Z 0 -bosonens Henfaldskanaler. Casper Drukier Andreas Hasseriis Kamstrup Peter Krogstrup Kim Georg Lind Pedersen

Transkript

1 Z 0 -bosonens Henfaldskanaler Casper Drukier Andreas Hasseriis Kamstrup Peter Krogstrup Kim Georg Lind Pedersen 4. april 2005

2 Resumé I det følgende projekt bestemmes først forgreningsforholdet mellem Z 0 hadron og Z 0 lepton henfald ved hjælp af billeder fra ALEPH detektoren i CERN. Udfra samme data bestemmes andelen af b-henfald i forhold til det samlede antal kvarkhenfald. Forgreningsforholdet bestemmes til 6.6 ±0.6 stat ±1.2 sys, mens R b bestemmes til R b = ± stat ± sys

3 Indhold 1 Indledning Problemformulering Standardmodellen Partikelindhold Feynman diagrammer Quantum Chromodynamics (QCD) Farveladning Den stærke vekselvirkning Den svage vekselvirkning LEP og ALEPH LEP ALEPH Forgreningsforhold Teoretisk udledning af forgreningsforholdet Dataindsamling Databehandling B-kvarkens forgreningsforhold Teoretisk udledning af R b Eksperimentel bestemmelse af R b Monte Carlo simulationer Det neurale netværk Udregninger Databehandling Monte Carlo (MC) Data fra ALEPH Konklusion 21 A Ordliste 22 1

4 INDHOLD 2 B Billeder 24 B.0.3 Billeder fra dalinew - ALEPH

5 Kapitel 1 Indledning I 1989 blev den store LEP-accellerator i CERN taget i brug. Formålet var blandt andet at eftervise Standardmodellens forudsigelser vedrørende Z 0 -bosonens karakteristika - herunder forløbet af dens henfald. Man ønsker at sammenligne eksperimentielle data med simulerede - såkaldte Monte Carlo - data, for at kunne præcisere hvor Standardmodellen har stærk forudsigelseskraft - og måske vigtigere - hvor den endnu ikke er fyldestgørende. Altså ønsker vi at underkaste Standardmodellen et kritisk blik, ved at undersøge forskellige egenskaber ved elektron-positron sammenstød ved en energi på Z 0 -bosonens hvilemasse - 91, 1888(44)GeV (idet vi benytter gængs notation opgives masser almindeligivs i GeV, dvs. vi sætter c = 1). 1.1 Problemformulering Vi ønsker at undersøge forgreningsforholdet mellem Z 0 hadron og Z 0 lepton henfald. Ligeledes vil vi bestemme forholdet mellem henfald til b-kvarker og det totale antal kvark-henfald. Indledende vil vi give læseren et kort indblik indblik i den teori, hvorunder projektet udfoldes. For at kunne behandle data er det nødvendigt først at beskrive LEP og ALEPH. Udfra disse data beregnes forgreningsforholdet og senere forholdet mellem Z-henfald der resulterer i b-kvarker hhv. samtlige kvarker. Herunder en kort præsentation af det brugte neurale netværk. Slutteligt konkluderes på projektets formål. Dette projekt benytter notationen * efter ord, der kræver særlig forklaring. Disse ord uddybes i en ordliste, der forefindes i bilag A. Endvidere afsluttes hvert kapitel med henvisning til det i kapitlet benyttede litteratur. En fuld litteraturliste forefindes bagerst i opgaven. 3

6 Kapitel 2 Standardmodellen 2.1 Partikelindhold Stof består af atomer - byggesten af størrelsesorden m. Dog har det vist sig at atomer er sammensat af en række mere elementære partikler. Den almindelig anerkendte teori, om hvordan disse partikler vekselvirker kaldes Standardmodellen. Standardmodellen er en kvantefeltteori*, og den er derfor både konsistent med den specielle relativitetsteori og kvantemekanikken. Den giver en beskrivelse af 3 af de 4 grundlæggende kræfter, de stærke, svage og elektromagnetiske, men er ikke komplet, først og fremmest fordi den ikke er forenelig med tyngdekraften. Den elektrosvage teori (QED*) beskriver bl.a. hvordan de svage kernekræfter formidles af 3 forskellige kraftbærende partikler, kaldet Z 0 og W ±. ALEPH detektoren* - som er en del af LEP* projektet i CERN* - blev bygget netop for at detektere disse partikler og dermed undersøge Standardmodellens gyldighed indenfor disse områder. De fundamentale partikler, elementarpartiklerne, er opdelt i to klasser; fermioner og bosoner. Fermioner er partikler med halvtalligt spin i og udgør f.eks. forskellige former for stof, mens bosoner har heltalligt spin og bl.a. omfatter de kraftbærende partikler. Der findes ifølge Standardmodellen følgende elementære fermioner Fermioner Generation Elektrisk ladning Kvarker up (u) charm (c) top (t) 2/3 down (d) strange (s) bottom (b) 1/3 Leptoner elektronneutrino (ν e ) myneutrino (ν µ ) tauneutrino (ν τ ) 0 elektron (e) myon (µ) tau (τ) 1 En kvark kan ikke detekteres direkte idet den ikke kan leve alene ii - Kvarker findes kun i bundter som hadroner iii. Disse bundter kaldes enten baryoner eller mesoner. Baryoner består af tre kvarker mens mesoner kun består af to. Til hver fermion svarer endvidere en antipartikel med samme masse, men med modsat ladning. iv Ud over fermioner findes der altså som nævnt bosoner. En gauge-boson* er en kraftbærende boson med heltalligt spin. De kendte gauge-bosoner er i i enheder af ii dette skyldes en egenskab ved den stærke kraft kaldet confinement. Mere herom senere iii dette er ikke helt sandt, idet det er tilladt for dem at leve virtuelt i et tidsinterval som blot ikke overskrider Heisenbergs ubestemthedsrelationer E t 2 iv Et eksempel er positronen, som er elektronens antipartikel. 4

7 2.2. Feynman diagrammer 5 Boson γ Z 0, W ± gluoner gravitoner Krafttype Elektromagnetiske kraft Svage kernekraft Stærke kernekraft gravitation Den elektromagnetiske kraft virker mellem ladede partikler, den stærke kraft mellem kvarker mens den svage virker mellem både kvarker og leptoner v. 2.2 Feynman diagrammer Vekselvirkninger mellem de elementære partikler beskrives som regel vha. Feynman diagrammer*. Eksempelvis kan elektron-positron afbøjning beskrives med nedenstående diagram. e + γ e Tid forløber fra venstre mod højre i diagrammet. En pil i tidens retning angiver en partikel, mens en pil rettet modsat tiden angiver en antipartikel. Udover elektronen og positronen indeholder diagrammet også en såkaldt virtuel foton. Virtuelle partikler kan ikke detekteres direkte, og for vituelle partikler gælder i almindelighed, at de ikke overholder impuls- og energibevarelse. Hver knude kan tilskrives en sandsynlighed for at netop knudereaktionen sker. Kvantemekanisk set er denne sandsynlighed givet ved en kompleks amplitude i bølgefunktionen*. Amplituderne for vekselvirkninger mellem elementarpartikler er givet som kvadratroden af de såkaldte koblingskonstanter α. 2.3 Quantum Chromodynamics (QCD) Farveladning For at vende tilbage til Standardmodellens beskrivelse af hadroner, viste denne sig yderst succesfuld, indtil man blandt andet fandt ++ -partiklen bestående af tre up-kvarker. Eksistensen af en sådan partikel strider direkte mod Pauli princippet*, ifølge hvilket det er umuligt for to fermioner at befinde sig i samme kvantetilstand. Dette førte i 1964 til at Greenberg fremlagde sin farvehypotese. Ifølge hypotesen besidder hver kvark udover rum- og spinfrihedsgrader endnu en frihedsgrad, som kaldes farve og benævnes χ C. Ifølge farveteorien kan enhver kvark q = u, d, c,... eksistere i seks forskellige farvetilstande χ C = r, g, b, r, ḡ, b (rød, grøn, blå, anti-rød, anti-grøn og anti-blå). Man kan til hver farvetilstand knytte specifikke værdier for hyperladningen* og isospinnet*, benævnt hhv. med Y C og I C 3. Nedenstående tabel viser disses værdier for forskellige farvetilstande. v gravitationen er dog endnu ikke omfattet af Standardmodellen.

8 2.4. Den svage vekselvirkning 6 Farve I C 3 Y C r 1/2 1/3 g 1/2 1/3 b 0 2/3 r 1/2 1/3 ḡ 1/2 1/3 b 0 2/3 Værdierne for Y C og I C 3 for hadroner og andre tilstande sammensat af kvarker og antikvarker kan nu let findes, idet hyperladningen og isospinnet er additive kvantetal vi. I farvehypotesen antages det at enhver ikke-virtuel hadron må have farveladning Y C = I C 3 = 0 (2.1) Altså at enhver observeret tilstand har farveladning 0. Dette er netop hypotesen om confinement. Udfra dette kan det vises at den eneste kombination af m kvarker og n antikvarker, benævnt ved q m q n, som ifølge (2.1) tillades, er (3q) p (q q) n, p N og n 0 (2.2) Fra (2.2) følger at hadroner som qq, qq q, qqqq er forbudte, dvs. ikke kan observeres, mens hadroner som q q og qqq er tilladte Den stærke vekselvirkning Quantum Chromodynamics (QCD*) beskriver interaktioner som medieres af masseløse spin-1 bosoner vii der kaldes gluoner. Gluoner har, som fotoner, ingen elektrisk ladning. Men de kobles ikke til elektrisk ladning som fotonerne, men derimod til farveladningen. Med kobles menes at udøve interaktioner. Dette medfører at forskellige kvarktyper alle vil vekselvirke stærkt på samme måde, hvilket skyldes at alle kvarker kan eksistere i de samme tre farvetilstande, og derfor ifølge ovenstående tabel kun vil have de samme farveladninger. Det bør bemærkes at omend vi har sammenlignet gluoner i QCD med fotoner fra QED er der en vigtig forskel. Mens fotoner, som kobler til den elektriske ladning, er elektrisk neutrale, har gluonerne selv en farveladning 0. Udfra dette fremgår det, at gluoner nødvendigvis også må koble til andre gluoner. Det kan vises at dette fører til confinement og en egenskab kaldet asymptotisk frihed*. 2.4 Den svage vekselvirkning Den svage vekselvirkning medierer vha. Z 0 og W ± den svage kernekraft og er bl.a. ansvarlig for β-henfald. Z 0 -bosonen blev oprindeligt introduceret for at forklare problemmer ved produktion af W-bosoner ved neutrino-antineutrino spredning. Ved høje energier divergerede denne produktion nemlig. Indførelsen af en neutral gauge-boson som Z 0 -bosonen, kunne forhindre dette samt ligeså forhindre en divergerende opførsel af W produktion via en virtuel foton i e + e spredning. Z 0 -bosonens masse er, som tidligere nævnt, (44)GeV, hvorimod W-bosonerne har masser på GeV. vi man skal altså blot addere kvantetallene for at finde kvantetallet for den sammensatte tilstand vii i QED er en foton et eksempel på en sådan boson

9 2.4. Den svage vekselvirkning 7 Ved at lade en elektron og en positron kollidere ved en samlet energi på Z 0 -bosonens masse kan der derfor dannes en Z 0 -boson. Derefter kan denne henfalde til forskellige partikler. Betragter vi først tilfældet hvor Z 0 henfalder til kvark og en antikvark, ser de tilhørende Feynman-diagrammer således ud. e + + e Z q q e + e Z 0 hadroner q q hadroner e + Z 0 e 2 jet 3 jet q q g hadroner hadroner hadroner Hver af de ovenstående reaktioner kan opdeles i to trin. Først kolliderer elektronen og positronen e + + e q + q Herefter følger en proces kaldet fragmentering, som omdanner kvark-antikvark parret til jets bestående af hadroner. I tilfældet med to jets, vil disse grundet impulsbevarelse bevæge sig ud i hver sin retning i Center-of-Mass systemet. En 3-jet dannes når der før fragmenteringen emiteres en gluon med høj impuls i en stor vinkel fra kvarken eller antikvarken. Gluonen vil, idet denne ikke kan observeres som en fri isoleret partikel, manifestere sig som en jet af hadroner. viii Endvidere kan Z 0 -bosonen henfalde til leptoner på følgende måde e + e + Z lepton + lepton e + e + Z τ + τ + e + e, µ e + ν Z 0 Z 0 π + e e +, µ + e τ Ifølge Standardmodellen vil lige store mængder af henfaldene vil resulterer i hhv. e-, µ- og τ-leptoner. Dette fænomen er kendt som lepton-universalitet. Det skyldes som sagt at amplituderne for de forskellige henfald alle er givet ved α w 4/137. Ved kollision af e + e, kan der videre ske følgende viii Det er muligt at bestemme den stærke koblingskonstant ud fra forholdet mellem 2- og 3-jets henfald. Det huskes at amplituden for emitering af en gluon er givet ved kvadratroden af den stærke koblingskonstrant α s. Føromtalte forhold er da givet ved α s.

10 2.4. Den svage vekselvirkning 8 e + e + e + e + e + e + e + e + + f + f e + e + γ γ fermion fermion e e Her annihilerer elektronen og positronen ikke med hinanden, men spredes blot under udveksling af en virtuel foton. Denne form for spredning benævnes i almindelighed Bhabha-spredning ix. I det andet tilfælde (fremover benævnt γγ), vekselvirker de to virtuelle fotoner hvilket resulterer i to fermioner. [2] - [7] - [9] - [10] - [12] ix efter den indiske fysiker Homi Bhabha

11 Kapitel 3 LEP og ALEPH 3.1 LEP I den store LEP accelerator i CERN bliver elektroner og positroner accelereret til meget høje energier (i Z 0 -bosonens tilfælde ca. 45 GeV hver), hvorefter de bringes til sammenstød med en Center-of-Mass energi på Z 0 -bosonens hvilemasse - 91 GeV i I et stærkt elektrisk felt accellereres elektronerne og positronerne til den ønskede energi. De fastholdes i deres 27 km lange cirkulære bane af et stærkt magnetfelt. Selve sammenstødet forløber ved et tryk på under atm. 3.2 ALEPH Selve ALEPH detektoren er stedet hvor de højenergetiske sammenstød registreres og måles. Detektoren er cylindrisk og symmetrisk opbygget omkring de kolliderende partiklers retning - beamrøret. Uden om beamrøret findes forskellige subdetektorer som gør det muligt at bestemme bl.a. energien, impulsen og partikeltypen. I ALEPH-dektoren er der følgende subdetektorer (gennemgået indefra og ud): Tættest på beamrøret er Vertex Detektoren, bestående af silicon-strip detektorer, som gør det muligt at afgøre om et spor stammer fra et primært eller sekundært vertex* ii Inner Tracking Chamber er et driftkammer primært bestående af Argon og Carbondioxid. Når denne gas ioniseres af forbipasserende ladede partikler registreres det af supertynde ledende metaltråde med et potentiale op til 1000 V. På den måde er det muligt at fastlægge op til otte punkter for hvert partikelspor. I Time Projektion Chamber måles - igen ved hjælp af gas, ionisering og ledende metaltråde - partiklers sted og specifikke energitab. Det inderste kalorimeter er det Elektromagnetiske Kalorimeter(ECAL), som måler byger af partikler fra indkommende elektroner og fotoner. Dvs. at dette kalorimeter kan detektere energien af både elektroner og fotoner som sådan. ECAL består af skiftende lag af gas proportionaltællere og bly. De tungere hadroner og myoner forsætter gennem ECAL. Magnetspolen rundt om ECAL skaber det magnetfelt, der gør det muligt at måle partiklernes impuls og ladning. Magnetfeltet er parallelt med beamrøret, således at magnetfeltet ikke påvirker e + e strålerne inden sammenstødet iii. i senere øgedes energien for også at undersøge W partiklerne ii vertex er det punkt i rumtiden hvor partikler dannes. iii idet vi minder om, at Lorenzkraften, der virker mellem et magnetfelt med fluxtætheden B og en partikel med ladning q og hastighed v, er giver ved F lorentz = q v B, så når v og B er parallelle, er F lorentz = 0 9

12 3.2. ALEPH 10 Uden om magnetspolen findes det Hadroniske Kalorimeter(HCAL) som registrer partikler opbygget af kvarker. HCAL består primært af jern, som bremser de hadroniske partikler, under denne opbremsning udsendes en kaskade af nye partikler der så detekteres i HCAL. Det yderste kammer er myonkammeret, hvor der udelukkende detekteres myoner. At dette kammer ikke også registrerer τ-leptoner, der slipper gennem HCAL, skyldes τ-leptonernes korte levetid. Normalt har hadroner (en τ-lepton kan f.eks. henfalde til en π-meson) større masse end myonen, men de slipper jvf. ovenstående ikke gennem HCAL, da de vekselvirker ved de stærke kernekræfter - de ladede leptoner vekselvirker kun ved de svage og de elektromagnetiske kræfter. Udover de ovennævnte detektorer findes også et luminositetskalorimeter, der benyttes til at bestemme det absolutte tværsnit ved at bestemme luminositeten. I dette projekt er vi dog kun interesserede i det relative tværsnit og skal derfor ikke bruge luminositeten. Den eneste Standardmodel partikel, der ikke registreres i detektoren er neutrinoen, idet den kun vekselvirker meget svagt - dog kan man indirekte udlede, om der blev dannet neutrioner ved kollisionen, idet den målte energi og impuls da vil være lavere end forventet. Se evt. figur B.1. [6] - [13]

13 Kapitel 4 Forgreningsforhold 4.1 Teoretisk udledning af forgreningsforholdet Z 0 -bosonens kobling til fermioner kan beskrives ved en vektorkobling og en axialvektorkobling* (disse benævnes hhv. c V og c A ), givet ved c V = I 3 2Qsin 2 (θ W ) og c A = I 3 (4.1) Idet tredjekomponenten af isospinnet for den enkelte fermion i benævnes I 3, Q er ladningen, og sin 2 (θ W ) er eksperimentelt bestemt til Nedenstående tabel viser tredjekomponenten af isospinnet for de enkelte fermioner, som forudsagt i Standardmodellen ii. Fermion I 3 ν e, ν µ, ν τ 1/2 e L, µ L, τ L 1/2 u L, c L, t L 1/2 d L, s L, b L 1/2 e R, µ R, τ R 0 u R, c R, t R 0 d R, s R, b R 0 Som det fremgår af ovenstående tabel varierer isospinnet for venstre- hhv. højrehåndede fermioner*, idet L angiver en venstrehåndet fermion og R angiver en højrehåndet fermion. En venstrehåndet hhv. højrehåndet kobling kan nu skrives som c L = 1 2 (c V + c A ) samt c R = 1 2 (c V c A ) (4.2) Lad Γ betegne henfaldssandsynligheden. Da er den totale henfaldssandsynlighed for henfald til fermioner givet ved Γ(Z fermioner) (c 2 L + c 2 R)N(χ c ) (4.3) idet vi benævner antallet af farvevarianter med N(χ c ). Ved sammensætning af ovenstående ligninger fås i se afsnit 2.3 ii vi minder om at isospinnet er et additivt kvantetal. Γ(Z fermioner) = κ (c 2 A + c 2 V )N(χ c ) (4.4) 11

14 4.2. Dataindsamling 12 I vores tilfælde kan Z 0 -bosonen henfalde til tre typer leptoner (µ, τ, e) hvorfor N(χ c ) = 3, således at Γ(Z leptoner) = κ 3 ( ( ) ) = κ GeV (4.5) Idet der er seks typer kvarker, der hver kan have tre forskellig farver, fås for henfald til jets af hadroner Γ(Z hadroner) = κ 3 ( 2 [ ( ) ] [ 2 ( ) ]) = κ GeV Det viser sig at proportionalitetskonstanten κ er uafhængig af henfaldstypen, og det er udfra (4.5) og (4.6) givet at (4.6) Γ(Z hadroner) Γ(Z leptoner) = GeV GeV = (4.7) som er det søgte forhold. 4.2 Dataindsamling På computere på Niels Bohr Instistuttet, findes en samling runs fra ALEPH detektoren. Runs som hver især består af bundter af events. En event registreres hver gang ALEPH måler en aktivitet iii. Vi har benyttet programmet dalinew til at undersøge events. Ud over at indtegne de registrerede partikler viser Dalinew - ALEPH - også energien og impulsen af hver enkelt event. Som tidligere beskrevet kan Z 0 -bosonen henfalde på 6 forskellige måder, og det var derfor nødvendigt at identificere disse for at bestemme forgreningsforholdet mellem hadron- og leptonhenfald K Γ(Z hadroner) Γ(Z leptoner) I kapitel 3 så vi hvordan ALEPH detektoren - og de forskellige subdetektorer - virker. Dette gør os nu i stand til at skelne mellem de forskellige henfald. Z 0 -bosonens hadronhenfald kan som sagt inddeles i 2-jet og 3-jet. For disse begivenheder ligger energien højt. Dvs. mellem 80 og 110 GeV. Ved en 2-jet registreres mellem 10 og 20 spor fra vertex, imens 3-jets har mere end 20 spor. Disse peger ud fra vertex i 2 hhv. 3 jets. I Dalinew har det dog været umuligt at gøre adskillelsen mellem 2-jets og 3-jets til andet end et kvalitativt forehavende - vi har ganske enkelt vurderet hvornår der var 2 og hvornår der var 3 jets. Både 2- og 3-jets registreres hovedsagelig i ECAL og HCAL, og nogle gange også i myonkammeret (hvis der eksempelvis dannes en tung kvark, som senere henfalder til en myon). iv Når Z 0 -bosonen henfalder til leptoner (e, µ eller τ), viser Dalinew to spor, der udgår fra det primære vertex (midten af beamaksen). e-henfaldet vil afsætte to tydelige spor i ITC og TPC og afgive ca. 45 GeV (al deres energi) i ECAL. τ -henfaldet kan til tider være svært at skelne fra e-henfaldet rent grafisk. Dog kan τ-leptonen henfalde til andre partikler som f.eks. en π-meson eller en myon. Derfor vil τ-henfald som det eneste give anledning til to partikelspor der hver afsætter sin energi i forskellige kalorimetre. Ved sådanne henfald af τ-leptoner vil der endvidere udsendes neutrinoer og den målte energi vil derfor være mindre. iii selv meget små aktiviteter kan resultere i en event hvorfor hovedparten af events er næsten uden målepunkter. iv dette vil dog stadig klassificeres som et 2- eller 3-jet.

15 4.3. Databehandling 13 µ -henfaldet kan let identificeres idet myonen er den eneste af de tre leptoner, der detekteres i myonkammeret Ved kollisionen kan der som tidligere nævnt også ske en såkaldt γγ-reaktion. Da der ved γγ-reaktioner ikke dannes en Z 0 -boson er γγ ikke relevant i dette projekts perspektiv. Derfor er det vigtigste ikke at forveksle γγ med τ, da disse to rent grafisk kan minde en del om hinanden. Idet elektronen og postitronen kun afbøjes ved γγ-reaktioner måles en langt lavere energi end ved τ-henfald - hvorved de kan udelades fra den endelige statistik. Ydermere registrerer ALEPH også når der sker en Bhabha-spredning, under hvilken elektronen og positronen skyder tæt forbi hinanden og derfor ikke danner en Z 0 -boson. Ved Bhabha-spredning er både energi og impuls bevaret, og den grafiske repræsentation af spredningen minder meget om Z 0 - bosonens henfald til e + e. Man kan dog skelne mellem de to reaktionstyper ved at betragte spredningsvinklen, θ, dvs. vinklen mellem beamrøret elektronsporet. for en lille spredningsvinkel (θ < 45 o ) har vi klassificeret eventen som Bhabha-spredning, mens en stor spredningsvinkel (θ > 45 o ) er et tegn på Z 0 e + + e. I den forbindelse er det nødvendigt også at nævne det, vi har kaldt for beamgas-events. En sådan event skyldes som regel at elektronen eller positronen inden sammenstødet har kollideret med en gasrest i beamrøret. I dalinew ses partikelspor som ikke udgår fra midten af detektoren. Udover den meget tydelige forskydning af det primære vertex er den registrerede energi væsentlig mindre end elektronens og positronens samlede energi, hvorfor beamgas-events let skelnes fra de øvrige events. Slutteligt eksisterer der også en meget almindelig event, som vi har benævnt baggrund. Denne kan tydeligt identificeres, idet de målte spor (næsten) aldrig passerer gennem beamrøret, men altid regisreres i myonkammeret. Der er tale om kosmiske myoner, der trænger ind detektoren via en sprække i klippeformationen, hvorunder LEP-ringen løber. Dette forklarer også, hvorfor sporene fra disse kosmiske myoner næsten altid fandtes i samme retning. Det er klart, at vi - da vi kun havde dalinew billederne til rådighed - har måtte forlade os på kvalitative vurderinger i mange tilfælde. I CERN har man selvfølgelig behov for en større stringens, således at klassificeringen af de forskellige events bliver så præcise som muligt. Idet vi som nævnt også benytter energibetragtninger til at klassificere henfaldstyperne, kan vores metode til dels sammenlignes med CERNs. Dog har CERN langt højere krav til hvad der måles i de enkelte kamre og kalorimetre for at en event kan specificeres yderligere. Derudover er sporets vinkel med beamrøret også vigtig for klassificeringen. Se evt. figur B.2, figur B.3, figur B.4, figur B.5 og figur B Databehandling Alt i alt har vi set følgende Type Antal Hyppighed 2-jets 869 ± 29 stat jets 70 ± 8 stat e + e 50 ± 7 stat ± 24 sys µ + µ 44 ± 7 stat τ + τ 48 ± 7 stat Bhabha 47 ± 7 stat ± 25 sys I alt De opgivne statistiske usikkerheder er beregnet som kvadratroden af antallet af målinger, mens der ved skellet mellem Z 0 e + e og Bhabha-spredning er en stor systematisk usikkerhed, groft vurderet som ca. halvdelen af de optalte værdier. I øvrigt viser det sig at vores målinger stemmer ganske godt overens med princippet om leptonuniversalitet, idet standardafvigelsen, σ, for antallet af henfald til hver lepton-type er meget mindre end deres gennemsnit, µ.

16 4.3. Databehandling 14 σ = 2.5 og σ µ = 5.3% Af tabellen ses endvidere K N had = N lep = hvilket giver en afvigelse på afv [K] = = 1.3% Vha. ophobningsloven er det muligt at beregne den statistiske usikkerhed på K K(stat) = = = ( K N had ) 2 N 2 had N 2 lep N had + N 2 had N lep Nhad ( ) 2 K + N 2 lep N lep Udfra ovenstående betragtninger estimeres den systematiske fejl på K til K(sys) 1.2 ( Nhad N lep ) (sys) = N had N lep ± N lep (sys) = 2 N lep (sys)n had (N lep + N lep (sys))(n lep N lep (sys)) Vi ser altså at vi får et forhold på K = 6.6 ± 0.6 stat ± 1.2 sys og vi kan altså konludere at vores udregning af K ligger indenfor usikkerheden. Udover usikkerheden på skellet mellem Z 0 e + e og Bhabha-spredning har systematiske fejlkilder været negligible. Der har været tilfælde hvor detektoren ikke har registreret et sammenstød, eksempelvis hvis partikelsporet efter sammenstødet ligger for tæt op af beamrøret, men ellers har fejlene som sagt været negligible. [2]

17 Kapitel 5 B-kvarkens forgreningsforhold Vi ønsker nu at bestemme R b Γ(Z b b) Γ(Z hadroner) (5.1) Dvs. hvor stor en andel af Z 0 -bosonens henfald der resulterer i b-kvarker i forhold til det antal der henfalder til kvarker totalt set. 5.1 Teoretisk udledning af R b Vi minder om at der for b-kvarker gælder (jvf. afsnit 4.1) Fermion I 3 b L 1/2 b R 0 b-kvarken kan endvidere befinde sig i tre farvetilstande, hvorfor det udfra (4.4) ses at Γ(Z b b) = κ (c 2 A + c 2 V )N(χ c ) = κ 3 hvorfor den teoretiske værdi for R b er givet ved i R b ( 1 ( ) ) = κ GeV (5.2) Γ(Z b b) GeV = Γ(Z hadroner) GeV = (5.3) 5.2 Eksperimentel bestemmelse af R b At man i forbindelse med Z 0 -henfald har en speciel interesse i b-kvarken, skyldes at denne lettere kan skelnes fra de øvrige kvarker Monte Carlo simulationer Første skridt på vejen til at undersøge Standardmodellens forudsigelser for R b er udfra tifældigt genererede tal at computersimulere Z 0 -bosonens henfald til kvarker. Denne simulering er kun baseret på Standardmodellen. i det bemærkes at vi tidligere har fundet Γ(Z hadroner) 15

18 5.2. Eksperimentel bestemmelse af R b Det neurale netværk Man ønsker nu at finde en sammenhæng mellem Z 0 -bosonens henfald til b-kvarker og simulationernes udseende. Det er hidtil ikke lykkedes at finde en pålidelig lineær sammenhæng mellem eventuelle variable som kunne karakterisere b-kvarken og og en optimal enkelt-variabel, der måler b-agtigheden af en jet (i det følgende benævnt som b tag ) ii. Det er her det neurale netværk kommer ind i billedet. Den vigtigste egenskab ved et neuralt netværk, er at det kan bruges til at at tage optimale beslutninger på baggrund af input-variable, som ikke kan kombineres lineært til en optimal diskriminerende variabel. For at gøre netværket i stand til at træffe rigtige afgørelser, bruger man en algoritme kaldet backwardspropagation, dvs. man fortæller netværket et tilstækkeligt antal sammenhørende inputs og outputs baseret på data fra Monte Carlo simulationen*, hvor det korrekte svar er kendt, og dermed træner netværket. Når dette er gjort tilstrækkelig mange gange, bliver netværket i stand til at levere outputs udfra variable inputs, hvilket vi i vores tilfælde får brug for, for at bestemme b tag et (final-output). De input/output data til backwardspropagation man bruger i vores tifælde, får vi fra kendskabet til b-kvarker. Når Z 0 -bosonen henfalder til kvarker dannes der som sagt jets. De målte spor opdeles i to hemisfærer (halvkugler), begge med centrum i det primære vertex og en jet i hver. Hver hemisfære kan nu tilskrives 6 variable, hvoraf de 2 relaterer til kvarkens levetid, 3 til massen og 1 til impulsen af det elementære lepton-henfald. Alle disse input-tags bliver normaliseret til værdier i intervallet [0,1], ligesom outputet. Levetiden:lifetime tag og secondary vertex tag. Levetiden af kvarken kan måles af placeringen af det sekundære vertex og af flyvelængden. B-kvarken har en levetid på ca. 1 ps. Massen: track multiplicity tag, summed pt-squared tag, boosted sphericity tag. Disse 3 variable udtrykker, på hver sin måde fraværet af kollimering af jetten til en snæver stråle. Rundheden af jetten er karakteristisk for henfaldet af en tung partikel, og derfor har disse tags en høj værdi for b-kvarker. B-kvarkens masse er ca. 5 GeV. P T lepton tag. På grund af b-kvarkens høje masse, vil en eventuel lepton fra det elementære henfald typisk have en høj impuls-komponent vinkelret på thrustaksen*, og derfor et højt input. Kort sagt tilegner netværket et b tag mellem 0 og 1 til hver hemisfære, alt efter jettens b-agtighed. Uheldigvis er det ikke alle events hverken i de simulerede begivenheder eller i de faktiske data som besidder data nok til udføre de nødvendige beregninger. Og i de faktiske data ønsker vi jo kun at betragte henfald til kvarker. Det er derfor nødvendigt at opstille visse udvælgelseskriterier. I vores tilfælde er de Der er mindst fire målte punkter i TPC. Summen af energier på alle ladede spor er mindst 10 % af center-of-mass energien. cos(jettens vinkel med beamrøret) < 0.9. Der er mindst to jets med energier større end 10 GeV. Der er ingen hemisfærer med b tag < Og det antages at denne udvælgelse er uafhængig af kvarkens type Udregninger Sandsynligheden for at en jet fra en b-kvark således har et b tag > cut kan beskrives ved en effektivitet ǫ b = N(b : b tag > cut) N(b) (5.4) ii dette kunne jo ellers være ønskværdigt da en lineær sammenhæng ville være den mest simple sammenhæng

19 5.3. Databehandling 17 hvor N(b : b tag > cut) betegner antallet af b-kvarker med b tag > cut. Ligledes gælder for de øvrige kvarktyper q ǫ q = N(q : b tag > cut) N(q ) (5.5) En Z 0 -begivenhed resulterer som før nævnt almindeligvis i 2 jets. Andelen af begivenheder for hvilke begge jets har et b tag > cut er da givet ved hvor R b er givet ved (5.1), og R q er defineret tilsvarende med R ++ = R b ǫ 2 b + R q ǫ2 q (5.6) R q Γ(Z q q ) Γ(Z hadroner) ligeledes må andelen af henfald hvor b tag > cut for kun den ene jet være givet ved R + = 2R b (1 ǫ b )ǫ b + 2R q (1 ǫ q )ǫ q (5.7) Idet N(Z b b) + N(Z q q ) = N(Z hadroner), gælder det åbenlyst at R b + R q = 1 (5.8) Bestemmes ǫ q ud fra de simulerede Monte Carlo begivenheder, og vi udfra data beregner R ++ og R + er det vha. (5.6),(5.7) og (5.8) muligt at bestemme R b = R R ++R + 8 ǫ q R ++ + R R + ǫ q + 4 ǫ 2 q R ++ 2ǫ q R ++ R + ǫ q + ǫ 2 q ǫ b = 2 R ++ ǫ q (2 R ++ + R + ) 2R ++ + R + 2 ǫ q (5.9) (5.10) Idet ǫ q << 1 indgår denne kun med ringe vægtning i bestemmelsen af R b, hvilket også er ønskværdigt idet vi da forlader os minimalt på de simulerede begivenheder. 5.3 Databehandling Vi har to datasamples til rådighed: Monte Carlo simulationer Da der er tale om simuleret data, vides hvordan forskellige henfald vil registeres. Udfra Monte Carlo er det derfor muligt at undersøge den algoritme som optæller begivenhederne. Målt data fra Aleph Monte Carlo (MC) Det første nødvendige skridt i vores databehandling er at vælge et cut. I princippet er det optimale valg af cut den værdi der minimerer den statistiske fejl - hvis altså den systematiske fejl er uafhængig af cuttet (hvad den ikke helt er på grund af ǫ q ). Dette cut søges valgt således at ǫ b er maksimalt og ǫ q minimalt. Det vil sige antallet af henfald for hvilke b tag > cut er maksimalt for b b-henfald og minimalt for henfald til de øvrige kvark-typer. Det optimale cut kan selvfølgelig

20 5.3. Databehandling 18 Figur 5.1: Øverste historgram viser b tag for Z 0 b b, mens det nedeste viser b tag for de øvrige kvarptyper. udregnes, men udregningerne er på ingen måde simple, og i vores tilfælde må vi derfor blot forlade os på et kvalificeret gæt. Ovenstående histogrammer viser b tag for jets fra forskellige Monte Carlo-beginvenheder for hhv. b- og q -henfald. Herudfra vælges Endvidere er det muligt at optælle følgende cut (b tag ) = 0.98 Antal hadron-henfald N had = ± Antal b-henfald N b = ± Antal hemisfærer fra b-henfald, for hvilke b tag > cut N hb = ± Antal hemisfærer fra q -henfald, for hvilke b tag > cut N hq = ± Dette giver let, idet som dagt R b = N b /N had. R b (direkte) = ± ǫ b (direkte) = ± ǫ q (direkte) = ± Her er usikkerhederne på hhv. R ++ og R + givet ved R = R N had iii Og tilsvarende for ǫ b og ǫ q. Lad os nu udføre de i afsnit beskrevne udregninger på dataene fra MC. Optælling og udregning giver iii Det er ikke nødvendigt at regne med usikkerhed på N tot idet N had >> R + + R +, hvorfor variationer i denne ikke vil betyde der store for de beregnede usikkerheder.

21 5.3. Databehandling 19 N ++ = ± N + = ± R ++ = ± R + = ± R b (beregnet) = ± ǫ b (beregnet) = ± Den statiske usikkerhed på R b og ǫ b er beregnget vha. ophobningsloven. For R b ser udregningerne således ud R b (stat) = ( ) 2 ( ) 2 Rb R++ 2 R Rb R R + = (4 R R + 5 R+ 2 16(R ++ R + ) 2 R ++ + (8 R R + R+ 2 16(R ++ R + ) 2 R + = Idet effektiviteten for at tagge c-kvarker og de lette kvarker er lille kan usikkerheden på ǫ q negligeres, hvorfor vi sætter ǫ q 0. Det bemærkes at der er en diskrepans mellem de to fundne værdier for hhv. ǫ b og R b. Dette må skyldes en fejl i enten udregningsmetoden eller optællingsalgoritmen. Denne fejl benævnes bias, og det er givet at R b (bias) = R b (direkte) R b (udregnet) = = Data fra ALEPH For at løse ligningerne i afsnit er det som sagt nødvendigt at benytte den værdi for ǫ q, vi fandt da vi undersøgte dataene baseret på MC simulationerne. Denne er givet ved Optællinger på data giver disse resultater ǫ q = N tot = ± N ++ = ± N + = ± R ++ = ± R + = ± ǫ b (målt) = ± R b (målt) = ± Idet der korrigeres for den bias der fandtes vha. MC R b (korreleret) = R b (målt) + R b (bias) = = Ovenstående resultater er i fremragende overenstemmelse med de teoretiske forudsigelser fra ligning (5.3), idet der blot er en afvigelse fra denne på afv[r b ] = R b(korreleret) R b (teori) R b (teori) = %

22 5.3. Databehandling 20 For den omtalte bias, beregnet ved MC simulering, anslår vi den systematiske usikkerhed til at være ca. halvdelen af værdien for bias. Hvorfor det er lykkedes at bestemme R b (sys) R b(bias) 2 = R b = ± stat ± sys med en afvigelse fra den teoretisk forudsagte værdi meget mindre end usikkerheden. Historisk set så bestemmelsen af R b længe ud til at være et stort problem for Standardmodellen, idet målinger viste relativt store uoverensstemmelser med det af Standardmodellen forudsagte resultat. Men som det fremgår af ovensående, viste nyere målinger at disse afvigelser forsvandt. [2] - [3] - [11] - [12]

23 Kapitel 6 Konklusion Vi har bestemt forgreningsforholdet K til 6.6 ± 0.6 stat ± 1.2 sys, hvilket giver en afvigelse fra den teoretiske værdi på 1.3%. Dette ligger indenfor usikkerheden. At vi har får en værdi så tæt op af den teoretiske værdi (på 6.697) er overraskende, vores kvalitative fremgangsmåde taget i betragtning. Ligeledes har vi fundet R b = ± stat ± sys hvilket er en afvigelse på 0.05% fra den teoretiske værdi. Dette må siges at være en meget lille afvigelse og vi ligger desuden indenfor usikkerhederne. Vi ønskede at kaste et kritisk blik på Standardmodellen, men har dog undervejs, idet vores data i høj grad er funderet i kvalitative observationer, måttet erkende, at vi snarere har arbejdet indenfor rammerne af standardmodellens forudsigelser - vi har altså ikke direkte eftervist Standardmodellen, men vi har ej heller observeret ting, der direkte falsificerer den. En stor tak rettes til vores vejleder - Peter Hansen - som med stort engagement har inspireret, forklaret og hjulpet, når det har været tiltrængt. 21

24 Bilag A Ordliste ALEPH: ALEPH er en af fire dektorer ved LEP accelleratoren. De andre 4 er DELPHI, L3 og OPAL. Asymptotisk Frihed: Asymptotisk frihed er det fænomen at den potentielle energi mellem partikler vokser proportionalt med afstanden mellem dem. En analogi kan drages til en elastik hvor dette er ligeledes er tilfældet når elastiken strækkes Axialvektor: Også kaldet pseudovektor. En axialvektor er et objekt med vektorlignende egenskaber som er invariant under inversion af koordinatakserne. Angulær hastighed og arealer er eksempler på axialvektorer. Bølgefunktion: I kvantemekanikken beskrives partikler udfra deres bølefunktion. Kvadratet på amplituden bestemmer sandsynligheden for at partiklen befinder sig i en bestemt del af rummet. CERN: L Organisation Européenne pour la Recherche Nucléair. CERN er et internationalt center for partikelfysik lokaliseret i Geneve. Feynman diagram: Fysikeren Richard Feynman introducerede disse diagrammer, for at overskueliggøre processer på subatomart plan. Tiden læses fra venstre mod højre, og hver linie representer en partikel, hvor pilens retning angiver om den er partikel eller antipartikel. Den bølget linie angiver en boson, i vores tilfælde Z 0 -bosonen. Gauge-bosoner: De 3 fundamentale vekselvirkninger: de elektromagnetiske, de stærke og de svage, formidles af bosoner der under et kaldes gauge-bosoner. De stærke og svage kræfter kan man redegøre for ved hjælp af en slags felter, der har meget til fælles med almindelige elektriske og magnetiske felter, men som på flere punkter generaliserer og komplicerer dem. Teorien for den slags er helt entydigt fastlagt af generelle principper, og kaldes for gaugeteorier (af eng. gauge:justere). Helicitet: Heliciteten er defineret ved spinnets projektion på partiklens bevægelsesretning[6]. Hemisfære: Vi deler thrustaksen op i to hemisfærer med et ortogonalt tværsnit gennem det primære vertex. Hyperladning: Kvantetal defineret ved Y 2 (Q I 3 ) hvor Q er ladningen og I 3 er tredjekomponenten af isospinet. Højre- og venstrehåndet fermion: En masseløse fermion kaldes højre- hhv. venstrehåndet såfremt dens helicitet*, er positiv hhv. negativ. Isospin: Isospin er et indre kvantetal, der giver et mål for symmetrien af tilstande opbygget af systemer bestående af fermioner. Kvantefeltteori: Teori der er konsistent med kvantemekanikken og den speciele relativitetsteori. Kvantefeltteori er den del af kvantemekanikken der har at gøre med felter. Den blev motiveret af spørgsmålet om hvordan et atom udsender lys når en elektron hopper fra en exciteret tilstand. 22

25 23 Kvantetilstand: Kvantetilstand beskriver en tilstand af et kvantesystem, som opfylder de tilladte diskrete værdier. LEP: LEP står for Large Electron-Positron Collider. Ved at støde partikel og antipartikel sammen, annihileres begge partikler og energi kan bruges til at skabe nye partikler. LEP startede i 1989 og har siden da stødt elektroner og positroner sammen. Monte Carlo: Ved at anvende Monte Carlo simuleringer er det muligt at beregne parametre som ellers ville være utilgængelige. Man skal dog huske på, at Monte Carlo programmer altid skal valideres gennem sammenligning med eksperimentelle data, da de tager udgangspunkt i kendt teori, i vores tilfælde standardmodellen, den vi vil eftervise. Vi søger derfor at minimerer betydningen af simulationen ved at vælge at simulere den variabel, som har mindst indflydelse på resultatet. Pauli princippet: Ifølge Paulis udelukkelsesprincip kan to fermioner ikke være i samme kvantetilstand. Primært og sekundært vertex: Det primære vertex er det punkt i rumtiden hvor partiklerne dannes. Det sekundære vertex er da det punkt i rumtiden hvor de dannede partikler henfalder igen. QCD: Quantum Chromodynamics er teorien der omhandler de stærke vekselvirkninger. Disse vekselvirkninger beskrives vha. masseløse spin-1 bosoner kaldet gluoner (eng: glue). QED: Quantum Electrodynamics var den første vellykkede kvantefeltteori. Den forener Maxwell s elektromagnetiske teori, som er umiddelbar konsistent med den specielle relativitetsteori, med kvanteteorien. Thrustaksen: Den akse hvor projektionen af partiklernes impuls har maksimal værdi.

26 Bilag B Billeder Figur B.1: Skematisk tegning af ALEPH-detektoren ved CERN. 24

27 25 B.0.3 Billeder fra dalinew - ALEPH Figur B.2: 2 jets Figur B.3: 3 jets

28 26 Figur B.4: Z 0 henfald til µ µ Figur B.5: Z 0 henfald til e + e

29 Figur B.6: γγ (idet der er tale om henfald til tau, hvor energien ikke er den samme som center-of-mass energien) 27

30 Litteratur [1] K. F. Riley, M. P. Hobson og S. J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, 2. udgave, [2] W. E. Burcham og M. Jobes. Nuclear and Particle Physics. Addison Wesley Longman Limitid, Edinburgh Gate, [3] Glen Cowan. Statistical Data Analysis. Oxford University Press, Oxford, [4] Jogn Cullerne og Valerie Illingworth. Dictionary of Physics Penguin Books, London, 3. udgave, [5] Richard P. Feynman, R. B. Leighton og M. Sands. The Feynman Lectures, Volume 3. Addison- Wesley, USA, [6] Morten Gersborg-Hansen, Lærke Bang Jacobsen, Niels Vestergaard Jensen og Malene Erup Larsen. Måling af τ-polarisation i Z 0 henfald. Bachelorproject ved Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet, maj [7] Francis Halzen og Allan D. Martin. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley and Sons, [8] Stephen W. Hawking. Hawkings Univers illustreret. Gyldendal, 199. [9] B. R. Martin og G. Shaw. Particle Physics. John Wiley and Sons, 2. udgave, [10] Particle Data Group. Particle Physics Booklet. Lawrence Berkeley National Laboratory, juli 2004, Berkeley. [11] John R. Taylor. An Indtroduction to Error Analysis. University Science Books, Sausalito, Californien, [12] J. Tran Thann Vân. Z 0 Physics - Proceedings of the XXVth RENCONTRE DE MORIOND. Editions Frontières, [13] The ALEPH-project at CERN. 28