ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

Transkript

1 ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr Siderne mç benyttes i undervisningen hvis Éreren med det smme sender en e-mi ti kj@mt1.dk som opyser t disse sider benyttes (ngiv finvn), opyser om hod, niveu, Érer skoe. Åvese 1 NÄr Åvese 2 Åvese 3 2, b 1 k c b b c er sä c b c sä c b c Vi hr nu bevist t der for ethvert t k gåder t när b c ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 1 f Krsten Juu 2, b 1 k c 3 1, er 4 fordi de to indrmmede udtryk er ens. (Det er dig der hr skrevet de to udtryk, sä det er dig der sk sçrge for t der er rmme om). Brug dine erfringer fr Çvese 1 ti t skrive et bevis for t när u u 1, v v 1 u w 1 2 v 2 w2 w, er u v w w Du sk tsä skrive net der er nåsten mgen ti det du skrev i Çvese 1, bot med ndre koordinter. Der er ikke pds pä denne side. NÄr Åvese 4 c 2, e c t t er et t, er t tc e c e t c e Vi hr nu bevist t när e t c 2, e fordi de to indrmmede udtryk er ens. t er et t, er Brug dine erfringer fr de foregäende Çveser ti t skrive et bevis for t t b t b. när t er et t, b er vektorer, sä er

2 Åvese 5 NÄr u h, er u u 3 u 2, sä u Vi hr nu bevist t for ethvert t h gåder t när u h 2, er u u, 3 d de to indrmmede udtryk er ens. Åvese 6 Brug dine erfringer fr de foregäende Çveser ti t skrive et bevis for t for enhver vektor 2 er. Åvese 7 Der gåder 8 c 8 c ifçge formen som vi beviste i Çvese nr.. Åvese 8 Der gåder 4u u 4u u ifçge formen som vi beviste i Çvese nr.. Åvese 9 Der gåder b b b ifçge formen som vi beviste i Çvese nr.. Åvese 1 Hvis t 3, vi Ångden f t v våre gnge Ångden f v. Skriv dette som en igning (med symboer): For ethvert t k gåder t vi fär Ångden f k ved t gnge Ångden f med ( n 2) b. 7, sä Åvese 11 er vinkeret pä u, b dnner en vinke pä 45 med u, c er pre med u men hr modst retning, d er pre med u hr smme retning som u. Hvike f vektorerne, b, c, d o kn vi fä frem ved t gnge u med et t. NÄr v ikke er nuvektor, hvike vektorer kn vi sä skrive pä formen tv? ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 2 f Krsten Juu

3 Åvese 12 Tegn b. b Åvese 13 Se figuren ti hçjre. rojektionen f b pä er en vektor der er o eer med, sä vi kn fä projektionen frem ved t med : b t NÄr c er vektoren pä figuren, er b t c t Begge sider i denne igning vi med fär: b t c HÇjre side i denne igning omskriver vi ved hjåp f formen, som vi beviste i Çvese, fär: b ( t) c FÇrste ed pä hçjre side i denne igning omskriver vi ved hjåp f formen, som vi beviste i Çvese. Andet ed er ig d. I t fär vi: b t( ) Indhodet f prentesen omskriver vi ved hjåp f formen som vi beviste i Çvese, fär: 2 b t Begge sider i denne igning vi med fär: b t 2 Vi indsåtter dette udtryk for t i igningen b t Denne forme skrev du en begrundese for i strten f denne Ävese. fär: b Dette er formen ti t udregne projektionen f en vektor. Af denne fär vi: b c b HÇjresiden i denne igning omskriver vi ved hjåp f regen fr Çvese 1 fär b som vi omskriver ti b 2 Vi forkorter med fär formen ti t udregne Ångden f en vektors projektion: ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 3 f Krsten Juu

4 Åvese 14 Linjen er vinkeret pä vektoren n gär gennem punktet. () Ligger 1 (b) Er n? 1 (c) Ligger 2 (d) Er n? 2 (e) Ligger 3 1 n 2 (f ) Er n? 3 (g) Ligger 4 (h) Er n? 4 (i) Ligger ( j) Er n? 5 (k) Er n? Åvese 15 En inje er givet ved t er vinkeret pä vektoren n b gär gennem punktet x, ). Desuden gåder t ( y ( x, er et vikärigt punkt i pnen. SÄ gåder t igger pä netop när n Heri indsåtter vi koordinter fär: Vi udregner skrproduktet pä venstre side. SÄ ser igningen sädn ud: Dette er en igning for injen. Vi gnger ind i prenteserne fytter rundt pä eddene: x by Ofte kender vi tene x, y, b. SÄ kn vi tråkke indhodet f prentesen smmen ti Ét t c. SÄ ser igningen sädn ud: Dette er en igning for injen. ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 4 f Krsten Juu

5 Åvese 16 I Çvese 15 viste vi t när en inje er vinkeret pä gär gennem ( x, ) b y, sä hr injen igningen x x ) b( y y ). Ved t indsåtte heri fär vi t när en inje er vinkeret pä 3 5 ( gär gennem ( 2,1), sä hr den fçgende igning: Vi reducerer venstre side fär fçgende igning: Der gåder tsä t Åvese 17 hvis, b c, sä er x by c igningen for en inje, er vinkeret pä denne inje. Hvis, b c stär for bestemte t, sä vi igningen (* ) x by c enten bive snd eer fsk hvis vi indsåtter et punkts koordintsåt ( x, Mn siger t (*) er en igning for mångden f punkter der gçr den snd. i igningen. Hvis b : Den inje der gär gennem punktet (, ) b c er vinkeret pä vektoren, hr b igningen NÄr vi reducerer denne igning, fär vi Vi behäver ikke huske y-koordinten udend: Vi kn bot indsétte for x i ( * ) isoere y. Dvs. (*) er igning for en inje, vektoren b Hvis : er vinkeret pä denne inje. Den inje der gär gennem punktet (, ) er vinkeret pä vektoren, hr b igningen NÄr vi reducerer denne igning, fär vi Dette punkt sk gäre igningen ( * ) snd. SÇtning Dvs. (*) er igning for en inje, vektoren b NÄr b ikke begge er x by c, sä er er vinkeret pä denne inje. igning for, vektoren er denne inje. b ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 5 f Krsten Juu

6 Åvese 18 Ligningen by c x när bäde b er. () Hvis vi indsåtter punktet ( x, (5, 3) i igningen x y 8, fär vi sä en snd igning? (b) Hvike punkter ( x, gçr igningen x y 8 snd? (c) Hvis vi indsåtter punktet ( x, (5, 3) i igningen x y, fär vi sä en snd igning? (d) Hvike punkter ( x, gçr igningen x y snd? Åvese 19 () Symboet AB Åses (b) Symboet ABCD Åses (c) Symboet ABCD Åses (d) Er AB ig fstnden fr B ti injen? D A (e) Er CD ig fstnden fr D ti injen? C (f ) Er ABCD ig fstnden fr B ti injen? B Åvese 2 () Er Ångden f AB s projektion pä n stçrre end s fstnd ti injen? (b) Er Ångden f CD s projektion pä n stçrre end s fstnd ti injen? (c) Er Ångden f A s projektion pä n stçrre end s fstnd ti injen? n C D B (d) Er Ångden f C s projektion pä n stçrre end s fstnd ti injen? A ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 6 f Krsten Juu

7 Åvese 21 Vi vi finde en forme ti t udregne fstnden fr et punkt ( x 1, y 1) ti en inje : x by c. Se figur 1. Figur 1 Ä figuren hr vi vist hvd Q er for et punkt. fstnd fr ti Ångden f Q Se figur 2. Figur 2 Ved hjåp f såtningen nederst side 5 kn vi sutte t vektoren n er vinkeret pä. Se figur 3. Vi der R( x, y ) våre et punkt pä. Se figur 3. SÄ gåder x by c. Herf kn vi sutte t c. Q n Q R Figur 3 Nu kn vi udregne fstnden: Afstnd fr ti Q R n ifçge formen nederst side 3. ( ) ( ) d c SÇtning: Afstnden fr punktet x 1, y ) ti injen : x by c ( 1 er ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Side 7 f Krsten Juu