Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme"

Transkript

1 Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark Forår 2018 Kapitel 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Grudlæggede kocepter Populatio og tilfældig stikprøve Estimatio (f.eks. ˆµ er estimat af µ) Sigifikasiveau α Kofidesitervaller (fager rigtige prm. 1 α af gagee) Stikprøvefordeliger (stikprøvegeemsit (t) og empirisk varias (χ 2 )) Cetrale græseværdisætig Specifikke metoder, é gruppe/stikprøve Kofidesiterval for middelværdi (t-fordelig) Kofidesiterval for varias (χ 2 -fordelig) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Chapter 3: Oe sample cofidece itervals Oversigt Geeral cocepts Populatio ad a radom sample Estimatio (e.g. ˆµ is estimate of µ) Sigificace level α Cofidece itervals (Catches true value 1 α times) Samplig distributios (sample mea (t) ad sample vaiace (χ 2 )) Cetral Limit Theorem Specific methods, oe sample Cofidece iterval for the mea (t-distributio) Cofidece iterval for the variace (χ 2 -distributio) 1 t-fordelige 2 Kofidesitervallet for µ 3 De statistiske sprogbrug og formelle ramme 4 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) 5 Kofidesiterval for varias og spredig DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

2 : Populatio og fordelig Theorem 3.2: Fordelig for geemsit af ormalfordeliger (Uedelig) Populatio Tilfældigt udvalgt Stikprøve {x 1,x 2,...,x } (Stikprøve-) fordelige for X Assume that X 1,...,X are idepedet ad idetically ormally distributed radom variables, X i N(µ,σ 2 ) ad i = 1,...,, the: X = 1 i=1 X i X N (µ, σ 2 ) Middelværdi µ Statistisk iferes Vi går u på jagt efter µ! Stikprøvegeemsit x DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Middelværdi og varias følger af regeregler Spørgsmål om stikprøvegeemsittet (socrative.com, room: PBAC) Theorem 2.40: Lieær fuktio af ormal distribuerede variable er også ormalfordelt Two ormal distributios Theorem 2.53: Middelværdie af X ( ) 1 E( X) = E X i = 1 i=1 i ) = i=1e(x 1 Theorem 2.53: Variase for X i=1 µ = 1 µ = µ Var( X) = 1 2 Var(X i ) = 1 i=1 2 σ 2 = 1 i=1 2 σ 2 = σ 2 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 De ee pdf hører til X i og de ade til X. Hvad ka kokluderes (for > 1)? A: De sorte hører til X i og de blå til X B: De sorte hører til X og de blå til X i C: Det ka ikke afgøres D: Ved ikke µ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

3 : Simuler middelværdi og spredig af stikprøvegeemsit Stadardiseret fejl vi begår, Corollary 3.3: ## Middelværdie mu <- -5 ## Stadard afvigelse sigma <- 2 ## Stikprøvestørrelse <- 50 ## Simuler ormalfordelte X_i x <- rorm(=, mea=mu, sd=sigma) ## Se realiserigere x ## Empirisk tæthed hist(x, prob=true, col='blue') ## Bereg geemsittet (stikprøve middelværdie, i.e. sample mea) mea(x) ## Bereg stikprøvevariase (sample variace) var(x) ## Getag de simulerede stikprøvetagig mage gage mat <- replicate(100, rorm(=, mea=mu, sd=sigma)) ## Bereg geemsittet for hver af dem xbar <- apply(mat, 2, mea) ## Nu har vi mage realiseriger af stikprøvegeemsittet xbar ## Se deres fordelig hist(xbar, prob=true, col='blue') ## Deres geemsit mea(xbar) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 ## og deres variaser var(xbar) Når vi bruger X som estimat for µ: Så begår vi fejle X µ Fordelige for de stadardiserede fejl vi begår: Assume that X 1,...,X are idepedet ad idetically ormally distributed radom variables, X i N ( µ,σ 2) where i = 1,...,, the: Z = X µ = X µ σ ( X µ) σ/ N(0,12 ) That is, the stadardized sample mea Z follows a stadard ormal distributio. DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Trasformatio til stadard ormalfordelig: Pdf for geemsittet X år X i N(µ,σ 2 ) Trasformatio til stadard ormalfordelig: Pdf for fejle vi begår X µ år X i N(µ,σ 2 ) X N(µ, σ 2 ) X µ N(0, σ 2 ) σ X = σ σ ( X µ) = σ µ 0 µ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

4 Trasformatio til stadard ormalfordelig: X µ Pdf for de stadardiserede fejl σ/ år X i N(µ,σ 2 ) X µ σ/ N(0,12 ) Nu ka et 95% kofidesiterval udledes 95% kofidesiterval for µ: P(z < Z < z ) = 0.95 ( P z < X µ ) σ/ < z σ σ ) P (z < X µ < z = 0.95 = 0.95 σ ( ) X µ = 1 σ/ ( σ σ ) P X + z < µ < X + z = µ Stadardiseret til stadard ormalfordelig (oteres Z = X µ σ/ N(0,12 )) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / simulerig: Beregig af 95% kofidesiterval 2. simulerig: Beregig af 95% kofidesiterval Kofidesitervallet er omkrig x og fager her µ Kofidesitervallet er omkrig x og fager her µ pdf for X i Pdf for X pdf for X i Pdf for X µ µ x + z σ x x x + z σ x + z σ x x + z σ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

5 2. simulerig: Beregig af 99% kofidesiterval 20 simuleriger: Beregig at 95% kofidesiterval 99% kofidesitervallet er breddere ed 95% kofidesitervallet (det skal fage µ oftere) MISS pdf for X i Pdf for X µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ x + z σ x x + z σ µ µ µ µ µ DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / simuleriger: Beregig at 95% kofidesiterval Spørgsmål om kofidesiterval (socrative.com, room: PBAC) MISS µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ MISS MISS µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ MISS µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ Hvis vi plalægger at berege et 98% kofidesiterval for middelværdie, hvad er da sadsylighede for at middelværdie ikke ligger ide i itervallet? A: 1% B: 2% C: 4% D: De keder vi ikke E: Ved ikke DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

6 Spørgsmål om kofidesiterval (socrative.com, room: PBAC) Praktisk problem!! Når vi så har udført eksperimetet og har stikprøve, ved vi da om middelværdie er ideholdt i det kofidesiterval vi har bereget? A: Ja B: Nej C: Ved ikke Populatiosspredige σ idgår i formle og de keder vi ikke!! Oplagt løsig: Aved stikprøvespredige S som estimatet af σ i stedet for! MEN MEN: Så bryder de give teori faktisk samme!! HELDIGVIS: Der fides e heldigvis udvidet teori, der ka klare det!! DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 t-fordelige t-fordelige Theorem 3.4: More applicable extesio of the same stuff: (kopi af Theorem 2.49) t-fordelige med 9 frihedsgrader ( = 10) og stadardormalfordelige t-fordelige tager højde for usikkerhede i at bruge s: Assume that X 1,...,X are idepedet ad idetically ormally distributed radom variables, where X i N ( µ,σ 2) ad i = 1,...,, the T = X µ S/ t where t is the t-distributio with 1 degrees of freedom Red: t Black: stadard ormal z = 1.96 z = 1.96 t = 2.26 t = DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

7 t-fordelige Kofidesitervallet for µ t-fordelige med 29 frihedsgrader ( = 30) og stadardormalfordelige Metodeboks 3.8: Oe-sample kofidesiterval for µ Red: t Black: stadard ormal z = 1.96 z = 1.96 t = 2.05 t = 2.05 Brug de rigtige t-fordelig til at lave kofidesitervallet: For a sample x 1,...,x the 100(1 α)% cofidece iterval is give by: x ± t 1 α/2 s where t 1 α/2 is the 100(1 α)% quatile from the t-distributio with 1 degrees of freedom. Mest almideligt med α = 0.05: The most commoly used is the 95%-cofidece iterval: x ± t s DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Kofidesitervallet for µ Kofidesitervallet for µ - Højde af 10 studerede Højde-eksempel, 95% kofidesiterval (CI) Stikprøve, = 10: ## 97.5% fraktile af t-fordelige for =10: qt(p=0.975, df=9) ## [1] 2.26 Sample mea og stadard deviatio: x = 178 s = Estimer populatio mea og stadard deviatio: ˆµ = 178 ˆσ = Idsat i formle giver det 178 ± ± 8.74 = [169.3; 186.7] DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

8 Kofidesitervallet for µ Kofidesitervallet for µ Højde-eksempel, 99% Kofidesiterval (CI) Der fides e R-fuktio, der ka gøre det hele (med mere): ## 99.5% fraktile af t-fordelige for =10: qt(p=0.995, df=9) ## [1] 3.25 ## Agiv data x <- c(168,161,167,179,184,166,198,187,191,179) ## Bereg 99% kofidesiterval t.test(x, cof.level=0.99) Idsat i formle giver det 178 ± ± = [165.4; 190.6] ## ## Oe Sample t-test ## ## data: x ## t = 50, df = 9, p-value = 5e-12 ## alterative hypothesis: true mea is ot equal to 0 ## 99 percet cofidece iterval: ## ## sample estimates: ## mea of x ## 178 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Kofidesitervallet for µ De statistiske sprogbrug og formelle ramme Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Geemsit x = 14.4, stikprøvespredige s = 6, atal obs. er = 9 Formle for kofidesitervallet er x ± t s t-fordelige med 8 frihedsgrader t = 2.31 t = x Hvilket af itervallere er det rigtige 95% kofidesiterval? A: Turkise B: Sorte C: Grøe D: Blå E: Røde De formelle ramme for statistisk iferes Fra boge, kapitel 1: A observatioal uit is the sigle etity/level about which iformatio is sought (e.g. a perso) (Observatiosehed) The statistical populatio cosists of all possible measuremets o each observatioal uit (Populatio) The sample from a statistical populatio is the actual set of data collected. (Stikprøve) Sprogbrug og kocepter: µ og σ er parametre, som beskriver populatioe x er estimatet for µ (kokret udfald) X er estimatore for µ (u set som stokastisk variabel) Begrebet statistic(s) er e fællesbetegelse for begge DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

9 De statistiske sprogbrug og formelle ramme De formelle ramme for statistisk iferes - De statistiske sprogbrug og formelle ramme Statistisk iferes = Learig from data Fra boge, kapitel 1, højdeeksempel Vi måler højde for 10 tilfældige persoer i Damark Stikprøve/The sample: De 10 kokrete talværdier: x 1,...,x 10 Populatioe: Højdere for alle meesker i Damark. Observatiosehede: E perso Learig from data is learig about parameters of distributios that describe populatios Vigtigt i de forbidelse: Stikprøve skal på meigsfuld vis være repræsetativ for e eller ade veldefieret populatio Hvorda sikrer ma det Ved at sikre at stikprøve er fuldstædig tilfældig udtaget DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 De statistiske sprogbrug og formelle ramme Tilfældig stikprøveudtagig Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Theorem 3.13: The Cetral Limit Theorem Defiitio 3.11: A radom sample from a (ifiite) populatio: A set of observatios X 1,X 2,...,X costitutes a radom sample of size from the ifiite populatio f (x) if: 1 Each X i is a radom variable whose distributio is give by f (x) 2 These radom variables are idepedet Hvad betyder det???? 1 Alle observatioer skal komme fra de samme populatio 2 De må IKKE dele iformatio med hiade (f.eks. hvis ma havde udtaget hele familier i stedet for ekeltidivider) Geemsittet af e tilfældig stikprøve følger altid e ormalfordelig hvis er stor ok: Let X be the mea of a radom sample of size take from a populatio with mea µ ad variace σ 2, the Z = X µ σ/ is a radom variable whose distributio fuctio approaches that of the stadard ormal distributio, N(0,1 2 ), as Dvs., hvis er stor ok, ka vi (tilærmelsesvist) atage: X µ σ/ N(0,12 ) og X µ S/ t ved t-fordelige med 1 frihedsgrader DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

10 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer ## Stikprøvestørrelse =1 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=1', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0,1)) ## Stikprøvestørrelse =2 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=2', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0, Desity =1 Desity = Meas Meas DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) CLT i actio - geemsit af Uiform fordelte observatioer ## Stikprøvestørrelse =6 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=6', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0,1)) ## Stikprøvestørrelse =30 ## Atal getagelser k=1000 ## Simuler u=matrix(ruif(k*),col=) ## Se empirisk tæthed hist(apply(u,1,mea), col='blue', mai='=30', xlab='meas', class=15, prob=true, xlim=c(0 Desity =6 Desity = Meas Meas DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

11 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Kosekves af CLT: Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Vores CI-metode virker OGSÅ for ikke-ormale data: Vi ka bruge kofides-iterval baseret på t-fordelige i stort set alle situatioer, blot er stor ok Hvad er stor ok? Faktisk svært at svare præcist på, MEN: Tommelfigerregel: 30 Selv for midre ka formle være (æste) gyldig for ikke-ormale data. Er lydiveauet behageligt? A: Fio B: Nope, skru op C: Nope, skru ed D: Nope, der er dårlig og ubehagelig lyd heride med det lydalægget DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Ikke-ormale data, Cetral Græseværdisætig (CLT) Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Kofidesiterval for varias og spredig Stikprøvefordelige for varias-estimatet (Theorem 2.56) Bør Peder klæde sig mere ydeligt? A: Ja, for de da! Det er grimt det tøj B: Nej, ha ser faktisk rigtig checket ud C: Nej, det ka være lige meget med tøjet, ha skal barbere sig og rede sit hår først D: Ved ikke, jeg har simpelthe været for optaget af statistikke til at lægge mærke til has påklædig Variasestimater opfører sig som e χ 2 -fordelig: Let the: S 2 = 1 1 χ 2 = i=1 (X i X) 2 ( 1)S2 σ 2 is a radom variable followig the χ 2 -distributio with v = 1 degrees of freedom. DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

12 Kofidesiterval for varias og spredig χ 2 -fordelige med ν = 9 frihedsgrader ## Plot chi^2 tæthedsfuktio med 9 frihedsgrader ## E sekves af x værdier x <- seq(0, 30, by = 0.1) ## Plot chi^2 tæthedsfuktio plot(x, dchisq(x, df = 9), type = 'l', ylab="f(x)") Kofidesiterval for varias og spredig Metode 3.18: Kofidesiterval for stikprøvevarias og stikprøvespredig Variase: A 100(1 α)% cofidece iterval for the variace σ 2 is: [ ] ( 1)s 2 ( 1)s 2 χ1 α/2 2 ; χα/2 2 f(x) where the quatiles come from a χ 2 -distributio with ν = 1 degrees of freedom. Spredige: A 100(1 α)% cofidece iterval for the sample stadard deviatio ˆσ is: [ ] ( 1)s 2 ( 1)s x χ 2 1 α/2 ; χ 2 α/2 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Produktio af tabletter Kofidesiterval for varias og spredig Vi producerer pulverbladig og tabletter deraf, så kocetratioe af det aktive stof i tablettere skal være 1 mg/g med de midst mulige spredig. E tilfældig stikprøve udtages, hvor vi måler mægde af aktivt stof. Data: E tilfældig stikprøve med = 20 tabletter er udtaget og fra dee får ma: ˆµ = x = 1.01, ˆσ 2 = s 2 = %-kofidesiterval for variase - vi skal bruge χ 2 -fraktilere: Kofidesiterval for varias og spredig Så kofidesitervallet for variase σ 2 bliver: [ ; ] = [ ; ] Og kofidesitervallet for spredige σ bliver: [ ; ] = [0.053; 0.102] χ = , χ = ## 2.5% og 97.5% fraktilere i chi^2 fordelige for =20 qchisq(c(0.025, 0.975), df = 19) DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

13 Højdeeksempel Kofidesiterval for varias og spredig Kofidesiterval for varias og spredig - Højde af 10 studerede - recap: Vi skal bruge χ 2 -fraktilere med ν = 9 frihedsgrader: χ = , χ = Stikprøve, = 10: ## 2.5% og 97.5% fraktilere i chi^2 fordelige for =10 qchisq(c(0.025, 0.975), df = 9) ## [1] Sample mea og stadard deviatio: x = 178 s = Estimer populatio mea og stadard deviatio: ˆµ = 178 ˆσ = Så kofidesitervallet for højdespredige σ bliver: [ ] ; 2 = [8.4; 22.3] NYT:Kofidesiterval, µ: 178 ± [169.3; 186.7] NYT:Kofidesiterval, σ: [8.4; 22.3] DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56 Kofidesiterval for varias og spredig Svar via socrative.com eller Socrative app. Room: PBAC Hvilket af følgede udsag er korrekt? A: Statistik er virkelig skod, jeg tror ikke det ka bruges til oget B: Statistik er altså øv, ma skal bare sidde og sætte e masse tal id i ogle dumme formler C: Jeg burde ligge uder mi dye og blive frisk til at feste igeem i afte D: Statistik er virkelig fedt, det er fascierede, at ma ikke bare ka rege et estimat ud, me ma ka også rege ud hvor præcist det er DTU Compute Itroduktio til Statistik Forår / 56

Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik enote 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Egelsk Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009

Læs mere

Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)

Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel

Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test: Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Inferens for andele. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Inferens for andele. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Asymptotisk estimationsteori

Asymptotisk estimationsteori Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

k UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen

k UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere