Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2009
|
|
- Line Brodersen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fononiske Båndgab Køreplan Matematik 1 - FORÅR Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i dagligdagen, som f.eks. udbredelsen af lydbølger. reflekteret bølge mur indkommen bølge transmitteret bølge Figur 1: Lydbølge rammer en mur og en del transmitteres igeenem muren via elastiske bølger. Skitsen i Figur 1 viser en lydbølge der rammer en mur. En del af den indkomne bølge reflekteres, men en del transmitteres gennem mur-materialet og udstråles på den modsatte side. Transmissionen af bølgen gennem muren foregår via elastiske svingninger i materialet. Et andet velkendt eksempel på bølger er udbredelsen af synligt lys. Der har i det seneste årti, se [5], været stor fokus på bølgeudbredelse i periodiske materialer og strukturer. Det har vist sig, at man med et nøje afstemt periodisk arrangement af materialer med forskellige fysiske egenskaber 1 kan opbygge strukturer, hvorigennem bølger med visse frekvenser ikke kan udbrede sig. Disse gab i frekvensbåndet kaldes båndgab. I Figur 2 ses nogle eksempler på sådanne periodiske båndgabstrukturer i én, to og tre dimensioner. Båndgab for elastiske bølger kaldes fononiske båndgab, og tilsvarende bruger man betegnelsen fotoniske båndgab, når det drejer sig om lys eller mere generelt om elektromagnetiske bølger. 1 Eksempelvis massefylde, stivhed (E-modul), refraktions-index og lign. Mat1 - foråret 2009 side 1
2 Figur 2: Én-, to- og tre-dimensionelle periodiske båndgabstrukturer. Med et sådant effektivt middel til at stoppe bølgeudbredelse er der mulighed for en masse spændende høj-teknologiske anvendelser. Bølge-reflektorer (spejle) og mekaniske filtre er en oplagt anvendelse. Et af de mest spændende anvendelsesområder er inden for bølgeledere (waveguides), se Figur 3. En periodisk struktur er her opbygget således, at bølger med en bestemt frekvens (båndgabsfrekvensen) ikke kan udbredes (Figur 3b), hvorimod bølger med en anden frekvens godt kan slippe igennem (Figur 3a). Ved at lave en defekt i det periodiske arrangement kan man ved båndgabsfrekvensen (Figur 3d) få bølgerne til at følge defekten, og man har således konstrueret en effektiv bølgeleder. Figur 3: Opbygning af en bølgeleder. a) og c): frekvens uden for båndgabet, b) og d): båndgabsfrekvens. Mat1 - foråret 2009 side 2
3 2 Eksperimentel opstilling Eksistensen af båndgab kan illustreres ved et simpelt eksperiment, se [1]. En én-dimensional båndgabs-struktur i form af en tynd stav er vist i Figur 4. Staven består af 6 stykker aluminium og 5 stykker epoxy, der er limet sammen i enderne, og som påvirkes af en periodisk kraft i den ene ende vha. et rystebord. I stavens modsatte ende måles vibrations-niveauet, og man får således et mål for bølgeudbredelsen gennem staven. Figur 4: Eksperimentel opstilling. Ved beregninger på en fysisk model for staven kan man forudsige to båndgab i det hørbare område, fra ca. 5 khz til ca. 13 khz og igen fra ca. 16 khz til ca. 24 khz (se Figur 5 til venstre). I disse to frekvensbånd kan der således ikke udbrede sig elastiske bølger gennem staven, og vibrationsniveauet i stavens modsatte ende burde således være lavt. Dette bekræftes af målingerne, se Figur 5 til højre. [db/1.00 (m/s )/N] 80 FRF (Magnitude) Working : PMMA-Alu-11-seg-7.5cm ref : Input : FFT Analyzer k 4k 6k 8k 10k 12k 14k 16k 18k 20k 22k 24k 26k [Hz] Figur 5: Vibrationsniveau i enden af staven. Venstre: beregninger, højre: eksperimentelle resultater. I de efterfølgende opgaver vil vi først opstille en simpel fysisk model, der beståer af diskrete fjedre og masser. Modellen skal give en forståelse af de svingningsformer, der kan opstå i den elastisk stav. Endvidere vil den diskrete model give mulighed for design og optimering af en mekanisk båndgabsstruktur. Til sidst vil det være muligt at arbejde med en kontinuert model, der kan beskrive udbredelsen af de longitudinale bølger i staven. I skal ikke nå det hele, så I må gøre nogle valg undervejs. Mat1 - foråret 2009 side 3
4 3 Diskret model 3.1 Den generelle model Som en simpel fysisk model, der kan beskrive bølgeudbredelse og vibrationer i den elastiske stav, benyttes et diskret masse-fjeder system. Hver aluminiums- og epoxystav modelleres med en punktmasse og en fjeder, undtagen den sidste aluminiumsstav, som blot modelleres med en enkelt masse. Modellen består således af 11 masser forbundet med hinanden via 10 fjedre (se Figur 6). Massernes størrelse betegnes m 1,...,m 11 og fjeder-konstanterne k 1,...,k 10. Systemet tænkes ophængt, således at det kun kan bevæge sig longitudinalt. m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 k9 k10 Figur 6: System med 11 masser og 10 fjedre. I de efterfølgende opgaver skal forskellige egenskaber vedrørende svingninger i masse-fjeder systemet undersøges, og beregningerne på den diskrete model afsluttes med en optimeringsopgave, hvor masser og fjedre skal vælges, så svingnings-amplituden af den sidste masse er mindst mulig. Bevægelsesligningerne for systemet kan opstilles ved brug af Newtons 2. lov. 1. Vis, med fortegnskonventionen for forskydningerne af masserne x i defineret som i Figur 7, at bevægelsesligningerne kan skrives som m 1 ẍ 1 + k 1 (x 1 x 2 ) = 0, (1) m i ẍ i + k i (x i x i+1 ) + k i 1 (x i x i 1 ) = 0, for i {2,...,10}, (2) m 11 ẍ 11 + k 10 (x 11 x 10 ) = 0, (3) hvor ẍ betyder 2 gange differentitation af x mht.til tidsvariablen t. x1 x2 x11 m1 k 1 k 2 k10 m2 m11 Figur 7: Fortegnskonvention for forskydningerne af masserne. Forskydningerne af de 11 masser x 1,...,x 11 samles nu i vektoren x = {x 1,x 2,...,x 11 } T. 2. Vis at bevægelsesligningerne kan skrives på matrixform som: Mẍ + Kx = 0, (4) hvor M er en såkaldt massematrix: m m 2 0 M =......, (5) 0 0 m 11 Mat1 - foråret 2009 side 4
5 og K er en såkaldt stivhedsmatrix: k 1 k 1 0 k 1 k 1 + k 2 k 2 0 K = (6) 0 0 k 10 k 10 Når masserne svinger, vil der foregå en vis dæmpning af bevægelsen. Her modelleres dæmpningen som en såkaldt viskos dæmpning. Det antages, at hver masse påvirkes af en kraft cẋ i modsat rettet bevægelsesretningen, hvor c er en dæmpningsfaktor, der blandt andet afhænger af massernes form og det omgivende medies viskositet (Figur 8). xi ki-1 mi k i. cxi Figur 8: En masse med dæmpningskraft. 3. Vis, at bevægelseligningen paa matrixform nu kan skrives som Mẍ + Cẋ + Kx = 0, (7) hvor C er en dæmpningmatrix, der er givet ved c c 0 C = (8) 0 0 c Systemet er yderligere påvirket af en periodisk kraft med størrelsen f 1 cos(ωt), der virker på x1 k1 f1cos(ωt) m1 Figur 9: Den første masse med harmonisk belastning. den første masse (Figur 9). For at simplificere analysen bruges i det følgende den eksponentelle notation (jf Analyse 1 bogen). 4. Vis at bevægelsesligningen for den første masse ændres til m 1 ẍ 1 + cẋ 1 + k 1 (x 1 x 2 ) = f 1 cos(ωt) = Re ( f 1 e iωt ). (9) Mat1 - foråret 2009 side 5
6 I kompleks notation har denne ligning således formen m 1 ẍ 1 + cẋ 1 + k 1 (x 1 x 2 ) = f 1 e iωt, (10) og matrix-ligningen for det samlede system skrives som: hvor f = { f } T er en konstant belastningsvektor. Mẍ + Cẋ + Kx = fe iωt, (11) 3.2 System med én masse og én fjeder x fcos(ωt) m cẋ k Figur 10: System med én masse og én fjeder. Som en indledende analyse betragtes først et system bestående af én masse og én fjeder (Figur 10). Differentialligningen for massen bliver således: mẍ + cẋ + kx = f 1 cos(ωt). (12) Man definerer systems egenfrekvens eller resonansfrekvens ω 0 og systemets kritiske dæmpning c 0 ved k ω 0 = m, c 0 = 2 mk. I det følgende sætter vi m = k = 1, hvilket svarer til at resonansfrekvensen er ω 0 = 1 og den kritiske dæmpning er c 0 = Betragt den til (12) svarende homogene differentialligning med nul på højresiden. Find for c = 0, c = 2 1, c = 2 og c = 5 den fuldstændige løsning til den homogene ligning. Benyt MAPLE, men kontrollér løsningerne i hånden. Vælg begyndelsesbetingelserne x(0) = 10 1 og ẋ(0) = 0, og find for hver af ovenstående værdier af c de dertil hørende partikulære løsninger, og plot dem i MAPLE. Prøv at karakterisere de fundne løsningerne når c = 0, 0 < c < c 0, c = c 0 og c > c Vi ser nu på den inhomogene differentialligning (12), idet vi sætter f 1 = 1 samt betragter kraftens frekvens Ω og dæmpningen c som parametre. Mat1 - foråret 2009 side 6
7 Find en partikulær løsning til (12) ved at bruge den komplekse gættemetode. Brug gerne MAPLE. Løsningen kaldes den stationære løsning, hvorfor? Vink: Sæt x(t) = ae iωt, hvor a er en kompleks konstant, der afhænger af Ω og c. Plot amplituden a i MAPLE som funktion af frekvensen Ω for forskellige værdier af dæmpningen c. Kommentér kurverne. Vink: Man kan evt. benytte MAPLE ordren:! "$# % '&('(()*,+&-('('(,. 7. Vi betragter igen den inhomogene differentialligning givet ved (12), hvor vi sætter f 1 = 1 og Ω = ω 0 = 1. Vælg igen begyndelsesbetingelserne x(0) = 1 10 og ẋ(0) = 0, og find for c = 0, c = 1 2, c = 2 og c = 5 de dertil hørende partikulære løsninger, og plot dem i MAPLE. 3.3 Svingningssystem uden dæmpning og uden harmonisk belastning Nu betragtes det fulde system med 11 masser og 10 fjedre. Systemet betragtes i første omgang uden dæmpning c = 0 og ligeledes uden den harmoniske belastning f 1 = 0. Bevægelsen af masserne er således givet ved ligning (4). Der skal nu findes egenværdier og egenvektorer for matrix-ligningssystemet. Gæt på en løsning til ligning (4) på formen x = ve iωt, (13) hvor v er en konstant vektor og ω er en egenfrekvens. 8. Vis, at dette resulterer i følgende ligning (et generaliseret egenværdiproblem): (K ω 2 M)v = 0, (14) og vis yderligere at dette kan omskrives til en ligning på følgende form: hvor S er en ny matrix. (S ω 2 I)v = 0, (15) 9. Vælg m 1 = m 2 =... = m 11 = 1 og k 1 = k 2 =... = k 10 = 1, og find alle egenfrekvenserne ω i, hvor i = 1,...,11, samt de tilhørende egenvektorer v i. Plot hver egenvektors koordinater som funktion af koordinatnummeret. 3.4 Svingningssystem uden dæmpning og med harmonisk påvirkning Ligningsystemet for det udæmpede system med en harmonisk påvirking er givet ved Mẍ + Kx = fe iωt. (16) Den komplekse gættemetode bruges nu til at finde en partikulær løsning til ligning (16). Mat1 - foråret 2009 side 7
8 10. Indsæt i (16) en løsning på formen x = ae iωt, (17) hvor a er en konstant vektor, og vis, at dette resulterer i ligningen (K Ω 2 M)a = f. (18) Da de frie svingninger (løsningen til den tilsvarende homogene ligning) hurtigt dæmpes (som vi også så i opgave 7), ignorerer man normalt disse, og kun de tvungne svingninger repræsenteret ved den fundne partikulære løsning betragtes. Denne løsning kaldes også den stationære løsning. 11. Vælg igen f 1 = 1 og m 1 = m 2 =... = m 11 = 1 samt k 1 = k 2 =... = k 10 = 1, og plot svingningsamplituden af den 11 te masse a 11 som funktion af den på trykte frekvens Ω i intervallet ]0,2]. Sammenlign kurven med de udregnede egenværdier (egenfrekvenserne) jævnfør ligning (15). Giv et bud på, hvordan egenværdierne kan fortolkes. 3.5 Optimering af det diskrete system Vi vil nu undersøge, hvad der sker, når masserne og fjedrene tillades at variere i størrelse. Systemet betragtes igen uden dæmpning, dvs. c = 0. Lad som før k 1 = k 2 =... = k 10 = 1, men nu er m 1 = m 3 =... = m 11 = 1 og m 2 = m 4 =... = m 10 = m. 12. Lad f 1 = 0. Plot egenfrekvenserne ω i for et antal værdier af m i intervallet [ 1 10,8]. Kan vi ud fra plottet sige noget om for hvilke værdier af m, der kan eksisterer båndgab? 13. Lad f 1 = 1. Plot svingningsamplituden a 11 af den 11 te masse som funktion af frekvensen Ω i intervallet [0,2] med m = 1 2. Vink: Plot amplituden i db (decibel), dvs. plot 20log 10 a 11 som funktion af tiden. 14. Lad nu yderligere k 1 = k 2 =... = k 10 = k. m og k kan ikke varieres frit, hvis vi også skal kunne realisere vores løsning fysisk. Vi begrænser os derfor til at søge løsninger for k [ 2 1, 5 2 ] og m [1,3]. Find i ovenstående intervaller den kombination af k og m, der giver den minimale værdi af a 11 for Ω = 0.8 og f 1 = 1. Vink: Brug f.eks. MAPLE s./ /'0 8659:;59<< =>?'??@= til at finde værdier for m og k. Overvej, hvordan man kan finde en mere præcise værdier for m og k. 15. Overvej nogle designkriterier for båndgab, se [3] og [4]. 3.6 Undersøgelse af dæmpningens indflydelse Egenværdierne for det dæmpede system: Mẍ + Cẋ + Kx = 0, (19) skal nu findes. Mat1 - foråret 2009 side 8
9 16. Omskriv først ligning (19) til et første ordens differentialligningssystem på formen ẏ = Ay, (20) og find egenværdier og egenvektorer (λ,v) for systemet, ved at indsætte y = ve λt, (21) som en mulig løsning til (20). Sammenlign egenværdierne for varierende værdier af c med egenværdierne fundet for det udæmpede system. Hvordan kan man fortolke henholdsvis den reelle og den imaginære del af λ? Undersøg hvorledes resultaterne fundet i opgaverne 11, 13 og 14 for svingningsamplituden a 11 ændres når dæmpningen sættes til c = Kontinuert model Vi skal nu se hvorledes den kontinuerte model kan benyttes til at beskrive den målte båndgabsstruktur vist i figur Longitudinale bølger i en stav Figur 11: Forskydning i en plan bølge Vi vil nu beskrive hvorledes en plan longitudinal bølge udbreder sig i en stav. Vi forestiller os, at vi har en uendelig stav i x-aksens retning med tværsnitsarealet A, se figur 11. En longitudinal bølge er en forstyrrelse, der udbreder sig i x-aksens retning. Udbredelsen i staven foregår på en sådan måde, at de massedele, der alle oprindeligt befandt sig på stedet x, til et senere tidspunkt t vil befinde sig i samme tværsnit, men blot forskudt stykket u(x,t). Alle partiklerne vil nu derfor befinde sig på stedet x + u(x,t). En plan harmonisk bølge, der udbreder sig i x-aksens positive retning, kan skrives u(x,t) = u 1 cos(kx ωt ), (22) hvor u 1 er amplituden, k er bølgetallet og ω er vinkelfrekvensen. For bølgetallet gælder k = ω E, c =, (23) c ρ Mat1 - foråret 2009 side 9
10 hvor c er bølgehastigheden i staven, E er elasticitetsmodulen for det elastiske materiale og ρ er massefylden. For at lette beregningerne kan en plan bølge, som udbreder sig i x-aksens retning, og som er givet ved (22), skrives på den komplekse form u(x,t) = u 1 e i(kx ωt ). (24) Et udtryk for en bølge, der udbreder sig i x-aksens negative retning, kan findes ved erstatte x med x i udtrykket (24), hvilket giver u(x,t) = u 2 e i( kx ωt ). (25) Amplituderne u 1 og u 2 i (24) og (25) er i almindelighed komplekse størrelser. Ovenstående udtryk for u(x,t) kaldes løbende bølger. Amplituden i en løbende bølge er uafhængig af stedet. Hvis staven ikke er endelig eller består af flere forskellige materialer, vil der optræde reflektioner ved grænsefladerne. Dette vil give anledning til, at der både vil være en bølge, der udbreder sig i x-aksens positive retning, såvel som en bølge, der udbreder sig i den negative retning. Herved optræder der et fænomen, der kaldes for stående bølger. Dette skal vi se nærmere på i næste afsnit. 4.2 Stående bølger Figur 12: Stav med længden l Lad os betragte et endeligt stykke af staven med længden l og tværsnitsareal A, og som er beliggende mellem x = 0 og x = l, se figur 12. På grund af de to grænseflader for x = 0 og x = l vil der optræde en bølge i både x-aksens positive retning og negative retning. Den resulterende forskydning u(x,t) i staven på stedet x og til tiden t, må da kunne skrives u(x,t) = u 1 e i(kx ωt ) + u 2 e i( kx ωt ), (26) hvor u 1 og u 2 er komplekse konstanter. Udtrykket for u(x,t) repræsenterer en stående bølge, hvor den samlede amplitude vil afhænge af stedet x. Vi ønsker nu at opskrive en sammenhæng imellem kræfterne F 1 og F 2 samt hastighederne v 1 og v 2, der optræder på de to endeflader. Læg mærke til den fortegnsregning for kræfter og hastigheder, som er givet på figur 12. For hastigheden v(x,t) i x-retningen i et vilkårligt tværsnit af bjælken gælder v(x,t) = u(x,t) t. (27) Den resulterende kraft F(x,t) på et højre- eller venstresnit i et vilkårligt tværsnit af staven, kan vises at være Mat1 - foråret 2009 side 10
11 F(x,t) = EA u(x,t) x. (28) Fortegnsregingen for ovennævnte udtryk for kraften svarer til pilene givet i figur Udled udtryk for hastighederne v 1 = v(0,t) og v 2 = v(l,t), samt kræfterne F 1 = F(0,t) og F 2 = F(l,t), som er defineret i figur Vis, at der gælder sammenhængen [ F2 v 2 ] = [ cos(kl) z isin(kl) 1/z i sin(kl) cos(kl) ] [ F1 v 1 ], (29) hvor z er stavens mekaniske impedans givet ved z = EA c. (30) 4.3 Inhomogene stav med 11 sektioner Figur 13: Eksperiment med stav I figur 13 er vist staven fra den eksperimentelle opstilling fra figur 5. Staven består af 6 cirkulære aluminiumstave og 5 cirkulære epoxystave med samme længde l = 75 mm og samme diameter d = 10 mm. Følgende materiale data, se [2], er opgivet: Aluminium: E A = 70,0 GPa, ρ A = 2700 kg/m 3. Epoxy: E E = 4,4 GPa, ρ E = 1200 kg/m Beregn ud fra de givne data ved hjælp af MAPLE et udtryk for den numeriske værdi af overføringsmatricen defineret nedenfor [ F11 v 11 ] [ ] [ ] a1,1 a = 1,2 F1 a 2,1 a 2,2 v 1, (31) der angiver sammenhængen imellem hastigheden v 1 og kraften F 1 i venstre endepunkt af staven og hastigheden v 11 og kraften F 11 i højre endepunkt af staven, se figur 13. Staven påvirkes nu i venstre endepunkt med en given kraft F 1, medens den i højre endepunkt er fri, det vil sige, at F 11 = 0. Mat1 - foråret 2009 side 11
12 20. Vis, at der med de givne randbetingelser gælder følgende sammenhænge v 11 = 1 a 1,1 v 1, v 11 = 1 a 1,2 F 1. (32) Vink: Udnyt, at værdien af determinanten af matricen givet i (29) er 1. I den eksperimentelle opstilling, vist i figur 4, måles kraften F 1 i venstre endepunkt af staven og acceleration a 11 = iωv 11 i højre endepunkt af staven. 21. Plot i MAPLE amplituden af hver af overføringsfunktionerne H 1 og H 2 givet ved H 1 = v 11 v 1 = 1 a 1,1, H 2 = a 11 F 1 = iω a 1,2 (33) som funktion af frekvensen f = ω 2π. Sammenlign plottet af H 2 med kurven givet i figur 5. Vink: Foretag afbildningen af amplituden i decibel, det vil sige 20 log( H ) db. 4.4 Optimering af det kontinuerte system I får nu frihed til at ændre de givne materiale data. For at mindske valgmulighederne, kunne vi f.eks. holde bølgehastighederne i hver af de to materialer konstant, svarende til de oprindelige værdier af lydhastigheden i aluminium og epoxy. Det betyder, at elasticitestmodulerne E og massefylderne ρ i hver af materialerne varieres proportionalt med samme konstant. 22. Undersøg hvad ændring i materiale data betyder for størrelsen og placeringen af båndgabet. Litteratur [1] J.S.Jensen, O.Sigmund, J.J.Thomsen and M.P.Bendsøe, Design of multi-phase structures with optimized vibrational and wave-transmitting properties. 15th Nordic Seminar on Computational Mechanics 2002, Aalborg, Denmark. [2] J.S.Jensen and O.Sigmund, Phononic band gap structures as optimal designs. IUTAM Symposium on Asymptotics, Singularities and Homogenization in Problems of Mechanics, Kluwer Academic Publishers [3] J.S. Jensen, Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass-spring structures. J.Sound Vib. 206, (2003). [4] S.Halkjær, O.Sigmund and J.S.Jensen, Inverse design of phononic cristals by topology optimization, Z.Kristallogr. 220, (2005). [5] Website: Over 1000 links on Photonic Crystals related resources. Mat1 - foråret 2009 side 12
Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereTemaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger
Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereDifferentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mere3 Overføringsfunktion
1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereEn harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.
Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.
Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A
Læs mereDen frie og dæmpede oscillator
Ida Nissen - 80385 Maria Wulff - 140384 Jacob Bjerregaard - 7098 Morten Badensø - 40584 Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereJordskælvs svingninger i bygninger.
Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereOscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen
Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereDiffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.
Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereEulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2
Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereForsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner
Forsøg med udkraget bjælke og ramme - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Titel: Emne: Forsøg med udkraget bjælke og ramme Dynamisk analyse af simple konstruktioner Udført af: Vejleder: Projektperiode:
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereFysiknoter 1. Bølgebevægelser. Contents. Udbredelse af forstyrrelser
Fysiknoter I denne første forelæsning vil vi indledningsvis se på generelt på bølgefænomener (6,,4), fortsætte med noget om lydbølger (7-4), og slutte med ultralyd, hvor vi skal se på kapitel og i denne
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereFourier transformationen
MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereEn f- dag om matematik i toner og instrumenter
En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer
Læs mereELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER
EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereVores logaritmiske sanser
1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereMatematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion
Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereBremseventiler - hvor skal blenden sidde
Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mere