MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

Transkript

1 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar

2 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik 13 6 Idealer og kvotientringe 15 7 Grupper 17 8 Emner i teorien om grupper 24 1 Aritmetik i Z Well-Ordering Axiom Enhver ikke tom delmængde af ikke-negative heltal indeholder et mindste element. Theorem Divisions algoritmen Lad a, b være heltal med b > 0. Så eksisterer der unikke heltal q og r så: Korollar 1.2 a = bq + r og 0 r < b Lad a, c være heltal med c 0. Så eksisterer der unikke heltal q og r så: Theorem 1.3 a = cq + r og 0 r < c Lad a, b være heltal, ikke begge nul, og lad d være deres største fælles divisor. Så eksisterer der (ikke nødvendigvis entydige) heltal u, v så d = au + bv. Endvidere er d er det mindste heltal der kan skrives på formen au + bv. Advarsel: At d = au + bv medfører IKKE at d = (a, b) Korollar 1.4 Lad a, b være heltal, ikke begge nul, og lad d være et positivt heltal. d er største fælles divisor af a og b hvis og kun hvis: 1. d a og d b 2. Hvis c a og c b, så c d 2

3 1 ARITMETIK I Z Theorem 1.5 Theorem 1.5 Hvis a bc og (a, b) = 1 så a c Theorem Euklids algoritme Læs bogen side 11. Lemma 1.7 Hvis a, b, q, r Z og a = bq + r så er (a, b) = (b, r) Definition: Primtal Et heltal p er et primtal hvis p 0, ±1 og p s eneste divisorer er ±1 og ±p Theorem 1.8 Lad p være et heltal med p 0, ±1. Så er p et primtal hvis og kun hvis p: når p bc, så p b eller p c Korollar 1.9 Hvis p er et primtal og p a 1 a 2... a n, så deler p mindst ét af a i erne Theorem 1.10 Ethvert heltal n undtagen 0, ±1 er et produkt af primtal Theorem 1.11 Ethvert heltal n undtagen 0, ±1 er et produkt af primtal. Denne primfaktorisering er entydig i følgende forstand: Hvis n = p 1 p 2 p 3... p r og n = q 1 q 2... q s med alle p i og q j primtal, så er s = t (antal faktorer er ens) og efter ombytning fåes: p 1 = ±q 1, p 2 = ±q 2,..., p r = ±q r Korollar 1.12 Ethvert heltal n > 1 kan skrives entydigt på formen n = p 1 p 2 p 3... p r hvor p i er positive primtal og p 1 p 2 p r Theorem 1.13 Lad n > 1. Hvis ikke n har nogen primfaktorer mindre end eller lig med n, så er n et primtal 3

4 Theorem KONGRUENS I Z Theorem 1.14 Hvis n er et stort positivt heltal, så er antallet af positive primtal mindre end eller lig med n, betegnet π(n) afrundetlig med n ln n, dvs: 2 Kongruens i Z lim (π(n) n ) n inf Definition: modulo/kongruens Lad a, b og n være heltal med n > 0. Så er a kongruent med b modulo n (skrevet a b( mod n), forudsat at n deler a b. ln n Theorem 2.1 Lad n være et positivt heltal. For alle a, b, c Z 1. a a( mod n) 2. Hvis a b( mod n), så er b a( mod n) 3. Hvis a b( mod n) og b c( mod n), så er a c( mod n) Theorem 2.2 Hvis a b( mod n) og c d( mod n), så 1. a + c b + d( mod n) 2. ac bd( mod n) Definition: Kongruensklasser Lad a og n være heltal med n > 0. Kongruens klassen af a modulo n (skrevet [n] ) er mængden af alle heltal der er kongruent med a modulo n, dvs: [a] = {b b Z og b a ( mod n) Theorem 2.3 a c( mod n) hvis og kun hvis [a] = [c] Korollar 2.4 To kongruensklasser modulo n er enten disjunkte eller identiske 4

5 2 KONGRUENS I Z Korollar 2.5 Korollar 2.5 Lad n > 1 være et heltal og betragt kongruens modulo n 1. Hvis a er et heltal og og r er resten når a divideres med n, så er [a] = [r] 2. Der er præcis n forskellige kongruensklasser, nemlig [0], [1],... [n 1] Definition: Z n Mængden af alle kongruensklasser modulo n betegnes Z n Theorem 2.6 Hvis [a] = [b] og [c] = [d] i Z n så gælder [a + c] = [b + d] og [ac] = [bd] Definition: Addition og multiplikation i Z n Addition og multiplikation i Z n er defineret som: [a] [c] = [a+c] og [a] [c] = [ac] Theorem 2.7 For alle klasser [a], [b] og [c] i Z n 1. Hvis [a] Z n og [b] Z n, så gælder at: [a] [b] Z n 2. [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] 3. [a] [b] = [b] [a] 4. [a] [0] = [0] [a] = [a] 5. For ethvert [a] i Z n har ligningen [a] X = [0] en løsning i Z n 6. Hvis [a] Z n og [b] Z n gælder [a] [b] Z n 7. [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] 8. [a] ([b] [c]) = [a] [b] [a] [c] 9. [a] [b] = [b] [a] 10. [a] [1] = [1] [a] = [a] Theorem 2.8 Hvis p > 1 er et heltal, så er følgende ækvivalent 1. p er et primtal 2. For ethvert a 0 i Z n har ligningen ax = 1 en løsning i Z p 3. Når ab = 0 i Z p, så er a = 0 eller b = 0 5

6 Korollar RINGE Korollar 2.9 Lad p være et positivt primtal. For ethvert a 0 og ethvert b i Z p har ligningen ax = b en entydig løsning i Z p. Korollar 2.10 Lad a, b og n være heltal med n > 1 og (a, b) = 1. Så har ligningen [a]x = [b] en ntydig løsning i Z n. Theorem 2.11 Lad a, b og n være heltal med n > 1 og d = (a, n). Så gælder: 1. Ligningen [a]x = [b] har kun løsninger i Z n hvis d b 2. Hvis d b, så har ligningen [a]x = [b] d løsninger i Z n 3 Ringe Definition: Ring En ring er en ikke tom mængde R udstyret med to operationer (typisk skrevet som addition og multiplikation), der opfylder følgende, for alle a, b, c R: 1. Hvis a R og b R så a + b R 2. a + (b + c) = (a + b) + c 3. a + b = b + a 4. Der er et element i R, 0 R, som opfylder: a + 0 R = a = 0 R + a for ethvert a R 5. For ethvert a R har ligningen a + x = 0 R en løsning i R 6. Hvis a R og b R, så ab R 7. a(bc) = (ab)c 8. a(b + c) = ab + ac Definition: Kommutativ ring En kommutativ ring er en ring der endvidere opfylder: ab = ba for alle a, b R Definition: Ring med 1-element En ring med 1-element er en ring der indeholder et element 1 R der opfylder: a1 R = 1 R a = a for alle a R 6

7 3 RINGE Definition: Integritetsområdet Definition: Integritetsområdet Et integritets område er en kommutativ ring med 1-element 1 R 0 R der opfylder: Når a, b R og ab = 0 R, så er a = 0 R eller b = 0 R Definition: legeme Et legeme er en kommutativ ring med 1-element 1 R 0 R der opfylder: For alle a 0 R R, har ligningen ax = 1 R en løsning Theorem 3.1 Lad R og S være ringe. Definer addition og multiplikation af det kartesiske produkt R S som: (r, s) + (r, s ) = (r + r, s + s ) og (r, s)(r, s ) = (rr, ss ) Så er R S en ring. Hvis både R og S er kommutative er R S det også. Hvis både R og S har et 1-element, så har R S det også. Theorem 3.2 Lad R være en ring og S er en delmængde af R som opfylder: 1. S er lukket over addition 2. S er lukket over multiplikation 3. 0 R S 4. Hvis a S, så er løsningen til a + x = 0 R i S Så er S en delring af R Theorem 3.3 For ethvert a R har ligningen a + x = 0 R en entydig løsning i R Theorem 3.4 Hvis a + b = a + c i en ring R, så er b = c Theorem 3.5 For alle elementer a, b R 1. a0 R = 0 R = 0 R a 2. a( b) = (ab) = ( a)b 3. ( a) = a 4. (a + b) = ( a) + ( b) 7

8 Theorem RINGE 5. (a b) = a + b 6. ( a)( b) = ab 7. Hvis R har et 1-element gælder endvidere ( 1 R )a = a Theorem 3.6 Lad S være en ikke tom delmængde af R som opfylder: 1. S er lukket over subtraktion 2. S er lukket over multiplikation Så er S en delring af R Theorem 3.7 Lad R være en ring, og lad a, b R. Så har ligningen a + x = b den entydige løsning x = b a. Definition: Enhed Et element a i en ring R med 1-element kaldes en enhed hvis der eksisterer et u R så au = 1 R = ua I dette tilfælde kaldes u for a s multiplikative invers og skrives a 1. Theorem 3.8 Lad R være en ring med 1-element og a, b R Hvis a er en enhed, så har hver af ligningerne ax = b og ya = b en entydig løsning. Theorem 3.9 Ethvert legeme er et integritetsområde. Theorem 3.10 Cancellering er gyldigt i ethvert legeme R: Hvis a 0 R og ab = ac i R så er b = c Theorem 3.11 Ethvert endeligt integriditetsområde er et legeme. Definition: Nul-divisor Et element a i en ring R er en nul-divisor, hvis: 1. a 0 R 2. Der eksisterer et ikke nul-element b R så enten ab = 0 R eller ba = 0 R 8

9 4 ARITMETIK I F[X] Definition: isomorfi Definition: isomorfi En ring R er isomorf til en ring S (R = s) hvis der eksisterer en funktion f: R S således at: 1. f er injektiv 2. f er surjektiv 3. f(a + b) = f(a) + f(b) og f(ab) = f(a)f(b) for alle a, b R Definition: homomorfi Lad R og S være ringe. En funktion f er en homomorfi, hvis den opfylder: Theorem 3.12 f(a + b) = f(a) + f(b) og f(ab) = f(a)f(b) for alle a, b R Lad f : R S være en ringhomomorfi, så gælder: 1. f(0 R ) = 0 S 2. f( a) = f(a) for ethvert a R 3. f(a b) = f(a) f(b) for alle a, b R Hvis R er en ring med 1-element og f er surjektiv gælder: 1. S er en ring med 1-element og f(1 R ) = 1 S 2. Hvis u er en enhed i R, så er f(u) en enhed i S og f(u) 1 = f(u 1 ) Korollar 3.13 Hvis f : R S er en ring homomorfi, så er billedet af f en delring af S 4 Aritmetik i F[x] Theorem 4.1 Hvis R er en ring, eksisterer der en ring P der indeholder et element x der ikke er i R og har følgende egenskaber: 1. R er en delring af P 2. xa = ax for alle a R 3. Ethvert element i P kan skrives på formen: a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n for n 0 og a i R 4. Representationen af elementer i P er entydig i følgende forstand: Hvis n m og a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m så er a i = b i for i n og b i = 0 for i > n 5. a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = 0 R hvis og kun hvis a i = 0 R for alle i 9

10 Theorem ARITMETIK I F[X] Theorem 4.2 Hvis R er et integritets område og f(x), g(x) er (ikke nul) polynomier i R[x]: deg[f(x)g(x)] = deg f(x) deg g(x) Korollar 4.3 Hvis R er et integritetsområde, så er R[x] det også Theorem Divisions algoritmen i F [x] Lad F være et legeme og f(x), g(x) F [x] med g(x) 0 F entydige polynomier q(x), r(x) så: Så eksisterer der f(x) = g(x)q(x) + r(x) og enten r(x) = 0 F eller deg r(x) < deg g(x) Theorem 4.5 Lad F være et legeme og f(x), g(x) F [x] ikke begge nul. Så eksisterer der en entydig største fælles divisor d(x) af f(x), g(x). Endvidere eksisterer der (ikke nødvendigvis entydige) polynomier v(x), u(x) så: d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x) Korollar 4.6 Lad F være et legeme og f(x), g(x) F [x] ikke begge nul. Et monisk polynomium d(x) F [x] er største fælles diviser hvis og kun hvis: 1. d(x) f(x) og d(x) g(x) 2. Hvis c(x) f(x) og c(x) g(x), så c(x) d(x) Theorem 4.7 Lad F være et legeme og f(x), g(x), h(x) F [x]. Hvis f(x) g(x)h(x) og f(x) og g(x) er indbyrdes primiske, så f(x) h(x) Theorem 4.8 Lad R være et integritets område. f(x) er en enhed i R[x] hvis og kun hvis f(x) er et konstant polynomium der er en enhed i R[x] Korollar 4.9 Lad F være et legeme. f(x) er en enhed i F [x] hvis og kun hvis f(x) er et konstant polynomium der ikke er nul. Theorem 4.10 Lad F være et legeme. Et polynomium f(x) (der ikke er nul) er reducibelt i F [x] hvis og kun hvis f(x) kan skrives som et produkt af to polynomier af lavere grad 10

11 4 ARITMETIK I F[X] Theorem 4.11 Theorem 4.11 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x] så er følgende ækvivalent: 1. p(x) er irreducibelt 2. Hvis b(x) og c(x) er polynomier så p(x) b(x)c(x), så p(x) b(x) eller p(x) c(x) 3. Hvis r(x), s(x) er polynomier så p(x) = r(x)s(x), så er r(x) eller s(x) et konstant (ikke nul) polynomium. Korollar 4.12 Lad F være et legeme og p(x) et irreducibelt polynomium i F [x]. Hvis p(x) a 1 (x)a 2 (x)... a n (x) så deler p(x) mindst én af a i (x). Theorem 4.13 Lad F være et legeme. Ethvert ikke konstant polynomium f(x) i F [x] er et produkt af irreducible polynomier i F [x]. Denne er entydig i den følgende forstand: Hvis f(x) = p 1 (x)p 2 (x)... p r (x) og f(x) = q 1 (x)q 2 (x)... q s (x) Hvor alle p i (x) og q i (x) er irreducible, så er r = s og efter omflytning p i er associeret med q i Theorem 4.14 Lad F være et legeme, f(x) F [x], og a F. Resten når f(x) er delt med x a er f(a) Theorem 4.15 Lad F være et legeme, f(x) F [x], og a F. a er en rod i f(x) hvis og kun hvis x a er en faktor i f(x) i F [x] Korollar 4.16 Lad F være et legeme og f(x) et polynomium (ikke nul) af graden n i F [x]. Så har f(x) max n rødder i F Korollar 4.17 Lad F være et legeme, f(x) F [x] med degf(x) 2. Hvis f(x) er irreducibel i F [x], så har f(x) ingen rødder i F Korollar 4.18 Lad F være et legeme, f(x) F [x] med degf(x) lig med 2 eller 3. Så er f(x) irreducibel i F [x] hvis og kun hvis f(x) ingen rødder har i F 11

12 Korollar ARITMETIK I F[X] Korollar 4.19 Lad F være et uendeligt legeme, f(x), g(x) F [x]. Så udfører f(x), g(x) den samme funktion fra F til F hvis og kun hvis f(x) = g(x) i F [x] Theorem 4.20 Lad f(x) = a n x n +... a 1 x + a 0 være et polynomium med heltals koefficienter. Hvis r 0 og det rationelle tal r s er rod i f(x), så r a 0 og s a n Lemma 4.21 Lad f(x), g(x), h(x) Z[x] med f(x) = g(x)h(x). Hvis p er et primtal der deler alle koefficienterne af f(x), så deler p enten alle koefficienterne i g(x) eller h(x). Theorem 4.22 Lad f(x) være et polynomium med heltals koefficienter. f(x) faktoriseres som et produkt af polynomier af graden n og m i Q[x] hvis og kun hvis f(x) kan faktoriseres som et produkt af polynomier af graden n og m i Z[x] Theorem Eisenstein s Kriterie Lad f(x) = a n x n +... a 1 x+a 0 være et polynomium (ikke konstant) med heltals koefficienter. Hvis der eksisterer et primtal p der deler a 0, a 1,..., a n 1 men ikke deler a n og p 2 ikke deler a 0, så er f(x) irreducibelt i Q[x]. Theorem 4.24 Lad f(x) = a k x k +... a 1 x + a 0 være et polynomium med heltals koefficienter, og lad p være et positivt primtal der ikke deler a k. Hvis f(x) er reducibelt i Z p [x], så er f(x) irreducibelt i Q[x]. Theorem 4.25 Ethvert ikke konstant polynomium i C[x] har en rod i C Korollar 4.26 Et polynomium er irreducibelt i C[x] hvis og kun hvis det har graden 1. Korollar 4.27 Ethvert ikke konstant polynumium f(x) af graden n i C kan skrives på formen c(x a 1 )(x a 2 )... (x a n ) for c, a 1,..., a n C. Denne faktorisering er entydig ned til faktorernes orden. Lemma 4.28 Hvis f(x) er et polynomium i R[x] og a + bi er rod i f(x) i C, så er a bi også rod i f(x) 12

13 5 KONGRUENS I F[X] OG KONGRUENSKLASSE ARITMETIK Theorem 4.29 Theorem 4.29 Et polynomium f(x) er irreducibelt i R[x] hvis og kun hvis f(x) er et førstegrads polynomium eller f(x) = ax 2 + bx + c med b 2 4ac > 0 Korollar 4.30 Ethvert polynomium f(x) af ulige grad i R[x] har en rod i R 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik Definition: Kongruens i F [x] Lad F være et legeme og f(x), g(x), p(x) F [x] med p(x) nul. Så er f(x) kongruent med g(x) modulo p(x), skrevet f(x) g(x) (mod p(x)) forudsat at p(x) deler f(x) g(x). Theorem 5.1 Lad F være et legeme og p(x) et polynomium i F [x] som ikke er nul. Så gælder følgende relationer om kongruens modulo p(x) 1. Refleksiv: f(x) g(x) (mod p(x))forallef(x) F [x] 2. Symmetrisk: Hvis f(x) g(x) (mod p(x)), så er g(x) f(x) (mod p(x)) 3. Transitiv: Hvis f(x) g(x) (mod p(x)) og g(x) h(x)(mod p(x)), så er f(x) h(x) (mod p(x)) Theorem 5.2 Lad F være et legeme og p(x) et polynomium i F [x] som ikke er nul. f(x) g(x) (mod p(x)) og h(x) k(x) (mod p(x)), så gælder: 1. f(x) + h(x) g(x) + k(x) (mod p(x)) 2. f(x)h(x) g(x)k(x) (mod p(x)) Definition: Kongruensklasse Lad F være et legeme og f(x), p(x) F [x] med p(x) nul Kongruensklassen for f(x) modulo g(x) betegnes [f(x)] og består af alle polynomier i F [x] som er kongruente med f(x) modulo p(x). Eller: [f(x)] = g(x) g(x) F [x] og g(x) f(x) (mod p(x)) Theorem 5.3 f(x) g(x) (mod p(x)) hvis og kun hvis [f(x)] = [g(x)] Korollar 5.4 To kongruensklasser modulo p(x)) er enten identiske eller disjunkte 13

14 Korollar KONGRUENS I F[X] OG KONGRUENSKLASSE ARITMETIK Korollar 5.5 Lad F være et legeme og p(x) et polynomium af grad n i F [x]. Lad S være en mængde bestående af nul-polynomiet og alle polynomier af grad mindre end n i F [x]. Så er enhver kongruensklasse modulo p(x) en klasse af polynomier i S, og kongruensklassserne af forskellige polynomier i S er forskellige. Theorem 5.6 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Hvis [f(x)] = [g(x)] og [h(x)] = [k(x)] i F (x)/(p(x)), så [f(x) + h(x)] = [g(x) + k(x)] og [f(x)h(x)] = [g(x)k(x)] Theorem 5.7 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så er mængden F (x)/(p(x)) af kongruensklasser modulo p(x) en kommutativ ring med 1- element. Desuden indeholder F (x)/(p(x)) en delring F der er isomorf til F Theorem 5.8 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så er F (x)/(p(x)) en kommutativ ring med 1-element der indeholder F. Theorem 5.9 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Hvis f(x) F [x] og f(x) er relativt primisk til p(x), så er [f(x)] en enhed i F (x)/(p(x)). Theorem 5.10 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så er følgende ækvivalent: 1. p(x) er irreducibelt i F [x] 2. F (x)/(p(x)) er et legeme 3. F (x)/(p(x)) er et integritetsområde Theorem 5.11 Lad F være et legeme og p(x) et irreducibelt polynomium i F [x]. Så er F (x)/(p(x)) en legemsudvidelse af F (x), der indeholder en rod i p(x) Korollar 5.12 Lad F være et legeme og p(x) et ikke konstant polynomium i F [x]. Så eksisterer der en legemsudvidelse K af F der indeholder en rod af f(x) 14

15 6 IDEALER OG KVOTIENTRINGE 6 Idealer og kvotientringe Definition: Ideal En delring I af en ring R er et ideal, hvis: Theorem 6.1 r R og a I så er ra I og ar I En ikke tom delmængde I af en ring R er et ideal hvis og kun hvis det opfylder: 1. Hvis a, b I så er a b I 2. Hvis r R og a I så er ra I og ar I Theorem 6.2 Lad R være en kommutativ ring med 1-element, c R og I mængden af alle multipla af c i R dvs I = {rc r R}, så er I et ideal Theorem 6.3 Lad R være en kommutativ ring med 1-element, c 1, c 2,..., c n R. Så er mængden I = {r 1 c 1 + r 2 c r n c n r 1, r 2,..., r n R} et ideal i R Theorem 6.4 Lad I være et ideal i en ring R Så er kongruens relationerne module I: 1. Refleksiv: a a( (mod I)) for enhvert a R 2. Symmetrisk: Hvis a b( (mod I)), så er b a( (mod I)) 3. Transitiv: Hvis a b( (mod I)), og b c( (mod I)),, så er a c( (mod I)) Theorem 6.5 Lad I være et ideal i en ring R. Hvis a b( (mod I)), og c d( (mod I)), så: 1. a + c b + d( (mod I)) 2. ac bd( (mod I)) Theorem 6.6 Lad I være et ideal i en ring R, og lad a, c R. Så er a c( (mod I)), hvis og kun hvis a + I = b + I. Korollar 6.7 Lad I være et ideal i en ring R. Så er to sideklasser til I enten disjunkte eller identiske. 15

16 Theorem IDEALER OG KVOTIENTRINGE Theorem 6.8 Lad I være et ideal i en ring R. Hvis a + I = b + I og c + I = d + I i R/I, så Theorem 6.9 (a + x) + I = (b + d) + I og ax + I = bd + I Lad I være et ideal i en ring R. Så 1. R/I er en ring, med addition og multiplikation af sideklasser som defineret tidligere 2. Hvis R er kommutativ, så er R/I det også 3. Hvis R har et 1-element, så har R/I det også Theorem 6.10 Lad f : R S være en ringhomomorfi og lad Så er K et ideal i ringen R Theorem 6.11 K = {r R f(r) = 0 S }. Lad f : R S være en ringhomomorfi med kernen K. Så er K = (0 R ) hvis og kun hvis f er injektiv. Theorem 6.12 Lad I være et ideal i en ring R. Så er afbildningen π : R R/I givet ved π(r) = r + I en surjektiv ringhomomorfi med kernen I Theorem Første isomorfi sætning Lad f : R S være en surjektiv ringhomomorfi med kernen K. Så er kvotientringen R/K isomorf med S Definition: Prim ideal Et ideal P i en ring R er prim, hvis P R og når bc P så er b P eller c P Theorem 6.14 Lad P være et ideal i en kommutativ ring R med 1-element. Så er P et prim ideal hvis og kun hvis R/P er et integritetsområde. Definition: maksimal Et ideal M i en ring R siges at være maksimal hvis M R og når J er et ideal så M J R, så er M = J eller J = R 16

17 7 GRUPPER Theorem 6.15 Theorem 6.15 Lad M være et ideal i en kommutativ ring R med 1-element. Så er M maksimal hvis og kun hvis kvotient ringen R/M er et legeme Korollar 6.16 I en kommutativ ring med 1-element er ethvert maksimalt ideal prim. 7 Grupper Definition: Gruppe En gruppe er en ikke tom mængde G udstyret med én operationer ( ), der opfylder følgende: 1. Hvis a G og b G så a b G 2. a (b c) = (a b) c 3. Der er et identitets element i e G, som opfylder: a e = a = e a for ethvert a G 4. For ethvert a G eksisterer der et element d G det inverse element) der opfylder a d = e = d a En gruppe er abelsk, hvis den opfylder: 1. a b = b a for alle a, b G Theorem 7.1 Enhver ring er en abelsk gruppe med hensyn til addition Theorem 7.2 Hvis R er en ring med 1-element, så er mængden af alle enheder U i R en additiv gruppe Korollar 7.3 Elementerne i et legeme der ikke er nul danne en abelsk gruppe under multiplikation Theorem 7.4 Lad G med operationen og H med operationen være grupper. Definer en operation på G H som: (g, h) (g, h ) = (g g, h h ) Så er G H også en gruppe. Hvis G og H er abelske er G H det også. Hvis G og H er endelige er G H det også, med G H = G H 17

18 Theorem GRUPPER Theorem 7.5 Lad G være en gruppe og lad a, b, c G. Så: 1. G har et entydigt identitets element 2. Cancellering holder i G: Hvis ab = ac, så b = c og hvis ba = ca så b = c 3. Ethvert element i G har et entydigt inverst element. Korollar 7.6 Lad G være en gruppe og lad a, b G. Så: 1. (ab) 1 = b 1 a 1 (a 1 ) 1 = a Theorem 7.7 Lad G være en gruppe og lad a G. Så for alle m, n Z: Theorem 7.8 Lad G være en gruppe og lad a G. a m a n = a m+n og (a m ) n = a nm 1. Hvis a har uendelig orden, er elementerne a k med k Z alle forskellige 2. Hvis a i = a j med i j, så er a af endelig orden 3. Hvis a har endelig orden, så: og a k = e hvis og kun hvis n k a i = a j hvis og kun hvis i j( (mod n)) 4. Hvis a har orden n og n = td med d > 0, så har a t orden d Korollar 7.9 Lad G være en abelsk gruppe hvor ethvert element er af endelig orden. Hvis c G er det element der har den største orden i G (dvs a c for alle a G) så deler ordenen af ethvert element i G ordenen af c Definition: Undergruppe En delmængde H af en gruppe G er en undergruppe af G hvis H selv er en gruppe under operationen i G 18

19 7 GRUPPER Theorem 7.10 Theorem 7.10 En ikke tom delmængde H af en gruppe G er en udergruppe hvis: 1. Hvis a, b H så er ab H 2. Hvis a H så er a 1 H Theorem 7.11 Lad H være en ikke tom delmængde af en gruppe G. Hvis H er lukket over operationen i G, så er H en undergruppe i G Definition: Center Hvis G er en gruppe så er center for G den delmængde (betegnet Z(G)) der opfylder: Theorem 7.12 Z(G) = {a G ag = ga for ethvert g G} Center Z(G) af en gruppe G er en undergruppe i G Theorem 7.13 Hvis G er en gruppe og a G så er a = {a n n Z} en undergruppe i G Theorem 7.14 Hvis G er en gruppe og a G. 1. Hvis a har uendelig orden så er a en uendelig undergruppe bestående af forskellige elementer a k med k Z 2. Hvis a har endelig orden n så er a en endelig undergruppe af orden n, bestående af {e = a 0, a 1,..., a n 1 } Theorem 7.15 Hvis G er en endelig undergruppe af den multiplikative gruppe af ikke nul elementer af et legeme F, så er G cyklisk. Theorem 7.16 Enhver undergruppe af en cyklisk gruppe er selv cyklisk Theorem 7.17 Lad S være en ikke tom delmængde af en gruppe G. Lad S være mængden af alle mulige produkter, i enhver orden af elementer af S og deres inverse 1. S er en undergruppe af G ders indeholder S 2. Hvis H er en undergruppe af G der indeholder S, så indeholder H hele S 19

20 Definition: Gruppeisomorfi 7 GRUPPER Definition: Gruppeisomorfi Lad G og H være grupper med operatoren. G er isomorf til H (G = H) hvis der eksisterer en funktion f: G H således at: 1. f er injektiv 2. f er surjektiv 3. f(a b) = f(a) f(b) En funktion der kun opfylder nummer 3 kaldes en homomorfi Theorem 7.18 Enhver uendelig cyklisk gruppe er isomorf med Z. Enhver endelig cyklisk gruppe af orden n er isomorft med Z. Theorem 7.19 Lad G og H være grupper med identitets elementerne e G og e H. Hvis f: G H er en homomorfi gælder følgende: 1. f(e G ) = e H 2. f(a 1 ) = f(a) 1 for ethvert a G 3. Billedet af f er en undergruppe af H 4. Hvis f er injektiv, så G = IH Theorem Caley s Theorem Enhver gruppe G er isomorf til en gruppe af permutationer Korollar 7.21 Enhver endelig gruppe G af orden n er isomorf til en undergruppe af den symetriske gruppe S n Theorem 7.22 Lad K være en undergruppe i en gruppe G Så er kongruens relationerne module K: 1. Refleksiv: a a( (mod K)) for enhvert a G 2. Symmetrisk: Hvis a b( (mod K)), så er b a( (mod K)) 3. Transitiv: Hvis a b( (mod K)), og b c( (mod K)),, så er a c( (mod K)) Theorem 7.23 Lad K være en undergruppe i en gruppe G, og lad a, c G. Så er a c( (mod K)), hvis og kun hvis Ka = Kc. 20

21 7 GRUPPER Korollar 7.24 Korollar 7.24 Lad K være en undergruppe i en gruppe G. Så er to højre sideklasser enten disjunkte eller identiske. Theorem 7.25 Lad K være en undergruppe i en gruppe G. Så 1. G er foreningsmængden af højre sideklasser af K: G = a G Ka 2. For hver a G, eksisterer en bijektion f : K Ka. Dermed, hvis K er endelig, indeholder enhver højre sideklasse til K det samme antal elementer Theorem Lagrange s Theorem Hvis K er en undergruppe i en endelig gruppe G. Så deler ordenen af K ordenen af G. Specielt: G = K [G : K] Korollar 7.27 Lad G være en endelig gruppe 1. Hvis a G, så deler ordenen af a G s orden 2. Hvis G = k Så er a k = e for ethvert a G Theorem 7.28 Lad p være et positivt primtal. Enhver gruppe af orden p er cyklisk og isomorft med Z p Theorem 7.29 Enhver gruppe af orden 4 er isomorft med enten Z 4 eller Z 2 Z 2 Theorem 7.30 Enhver gruppe af orden 6 er isomorft med enten Z 6 eller S 3 Definition: venstre kongruent Lad K være en undergruppe i en gruppe G, og lad a, b G. Så er a venstre kongruent til b( (mod K)) forudsat at a 1 b G Theorem 7.31 Lad K være en undergruppe i en gruppe G Så er venstre kongruens relationerne module K: 1. Refleksiv: a a( (mod K)) for enhvert a G 2. Symmetrisk: Hvis a b( (mod K)), så er b a( (mod K)) 21

22 Theorem GRUPPER 3. Transitiv: Hvis a b( (mod K)), og b c( (mod K)),, så er a c( (mod K)) Theorem 7.32 Lad K være en undergruppe i en gruppe G, og lad a, c G. 1. Så er a c( (mod K)), hvis og kun hvis Ka = Kc. 2. to venstre sideklasser enten disjunkte eller identiske. Definition: normal En undergruppe N af en gruppe G siges at være normal, hvis Na = an for alle a G Theorem 7.33 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Hvis a b( (mod N)) og c d( (mod N)), så er ac bd( (mod N)) Theorem 7.34 Hvis N være en undergruppe af en gruppe G er følgende ækvivalent: 1. N være en normal undergruppe 2. a 1 Na N for ethvert a G hvor a 1 Na = {a 1 na n N} 3. ana 1 N for ethvert a G hvor ana 1 = {ana 1 n N} 4. a 1 Na = N for ethvert a G 5. ana 1 = N for ethvert a G Theorem 7.35 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Hvis Na = Nc og Nb = Nd i G/N så er Nab = Ncd Theorem 7.36 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G Så gælder: 1. G/N er en gruppe under operationen defineret af: (Na)(Nc) = Nac 2. Hvis G er endelig, så er ordenen af G/N = G / N 3. Hvis G er abelsk, så er G/N det også Theorem 7.37 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G. Så er G/N abelsk hvis og kun hvis aba 1 b 1 N for alle a, b G 22

23 7 GRUPPER Theorem 7.38 Theorem 7.38 Hvis G er en gruppe som opfylder at G/Z(G) er cyklisk, så er G abelsk Definition: Kernen Lad f : G H være en gruppehomomorfi. Så er kernen af f mængden a G f(a) = e H Theorem 7.39 Lad f : G H være en gruppehomomorfi med kernen K. Så er K en normal undergruppe i G Theorem 7.40 Lad f : G H være en gruppehomomorfi med kernen K. Så er K = e G hvis og kun hvis f er injektiv Theorem 7.41 Hvis N er en normal undergruppe af en gruppe G så er π : G G/N givet ved π(a) = Na en surjektiv gruppehomomorfi med kernen N Theorem Første isomorfisætning for grupper Lad f : G H være en surjektiv gruppehomomorfi med kernen K. Så er G/H isomorf med H Theorem Tredje isomorfisætning for grupper Lad K, N være normale undergrupper i en gruppe G med N K G. Så er K/N en normal undergruppe af G/N og (G/N)(K/N) er isomorf med G/K Theorem 7.44 Lad N være en normal undergruppe af en gruppe G og lad K være en undergruppe af G der indeholder N så: 1. K/N er en undergruppe af G/N 2. K/N er normal i G/N hvis og kun hvis K er normal i G 3. Hvis T er en undergruppe i G/N så er der en undergruppe H af G så N H og T = H/N Theorem 7.45 G er en simpel abelsk gruppe hvis og kun hvis G er isomorf til en additiv gruppe Z p for et primtal p 23

24 Theorem EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 7.46 Hvis σ = (a 1 a 2... a k ) og τ = (b 1 b 2... b r ) er disjunkte cykler i S n så er στ = τσ Theorem 7.47 Enhver permutation i S n er et produkt af disjunkte cykler Korollar 7.48 Enhver permutation i S n er et produkt af transpositioner Lemma 7.49 Identitets permutationen i S n er ikke et produkt af et ulige antal transpositioner Theorem 7.50 Ingen permutation i S n kan skrives som et produkt af et ulige antal transpositioner og et lige antal Theorem 7.51 A n (mængden af alle permutationer i S n ) er en normal undergrupe af orden n! 2 og index 2 i S n 8 Emner i teorien om grupper Theorem 8.1 Lad N 1, N 2,... N k være normale undergrupper af en gruppe G således at ethvert element af G kan skrives entydigt på formen a 1 a k... a k med a i N i. Så er G isomorf med det direkte produkt N 1 N 2 N k Lemma 8.2 Lad M og N være normale undergrupper af en gruppe G således at M N = e. Hvis a M og b N så er ab = ba Theorem 8.3 HvisM og N er normale undergrupper af en gruppe G således at G = MN og M N = e så er G = M N Lemma 8.4 Lad G være en abelsk gruppe og a G et element af endelig orden. Så er a = a 1 + a a k med a i G(p) hvor p 1,..., p k er forskellige primtal der deler ordenen af G. (G(p) = {a G a = p n for et n 0}) 24

25 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 8.5 Theorem 8.5 Hvis G er en endelig abelsk gruppe, så er G = G(p 1 ) G(p 2 ) g(p k ) hvor p 1,..., p k er forskellige primtal der deler ordenen af G. Lemma 8.6 Lad G være en endelig abelsk p-gruppe (gruppe hvor alle elementerne har orden potens af p), og a et element af maksimal orden i G. Så eksisterer der en undergruppe K af G så G = a K Theorem 8.7 Enhver endelig abelsk gruppe er den direkte sum af cykliske grupper, hver af primtalsorden. Lemma 8.8 Hvis (m, k) = 1 så er Z m Z k = Zmk Theorem 8.9 Hvis n = p n1 1 pn2 2 pn pnt t med p 1,... p t forskellige primtal, så: 1. Z n = Zp n 1 1 Theorem 8.10 Z p n t t Enhver endelig abelsk gruppe er den direkte sum af cykliske grupper af orden m 1, m 2,..., m t hvor m 1 m 2, m 2 m 3,..., m t 1 m t, Korollar 8.11 Hvis G er en endelig undergruppe af den multiplikative gruppe af de ikke nul elementer af et legeme F ; så er G cyklisk. Theorem 8.12 Lad G, H være endelige abelske grupper. G er isomorf med H hvis og kun hvis de har de samme elementære divisorer Theorem Sylow I Lad G være en endelig gruppe. Hvis p er et primtal, og p k deler ordenen af G, så har G en undergruppe af orden p k Korollar 8.14 (Cauchy s theorem) Hvis G er en endelig gruppe hvis orden er divisibel af et primtal p, så indeholder G et element af orden p 25

26 Theorem Sylow II 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem Sylow II Hvis P og K er sylow p-undergrupper af en gruppe G, så eksisterer der x G så at P = x 1 Kx Korollar 8.16 Lad G være en endelig gruppe og K en Sylow p-undergruppe hvor p er et primtal. Så er K normal i G hvis og kun hvis K er den eneste Sylow p-undergruppe i G Theorem Sylow III Antallet af Sylow p-undergrupper af den endelige gruppe G deler G og er på formen 1 + pk for et ikke negativt heltal k Korollar 8.18 Lad G være en gruppe af orden pq hvor p, q er primtal og p > q. Hvis q ikke deler (p 1) så er G = Z pq Definition: Konjugeret Lad G være en gruppe og a, b G. a er konjugeret til b hvis der eksisterer x G så b = x 1 ax Theorem 8.19 Konjugering er en ækvivalens relation på G Theorem 8.20 Hvis G er en gruppe og a G så er C(a) en undergruppe af G. (Hvor C(a) = g G ga = ag) Theorem 8.21 Hvis G er en gruppe og a G. Antallet af forskellige konjugerede af a (dvs antallet af elementer i den conjugerede klasse af a) er [G : C(a)], indekset af C(a) i G og derfor deler G Lemma 8.22 (Cauchy s Theorem for abelske grupper) Hvis G er en endelig abelsk gruppe hvis orden er divisibel af et primtal p, så indeholder G et element af orden p Theorem 8.24 Hvis A er en undergruppe af en gruppe G, så er N(A) (defineret som: N(A) = {g G g 1 Ag = A}) en undergruppe af G og A er en normal undergruppe af N(A) 26

27 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 8.25 Theorem 8.25 Lad H og A være undergruppe af en endelig gruppe G. Antallet af forskellige H-konjugerede af A (dvs. antal elementer i ækvivalens klassen til A under H- konjugering) er [H : H N(A)] og deler H Lemma 8.26 Lad G være en sylow p-undergruppe af en endelig gruppe G. Hvis x G har ordenen en potens af p og x 1 Qx = Q så er x Q Theorem 8.27 Hvis G er en gruppe af orden p n hvor p er et primtal og n 1, så indeholder center Z(G) mere end ét element. Specielt gælder: Z(G) = p k med 1 k n Korollar 8.28 Hvis p er primtal og n > 1, så er der ingen simpel gruppe af orden p n Korollar 8.29 Hvis G er en gruppe af orden p 2 og p er et primtal, så er G abelsk. Altså er G isomorf med Z p 2 eller Z p Z p Theorem 8.30 Lad p, q være forskellige primtal, så q 1( (mod p)) og p 2 1( (mod q)). Hvis G er en gruppe af orden p 2 Q, så er G isomorf med Z p 2 Q eller Z p Z p Z q Korollar 8.31 Hvis p, q er forskellige primtal, eksisterer der IKKE en simpel gruppe af orden p 2 q Theorem 8.32 Den dihedrale gruppe D n er en gruppe af orden 2n genereret af elementerne r og d så Theorem 8.33 r = n, d = 2, og dr = r 1 d Hvis G er en gruppe af orden 2p og p er et ulige primtal, så er G isomorf med den cykliske gruppe Z 2p eller den dihedrale gruppe D p Theorem 8.33 Hvis G er en gruppe af orden 8, så er G isomorf med en af følgende grupper: Z 8, Z 4 Z 2, Z 2 Z 2 Z 2, D 4 eller den quaterniske gruppe Q 27

28 Theorem EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Theorem 8.34 Hvis G er en gruppe af orden 12, så er G isomorf med en af følgende grupper: Z 12, Z 2 Z 2 Z 3, A 4, D 6 eller gruppen T (beskrevet på side 280) Aritmetik i integritets områder Theorem 9.1 Lad p være et ikke nul, ikke enhed element i et integritetsområde R. Så er p irreducibel hvis og kun hvis: Definition: Euklidisk område Når p = rs, så er r eller s en enhed. Et integritetsområde R er et euklidisk område, hvis der eksisterer en funktion δ fra de elementer der ikke er nul i R til de positive heltal med følgende egenskaber: 1. Hvis a, b er ikke nul elementer af R, så δ(a) δ(ab) 2. Hvis a, b R og b 0 R, så eksisterer der q, r R så a = bq + r og enten r = 0 R eller δ(r) < δ(b) Theorem 9.2 Lad R være et euklidisk område og u et ikke nul element i R. Følgende er ækvivalent: 1. u er en enhed 2. δ(u) = δ(1 R ) 3. δ(c) = δ(cu) for et ikke nul c R Definition: Største fælles divisor Lad R være et euklidisk område og a, b R ikke begge nul. Største fælles divisor af a og b er et element d som opfylder: 1. d a og d b 2. Hvis c a og c b, så er δ(c) δ(d) Theorem 9.3 Lad R være et euklidisk område og a, b R ikke begge nul. 1. Hvis d er største fælles divisor af a og b, så er enhver associeret til d også 2. Ethvert par af største fælles divisorer til a og b er associerede. 3. Hvis d er største fælles divisor af a og b, så eksisterer der u, v R så d = au + bv 28

29 8 EMNER I TEORIEN OM GRUPPER Korollar 9.4 Korollar 9.4 Lad R være et euklidisk område og a, b R ikke begge nul. d er største fælles divisor af a og b hvis og kun hvis: 1. d a og d b 2. Hvis c a og c b, så er c d Theorem 9.5 Lad R være et euklidisk område og a, b R. Hvis a bc og b og c er relativt primiske, så: a c Korollar 9.6 Lad p være et irreducibelt element i et euklidisk område R. 1. Hvis p bc, så p b eller p c 2. Hvis p a 1 a 2... a n, så deler p mindst én af a i erne Theorem 9.7 Lad R være et euklidisk område. Ethvert ikke nul ikke enheds element i R er produktet af irreducible elementer i R, og denne faktorisation er entydig, ned til associerede. dvs: Definition: 29