Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program"

Transkript

1 Dagens program Afsnit Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1

2 Beskrivelse af fordelinger Kapitel 3 Fordelinger af stokastiske variable beskrives kort ved: - Middelværdi (forventet værdi) - Varians (variation) - Kovarians (samvariation mellem to variable) - Bruges i beskrivelse af fordelinger - Helt centralt når man træffer beslutninger under usikkerhed 2

3 Middelværdi Definition: X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion givet ved f (x). Middelværdien af X er givet ved E (X) = X x xf (x) Bemærk: Ofte betegnes E (X) :µ eller µ X Vægtet gennemsnit af alle de værdier den stokastiske variabel X kan antage Balancepunkt Middelværdien kaldes også: Den forventede værdi 3

4 Eksempe1 1: Fordelingen af X : x f (x) E (X) = ( 1) =0 Fordelingen er symmetrisk omkring 0 Fordelingen af X : x f (x) E (X) = ( 1) = 1 4

5 Eksempel 3.1a i bogen: Valg: 1.Vælgendørogmodtaggevinstenbagdøren 2. Modtage 9000 kroner X : Gevinsten i spillet x f (x) / / /3 Den forventede gevinst i dette spil: Der gælder at: P (X =9000)=0 P (X 9000) = 2/3 E (X) = / / /3 =

6 Eksempel 2: Indikatorvariable Lad den stokastiske variabel X have følgende fordeling X = ½ 1 med sshed p 0 med sshed 1 p Middelværdien af X : E (X) = 1 f (1) + 0 f (0) = 1 P (X =1)+0 P (X =0) = 1 p +0 (1 p) = p = P (X =1) 6

7 Egenskaber ved middelværdi-operatoren: (i) E (c) =c, for enhver konstant c (ii) E (cx) =ce (X), for enhver konstant c (iii) E (X + Y )=E(X)+E(Y) (iv) E (ax + by + c) =ae (X)+bE (Y )+c 7

8 Eksempel 3, (fra sidst): Et spil hvor sandsynligheden for at vinde er 2/3. Spillet spilles 3 gange uafhængigt af hinanden. Y : Antal gange spillet vindes Fordelingen af Y, (se Lec6): y f Y (y) 1/27 6/27 12/27 8/27 Det forventede antal gevinster: E (Y )= P y yf Y (y) =0 1/ / / /27 = 54/27 = 2 8

9 X i = ½ 1 spil nr i vindes 0 spil nr i tabes for i =1, 2, 3 P (X i =1)=2/3, dvs.e (X i )=2/3 Vi har at Y = X 1 + X 2 + X 3 og dermed E (Y )=E (X 1 + X 2 + X 3 )=E (X 1 )+E (X 2 )+E (X 3 )=3 2/3 =2 DefinererennystokastiskvariabelZ Z = Y/3 E (Z) =E (Y/3) = E (Y ) /3 =2/3 9

10 Middelværdien som balancepunkt: X stokastisk variabel med middelværdi µ Definerernystokastiskvariabel Y = X µ E (Y )=E (X µ) =E (X) µ =0 Fordelingen af X er symmetrisk omkring a Dvs. f (x a) =f (x + a) Dette betyder at E (X) =a 10

11 Eksempel 4: Afkast af 2 aktiver To stokastiske variable X A og X B Den marginale fordeling af X A : x A f XA (x A ) Forventede afkast af aktiv A: E (X A ) = = 525 Den marginale fordeling af X B : x B f XB (x B ) Forventede afkast af aktiv B: E (X B )= =

12 Betinget middelværdi Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 To stokastiske variable X og Y med simultan sandsynlighedsfunktion f (x, y). Den betingede fordeling af Y givet X = x er givet ved f (y x). Definition: Den betingede middelværdi af X givet Y = y er givet ved E (Y X = x) = X y yf (y x) E (Y X = x) betegnes ofte µ Y x 12

13 Eksempel 4, fortsat Den betingede fordeling af X A givet X B = x B : x A X B = X B = X B = X B = Den forventede afkast af aktiv A givetafkastpåaktivb er 400: E (X A X B =400)= = 462 Den forventede afkast af aktiv A givetafkastpåaktivb er 400: E (X A X B =600)= =

14 Middelværdi af g (X) Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Vi er ofte interesserede i middelværdien af en funktion af en stokastisk variabel X.Der gælder: E [g (X)] = X g (x) f X (x) x 14

15 Eksempel 3.1a i bogen, fortsat: Valg: 1.Vælgendørogmodtaggevinstenbagdøren 2. Modtage 9000 kroner Nytte af gevinsterne: u (x) =ln(x) x u(x) f (x) 2000 ln (2000) 1/ ln (5000) 1/ ln (20000) 1/3 Forventede nytte i dette spil: ln (9000) 9.10 E [ln (X)] = ln (2000) 1/3 + ln (5000) 1/3 + ln (20000) 1/

16 Husk E (g (X)) 6= g (E (X)) f.eks. E (X 2 ) E (X) 2 E [ln (X)] ln [E (X)] 16

17 Loven om den itererede middelværdi Eksempel 4, fortsat De betingede middelværdier afhænger af værdien af X B og kan dermed opfattes som en funktion af den stokastiske variabel X B. g (X B )=E (X A X B ) Fordelingen af den stokastiske variabel E (X A X B ): E (X A X B ) Sandsynlighed

18 Hvad er middelværdien af denne stokastiske variabel: E [E (X A X B )] = E (X A X B =400) P (X B = 400) + E (X A X B = 500) P (X B = 500) +E (X A X B = 600) P (X B =600)+E (X A X B 700) P (X B =700) = = 525 = E (X A ) 18

19 Loven om den itererede middelværdi: For stokastiske variable X og Y gælder der: E [E (Y X)] = E (Y ) De betingede middelværdier af Y givet X = x kan opfattes som funktioner af den stokastiske variabel X. Dermed kan vi sætte g (X) =E (Y X), ogviharda 19

20 E [E (Y X)] = X x = X x = X x = X y = X y E (Y X) f X (x) X yf (y x) f X (x) y X y y X x f (x, y) y f X (x) f X (x) f (x, y) yf Y (y) =E (Y ) 20

21 Regneregel: For uafhængige stokastiske variable X og Y gælder der: E [g (X) h (Y )] = E [g (X)] E [h (Y )] E (XY ) = E (X) E (Y ) 21

22 Eksempel 3.1a, fortsat Valg: 1. En mønt kastes. Derefter vælges en dør. Hvis møntkastet blev "plat"får du beløbet bag døren, hvis det blev "krone"får du 2 gange beløbet bag døren. 2. Modtage 9000 kroner Hvad er den forventede gevinst ved valg 1? Møntkastet beskrives ved følgende stokastiske variabel: Y =1hvis "plat" og Y =2hvis "krone" E (Y )=1 1/2+2 1/2 =3/2 X er som før pengene bag den valgte dør Bemærk X og Y er uafhængige. 22

23 Gevinsten: XY Forventede gevinst: E (XY )=E (X) E (Y ) = /2 =

24 Skt. Petersborg paradokset Hvad vil du betale for at deltage i følgende spil? En mønt kastes, indtil den viser krone. Hvis dette sker i n te kast, får du 2 n kroner. Stokastisk variabel X der angiver gevinsten i dette spil Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x) =P (X = x) = 1 x for x =2, 4, 8,... 24

25 Fordelingen af X : n x f (x) 1 2 1/ / / / / / / / / / Forventet gevinst: E (X) = X x xf (x) = X x 1= Hvis man bare ser på den forventede værdi, vil man betale uendeligt meget for at deltage i dette spil. 25

26 Hvorfor er dette ikke tilfældet i praksis? P (X =2)=1/2 P (X 4) = 3/4 P (X 1000) P (X ) Nyttefunktion: u (x) =ln(x) 4kronerer2gangesåmegetværdsom2kroner 8 kroner er 1.5 gange så meget værd som 4 kroner 16 kroner er 1.33 gange så meget værd som 8 kroner osv. 26

27 Forventet nytte: E [u (X)] = X x u (x) f (x) = X x ln (x) f (x) = X n ln (2 n ) 1 2 n =ln(4) Altså er jeg villig til at betale 4 kroner for at deltage i dette spil. 27

28 Eksempler på andre typer nyttefunktioner: Forventet nytte: u (x) = ½ x for x ellers E [u (X)] = 9 28

29 Forventet nytte: u (x) = ½ x 0.99 for x ellers E [u (X)]

30 Næste gang Torsdag gennemgåes: Afsnit Varians - Kovarians og korrelation 30

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Nanostatistik: Middelværdi og varians

Nanostatistik: Middelværdi og varians Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993.

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Københavns Universitet Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Opgave 1 (50%) Det bemærkes, at en række af nedenstående spørgsmål kan besvares uafuængigt af de Øvrige spørgsmål (resultaterne,

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Løsninger til kapitel 6

Løsninger til kapitel 6 Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)

Læs mere

Løsning til eksamen 16/

Løsning til eksamen 16/ 1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

4 Stokastiske variabler

4 Stokastiske variabler 4 Stokastiske variabler I kapitel 3 viste vi, hvordan man kan tilskrive sandsynligheder til forskellige hændelser, der knytter sig til et eksperiment. I praksis vil et eksperiment ofte involvere mange

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere