Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme
|
|
- Anita Bundgaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark Forår 2018 Kapitel 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Grudlæggede kocepter Populatio og tilfældig stikprøve Estimatio (f.eks. ˆµ er estimat af µ) Sigifikasiveau α Kofidesitervaller (fager rigtige prm. 1 α af gagee) Stikprøvefordeliger (stikprøvegeemsit (t) og empirisk varias (χ 2 )) Cetrale græseværdisætig Specifikke metoder, é gruppe/stikprøve Kofidesiterval for middelværdi (t-fordelig) Kofidesiterval for varias (χ 2 -fordelig) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Chapter 3: Oe sample cofidece itervals Oversigt Geeral cocepts Populatio ad a radom sample Estimatio (e.g. ˆµ is estimate of µ) Sigificace level α Cofidece itervals (Catches true value 1 α times) Samplig distributios (sample mea (t) ad sample vaiace (χ 2 )) Cetral Limit Theorem Specific methods, oe sample Cofidece iterval for the mea (t-distributio) Cofidece iterval for the variace (χ 2 -distributio) 1 t-fordelige 2 Kofidesitervallet for µ 3 De statistiske sprogbrug og formelle ramme 4 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) 5 Kofidesiterval for varias og spredig DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
2 : Populatio og fordelig Theorem 3.2: Fordelig for geemsit af ormalfordeliger (Uedelig) Populatio Tilfældigt udvalgt Stikprøve {x 1,x 2,...,x } (Stikprøve-) fordelige for X Assume that X 1,...,X are idepedet ad idetically ormally distributed radom variables, X i N(µ,σ 2 ) ad i = 1,...,, the: X = 1 i=1 X i X N (µ, σ 2 ) Middelværdi µ Statistisk iferes Vi går u på jagt efter µ! Stikprøvegeemsit x DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Middelværdi og varias følger af regeregler Spørgsmål om stikprøvegeemsittet (socrative.com, room: PBAC) Theorem 2.40: Lieær fuktio af ormal distribuerede variable er også ormalfordelt Two ormal distributios Theorem 2.53: Middelværdie af X ( ) 1 E( X) = E X i = 1 i=1 i ) = i=1e(x 1 Theorem 2.53: Variase for X i=1 µ = 1 µ = µ Var( X) = 1 2 Var(X i ) = 1 i=1 2 σ 2 = 1 i=1 2 σ 2 = σ 2 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 De ee pdf hører til X i og de ade til X. Hvad ka kokluderes (for > 1)? A: De sorte hører til X i og de blå til X B: De sorte hører til X og de blå til X i C: Det ka ikke afgøres D: Ved ikke µ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
3 : Simuler middelværdi og spredig af stikprøvegeemsit Stadardiseret fejl vi begår, Corollary 3.3: ## Middelværdie mu <- -5 ## Stadard afvigelse sigma <- 2 ## Stikprøvestørrelse <- 50 ## Simuler ormalfordelte X_i x <- rorm(=, mea=mu, sd=sigma) ## Se realiserigere x ## Empirisk tæthed hist(x, prob=true, col='blue') ## Bereg geemsittet (stikprøve middelværdie, i.e. sample mea) mea(x) ## Bereg stikprøvevariase (sample variace) var(x) ## Getag de simulerede stikprøvetagig mage gage mat <- replicate(100, rorm(=, mea=mu, sd=sigma)) ## Bereg geemsittet for hver af dem xbar <- apply(mat, 2, mea) ## Nu har vi mage realiseriger af stikprøvegeemsittet xbar ## Se deres fordelig hist(xbar, prob=true, col='blue') ## Deres geemsit mea(xbar) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 ## og deres variaser var(xbar) Når vi bruger X som estimat for µ: Så begår vi fejle X µ Fordelige for de stadardiserede fejl vi begår: Assume that X 1,...,X are idepedet ad idetically ormally distributed radom variables, X i N ( µ,σ 2) where i = 1,...,, the: Z = X µ = X µ σ ( X µ) σ/ N(0,12 ) That is, the stadardized sample mea Z follows a stadard ormal distributio. DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Trasformatio til stadard ormalfordelig: Pdf for geemsittet X år X i N(µ,σ 2 ) Trasformatio til stadard ormalfordelig: Pdf for fejle vi begår X µ år X i N(µ,σ 2 ) X N(µ, σ 2 ) X µ N(0, σ 2 ) σ X = σ σ ( X µ) = σ µ 0 µ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
4 Trasformatio til stadard ormalfordelig: X µ Pdf for de stadardiserede fejl σ/ år X i N(µ,σ 2 ) X µ σ/ N(0,12 ) Nu ka et 95% kofidesiterval udledes 95% kofidesiterval for µ: P(z < Z < z ) = 0.95 ( P z < X µ ) σ/ < z σ σ ) P (z < X µ < z = 0.95 = 0.95 σ ( ) X µ = 1 σ/ ( σ σ ) P X + z < µ < X + z = µ Stadardiseret til stadard ormalfordelig (oteres Z = X µ σ/ N(0,12 )) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / simulerig: Beregig af 95% kofidesiterval 2. simulerig: Beregig af 95% kofidesiterval Kofidesitervallet er omkrig x og fager her µ Kofidesitervallet er omkrig x og fager her µ pdf for X i Pdf for X pdf for X i Pdf for X µ µ x + z σ x x x + z σ x + z σ x x + z σ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
5 2. simulerig: Beregig af 99% kofidesiterval 20 simuleriger: Beregig at 95% kofidesiterval 99% kofidesitervallet er breddere ed 95% kofidesitervallet (det skal fage µ oftere) MISS pdf for X i Pdf for X µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ x + z σ x x + z σ µ µ µ µ µ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / simuleriger: Beregig at 95% kofidesiterval Spørgsmål om kofidesiterval (socrative.com, room: PBAC) MISS µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ MISS MISS µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ MISS µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ Hvis vi plalægger at berege et 98% kofidesiterval for middelværdie, hvad er da sadsylighede for at middelværdie ikke ligger ide i itervallet? A: 1% B: 2% C: 4% D: De keder vi ikke E: Ved ikke DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
6 Spørgsmål om kofidesiterval (socrative.com, room: PBAC) Praktisk problem!! Når vi så har udført eksperimetet og har stikprøve, ved vi da om middelværdie er ideholdt i det kofidesiterval vi har bereget? A: Ja B: Nej C: Ved ikke Populatiosspredige σ idgår i formle og de keder vi ikke!! Oplagt løsig: Aved stikprøvespredige S som estimatet af σ i stedet for! MEN MEN: Så bryder de give teori faktisk samme!! HELDIGVIS: Der fides e heldigvis udvidet teori, der ka klare det!! DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 t-fordelige t-fordelige Theorem 3.4: More applicable extesio of the same stuff: (kopi af Theorem 2.49) t-fordelige med 9 frihedsgrader ( = 10) og stadardormalfordelige t-fordelige tager højde for usikkerhede i at bruge s: Assume that X 1,...,X are idepedet ad idetically ormally distributed radom variables, where X i N ( µ,σ 2) ad i = 1,...,, the T = X µ S/ t where t is the t-distributio with 1 degrees of freedom Red: t Black: stadard ormal z = 1.96 z = 1.96 t = 2.26 t = DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
7 t-fordelige Kofidesitervallet for µ t-fordelige med 29 frihedsgrader ( = 30) og stadardormalfordelige Metodeboks 3.8: Oe-sample kofidesiterval for µ Red: t Black: stadard ormal z = 1.96 z = 1.96 t = 2.05 t = 2.05 Brug de rigtige t-fordelig til at lave kofidesitervallet: For a sample x 1,...,x the 100(1 α)% cofidece iterval is give by: x ± t 1 α/2 s where t 1 α/2 is the 100(1 α)% quatile from the t-distributio with 1 degrees of freedom. Mest almideligt med α = 0.05: The most commoly used is the 95%-cofidece iterval: x ± t s DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Kofidesitervallet for µ Kofidesitervallet for µ - Højde af 10 studerede Højde-eksempel, 95% kofidesiterval (CI) Stikprøve, = 10: ## 97.5% fraktile af t-fordelige for =10: qt(p=0.975, df=9) ## [1] 2.26 Sample mea og stadard deviatio: x = 178 s = Estimer populatio mea og stadard deviatio: ˆµ = 178 ˆσ = Idsat i formle giver det 178 ± ± 8.74 = [169.3; 186.7] DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
8 Kofidesitervallet for µ Kofidesitervallet for µ Højde-eksempel, 99% Kofidesiterval (CI) Der fides e R-fuktio, der ka gøre det hele (med mere): ## 99.5% fraktile af t-fordelige for =10: qt(p=0.995, df=9) ## [1] 3.25 ## Agiv data x <- c(168,161,167,179,184,166,198,187,191,179) ## Bereg 99% kofidesiterval t.test(x, cof.level=0.99) Idsat i formle giver det 178 ± ± = [165.4; 190.6] ## ## Oe Sample t-test ## ## data: x ## t = 50, df = 9, p-value = 5e-12 ## alterative hypothesis: true mea is ot equal to 0 ## 99 percet cofidece iterval: ## ## sample estimates: ## mea of x ## 178 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Kofidesitervallet for µ De statistiske sprogbrug og formelle ramme Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Geemsit x = 14.4, stikprøvespredige s = 6, atal obs. er = 9 Formle for kofidesitervallet er x ± t s t-fordelige med 8 frihedsgrader t = 2.31 t = x Hvilket af itervallere er det rigtige 95% kofidesiterval? A: Turkise B: Sorte C: Grøe D: Blå E: Røde De formelle ramme for statistisk iferes Fra boge, kapitel 1: A observatioal uit is the sigle etity/level about which iformatio is sought (e.g. a perso) (Observatiosehed) The statistical populatio cosists of all possible measuremets o each observatioal uit (Populatio) The sample from a statistical populatio is the actual set of data collected. (Stikprøve) Sprogbrug og kocepter: µ og σ er parametre, som beskriver populatioe x er estimatet for µ (kokret udfald) X er estimatore for µ (u set som stokastisk variabel) Begrebet statistic(s) er e fællesbetegelse for begge DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
9 De statistiske sprogbrug og formelle ramme De formelle ramme for statistisk iferes - De statistiske sprogbrug og formelle ramme Statistisk iferes = Learig from data Fra boge, kapitel 1, højdeeksempel Vi måler højde for 10 tilfældige persoer i Damark Stikprøve/The sample: De 10 kokrete talværdier: x 1,...,x 10 Populatioe: Højdere for alle meesker i Damark. Observatiosehede: E perso Learig from data is learig about parameters of distributios that describe populatios Vigtigt i de forbidelse: Stikprøve skal på meigsfuld vis være repræsetativ for e eller ade veldefieret populatio Hvorda sikrer ma det Ved at sikre at stikprøve er fuldstædig tilfældig udtaget DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 De statistiske sprogbrug og formelle ramme Tilfældig stikprøveudtagig Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Theorem 3.13: The Cetral Limit Theorem Defiitio 3.11: A radom sample from a (ifiite) populatio: A set of observatios X 1,X 2,...,X costitutes a radom sample of size from the ifiite populatio f (x) if: 1 Each X i is a radom variable whose distributio is give by f (x) 2 These radom variables are idepedet Hvad betyder det???? 1 Alle observatioer skal komme fra de samme populatio 2 De må IKKE dele iformatio med hiade (f.eks. hvis ma havde udtaget hele familier i stedet for ekeltidivider) Geemsittet af e tilfældig stikprøve følger altid e ormalfordelig hvis er stor ok: Let X be the mea of a radom sample of size take from a populatio with mea µ ad variace σ 2, the Z = X µ σ/ is a radom variable whose distributio fuctio approaches that of the stadard ormal distributio, N(0,1 2 ), as Dvs., hvis er stor ok, ka vi (tilærmelsesvist) atage: X µ σ/ N(0,12 ) og X µ S/ t ved t-fordelige med 1 frihedsgrader DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
10 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer ## Stikprøvestørrelse =1 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=1', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0,1)) ## Stikprøvestørrelse =2 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=2', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0, Desity =1 Desity = Meas Meas DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer ## Stikprøvestørrelse =6 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=6', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0,1)) ## Stikprøvestørrelse =30 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=30', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0 Desity =6 Desity = Meas Meas DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
11 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Kosekves af CLT: Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Vores CI-metode virker OGSÅ for ikke-ormale data: Vi ka bruge kofides-iterval baseret på t-fordelige i stort set alle situatioer, blot er stor ok Hvad er stor ok? Faktisk svært at svare præcist på, MEN: Tommelfigerregel: 30 Selv for midre ka formle være (æste) gyldig for ikke-ormale data. Er lydiveauet behageligt? A: Fio B: Nope, skru op C: Nope, skru ed D: Nope, der er dårlig og ubehagelig lyd heride med det lydalægget DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Kofidesiterval for varias og spredig Stikprøvefordelige for varias-estimatet (Theorem 2.56) Bør Peder klæde sig mere ydeligt? A: Ja, for de da! Det er grimt det tøj B: Nej, ha ser faktisk rigtig checket ud C: Nej, det ka være lige meget med tøjet, ha skal barbere sig og rede sit hår først D: Ved ikke, jeg har simpelthe været for optaget af statistikke til at lægge mærke til has påklædig Variasestimater opfører sig som e χ 2 -fordelig: Let the: S 2 = 1 1 χ 2 = i=1 (X i X) 2 ( 1)S2 σ 2 is a radom variable followig the χ 2 -distributio with v = 1 degrees of freedom. DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
12 Kofidesiterval for varias og spredig χ 2 -fordelige med ν = 9 frihedsgrader ## Plot chi^2 tæthedsfuktio med 9 frihedsgrader ## E sekves af x værdier x <- seq(0, 30, by = 0.1) ## Plot chi^2 tæthedsfuktio plot(x, dchisq(x, df = 9), type = 'l', ylab="f(x)") Kofidesiterval for varias og spredig Metode 3.18: Kofidesiterval for stikprøvevarias og stikprøvespredig Variase: A 100(1 α)% cofidece iterval for the variace σ 2 is: [ ] ( 1)s 2 ( 1)s 2 χ1 α/2 2 ; χα/2 2 f(x) where the quatiles come from a χ 2 -distributio with ν = 1 degrees of freedom. Spredige: A 100(1 α)% cofidece iterval for the sample stadard deviatio ˆσ is: [ ] ( 1)s 2 ( 1)s x χ 2 1 α/2 ; χ 2 α/2 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Produktio af tabletter Kofidesiterval for varias og spredig Vi producerer pulverbladig og tabletter deraf, så kocetratioe af det aktive stof i tablettere skal være 1 mg/g med de midst mulige spredig. E tilfældig stikprøve udtages, hvor vi måler mægde af aktivt stof. Data: E tilfældig stikprøve med = 20 tabletter er udtaget og fra dee får ma: ˆµ = x = 1.01, ˆσ 2 = s 2 = %-kofidesiterval for variase - vi skal bruge χ 2 -fraktilere: Kofidesiterval for varias og spredig Så kofidesitervallet for variase σ 2 bliver: [ ; ] = [ ; ] Og kofidesitervallet for spredige σ bliver: [ ; ] = [0.053; 0.102] χ = , χ = ## 2.5% og 97.5% fraktilere i chi^2 fordelige for =20 qchisq(c(0.025, 0.975), df = 19) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
13 Højdeeksempel Kofidesiterval for varias og spredig Kofidesiterval for varias og spredig - Højde af 10 studerede - recap: Vi skal bruge χ 2 -fraktilere med ν = 9 frihedsgrader: χ = , χ = Stikprøve, = 10: ## 2.5% og 97.5% fraktilere i chi^2 fordelige for =10 qchisq(c(0.025, 0.975), df = 9) ## [1] Sample mea og stadard deviatio: x = 178 s = Estimer populatio mea og stadard deviatio: ˆµ = 178 ˆσ = Så kofidesitervallet for højdespredige σ bliver: [ ] ; 2 = [8.4; 22.3] NYT:Kofidesiterval, µ: 178 ± [169.3; 186.7] NYT:Kofidesiterval, σ: [8.4; 22.3] DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Kofidesiterval for varias og spredig Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Hvilket af følgede udsag er korrekt? A: Statistik er virkelig skod, jeg tror ikke det ka bruges til oget B: Statistik er altså øv, ma skal bare sidde og sætte e masse tal id i ogle dumme formler C: Jeg burde ligge uder mi dye og blive frisk til at feste igeem i afte D: Statistik er virkelig fedt, det er fascierede, at ma ikke bare ka rege et estimat ud, me ma ka også rege ud hvor præcist det er DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56
Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme
Itroduktio til Statistik enote 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Egelsk Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009
Læs mereForelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereProgram. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit
Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for
Læs mereOversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereTests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Læs mereProgram. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger
Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mereStatistik Lektion 8. Test for ens varians
Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 10: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 8: Simpel lineær regression. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereKapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Læs mereenote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt
enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereSTATISTIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
STATISTIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Jui 209 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse INDLEDNING...3 DESKRIPTIV STATISTIK...4 Skemaer...5 Diagrammer...8 Statistiske deskriptorer... 0 Typetal
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mere