MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
|
|
- Emma Damgaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: OKTOBER 07
2 Michel Mandi (07) Side a 5 Indholdsortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... ASYMPTOTER... 3 VANDRETTE ASYMPTOTER:... 3 EKSEMPLER PÅ VANDRETTE ASYMPTOTER... 5 OPGAVER MED VANDRETTE ASYMPTOTER:... 6 LODRETTE ASYMPTOTER:... 7 EKSEMPLER PÅ LODRETTE ASYMPTOTER OPGAVER MED LODRETTE ASYMPTOTER:... SKRÅ ASYMPTOTER:... EKSEMPLER PÅ SKRÅ ASYMPTOTER OPGAVER MED SKRÅ ASYMPTOTER:... 4 QUICK OVERSIGT OM ASYMPTOTER GRÆNSENDE TIL DET GENIALE ;-)... 5
3 Michel Mandi (07) Side 3 a 5 En asymptote er en ret linie, som en unktions gra nærmer sig til (astanden mellem asymptoten og graen går imod 0), når går imod, eller hvis graen bevæger sig imod en ikke-deineret -værdi. Forudsætningen or at der kan eksistere en asymptote er, at unktionen er en polynomiumsbrøk. indes som vandrette, lodrette og skrå. Figur : Vandret og lodret asymptote. Figur : Skrå og lodret asymptote. Vandrette asymptoter: Lad n a m b være en polynomiumsbrøk. a, og dermed er b en vandret asymptote. n m Tænk på det som at hvis nævner- og tællergrad er lige store, så vil og være voldsomt dominerende i orhold til alle de andre led, når. Vi har altså en situation, hvor alle -leddene går ud imod hinanden. Til overs er kun aktorerne a og b, som divideret med hinanden giver den a vandrette asymptote: y. b ) Hvis tællergrad, n er lig med nævnergrad, m, så er lim ) Hvis tællergrad, n er mindre end nævnergrad, m, så er lim 0, og dermed er y 0 en vandret asymptote. Hvis tællergraden er mindre end nævnergraden, er naturligvis omvendt også nævnergraden større end tællergraden. Vi må orestille os, at når, så vil nævnerens værdi vokse betydeligt i orhold til tællerens værdi. Eller med andre ord: Vi har en brøk, hvor nævneren bliver MEGET større end tælleren, og det giver som bekendt værdien 0. 3) Hvis tællergrad, n er større end nævnergrad, m, så er lim, og dermed er der ingen vandret asymptote. Hvis tællergraden er større end nævnergraden, kan man dividere tæller med nævner. Dette vil eterlade mindst et led, som indeholder. Når, vil ligeledes brøken, og der er således ingen vandret asymptote. Fremgangsmåden ved at bruge det ovenstående skema er altså generelt eektiv. Hvis man vil overbevise sig om gyldigheden a de tre udsagn, kan man dividere alle led i både tæller og nævner med den største potens a.
4 Michel Mandi (07) Side 4 a 5 Eksempel: lim lim lim 3 0 Dvs. at der eksisterer en vandret asymptote med ligningen: y lim lim lim 0 0 Dvs. at der eksisterer en vandret asymptote med ligningen: y lim lim lim 0 0 Dvs. at der ikke eksisterer en vandret asymptote OBS! P. Madsen angiver metoden at dividere med største potens a. Dette er or så vidt ok, men det er en metode, som tager lang tid. Den logiske metode i boksen på orrige side er hurtigere, og når man har orstået logikken, lige så god eller bedre.
5 Michel Mandi (07) Side 5 a 5 Eksempler på vandrette asymptoter. (Der kan være lodrette asymptoter også i disse eksempler, men de bliver ørst gennemgået i næste asnit). Givet polynomiumsbrøken: 3 4 Da både tællergrad og nævnergrad er, må der eksistere en vandret asymptote: y 3. (Ønskes bevis, kan man dividere hele udtrykket med og dereter lade. Givet polynomiumsbrøken: 3 4 Da tællergrad er og nævnergrad er, så er nævnergraden større end tællergraden, og der må eksistere en vandret asymptote: y 0. (Ønskes bevis, kan man dividere hele udtrykket med og dereter lade. Givet polynomiumsbrøken: 3 4, Da tællergrad er og nævnergrad er, så er tællergraden større end nævnergraden, og der indes ingen vandret asymptote. (Ønskes bevis, kan man dividere hele udtrykket med og dereter lade.
6 Michel Mandi (07) Side 6 a 5 Opgaver med vandrette asymptoter: Bestem eventuelle vandrette asymptoter or de ølgende unktioner: a) 3 6 b) c) g 5 3 h d) i e) ) g) h) 4 j 3 k l m 3 3
7 Michel Mandi (07) Side 7 a 5 Lodrette asymptoter: Lad g være en polynomiumsbrøk. h ) Hvis a ikke er et nævnernulpunkt (rod i h ), så er lim a a, og dermed er a IKKE en asymptote. Hvis der er en lodret asymptote, sker det ved en -værdi, som ikke er deineret. Det er typisk ordi man ved denne -værdi vil komme til at dividere med 0. Hvis a IKKE er et nulpunkt i nævneren, så vil nævneren ikke give 0 or = a, og unktionen er deineret i den pågældende -værdi. Der vil altså ikke være nogen lodret asymptote. ) Hvis a er et nævnernulpunkt, men ikke et tællernulpunkt, så er lim = a en lodret asymptote. Hvis a er et nævnernulpunkt, så vil man i princippet komme til at dividere med 0, når = a. Det betyder, at unktionsværdien vil gå imod, og det betyder, at = a er en lodret asymptote. 3) Hvis a er både nævner- og tællernulpunkt, kan brøken orkortes med a a, og dermed er ved hjælp a polynomiers division, hvoreter den reducerede brøk igen undersøges med hensyn til a.
8 Michel Mandi (07) Side 8 a 5 Eksempler på lodrette asymptoter. (Der kan være vandrette eller skrå asymptoter også i disse eksempler, men de er ikke i okus i dette asnit). Givet polynomiumsbrøken: 3 4, Det ses, at deinitionsmængden er lig med: Dm \, hvilket vil sige, at der ikke eksisterer en unktionsværdi or og deror heller ikke noget grapunkt or. Det vil sige, at graen deler sig omkring, og der er dermed mulighed or en lodret asymptote givet ved. Tæller og nævner betragtes hver or sig: For tællerpolynomiummet ås: or. For nævnerpolynomiummet ås: 0 or samt: 0 or Divideres et tal (0) med et tal, som er tæt på 0 (uanset om det er på den positive eller negative side), så bliver resultatet et tal som er uendelig stort or og or Med andre ord kan det siges at: lim, og det indses, at er en lodret asymptote. Denne metode kan udøres or næsten alle brøkunktioner og or næsten alle ikke-deinerede værdier. Således har en brøkunktion næsten altid en lodret asymptote i de pågældende ikke-deinerede værdier, men der er undtagelser, hvilket der kommer et par eksempler på i det eterølgende.
9 Michel Mandi (07) Side 9 a 5 Et eksempel, som kan være lidt overraskende Givet unktionen: 4, Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Det ses nemt, at brøkens tæller kan aktoriseres: 4. () er ikke deineret or, men hvis ikke benyttes, kan nævner og tæller divideres (brøken orkortes) med. Det giver ølgende resultat: Hvis der er en lodret asymptote, må den eksistere i et nævnernulpunkt. Det eneste, i dette tilælde, som kan komme på tale er: 0 Så deror undersøges grænseværdien or unktionsværdien or og. lim 4 og lim 4. Da grænseværdien i begge tilælde går mod en konstant og ikke mod, så der er ingen lodret asymptote. Tanken er jo netop, at når går imod en bestemt værdi, så går unktionsværdien imod. Der er heller ingen vandret asymptote, da lim. Her var kravet, at grænseværdien skulle gå mod en konstant, såremt der er en vandret asymptote. Bemærk, at unktionen ikke er deineret or =! Det vises ikke i programmet Graph, da der jo kun er tale om et uendeligt lille punkt, men normalt sætter man en hul ring om graen i det punkt, hvor den ikke er deineret. Her er det gjort lidt omstændeligt, men dog ladsiggørligt vha. tre unktioner.
10 Michel Mandi (07) Side 0 a 5 Et andet eksempel, som viser undtagelsen om lodrette asymptoter:, \ 0;. Givet unktionen: Dm Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Det ses nemt, at der er mulighed or to lodrette asymptoter, nemlig 0 og, da disse værdier er rødder i nævnerpolynomiummet. Det kræver ikke meget overblik at se, at: lim 0, idet nævnerpolynomiummet går imod en konstant (0). Deror er der en lodret asymptote or 0. Det er mere problematisk or. Det er allerede etableret, at er rod i nævnerpolynomiummet. Tæller og nævner betragtes hver or sig: For tællerpolynomiummet ås: 0 or For nævnerpolynomiummet ås: 0 or er altså rod i både tæller- og nævnerpolynomiummet, og det giver ingen mening at se på, hvad et tal tæt på 0 divideret med et andet tal tæt på 0 er lig med. Det ses dog, at brøken kan reduceres. Da er rod i både tæller- og nævnerpolynomiummet, kan både tæller og nævner orkortes med. I dette tilælde er det nemt, da det let kan ses, at det er muligt at aktorisere både tæller og nævner med. (Husk den 3. kvadratsætning). Dette ører til at: lim lim, og det ses, at der ikke er en lodret asymptote or. Betragter man graen or unktionen, ser man at unktionen stadig er udeineret or. Da der ikke eksisterer en lodret asymptote or, resulterer det i stedet i et hul i graen. (Der er også en vandret asymptote, hvilket nemt kan ses, da tællergrad () = nævnergrad). Da koeicienterne or de ørende led i hhv. tæller og nævner er, bliver den vandrette asymptote: Vandret asymptote: y y
11 Michel Mandi (07) Side a 5 Opgaver med lodrette asymptoter: Bestem eventuelle lodrette asymptoter or de ølgende unktioner: a) 5 3 b) c) 3 g 6 h d) i e) ) g) h) j 4 k 6 3 l 4 m 0 85
12 Michel Mandi (07) Side a 5 Skrå asymptoter: Lad g være en polynomiumsbrøk. h Hvis tællergraden er NETOP ÉN STØRRE end nævnergraden, så har en skrå asymptote y a b, og denne asymptote bestemmes ved at omskrive unktionen til t, vha. polynomiers division, hvor a b h SKAL være a lavere grad end h som er remkommet ved at oretage polynomiets divi- h er nævnerpolynomiummet. sion og t er resten en unktion som Med andre ord, så, når man dividerer tællerpolynomiummet med nævnerpolynomiummet, så SKAL der være en rest or at der kan være en skrå asymptote dvs. divisionen må ikke gå op. Det ses, at t 0, or h. Tænk over det! Det passer int. Dividerer man en unktion a en given grad med en unktion, som er a præcis én grad mindre, så må resultatet a denne division resultere i et ørstegradspolynomium. Dette ørstegradspolynomium er asymptoten. Der er dog et krav mere! Hvis det er en asymptote, så skal unktionen nærme sig denne asymptote når går imod. Deror er det nødvendigt med en rest, som går imod 0, når tællerpolynomiummet divideres med nævnerpolynomiummet.
13 Michel Mandi (07) Side 3 a 5 Eksempler på skrå asymptoter. (Der kan være lodrette også i disse eksempler, men de er ikke i okus i dette asnit). 3, \ 0. Givet unktionen: Dm Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Nævneren divideres op i tælleren, hvilket giver: 3 Idet, ses det tydeligt, at 3, idet 0, or. Deror er y 3 en skrå asymptote til graen., \ Givet unktionen: Dm Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Vandret: Idet tællergrad er større end nævnergrad, så kan der ikke eksistere en vandret asymptote. Lodret: ses let at være rod i nævneren. Der er altså en potentiel lodret asymptote or. Tællerligningen løses: d b 4ac b d a Idet IKKE er rod i tælleren, kan det konkluderes, at er lodret asymptote. Skrå: Nævneren divideres op i tælleren, hvilket giver: Der er en rest, som nemt ses at gå imod 0 or. Det giver en skrå asymptote : y 3.
14 Michel Mandi (07) Side 4 a 5 Opgaver med skrå asymptoter: Bestem eventuelle vandrette, lodrette og skrå asymptoter or de ølgende unktioner: a) 3 b) c) d) e) 4 g 4 h i j 4 ) k g) h) l m
15 Michel Mandi (07) Side 5 a 5 Quick oversigt om asymptoter grænsende til det geniale ;-) Vandrette: Lad n a m b være en polynomiumsbrøk. ) Hvis tællergrad, n er lig med nævnergrad, m, så er lim a, og dermed er en vandret asymptote. b n m Tænk på det som at hvis nævner- og tællergrad er lige store, så vil og være voldsomt dominerende i orhold til alle de andre led, når. Vi har altså en situation, hvor alle -leddene går ud imod hinanden. Til overs er kun aktorerne a og b, som divideret med hinanden giver den vandrette asymptote: ) Hvis tællergrad, n er mindre end nævnergrad, m, så er a y. b lim 0, og dermed er y 0 en vandret asymptote. Hvis tællergraden er mindre end nævnergraden, er naturligvis omvendt også nævnergraden større end tællergraden. Vi må orestille os, at når, så vil nævnerens værdi vokse betydeligt i orhold til tællerens værdi. Eller med andre ord: Vi har en brøk, hvor nævneren bliver MEGET større end tælleren, og det giver som bekendt værdien 0. 3) Hvis tællergrad, n er større end nævnergrad, m, så er lim, og dermed er der ingen vandret asymptote. Hvis tællergraden er større end nævnergraden, kan man dividere tæller med nævner. Dette vil eterlade mindst et led, som indeholder. Når, vil ligeledes brøken, og der er således ingen vandret asymptote. Lodrette: g Lad h være en polynomiumsbrøk. ) Hvis a ikke er et nævnernulpunkt (rod i h ), så er lim a a, og dermed er a IKKE en asymptote. Hvis der er en lodret asymptote, sker det ved en -værdi, som ikke er deineret. Det er typisk ordi man ved denne -værdi vil komme til at dividere med 0. Hvis a IKKE er et nulpunkt i nævneren, så vil nævneren ikke give 0 or = a, og unktionen er deineret i den pågældende -værdi. Der vil altså ikke være nogen lodret asymptote. ) Hvis a er et nævnernulpunkt, men ikke et tællernulpunkt, så er lim a, og dermed er = a en lodret asymptote. Hvis a er et nævnernulpunkt, så vil man i princippet komme til at dividere med 0, når = a. Det betyder, at unktionsværdien vil gå imod, og det betyder,at = a er en lodret asymptote. 3) Hvis a er både nævner- og tællernulpunkt, kan brøken orkortes med a den reducerede brøk igen undersøges med hensyn til a. ved hjælp a polynomiers division, hvoreter Skrå: Lad g være en polynomiumsbrøk. h Hvis tællergraden er NETOP ÉN STØRRE end nævnergraden, så har muligvis en skrå asymptote y a b, og denne asymptote bestemmes ved at omskrive unktionen til: t, vha. polynomiers division, hvor a b h som er remkommet ved at oretage polynomiets division og t er resten en unktion som SKAL være a lavere grad end h er nævnerpolynomiummet. h
Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereKap 5 - beviser - matematikb2011
Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereMatematik & Statistik
Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle
Læs mereProjekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion
ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereMATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereIntegralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l
Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 17 Institution Business College Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold eux Matematik B Winnie Bjørn Mosegaard
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrønt forløb: Terningekast. Trin: 4. klasse Fag: Matematik Opgave: Terningekast Antal lektioner: 4 lektioner
Grønt orløb: Terningekast Trin: 4. klasse Fag: Matematik Opgave: Terningekast Antal lektioner: 4 lektioner INDHOLD INTRO... 3 ARBEJDSFORM... 3 FÆLLES MÅL... 3 DET GRØNNE FORLØB... 4 KODNING, SPROG OG SIKKERHED...4
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010
Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel
Læs mereEksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo!
Eksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo! Eksemplet er hentet fra side 122 i bogen "Counterexamples
Læs mereDifferentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul
Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' når er tiden....
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Steffen Podlech 3F Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDifferentialregning. for stx og hf Karsten Juul
Dierentialregning r st g h t s 09 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g røringspunkt Funktinsværdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' når er tiden 5 Frtlkning a ' når ikke er
Læs mereNavn: Klasse: HTx1A Opgaver: 008, 009, 013, 015 & 018 Afleveringsdato: Uge 38: 18-09-2014
Sæt 02 Tal og algebra Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 008, 009, 013, 015 & 018 Afleveringsdato: Uge 38: 18-09-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 85 min. = 1,45 timer Sæt
Læs mereFunktioner af to og tre variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College.
Studieplan Stamoplysninger Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-A Ole Gentz Nørager MatematikAhh1313-VØ Oversigt over planlagte
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereEn uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12
7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereFacitliste opgaver 9. f er aftagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] (0,0) Kernestof 2 ISBN Opg a. b. c.
Website: Facitlister til opgaver i Facitliste opgaver 9 Opg. 901 c. = 3 ( x) 4x x x = 0,7 og x = 0,7 er atagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] er voksende i intervallerne [-0,7 ; 0] og [0,7 ;
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereFACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i
1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMathcad Survival Guide
Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og
Læs mereVentilatorer i kvægstalde - Klimamålinger
Ventilatorer i kvægstalde - Klimamålinger Stald nr. Stald nr. Stald nr. 3 Stald nr. Stald nr. 5 Stald nr. Stald nr. 7 Stald nr. Stald nr. 9 Stald nr. Stald nr. Stald nr. Stald nr. 3 Stald nr. Ventilatorer
Læs mere4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.
. Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereKapitel 7. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse Øvelse a = 3 0, = 8 2,6 3 = 25 3, , =
ISBN 978877066879 Kaitel 7 Øvelse 71 1 3 4 ( x + 6) ( x 4) (y + 3 z) (y 3 z) (m + 10) Øvelse 74 a 3 5 = 4,6 49 7 = 7,0 3 0,1875 16 = 8,6 3 = 5 3,57148 7 = 10 0, 76930 13 = Stregerne over tallene efter
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereMattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner
Mattip om Brøker Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Kan ikke Kan næsten Kan Det samme tal kan skrives både som brøk og decimaltal I en uægte brøk er tælleren større end nævneren
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs merekoordinatsystemer og skemaer
brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereReferat Ekstra kontaktudvalgsmøde ml. Sygehus Thy-Mors og Thisted, Morsø og Jammerbugt Kommuner
Administrationen Reerat Ekstra kontaktudvalgsmøde ml. Sygehus Thy-Mors og Thisted, Morsø og Jammerbugt Kommuner 29. januar 2014 kl. 13.30-15.30 i Mødelokale 3, Thylandsvej 37, stuen Mødedeltagere Thisted
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereNavn: Klasse: HTx1A Opgaver: 003, 004, 006 & 007 Afleveringsdato: Uge 35:
Sæt 01 Ligninger og algebra 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 003, 004, 006 & 007 Afleveringsdato: Uge 35: 28-08-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 45 min. = 0,75 timer
Læs mereBrøker og forholdstal
Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning
Læs mere4 Sandsynlighedsfordelinger og approksimationer
4 Sandsynlighedsordelinger og approksimationer 4. Sandsynlighedsordeling or specielle diskrete variable 4.. Bernoulliordelingen En indikatorvariabel (dummyvariabel) er en variabel, som viser (indikerer)
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Business College SYD eux Matematik B Danijel Zovko euxmatb17
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereLæringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4
Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 15 December 15 Institution Vejen Business College.
Studieplan Stamoplysninger Periode August 15 December 15 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-B Sabine Lindemann Petersen MatematikBhh1315-VØ Oversigt
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution Vestegnen HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kåre Lund
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommerkursus 2018. Institution HF & VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK-hold A-B
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik
Læs mereIndledning...3 Introduktionsafsnit...5 Modellen...23 Forsøgsbeskrivelse...29 Metode til databehandling...33 Analyse af data...41 Diskussion...
Indholdsortegnelse Indledning...3 Problemormulering...3 grænsning...3 Metode...4 Målgruppe og læsevejledning...4 Introduktionsasnit...5 Termodynamiske størrelser og relationer...5 Hovedsætninger...5 Termodynamiske
Læs mereBasal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:
Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereMatematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså
Læs mereMatematik c - eksamen
Eksamensnummer: 101364 - Fjernkursist side 1 af 13 Matematik c - eksamen Opgave 1) a) Jeg får af vide, at et par har vundet i Lotto og ønsker at sætte 100.000 kr. ind på en opsparingskonto. I Bank A kan
Læs mereIndhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.
Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet
Læs mere