TIDSLIGE FAKTORER I PERCEPTION

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TIDSLIGE FAKTORER I PERCEPTION"

Transkript

1 -, TIDSLIGE FAKTORER I PERCEPTION En eksperimentel undersøgelse over perception af punktuelle begivenheder i et kontinuerligt rums-tidsligt forløb. l. del Jens Narrunen 1: 1ksperirnentalopgave til magisterkonferens i psykologi ; Arhus 1969 ':'"

2 TIDSLIGE FAKTORER I PERCEPTION l1li PSYKOLOGISK INSTITUT ~ Aarhus Universitet 1II~II I~I II~I II~ II~I III~1IIII1IIII~IiIi 1iIi

3 TIDSLIGE FAKTORER I PERCEPTION Jens Hammen Eksperimentalopgave til magisterkonferens i psykologi Arhus 1969

4 FORORD Den eksperimentelle undersøgelse, der skal refere~ res i det følgende, har sit udgangspunkt i en række forsøg over perception af rum og tid, som jeg i perioderne april 1964 til december 1964 og fra april 1966 til juni 1968 udførte for professor E. Tranekjær Rasmussen på KØbenhavns Universitets Psykologiske Laboratorium. Af disse skal her refereres en forsøgsrække, der rejste en række af de problemer for mig, der har været grundlaget for min egen undersøgelse. Denne sidste blev ligeledes udført på professor E. Tranekjær Rasmussens afdeling på Psykologisk Laboratorium i perioden august 1967 til juni En del af de beregninger, der iadgår i undersøgelsen, blev udført på KØbenhavns Universitets Matematiske Institut, afdeling for numerisk analyse. Arhus, marts 1969 Jens Mammen

5 RESUHb Hammen, Jens. Tidslige faktorer i perception. En eksperimentel undersøgelse\'af punktuelle begivenheder i et kontinuert rums-tidsligt forløb. Arhus: Eksperimentalopgave til magisterkonferens i psykologi, Et kort lysblink i et bevægende system vil ses forskudt i bevægelsesretningen i forhold til et statisk system, men ikke i forhold til det bevægende system. Forskydningen er størst ved fiksation i det bevægende system. Fænomenet diskuteres ud fra en kybernetisk model for det visuelle system med et sæt hypotetiske tidsparametre. ~------_..._~_. --- r ----_......

6 INDHOLD l. del Kap. I. Nogle præliminære forsøg "0 s. la Indledning..,... s. la Apparatur... s. Ib Generel procedure.... s. lb ForsØgspersoner s. 2 ForsØg med et blink s. 2 ForsØg med to blink s. 5 ForsØg med to blink og stationært reference- punkt.... s. 8 Yderligere variationer af forsøget'.... s. 9 Nogle uløste problemer s. 10 Kap. II. Generel problemstilling s. 12 Perceptuel analyse af kontinuerte forløb, bevægelser.... s. 12 Perceptuel analyse af punktuelle begivenheder...,... Cl o o... s. 15 Kap. III. Egen undersøgelse. ForsØg med roterende skive... *' s. 27 Indledning.. o... s. 27 Apparatur....,... s.. 27 Usystematiske forforsøg med roterende skive s. 29 ForsØg I. Systematiske forsøg over betydningen af stimulusfelt og af forskellige ln struktioner med hensyn til fiksation..... s. 32 Procedure og instruktioner s. 32 ForsØgspersoner s. 35 Analyse... s. 36 Resultater... s. 37 De verbale rapporter o s. 31 De talmæssige restl'~t'ater... s. 42 Diskussion... ø o 8 II> 51 ForsØg II. ForsØg over individuelle forskelle og over rotationshastighedens betydning. s. 54 Procedure og instruktioner..... s. 54 ForsØgspersoner s. 55 Analyse... '... II> II> s. 55 Resultater II> o s. 56 l r......~

7 De verbale rapporter o s. 56 De talmæssige resultater... s. 56 Diskussion... o s. 60 Kap. IV. Samlet diskussion af forsøgene... s. 63 Indledning... 6 s ~ 63 En kybernetisk model for integration af sensoriske og motoriske impulser i det visuelle system ti ti ti s. 64 A. Tilfældet med \10bjektruhe ll s. 69 I. ForsØget med roterende skive.. s. 70 a. Statisk fiksation..... s. 70 b. MedfØlgende fiksation... s. 71 II. Det præliminære forsøg med to b l ink ~. s. 74 B. Tilfældet uden!lobjektruhe".... s. 77 Fortolkning af modellens hypotetiske størrelser... s. 79 Teorier for afferente tidsforhold... s. 79 En hypotese angående styring af øjenbevægelser s. 81 Sammenfatning og konklusion s. 88 Englis11 Summ.ary o s. 91 Appendix I Appendix II Tabeller (nr. 1-20) Figurer (nr. 1-40) Referencer 2. del r...~.~-_...~~~-~ ~~..~--

8 - la K A P I T L L I: Indledning NOGLE PRiELIMINÆRB FORSØG Udgangspunktet for den problematik, der er behandlet i denne eksperimentelle undersøgelse, er en række forsøg, som jeg i 1964 udførte som et led i professor Tranekjær Rasmussens undersøgelse over perception af rum og tid. ForsØgene skulle belyse de tidsmæssige forhold ved den perceptuelle forarbejdning af kontinuerte og diskontinuerte forløb i rum og tid. Den følgende fremstilling af disse præliminære forsøg afspejler en diskussion vedrørende operationaliseringen af disse begreber og den tilsvarende interpretation af forsøgsresultaterne, som jeg dengang førte med professor Tranekjær Rasmussen. Jeg skal her blot forsøge at gengive essensen af den del af diskussionen, der var bestemmende for forsøgsrækkens udvikling.

9 Apparatur Det benyttede apparatur bestod af en cylindrisk tromle med omkreds 240 cm og længde ca. 100 cm, der kunne rotere omkring en vandret akse 100 cm over gulvet. 2 cm foran tromlen, parallelt med akslen, var anbragt en lodret matsort skærm, der helt dækkede tromlen for forsøgspersonen. I skærmen var der i højde med akslen og altså 2 cm fra tromleoverfladen en 50 cm lang og 3 mm høj vandret spalte. på cylinderoverfladen var anbragt en 4 mm bred strimmel af selvlysende materiale. Når cylinderen roterede, blev der i spalten fr~mbragt en lille lysende plet, hvis udstrækning og bevægelse kunne kontrolleres ved cylinderens rotationshastighed og ved strimlens placering på cylinderfladen. Umiddelbart op ad tromlefladen og parallelt med akslen var der på undersiden af opstillingen anbragt en smal spalte med en lyskilde, der belyste det selvlysende materiale ved hver passage. Pletten lyste så kraftigt, at den netop kunne ses ved almindelig elektrisk belysning i lokalet. ForsØgene foregik i Psykologisk Laboratoriums mørkekammer. I dette lokale var gulv, loft og vægge ligesom alt fast inventar malet matsort. Generel procedure! ForsØgspersonen sad en stol 250 cm fra skærmen.!..okalet var helt mørkt. Tromlens omløbstid vat' 5.9 sek, ~.v.s. at overfladen bevæeede sig f'led 240:5.9 :: 40.5 cm/sek. Den s~lvlysende l va~ anbragt s~ledes, at :::en lysende plet bevægede sig spalt~ne bredde~ fra ~enstre til højre en gang rota-tion med samtle -tig

10 - 2 hed som tromlefladen~ d.v.s cm/sek. Pletten lyste i 50:40.5 = 1.24 sek, og forløbet blev gentaget for hvert 5.9 sek. ForsØgspersonen var instrueret om at fiksere pletten, så snart den dukkede op, og følge den med fiksationen, til den slukkede. ForsØgspersoner ForsØgspersonerne, i alt 15, var dels psykologistuderende eller færdige psykologer, de fleste trænede forsøgspersoner, dels mindre trænede ikke-videnskabelige medarbejdere ved Psykologisk Laboratorium. Syv af forsøgspersonerne deltog i samtlige nedennævnte forsøg. ForsØg med et blink Efter at den løbende plet havde bevæget sig ca. 30 cm eller ca. 0.7 sek, lyste der et kortvarigt blink op i nærheden af pletten. Blinket blev frembragt af et stykke selvlysende materiale på 5 mm's længde, d.v.s. dets varighed var 0.5:40.5 = sek. Blinkets placering i forhold til pletten blev varieret, så at det kom både før og efter og i forskellig.,afstand. ForsØgspersonerne fik nu foruden den generelle instruktion besked på at angive et omtrentligt mål i cm for, hvor meget inket sås foran eller bagved pletten. Det var håbet, at der for stimuliene skulle findes en bestemt afstand, forskellig fra nul) mellem pletten og blinket, ved hvilken forsøgspersonerne angav at se pletten og blinket sammenfaldende. Hvis en sådan fandtes, skulle den tidsmæssige afstand mellem blinket og plettens passage af det sted, hvor blinket kom~ være et mål for en tidsforskel i den perceptuelle forarbejdning af pletten og blinket. Det skal dog senere påpege's, at en sådan udlægning ville have været naiv. Resultatet af forsøget var, at samtlige forsøgspersoner angav at se blinket på samme side af pletten, som hvor det faktisk kom, ifølge en beskrivelse af stimulus. I ~ _

11 - 3 Men der var en tendens til i to forsøg~ hvor blinket kom ~ samme afstand henholdsvis foran og efter pletten, at se den første afstand som mindre end den sidste. Dette gjaldt dog kun for ca. halvdelen af forsøgspersonerne. Resten angav afstandene som lige store og accepterede dem som svarende til de statiske afstande, som de fik forevist efter forsøget. Pletten bevægede sig, som når der intet blink var. Vil det nu af dette forsøg kunne konkluderes, at blinket og pletten blev synkront perceptuelt forarbejdet, eller at Il for'arbej dningstiden li var den samme for blinket og pletten? I figur l er den distale stimulus fremstillet i et koordinatsystem med en x-akse svarende til plettens og blinkets position i spalten og en t-akse, der angiver tiden. Figur 2 er en symbolsk fremstilling af forsøgspersonens percept. Akserne skal symbolisere den oplevede tid og de oplevede steder. Selve linierne og punkterne er afsat således, at de aspekter med forsøgspersonens percept; der fås besked om i forsøget, hver for sig er symboliseret. Det drejer sig om 1. den optrukne linie, der symboliserer; at _pleti7en.:be~ væger sig, som hvis der intet blink v.ar, alts~~med jævn hastighe;d, og 1, 2. punktparret P 1 P 2, der symboliserer, at afstanden mellem blinket og pletten opleves, som hvis afstanden mellem stimuluspletten og stimulusblinket blev præsenteret statisk. Man kunne nu tentativt antage, at sådanne aspekter ved et percept, der angives at være samtidige af forsøgspersonen~ også er samtidige processer i centralnervesystemet. Hvis det var muligt at påvise, hvilke stimuli der har været funktionelle for de pågældende aspekter ved perceptet, ville det altså være muligt at sige noget

12 - 4 om den tidsmæssige integration af disse stimuli. Eller mere præcist: Det kan undersøges~ om stimuli, der har virket til forskellige tider, er funktionelle for det samme percept. Denne problematik er undersøgt eksperimentelt bl.a. af Rubin på det visuelle (1932) og det auditive område (1938). hvis man nu, stadig ud fra den symbolske fremstilling i figur l og 2, går ud fra, at l) den lifysiskeh begivenhed, at pletten passerer et punkt (P l i figur l), samtidig med at blinket (P 2 ) lyser, er funktionel stimulus for netop en oplevet I punktpassage (P l i figur 2) og i 1 2) den oplevede afstand mellem P l og blinket (P 2 l figur 2) er lig med afstanden mellem og P 2, P l så ville man, hvis den oplevede afstand mellem blink og plet er lig med den statisk præsenterede afstand, kunne 'f 1 slutte, at P l og P 2 er samtidige (P 2 må nemlig i figur 2 ligge båd 7 på linierne 11 og 1 2 ), Eller sagt på en anden måde: P f må da netop være det punkt i plettens forløb, der opleves samtidig med blinket. De samtidige stimuli P og P er da funktionelle for samtidige aspekter l 2 ved perceptet. Hvis den oplevede afstand mellem blink og plet er forskellig fra den statisk præsenterede, kan man tilsvarende slutte, at P l og P 2 er funktionelle for tidsmæssigt forskellige aspekter i det perceptuelle forløb. A~tagelse 2) ovenfor er imidlertid ganske arbitrær, da forsøget jo intet oplyser om, hvilken stimulus der er funktionel for den oplevede plet, når den opleves sammen med blinket. Pletten ser jo ens ud i hele sit forløb. Da ovenstående overvejelser på daværende tidspunkt ikke virkede tilstrækkeligt overbevisende angående de arbitrære elementer i Ilforarbejdningstidstolkningen", blev det næste forsøg udført med det formål at påvise det u _...._

13 - 5 holdbare i antagelse 2) ovenfor. Denne antagelse kan formuleres som, at afstandsrelationer mellem samtidigt givne punkter i stimulus også skulle gælde mellem de aspekter i perceptet~ som de første er funktionelle for. Samtidig blev det i flere af analyserne antaget, at 3) det var rimeligt at symbolisere den løbende plet ved en linie med hældning svarende til hastigheden af stimulus. F.eks. blev det derved muligt i de tilfælde, hvor blinkets afstand til linien blev oplevet forskellig fra den statiske afstand, at slutte sig til en forskel i "forarbejdningstid tl for den perceptuelle forarbejdning af PI og P 2 (svarende til afstanden P2 P3 i figur 2). Men altså stadig kun under forudsætning af betingelse l) og 2),, ForsØg med 2 blink Det var disse kombinerede forudsætninger for en tolkning af den oplevede afstand mellem blink og plet i termer af tidsforskelle, der gav anledning til det næste forsøg I betingelse 3) ligger det, at de oplevede afstande mellem successive positioner af pletten svarer til afstanden mellem de tilsvarende funktionelle stimuli. Sammen med betingelse 2) giver dette, at den oplevede afstand mellem ethvert punktpar svarer til afstanden mellem de tilsvarende funktionelle stimuli. Eller på figur 2: forskellige blink kan bevæge sig op og ned la.ngs tidsaksen og derved ændre rumslig afstand i forhold til linien, der repræsenterer den løbende plet) men de ændrer ikke rumslig'afstand i forhold til hinanden ler i forhold til punkter på linien. Denne følge af antagelserne 2) og 3) kunne nu let testes. Til dette formål blev der anbragt endnu et blink

14 - 6 på tromlen, således at de to blink fysisk kom samme sted, men til forskellig tid. Det ene blink kom lige så langt før pletten, som det andet kom efter. Stimulus er fremstillet i figur 3A. Blinkenes varighed var som i forrige forsøg. ForsØgspersonerne blev instrueret om at følge pletten med fiksationen, og at rapportere de to blinks afstand til hinanden og til pletten. Afstanden mellem blinkene blev varieret fra 49 msek til 494 msek, svarende til en afstand fra blink til plet fra l cm til 10 cm. Resultatet af forsøget var, at ingen af forsøgspersonerne så blinkene samme sted. Men derimod var der næsten samme oplevede afstand mellem det første blink og pletten og det andet blink og pletten, dog var hos nogle forsøgspersoner den første afstand indtil 1/3 kortere end den anden. Når den tidslige afstand mellem blinkene var større end 300 msek, oplevedes der tydelig succession imellem pletterne og deres indbyrdes rumslige afstand var vanskelig at angive for forsøgspersonerne. Ved noget mindre og helt små tidsforskelle sås blinkene enten i meget hurtig succession eller samtidigt j og deres rumslige afstand var klart givet for forsøgspersonerne. I sådanne tilfælde blev denne afstand oplevet som værende lig med summen af afstandene mellem det første blink og pletten og det andet blink og pletten. ForsØgspersonerne angav simpelthen, at der på et tidspunkt sås to blink, et på hver side af pletten, men ofte i meget hurtig succession. Når tidsforskellen var mindre end 200 msek, svarede den oplevede afstand mellem blinkene omtrent til den oplevede afstand, når stimulus var to statisk præsenterede punkter, hvis afstand var summen af de to stimulusblinks afstand til pletten. For tidsforskellen 148 msek, svarende til afstanden J,48~2;/=3.~n:t; fra hvert blink til pj..et"ten, var de

15 - 7 rumslige aspekter ved fænomenet helt stabile for alle forsøgspersoner. Blinkene oplevedes simultant,m<=;d hurtig succession eller med uafgørligt successionsforhold, svarende til den Rubin (1934, 1938) og Tranckjær Rasmussen (1956, s. 161) beskrevne ubestemte koincidens. Hvor der var succession, svarede den til stimulusbj.inkenes tidslige rækkefølge. Den oplevede afstand mellem blinkene,målt ved ækvivalent statisk afstand, var mellem 5 cm og 6 cm. Ved ingen af tidsforskellene gav de successive stimuli anledning til rapporter om phi-fænomener eller andre bevægelsesfænomener. Figur 3B er en repræsentation af forsøgspersonens oplevelse, idet der her er gået ud fra, at afstanden mellem blinkene er lig med summen af blinkenes afstande til pletten. Det ses, at dette ikke kan forenes med, at blinkene fremstilles som oplevet successive, men kun med at blinkene fremstilles som samtidige. Den nytte, som repræsentationerne i diagrammerne hidtil havde gjort, var, at der ved den oplevede plets bevægelse var givet en fast relation mellem oplevet rum og tid, som kunne gøre det muligt overhovedet at tolke perceptionen af rumslige relationer som afspejlende tidslige forhold. Den mulighed for inkonsistens, der kom frem i figur 3B, når oplevede rumslige og tidslige relationer skulle tolkes i samme rums-tidslige referencesystem, r$jste problemet om, hvorvidt det var rimeligt overhovedet at fremstille en kontinuert bevægelse og punktuelle begivenheder, der af forsøgspersonen blev angivet ved deres rumslige relationer hert,i samme rums-tidslige refcrence- I I system (svarende til akserne x og t i figur' 3B). Vil det ikke være,rimeligere at sige, at forsøgspersonen henfører blinkene til det bevægelsessystem, der er givet ved plettens bevægelse?

16 - 8 I dette system lokaliseres begivenheder ved deres rumslige afstand til den bevægede plet. I figur 3C er givet en repræsentation af det oplevede forløb i dette referencesystem. Det ses, at alle aspekter ved oplevelsen kan forenes i denne fremstilling. Til gengæld vil oplevede rumslige relationer nu ikke kunne oplyse noget om tidslige forhold. ForsØg med to blink og stationært referencepunkt Dette forsøgs formål var at undersøge, om det overhovedet var en rimelig opgave for forsøgspersonerne at indordne blinkene i et statisk referencesystem samtidig med, at de blev oplevet med rumslige relationer til den løbende plet; og i givet fald med hvilken afstand blinkene oplevedes i et statisk referencesystem. Hvis de i det statiske referencesystem sås med samme afstand som i det bevægede, ville fremstillingen i figur 3B være rimeligst. Hvis de sås sammenfaldende, fremstillingen i figur 3C. Som sagt ville det sidste udfald udelukke en videre tolkning af de foregående forsøg i termer af tidsmæssige forskelle mellem den perceptuelle forarbejdning af pletten og blinkene. Der blev nu anbragt et lysende referencemærke foran spalten på det sted, hvor stimulusblinkene kom. Der blev anvendt dels et lodret, 3 cm langt stykke af det selvlysende materiale, dels et svagt lysende rødt punkt med diameter 0.5 mm. Desuden blev forsøget gentaget med elektrisk belysning i lokalet, i hvilket tilfælde hele skærmen og dens struktur var tydelig for forsøgspersonerne. Den tidsmæssige forskel mellem blinkene var 148 msek; afstandene mellem plet og blink 3 cm. Instruktionen gik ud på, at forsøgspersonerne skulle interessere sig for de samme aspekter som hidtil ved oplevelsen, men derudover rapportere den oplevede afstand mellem hvert af blinkene og referencepunktet.

17 - 9 - ForsØgene gav samme resultat for alle forsøgspersoner,og uanset om der var lys eller ej i lokalet. Pletten og blinkene og deres indbyrdes oplevede relationer var ganske som i forrige forsøg. Det forreste blink (i forhold til plettens bevægelsesretning) sås 5-6 cm til højre for referencernærket, og det andet blink sås sammenfaldende med referencemærket. Det kunne altså se ud til, at fremstillingen af det oplevede i figur 3B ikke er hel-t urimelig, og at der alt~ så skulle være håb om at udnytte fænomenet til at få oplysning om tidsmæssige forhold i perceptionen. F.eks. kunne det være en nærliggende tolkning af forsøget, at for det percept, der repræsenteres ved de to samtidige blink i figur 3B, var der en tidsforskel mellem de to funktionelle, punktuelle stimuli på 148 msek, eller at der var en forskel i disses "forarbejdningstid" på 148 msek. Yderligere variation af forsøget Imidlertid rejste sig straks spørgsmålene: l) Hvorfor det netop var det første blink, der blev set forskudt i forhold til sin IIfysiske ll position? 2) Hvorfor det ene blink skulle have længere "forarbejdningstid" end det andet, når de to stimuli dog var ens? ForelØbig blev kun det første spørgsmål taget op. Here konkret kan det formuleres således: Hvilke faktorer bestemmer, hvilket punkt der skal ses forskudt i forhold til referencemærket? Det kunne t~1kes~ at det var det forhold, at det e ne punkt kom foran den løbende plet, og at det andet kom efter den løbende plet, der var den afgørende faktor. Dette blev undersøgt ved et forsøg, hvor stimulusblinkene blev præsenteret et ad gangen. I begge tilfælde sås blinket forskudt 5-6 cm i bevægelsesretningen i forhold til referencernærket. Positionen var altså ikke afgørende. \r

18 - 10 Det kunne dernæst tænkes, at selve blinkenes rækkefølge og ikke deres position i forhold til linjen var afgørende. Dette blev undersøgt ved, at stimulusblinkene, som igen kom samme sted som referencemærket og med 148 msek's mellemrum, nu begge kom før eller begge efter pletten. I begge tilfælde svarede de oplevede afstande mellem blinkene og pletten til oplevelsen, når stimulus blev præsenteret statisk. Både når blinkene kom før, og når de kom efter pletten, sås det højre blink forskudt 5-6 cm i bevægelsesretningen, og det venstre sås oven i referencemærket. Det kunne altså se ud til, at alene blinkenes rækkefølge var afgørende for fænomenet. Hvis forsøgspersonen undlod at fiksere den løbende plet, men fikserede referencemærket, sås blinkene oven i hinanden~ og de rumslige relationer mellem blinkene og pletten fremtrådte ikke klart. Da fænomenet åbenbart var afhængigt af den medfølgende Øjenbevægelse, ville en nærliggende forklaring på resultatet i det netop refererede forsøg var, at øjet efter det første blink foretog et~eventuelt reflektorisk~stop og ikke nåede at genoptage følgebevægelsen, før det andet blink kom, hvorfor dette ville ses, som når øjet ikke fikserede den løbende plet, altså oven i referencernærket. Den minimale reaktionstid for saccadiske Øjenbevægelser opgives af forskellige forfattere som mellem 100 og 150 msek (Alpern, 1962, vjestheimer, 19S4,Woodworth & Schlosberg, 1961, s. 502). Det skulle således være muligt, at øjet stoppede, inden andet stimulusblink lyste op. Da Psykologisk Laboratorium ikke rådede over apparatur til registrering af Øjenbevægelser, kunne denne hypotese ikke testes direkte, og det var derfor vanskeligt ved hjælp af denne opstilling at trænge dybere ind i problemet. ' Nogle uløste proble~~,tilbage stod problemet: Hvorfor sås det ene blink

19 - 11 overhovedet forskudt i forhold til referencemærket? Hvilke faktorer er bestemmende for "forskydningenii? Spiller Øjenbevægelserne en rolle? Spiller tidsforskelle i perceptionen en rolle? Disse spørgsmål blev udgangspunktet for min egen undersøgelse.

20 - 12 K A P I T E L II GENEREL PROBLEMSTILLING Perceptuel analyse af kont,inuerte forløb, bevægelser I en afhandling om visuelt perciperet bevægelse omtaler Rubin (1949) følgende fænomen: En forsøgsperson iagttager en roterende skive, som den, der er afbildet i figur 4. Det er numuj: vfor;:;flam at opleve den lille sorte figurs bevægelse på forskellig måde. l) Fikseres skivens midte, vil den sorte figur oftest ses som udførende en cirkelformet bevægelse omkring skivens centrum, idet den bevarer en konstant orientering i forhold til dette centrum. 2) Fikseres figurens midte, vil den st ses som udførende to samtidige bevægelser. Nemlig dels en rotation om sin egen midte, dels en rotation omkring skivens midte. 3) Fikseres det lille mærke ved skivens periferi (B på figur 4), kan forsøgspersonen med nogen Øvelse se den sorte figur atter som deltagende i to bevægelser, men nu dels en rotation omkring fiksationspunktet~ dels en rotation omkring centrum. Analyserer man matematisk Isen af stimuluspunktmængden, vil man-se, at dennes bevægelse kan opløses på samme mdde i en usammensat eller i en sammensat bevægelse ganske svarende t forskellige mulige perceptuelle analyser. Der findes uendelig mange matematisk set ækvivalente måder at analysere bevægelserne på, men skønt der ikk~ er nogen uoverensstemmelse mellem den perceptuelle analyse og de mulige matematiske stimulusanalyser, er det dog kun en grænset mængde matematiske opløsninger af bevægelsen, der svarer til faktisk forekommende perceptuelle analyser. Ofte vil kun en

21 - 13 og højst to forskellige sådanne perc~ptuelle analyser være mulige for en forsøgsperson, der følger en given ~nstruktion~ f.eks. med hensyn til Øjenbevægelser. Det kunne se ud til, at Øjenbevægelserne her har en vigtig organiserende funktion ved den perceptuelle analyse. Hvad enten de, som i dette forsøg, er styret af en instruktion, eller, som det kunne være tilfældet i dagligdags pel"'lcept ion, er styret af en overordnet 'iplan ti for perceptuel analyse, altså af hvilken perceptuel analyse, der er relevant for styringen af organismens aktuelle adfærd. I en række tilsvarende eksperimenter med bevægelse forskellige punktmængder har Johansson (1958) analyseret stimulusmængden ved hjælp af matematisk vektoranalyse. Hvert stimulus-punkts bevægelse i tiden (t) kan beskrives ved en vektor i det statiske stimulussystem "p(t). Det kan imidlertid lige så godt beskrives i relation til et vilkårligt bevægende punkt~ der i det statiske stimulussystem beskrives ved vektoren "a(t). Stimuluspunktets bevægelse i relation til dette nye punkt vil nu være givet ved vektoren (I) Bevægelsen i det statiske system er således blevet opløst i en sum af to bevægelser (II) "p(t) = "a(t) + "p'(t) (Se figur 5) Johansson påviser nu, at den perceptuelle analyse i en række tilfælde forløbet parallelt med denne vektoraddition, et resultat, der altså helt svarer til Rubins. Oftest vil bevægelsen en punktmængde perceptuelt opløses i en fælles bevægelseskomponent og en række individuelle komponenter. Johansson prøver at opstille regler for, hvorledes valget af denne fælles bevægelseskomponent blandt de u endelig mange matematisk mulige foregår, men det sl<:al --

22 - 14 forbigås her. Blot kan nævnes, at analysen har fællestræk med den matematiske analyse af bevægende punktmængder i et "tyngdepunkt' i plus individuelle bevægelser i forhold hertil. I Johansons forsøg som i Rubins viste det sig, at øjets fiksation havde betydning for, hvilken af flere mulige perceptuelle analyser forsøgspersonen l/valgte 11 (1958, s. 195). Som i Rubins forsøg sa det ud til~ at fiksationens følgebevægelse svarede til det fælles bevægelsessystem i forhold til hvilket de perciperede figurer og punkter bevægede sig, samtidig med at de deltog i den fælles bevægelse. Fælles for de to undersøgelser er altså, at de oplevede bevægelser ganske svarer til bevægelserne af stimuli, blot disse analyseres på relevant måde. Derimod svarer der ikke oplevede bevægelser til enhver matematisk mulig analyse af stimuli. I visse af Rubins og Johanssons forsøg var det f.eks. ikke muligt for forsøgspersonerne at se punkter i en enkelt usammensat bevægelse i forhold til det statiske henføringssystem. Det er forudsat i disse analyser, at der er et sådant statisk referencesystem, som kan lægges til grund for både stimulusbeskrivelsen og beskrivelsen af de oplevede bevægelser. I Rubins forsøg og i nogle af Johanssons var det muligt for forsøgspersonerne at skifte mellem forskellig liopløsninger if af en oplevet bevægelse, der dog begge svarede til matematiske stimulusanalyser. øjets fiksation lod til at spille en væsentlig rolle for valget imellem flere mulige perceptuelle analyser. Derimod var det i ingen tilfælde muligt for forsøgspersonerne på en gang at se en bevægelse i to forskellige opløsninger. (Dette må naturligvis i]cke forveksles med, at en bevægelse ikke skulle kunne opleves som satiunensat af to samtidige bevægelser)

23 - 15 Hvor det er muligt at skifte mellem to forskellige opløsninger, (hvor vi for simpelthedens skyld kan antage, at den ene er usammensat), må man, hvis de begge skal svare til matematiske analyser af samme stimulus, have at (III) hvor b(t) står for oplevede bevægelser, altså at den oplevede bevægelse i første tilfælde må være lig med summen de to oplevede bevægelseskomponenter i andet til~ fælde. Disse komponenter kan f.eks. være en punktmængdes fælles bevægelse og et punkts bevægelse i forhold hertil. Der er et specielt og meget simpelt tilfælde, hvor det er muligt på en gang at opleve et punkts bevægelse i to opløsninger. Hvis et punkt opleves som statisk i forhold til et bevægende legeme og deltagende i en simpel translatorisk bevægelse af legemet, er det samtidig muligt at opleve punktet selv med denne bevægelse i forhold til de statiske omgivelser. I dette tilfælde har man da, hvis ( I) skal gælde, at (IV) eller at punktets oplevede bevægelse er identisk med legemets generelle oplevede bevægelse. Perceptuel analyse af punktuelle begivenheder Lad os begynde med et dagligdags eksempelpå perceptuel analyse af punktuelle begivenheder i forskellige bevægelsessystemer. l) Hvis man iagttager en kørende bils afviserblinklys, vil man som regel se blinkene lokaliseret til afviserlygten og ligesom denne deltagende i bilens bevægelse. Bliver man spurgt, hvor i forhold til de faste omgivelser blinkene kom, vil denne opgave som. regel opleves som uløselig. r------~.~... _~~... ~-... ~-~---~~~~~--

24 - 16 2) Hvis man nu i stedet iagttager en bil, der med tændte lygter kører bag en række træer eller lignende, der med mellemrum afbryder lysstrømmen til øjet, vil vi have en stimulussituation med visse oplagte fællestræk med den ovennævnte. 2a) Hvis det f.eks. på grund god almindelig belysning er muligt at se træerne, vil man, hvis man følger en af billygterne med øjnene, se denne lygte lokaliseret til bilen og deltagende i bilens bevægelse. Man vil se, at lyset afbrydes et an-" tal gange, men disse afbrydelser vil foruden at være lokaliseret til lygten være lokaliseret til træerne,altså det statiske bevægelsessystem. 2b) Hvis lygterne ikke er tændt, men man blot følger en dem (eller et andet punkt på bilen), vil der som regel slet ikke være givet nogen diskontinuiteter l oplevelsen. Han vil således se lygten og bilen l en uafbrudt bevægelse bag en statisk række af træer. 2c) Hvis endelig lygterne er tændt, men det f.eks. på grund af ringe belysning er umuligt at se træerne, som bilen kører bagved, vil man, hvis man igen følger en lygte med øjnene) se denne deltagende i bilens bevægelse. Ved passage af træerne vil lyset ses afbrudt og lokaliseret til lygten, men samtidig vil afbrydelsen ses lokaliseret til en eller anden ellers usynlig statisk genstand, der opleves at have forårsaget afbrydelsen. Der er her et eksempel på, at en begivenhed (lysafbrydelsen) opleves som lokaliseret til et system (lygten og bilen), der bevæger sig i forhold til det statiske system, og samtidig opleves som lokaliseret til selve dette statisjee system. Lad os nu tænke os, at der på vejen var afmærket en skala, der var synlig for iagttageren, som nu fik den op

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne?

Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? Hvorfor kører Michael Rasmussen så hurtigt op ad bakke? Og hvorfor vinder Tom Boonen spurterne? - en fortælling om potensfunktioner 133 Af Seniorforsker Ken H. Andersen, DTU Aqua Tour de France søndag

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Manual Smart Trykluft passepartout maskine. Version 1 dk

Manual Smart Trykluft passepartout maskine. Version 1 dk Manual Smart Trykluft passepartout maskine Version 1 dk Oversat af Lista Bella April 2011 Indholds fortegnelse. Klargøring 3 Montering på gulvstativ (Tilkøb) 4 Oversigt Smart mat-cutter 7 Montering væghængt

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Bilag 4.A s MASH. Indhold

Bilag 4.A s MASH. Indhold Bilag 4.A s MASH Indhold 1.1 Indledning 1 1.1.1 Formål med undersøgelsen 1 1.1.2 Beskrivelse af smash metoden 1 1.2 s MASH målinger (omfang, placering og resultater) 1.2.1 Undersøgelsens forløb 5 5 1.2.2

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

En kvalitativ analyse af tre socialrådgiveres perspektiver på psykologer

En kvalitativ analyse af tre socialrådgiveres perspektiver på psykologer En kvalitativ analyse af tre socialrådgiveres perspektiver på psykologer Signe H. Lund, Stud. Psych, Psykologisk Institut, Aarhus Universitet Indledning Formålet med projektet har været, via semi-strukturerede

Læs mere

RÅDETS DIREKTIV 93/33/EØF af 14. juni 1993 om tyverisikring på to- og trehjulede motordrevne køretøjer. (EFT L 188 af 29.7.1993, s.

RÅDETS DIREKTIV 93/33/EØF af 14. juni 1993 om tyverisikring på to- og trehjulede motordrevne køretøjer. (EFT L 188 af 29.7.1993, s. 1993L0033 DA 11.05.1999 001.001 1 Dette dokument er et dokumentationsredskab, og institutionerne påtager sig intet ansvar herfor B RÅDETS DIREKTIV 93/33/EØF af 14. juni 1993 om tyverisikring på to- og

Læs mere

Optiske eksperimenter med lysboks

Optiske eksperimenter med lysboks Optiske eksperimenter med lysboks Optik er den del af fysikken, der handler om lys- eller synsfænomener Lysboksen er forsynet med en speciel pære, som sender lyset ud gennem lysboksens front. Ved hjælp

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

1 Robbins, Jennifer N.: Learning Web Design, s. 41

1 Robbins, Jennifer N.: Learning Web Design, s. 41 I designarbejdet forbundet med at udvikle en hjemmeside, er det vigtigt at gøre sig nogle overvejelser over hvilken optimale skærmstørrelse man designer til, da dette har konsekvens for den efterfølgende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt af Brian Kristensen http://akrylkunst.dk side 1 af 6 Denne quick guide viser i korte steps hvordan man tegner de rigtige proportioner i et ansigt. For at have et fundament når du tegner et ansigt er det

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 27. august 1999. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt.

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 27. august 1999. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Design af IT-medier Skriftlig prøve 27. august 1999 Varighed: Hjælpemidler: Bedømmelse: Besvarelse: Opgaver: 4 timer. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Karakter efter 13-skalaen. Alle ark skal være

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

HAVELEJLIGHEDER. - en ny boligtype. version 3.2

HAVELEJLIGHEDER. - en ny boligtype. version 3.2 HAVELEJLIGHEDER - en ny boligtype version 3.2 UiD 2004 Hvilke boligtyper imødekommer nutidens krav? Parcelhuset kan indrettes individuelt, adgangsforholdene er private og haven er ens egen... men det er

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Statens Luftfartsvæsen Bestemmelser for Civil Luftfart

Statens Luftfartsvæsen Bestemmelser for Civil Luftfart Statens Luftfartsvæsen Bestemmelser for Civil Luftfart BL 3-21 Lysanlæg for natbeflyvning af offentlige VMC- og private flyvepladser Udgave 2, 1. april 1987 I medfør af 52 og 149, stk. 10, i lov om luftfart,

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

MTR12 12 Volt vare nr. 572093

MTR12 12 Volt vare nr. 572093 Brugervejledning instruktion Brugervejledning & instruktion MTR12 12 Volt vare nr. 572093 230 Volt vare nr. 572094 MTR12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Installation 3: Termostat funktion 4: Følerafvigelse

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

BeoLab 1. Brugervejledning. ENTER v/henriksens ELEKTR

BeoLab 1. Brugervejledning. ENTER v/henriksens ELEKTR BeoLab 1 Brugervejledning BeoLab 1 højttaleren leveres i to kasser: Den ene indeholder søjlen, og den anden indeholder bundpladen. Denne betjeningsvejledning beskriver, hvordan du samler BeoLab 1 højttalersøjlen

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Eksempel 7B: Kasper 1. PRAKTISKE OPLYSNINGER

Eksempel 7B: Kasper 1. PRAKTISKE OPLYSNINGER ksempel 7B: Kasper ksemplet består af tre LA-beskrivelser, som bygger på hændelsesforløb, der finder sted inden for relativ afgrænset periode. Disse tre beskrivelser samt andre kilder danner grundlag for

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

LÆGTE/METAL/STRØM DETEKTOR

LÆGTE/METAL/STRØM DETEKTOR LÆGTE/METAL/STRØM DETEKTOR Brugsanvisning Læs denne brugsanvisning grundigt før brug INTRODUKTION Dette er en avanceret detektor med multifunktion. Den kan finde og lokalisere metal, strøm og lægter. Figur

Læs mere

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling Skyde opgaver Ideer til forskellige skydeøvelser, som træner forskellige aspekter Stress/spænding Tennis-skydning, 2 og 2 skyder match, hver sin skive. Skyde på kryds, to og to, på samme skive Koncentration

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Neuro- og informationspsyk, seminarhold incl. forelæsning. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Neuro- og informationspsyk, seminarhold incl. forelæsning. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Neuro- og informationspsyk, seminarhold incl. forelæsning Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 27. oktober 2010 Eksamensnummer: 250 27. oktober 2010 Side 1 af 5 1. Afasi

Læs mere

Maskiner og robotter til hjælp i hverdagen

Maskiner og robotter til hjælp i hverdagen Elektronik er en videnskab og et fagområde, der beskæftiger sig med elektriske kredsløb og komponenter. I daglig tale bruger vi også udtrykket elektronik om apparater, der udnytter elektroniske kredsløb,

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Typografi bogstavregulering

Typografi bogstavregulering Når jeg i dag betragter den typografiske kvalitet i tryksager, er det tydeligt at det ikke er alle, der beskæftiger sig med fremstilling af grafisk kommunikation, der er opmærksomme på eller har blik for,

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Styringsteknik. Et projekt i faget styringsteknik. En rapport af Rune Zaar Østergaard

Styringsteknik. Et projekt i faget styringsteknik. En rapport af Rune Zaar Østergaard Styringsteknik Et projekt i faget styringsteknik. I1 & Q1 I2 En rapport af Rune Zaar Østergaard Styringsteknik 2007 Indholdsfortegnelse 1.0 Formål...3 2.0 Indledning (min ide)... 3 3.0 Problemdefinition...

Læs mere

30-s rejse-sætte-sig (RSS)-testen måler, hvor mange gange man kan rejse sig fra en stol på 30 sekunder.

30-s rejse-sætte-sig (RSS)-testen måler, hvor mange gange man kan rejse sig fra en stol på 30 sekunder. Manual 30-sekunder rejse-sætte-sig-test (RSS) Visuel demonstration af testen findes på: www.regionh.dk/rehabilitering Beskrivelse af testen 30-s rejse-sætte-sig (RSS)-testen måler, hvor mange gange man

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Teorien om High Dynamic Range Fotografering

Teorien om High Dynamic Range Fotografering Teorien om High Dynamic Range Fotografering Indhold High Dynamic Range - HDR 2 HDR sidder i øjet 3 Du ser kun en lille del ad gangen 4 HDR for det hele med, Princip 1 5 Ev-trin på histogrammet 6 Farver

Læs mere

Regler for Bordtenniskampe, dvs. materialer, borde, bat osv.

Regler for Bordtenniskampe, dvs. materialer, borde, bat osv. ITTF's Bordtennislove I dette dokument finder du den danske bordtennis unions oversættelse af ITTF's bordtennislove. Her kan du finde alt om, hvilke regler der er når man spiller en bordtenniskamp. ---

Læs mere

Senest opdateret: 30. maj 2010 kl. 12:40. Version i den trykte udgave: 29. maj 2010

Senest opdateret: 30. maj 2010 kl. 12:40. Version i den trykte udgave: 29. maj 2010 Mennesket er ved at udvikle en ny hjerne Den forreste del af hjernen, kaldet frontallapperne, er som hjernens uland i gang med at få en mere fremtrædende rolle hos mennesket. Den udvikling vil fundamentalt

Læs mere

Testmanual for Constant-Murley Score 1

Testmanual for Constant-Murley Score 1 Testmanual for Constant-Murley Score 1 Subjektive Del A. Smerte Patienten bedes på en 15 cm linje angive sin værste smerte i skulderen oplevet indenfor de sidste 24 timer ved normale dagligdags aktiviteter.

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Introduktion til billeddatabasen

Introduktion til billeddatabasen Introduktion til billeddatabasen Colourbox.dk Colourbox.dk er den billeddatabase som Odense Kommune har købt licens til. Det er vigtigt at bemærke, at der ikke er ubegrænset download af billeder. I materialet

Læs mere

Nogle elever lærer bedst teori, når de får mulighed for at bruge hele kroppen i undervisningen

Nogle elever lærer bedst teori, når de får mulighed for at bruge hele kroppen i undervisningen Gøre/Røre Kort Vejledning Denne vejledning beskriver øvelser til Gøre/røre kort. Øvelserne er udarbejdet til både de kinæstetisk, taktilt, auditivt og visuelt orienterede elever. Men brugeren opfordres

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL BRUGSANVISNING BY0011 CAL H610 FUNKTIONSOVERSIGT Gang reserve indikation Overopladning sikkerheds funktion Utilstrækkelig opladnings advarsels funktion (to-sekunders interval bevægelse) Energibesparende

Læs mere

Øvelser til dig med morbus Bechterew

Øvelser til dig med morbus Bechterew Øvelser til dig med morbus Bechterew Vi har udarbejdet et grundlæggende program, som indeholder de øvelser, der er nødvendige, for at du kan bevare bevægeligheden og forebygge, at ryggen bliver krum. Det

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet

Læs mere