MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007"

Transkript

1 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar

2 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik 13 6 Idealer og kvotientringe 15 7 Grupper 17 8 Emner i teorien om grupper 24 1 Aritmetik i Z Well-Ordering Axiom Enhver ikke tom delmængde af ikke-negative heltal indeholder et mindste element. Theorem Divisions algoritmen Lad a, b være heltal med b > 0. Så eksisterer der unikke heltal q og r så: Korollar 1.2 a = bq + r og 0 r < b Lad a, c være heltal med c 0. Så eksisterer der unikke heltal q og r så: Theorem 1.3 a = cq + r og 0 r < c Lad a, b være heltal, ikke begge nul, og lad d være deres største fælles divisor. Så eksisterer der (ikke nødvendigvis entydige) heltal u, v så d = au + bv. Endvidere er d er det mindste heltal der kan skrives på formen au + bv. Advarsel: At d = au + bv medfører IKKE at d = (a, b) Korollar 1.4 Lad a, b være heltal, ikke begge nul, og lad d være et positivt heltal. d er største fælles divisor af a og b hvis og kun hvis: 1. d a og d b 2. Hvis c a og c b, så c d 2

3 1 ARITMETIK I Z Theorem 1.5 Theorem 1.5 Hvis a bc og (a, b) = 1 så a c Theorem Euklids algoritme Læs bogen side 11. Lemma 1.7 Hvis a, b, q, r Z og a = bq + r så er (a, b) = (b, r) Definition: Primtal Et heltal p er et primtal hvis p 0, ±1 og p s eneste divisorer er ±1 og ±p Theorem 1.8 Lad p være et heltal med p 0, ±1. Så er p et primtal hvis og kun hvis p: når p bc, så p b eller p c Korollar 1.9 Hvis p er et primtal og p a 1 a 2... a n, så deler p mindst ét af a i erne Theorem 1.10 Ethvert heltal n undtagen 0, ±1 er et produkt af primtal Theorem 1.11 Ethvert heltal n undtagen 0, ±1 er et produkt af primtal. Denne primfaktorisering er entydig i følgende forstand: Hvis n = p 1 p 2 p 3... p r og n = q 1 q 2... q s med alle p i og q j primtal, så er s = t (antal faktorer er ens) og efter ombytning fåes: p 1 = ±q 1, p 2 = ±q 2,..., p r = ±q r Korollar 1.12 Ethvert heltal n > 1 kan skrives entydigt på formen n = p 1 p 2 p 3... p r hvor p i er positive primtal og p 1 p 2 p r Theorem 1.13 Lad n > 1. Hvis ikke n har nogen primfaktorer mindre end eller lig med n, så er n et primtal 3

4 Theorem KONGRUENS I Z Theorem 1.14 Hvis n er et stort positivt heltal, så er antallet af positive primtal mindre end eller lig med n, betegnet π(n) afrundetlig med n ln n, dvs: 2 Kongruens i Z lim (π(n) n ) n inf Definition: modulo/kongruens Lad a, b og n være heltal med n > 0. Så er a kongruent med b modulo n (skrevet a b( mod n), forudsat at n deler a b. ln n Theorem 2.1 Lad n være et positivt heltal. For alle a, b, c Z 1. a a( mod n) 2. Hvis a b( mod n), så er b a( mod n) 3. Hvis a b( mod n) og b c( mod n), så er a c( mod n) Theorem 2.2 Hvis a b( mod n) og c d( mod n), så 1. a + c b + d( mod n) 2. ac bd( mod n) Definition: Kongruensklasser Lad a og n være heltal med n > 0. Kongruens klassen af a modulo n (skrevet [n] ) er mængden af alle heltal der er kongruent med a modulo n, dvs: [a] = {b b Z og b a ( mod n) Theorem 2.3 a c( mod n) hvis og kun hvis [a] = [c] Korollar 2.4 To kongruensklasser modulo n er enten disjunkte eller identiske 4

5 2 KONGRUENS I Z Korollar 2.5 Korollar 2.5 Lad n > 1 være et heltal og betragt kongruens modulo n 1. Hvis a er et heltal og og r er resten når a divideres med n, så er [a] = [r] 2. Der er præcis n forskellige kongruensklasser, nemlig [0], [1],... [n 1] Definition: Z n Mængden af alle kongruensklasser modulo n betegnes Z n Theorem 2.6 Hvis [a] = [b] og [c] = [d] i Z n så gælder [a + c] = [b + d] og [ac] = [bd] Definition: Addition og multiplikation i Z n Addition og multiplikation i Z n er defineret som: [a] [c] = [a+c] og [a] [c] = [ac] Theorem 2.7 For alle klasser [a], [b] og [c] i Z n 1. Hvis [a] Z n og [b] Z n, så gælder at: [a] [b] Z n 2. [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] 3. [a] [b] = [b] [a] 4. [a] [0] = [0] [a] = [a] 5. For ethvert [a] i Z n har ligningen [a] X = [0] en løsning i Z n 6. Hvis [a] Z n og [b] Z n gælder [a] [b] Z n 7. [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] 8. [a] ([b] [c]) = [a] [b] [a] [c] 9. [a] [b] = [b] [a] 10. [a] [1] = [1] [a] = [a] Theorem 2.8 Hvis p > 1 er et heltal, så er følgende ækvivalent 1. p er et primtal 2. For ethvert a 0 i Z n har ligningen ax = 1 en løsning i Z p 3. Når ab = 0 i Z p, så er a = 0 eller b = 0 5

6 Korollar RINGE Korollar 2.9 Lad p være et positivt primtal. For ethvert a 0 og ethvert b i Z p har ligningen ax = b en entydig løsning i Z p. Korollar 2.10 Lad a, b og n være heltal med n > 1 og (a, b) = 1. Så har ligningen [a]x = [b] en ntydig løsning i Z n. Theorem 2.11 Lad a, b og n være heltal med n > 1 og d = (a, n). Så gælder: 1. Ligningen [a]x = [b] har kun løsninger i Z n hvis d b 2. Hvis d b, så har ligningen [a]x = [b] d løsninger i Z n 3 Ringe Definition: Ring En ring er en ikke tom mængde R udstyret med to operationer (typisk skrevet som addition og multiplikation), der opfylder følgende, for alle a, b, c R: 1. Hvis a R og b R så a + b R 2. a + (b + c) = (a + b) + c 3. a + b = b + a 4. Der er et element i R, 0 R, som opfylder: a + 0 R = a = 0 R + a for ethvert a R 5. For ethvert a R har ligningen a + x = 0 R en løsning i R 6. Hvis a R og b R, så ab R 7. a(bc) = (ab)c 8. a(b + c) = ab + ac Definition: Kommutativ ring En kommutativ ring er en ring der endvidere opfylder: ab = ba for alle a, b R Definition: Ring med 1-element En ring med 1-element er en ring der indeholder et element 1 R der opfylder: a1 R = 1 R a = a for alle a R 6

7 3 RINGE Definition: Integritetsområdet Definition: Integritetsområdet Et integritets område er en kommutativ ring med 1-element 1 R 0 R der opfylder: Når a, b R og ab = 0 R, så er a = 0 R eller b = 0 R Definition: legeme Et legeme er en kommutativ ring med 1-element 1 R 0 R der opfylder: For alle a 0 R R, har ligningen ax = 1 R en løsning Theorem 3.1 Lad R og S være ringe. Definer addition og multiplikation af det kartesiske produkt R S som: (r, s) + (r, s ) = (r + r, s + s ) og (r, s)(r, s ) = (rr, ss ) Så er R S en ring. Hvis både R og S er kommutative er R S det også. Hvis både R og S har et 1-element, så har R S det også. Theorem 3.2 Lad R være en ring og S er en delmængde af R som opfylder: 1. S er lukket over addition 2. S er lukket over multiplikation 3. 0 R S 4. Hvis a S, så er løsningen til a + x = 0 R i S Så er S en delring af R Theorem 3.3 For ethvert a R har ligningen a + x = 0 R en entydig løsning i R Theorem 3.4 Hvis a + b = a + c i en ring R, så er b = c Theorem 3.5 For alle elementer a, b R 1. a0 R = 0 R = 0 R a 2. a( b) = (ab) = ( a)b 3. ( a) = a 4. (a + b) = ( a) + ( b) 7

8 Theorem RINGE 5. (a b) = a + b 6. ( a)( b) = ab 7. Hvis R har et 1-element gælder endvidere ( 1 R )a = a Theorem 3.6 Lad S være en ikke tom delmængde af R som opfylder: 1. S er lukket over subtraktion 2. S er lukket over multiplikation Så er S en delring af R Theorem 3.7 Lad R være en ring, og lad a, b R. Så har ligningen a + x = b den entydige løsning x = b a. Definition: Enhed Et element a i en ring R med 1-element kaldes en enhed hvis der eksisterer et u R så au = 1 R = ua I dette tilfælde kaldes u for a s multiplikative invers og skrives a 1. Theorem 3.8 Lad R være en ring med 1-element og a, b R Hvis a er en enhed, så har hver af ligningerne ax = b og ya = b en entydig løsning. Theorem 3.9 Ethvert legeme er et integritetsområde. Theorem 3.10 Cancellering er gyldigt i ethvert legeme R: Hvis a 0 R og ab = ac i R så er b = c Theorem 3.11 Ethvert endeligt integriditetsområde er et legeme. Definition: Nul-divisor Et element a i en ring R er en nul-divisor, hvis: 1. a 0 R 2. Der eksisterer et ikke nul-element b R så enten ab = 0 R eller ba = 0 R 8

9 4 ARITMETIK I F[X] Definition: isomorfi Definition: isomorfi En ring R er isomorf til en ring S (R = s) hvis der eksisterer en funktion f: R S således at: 1. f er injektiv 2. f er surjektiv 3. f(a + b) = f(a) + f(b) og f(ab) = f(a)f(b) for alle a, b R Definition: homomorfi Lad R og S være ringe. En funktion f er en homomorfi, hvis den opfylder: Theorem 3.12 f(a + b) = f(a) + f(b) og f(ab) = f(a)f(b) for alle a, b R Lad f : R S være en ringhomomorfi, så gælder: 1. f(0 R ) = 0 S 2. f( a) = f(a) for ethvert a R 3. f(a b) = f(a) f(b) for alle a, b R Hvis R er en ring med 1-element og f er surjektiv gælder: 1. S er en ring med 1-element og f(1 R ) = 1 S 2. Hvis u er en enhed i R, så er f(u) en enhed i S og f(u) 1 = f(u 1 ) Korollar 3.13 Hvis f : R S er en ring homomorfi, så er billedet af f en delring af S 4 Aritmetik i F[x] Theorem 4.1 Hvis R er en ring, eksisterer der en ring P der indeholder et element x der ikke er i R og har følgende egenskaber: 1. R er en delring af P 2. xa = ax for alle a R 3. Ethvert element i P kan skrives på formen: a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n for n 0 og a i R 4. Representationen af elementer i P er entydig i følgende forstand: Hvis n m og a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m så er a i = b i for i n og b i = 0 for i > n 5. a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = 0 R hvis og kun hvis a i = 0 R for alle i 9

10 Theorem ARITMETIK I F[X] Theorem 4.2 Hvis R er et integritets område og f(x), g(x) er (ikke nul) polynomier i R[x]: deg[f(x)g(x)] = deg f(x) deg g(x) Korollar 4.3 Hvis R er et integritetsområde, så er R[x] det også Theorem Divisions algoritmen i F [x] Lad F være et legeme og f(x), g(x) F [x] med g(x) 0 F entydige polynomier q(x), r(x) så: Så eksisterer der f(x) = g(x)q(x) + r(x) og enten r(x) = 0 F eller deg r(x) < deg g(x) Theorem 4.5 Lad F være et legeme og f(x), g(x) F [x] ikke begge nul. Så eksisterer der en entydig største fælles divisor d(x) af f(x), g(x). Endvidere eksisterer der (ikke nødvendigvis entydige) polynomier v(x), u(x) så: d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x) Korollar 4.6 Lad F være et legeme og f(x), g(x) F [x] ikke begge nul. Et monisk polynomium d(x) F [x] er største fælles diviser hvis og kun hvis: 1. d(x) f(x) og d(x) g(x) 2. Hvis c(x) f(x) og c(x) g(x), så c(x) d(x) Theorem 4.7 Lad F være et legeme og f(x), g(x), h(x) F [x]. Hvis f(x) g(x)h(x) og f(x) og g(x) er indbyrdes primiske, så f(x) h(x) Theorem 4.8 Lad R være et integritets område. f(x) er en enhed i R[x] hvis og kun hvis f(x) er et konstant polynomium der er en enhed i R[x] Korollar 4.9 Lad F være et legeme. f(x) er en enhed i F [x] hvis og kun hvis f(x) er et konstant polynomium der ikke er nul. Theorem 4.10 Lad F være et legeme. Et polynomium f(x) (der ikke er nul) er reducibelt i F [x] hvis og kun hvis f(x) kan skrives som et produkt af to polynomier af lavere grad 10

11 4 ARITMETIK I F[X] Theorem 4.11 Theorem 4.11 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x] så er følgende ækvivalent: 1. p(x) er irreducibelt 2. Hvis b(x) og c(x) er polynomier så p(x) b(x)c(x), så p(x) b(x) eller p(x) c(x) 3. Hvis r(x), s(x) er polynomier så p(x) = r(x)s(x), så er r(x) eller s(x) et konstant (ikke nul) polynomium. Korollar 4.12 Lad F være et legeme og p(x) et irreducibelt polynomium i F [x]. Hvis p(x) a 1 (x)a 2 (x)... a n (x) så deler p(x) mindst én af a i (x). Theorem 4.13 Lad F være et legeme. Ethvert ikke konstant polynomium f(x) i F [x] er et produkt af irreducible polynomier i F [x]. Denne er entydig i den følgende forstand: Hvis f(x) = p 1 (x)p 2 (x)... p r (x) og f(x) = q 1 (x)q 2 (x)... q s (x) Hvor alle p i (x) og q i (x) er irreducible, så er r = s og efter omflytning p i er associeret med q i Theorem 4.14 Lad F være et legeme, f(x) F [x], og a F. Resten når f(x) er delt med x a er f(a) Theorem 4.15 Lad F være et legeme, f(x) F [x], og a F. a er en rod i f(x) hvis og kun hvis x a er en faktor i f(x) i F [x] Korollar 4.16 Lad F være et legeme og f(x) et polynomium (ikke nul) af graden n i F [x]. Så har f(x) max n rødder i F Korollar 4.17 Lad F være et legeme, f(x) F [x] med degf(x) 2. Hvis f(x) er irreducibel i F [x], så har f(x) ingen rødder i F Korollar 4.18 Lad F være et legeme, f(x) F [x] med degf(x) lig med 2 eller 3. Så er f(x) irreducibel i F [x] hvis og kun hvis f(x) ingen rødder har i F 11

12 Korollar ARITMETIK I F[X] Korollar 4.19 Lad F være et uendeligt legeme, f(x), g(x) F [x]. Så udfører f(x), g(x) den samme funktion fra F til F hvis og kun hvis f(x) = g(x) i F [x] Theorem 4.20 Lad f(x) = a n x n +... a 1 x + a 0 være et polynomium med heltals koefficienter. Hvis r 0 og det rationelle tal r s er rod i f(x), så r a 0 og s a n Lemma 4.21 Lad f(x), g(x), h(x) Z[x] med f(x) = g(x)h(x). Hvis p er et primtal der deler alle koefficienterne af f(x), så deler p enten alle koefficienterne i g(x) eller h(x). Theorem 4.22 Lad f(x) være et polynomium med heltals koefficienter. f(x) faktoriseres som et produkt af polynomier af graden n og m i Q[x] hvis og kun hvis f(x) kan faktoriseres som et produkt af polynomier af graden n og m i Z[x] Theorem Eisenstein s Kriterie Lad f(x) = a n x n +... a 1 x+a 0 være et polynomium (ikke konstant) med heltals koefficienter. Hvis der eksisterer et primtal p der deler a 0, a 1,..., a n 1 men ikke deler a n og p 2 ikke deler a 0, så er f(x) irreducibelt i Q[x]. Theorem 4.24 Lad f(x) = a k x k +... a 1 x + a 0 være et polynomium med heltals koefficienter, og lad p være et positivt primtal der ikke deler a k. Hvis f(x) er reducibelt i Z p [x], så er f(x) irreducibelt i Q[x]. Theorem 4.25 Ethvert ikke konstant polynomium i C[x] har en rod i C Korollar 4.26 Et polynomium er irreducibelt i C[x] hvis og kun hvis det har graden 1. Korollar 4.27 Ethvert ikke konstant polynumium f(x) af graden n i C kan skrives på formen c(x a 1 )(x a 2 )... (x a n ) for c, a 1,..., a n C. Denne faktorisering er entydig ned til faktorernes orden. Lemma 4.28 Hvis f(x) er et polynomium i R[x] og a + bi er rod i f(x) i C, så er a bi også rod i f(x) 12

13 5 KONGRUENS I F[X] OG KONGRUENSKLASSE ARITMETIK Theorem 4.29 Theorem 4.29 Et polynomium f(x) er irreducibelt i R[x] hvis og kun hvis f(x) er et førstegrads polynomium eller f(x) = ax 2 + bx + c med b 2 4ac > 0 Korollar 4.30 Ethvert polynomium f(x) af ulige grad i R[x] har en rod i R 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik Definition: Kongruens i F [x] Lad F være et legeme og f(x), g(x), p(x) F [x] med p(x) nul. Så er f(x) kongruent med g(x) modulo p(x), skrevet f(x) g(x) (mod p(x)) forudsat at p(x) deler f(x) g(x). Theorem 5.1 Lad F være et legeme og p(x) et polynomium i F [x] som ikke er nul. Så gælder følgende relationer om kongruens modulo p(x) 1. Refleksiv: f(x) g(x) (mod p(x))forallef(x) F [x] 2. Symmetrisk: Hvis f(x) g(x) (mod p(x)), så er g(x) f(x) (mod p(x)) 3. Transitiv: Hvis f(x) g(x) (mod p(x)) og g(x) h(x)(mod p(x)), så er f(x) h(x) (mod p(x)) Theorem 5.2 Lad F være et legeme og p(x) et polynomium i F [x] som ikke er nul. f(x) g(x) (mod p(x)) og h(x) k(x) (mod p(x)), så gælder: 1. f(x) + h(x) g(x) + k(x) (mod p(x)) 2. f(x)h(x) g(x)k(x) (mod p(x)) Definition: Kongruensklasse Lad F være et legeme og f(x), p(x) F [x] med p(x) nul Kongruensklassen for f(x) modulo g(x) betegnes [f(x)] og består af alle polynomier i F [x] som er kongruente med f(x) modulo p(x). Eller: [f(x)] = g(x) g(x) F [x] og g(x) f(x) (mod p(x)) Theorem 5.3 f(x) g(x) (mod p(x)) hvis og kun hvis [f(x)] = [g(x)] Korollar 5.4 To kongruensklasser modulo p(x)) er enten identiske eller disjunkte 13

14 Korollar KONGRUENS I F[X] OG KONGRUENSKLASSE ARITMETIK Korollar 5.5 Lad F være et legeme og p(x) et polynomium af grad n i F [x]. Lad S være en mængde bestående af nul-polynomiet og alle polynomier af grad mindre end n i F [x]. Så er enhver kongruensklasse modulo p(x) en klasse af polynomier i S, og kongruensklassserne af forskellige polynomier i S er forskellige. Theorem 5.6 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Hvis [f(x)] = [g(x)] og [h(x)] = [k(x)] i F (x)/(p(x)), så [f(x) + h(x)] = [g(x) + k(x)] og [f(x)h(x)] = [g(x)k(x)] Theorem 5.7 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så er mængden F (x)/(p(x)) af kongruensklasser modulo p(x) en kommutativ ring med 1- element. Desuden indeholder F (x)/(p(x)) en delring F der er isomorf til F Theorem 5.8 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så er F (x)/(p(x)) en kommutativ ring med 1-element der indeholder F. Theorem 5.9 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Hvis f(x) F [x] og f(x) er relativt primisk til p(x), så er [f(x)] en enhed i F (x)/(p(x)). Theorem 5.10 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så er følgende ækvivalent: 1. p(x) er irreducibelt i F [x] 2. F (x)/(p(x)) er et legeme 3. F (x)/(p(x)) er et integritetsområde Theorem 5.11 Lad F være et legeme og p(x) et irreducibelt polynomium i F [x]. Så er F (x)/(p(x)) en legemsudvidelse af F (x), der indeholder en rod i p(x) Korollar 5.12 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så eksisterer der en legemsudvidelse K af F der indeholder en rod af f(x) 14

15 6 IDEALER OG KVOTIENTRINGE 6 Idealer og kvotientringe Definition: Ideal En delring I af en ring R er et ideal, hvis: Theorem 6.1 r R og a I så er ra I og ar I En ikke tom delmængde I af en ring R er et ideal hvis og kun hvis det opfylder: 1. Hvis a, b I så er a b I 2. Hvis r R og a I så er ra I og ar I Theorem 6.2 Lad R være en kommutativ ring med 1-element, c R og I mængden af alle multipla af c i R dvs I = {rc r R}, så er I et ideal Theorem 6.3 Lad R være en kommutativ ring med 1-element, c 1, c 2,..., c n R. Så er mængden I = {r 1 c 1 + r 2 c r n c n r 1, r 2,..., r n R} et ideal i R Theorem 6.4 Lad I være et ideal i en ring R Så er kongruens relationerne module I: 1. Refleksiv: a a( (mod I)) for enhvert a R 2. Symmetrisk: Hvis a b( (mod I)), så er b a( (mod I)) 3. Transitiv: Hvis a b( (mod I)), og b c( (mod I)),, så er a c( (mod I)) Theorem 6.5 Lad I være et ideal i en ring R. Hvis a b( (mod I)), og c d( (mod I)), så: 1. a + c b + d( (mod I)) 2. ac bd( (mod I)) Theorem 6.6 Lad I være et ideal i en ring R, og lad a, c R. Så er a c( (mod I)), hvis og kun hvis a + I = b + I. Korollar 6.7 Lad I være et ideal i en ring R. Så er to sideklasser til I enten disjunkte eller identiske. 15

16 Theorem IDEALER OG KVOTIENTRINGE Theorem 6.8 Lad I være et ideal i en ring R. Hvis a + I = b + I og c + I = d + I i R/I, så Theorem 6.9 (a + x) + I = (b + d) + I og ax + I = bd + I Lad I være et ideal i en ring R. Så 1. R/I er en ring, med addition og multiplikation af sideklasser som defineret tidligere 2. Hvis R er kommutativ, så er R/I det også 3. Hvis R har et 1-element, så har R/I det også Theorem 6.10 Lad f : R S være en ringhomomorfi og lad Så er K et ideal i ringen R Theorem 6.11 K = {r R f(r) = 0 S }. Lad f : R S være en ringhomomorfi med kernen K. Så er K = (0 R ) hvis og kun hvis f er injektiv. Theorem 6.12 Lad I være et ideal i en ring R. Så er afbildningen π : R R/I givet ved π(r) = r + I en surjektiv ringhomomorfi med kernen I Theorem Første isomorfi sætning Lad f : R S være en surjektiv ringhomomorfi med kernen K. Så er kvotientringen R/K isomorf med S Definition: Prim ideal Et ideal P i en ring R er prim, hvis P R og når bc P så er b P eller c P Theorem 6.14 Lad P være et ideal i en kommutativ ring R med 1-element. Så er P et prim ideal hvis og kun hvis R/P er et integritetsområde. Definition: maksimal Et ideal M i en ring R siges at være maksimal hvis M R og når J er et ideal så M J R, så er M = J eller J = R 16

17 7 GRUPPER Theorem 6.15 Theorem 6.15 Lad M være et ideal i en kommutativ ring R med 1-element. Så er M maksimal hvis og kun hvis kvotient ringen R/M er et legeme Korollar 6.16 I en kommutativ ring med 1-element er ethvert maksimalt ideal prim. 7 Grupper Definition: Gruppe En gruppe er en ikke tom mængde G udstyret med én operationer ( ), der opfylder følgende: 1. Hvis a G og b G så a b G 2. a (b c) = (a b) c 3. Der er et identitets element i e G, som opfylder: a e = a = e a for ethvert a G 4. For ethvert a G eksisterer der et element d G det inverse element) der opfylder a d = e = d a En gruppe er abelsk, hvis den opfylder: 1. a b = b a for alle a, b G Theorem 7.1 Enhver ring er en abelsk gruppe med hensyn til addition Theorem 7.2 Hvis R er en ring med 1-element, så er mængden af alle enheder U i R en additiv gruppe Korollar 7.3 Elementerne i et legeme der ikke er nul danne en abelsk gruppe under multiplikation Theorem 7.4 Lad G med operationen og H med operationen være grupper. Definer en operation på G H som: (g, h) (g, h ) = (g g, h h ) Så er G H også en gruppe. Hvis G og H er abelske er G H det også. Hvis G og H er endelige er G H det også, med G H = G H 17

18 Theorem GRUPPER Theorem 7.5 Lad G være en gruppe og lad a, b, c G. Så: 1. G har et entydigt identitets element 2. Cancellering holder i G: Hvis ab = ac, så b = c og hvis ba = ca så b = c 3. Ethvert element i G har et entydigt inverst element. Korollar 7.6 Lad G være en gruppe og lad a, b G. Så: 1. (ab) 1 = b 1 a 1 (a 1 ) 1 = a Theorem 7.7 Lad G være en gruppe og lad a G. Så for alle m, n Z: Theorem 7.8 Lad G være en gruppe og lad a G. a m a n = a m+n og (a m ) n = a nm 1. Hvis a har uendelig orden, er elementerne a k med k Z alle forskellige 2. Hvis a i = a j med i j, så er a af endelig orden 3. Hvis a har endelig orden, så: og a k = e hvis og kun hvis n k a i = a j hvis og kun hvis i j( (mod n)) 4. Hvis a har orden n og n = td med d > 0, så har a t orden d Korollar 7.9 Lad G være en abelsk gruppe hvor ethvert element er af endelig orden. Hvis c G er det element der har den største orden i G (dvs a c for alle a G) så deler ordenen af ethvert element i G ordenen af c Definition: Undergruppe En delmængde H af en gruppe G er en undergruppe af G hvis H selv er en gruppe under operationen i G 18

19 7 GRUPPER Theorem 7.10 Theorem 7.10 En ikke tom delmængde H af en gruppe G er en udergruppe hvis: 1. Hvis a, b H så er ab H 2. Hvis a H så er a 1 H Theorem 7.11 Lad H være en ikke tom delmængde af en gruppe G. Hvis H er lukket over operationen i G, så er H en undergruppe i G Definition: Center Hvis G er en gruppe så er center for G den delmængde (betegnet Z(G)) der opfylder: Theorem 7.12 Z(G) = {a G ag = ga for ethvert g G} Center Z(G) af en gruppe G er en undergruppe i G Theorem 7.13 Hvis G er en gruppe og a G så er a = {a n n Z} en undergruppe i G Theorem 7.14 Hvis G er en gruppe og a G. 1. Hvis a har uendelig orden så er a en uendelig undergruppe bestående af forskellige elementer a k med k Z 2. Hvis a har endelig orden n så er a en endelig undergruppe af orden n, bestående af {e = a 0, a 1,..., a n 1 } Theorem 7.15 Hvis G er en endelig undergruppe af den multiplikative gruppe af ikke nul elementer af et legeme F, så er G cyklisk. Theorem 7.16 Enhver undergruppe af en cyklisk gruppe er selv cyklisk Theorem 7.17 Lad S være en ikke tom delmængde af en gruppe G. Lad S være mængden af alle mulige produkter, i enhver orden af elementer af S og deres inverse 1. S er en undergruppe af G ders indeholder S 2. Hvis H er en undergruppe af G der indeholder S, så indeholder H hele S 19

20 Definition: Gruppeisomorfi 7 GRUPPER Definition: Gruppeisomorfi Lad G og H være grupper med operatoren. G er isomorf til H (G = H) hvis der eksisterer en funktion f: G H således at: 1. f er injektiv 2. f er surjektiv 3. f(a b) = f(a) f(b) En funktion der kun opfylder nummer 3 kaldes en homomorfi Theorem 7.18 Enhver uendelig cyklisk gruppe er isomorf med Z. Enhver endelig cyklisk gruppe af orden n er isomorft med Z. Theorem 7.19 Lad G og H være grupper med identitets elementerne e G og e H. Hvis f: G H er en homomorfi gælder følgende: 1. f(e G ) = e H 2. f(a 1 ) = f(a) 1 for ethvert a G 3. Billedet af f er en undergruppe af H 4. Hvis f er injektiv, så G = IH Theorem Caley s Theorem Enhver gruppe G er isomorf til en gruppe af permutationer Korollar 7.21 Enhver endelig gruppe G af orden n er isomorf til en undergruppe af den symetriske gruppe S n Theorem 7.22 Lad K være en undergruppe i en gruppe G Så er kongruens relationerne module K: 1. Refleksiv: a a( (mod K)) for enhvert a G 2. Symmetrisk: Hvis a b( (mod K)), så er b a( (mod K)) 3. Transitiv: Hvis a b( (mod K)), og b c( (mod K)),, så er a c( (mod K)) Theorem 7.23 Lad K være en undergruppe i en gruppe G, og lad a, c G. Så er a c( (mod K)), hvis og kun hvis Ka = Kc. 20

21 7 GRUPPER Korollar 7.24 Korollar 7.24 Lad K være en undergruppe i en gruppe G. Så er to højre sideklasser enten disjunkte eller identiske. Theorem 7.25 Lad K være en undergruppe i en gruppe G. Så 1. G er foreningsmængden af højre sideklasser af K: G = a G Ka 2. For hver a G, eksisterer en bijektion f : K Ka. Dermed, hvis K er endelig, indeholder enhver højre sideklasse til K det samme antal elementer Theorem Lagrange s Theorem Hvis K er en undergruppe i en endelig gruppe G. Så deler ordenen af K ordenen af G. Specielt: G = K [G : K] Korollar 7.27 Lad G være en endelig gruppe 1. Hvis a G, så deler ordenen af a G s orden 2. Hvis G = k Så er a k = e for ethvert a G Theorem 7.28 Lad p være et positivt primtal. Enhver gruppe af orden p er cyklisk og isomorft med Z p Theorem 7.29 Enhver gruppe af orden 4 er isomorft med enten Z 4 eller Z 2 Z 2 Theorem 7.30 Enhver gruppe af orden 6 er isomorft med enten Z 6 eller S 3 Definition: venstre kongruent Lad K være en undergruppe i en gruppe G, og lad a, b G. Så er a venstre kongruent til b( (mod K)) forudsat at a 1 b G Theorem 7.31 Lad K være en undergruppe i en gruppe G Så er venstre kongruens relationerne module K: 1. Refleksiv: a a( (mod K)) for enhvert a G 2. Symmetrisk: Hvis a b( (mod K)), så er b a( (mod K)) 21

22 Theorem GRUPPER 3. Transitiv: Hvis a b( (mod K)), og b c( (mod K)),, så er a c( (mod K)) Theorem 7.32 Lad K være en undergruppe i en gruppe G, og lad a, c G. 1. Så er a c( (mod K)), hvis og kun hvis Ka = Kc. 2. to venstre sideklasser enten disjunkte eller identiske. Definition: normal En undergruppe N af en gruppe G siges at være normal, hvis Na = an for alle a G Theorem 7.33 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Hvis a b( (mod N)) og c d( (mod N)), så er ac bd( (mod N)) Theorem 7.34 Hvis N være en undergruppe af en gruppe G er følgende ækvivalent: 1. N være en normal undergruppe 2. a 1 Na N for ethvert a G hvor a 1 Na = {a 1 na n N} 3. ana 1 N for ethvert a G hvor ana 1 = {ana 1 n N} 4. a 1 Na = N for ethvert a G 5. ana 1 = N for ethvert a G Theorem 7.35 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Hvis Na = Nc og Nb = Nd i G/N så er Nab = Ncd Theorem 7.36 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G Så gælder: 1. G/N er en gruppe under operationen defineret af: (Na)(Nc) = Nac 2. Hvis G er endelig, så er ordenen af G/N = G / N 3. Hvis G er abelsk, så er G/N det også Theorem 7.37 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Så er G/N abelsk hvis og kun hvis aba 1 b 1 N for alle a, b G 22

23 7 GRUPPER Theorem 7.38 Theorem 7.38 Hvis G er en gruppe som opfylder at G/Z(G) er cyklisk, så er G abelsk Definition: Kernen Lad f : G H være en gruppehomomorfi. Så er kernen af f mængden a G f(a) = e H Theorem 7.39 Lad f : G H være en gruppehomomorfi med kernen K. Så er K en normal undergruppe i G Theorem 7.40 Lad f : G H være en gruppehomomorfi med kernen K. Så er K = e G hvis og kun hvis f er injektiv Theorem 7.41 Hvis N er en normal undergruppe af en gruppe G så er π : G G/N givet ved π(a) = Na en surjektiv gruppehomomorfi med kernen N Theorem Første isomorfisætning for grupper Lad f : G H være en surjektiv gruppehomomorfi med kernen K. Så er G/H isomorf med H Theorem Tredje isomorfisætning for grupper Lad K, N være normale undergrupper i en gruppe G med N K G. Så er K/N en normal undergruppe af G/N og (G/N)(K/N) er isomorf med G/K Theorem 7.44 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G og lad K være en undergruppe af G der indeholder N så: 1. K/N er en undergruppe af G/N 2. K/N er normal i G/N hvis og kun hvis K er normal i G 3. Hvis T er en undergruppe i G/N så er der en undergruppe H af G så N H og T = H/N Theorem 7.45 G er en simpel abelsk gruppe hvis og kun hvis G er isomorf til en additiv gruppe Z p for et primtal p 23

24 Theorem EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 7.46 Hvis σ = (a 1 a 2... a k ) og τ = (b 1 b 2... b r ) er disjunkte cykler i S n så er στ = τσ Theorem 7.47 Enhver permutation i S n er et produkt af disjunkte cykler Korollar 7.48 Enhver permutation i S n er et produkt af transpositioner Lemma 7.49 Identitets permutationen i S n er ikke et produkt af et ulige antal transpositioner Theorem 7.50 Ingen permutation i S n kan skrives som et produkt af et ulige antal transpositioner og et lige antal Theorem 7.51 A n (mængden af alle permutationer i S n ) er en normal undergrupe af orden n! 2 og index 2 i S n 8 Emner i teorien om grupper Theorem 8.1 Lad N 1, N 2,... N k være normale undergrupper af en gruppe G således at ethvert element af G kan skrives entydigt på formen a 1 a k... a k med a i N i. Så er G isomorf med det direkte produkt N 1 N 2 N k Lemma 8.2 Lad M og N være normale undergrupper af en gruppe G således at M N = e. Hvis a M og b N så er ab = ba Theorem 8.3 HvisM og N er normale undergrupper af en gruppe G således at G = MN og M N = e så er G = M N Lemma 8.4 Lad G være en abelsk gruppe og a G et element af endelig orden. Så er a = a 1 + a a k med a i G(p) hvor p 1,..., p k er forskellige primtal der deler ordenen af G. (G(p) = {a G a = p n for et n 0}) 24

25 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 8.5 Theorem 8.5 Hvis G er en endelig abelsk gruppe, så er G = G(p 1 ) G(p 2 ) g(p k ) hvor p 1,..., p k er forskellige primtal der deler ordenen af G. Lemma 8.6 Lad G være en endelig abelsk p-gruppe (gruppe hvor alle elementerne har orden potens af p), og a et element af maksimal orden i G. Så eksisterer der en undergruppe K af G så G = a K Theorem 8.7 Enhver endelig abelsk gruppe er den direkte sum af cykliske grupper, hver af primtalsorden. Lemma 8.8 Hvis (m, k) = 1 så er Z m Z k = Zmk Theorem 8.9 Hvis n = p n1 1 pn2 2 pn pnt t med p 1,... p t forskellige primtal, så: 1. Z n = Zp n 1 1 Theorem 8.10 Z p n t t Enhver endelig abelsk gruppe er den direkte sum af cykliske grupper af orden m 1, m 2,..., m t hvor m 1 m 2, m 2 m 3,..., m t 1 m t, Korollar 8.11 Hvis G er en endelig undergruppe af den multiplikative gruppe af de ikke nul elementer af et legeme F ; så er G cyklisk. Theorem 8.12 Lad G, H være endelige abelske grupper. G er isomorf med H hvis og kun hvis de har de samme elementære divisorer Theorem Sylow I Lad G være en endelig gruppe. Hvis p er et primtal, og p k deler ordenen af G, så har G en undergruppe af orden p k Korollar 8.14 (Cauchy s theorem) Hvis G er en endelig gruppe hvis orden er divisibel af et primtal p, så indeholder G et element af orden p 25

26 Theorem Sylow II 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem Sylow II Hvis P og K er sylow p-undergrupper af en gruppe G, så eksisterer der x G så at P = x 1 Kx Korollar 8.16 Lad G være en endelig gruppe og K en Sylow p-undergruppe hvor p er et primtal. Så er K normal i G hvis og kun hvis K er den eneste Sylow p-undergruppe i G Theorem Sylow III Antallet af Sylow p-undergrupper af den endelige gruppe G deler G og er på formen 1 + pk for et ikke negativt heltal k Korollar 8.18 Lad G være en gruppe af orden pq hvor p, q er primtal og p > q. Hvis q ikke deler (p 1) så er G = Z pq Definition: Konjugeret Lad G være en gruppe og a, b G. a er konjugeret til b hvis der eksisterer x G så b = x 1 ax Theorem 8.19 Konjugering er en ækvivalens relation på G Theorem 8.20 Hvis G er en gruppe og a G så er C(a) en undergruppe af G. (Hvor C(a) = g G ga = ag) Theorem 8.21 Hvis G er en gruppe og a G. Antallet af forskellige konjugerede af a (dvs antallet af elementer i den conjugerede klasse af a) er [G : C(a)], indekset af C(a) i G og derfor deler G Lemma 8.22 (Cauchy s Theorem for abelske grupper) Hvis G er en endelig abelsk gruppe hvis orden er divisibel af et primtal p, så indeholder G et element af orden p Theorem 8.24 Hvis A er en undergruppe af en gruppe G, så er N(A) (defineret som: N(A) = {g G g 1 Ag = A}) en undergruppe af G og A er en normal undergruppe af N(A) 26

27 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 8.25 Theorem 8.25 Lad H og A være undergruppe af en endelig gruppe G. Antallet af forskellige H-konjugerede af A (dvs. antal elementer i ækvivalens klassen til A under H- konjugering) er [H : H N(A)] og deler H Lemma 8.26 Lad G være en sylow p-undergruppe af en endelig gruppe G. Hvis x G har ordenen en potens af p og x 1 Qx = Q så er x Q Theorem 8.27 Hvis G er en gruppe af orden p n hvor p er et primtal og n 1, så indeholder center Z(G) mere end ét element. Specielt gælder: Z(G) = p k med 1 k n Korollar 8.28 Hvis p er primtal og n > 1, så er der ingen simpel gruppe af orden p n Korollar 8.29 Hvis G er en gruppe af orden p 2 og p er et primtal, så er G abelsk. Altså er G isomorf med Z p 2 eller Z p Z p Theorem 8.30 Lad p, q være forskellige primtal, så q 1( (mod p)) og p 2 1( (mod q)). Hvis G er en gruppe af orden p 2 Q, så er G isomorf med Z p 2 Q eller Z p Z p Z q Korollar 8.31 Hvis p, q er forskellige primtal, eksisterer der IKKE en simpel gruppe af orden p 2 q Theorem 8.32 Den dihedrale gruppe D n er en gruppe af orden 2n genereret af elementerne r og d så Theorem 8.33 r = n, d = 2, og dr = r 1 d Hvis G er en gruppe af orden 2p og p er et ulige primtal, så er G isomorf med den cykliske gruppe Z 2p eller den dihedrale gruppe D p Theorem 8.33 Hvis G er en gruppe af orden 8, så er G isomorf med en af følgende grupper: Z 8, Z 4 Z 2, Z 2 Z 2 Z 2, D 4 eller den quaterniske gruppe Q 27

28 Theorem EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 8.34 Hvis G er en gruppe af orden 12, så er G isomorf med en af følgende grupper: Z 12, Z 2 Z 2 Z 3, A 4, D 6 eller gruppen T (beskrevet på side 280) Aritmetik i integritets områder Theorem 9.1 Lad p være et ikke nul, ikke enhed element i et integritetsområde R. Så er p irreducibel hvis og kun hvis: Definition: Euklidisk område Når p = rs, så er r eller s en enhed. Et integritetsområde R er et euklidisk område, hvis der eksisterer en funktion δ fra de elementer der ikke er nul i R til de positive heltal med følgende egenskaber: 1. Hvis a, b er ikke nul elementer af R, så δ(a) δ(ab) 2. Hvis a, b R og b 0 R, så eksisterer der q, r R så a = bq + r og enten r = 0 R eller δ(r) < δ(b) Theorem 9.2 Lad R være et euklidisk område og u et ikke nul element i R. Følgende er ækvivalent: 1. u er en enhed 2. δ(u) = δ(1 R ) 3. δ(c) = δ(cu) for et ikke nul c R Definition: Største fælles divisor Lad R være et euklidisk område og a, b R ikke begge nul. Største fælles divisor af a og b er et element d som opfylder: 1. d a og d b 2. Hvis c a og c b, så er δ(c) δ(d) Theorem 9.3 Lad R være et euklidisk område og a, b R ikke begge nul. 1. Hvis d er største fælles divisor af a og b, så er enhver associeret til d også 2. Ethvert par af største fælles divisorer til a og b er associerede. 3. Hvis d er største fælles divisor af a og b, så eksisterer der u, v R så d = au + bv 28

29 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Korollar 9.4 Korollar 9.4 Lad R være et euklidisk område og a, b R ikke begge nul. d er største fælles divisor af a og b hvis og kun hvis: 1. d a og d b 2. Hvis c a og c b, så er c d Theorem 9.5 Lad R være et euklidisk område og a, b R. Hvis a bc og b og c er relativt primiske, så: a c Korollar 9.6 Lad p være et irreducibelt element i et euklidisk område R. 1. Hvis p bc, så p b eller p c 2. Hvis p a 1 a 2... a n, så deler p mindst én af a i erne Theorem 9.7 Lad R være et euklidisk område. Ethvert ikke nul ikke enheds element i R er produktet af irreducible elementer i R, og denne faktorisation er entydig, ned til associerede. dvs: Definition: 29

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008

En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Reed-Solomon og N T P-koder

Reed-Solomon og N T P-koder Reed-Solomon og N T P-koder - deres egenskaber og dekodning af Maria Sondrup Iversen Jane Gravgård Knudsen Juni 2004 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Aalborg Universitet Fredrik Bajers vej 7G 9220 Aalborg

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Kommutativ algebra, 2005

Kommutativ algebra, 2005 Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri

Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Pakke Mat 3AG 1994 Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Anders Thorup 1 Noter til Matematik 3AG, 1994 Om ringe og moduler. 1. Nogle grundbegreber, s. 1 8 2. Kerne og kokerne. Exakte følger, s. 1

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version

4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version 4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G4-2004-version Lad G være en gruppe, og A en undergruppe af automorfigruppen Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G A, (detsemidirekte produkt af G med A).

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001

Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001 Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Euler-karakteristik for fusionskategorier

Euler-karakteristik for fusionskategorier Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er

Læs mere

Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup

Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup Bemærkning: Dette er en del af de forrige års første notepakke. De første 8 sider af den gamle version er i år erstattet med den nye 1.

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2 Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal

Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal Hippias Nikomedes Arkimedes Pappus al-khwärizmi al-khayyãmi Cardano Viète Lagrange Descartes Gauss Abel Galois Wantzel... Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal Erik

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe

Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig

Læs mere

MAT YY. Elementær Talteori. Søren Jøndrup

MAT YY. Elementær Talteori. Søren Jøndrup 1 MAT YY Elementær Talteori Søren Jøndrup Kapitel 1 Gruppeteori. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger til disse. Man kender måske allerede ligningen

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

3. Hall undergrupper og komplementer G version

3. Hall undergrupper og komplementer G version 1 3. Hall undergrupper og komplementer G3-2004-version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. Lad altså G være en endelig gruppe. Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvisder

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Generering af Frey-Rück Resistente Elliptiske kurver med Primtalsorden over p 2 c

Generering af Frey-Rück Resistente Elliptiske kurver med Primtalsorden over p 2 c Institut for Matematiske Fag 30. Januar 2005 Afdeling for Matematik Aarhus Universitet Generering af Frey-Rück Resistente Elliptiske kurver med Primtalsorden over p 2 c Speciale af: Allan Bohnstedt Hansen

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere