Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde"

Transkript

1 Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til et svar på det stillede spørgsmål og argumentere overbevisende og udtømmende for svaret. Derimod er det ikke i sig selv væsentligt i hvilken grad deltageren viser beherskelse af matematikkens formelle apparat eller færdigheder inden for skolernes pensum. Der kan gives indtil 4 point for hver af de 5 opgaver. En helt korrekt og fuldstændig besvarelse giver 4 point, og der gives ikke fuldt pointtal medmindre besvarelsen er i alt væsentligt korrekt og fuldstændig. For en delvis korrekt besvarelse eller blot skridt eller ideer som leder i retning af en løsning, kan der gives et eller flere point. Derimod giver regninger eller argumenter som ikke bringer deltageren nærmere en løsning, ikke point uanset om de er rigtige i sig selv. Tilfældige indfald uden funktion i sammenhængen tæller ikke i sig selv positivt ved bedømmelsen. Bedømmelsen har til formål at fastslå hvem der har løst opgaverne bedst. Derfor skal kun konkrete skridt i retning af en løsning honoreres, og det skal ikke tages i betragtning om deltageren i øvrigt synes at have ydet en anerkendelsesværdig indsats. Opgave 1 Det giver 1 point at identificere radius R i den store cirkel og radius r i den lille med den største katete og længden af højden fra den rette vinkel på hypotenusen. Det giver 2 point at bestemme r (eller bestemme r R ) fx ved arealformler, ensvinklede trekanter, trigonometri eller regning med Pythagoras sætning anvendt på trekanten og to deltrekanter. Væsentlige fremskridt i beregningen giver 1 af disse point, men udregning af hypotenusens længde alene er ikke nok til at udløse dette point. Det giver yderligere 1 point at bestemme den brøkdel den lille cirkels areal udgør af den stores, dvs. udregne πr2 πr 2 eller ( r R )2. Bemærkning: Ordet brøkdel angiver at svaret skal skrives som heltalsbrøk, som 0,2, som 20% eller lignende. Hvis det afsluttende udtryk ikke er skrevet på en af disse måder, trækkes 1 point fra det pointtal besvarelsen i øvrigt berettiger til. Specielt giver svaret (sin tan )2 eller lignende som resultat af en rigtig udledning altså 3 point. 1

2 Opgave 2 Det giver 2 point at vise at hvert tal i en bestemt mængde M af hele tal, for eksempel alle ulige tal eller alle tal som ikke er kongruente med 2 modulo 4, kan skrives som en differens mellem to kvadrater af hele tal. Mængden skal være en sådan at det er åbenlyst at ethvert helt tal som ikke tilhører den, kan dannes ved at der lægges et kvadrattal til et af dens elementer. Heraf gives 1 point for væsentlige fremskridt mod et sådant bevis. Eksempler: 1) Sætte a = c + 1 eller a = c 1 og opnå a 2 c 2 = ± 2c ) Foretage omskrivningen a 2 c 2 = (a + c)(a c) og diskutere faktorernes relative paritet. Det giver yderligere 2 point at anvise hvordan ethvert helt tal kan dannes ved at et helt tals kvadrat lægges til et element i M. Heraf giver det 1 point at nævne at et tal der kan skrives som a 2 c 2, også kan skives som a 2 + b 2 c 2 med b = 0, eller det tilsvarende med a og b byttet om. Opgave 3 Enhver løsning kan have to varianter. I den ene variant er udgangspunktet at ingen holder to piger i hånden. Dette vises så at føre til en modstrid. Et sådant argument kaldes i det følgende et modstridsargument. I den anden variant vises det at der i enhver mulig række er en dreng eller pige der holder to piger i hånden, så opgavens spørgsmål må besvares benægtende. Et sådant argument kaldes i det følgende et konstruktionsargument. For hver af de fire løsninger som er nævnt i det følgende, er pointskemaet bygget sådan op at der gives 1 point for den grundlæggende ide. Fordelingen af de øvrige 3 point er forskellig afhængigt af om der i løsningen styres mod et bevis ved modstrid eller konstruktion. Bemærkning: Et rigtigt delargument i en samlet argumentation for svaret ja giver tilsvarende point hvis det svarer til et af punkterne i nedenstående skema. a. To delrækker med hver anden i hver række. Det giver 1 point at betragte de to delrækker af hver anden plads i rækken. Det giver 1 point at nå frem til at i ingen af delrækkerne står to piger ved siden af hinanden. Det giver 1 point at udlede heraf at der højst er 15 piger i hver delrække. Det giver 1 point at konkludere at dette strider mod hvad der er oplyst om antallet af piger. Det giver 1 point at nå frem til at der mindst er 16 piger i en af delrækkerne. Det giver 1 point at nå frem til at der så et sted i denne delrække står to piger ved siden af hinanden. 2

3 Det giver 1 point at konkludere at opgaven må besvares benægtende fordi den der står mellem disse to piger, holder dem begge i hånden. b. Afsnit af længde 4 eller lignende løsninger. Det giver 1 point at indføre en opdeling af rækken i 15 afsnit a 4. Det giver 1 point at nå frem til at der højst er to piger i hvert afsnit. Det giver 1 point at udlede heraf at der højst er 30 piger i alt. Det giver 1 point at konkludere at dette strider mod hvad der er oplyst om antallet af piger. Det giver 1 point at nå frem til at der mindst er tre piger i et af afsnittene. Det giver 1 point at nå frem til at der i dette afsnit er en som holder to piger i hånden. Det giver 1 point at konkludere at opgaven dermed må besvares benægtende. Bemærkning: Der gives point tilsvarende hvis der er argumenteret på lignende måde på grundlag af andre opdelinger af rækken. c. Sammenhængende pige/drengerækker. Det giver 1 point at betragte sammenhængende rækker af henholdsvis piger og drenge. Det giver 1 point at nå frem til at der højst er to piger i en pigerække og mindst to drenge i en drengerække omsluttet af pigerækker. Det giver 1 point at udlede heraf at der højst er 14 drengerækker og dermed højst 15 pigerækker. Det giver 1 point at konkludere at der så højst er 30 piger i hele rækken, og at dette strider mod hvad der er oplyst. Det giver 1 point at nå frem til at hvis der højst er to piger i hver pigerække, er der mindst 16 pigerækker, eller at hvis der mindst er to drenge i hver drengerække omsluttet af pigerækker, er der højst 14 sådanne drengerækker. Det giver 1 point at ræsonnere enten at hvis der mindst er 16 pigerækker, er der mindst 15 drengerækker omsluttet af pigerækker og dermed mindst en sådan række med kun en dreng, eller at hvis der højst er 14 drengerækker omsluttet af pigerækker, er der højst 15 pigerækker og dermed en pigerække med mindst tre piger. 3

4 Det giver 1 point at konkludere at der enten er tre piger i en af pigerækkerne eller en drengerække omsluttet af pigerækker med kun en dreng, og at i begge tilfælde er der en der holder to piger i hånden, så opgaven må besvares benægtende. d. Drenge i forhold til piger. Det giver 1 point at betragte sammenhængende rækker af henholdsvis piger og drenge. Det giver 1 point at nå frem til at der højst er to piger i en pigerække og mindst to drenge i en drengerække omsluttet af pigerækker. Det giver 1 point at udlede heraf at hvis der er to piger i den sidste pigerække regnet fra en af enderne, findes der en anden pigerække hvor der kun er en pige, og der derfor i hele rækken er mindst en dreng for hver pige før den sidste. Variant: Det giver 1 point at nå frem til at der findes en pigerække med kun en pige, og at der i de to afsnit som rækken deles i af denne pige (hvoraf det ene eventuelt er tomt), er mindst en dreng for hver pige. Det giver 1 point at konkludere enten at antallet af drenge overstiger 29, eller det samlede antal drenge og piger overstiger 60, i modstrid med hvad der er oplyst. Det giver 1 point at nå frem til at der enten findes en pigerække med mindst tre piger eller en pigerække med kun en pige og mindst 15 andre pigerækker. Det giver 1 point i sidste tilfælde at se på drengerækken efter hver af de 15 pigerækker regnet i retning fra enderne hen til den ene pige og nå frem til at der i mindst en af disse drengerækker kun er en dreng. Det giver 1 point at konkludere at der enten er tre piger i en af pigerækkerne eller en drengerække omsluttet af pigerækker med kun en dreng, og at i begge tilfælde er der en der holder to piger i hånden, så opgaven må besvares benægtende. Opgave 4 I det følgende er F og G betegnelser for BC s skæringspunkter med AD og AE. a. Ligedannethed. Ligedannetheder som DMF ABF, DBF ACF eller DHF AMF, hvor M betegner BC s midtpunkt og H projektionen af D på BC, bevises og benyttes til at bevise at et forhold som MF : BF, BF : CF eller HF : MF er lig med 1 : 2. Heraf udledes BF = 1 3 BC eller CG = 1 3 BC. Det giver 2 point at vise at et par af tilsvarende vinkler i et sådant par af trekanter er lige store. For hvert par af vinkler gives 1 af disse point. Når det benyttes at en vinkel er 60, skal det være begrundet omhyggeligt ud fra opgavens oplysninger medmindre det er en vinkel i ABC. 4

5 Det giver yderligere 1 point at konkludere at trekanterne er ensvinklede, og heraf udlede MF : BF = 1 : 2 eller det tilsvarende. Det giver 1 point at udlede BF = 1 3 BC eller CG = 1 2 BC heraf og konkludere at F og G deler BC i lige store stykker. Hvis et punkt som H benyttes, skal det vises at være midtpunkt for et linjestykke som BM, for eksempel ved at det vises at en trekant som BMD er ligesidet. b. Centralprojektion. Med P og Q betegnes linjen DE s skæringspunkter med linjerne AB og AC. Da trekanterne BDP og CEQ er ligesidede, deler D og E linjestykket P Q i lige store stykker. Da der gælder BC P Q, deler F og G så linjestykket BC i lige store stykker. Det giver 2 point at vise at to vinkler i en trekant som BDP er lig med 60, så trekanten er ligesidet. For hver vinkel gives 1 af disse point. Det giver 1 point at vise at D og E så deler P Q i lige store stykker. Det giver 1 point at vise at F og G så deler BC i lige store stykker. c. Trekantnet. Planet tænkes inddelt i ligesidede trekanter med sidelængde 1 2 BC således at B og C ligger i gitterpunkter. Det vises at A, D og E også ligger i gitterpunkter. Punkterne P og Q som i løsning b indføres som nabogitterpunkterne til D og E på linjen DE. Resten af beviset forløber som i løsning b. Det giver 1 point at indføre nettet af ligesidede trekanter med B og C som gitterpunkter. Det giver 1 point at vise at A, D og E også er gitterpunkter. Det giver 1 point at indføre punkterne P og Q. Det giver 1 point at gøre rede for at fordi D og E deler P Q i lige store stykker, deles BC af F og G i lige store stykker. d. Trigonometri. Længden BF bestemmes ved trigonometriske beregninger på trekant ABD enten i kombination med beregninger på en af deltrekanterne ABF og DBF eller dem begge eller med udnyttelse af at BF er vinkelhaveringlinje i trekanten. (Variant: Det tilsvarende ved betragtning af trekant ACE). Det giver 1 point at opnå ABD = 120 eller ACE = 120. Dette skal være begrundet omhyggeligt ud fra opgavens oplysninger. Det giver yderligere 2 point at opnå et eksakt beregningsudtryk for et af forholdene BF : BC eller CG : BC eller for BF eller CG med en antaget værdi af siden i trekant ABC ved beregninger som beskrevet i indledningen. Heraf gives 1 point for væsentlige fremskridt i en sådan beregning. Eksempler: 1) Opnå et eksakt udtryk for en trigonometrisk funtion af BAD eller BDA eller for AD med en antaget værdi af siden i ABC. 2) Bemærke at BF kan beregnes ved at arealet af ABD udtrykkes som summen af deltrekanternes arealer fordi BF er side i begge deltrekanter. 5

6 Det giver 1 point at regne udtrykket ud til BF = 1 3 BC eller CG = 1 3 BC og konkludere at F og G deler BC i lige store stykker. e. Analytisk geometri. Ligninger for linjerne BC og enten AD eller AE opstilles eller anvendes implicit, det sidste i det tilfælde hvor linjen (mest nærliggende BC) er akse i koordinatsystemet. Skæringspunktet bestemmes ved at ligningerne løses. Af skæringspunktets koordinater aflæses BF = 1 3 BC eller CG = 1 3 BC. Det giver 2 point at bestemme de punktkoordinatsæt som behøves for at opstille ligninger som fastlægger koordinaterne til F eller G. Koordinaterne kan for eksempel bestemmes med trigonometri og kendte værdier af trigonometriske funktioner, med brug af figurens symmetri og Pythagoras sætning eller, for D s eller E s vedkommende, med brug af symmetri, ligningen for cirklen ADEB og en af ligningerne BD = DE og CE = DE. Heraf giver det 1 point at bestemme koordinaterne til et enkelt af punkterne hvis det ikke indgår i fastlæggelsen af det valgte koordinatsystem. Det giver yderligere 1 point at opstille og løse ligningerne. Det giver 1 point at vise på grundlag af de fundne koordinater og symmetri eller analogi at F og G deler BC i lige store stykker. Opgave 5 Overalt i det følgende betegner n og m positive, hele tal, R betegner rækken 1, 2, 2 2, 2 3,..., , mens R betegner den uendelige række 1, 2, 2 2, 2 3,.... Bemærkning 1: Det er ikke et krav at det nævnes udtrykkeligt at antallet af cifre i 2 n er en svagt voksende funktion af n, det skal blot fremgå implicit. Bemærkning 2: Det regnes ikke for en væsentlige fejl for eksempel at formode at der er 2009 tal i R, eller at har 606 cifre. a. Struktur af en dekade. Svaret fås ved at sammenholde mulige mønstre af begyndelsescifrene i en dekade med antallene af elementer og dekader i R. Der gives 1 point for hvert af nedennævnte skridt, som ikke nødvendigvis må tages i rækkefølge. Begrunde at der for ethvert n findes netop et n-cifret tal fra R der begynder med 1, netop et der begynder med 2 eller 3, og netop et der begynder med 4, 5, 6 eller 7. (Variant: 5, 6, 7, 8 eller 9 i stedet for 4, 5, 6 eller 7). Bemærkning: Det det her drejer sig om, er at analysere strukturen af en dekade i R. Derfor er det ikke nødvendigt at deltageren udtrykkeligt ser på hele den uendelige række. Udlede at tallene i R netop er de tal fra R som højst har 605 cifre. 6

7 Udlede at der i R er 605 tal som begynder med 1, 605 som begynder med 2 eller 3, og 605 som begynder med 4, 5, 6 eller 7, samt at der er netop et tal der begynder med 4 for hvert tal der begynder med 8 eller 9. (Variant: 605 tal som begynder med 1, 605 som begynder med 2 eller 3, og 605 som begynder med 5, 6, 7, 8 eller 9). Alternativt nå frem til at der for alle n er tre eller fire n-cifrede tal i R, hvor antallet er fire netop hvis netop et af tallene begynder med 4. Nå frem til at R indeholder 2010 tal, og kombinere dette med det foregående til at = 195 af dem begynder med 4. b. Rækker af flere dekader. Det vises at afstanden i R mellem to på hinanden følgende tal der begynder med 4, er enten 10 eller 13. Svaret fås så ved at sammenholde mulige mønstre af begyndelsescifrene i tilsvarende rækker af 10 eller 13 tal med antallene af elementer og dekader i R. Der gives 1 point for hvert af nedennævnte skridt. Vise at hvis 2 n og 2 m begynder med 4, og m > n, gælder m n 10. Yderligere vise at R kan inddeles i afsnit af længden 10 eller 13 (i det følgende benævnt 10- og 13-rækker) således at det første tal i hvert afnit begynder med 1, det tredje begynder med 4 og er det eneste i afsnittet med dette begyndelsesciffer, og en 10-række strækker sig over 3 dekader og en 13-række over 4 dekader, samt at de tal som begynder med 1, har bestemte positioner inden for en 10- eller 13-række. På grundlag af det foregående og oplysningerne om opstille ligninger for antallene af 10- og 13-rækker som bestemmer disse to tal, for enhver mulig position af inden for en 10- eller 13-række, eller noget tilsvarende. Vise at ligningerne i alle tilfælde medfører at 195 tal i R begynder med 4, eller et tilsvarende argument. 7

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde esvarelser som falder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemaerne, bedømmes ved analogi så skridt med tilsvarende

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30 Matematik B Prøvens varighed

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

GEORG MOHR OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010. Kirsten Rosenkilde. Marianne Terp.

GEORG MOHR OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010. Kirsten Rosenkilde. Marianne Terp. GEORG MOHR-KONKURRENCEN OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 GEORG MOHR K O N K U R R E N C E N OPGAVER OG LØSNINGER 1991-2010 Kirsten Rosenkilde. Marianne Terp. Rasmus Villemoes Georg Mohr-Konkurrencen Opgaver

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere