Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet"

Transkript

1 Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal man regner med. Her er en intuitiv forklaring på hvad vi gerne vil konstruere. Lad os sige at en mængde personer ansat i en virksomhed gerne vil vide hvad de tjener i gennemsnit. Ingen af dem er i midlertidig villig til at afsløre for de andre hvor meget de tjener (men har det per sagens natur OK med at gennemsnittet bliver offentliggjort). Vi kunne naturligvis få resultatet ved at alle fortalte en særlig betroet person hvad de får i løn, så vedkommende kunne regne gennemsnittet ud og fortælle de andre resultatet. Med det kræver jo unægtelig at men har meget stor tillid til én bestemt person. I stedet kunne vi gøre følgende: vi anbringer en lommeregner i en kasse der kun har en lille åbning således at man kan stikke en hånd ind og trykke på tasterne; men man kan ikke se hvad der står på displayet. Nu går man efter tur hen til kassen, stikker sin hånd ind, taster sin løn, og trykker på plus tasten (vi antager at folk godt kan fornemme hvor tasterne sidder). Den sidste person trykker på = -tasten. Herefter åbner vi kassen og ser hvad der står på displayet. Lad n være antallet af personer der er med, og lad s være summen på displayet. Det gennemsnit g vi er ude efter kan alle nu beregne som g = s/n. Det vi er ude efter her er at holde de private data så private som muligt, i den forstand at den eneste nye information der bliver frigivet, er det resultat vi er ude efter. Den metode vi bruger for at beregne resultatet siges at være sikker hvis den opfylder denne betingelse. Opgave 1.1: Med denne definition af sikkerhed, er det så et problem at det vi ser på lommeregneren, når vi åbner kassen, ikke er g, men s? Det er ikke voldsomt praktisk at skulle håndtere kasser og lommeregnere, og slet ikke hvis man ikke kan mødes men istedet må kommunikere over f.eks. internettet. Heldigvis findes der mere praktiske løsninger og vi skal i resten af denne note se på én af dem. Løsningen antager at der er tre personer P 1, P 2, og P 3 som ønsker at lave en sikker beregning sammen. Vi går udfra at de kan være nysgerrig for at lære 1

2 de andres private input men alligevel er ærlige nok til at følge forskrifterne (protokollerne). Dette er selvfølgelig ikke altid en realistisk antagelse, men at beskytte imod afvigende parter gør løsningen noget mere indviklet. For at gøre det nemmere at regne på, antager vi også at der er en øvre grænse for hvor stort det endelige resultat af en beregning kan blive; konkrete antager vi at det endelig resultatet aldrig bliver større end 100 men denne grænse kan selvfølgelig vælges så stor som man har lyst til. 2 Sikker Deling Af Værdi Den første protokol vi skal kigge på tillader en person P i at dele hans private værdi x med de andre således at de kan regne på x uden at kende den. Det lyder umuligt, men vi skal se at det faktisk ikke er så slemt. I eksemplet fra introduktionen kunne x være P i s løn. Det første P i gør er, at vælge to tilfældige tal x 1 og x 2 modulo 100 dvs. at x j er tilfældigt valgt fra intervallet [0..99]. Han sætter efterfølgende x 3 = x (x 1 +x 2 ) mod 100 således at x = (x 1 + x 2 + x 3 ) mod 100 og samler disse tre tal i tre dele d 1, d 2, og d 3 som blot er lister: d 1 = [, x 2, x 3 ] d 2 = [x 1,, x 3 ] d 3 = [x 1, x 2, ] hvor blot indikerer en tom plads i listen. Til sidst sender han d i til P i på en hemmelig måde, dvs. f.eks. krypteret med RSA. Bemærk at P i også selv modtager en del d i (i stedet for at sende den til sig selv gemmer han den naturligvist blot). Vi siger at de tre dele d 1, d 2, d 3 tilsammen udgør en deling af x. Opgave 2.1: Et taleksempel. Antal at i = 1 og x = 23. Lad os også antage at P 1 har valgt tilfældige tal x 1 = 50 og x 2 = Vis at x 3 = Vi kan se at følgende dele er blevet delt ud: P 1 har [, 76, 97], P 2 har [50,, 97], og P 3 har [50, 76, ]. Antag nu at P 3 forsøger at regne ud hvad x er. Bemærk at han ikke bare kan regne værdien ud direkte: han har fået x 1 og x 2 men mangler x 3. Nu spekulerer han på om x f.eks. kunne være 1. Hvis nu x = 1, hvad skulle x 3 så være for at det passede med at P 3 ville modtage [50, 76, ]? Samme spørgsmål for x = 2? 3. Argumenter generelt for at P 3 ingen anelse har om hvad værdien af x er. (Bemærk at men samme argument kan man vise at P 2 heller ikke har nogen som helst information om x.) 2

3 Før : én af personerne, P i, kender en privat værdi x Efter : tilsammen kender de tre personer en deling af x, dvs. P 1 kender del d 1 = [, x 2, x 3 ], P 2 kender del d 2 = [x 1,, x 3 ], P 3 kender del d 3 = [x 1, x 2, ], hvor det gælder at x = x 1 + x 2 + x 3 mod 100 Metode : P i vælger to tilfældige tal x 1 og x 2, sætter x 3 = x (x 1 + x 2 ) mod 100, og sender d 1 til P 1, d 2 til P 2, og d 3 til P 3 Figur 1: Delings-protokol Lad os nu kort gå tilbage til eksemplet med at regne løn-gennemsnittet ud. Lad s i være P i s løn. Alle tre laver nu en sikker deling af deres løn, således at f.eks. P 1 ender op med dele [, s 1,2, s 1,3 ] fra P 1 s løn s 1, [, s 2,2, s 2,3 ] fra P 2 s løn s 2, og [, s 3,2, s 3,3 ] fra P 3 s løn s 3. Opgave 2.2: Skriv en komplet liste over de dele folk har modtaget. Dette kan med fordel gøres ved at tegne en trekant med de tre P i er og deres dele i hjørnerne. 3 Sikker Addition I forrige afsnit så vi en protokol for at lave en sikker deling af en værdi x, og vi argumenterede for at en del intet røber om x. Så langt så godt, men vi har stadig ikke lavet nogen beregning på vores data. I dette afsnit kigger vi derfor på en additions-protokol. Antag at de tre personer har delt to værdier x og y imellem sig f.eks. har P 1 del [, x 2, x 3 ] og [, y 2, y 3 ]. Det er ikke vigtigt hvor x og y kom fra oprindeligt, men det kunne f.eks. være at det var hhv. P 1 s og P 2 s input (P 3 er blevet snydt for input i denne omgang og må nøjes med blot at hjælpe de to andre). Vi ønsker nu en protokol der sikkert kan lægge x og y sammen, dvs. kan give os en deling af z = x + y mod 100. Opgave 3.1: Lad z i = x i + y i mod 100. Vis at [, z 2, z 3 ] er en korrekt del af en deling af z = x + y mod 100 for P 1. Vis det tilsvarende for P 2 og P 3. (Hint: 3

4 Før : de tre personer kender en deling af x og en deling af y, dvs. P 1 kender del [, x 2, x 3 ] og [, y 2, y 3 ], P 2 kender del [x 1,, x 3 ] og [y 1,, y 3 ], P 3 kender del [x 1, x 2, ] og [y 1, y 2, ], hvor x = x 1 + x 2 + x 3 mod 100 og y = y 1 + y 2 + y 3 mod 100 Efter : de tre personer kender en deling af z = x + y mod 100, dvs. P 1 kender del [, z 2, z 3 ], P 2 kender del [z 1,, z 3 ], P 3 kender del [z 1, z 2, ], hvor det gælder at z = z 1 + z 2 + z 3 mod 100 Metode : P i lægger blot sine dele sammen Figur 2: Additions-protokol Hvilket forhold gælder der mellem x og x 1, x 2, x 3, og mellem y og y 1, y 2, y 3?) Opgave 3.2: Argumenter for at additions-protokollen kan udføres uden at personerne snakker med hinanden. Opgave 3.3: Argumenter for at additions-protokollen er sikker, altså hvorfor ingen af personerne kender værdien af z. Vi vender nu igen tilbage til eksemplet om beregning af løn-gennemsnittet. Lad t l = (s 1,l + s 2,l + s 3,l ) mod 100 for l = 1, 2, 3. Med de dele P 1 har modtaget, er det klart at han kan beregne t 2 og t 3. Opgave 3.4: Brug jeres liste fra opgave 2.2 og vis at P 2 kan beregne t 1 og t 3, og at P 3 kan beregne t 1 og t 2. Lad s = s 1 + s 2 + s 3 mod 100 være den sum vi er interesseret i at finde (som nævnt i introduktionen kan gennemsnittet så findes ved blot at dividere med 3) og lad t = t 1 + t 2 + t 3 mod 100 være den værdi som de tre personer nu har en deling af. Opgave 3.5: Argumenter for at s = t, og altså at de tre personer nu har en deling af det gennemsnit de ønsker at finde. 4

5 Før : de tre personer kender en deling af x, dvs. P 1 kender del [, x 2, x 3 ], P 2 kender del [x 1,, x 3 ], P 3 kender del [x 1, x 2, ], hvor x = x 1 + x 2 + x 3 mod 100 Efter : de tre personer kender alle værdien x Metode : alle personer sender blot sine dele til de andre Figur 3: Åbnings-protokol 4 Åbning Af Sikker Deling Vi har nu set hvordan de tre personer først kan lave sikre delinger af deres lønninger s i med hinanden, og dernæst kan beregne en sikker deling af den ønskede sum s = s 1 + s 2 + s 3 mod 100 vha. additions-protokollen. Omvendt har vi også set at deling intet fortæller om den underliggende værdi så selvom de nu godt nok har beregnet s, er der ingen af dem der ved hvad denne værdi er! Hvad vi mangler er en protokol til at åbne delinger med. Bemærk at dette nødvendigvis må medføre at personerne skal udveksle information med hinanden, og derfor skal blive enige om at åbne samt enige om hvilke delinger der skal åbnes. Åbningsprotokollen er uhyggelig simpel: personerne sender simpelthen blot deres delinger til hinanden. Vi så før at P 1 kunne beregne t 2 og t 3 ; når de ønsker at åbne t = t 1 + t 2 + t 3 mod 100 sender P 1 derfor blot t 2, t 3 til P 2 og P 3 (som ligeledes sender deres). Opgave 4.1: Vis at alle nu kan beregne s. Spørgsmålet er nu om denne løsning er sikker i samme forstand som den med lommeregneren i kassen. Vi har allerede set at i delings-protokollen blev der ikke afsløret noget: ifølge opgave 2.1 har ingen af personerne nogen som helst information om hvad de andre tjener, selv efter at de har modtaget s i,j erne fra de andre. Ligeledes så vi i opgave 3.3 at ingen af dem har lært noget ved at addere deres delinger. Det eneste nye der sker til sidst er at t 1, t 2, og t 3 er blevet offentliggjort. Lad os se på situationen fra P 3 s synspunkt: han ved allerede hvad t 1 og t 2 er. Så det eneste nye han får at vide er t 3. Husk at sikkerhed her betyder at det eneste nye vi har lov at afsløre er s, for det er det resultat vi gerne vil beregne. 5

6 Opgave 4.2: Vis at hvis P 3 fik s udleveret i stedet for t 3, så kunne han nemt selv beregne t 3. Vi kan derfor konkludere at hvis P 3 får værdien af s at vide (og det var jo det der var meningen), så kan han nemt selv regne ud hvad t 3 er, hvorfor det ikke røber for meget hvis P 1 og P 2 giver ham denne. 5 Sikker Multiplikation I det forrige har vi kigget på hvordan vi kan lave en metode til at lægge tal sammen på en sikker måde. Vi tilføjer nu en fjerde protokol der kan gange tal sammen. Med andre ord, hvis de tre personer allerede har delingerne af x og y, hvordan kan de så sikkert finde en deling z = x y mod 100? Vi skal først huske på at en sikker deling af x består af tre tal x 1, x 2, x 3 således at x = x 1 + x 2 + x 3 mod 100. Tilsvarende for y. Det betyder at x y mod 100 = (x 1 + x 2 + x 3 ) (y 1 + y 2 + y 3 ) mod 100 = (x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 2 y 1 + x 2 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 + x 3 y 2 + x 3 y 3 ) mod 100 og hvis vi kigger efter kan vi se at for ethvert produkt x i y j er der mindst én af personerne der kan beregne denne. Opgave 5.1: Vis at når personerne kender en deling af x og y, så kan P i beregne et tal u i således at x y mod 100 = (u 1 + u 2 + u 3 ) mod 100. Dette betyder at vi kan finde en deling af det ønskede resultat z hvis vi på en sikker måde kan finde summen af u 1, u 2, og u 3 men det er jo netop hvad vores to andre protokoller tillader os at gøre! Med andre ord, så er multiplikationsprotokollen simpelthen blot: 1. P i beregner u i udfra de værdier han kender per opgave P i bruger delings-protokollen til at lave en sikker deling af u i 3. de bruger additionsprotokollen til at beregne en deling af u = u 1 + u 2 + u 3 mod 100 Opgave 5.2: Hvor meget kræver multiplikations-protokollen at personerne snakker med hinanden? 6

7 Før : de tre personer kender en deling af x og en deling af y, dvs. P 1 kender del [, x 2, x 3 ] og [, y 2, y 3 ], P 2 kender del [x 1,, x 3 ] og [y 1,, y 3 ], P 3 kender del [x 1, x 2, ] og [y 1, y 2, ], hvor x = x 1 + x 2 + x 3 mod 100 og y = y 1 + y 2 + y 3 mod 100 Efter : de tre personer kender en deling af z = x y mod 100, dvs. P 1 kender del [, z 2, z 3 ], P 2 kender del [z 1,, z 3 ], P 3 kender del [z 1, z 2, ], hvor det gælder at z = z 1 + z 2 + z 3 mod 100 Metode : P i beregner u i som i opgave 5.1, P i laver en deling af u i, de tre laver en sikker addition af de tre u i delinger Figur 4: Multiplikations-protokol Opgave 5.3: Argumenter for hvorfor multiplikations-protokollen er sikker, altså hvorfor ingen af personerne kender værdien af z. Opgave 5.4: Hvis z = x y faktisk var det endelige resultat, hvordan får de så dette resultat at kende? 6 Dating for Dataloger Afslutningsvist skal vi bruge vores nye multiplikations-protokol til at hjælpe to generte personer med at spørge hinanden ud på date. Alice og Bob har lige mødt hinanden, og Alice overvejer om hun vil på date med Bob, som overvejer noget lignende med Alice. Men ingen af dem er sikre på hvad den anden tænker, og er derfor begge alt for generte til bare at spørge det ville jo være frygtelig pinligt hvis hun/han sagde nej! Heldigvis kan vi med vore multiplikations-protokol hjælpe Alice og Bob til at finde ud af om der er gensidig interesse, uden at det bliver pinligt for nogen. Det kan gøres således. Alice vælger et tal a sådan at a = 1 hvis hun er interesseret i Bob, og a = 0 ellers. På samme måde vælger Bob et tal b. Det er nu nemt at indse, at a b = 1 præcis hvis begge er interesseret, og ellers er a b = 0. 7

8 Opgave 6.1: Hvilke tre trin indgår i dating-protokollen? Opgave 6.2: Vis at hvis Alice har valgt a = 0, så ved hun hvad resultatet er allerede inden vi har udført beregningen. Brug dette til at argumentere for, at hvis vores protokoller fra tidligere er sikre, og hvis Alice ikke er interesseret, så finder hun aldrig ud af om Bob var interesseret eller ej. Vores multiplikations-protokol er for tre deltagere, så det kræver at Alice og Bob har en tredje person til at hjælpe sig. Men bemærk at den tredje person ikke får nogen som helst information udover resultatet, og vi behøver derfor ikke stole på at han er diskret. Der findes andre metoder der kun kræver at to personer er med, men det kræver andet kryptografi end hvad vi har set på her, og er en del mere indviklet. 8

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken - 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december

Læs mere

En spekulativ teori om hvad det vil sige at være en normal person

En spekulativ teori om hvad det vil sige at være en normal person En spekulativ teori om hvad det vil sige at være en normal person Introduktion Jeg har i længere tid gået og spekuleret over hvad dette egentlig vil sige; hvad vi mener når vi siger, at en person er normal

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Kursus i IT Sikkerhed

Kursus i IT Sikkerhed Kursus i IT Sikkerhed Ivan Damgård, Daimi, Århus Universitet Praktiske ting Kursushjemmeside www.daimi.au.dk/dsik Her findes noter, links til materiale, opgaver, m.v. Der bruges et sæt noter, der findes

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Kærligt talt. Forlaget Go'Bog. 5 trin til indre ro og kærlige relationer gennem bevidst brug af dit sprog. Af Lisbet Hjort

Kærligt talt. Forlaget Go'Bog. 5 trin til indre ro og kærlige relationer gennem bevidst brug af dit sprog. Af Lisbet Hjort Kærligt talt 5 trin til indre ro og kærlige relationer gennem bevidst brug af dit sprog Af Lisbet Hjort Forlaget Go'Bog Kærligt talt-konceptet Kærligt talt-metoden går ud på at få et liv med indre ro og

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Syv veje til kærligheden

Syv veje til kærligheden Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse

Læs mere

HVOR KOMMER DU FRA? Historiefortælling. Et undervisningsforløb for 4.-6. klasser

HVOR KOMMER DU FRA? Historiefortælling. Et undervisningsforløb for 4.-6. klasser HVOR KOMMER DU FRA? Historiefortælling Et undervisningsforløb for 4.-6. klasser INTRODUKTION Alle har en historie at fortælle. Oftest giver en personlig historie os et billede af, hvem den fortællende

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

Vejledning i brugen af økonomiportalen 2010 Indhold

Vejledning i brugen af økonomiportalen 2010 Indhold Vejledning i brugen af økonomiportalen 2010 Indhold Køreplan for indberetning af regnskab og budget til provstiet.... 2 Hvordan indberettes regnskab 2010?... 2 Hvor kan jeg få hjælp.... 3 Kontrol af data

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Vejledning i brugen af økonomiportalen for menighedsråd 2009. www.skema.brandsoft.dk Indhold

Vejledning i brugen af økonomiportalen for menighedsråd 2009. www.skema.brandsoft.dk Indhold Vejledning i brugen af økonomiportalen for menighedsråd 2009. www.skema.brandsoft.dk Indhold Køreplan for indberetning af regnskab og budget til provstiet.... 2 Hvordan indberettes regnskab 2008 og budget

Læs mere

Guide til lønforhandling for mejeriingeniører

Guide til lønforhandling for mejeriingeniører Side 1 af 6 Hovedpunkter Bemærkninger til de enkelte trin Forhandling én gang årligt? ger) De fleste privatansatte mejeriingeniører har anført i deres ansættelseskontrakt, at de forhandler løn én gang

Læs mere

Lærervejledning. - til computerprogrammet Google Sketchup og Mathcad

Lærervejledning. - til computerprogrammet Google Sketchup og Mathcad Lærervejledning - til computerprogrammet Google Sketchup og Mathcad Klassetrin/niveau: 4.-6. klasse/ mellemtrinet. Opgaverne kan dog med fordel anvendes i indskolingen og udskolingen. Introduktion: Google

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Er mandatet i orden? - om at få et mandat af klubben

Er mandatet i orden? - om at få et mandat af klubben Er mandatet i orden? - om at få et mandat af klubben marts 2011 TR og klubben indgår aftaler Siden 1. juli 2002 har aftale- og forhandlingsretten været uddelegeret til klubberne. Med decentraliseringen

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

ER DU OFFER FOR AFTALT SPIL?

ER DU OFFER FOR AFTALT SPIL? ER DU OFFER FOR AFTALT SPIL? SIDE 2 KONKURRENCE- OG FORBRUGERSTYRELSEN Februar 2015 Oplag 1000 stk. ISBN 978-87-7029-595-6 Tryk: Rosendahls Schultz Grafisk A/S Brochuren er udarbejdet af Konkurrence- og

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Evaluering af SSP dagen elev 1

Evaluering af SSP dagen elev 1 Evaluering af SSP dagen elev 1 1. Hvorfor hedder SSP dagen Det er sejt at sige nej Det gør det fordi at det er godt at sige nej til noget dumt fx: at ryge, at stjæle og andre dumme ting. 2. Hvad lærte

Læs mere

DIALOG # 11 HVEM SKAL LÆREREN VÆRE MEST LOYAL OVER FOR ELEVERNE ELLER FORÆLDRENE?

DIALOG # 11 HVEM SKAL LÆREREN VÆRE MEST LOYAL OVER FOR ELEVERNE ELLER FORÆLDRENE? DIALOG # 11 HVEM SKAL LÆREREN VÆRE MEST LOYAL OVER FOR OM TRIVSEL PÅ SPIL EN GOD DIALOG De følgende sider er et redskab til at få talt om, hvordan I i fællesskab vil forholde jer til en potentielt vanskelig

Læs mere

XML webservice for pensionsordninger. Version 1.0 Draft A

XML webservice for pensionsordninger. Version 1.0 Draft A XML webservice for pensionsordninger Version 1.0 Draft A Dokumentoplysninger Titel: Projekt: Webservice for pensionsordninger EDI kontorets branchekoordinerede dataudveksling Forfatter: Bidragsydere til

Læs mere

Instant Spam Control

Instant Spam Control Instant Spam Control - den nemme guide til jeres antispam-løsning Instant Spam Control er nemt at arbejde med eller lade arbejde for sig. 97% af al spam bliver automatisk sorteret fra. De sidste 3% kan

Læs mere

HURTIGT REGISTRERINGS EKSEMPEL

HURTIGT REGISTRERINGS EKSEMPEL HURTIGT REGISTRERINGS EKSEMPEL Her kan du selv prøve at udføre en hurtig registrering med. Du kan endvidere afprøve programmets søgeog beregnings funktioner. AVANCEREDE FUNKTIONER DISSE EKSEMPLER DÆKKER

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Åbningshistorie. kend kristus: Teenagere

Åbningshistorie. kend kristus: Teenagere Studie 1 Guds ord 9 Åbningshistorie Jeg stod bagerst i folkemængden i indkøbscentret og kiggede på trylleshowet. Men min opmærksomhed blev draget endnu mere mod den lille pige ved siden af mig end mod

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kort sagt: succes med netdating.

Kort sagt: succes med netdating. Indledning I denne e- bog får du en guide til, hvordan du knækker netdating koden! Du finder alt hvad du skal bruge, for at komme igang med at møde søde piger på nettet. Få f.eks. besvaret følgende spørgsmål:

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Og så skal du igennem en guidet meditation, som hjælpe dig med at finde dine ønsker.

Og så skal du igennem en guidet meditation, som hjælpe dig med at finde dine ønsker. Velkommen til dag 2: Find dine 10 hjerteønsker I dag skal vi tale om: Hvad er et hjerteønske? Hvorfor er det vigtigt, at vide hvad mine hjerteønsker er? Og så skal du igennem en guidet meditation, som

Læs mere

Trin for trin guide til Google Analytics

Trin for trin guide til Google Analytics Trin for trin guide til Google Analytics Introduktion #1 Opret bruger #2 Link Google Analytics til din side #3 Opret konto #4 Udfyld informationer #5 Gem sporings id #6 Download WordPress plugin #7 Vent

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark

Kort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Kort og godt om NemID En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Hvad er NemID? NemID er en ny og mere sikker løsning, når du skal logge på offentlige hjemmesider, dit pengeinstitut og private virksomheders

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

PERSONLIG SALGSTRÆNING En anderledes uddannelse til ledige, der tager udgangspunkt i den enkelte. Dag 5 af 6; 08:30 15:30

PERSONLIG SALGSTRÆNING En anderledes uddannelse til ledige, der tager udgangspunkt i den enkelte. Dag 5 af 6; 08:30 15:30 PERSONLIG SALGSTRÆNING En anderledes uddannelse til ledige, der tager udgangspunkt i den enkelte. Dag 5 af 6; 08:30 15:30 DAGENS PROGRAM 08:30 09:30 Opsamling 09:30 09:45 Pause 09:45 10:45 Brik Å Teori:

Læs mere

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Side 1 af 12 YouSee A/S, Presse DATO 17/4-2013 INITIALER BWJ/IKJE Version: FINAL Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Forord Denne analyse er den fjerde i en række, som YouSee

Læs mere

Analysen er din, og skal kun bruges til, at du kan tænke over, hvordan du oplever dig selv som leder.

Analysen er din, og skal kun bruges til, at du kan tænke over, hvordan du oplever dig selv som leder. Ledelsesstilanalyse Dette er en analyse af den måde du leder på, med fokus på at lede mennesker. Det er vigtigt for din selvindsigt, at du er så ærlig som overhovedet mulig overfor dig selv når du svarer.

Læs mere

Vejen til. bedre og billigere energirapporter. Godt for miljøet og bundlinjen R&M - EL. En strøm af kvalitet

Vejen til. bedre og billigere energirapporter. Godt for miljøet og bundlinjen R&M - EL. En strøm af kvalitet Vejen til bedre og billigere energirapporter ENERGIOPTIMERING Godt for miljøet og bundlinjen R&M - EL En strøm af kvalitet R&M-EL Energioptimering Nyt koncept sikrer bedre og billigere energirapporter

Læs mere

Emilys rejsebrev fra Thailand udvekslingsperiode aug. okt. 2009

Emilys rejsebrev fra Thailand udvekslingsperiode aug. okt. 2009 Emilys rejsebrev fra Thailand udvekslingsperiode aug. okt. 2009 Navn: Emily Stacey Prince Evt. rejsekammerat: Malene Anusha Christensen Hjem-institution: University College Nordjylland Holdnummer: H08V

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Udover før-sendte klage, har jeg også følgende punkt, som for mig fortsat står som et stort, åbent spørgsmål:

Udover før-sendte klage, har jeg også følgende punkt, som for mig fortsat står som et stort, åbent spørgsmål: Fra: Sendt: 26. oktober 2014 20:52 Til: 'ask@ask.dk' Emne: Tilføjelse til klage - 14-641-0043 Udover før-sendte klage, har jeg også følgende punkt, som for mig fortsat står som et stort, åbent

Læs mere

Kommunikationsprotokoller Summit06 worksession. Lisa Wells Datalogisk Institut Aarhus Universitet

Kommunikationsprotokoller Summit06 worksession. Lisa Wells Datalogisk Institut Aarhus Universitet Kommunikationsprotokoller Summit06 worksession Datalogisk Institut Aarhus Universitet Plan Kort introduktion til protokoller Protokoller i ISIS Katrinebjerg projekter Internet-baseret trådløs telefoni

Læs mere

Beskyttelse Døre, fronthjelm, bagagerum og kabine, samt startblokering (hvis monteret)

Beskyttelse Døre, fronthjelm, bagagerum og kabine, samt startblokering (hvis monteret) Kære Kunde Vi takker for valget af vores system, og vi kan oplyse, at dette produkt er et teknisk avanceret alarmsystem, der lever op til de ydelsesmæssige standarder, som er fastsat af bilproducenterne,

Læs mere

Den Professionelle Samtale: At kommunikere med psykisk sårbare borgere

Den Professionelle Samtale: At kommunikere med psykisk sårbare borgere Beskæftigelsesfaggruppen i Dansk Socialrådgiverforening Den Professionelle Samtale: At kommunikere med psykisk sårbare borgere Erhvervspsykolog Michael R. Danielsen Program Sygdomsforståelse Hvad indebærer

Læs mere

Få flere anmeldelser på TripAdvisor

Få flere anmeldelser på TripAdvisor 70 71 KAPITEL 4 Få flere anmeldelser på TripAdvisor 72 Få flere anmeldelser via din hjemmeside Jo flere anmeldelser du får, jo bedre grundlag er der for en god placering på TripAdvisor. Og din hjemmeside

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing 10 Skitur til Østrig Faglige mål Kapitlet Skitur til Østrig tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Budget og opsparing: kunne udarbejde budget og regnskab, kende forskel på de to begreber samt vide

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

Brugervejledning - til internetbaseret datakommunikation med Nets ved hjælp af HTTP/S-løsningen

Brugervejledning - til internetbaseret datakommunikation med Nets ved hjælp af HTTP/S-løsningen Nets Denmark A/S Lautrupbjerg 10 P.O. 500 DK 2750 Ballerup T +45 44 68 44 68 F +45 44 86 09 30 www.nets.eu Brugervejledning - til internetbaseret datakommunikation med Nets ved hjælp af HTTP/S-løsningen

Læs mere

Guide: Utroskab - sådan kommer du videre

Guide: Utroskab - sådan kommer du videre Guide: Utroskab - sådan kommer du videre Ingen af os har lyst til, at vores partner er os utro. Det får os til at føle os fravalgt, nedprioriteret og svigtet og gør rigtig ondt. Alligevel er utroskab udbredt

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Af Lars Erslev Andersen, Idehistoriker og forfatter, Thomas Kingo Sogn

Af Lars Erslev Andersen, Idehistoriker og forfatter, Thomas Kingo Sogn Identitet, overvågning og tillid i kontrolsamfundet Af Lars Erslev Andersen, Idehistoriker og forfatter, Thomas Kingo Sogn I gave her my heart, but she wanted my soul, sang Bob Dylan i nummeret Don t Think

Læs mere

Materiale om netetik og digital dannelse til Aalborg Kommunes Skoleforvaltning

Materiale om netetik og digital dannelse til Aalborg Kommunes Skoleforvaltning Dit Liv På Nettet - Manus 8. klasse Materiale om netetik og digital dannelse til Aalborg Kommunes Skoleforvaltning 2015 Center for Digital Pædagogik Forord Dette manuskript er tilknyttet præsentationen

Læs mere

Vejledning i brugen af økonomiportalen 2011 Indhold

Vejledning i brugen af økonomiportalen 2011 Indhold Vejledning i brugen af økonomiportalen 2011 Indhold Køreplan for indberetning af regnskab og budget til provstiet.... 2 Hvordan indberettes regnskab 2011?... 2 Hvor kan jeg få hjælp.... 3 Kontrol af data

Læs mere

ENERGIBESPARELSE I STATEN.

ENERGIBESPARELSE I STATEN. ENERGIBESPARELSE I STATEN. 24-09- 2010 Vejledning til indberetning af målerdata. Ministeriums niveau. Denne vejledning er et supplement til 8 i Vejledning til cirkulære nr. 9787 af 1. oktober 2009 om energieffektivisering

Læs mere

Undervisning i Dansk Palliativ Database

Undervisning i Dansk Palliativ Database Undervisning i Dansk Palliativ Database - AnalysePortalen og mulighederne for at anvende egne data Undervisning i Dansk Palliativ Database - AnalysePortalen og mulighederne for at anvende egne data Dagens

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Børn og internet brug! Forældre guide til sikker brug at internettet

Børn og internet brug! Forældre guide til sikker brug at internettet Børn og internet brug! Forældre guide til sikker brug at internettet Som forældre er det vigtigt at du: Accepterer at medierne er kommet for at blive og er en del af børn og unges virkelighed. Så vis dem

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

FDM travel SimSwap brugermanual

FDM travel SimSwap brugermanual FDM travel SimSwap brugermanual FDM travel SimSwap er et sim-kort, der er meget simpelt at anvende og giver store besparelser på opkald og data på mobilen i udlandet. Følg denne manual og få maksimal glæde

Læs mere

Elevtekst til programmet Afbetal. Indhold af elevteksten

Elevtekst til programmet Afbetal. Indhold af elevteksten Elevtekst til programmet Afbetal Indhold af elevteksten 1. Køb på afbetaling 2. Rentefoden beregnes eller ydelsen beregnes 3. To andre beregninger 4. Pas på gebyrerne! 5. Opgaver 1. Køb på afbetaling Når

Læs mere

Afvikling af Bridge turnering. BridgeCentral og BridgeMate. Komponenter, opsætning, afvikling og afslutning af turnering.

Afvikling af Bridge turnering. BridgeCentral og BridgeMate. Komponenter, opsætning, afvikling og afslutning af turnering. Afvikling af Bridge turnering BridgeCentral og BridgeMate Komponenter, opsætning, afvikling og afslutning af turnering. Leif Thusholt 28-08-2010 INDEX A Angiv startscore 17 B BridgeCentral Formål 3 BridgeMate

Læs mere

Kom godt i gang med internettet

Kom godt i gang med internettet Kom godt i gang med internettet Hver udgave af Kom godt i gang med internettet introducerer til et nyttigt eller interessant sted på internettet eller en lidt mere avanceret funktionalitet på dukapc en.

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Konflikthåndtering mødepakke. konflikthåndtering. Velkommen! B3_1_Dias side 1/14

Konflikthåndtering mødepakke. konflikthåndtering. Velkommen! B3_1_Dias side 1/14 konflikthåndtering Velkommen! _1_Dias side 1/14 Formålet med mødet At lære om konflikter At få nogle redskaber til at håndtere konflikter At prøve at bruge redskaberne til at håndtere nogle forskellige

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Tillidsstigen når unge og forældre kommunikerer om risiko og alkohol

Tillidsstigen når unge og forældre kommunikerer om risiko og alkohol Tillidsstigen når unge og forældre kommunikerer om risiko og alkohol Formidlingsdag, Center for Rusmiddelforskning Jakob Demant (jd@cf.au.dk) Signe Ravn (sr@crf.au.dk) Projekt Unge og alkohol (PUNA) December

Læs mere

Det ny ferieår starter 1. maj 2015. Feriepenge for optjeningsåret 2014 må udbetales 1 måned før.

Det ny ferieår starter 1. maj 2015. Feriepenge for optjeningsåret 2014 må udbetales 1 måned før. FERIEAFREGNING FOR OPTJENINGSÅRET 2014: Det ny ferieår starter 1. maj 2015. Feriepenge for optjeningsåret 2014 må udbetales 1 måned før. Før man gør det, skal der køres en ferieafregning for optjeningsåret

Læs mere

FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION

FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION 1. november 23 Af Peter Spliid Resumé: FOLKEPENSIONISTERNES ØKONOMISKE SITUATION Pensionisternes økonomiske situation bliver ofte alene bedømt udfra folkepensionen og tillægsydelser som boligstøtte, tilskud

Læs mere

ipad for let øvede, modul 8 Underholdning på ipad Læsning

ipad for let øvede, modul 8 Underholdning på ipad Læsning 12052014AS ipad for let øvede modul 8 Underholdning på ipad Læsning I dette modul vil vi beskæftige os med nogle af de muligheder, der er for at læse på ipad'en. Aviser/dagblade Vi har i modul 2 vist,

Læs mere

Livet giver dig chancer hver dag

Livet giver dig chancer hver dag Gnisten som guide I de momenter, hvor du lykkes at være dig selv, kommer helheden. Hvis du på dit livs rejse får nogle af de glimt igen og igen, begynder det at blive mere meningsfyldt at leve. Når gnisten

Læs mere

Revision af pengeinstitutter

Revision af pengeinstitutter Revision af pengeinstitutter Hvor meget information kan en revisor overskue? Ledende økonom Nikolaj Warming Larsen 03/04/2014 1 Hovedkonklusioner Det overordnede mål med ekstern revision af finansielle

Læs mere