Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter"

Transkript

1 Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen, når man vil undersøge optimeringsproblemer, dvs. typiske problemstillinger med et stærkt geometrisk indhold, men også med en kraftig dosis funktionsteori. Traditionelt ville man da være henvist til både at anvende et geometriprogram og et grafregnerprogram. Men den nye GeoMeter er netop begge dele. Med udgangspunkt i en eksamensopgave illustrerer vi denne dobbelte brug af GeoMeter og viser samtidigt hvordan opgaven naturligt fører videre til et rimeligt avanceret projekt, der både kan undersøges geometrisk og symbolsk. Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Den ovenstående opgave er hentet fra sommersættet til det 3-årige A-niveau i Den er skræddersyet til en grafregner og dermed også til GeoMeter. 1

2 Vi skal først have tegnet grafen for cosinus-funktionen og dernæst konstrueret det frie punkt Q på grafen. Derefter er det trivielt at konstruere rektanglet OPQR og finde dets areal ved hjælp af den indbyggede arealrutine. Men da arealrutinen i GeoMeter benytter cm-mål skal vi strengt taget også finde arealet af enhedskvadratet i koordinatsystemet og så udregne rektanglets koordinatareal ved at bestemme forholdet. Det ser således ud: Koordinatareal(polygon) = Areal(polygon) Areal(enhedskvadrat) Bemærkning: Vi benytter skærmdumps til graferne i det følgende, da de er meget nemmere at afpasse til de rigtige udsnit: Men så snart figuren er sat op og arealet fundet kan vi jo flytte rundt på Q indtil vi finder det maksimale areal. Det giver en præcis værdi for arealet, men en lille usikkerhed på x-koordinaten, da arealet næste ikke varierer lige i nærheden af maksimumsstedet og vi ydermere kun kan finde x-værdien til 'nærmeste pixel'. Men det samme gælder jo også en sporing på en almindelig grafregner. Det giver følgende resultat: x Q = ( Areal OPQR) enhedskvadrat = Det makimale areal er altså givet ved og det findes lige i nærheden af x Q =

3 Men det er selvfølgelig mere nøjagtigt at finde det maksimale areal ved beregning. Som nævnt i opgaveteksten er arealet af rektanglet givet ved det simple udtryk: A = g h = x f ( x) Vi tilføjer derfor grafen for arealfunktionen A(x) og bestemmer toppunktet for grafen: Vi finder da netop at grafen for A(x) har et tydeligt visuelt toppunkt netop ved den tidligere fundne placering af Q. Vi ser også som forventet at arealværdien er præcis den samme, men at x-værdien nu er blevet lidt mere præcis og faktisk er givet ved: x toppunkt = Ydermere kan GeoMeter differentiere symbolsk til husbehov, og vi ser, at den afledede for A-funktionen er givet ved A'( x) = x sin( x) + cos( x) Toppunktet løser derfor ligningen A'(x) = 0, dvs. x sin( x) = cos( x) tan( x) = 1 x Det er en transcendent ligning, der ikke kan løses symbolsk, så der er intet vundet ved at pudse en CAS-regner på den! 3

4 Der kommer så en lille mellemopgave, hvos vi skal finde tangent ligningen til grafen for cosinusfunktionen svarende til røringspunktet med x =π /3. Hvis vi benytter den indbyggede rutine finder vi: Men det er jo ikke fint nok til det gamle CAS-forsøg, så vi differentierer f og benytter GeoMeter til at finde tangentligningen symbolsk via tangentformlen: f x f x x x f x ( ) lin = '( ) 0 ( ) ( ) Grafen tegnes og falder selvfølgelig sammen med den tidligere fundne tangent. Men nu kan vi beregne såvel hældningen a = f '( π /3) som skæringen med y- aksen b = f( π/3) f '( π/3) π /3. Det giver selvfølgelig det samme resultat som før, men nu har vi også vist, hvor det kommer fra beregningsmæssigt: ( )( x- π 3) +f π ( ) π gx ( ) = f' 3 3 π f' () 3 = π f() 3 -f' π () 3 π 3 =

5 Vi skal så se nærmere på den trekant, der afgrænses af tangenten til et frit grafpunkt Q og de to koordinatakser. Vi udskyder ligningen for arealet lidt og konstruerer trekanten geometrisk og udmåler dens areal (i forhold til arealet af enhedskvadratet). Som før kan vi da trække i punktet Q indtil arealet er minimalt: Visuelt ser det ud som om de to ekstremumssteder falder sammen, men koordinaterne er ikke helt ens: Denne gang finder vi at trekanten er mindst mulig når x , mens rektanglet var størst muligt ved x Det kan imidlertid skyldes den begrænsede pixel-nøjagtighed, når vi flytter musen. Vi lægger i forbifarten også mærke til, at forholdet mellem de to optimale arealer ser ud til at være 2. Vi kan igen få mere styr på minimumsstedet, hvis vi kan opstille et funktionsudtryk for den omskrevne trekants areal. I nødstilfælde må vi selvfølgelig bruge det udtryk, der foræres i opgaven. Ellers kan vi ræsonnere således. Tangentens ligning er givet ved: y = f( x0) + f '( x0) ( x x0). Skæringen h med y-aksen fås ved at sætte x = 0, dvs. trekantens højde h er givet ved: h = f ( x ) + f '( x ) (0 x ) = f ( x ) x f '( x ) Skæringen g med x-aksen fås ved at sætte y = 0, dvs. trekantens grundlinje g er givet ved: f ( x ) f ( x ) 0 = f( x ) + f '( x ) ( g x ) g x = g = x ( ) ( ) f x0 f x0 5

6 Altså er trekantens areal givet ved: 1 1 f( x ) Bx ( ) = g h = ( x ) ( f ( x ) x f '( x )) f '( x0 ) Bemærkning: Med lidt trigonometrisk snilde kan man vise det er det samme som det i opgaveteksten opgivne udtryk. Vi indskriver derfor arealfunktionen B(x) og finder minimumstedet: Denne gange er der ingen slinger i valsen: Minimumsstedet for den omskrevne trekant ligger præcis det samme sted som maksimumsstedet for det indskrevne rektangel, nemlig i x = Og arealet af den minimale trekant er netop det dobbelte af arealet for det maksimale rektangel. Endvidere har vi udnyttet GeoMeters evne til at differentiere symbolsk til husbehov og fundet differentialkvotienten: 2 3 x cos( x) cos( x) B'( x) = sin( x) Det stationære punkt for B-funktionen løser derfor ligningen: x cos( x) cos( x) cos( x) 2 cos( x) B'( x) = 0 = 0 x sin( x) 2 sin( x) Der er altså to muligheder: Det kan være cos(x) = 0, svarende til det højre endepunkt π/2, hvor der jo netop er et stationært punkt (et lokalt maksimum), eller vi skal finde en løsning til ligningen 6

7 2 tan ( x) = 1 x 2 Bortset fra at vi har kvadreret ligningen er det den samme ligning som før. Vi har nu løst opgaven næsten fuldstændigt i GeoMeter sådan som den blev stillet til eksamen, men inden vi forlader selve eksamensopgaven, gør vi lige endnu en observation: Det optimale rektangel og den optimale trekant ligger meget pænt i forhold til hinanden: Ikke blot er arealet af trekanten dobbelt så stor, men trekantens grundlinje er også netop dobbelt så stor som rektanglets grundlinje, ligesom trekantens højde er dobbelt så stor som rektanglets højde. Den optimale konfiguration er altså kendetegnet ved en høj grad af symmetri, hvor tangentens hældning netop er den samme som hældningen for diagonalen PR i rektanglet: Vi har altså indtil videre gjort de følgende fire observationer (som det jo ville være skønt at få med i opgavebesvarelsen ): 1. Maksimumsstedet for det indskrevne rektangel er det samme som minimumsstedet for den omskrevne trekant. 2. Arealet for den minimale omskrevne trekant er dobbelt så stort som arealet for det indskrevne rektangel. 3. Grundlinjen og højden for den minimale omskrevne trekant er dobbelt så stor som grundlinjen og højden for det indskrevne rektangel. 4. Grafen for arealet af den omskrevne trekant kan godt have flere stationære punkter end grafen for det indskrevne rektangel. 7

8 To ting melder sig nu naturligt: For det første: Hvad er der specielt ved forholdet 2? Det gør det nærliggende at se på grafen for forholdet: B(x)/A(x). Ikke overraskende viser det sig at arealforholdet netop er minimalt det samme sted, og at den minimale værdi er 2. For det andet: Er alle disse observationer noget der er helt specielt for cosinusfunktionen eller gælder de mere generelt for en passende klasse af grafer, der minder om cosinus-grafen? Fx graferne for differentiable funktioner, der er aftagende og nedad hule i første kvadrant? Men det kan vi jo få et vink om ved at udskifte cosinusfunktionen med fx en parabel funktionen: 1 2 f ( x) = 1 x 2 Da GeoMeter er et dynamisk program vil en opdatering af funktionsudtrykket for f øjeblikkelig føre til en øjeblikkelig automatisk genberegning af alle de andre funktioner og beregninger. Enkelte konstruktioner som toppunkter og lignende kan dog springe til nye toppunkter, hvis de indbyrdes placeringer skifter drastisk. Fx har grafen for trekantarealet B(x) to toppunkter, og vi kan risikere, at det fundne minimumspunkt springer over til det lokale maksimumspunkt på den nye graf. Det må så føres tilbage igen til den rette placering: 8

9 Og jo da, alle egenskaberne overlever! Selve værdien for maksimumsstedet er en ny (x ) og denne gang kan vi faktisk finde den symbolsk x = 2/3. Men ellers er alt som før. Meget tyder altså på at der virkelig er tale om nogle helt generelle egenskaber, som kan gøres til genstand for en særskilt undersøgelse, der naturligvis fuldstændigt springer rammerne for den oprindelige eksamensopgave. Det er nu muligt at foretage en generel undersøgelse ved hjælp af symbolske CAS-værktøjer, noget jeg har gjort i artiklen Some like it hot: Højere ordens tænkning med CAS. Men det giver kun den symbolske synsvinkel, som ikke nødvendigvis kaster meget lys over, hvorfor der gælder de ovenstående observationer, og heller ikke nødvendigvis sætter dem ind i en bredere ramme. Det kan derfor være yderst instruktivt at se, hvor langt man egentlig kan komme med rent geometriske betragtninger passende støttet af GeoMeter. Det handler den anden del af artiklen om! 9

10 Anden del: Den geometriske synsvinkel Vi arbejder først med det indskrevne rektangel. Når man varierer på grafpunktet Q' s position flytter punkter sig langs grafen for f. Men i en lille omegn af et grafpunkt er grafen for f næsten lineær, så med stor tilnærmelse flytter det sig også langs tangenten. Arealet forandres i begge tilfælde med samme hastighed, fordi den afledede af arealet kun afhænger af funktionsværdien f (x) og differentialkvotienten f ' (x), og de er jo fælles for grafen og tangenten: Ax ( ) = x f ( x) A'( x) = f ( x) + x f '( x) I stedet for at se på en vilkårlig graf kan vi altså nøjes med at se på en lineær graf! Men så er problemet jo rimeligt simpelt. Hvis grafen for f er lineær er grafen for arealfunktionen Ax ( ) = x f( x) jo en parabel der skærer x-aksen i (0,0) og randpunktet S, hvor også den lineære funktion er 0: Altså ligger det optimale fodpunkt P Opt netop halvvejs mellem rødderne O og S, ligesom R Opt ligger halvvejs mellem O og T. Det maksimale rektangel er altså netop halvt så stor som trekanten afskåret af den lineære graf. Men det overføres jo uden videre til den almene graf: Hvis f er en vilkårlig differentiabel funktion med en aftagende nedad hul graf i første kvadrant, så vil det største rektangel indskrevet i grafen for f også være det største rektangel indskrevet i tangenten til røringspunktet. Og dermed vil det netop være halvt så stort som den omskrevne trekant afskåret af tangenten med halvt så stor grundlinje og halvt så stor højde. 10

11 Vi kan ydermere argumentere for at der må være en entydig løsning til problemet med det indskrevne rektangel. Hvis grafen for f er aftagende må hældningen for diagonalen PR (der er negativ!) nemlig være voksende fra (lodret diagonal) i venstre endepunkt O til 0 (vandret diagonal) i højre endepunkt S: På den anden side er grafen nedad hul, dvs. tangentens hældning som jo er negativ er aftagende på det samme stykke. Der må derfor findes netop et punkt Q på grafen, hvor de to hældninger er ens, og hvor grundlinjen og højden for det indskrevne rektangel derfor netop er halvt så store som grundlinjen og højden for den trekant, der afskæres af tangenten. Men det er jo netop det maksimale rektangel. Vi har altså løst problemet generelt ved at appellere til en simpel egenskab ved lineære grafer. Og alt hvad vi har benyttet i den henseende er dels at grafen for arealfunktionen er en parabel, fordi arealfunktionen selv bliver et andengradspolynomium, dels at toppunktets for en parabel netop ligger midtvejs mellem rødderne. Men vi kan gøre det endnu mere enkelt: Ved en lodret skalering ud fra x-aksen (ret affinitet) ændres alle højder med den samme faktor faktor og det samme gælder arealerne. Vi kan altså roligt ændre hældningen for den rette linje uden at ændre på placeringen af det maksimalt indskrevne rektangel. Men så kan vi jo gerne antage at hældningen er 1. Men i så fald er summen af grundlinjen og højden konstant, dvs. rektanglet har konstant omkreds. Vi søger altså det rektangel med en fast omkreds, der har det største areal. Men det er velkendt fra elementær geometri at det netop er et kvadrat. Hermed får vi det første problem ført tilbage til en elementær egenskab ved kvadrater. Vi kan fx føre et elementært bevis på følgende måde: 11

12 I en ligebenet retvinklet trekant indskrives såvel et kvadrat som et rektangel. Da trekanten er ligebenet har rektanglet altså samme omkreds som kvadratet, idet stykkerne QU og Q'U er lige store osv. Men så kan vi jo flytte det lille lodrette rektangel PUQ'P' op i det vandrette rektangel RQUR': T T R Q R Q R' U Q' R' U Q' O P P' S O P P' S Det overskydende kvadrat med siden QU viser da netop hvor meget større kvadratet sammenlignet med rektanglet: Altså er kvadratet rent faktisk større end rektanglet. Vi kan også ræsonnere algebraisk: Hvis rektanglets sider er a og b må kvadrates side være og det samme forhold vises da algebraisk således: a + b a + b a + b + 2a b 2a b a + b 2a b a b = a b = = = Dermed har vi i alle detaljer givet en geometrisk redegørelse for problemet med det maksimalt indskrevne rektangel i en aftagende nedad hul graf i første kvadrant. Tilbage står så det andet problem med den mindste omskrevne trekant. Det er et langt sværere problem. Fx indgår den første afledede også i udtrykket for trekantens areal, og dermed indgår den anden afledede i trekantarealets variation. Vi kan derfor ikke som før reducere problemet til et rent lineært problem, hvor vi erstatter grafen med dens tangent. I stedet kan vi fx reducere problemet til et kvadratisk problem, hvor vi erstatter grafen med det approksimerende andengradspolynomium. Men det er en symbolsk øvelse snarere end en rent geometrisk øvelse. Så her gør vi noget helt andet vi omformulerer problemet Vi har allerede set numerisk/grafisk at det fælles ekstremumssted for det maksimalt indskrevne rektangel og den minimalt omskrevne trekant også er ekstremumsstedet for forholdet mellem de to arealer. Vi kigger derfor i stedet på forholdet mellem de to arealer. Her kan vi nemt vise en lille sætning: 12

13 Hvis et rektangel er indskrevet i en retvinklet trekant med et fælles retvinklet hjørne er forholdet mellem trekantens areal og rektanglets areal mindst to, og det minimale forhold opnås netop, når grundlinjen og højden i rektanglet er halvt så stor som grundlinjen og rektanglet i trekanten: T R Q Areal OST = cm 2 Areal OPQR = cm 2 ( Areal OST) ( Areal OPQR) = O P S Bevis: Det følger af at vi allerede har vist, at det største rektangelareal fås når P er midtpunktet for grundlinjen OS (og dermed tilsvarende når R er midtpunktet højden OT). Så hvis vi varierer firkanten, fås den største nævner og dermed den mindste brøk, netop når rektanglet er halvt så stort som trekanten. Hvad har vi vist: Hvis grafen for den differentiable funktion f er aftagende og nedad hul i første kvadrant så findes der et entydigt maksimumssted for det indskrevne rektangel og det er karakteriseret ved at det netop er halvt så stort som den omskrevne trekant. Forholdet mellem arealerne af den omskrevne trekant og den indskrevne rektanglet er derfor minimalt i det pågældende punkt. Men hvis både arealet af det indskrevne rektangel og forholdet mellem arealerne for trekanten og rektanglet er stationære, må det samme gælde for arealet af den omskrevne trekant. Hvis nævneren i en brøk er stationær er nævneren nemlig konstant til laveste orden. Hele brøken varierer derfor på samme måde som tælleren til laveste orden. Konklusion: Arealfunktionen B(x) for trekanten har netop et stationært punkt det samme sted, hvor arealfunktionen A(x) for rektanglet har sit maksimum. Vi kan bakke det op i detaljer med en symbolsk betragtning således: Vi ved at der findes et entydigt stationært punkt x 0 for arealfunktionen A(x), dvs. specielt gælder A' (x 0 ) = 0. Men vi ved også at forholdet (kvotienten) mellem de to arealfunktioner k(x) = B(x)/A(x) antager værdien 2 i dette punkt. men det er den minimale værdi for forholdet, dvs. der gælder også: k' (x 0 ) = 0. Men så fås netop Bx ( ) = kx ( ) Ax ( ) B'( x ) = k'( x ) A( x ) + kx ( ) A'( x ) B'( x ) = 0 Ax ( ) =

14 Hvad har vi ikke vist? Vi har ikke vist at det nødvendigvis er et minimumssted for B(x), dvs. at trekantarealet er minimalt. Og selv om det var et minimum har vi ikke vist at der ikke kan være andre stationære punkter og dermed andre minima. Vi ved med andre ord heller ikke om det nødvendigvis er et globalt minimum. Bemærkning: Man kunne håbe på at argumentere simpelt for minimumsegenskaben via den anden afledede: B'( x) = k'( x) A( x) + k( x) A'( x) B''( x0) = k''( x0) A( x0) + 2 k'( x0) A'( x0) + k( x0) A''( x0) = k''( x ) A( x ) A''( x ) = k''( x ) A( x ) + 2 A''( x ) Her ved vi nu, at k''(x 0 ) 0 fordi forholdet er minimalt og at A''(x 0 ) 0 fordi rektanglets areal er maksimalt. Vi ved selvfølgelig også at A(x 0 ) er positivt. Men det viser blot at B'' (x 0 ) er summen af et positivt og et negativt led. Vi har altså ikke styr på fortegnet for B'' (x 0 ) og dermed heller ikke styr på om trekantarealet B er tvunget til at have et minimum. VI kan se det samme på direkte på forholdet B(x)/A(x). Nævneren aftager til anden orden, fordi arealet af det indskrevne rektangel er maksimalt. Det betyder at nævneren bidrager til at brøken vokser. Men det levner plads for at tælleren godt kan aftage til anden orden, blot den aftager så langsomt, at den ikke ødelægger den overordnede stigning af brøken. Der er med andre ord plads til at tælleren kan aftage langsommere end det voksende bidrag fra nævneren. Det er altså kun den detaljerede kobling mellem de to arealer, der sikrer at tælleren rent faktisk vokser. Og det er ikke helt nemt at gøre rede for i detaljer, se fx det detaljerede symbolske argument i artiklen 'Some like it hot'. Alligevel er vi kommet meget langt ved at appellere til to meget simple egenskaber ved firkanter og trekanter. Den geometriske indsigt er derfor et nyttigt supplement til den symbolske indsigt, som vi har gennemført i fuld detalje i den anden artikel 'Some like it hot'. Men geometrisk indsigt vinder man kun ved selv at indhøste erfaringer med geometri, dvs. ved selv at visualisere problemstillingerne. Konklusion: Dette taler for at dynamiske geometriprogrammer som GeoMeter bør tildeles en langt større rolle i matematikundervisningen på det gymnasiale niveau end det er tilfældet i øjeblikket. 14

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger

Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger Navn: Klasse: Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan tegne isometrisk tegninger

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere