Indledning: Opdagelsen af brydningsloven
|
|
- Ejvind Lorentzen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Indledning: Opdagelsen af brydningsloven Indfaldsvinkel i Indfaldslod Luft Vand b Brydningsvinkel (Kilde: Brydningsloven har en lang historie bag sig: Optikken og herunder brydningen af lys spiller en rolle i astronomien de ældste kendte data for lysbrydningsforsøg stammer fra Ptolemaios. Arabiske videnskabsmænd gættede brydningsloven omkring år 1000, men deres gæt gik tabt, så vi skal frem til tallet, før der for alvor kom styr på sagerne. Når lyset brydes i et medium, ændres udbredelsesretningen. Der er tradition for at indføre et indfaldslod, der står vinkelret på den brydende kant (på samme måde som et lod står vinkelret på vandret). Vinklen mellem den indfaldende stråle og indfaldsloddet kaldes indfaldsvinklen i, og vinklen mellem den brudte stråle og indfaldsloddet kaldes brydningsvinklen b. Det er sammenhængen mellem disse to vinkler, vi forsøger at finde. Brydningsloven var specielt interessant i 1600-tallet på grund af opfindelsen af kikkerten, og det deraf følgende problem om hvordan linser skal slibes for at sikre den bedste lysgang gennem kikkerten. Den engelske matematiker og naturvidenskabsmand Harriot er den første, det lykkes for i 1602, men resultaterne bliver ikke offentliggjort. Den hollandske fysiker Snell gentager succesen i 1621 (samme år som Harriot døde), men resultaterne bliver stadig ikke offentliggjort. Så vi skal frem til 1637, før den franske filosof, matematiker og naturvidenskabsmand Descartes finder og endelig offentliggør brydningsloven i sit værk om optik. Det er Descartes udledning og tolkning af brydningsloven, vi skal arbejde med i dette projekt. Empiri: Geometrien bag lysbrydningen Her vil vi illustrere Descartes opdagelse ved brug af Ptolemaios data for brydning af lys i vand og glas (hvis du har dine egne data og de er rimeligt gode! kan du bruge dem i stedet for. Du kan her finde en video med eksperimentet og derved selv kontrollere Ptolemaios eksperiment): 1
2 Indfaldsvinklen i (målt i grader) Brydningsvinklen b for overgangen luft vand Brydningsvinklen b for overgangen luft glas Brydningsvinklen b for overgangen vand glas Du kan hente tabellen her. a) Kopier tabellen ind i dit regneark, og fremstil en graf over sammenhængen mellem indfaldsvinklen i og de to brydningsvinkler b luft-vand, b luft-glas og b vand-glas. Du må gerne prøve, om du kan finde en simpel regressionsmodel, der passer med dataene. Vi skal vende tilbage til dette i B-bogen. Her vil vi i overensstemmelse med Descartes metode søge en geometrisk lovmæssighed, der kan gengive de ovennævnte data rimeligt! Vi bruger da en model for lysets brydning fra luft til vand, der går tilbage til perspektivisterne, og som var velkendt for såvel Harriot som Descartes: N P Indfaldslod i Luft C Vand b K S Q Lysstrålen kommer ind langs strålen PC og ud langs den brudte stråle CQ. Indfaldsvinklen i måles som vinklen NCP, og brydningsvinklen b måles som vinklen SCQ. Hvis strålen sendes baglæns ind, følger den den samme bane, bare baglæns. Hvis en genstand placeres i vandet ved Q, vil den derfor ses i retningen PC. Vi forlænger nu linjestykket PC til det såkaldte knækpunkt K, der repræsenterer den retning, vi ser genstanden i. Knækpunktet K kan da fx konstrueres som skæringen mellem den forlængede stråle PC og den lodrette linje gennem Q (dvs. linjen parallel med indfaldsloddet). b) Overfør dataene fra tabellen til dit dynamiske geometriprogram, og konstruer ved hjælp heraf de indfaldende stråler, de brudte stråler og knækpunkterne. Hvilken kurve synes knækpunkterne at følge? 2
3 c) Gentag øvelsen med de to sidste serier af brydningsdata fra Ptolemaios. d) Prøv nu, om du kan formulere brydningsloven geometrisk, dvs. om du kan skrive en konstruktionsforklaring for konstruktionen af den brudte stråle for et vilkårligt punkt P på den øverste halvbue. e) Konstruer en dynamisk model for lysets brydning, og find på basis af målinger i tabellen de forventede værdier for brydningsvinklerne. Hvordan stemmer de overens med Ptolemaios data? Teori I: Brydningsloven på traditionel form: Sinus på arbejde Descartes fulgte som sine samtidige en geometrisk sprogbrug, hvor brydningsloven alene blev formuleret ud fra et konstant forhold mellem visse linjestykker: N P P 0 Indfaldslod i Luft C r R Vand K 0 b K Q 0 S Q I Descartes version er der to cirkler med radierne R og r. f) Gør rede for, at forholdet mellem linjestykkerne PP 0 og KK 0 er konstant (hvor P 0 er projektionen af indfaldspunktet P på indfaldsloddet, og K 0 er projektionen af knækpunktet K på indfaldsloddet). g) Gør rede for, at forholdet mellem sin(i) og sin(b) er konstant, idet i er indfaldsvinklen, og b er brydningsvinklen. Sammenhold Descartes formulering af brydningsloven med den formulering, du har i din fysikbog. 3
4 Teori II: Descartes forklaring af brydningsloven Descartes forsøgte også at begrunde brydningsloven ud fra grundlæggende fysiske principper. Som Newton var han overbevist om, at lyset bestod af en strøm af partikler. Men i modsætning til Newton var han af den overbevisning, at lyset udbredte sig instantant, dvs. med uendelig høj udbredelseshastighed. Lyset ankommer altså samtidigt med, at det bliver udsendt. Descartes kendte ikke Rømers påvisning af lysets tøven fra Vi skal frem til Einsteins relativitetsteori, før vi bliver i stand til at rumme begge opfattelser af lysets udbredelse som værende både instantan og tøvende. I stedet forsøgte Descartes sig med en berømt analogi, hvor lyspartiklen sammenlignes med en tennisbold, som først skydes ned mod jorden for at springe op igen (ligesom lyspartiklen i et spejl) og dernæst skydes ned mod et vandret klæde, som bolden formår at gennemtrænge med tab af hastighed til følge (ligesom en lyspartikel, der brydes ved overgangen mellem vand og luft). Her følger det centrale uddrag: Andet foredrag Om Lysets Brydning... Vi kommer nu til lysets brydning. Lad os først antage, at bolden der drives frem fra A til B ikke længere rammer jorden i punktet B, men i stedet rammer et klæde CBE, som er så skrøbeligt og løst vævet, at bolden har kraft nok til at få klædet til at briste og passere gennem klædet, samtidigt med at det kun mister en brøkdel af sin fart, lad os fx sige halvdelen. Ud fra det vil vi finde den vej bolden følger og tager endnu engang i betragtning, at såvel dens bevægelse som dens tilbøjelighed til at bevæge sig i den ene retning frem for den anden er forskellige, hvoraf det følger at størrelsen af disse [to faktorer] må undersøges særskilt. Og lad os også tage i betragtning at af de to dele, som vi kan opfatte dens tilbøjelighed til at være sammensat af, er det kun den, der går i retningen fra høj til lav, der kan ændres ved mødet med klædet; og at dens tilskyndelse til at bevæge sig fra venstre mod højre må være uforandret, for klædet kan ikke yde nogen modstand mod bevægelsen i denne retning. Ved at trække cirklen AFD med centrum i B og derefter nedfælde de vinkelrette AC, HB og FE på linjen CBE på en 4
5 sådan måde, at der er dobbelt så stor afstand mellem FE og HB, som mellem HB og AC, ser vi at bolden må fortsætte i retningen mod punktet I. For eftersom den mister halvdelen af sin fart ved mødet med klædet CBE, må den tilbringe dobbelt så meget tid i den nederste del af bevægelsen fra B til periferien AFD, som det tog at komme fra A til B. Og eftersom den ikke mister sin tilskyndelse til at bevæge sig fra venstre mod højre, må den i det dobbelte tidsrum af hvad det tog at komme fra linjen AC til HB, bevæge sig dobbelt så langt i samme retning, og vil derfor nødvendigvis ankomme til et punkt på den rette linje FE, samtidigt med at den ankommer til et punkt på cirkelperiferien AFD. Men det er umuligt, hvis den ikke ankommer til punktet I eftersom det er det eneste punkt hvor cirklen AFD skærer den rette linje FE under klædet CBE.... h) Konstruer selv en præcis og dynamisk udgave af diagrammet i Descartes tekst. Gør rede for, at der er en maksimal/kritisk indfaldsvinkel indfaldsvinkler, der er større end denne, fører ikke længere til brydning (totalreflektion). i) Gå Descartes argument igennem i detaljer, herunder hvordan Descartes opdeler boldens skrå bevægelse i en vandret bevægelse og en lodret bevægelse: Hvordan opfører de to komponenter sig ved passagen af klædet? j) Gør rede for, at forholdet mellem AH og HF må være konstant ifølge Descartes analogi. Gør rede for, at det har som konsekvens, at forholdet mellem sin(i) og sin(b) også må være konstant. Hvordan er konstanten knyttet til tennisboldens fart før og efter mødet med klædet? k) Tilføj den cirkel, der er knyttet til knækpunkterne i Descartes diagram. Gør rede for, at Descartes diagram er ækvivalent med den dobbelt-cirkel-konstruktion, han tidligere har brugt. l) I dag benyttes typisk en model for lys, hvor lyset udbreder sig som en bølge, i stedet for den ovenfor nævnte model. Også her kan brydningsloven udledes som følge af en hastighedsændring, når lysbølgen passerer det brydende medium. Se evt. i din fysikbog for at finde ud af hvordan! Hvilken karakteristisk forskel for udbredelseshastighederne er der mellem de to modeller for lysets brydning: partikelmodellen og bølgemodellen? Bemærkning: På Descartes tid foretrak man geometriske beskrivelser frem for formler: Det samme gjaldt Descartes, fordi det geometriske diagram rummede langt større forklaringskraft end formlen! Vi finder derfor ikke brydningsloven skrevet op som en formel hos Descartes. I stedet formulerer han den således: Det er nødvendigt at sikre sig at sammenhængen findes ved måling af størrelserne for linjestykker som CB eller AH, og EB eller IG, og tilsvarende; ikke ved måling af vinkler som ABH eller GBI, og endnu værre ved vinkler som DBI, der kaldes afvigelsesvinklen. For brøken eller forholdet dannet ud fra disse vinkler vareirer med hældningerne for den indfaldende stråler; hvorimod forholdet mellem linjestykkerne AH og IG, eller tilsvarende, forbliver de samme i alle brydninger forsaget af de samme medier. m) Forklar ud fra Descartes figur, hvad meningen med denne formulering er. 5
6 Efterskrift: Descartes udledning af brydningsloven i 1637 blev udsat for hård kritik. Og da de data, han benyttede, heller ikke var alt for præcise, herskede der et stykke tid endnu en del usikkerhed omkring brydningsloven. Denne usikkerhed blev først fjernet, da man dels fik bedre argumenter for brydningsloven, ikke mindst med Newtons mekaniske model for lysets udbredelse (baseret på hans Principia fra 1689) og Huygens bølgemodel for lysets udbredelse (offentliggjort i 1690), og dels fik mere præcise data, Gregory (1663), hvorfra det følgende uddrag er hentet: Men sandheden af denne sætning 1 har stået klart i vores mange forsøg: ligesom den vil være indlysende fra dette ene eksempel, som vi fra vores brydningsvinkler har målt for kildevand i vores ungdom; den er troværdig i følge vores første problemstilling og præcis nok (på grund af instrumentets størrelse), for vinkler i vandet på 10, 20, 30, 40 og 45. Hvis disse meget omhyggelige målinger ikke i sandhed er tilfredsstillende, så kom an matematikere! Og bekræft denne yderst smukke forestilling om brydningen med mere subtile målinger. Indfaldsvinkel i Brydningsvinkel b 13 28' ' ' ' ' 45 Gregorys målinger 2 for brydning i kildevand. Læg mærke til, at han har byttet om på vinklernes rolle og ladet brydningsvinklen være udgangspunktet for målingen i modsætning til fx Ptolemaios, der lod indfaldsvinklen være udgangspunktet for målingen. n) Undersøg, i hvilket omfang Gregorys data giver en bedre retfærdiggørelse af brydningsloven end Ptolemaios data. 1 Sætningen er ikke brydningsloven direkte, men bygger på den. 2 Gregorys tabel giver faktisk ikke brydningsvinklen, men i stedet den såkaldte afbøjningsvinkel, som er forskellen mellem indfaldsvinkel og brydningsvinkel. 6
Projekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereGruppemedlemmer gruppe 232: Forsøg udført d. 21/ Erik, Lasse, Rasmus Afleveret d.?/ LYSETS BRYDNING. Side 1 af 10
LYSETS BRYDNING Side 1 af 10 FORMÅL Formålet med disse forsøg er at udlede lysets brydning i overgangen fra et materiale til et andet materiale. TEORI For at finde brydningsindekset og undersøge om ()
Læs mereBrydningsindeks af vand
Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBrydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008
ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 Louise Regitze Skotte Andersen, Klasse 2.4 Lærer: Ashuak Jacob France 2 Indhold Indledning... 3 Materialeliste...
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereBacheloruddannelsen 1. år E15
Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN
Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereMandatfordelinger ved valg
Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den
Læs mereLysets fysik Optiske fibre P0 projekt
Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt Forsidebillede: En oplyst plexiglasleder hvorpå gruppens navn er skrevet [1] Titel: Optiske fibre Tema: Lysets fysik Projektperiode: 01/09 18/09 2015 Projektgruppe:
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Introduktion til ovaler: Ovato Tondo fra Rafaels skole En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet
Læs mereProjekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb
Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereFig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:
Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereKøretøjernes dimensioner angives i afsnit 2. Placeringen på tværs er positiv til højre og negativ til venstre, og er kaldt placering til højre.
Et regneark til beregning af luminans af vejtavler Kai Sørensen, 29. april 2015 Forord Regnearket erstatter det regneark, der er omtalt i notatet Et regneark til beregning af luminans af vejtavler af 27.
Læs mereCresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori
Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereProjekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A)
Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) (Data er hentet fra M. Radelet, "Racial characteristics and imposition of death penalty", American Sociological Review, 46 (1981), pp 918-927
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereNår eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:
Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.
Læs mereUndersøgelser i nyere geometri
Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,
Læs mereBemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik
Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereOm opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger
Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOptiske eksperimenter med lysboks
Optiske eksperimenter med lysboks Optik er den del af fysikken, der handler om lys- eller synsfænomener Lysboksen er forsynet med en speciel pære, som sender lyset ud gennem lysboksens front. Ved hjælp
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mereProjekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg
Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs mereEn cykel - inspiration til undervisningsforløb med fokus på progression i matematik (evt. tværfagligt m. natur/teknologi)
En cykel - inspiration til undervisningsforløb med fokus på progression i matematik (evt. tværfagligt m. natur/teknologi) Fælles Mål Stofområde: Geometri og Måling - geometriske egenskaber og sammenhænge
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereÅrsplan for 5. klasse, matematik
Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereEksperimentel Matematik
Eksperimentel Matematik 4 bidrag Ib Michelsen 2007 Trekanter - der ligner hinanden Ib Michelsen VUC Skive-Viborg ib.michelsen@mimimi.dk Geometri C 2 6 timer Faglige mål Ensvinklede og ligedannede trekanter
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereIndhold Problemstilling... 2 Solceller... 2 Lysets brydning... 3 Forsøg... 3 Påvirker vandet solcellernes ydelse?... 3 Gør det en forskel, hvor meget
SOLCELLER I VAND Indhold Problemstilling... 2 Solceller... 2 Lysets brydning... 3 Forsøg... 3 Påvirker vandet solcellernes ydelse?... 3 Gør det en forskel, hvor meget vand, der er mellem lyset og solcellen?...
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereGeogebra Begynder Ku rsus
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereØvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport
Teori Stående bølge Individuel rapport Betragt en snøre udspændt mellem en vibrator og et fast punkt. Vibratorens svingninger får en bølge til at forplante sig hen gennem snøren. Så snart bølgerne når
Læs mereProjekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul
Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereProjekt 8.10: Gitterformlen og Thomas Young
Projekt 8.10: Gitterformlen og Thomas Young Indledning: Opdagelsen af lysets bølgenatur Lysets natur var længe omdiskuteret: Kunne det bedst forstås som partikler eller som bølger? I første omgang sejrede
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereAt lede lyset på nanovejen Side 46-49 i hæftet
At lede lyset på nanovejen Side 46-49 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lys og lyd TV gennem lysleder I en lysleder sendes signaler i form af lysimpulser. Derfor kan det være en overraskelse, at man kan sende
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereKlassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.
Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,
Læs mereÅrsplan for matematik i 4. klasse 2014-15
Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere