FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:
|
|
- Joachim Nøhr
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående X ). Specelt: x = {kx k Z}. V omtaler et udtryk som k 1 x k t x t hvor k Z som en Z-lnearkombnaton af x 1,..., x t. Hvs F er en abelsk gruppe og X F, kaldes X en bass for F, såfremt X = F, og: k 1 x k t x t = 0 k 1 =... = k t = 0, når k Z, x X. Sætnng 1. Lad F være en abelsk gruppe og lad n N. Da er følgende betngelser ækvvalente: () F har en bass bestående af n elementer. () F er (ndre) drekte sum af n uendelge cyklske grupper. () F = Z n. Bevs: () () : Lad X = {x 1,..., x n } F være bass for F. Specelt har v da, at kx = 0 k = 0 for k Z og = 1,..., n, så v ser, at x er uendelg cyklsk. Lad {1,..., n} og lad z x ( x x 1 + x x n ). Da fndes k 1,..., k n Z, så z kan skrves men også z = k x, z = j k j x j. V får da: k x + j ( k j )x j = 0 hvorfor k = 0 (og også k j = 0 for j ). Altså er z = 0. Altså haves x ( x x 1 + x x n ) = 0 for = 1,..., n. Idet klart F = x x n, følger konklusonen () af tdlgere sætnng. () () : V ved, at en uendelg cyklsk gruppe er somorf med Z. () () : Antag, at F = Z n og lad f : Z n F være en somorf. Sæt: for = 1,..., n. x := f((0,..., 1,..., 0)) 1
2 2 IAN KIMING Da f er homomorf, fnder v for k 1,..., k n Z: f((k 1,..., k n )) = f k (0,..., 1,..., 0) = k f((0,..., 1,..., 0)) = k x. Da f er surjektv, ser v dermed, at F = x 1,..., x n. Lad k 1,..., k n Z og antag, at k 1 x k n x n = 0. Som ovenfor ses da, at f((k 1,..., k n )) = 0. Men da f er njektv, har v Ker f = 0 hvormed k 1 =... = k n = 0. Altså er {x 1,..., x n } en bass for F. En abelsk gruppe, der opfylder betngelserne Sætnng 1 (for et eller andet n) kaldes en endelgt frembragt, fr abelsk gruppe (og senere vl v også kalde en sådan gruppe for en fr abelsk gruppe af endelg rang). Sætnng 2. Lad F være en endelgt frembragt, fr abelsk gruppe og antag, at {x 1,..., x n } og {y 1,..., y m } er baser for F. Da gælder m = n. Bevs: Da F har bass {x 1,..., x n }, ser v af Sætnng 1, at F = Z n. Mere præcst ser v af bevset for Sætnng 1, at v har en somorf f : Z n F gvet ved: f(k 1,..., k n ) = k x. Nu ser man umddelbart, at 2F := {2z z F } er en undergruppe F. Da F er abelsk, er 2F en normal undergruppe af F. V kan da betragte kvotenten F/2F og den kanonske homomorf κ: F F/2F. Lad ϕ betegne den sammensatte homomorf: ϕ := κ f : Z n F/2F. Det er klart, at ϕ er surjektv, det både f og κ er surjektve. Hvs (k 1,..., k n ) er et element Ker ϕ, er k 1 x k n x n 2F, dvs.: k 1 x k n x n = 2 z for et vst z F. Da {x 1,..., x n } er en bass for F, kan v mdlertd også skrve z på formen: z = l 1 x l n x n med vsse l Z. V får da: (k 1 2l 1 )x (k n 2l n )x n = 0 hvormed k = 2l for = 1,..., n, det v gen udnytter, at {x 1,..., x n } er bass for F. V har nu ndset, at Ker ϕ = (2Z) n Z n. Af første somorfsætnng følger nu, at F/2F = Z n /(2Z) n = (Z/2Z) n = (Z/2) n hvor det andet somorftegn følger af en tdlgere, generel sætnng om drekte produkter.
3 FRIE ABELSKE GRUPPER. 3 Idet Z/2 = 2, ser v, at (Z/2) n = 2 n hvormed sluttes, at F/2F = 2 n. Gentages ovenstående argument med basen {y 1,..., y m }, fås tlsvarende F/2F = 2 m. Altså må m = n. V ser altså, at hvs F er en endelgt frembragt, fr abelsk gruppe, da er antallet af elementer en bass entydgt bestemt ved F (selvom v om et øjeblk skal se, at basen på ngen som helst måde er entydgt bestemt). Dette antal kaldes F s rang. Hvs F har rang n, sger v også,at F er en fr abelsk gruppe af rang n. Sætnng 3. Lad F 1 og F 2 være fre abelske grupper af endelg rang. Da gælder F 1 = F2 hvs og kun hvs F 1 og F 2 har samme rang. Bevs: Hvs F 1 og F 2 har samme rang n, gælder F 1 = Z n = F2, og dermed F 1 = F2. Antag omvendt, at F 1 = F2, og lad ϕ: F 1 F 2 være en somorf. Lad n betegne rangen af F 1. Dermed har F 1 altså en bass {x 1,..., x n } bestående af n elementer. Sæt nu: y := ϕ(x ) for = 1,..., n. Da ϕ er surjektv, og da {x 1,..., x n } frembrnger F 1, ser v, at {y 1,..., y n } frembrnger F 2. Såfremt k 1,..., k n Z med k 1 y k n y n = 0, ser v, at v må have k 1 x k n x n = 0 og dermed k 1 =... = k n = 0, det ϕ er njektv. Altså er {y 1,..., y n } en bass for F 2, og F 2 har dermed også rang n. Sætnng 4. Lad G være en endelgt frembragt, abelsk gruppe. Da er G et homomorft bllede af en fr abelsk gruppe af endelg rank. Mere præcst kan denne rank tages tl at være antallet af elementer et sæt af frembrngere for G. Bevs: Antag, at G er frembragt af {a 1,..., a n }. Afbldnngen Z n G gvet ved: (k 1,..., k n ) k 1 a k n a n er en homomorf, og den er surjektv, det {a 1,..., a n } frembrnger G. Idet Z n er en fr abelsk gruppe af rang n, følger påstanden. Lemma 1. Lad F være en fr abelsk gruppe af rang n og lad {x 1,..., x n } være en bass for F. For ethvert a Z og for j er da også {x 1,..., x j 1, x j + ax, x j+1,..., x n } en bass for F. Bevs: Idet x j = ax +(x j +ax ), ser v, at x j x 1,..., x j 1, x j +ax, x j+1,..., x n. Da klart også x t x 1,..., x j 1, x j +ax, x j+1,..., x n for t j, har v x 1,..., x n x 1,..., x j 1, x j + ax, x j+1,..., x n. Dermed må det x 1,..., x n frembrnger F. Hvs k 1,..., k n Z med x 1,..., x j 1, x j + ax, x j+1,..., x n = F, k 1 x k j 1 x j 1 + k j (x j + ax ) + k j+1 x j k n x n = 0, har v k 1 x (k + ak j )x +... k j x j k n x n = 0 hvlket umddelbart ses at medføre k 1 =... = k n = 0.
4 4 IAN KIMING Sætnng 5. Lad F være en fr abelsk gruppe af rang n og lad G være en undergruppe 0. Da fndes en bass {x 1,..., x n } for F, et naturlgt tal r med 1 r n og naturlge tal d 1,..., d r med d 1 d 2... d r således, at G er fr abelsk gruppe med bass {d 1 x 1,..., d r x r }. Bevs: V benytter ndukton efter n. Antag derfor først, at n = 1. Da er F = Z. Lad ϕ: F Z være en somorf. Da er ϕ(g) en undergruppe Z og har derfor (det G 0) form d for et vst d N. V ser, at G er undergruppen dx 1 F. For nduktonsskrdtet antager v n > 1, og at den ønskede konkluson er korrekt for fre abelske grupper af rang < n. Lad S betegne mængden af alle s Z for hvlke der ekssterer en bass {y 1,..., y n } for F og et element g G af form g = sy 1 + k 2 y k n y n. Bemærk, at v den stuaton også har, at {y 2, y 1, y 3,..., y n } er en bass for F, og at elementet g mht. denne bass har fremstllngen g = k 2 y 2 + sy 1 + k 3 y k n y n hvorfor v må have k 2 S. På samme vs ses, at k 3,..., k n S. Bemærk også, at hvs {y 1,..., y n } er en bass for F, da er også { y 1,..., y n } en bass for F. Dette vser, at s S s S. Hvs S {0}, ndeholder S derfor et postvt tal. Nu, det G 0, er S {0}, og S har altså et mndste postvt element d 1. Pgra. defntonen af S fndes der så en bass {y 1,..., y n } for F og et element g G af form g = d 1 y 1 + k 2 y k n y n for vsse k 2,..., k n Z. Skrv nu k = d 1 q + r med q, r Z og 0 r < d 1 for = 2,..., n. Da er: g = d 1 (y 1 + q 2 y q n y n ) + r 2 y r n y n. Sættes x 1 := y 1 + q 2 y q n y n, ser v ved gentagen anvendelse af Lemma 1, at {x 1, y 2,..., y n } også er en bass for F. Idet g = d 1 x 1 + r 2 y r n y n denne bass, og det 0 r < d 1, ser v pgra. ovenstående bemærkng, at r S for alle. Pgra. mnmalteten af d 1 må derfor r = 0 for alle. Med andre ord har v: g = d 1 x 1. Betragt nu undergruppen H := y 2,..., y n af F. Det er klart, at {y 2,..., y n } er en bass for H, og at H følgelg er en fr abelsk gruppe af rang n 1. V påstår nu, at G = g (G H) = d 1 x 1 (G H): For det første har v d 1 x 1 (G H) = 0, det jo ethvert element denne undergruppe er Z-lnearkombnaton af såvel d 1 x 1 og dermed af x 1 som af y 2,..., y n, det jo G H H. Lad u G. Idet {x 1, y 2,..., y n } er bass for F, kan v skrve u = t 1 x 1 + t 2 y t n y n og vdere t 1 = d 1 q 1 + r 1 med 0 r 1 < d 1. Da er: G u q 1 (d 1 x 1 ) = r 1 x 1 + t 2 y t n y n, og gen pgra. mnmalteten af d 1 ser v, at r 1 = 0. Men så er jo t 2 y t n y n G H hvormed u = q 1 (d 1 x 1 ) + (t 2 y t n y n ) d 1 x 1 + (G H).
5 FRIE ABELSKE GRUPPER. 5 Dermed følger påstanden G = d 1 x 1 (G H). V har nu 2 mulgheder: Enten er G H = 0 og dermed G = d 1 x 1, og sætnngen er bevst. Eller også er G H 0 hvormed v har en undergruppe G H forskellg fra 0 en fr abelsk gruppe H af rang n 1. Induktonsantagelsen medfører da, at der fndes en bass {x 2,..., x n } for H og naturlge tal r og d 2,..., d r med d 2... d r således, at G H er fr med bass {d 2 x 2,..., d r x r }. Idet F = x 1 H, og G = d 1 x 1 (G H) ser v, at {x 1,..., x n } er bass for F, og {d 1 x 1, d 2 x 2,..., d r x r } er bass for G. V behøver nu blot tl slut at argumentere for, at d 1 d 2 : Skrv tl dette formål d 2 som d 2 = d 1 q + r 0 med 0 r 0 < d 1. Da nu {x 2, x 1 + qx 2, x 3,..., x n } følge lemma 1 er en bass for F, og det r 0 x 2 + d 1 (x 1 + qx 2 ) = d 1 x 1 + d 2 x 2 G, ser v gen pgra. mnmalteten af d 1, at r 0 = 0 og dermed det ønskede. Korollar 1. Lad G være en endelgt frembragt, abelsk gruppe. Antag, at G er frembragt af n elementer. Hvs H er en undergruppe G fndes da m N, m n, så H er frembragt af m elementer. Specelt er H også en endelgt frembragt, abelsk gruppe. Bevs: Ifølge Sætnng 4 er fndes der en fr abelsk gruppe F af rang n og en surjektv homomorf f : F G. Anvendes Sætnng 5 på undergruppen f 1 (H) af F, ser v, at f 1 (H) er fr abelsk gruppe af rang m for et vst m n. Specelt kan f 1 (H) frembrnges af m elementer. Det samme gælder da for f(f 1 (H)) = H (bemærk, at v har f(f 1 (H)) = H, det f er surjektv). Department of Mathematcs, Unversty of Copenhagen, Unverstetsparken 5, DK Copenhagen Ø, Denmark. E-mal address: kmng@math.ku.dk
TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne
Læs mereLidt om lim. (k) og hvad de kan bruges til. Sara Arklint
Ldt om (k) og hvad de kan bruges tl Sara Arklnt Københavns Unverstet Kanddatprojekt (15 ECTS-pont) Aeveret 11. aprl 2007 Vejleder: Anders Frankld Indhold 1. Prolog 1 (k) 2. Beregnng af (k) 3. Forsvndng
Læs mereTabsberegninger i Elsam-sagen
Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot
Læs mereχ 2 -fordelte variable
χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =
Læs mereBinomialfordelingen: april 09 GJ
Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen
Læs mereBinomialfordelingen. Erik Vestergaard
Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk
Læs mereForberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave
MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.
Læs mereVægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen
Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge
Læs mereSkriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Onsdag den 18. juni 1997, kl.
Skrftlg Eksamen Datastrukturer og Algortmer (DM02) Insttut for Matematk og Datalog Odense Unverstet Onsdag den 18. jun 1997, kl. 9{13 Alle sdvanlge hjlpemdler (lrebger, notater, etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereFagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00
Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt
Læs mereLineær regressionsanalyse8
Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret
Læs mere2. Sandsynlighedsregning
2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har
Læs mereBeregning af strukturel arbejdsstyrke
VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste
Læs mereUnitære repræsentationer af kompakte grupper
Untære repræsentatoner af kompakte grupper Bachelorprojekt matematk. Insttut for matematske fag, Københavns Unverstet Bachelor Thess n Mathematcs. Department of Mathematcal Scences, Unversty of Copenhagen
Læs mereSERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013
SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.
Læs mereInertimoment for arealer
13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme
Læs mereMiljø- og Fødevareudvalget MOF Alm.del Bilag 16 Offentligt
- at Mljø- Fødevareudvalget 2017-18 MOF Alm.del Blag 16 Offentlgt UDVALGSSEKRETARIATET NOTAT OM FREMMØDE UNDER FORETRÆDER FOR UDVALG FOLKETINGET Præsdet har drøftet fremmødet under foretræde for udvalgene
Læs mereElektromagnetisk induktion
Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 8 Elektromotorsk kraft Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres
Læs mereNoter til fysik 3: Statistisk fysik
Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop
Læs mereStatistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt
Statsts mean 3 Sde af 9 Faselgevægt Hvs hver fase et PVT-system behandles særslt, vl hver fase alene raft af mulgheden for faseomdannelser udgøre et åbent system. Ved generalserng af udtry (3.48) fås dermed
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne
Læs mereElektromagnetisk induktion
Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres
Læs mereVægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen
Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger
Læs mereBrugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn
Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.
Læs mereAnalytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter
Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.
Læs mereTO-BE BRUGERREJSE // Tænder
TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng
Læs mereFysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori
Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal
Læs mereReal valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved
Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den
Læs mereForén og find. Forén og find. Forén og find. Anvendelser
Phlp Blle (unon-fnd). Vedlgehold en dynamsk famle af mængder under operatoner: INIT(n): opret mængder {}, {},, {n} UNION(,): forener de to mængder der ndeholder og. Hvs og er samme mængde skal der ngentng
Læs mereSandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen
Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...
Læs mereForén og find. Forén og find. Forén og find. Forén og find
Phlp Blle (unon-fnd). Vedlgehold en dynamsk famle af mængder under operatoner: INIT(n): opret mængder {}, {},, {n-} UNION(,): forener de to mængder der ndeholder og. Hvs og er samme mængde skal der ngentng
Læs mereBilag 6: Økonometriske
Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller
Læs mereTO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg
TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter
Læs mereBowlingturnering 2015/ 2016
Læs de under slagseddel anførte oplysnnger tak & spllernummer skal jo angves, og navn & spllernummer skal gerne passe tl samme bowlngspller, så jeg kke skal tl at gætte hvem der har spllet hvlket resultat
Læs mereØkonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9
Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereMfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998
> MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets
Læs mereAntag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.
Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles
Læs mereUdvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol
Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING
Læs mereDLU med CES-nytte. Resumé:
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr* Grane Høegh 17. august 2006 DLU med CES-nytte Resumé: Her papret undersøges det om en generalserng af den bagvedlggende nyttefunkton DLU fra Cobb-Douglas med
Læs mereLuftfartens vilkår i Skandinavien
Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng
Læs mereKanoniske transformationer (i)
Kanonske transformatoner () 9.1 Værden af transformatoner: Polære koordnater: (x, y, z) =(r cos φ sn θ,rsn φ sn θ,rcos θ) T = 1 2 m ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 1 2 m ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ φ 2. Hvs V = V (r,
Læs mereReferat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter
Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,
Læs mereLandbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen
Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget
Læs merewww.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport
Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn skrdt-for-skrdt gude tl den nye Onlne Rapport (OLR) Vgtg nformaton tl alle krker og organsatoner Ikke flere paprlster Sangrapporten går nu onlne
Læs mereStadig ligeløn blandt dimittender
Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2013. Og den gennemsntlge startløn er nu på den pæne sde af 32.000 kr.
Læs mereHVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij
HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.
Læs mereSamarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet
BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem
Læs mereØkonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1
Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen
Læs mereSandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlghedsregnng. forelæsnng Bo Frs Nelsen Matematk og Computer Scence Danmarks Teknske Unverstet 800 Kgs. Lyngby Danmark Emal: bfn@mm.dtu.dk Dagens nye emner afsnt 6.5 Den bvarate normalfordelng Y
Læs mereNotat om porteføljemodeller
Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng
Læs mereFACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL
FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS
Læs mereKort fortalt: Indledning. Hvilke data(informationer):
Mor t endeur el l Per sondat apol t k I nf or mat onr el at er ett lgdpr Kort fortalt: Fra 25. Maj 2018 er det et krav at alle vrksomheder skal leve op tl den nye persondataforordnng (GDPR). Dette betyder
Læs mereInduktionsbevis og sum af række side 1/7
Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol
Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E y] = α... [ 3 3 4 4
Læs mereForberedelse INSTALLATION INFORMATION
Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.
Læs mereIndtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der
Læs mereTEORETISKE MÅL FOR EMNET:
TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereKvalitet af indsendte måledata
Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg
Læs mereKENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.
FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.
Læs mere6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag
Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Forår 00 Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer
Læs mereStadig ligeløn blandt dimittender
Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2012. Og den gennemsntlge startløn er fortsat på den pæne sde af 31.500
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol
Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereKvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen
Læs mereAdvokatfirmaet Poul Schmith
Advokatfrmaet Poul Schmth JULI 2011 J.nr.: 8914888 BORDERdjj Redegørelse medfør af konkurslovens 125, stk. Fjordbank Mors under konkurs Skfteretten Holstebro - SKS 8D-240/201 1 Konkursdag: 27. jun 2011
Læs mereMorten Frydenberg Biostatistik version dato:
Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -03-0 Effektmodfkaton Hvad er det - Kvantfcerng - Test Bostatstk uge 7 mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Vægtede gennemsnt - Formler for standard
Læs mereStatikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller
Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed
Læs mereG Skriverens Kryptologi
G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereBetjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389..
Betjenngsvejlednng Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Indholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet... 3 Grundlæggende betjenng af rumtemperaturregulatoren... 3 Vsnnger og knapper detaljer... 3 Om denne
Læs mereSalg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.
Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders
Læs merei ". servicecenteret i 2 4 APR. 2014
to g 24-04-20 S MODTAGET C) ". servcecenteret 2 4 APR. 2014 l ) l Advokat Rune Wold Vester Farmagsgade 23 1606 København V J nr ^ozés UDSKRFT af DOMBOGEN FOR VESTRE LANDSRET g 0» ' 1 t» l ) o +-04-204--42ld20
Læs mereEuropaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt
Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den
Læs mere03977.00. Afgørelser - Reg. nr.: 03977.00. Fredningen vedrører: Lyngbo Hede. Domme. la ksations kom miss ionen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet
03977.00 Afgørelser - Reg. nr.: 03977.00 Frednngen vedrører: Lyngbo Hede Domme la ksatons kom mss onen Naturklagenævnet Overfrednngsnævnet Frednngsnævnet 21-02-1966 Kendelser Deklaratoner FREDNNGSNÆVNET>
Læs mereKvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,
Læs mereReferat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 7. januar kl i Holmsland Idræts- og Kulturcenter
Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,
Læs mereVejledning om kontrol med krydsoverensstemmelse 2007
Vejlednng om kontrol med krydsoverensstemmelse 007 Maj 007 Mnsteret for Fødevarer, Landbrug og Fsker Drektoratet for FødevareErhverv Kolofon Vejlednng om kontrol med krydsoverensstemmelse 007 Maj 007 Denne
Læs mereVariansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger
Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en
Læs mereNote til Generel Ligevægt
Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den
Læs mereLOKALPLAN NR. 9 Sommerbyen NYBORG KOMMUNE Teknisk forvaltning 1992
LOKALPLAN NR. 9 Sommerbyen.~,I-,, ~,. I. NYBORG KOMMUNE Teknsk forvaltnng 1992 2. oplag, august 1994 INDHOLDSFORTEGNELSE Lokalplanens redegørelse Lokalplanens baggrund og ndhold Forholdet tl andet planlægnng
Læs mereEpistel E5 Statistisk Mekanik
Epstel E5 Statstsk Mekank Benny Lautrup 19. aprl 2004 Den statstske mekank danner bro mellem termodynamkkens makroskopske beskrvelse af stoet og mekankkens mkroskopske modeller. Medens man det 19. århundrede
Læs mereStatistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel
Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen
Læs mereer ikke kun for voksne
junor Coacng Coacng er kke kun for voksne Fre ungdomsryttere fra Sanrum Rklub aft mulged for at møs med en coac. Koort været at booste troen egne evner Tekst og foto: Tet R asmussen D e fleste nesker forbnr
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne
Læs mereElektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi
lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler
Læs mereKvantitative metoder 2
y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereValidering og test af stokastisk trafikmodel
Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har
Læs mereDCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland
REDENSBORG KOMMUNE Ansøgnng om tlskud fra samarbejdspuljen Brug venlgst blokbstaver eller udfyld skemaet p dn pc. 1. Ansøgers forenng eller tlsvarende: DGl Nordsjælland 2. Ansøgers postadresse, emal telefonnummer:
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereH A N D E L S A F T A L E
H A N D E L S A F T A L E I N D H O L D S F O R T E G N E L S E 1. Defntoner - Fortolknng af Vlkår... 2 2. Erkendelse og accept af rsko... 2 3. Ydelser... 3 4. Handel mellem Net Fonds og Kunden... 4 5.
Læs mereIKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON
IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 7
BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte
Læs mereL EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER
S A X O L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER S E R I O U S T R A D I N G. W O R L D W I D E. 1 1 1.1. v v v v v x x x x x xv DEFINITIONER - FORTOLKNING AF VILKÅR I dsse Almndelge Forretnngsbetngelser
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mere