + (G H).

5 FRIE ABELSKE GRUPPER. 5 Dermed følger påstanden G = d 1 x 1 (G H). V har nu 2 mulgheder: Enten er G H = 0 og dermed G = d 1 x 1, og sætnngen er bevst. Eller også er G H 0 hvormed v har en undergruppe G H forskellg fra 0 en fr abelsk gruppe H af rang n 1. Induktonsantagelsen medfører da, at der fndes en bass {x 2,..., x n } for H og naturlge tal r og d 2,..., d r med d 2... d r således, at G H er fr med bass {d 2 x 2,..., d r x r }. Idet F = x 1 H, og G = d 1 x 1 (G H) ser v, at {x 1,..., x n } er bass for F, og {d 1 x 1, d 2 x 2,..., d r x r } er bass for G. V behøver nu blot tl slut at argumentere for, at d 1 d 2 : Skrv tl dette formål d 2 som d 2 = d 1 q + r 0 med 0 r 0 < d 1. Da nu {x 2, x 1 + qx 2, x 3,..., x n } følge lemma 1 er en bass for F, og det r 0 x 2 + d 1 (x 1 + qx 2 ) = d 1 x 1 + d 2 x 2 G, ser v gen pgra. mnmalteten af d 1, at r 0 = 0 og dermed det ønskede. Korollar 1. Lad G være en endelgt frembragt, abelsk gruppe. Antag, at G er frembragt af n elementer. Hvs H er en undergruppe G fndes da m N, m n, så H er frembragt af m elementer. Specelt er H også en endelgt frembragt, abelsk gruppe. Bevs: Ifølge Sætnng 4 er fndes der en fr abelsk gruppe F af rang n og en surjektv homomorf f : F G. Anvendes Sætnng 5 på undergruppen f 1 (H) af F, ser v, at f 1 (H) er fr abelsk gruppe af rang m for et vst m n. Specelt kan f 1 (H) frembrnges af m elementer. Det samme gælder da for f(f 1 (H)) = H (bemærk, at v har f(f 1 (H)) = H, det f er surjektv). Department of Mathematcs, Unversty of Copenhagen, Unverstetsparken 5, DK Copenhagen Ø, Denmark. E-mal address: kmng@math.ku.dk