Z[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).
|
|
|
- Johan Ipsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÔÖ Ð ¾¼¼ Ð Ð Ø ÓÖÖ
2 ÁÒ ÓÐ Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø È Å Ð Ò ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ¹ ØÒ Ò ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î Ò Ò ÅÝ Ø Ð ½¾ ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÀÚ Ñ Ú Ò Ø Ò ÑÝ Ø ÃÓÒ Ø ÒØ Ò Ã ÒÒÝ ² ÔÓÒ ÒØ Ð¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÃÐ Ø Ò Ö Ñ ÙÖ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÖ Ú Ð Ö Å ÔÐ Ö ÖÚ Ö Ö ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø Ã ÖÐ Å Ð Ø ÖÖ ÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÖÝ Ó ØÚÖ Ñ ÙÖ ½ ¾ ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÀÚ ÓÖ Ö nø Ð Ö Ò Ð Ð Ø ÓÖÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÖ ÓÖÖ Ð Ö ¼ ¾
3 Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ ÌÖ Ú Ö ÓÖ Ø Ø Ú ÖØ ÔÖ ÑØ Ð p 1 (mod 4) Ö Ò ÙÑ ØÓ Ú Ö Ø Ö È Å Ð Ò Ø Ó Ö Ð Ø ÚÓÖ ÖÖ Ö ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ØÙ Ö Ò Ø Ø Ø ¹ Ò Ø Ñ ÓÚ Ò Ø Ò Ò Ø ØÒ Ò º º º ÓÖ Ò Ð Ñ ÒÖÑ Ö Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ì ÓÖÙÔ ¾ Ä ÒÓØ Ö [1]º ËØÒ Ò Ò Ö Ø Ð Ø Ð ÖÑ Øº ¹ ÖÑ Ø ÓÔ Ö Ú Ö ØÒ Ò Ò Ñ Ò Ú Ö ÒÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ô Ø Ò º Ö Ö Ó Ò Ö Ð Ú Ø Ú Ø Ò Ð Ò Ö Ú Ö ÓÖ ÒÒ ØÒ Ò Ðº º ÙÐ Ö Ä Ö Ò Ó Ò µ Ó Ú Ð Ö ÒÖÑ Ö Ô ØÖ ÓÖ ÐÐ Ò ¹ Ò Ú Ò Ð Öº Ò ÐÑ Ò Ð Ø Ó Ö ÒÓ Ö Ø Ø Ú Ö Ø Ô Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ú Ö Ø Ø ÐÖ Ò º º ÊÆ º [1]µº ¹Å Ö ÔÖ Ø ØÖ Ø Ù ³ Ø ÐÖ Ò Z[i] = {x + yi x, y Z}. Ð Ñ ÒØ ÖÒ Z[i] Ð Ù ÐØ Ðº Î Ñ Ò ÓÑÔÐ ÓÒ Ù Ö Ò Ó Ú Ñ Ò Ö ÓÖØ ÓÑ Ø ÒÓÖÑ Ò N : Z[i] Z x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø Úº Ø Ö Ù Ò Ò ÑØ Ø ÓÚ Ö Ú ÓÑ Ø Ö ÓÖ Ø Ð Ñ ÒØ α Z[i] Ð Ö N (α) = 1 α Ö Ò Ò Z[i]. Ë Úغ º¾½½ [1]µº ÀÚ p Ö Ö Ù Ð Z[i] ¹ ºÚº º Ú Ö Ò Ò ÓÔÐ Ò Ò p = αβ, α, β Z[i], ÚÓÖ α, β Ö Ò Ö Z[i] Ñ p 2 = N(p) = N(α)N(β).
4 α Ó β Ö Ò Ö Ö N(α), N(β) ÔÓ Ø Ú ÐØ Ð ÓÖ ÐÐ Ö 1 N(α) = pº Áº º Ú α = x + yi Ö p = N (α) = x 2 + y 2. ÀÚ Ú Ò Ú Ø p Ö Ø Ö Ù ÐØ Ð Ñ ÒØ Z[i] Ö Ú ÐØ ÚÓÖ Ò ØÒ Ò º Z[i] Ö Ø ÈÁ º¾½ [1]µ Ö ÖÖ Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ò ØÓÔ ÔÖ Ñ¹ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ø Ö ÒÓ Ø Ú Ø p Ö Ø ÔÖ Ñ Ð Ñ ÒØ Z[i] º º Ú Ö α, β Z[i] ÓÖ Ú Ð Ø Ö Ð Ö Ø p Ö ÓÔ αβ Ñ Ò p Ö Ú Ö Ò ÓÔ α ÐÐ Ö βº Ì Ð ØØ ÒÝØØ Ð Ò ØÒ Ò Ó Ò Ø ÓÑ Ö Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ø Ð Ò Ú Ö Ø Ö ÔÖÓ Ø Ø ØÒ Ò ËØÒ Ò ½º Ä p ÚÖ Ø ÔÖ ÑØ Ð Ó ÒØ p 1 (mod 4)º Ò Ø ÐØ Ð n p n Ú º Á º ÖÑ Ø³ Ð ÐÐ ËØÒ Ò ÊȺ º ¾ [1]µ Ð Ö Ö ÓÖ Ø Ú ÖØ ÐØ Ð z ÔÖ Ñ Ñ p Ø z p (mod p). p 1 (mod 4) Ö Ú p 1 = 4kº ÓÖ Ø Ú ÖØ ÐØ Ð z ÔÖ Ñ Ñ p Ð Ö Ð Ø p z 4k 1 = ( z 2k + 1 )( z 2k 1 ). p Ö Ø ÔÖ ÑØ Ð Ñ p ÓÔ z 2k + 1 ÐÐ Ö z 2k 1º Áº º z 2k (mod p) ÐÐ Ö z 2k 1 0 (mod p). Ì ÐÐ Ò z = 1,...,p 1 = 4k Ö ÐÐ ÔÖ Ñ Ñ p Ó ÐØ Ð Ò Ò Ö Ø Ð Ò ÓÚ Ò Ø Ò ÓÒ ÖÙ Ò Öº Z p Ö Ø Ð Ñ Ó ÐØ Ô ÐØ Ø ÒØ Ö Ø Ø Óѹ Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ø z 2k 1 Z p [z] Ø 2k Ö Ö ÈÇÄ º¾ [1]µº Ö ÓÖ Ò Ø ÐØ Ð z Ð Ò Ø Ø ÐÐ Ò 1,...,4k z 2k (mod p)º ËØØ n = z k Ø Ò º Ö Ò ÐØ Ø n p n = (n + i) (n i). n ± 1 i / Z[i] Ö p Ú Ö Ò ÓÔ n + i ÐÐ Ö n i Ó p Ö Ð Ø p p ÔÖ Ñ Ð Ñ ÒØ Z[i]º
5 Ò Ó [2] ÒÒ Ù Ú ÚÓÖ Ú Ý Ö Ô Ð Ò ØÒ Ò Ì Ù ØÒ Ò º Ä n > 1 ÚÖ Ø Ò ØÙÖÐ Ø Ø Ð Ó Ð k ÚÖ Ø Ñ Ò Ø ÐØ Ð Ð k > nº ¹ ºÚº º k 1 n < kº ÓÖ Ø Ú ÖØ ÐØ Ð a ÔÖ Ñ Ñ n Ò x, y N x, y k 1 Ó Ú º ØÖ Ø Ø Ð Ô ÓÖÑ Ò ay ±x (mod n). ay + x, x, y {0, 1,..., k 1}. Ö Ò k 2 > n ÒÒ Ø Ð Ó ÙÒ n Ö Ø Ð Ö ÑÓ ÙÐÓ n Ñ Ñ Ò Ø ØÓ Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ö Ø Ð Ë Ù ÔÖ Ò ÔÔ Øµº Ö Ò ÐØ x 1, y 1, x 2, y 2 {0, 1,..., k 1} ÚÓÖ Ó Ù Ò Ñ Ö Ð Ø x 1 x 2 0 ÐÐ Ö y 1 y 2 0 a (y 1 y 2 ) x 2 x 1 (ÑÓ n). 0 < x 2 x 1, y 1 y 2 k 1. ÒØ Ò ÑÐ x 2 x 1 = 0º Ë Ö n ÓÔ a(y 1 y 2 )º a Ó n Ö ÔÖ Ñ Ú Ð n ÓÔ y 1 y 2 ÚÓÖ ÓÖ y 1 y 2 = 0º Ä Ð Ú Ö y 1 y 2 = 0 Ø x 2 x 1 = 0º Î Ò ÒØ Ø y 1 > y 2 º ËØØ { x2 x y = y 1 y 2 Ó x = 1 Ú x 2 > x 1 x 1 x 2 Ú x 1 > x 2 Ò Ò ÓÒ ÖÙ Ò º Î ÓÖ Ò Ú Ø Ú p 1 (mod 4) Ö ÓÒ ÖÙ Ò Ò z (mod p) ½µ Ò Ð Ò Ò º Ò Ò Ð Ò Ò z Ö ÔÖ Ñ Ñ p Ò º Ì Ù ËØÒ Ò x, y N yz ±x (mod p) Ó x, y < pº ÓÒ ÖÙ Ò Ò ½µ Ú Ø ÚÓÖ ÓÖ y 2 z 2 + y 2 0 x 2 + y 2 0 Å Ò x 2 + y 2 < 2p Ñ x 2 + y 2 = pº (mod p), (mod p).
6 Ò Ñ ÖØ [3] Ò Ð Ò Ò σ : S S Ð Ò ÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÐÐ Ö ÒÚÓÐÙØÓÖ µ Ú Ò Ö ÐÚ ÒÚ Ö º º Ú σ 2 = Á S º ÓÖ Ò ÒÚÓÐÙØ ÓÒ σ Ú Ø Ô Ò Ò Ð ÑÒ S Ú Ø Ä ÑÑ ¾º S Ö ÙÐ σ Ö Ø ÙÐ ÒØ Ð ÜÔÙÒ Ø Ö. ËÔ ÐØ Ñ Ò ÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ú Ø Ô Ò ÑÒ Ñ Ø ÙÐ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ú Ñ Ò Ø Ø ÜÔÙÒ Øº Ú º Î (x, y, z) (x, y, z ) (x, y, z) = (x, y, z ) σ(x, y, z) = (x, y, z ) Ò Ö Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Sº Ú Ú Ð Ò Ð ÖÒ Ò ÓÐ Ö ÔÖ Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ú ØØ Ö Ø ÜÔÙÒ Ø Ó ÐÐ Ö 2º Ú Ú Ð Ò Ð ÖÒ Ù Ö Ò Ð Ð Ò Ô S Ò Ð Ñ ÒØ ÒØ ÐÐ Ø S Ò ÓÑ ÙÑÑ Ò Ð Ñ ÒØ ÒØ ÐÐ Ø Ú Ö Ú Ú Ð Ò Ð º ÁÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò σ Ö ÐØ Ø ÙÐ ÒØ Ð ÜÔÙÒ Ø Ö Ò ØÓÔ Ú S Ö ÙÐ º ØÖ Ø ÒÙ Ò Ò Ð ÑÒ S := {(x, y, z) N 3 x 2 + 4yz = p}. Ø Ö Ð ÖØ Ø S (1, 1, k) S p = 4k + 1º ØÖ Ø Ù Ò Ð Ò Ò Ò σ : S S (x + 2z, z, y x z) Ú x < y z σ : (x, y, z) (2y x, y, x y + z) Ú y z < x < 2y. (x 2y, x y + z, y) Ú x > 2y Ø ÔÙÒ Ø (x, y, z) N 3 ÚÓÖ x = y z ÐÐ Ö x = 2y Ð Ö S p Ö Ø ÔÖ ÑØ Ðº Ö ÓÖ Ö σ Ò Ö Ø Ô Ð Sº Î Ù Ö Ò Ò Ù Ò Ð Ø Ø σ Ø Ð Ö Ò Sº ÎÓÖ Ð Ò Ò σ Ö Ð Ú Ð Ò Ö Øº Ø Ö σ ÒÚÓÐÙØÓÖ Ó Ö Ò ØÓÔ Ø ÜÔÙÒ Øº ØÖ Ø Ò ÑÐ ØÖ Ø Ð Ð ÀÚ x < y z x + 2z > 2z Ö σ 2 (x, y, z) = σ (x + 2z, z, y x z) = ((x + 2z) 2z, (x + 2z) z + (y x z), z) = (x, y, z).
7 ÀÚ y z < x < 2y y (x y + z) < 2y x < 2y Ö ÀÚ x > 2y σ 2 (x, y, z) = σ (2y x, y, x y + z) = (2y (2y x), y, (2y x) y + (x y + z)) = (x, y, z). x 2y < (x y + z) y Ö σ 2 (x, y, z) = σ (x 2y, x y + z, y) = ((x 2y) + 2y, y, (x y + z) (x 2y) y) = (x, y, z). Áº º σ 2 = Á S º Ø Ö ÙÑ Ð ÖØ Ø Ö ÓÖ Ø Ú ÒØÙ ÐØ ÜÔÙÒ Ø (x, y, z) S Ñ Ð Ø y z < x < 2y Ó Ð Ö x = yº ÑÙÐ ÜÔÙÒ Ø Ö S Ö ÐØ ÓÖÑ Ò (x, x, z) Ó ÓÔ ÝÐ Ö x 2 + 4xz = x(x + 4z) = p. p Ö Ø ÔÖ ÑØ Ð Ñ x = 1 Ó z = k ÚÓÖ p = 4k + 1º Ð Ò Ò Ò σ Ö ÐØ Ò ØÓÔ Ø ÜÔÙÒ Ø ¹ Ò ÑÐ (1, 1, k)º Á º ÚÓÖ Ä ÑÑ Ö S ÙÐ Ó ÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò (x, y, z) (x, z, y) Ö Ð Ð Ø ÜÔÙÒ Ø Sº ÓÖ ØØ Ñ Ð Ø y = z Ó ÐØ Ö x 2 +(2y) 2 = pº Ø Ð Ö ÙÑ Ð ÖØ ÚÓÖ ØÒ Ò Ø Ø Ú ÖØ ÐØ Ð Ö Ö Ø ÔÖÓ Ù Ø ÔÖ ÑØ Ð 1 (mod 4) Ò Ö Ú ÓÑ Ò ÙÑ ØÓ Ú Ö Ø Ö Ø (x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) = (xa + yb) 2 + (xb ya) 2. ÁÒ Ò ÚÓÖ Ú Ö ÓÚ Ò ÓÖ Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ñ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ú Öº Ø ÒØ Ú Ò Ðº º [4] ÓÑ Ý Ö Ô Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ú Ö Ø Ö Ø Öº Å Ò Ò Ù Ò Ô Ö ÐÚ ÓÑ ÓÔ Ö ÚÒ Ò ÔÖ ÑØ Ð 1 (mod 4) ÓÑ Ò ÙÑ ØÓ Ú Ö Ø Ö Ö ÒØÝ ËÚ Ö Ø Ö Ø Ð Ó Ñ ÓÑ ÝØÒ Ò Ó ÓÖØ Òº ØØ Ò Ú Ô Ö Ñ Öº º º Ð Ö Ø ÒØÝ ÔÖ Ñ ØÓÖ Ö Ò Z[i]º ÐÐ Ö ÒØ Ø p = x 2 + y 2 = a 2 + b 2 º Ö ÓÑ Ö ÒÚÒØ Ò ÐØ Ð z z 2 1 (mod p) ÐÙØØ x 2 y 2 z 2 y 2 (mod p) a 2 b 2 z 2 b 2 (mod p).
8 Ö x ±zy (mod p) a ±z (mod p) Ó Ú Ú ÒØÙ ÐØ Ø Ö Ø ØØ y Ñ y ÐÐ Ö b Ñ b Ò Ú ÒØ Ø x zy (mod p) a zb (mod p). ÐØ Ñ xa z 2 yb yb (mod p). p 2 = (x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) = (xa + yb) 2 + (xb ya) 2 Ó p Ö ÓÔ xa + yb Ö p 2 Ö Ö Ú Ø ÓÑ Ò ÙÑ ØÓ Ð ¹Ò Ø Ú Ø Ð Ð Ð Ñ p 2 º Ö ÓÖ Ñ Ø Ø Ð ÚÖ ÒÙк ÀÚ xa = yb Ö x ÓÔ b x Ó y Ö ÔÖ Ñ º Ì Ð Ú Ö Ò ÐÙØØ Ø b Ö ÓÔ xº Áº º x = ±b ÚÓÖ ÓÖ x 2 = b 2 Ó y 2 = a 2 º ÀÚ xb ya = 0 Ø Ð Ú Ö Ò Ø x 2 = a 2 Ó y 2 = b 2 [4]º [1] º Ì ÓÖÙÔ Å Ø Ñ Ø ¾ Ä Ð Ö ¾ºÙ º ¾ºÓÔÐ Å Ø Ñ Ø Ð Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ½ º [2] ̺ Æ ÐÐ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÌÓ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝ Ã Ô Ø Ð ÎÁ º ½¾¾¹½¾ ½ ¹½ ÂÓ Ò Ï Ð Ý & ËÓÒ ÁÒº Æ Û ÓÖ ½ ½º [3] º Ö ÇÒ ¹Ë ÒØ Ò ÈÖÓÓ Ì Ø Ú ÖÝ ÈÖ Ñ p 1 (mod 4) Á ËÙÑ Ó ÌÛÓ ËÕÙ Ö Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÅÓÒØ ÐÝ º½ Ò ½ ¼º [4] ºÍºÂ Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ä ÃÐ Ð Ö À ÌÖÝ ¾¼¼¼º
9 ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö Æ ÓÐ ËØÖ Ò Ë ¹ ØÒ Ò Ò Ö ØØ ÒÙÑÑ Ö ÒØ Ø Ö ÔÐ Ò ÓÑ ØÖ Òº Ö Ö Ø Ð ÓÑ Ø ÓÚ ÖÖ Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ö Ö Ò Ñ Ò ÖÒ Ò ØÖ Òغ A E F G B CM D Ë ¹ ØÒ Ò Òº Ò ÌÖ ÒØ Ñ Ò Ö Ö Ö Ò Ò Ò Ø ÔÙÒ Ø Ó Ð Ö ÖÚ ØÖ ÒØ Ò ÓÔ Ñ Ò Ö ØÖ ÒØ Öº ÒØÖ ÖÒ ÓÖ ØÖ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ú¹ Ò Ö Ð Ö Ð Ö Ô Ò Ö Ðº Ú º Î Ø Ò Ö Ñ ØÔÙÒ Ø ÖÒ ØÖ ÒØ Ò Ö D E Ó F Ó Ñ Ò ÖÒ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ñ Gº Ä Ù Ò O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 Ó O 6 ÚÖ ÒØÖ Ö ÓÖ ÓÑ Ö ÚÒ Ö Ð Ö ÓÖ DBG BFG FAG AEG ECG Ó CDG ÙÖ Òµº
10 A O 4 O 3 K F O 5 E L G O 2 B D O 1 C O 6 M Ä Ò Ò O 3 O 4 Ö Ñ ØÒÓÖÑ Ð Ø Ð AG O 3 A = O 3 G Ó O 4 A = O 4 G º È ÑÑ Ñ Ö O 6 O 1 Ñ ØÒÓÖÑ Ð Ø Ð GDº Ö ÐØ Ú Ò ÐÖ Ø Ô AD Ó Ö Ò ÝÖ Ø Ò Ö 1 AD º Ì Ð Ú Ö Ò Ö O 2 1O 2 Ó O 4 O 5 Ú Ò ÐÖ ØØ Ô BE Ñ Ò ÝÖ Ø Ò 1 BE º 2 Ä K ÚÖ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ø Ñ ÐÐ Ñ Ð Ò ÖÒ O 1 O 2 Ó O 3 O 4 Ó L Ö Ò ¹ ÔÙÒ Ø Ø Ñ ÐÐ Ñ O 4 O 5 Ó O 1 O 6 º ØÖ Ø Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø KO 4 LO 1 º Ò Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ö O 3 O 4 Ó O 1 O 6 Ú º Ò Ö 1 AD Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ð Ö 2 Ar( KO 4 LO 2 ) = 1 2 AD KO 4. Ò Ò Ò Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ò Ö KO 1 Ó LO 4 ÓÑ Ö 1 BE º È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ð Ö ÐØ Ó 2 Ar( KO 4 LO 2 ) = 1 2 BE KO 1. ÐØ Ö ÐÐ Ö AD KO 4 = BE KO 1 KO 1 KO 4 = AD BE. ½µ ½¼
11 Î Ö ÒÙ Ô KO 2 O 3 º Î Ö KO 2 BG, O 2 O 3 FG, KO 3 AG, ÚÓÖ KO 2 O 3 = BGF Ó KO 3 O 2 = FGA. ¾µ Ë Ö Ú KO 2 O 3 Ø O 2 KO 3 = 180 KO 2 O 3 KO 3 O 2 = 180 BGF FGA = 180 BGA = DGB. Ò Ð Ò ÒÒ Ñ C Ô Ö ÐÐ Ð Ñ BG Ö Ö AG Mº Ë Ö MCG = BGF = KO 2 O 3 Ó MGC = FGA = KO 3 O 2, ÚÓÖ Ú Ö ÖÙ Ø ¾µº ÖÑ Ö KO 2 O 3 Ó MCG Ò Ú Ò Ð KO 3 KO 2 = MG MC. µ ÆÙ Ö MCD Ó GBD ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÖ Ö Ò Ú Ò Ð Ó CD = BD º Ë Ö MG = 2 GD = 2 3 AD Ó MC = GB = 2 3 BE. ØØ Ú Ö ÑÑ Ò Ñ µ Ó ½µ Ø KO 3 KO 2 = MG MC = AD BE = KO 1 KO 4, ÐÐ Ö KO 1 KO 4 = KO 3 KO 4. ØØ Ñ Ö Ö Ð ÓÖ ¹ ÒØ ØÒ Ò Ò Ø ÔÙÒ Ø ÖÒ O 1 O 2 O 3 Ó O 4 Ð Ö Ô Ò Ö Ðº È ÑÑ Ñ Ð Ö O 2 O 3 O 4 Ó O 5 Ô Ò Ö Ð Ó O 3 O 4 O 5 Ó O 6 Ð Ö Ô Ò Ö Ðº Ö Ð ÖÒ ØÓ Ó ØÓ Ö ØÖ ÔÙÒ Ø Ö Ø Ð ÐÐ Ñ ÚÖ ÑÑ Ò Ð Ò º Ã Ð Å Ø Ñ Ø Ñ Ò ØÙÖ Ö Â Ò Ö Ø Ò Ò Ó Ð ÅÙÑ Ò º ½½
12 ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö Å Ð Ö Ñ Ò ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ö Ú ØÓ ÓÔ Ú Ö ÚÓÖ ÙÒ Ò Ö Ø Ö Ö Ò Ò Ð ÔÙÞÞÐ ¹ Ø º ÀÙ Ø Ö Ö ÑÙÐ ÓÖ Ø Ú Ò Ò ÑÝ µø Ò ÓÒ ËÙÒ ³¼ µ Ú Ò Ò Ò ÑÒ º À Ò Ú Ö Ö Ø Ð ÓÖ Ò ÑÒ Ó ÖÙ Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ø ØÖ Ø Ó ÙÒ Ö Òº ÅÒ Ò Ú Ö Ö Ú Ø ÓÔ ÙÒ Ú º Ö ÐÐ Ô Ö ÒØ Ö Ó ÓÑÑ Öº ÚÖÖ Ø Ö Ø Ù Ð Ø ËÙÒ Ú Ò Ð ÐÚ Ð Ð µ ÓÑ Ø Ð Ø ÓÔ Ú Ö Ò ÑÒ Ø Ð Ø Ù ÖØ Ø º Í Ð Ú ØÓ Ò Ð Ò Ð Ò Ò Ó Ð ÑÐ Ø ËÙÒ ÑÒ Ò Ù Ø Ðغ Ò Ð Ò Ð ØÓ Ò ÑÐ Ò Ú Ð ÑÙ ÖØ Ó Ò Ñ ÓÐØ Ö Ñ Ó ÑÖ ÐÐ Ö ÐÐ Ô Ö ÒØ Ö ÐØ Ö ØØ º ËÙÒ Ò Ø Ò ÑÒ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÐØÓÚ Ö Ý Ò Ö Ö Ð ÙÒ Ð Ò Ø Ð,,,,,,, ÇÔ Ú Ò ÐÝ Ö ÒÙ ÐÔ ËÙÒ Ñ Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ÑÒ Ò Ó Ö Ö ÓÖ ÒØÝ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ò Ú Ö Ð Ø Ø Ä ÓÖ Ø Ú ÖØ Ò ØÙÖÐ Ø Ø Ð n N σ(n) ÚÖ ÙÑÑ Ò Ú ÓÖ ÖÒ nº ÐØ Ö Ü σ(3) = 4 Ó σ(12) = 28º n Ø ÚÖ ÓÚ ÖÚ Ø Ø Ú σ(n) > 2nº Ø Ò ØÙÖÐ Ø Ø Ð m Ø ÚÖ ÓÖÖ Ø Ú Ø Ò Ö Ú ÓÑ Ò ÙÑ ØÓ ÓÚ ÖÚ Ø Ø Ðº Ö ÓÑ Ö Ò ÓÖÖ Ø Ðº Ö Ö Ø Ò Ð ÓÑ Ö Ö Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ ÚÓÖ ØÓÖ Ò ÚÖ Ó Ò Ö Ø Ò Ð Ø Ø Ö Ø ÓÖÖ Ø Ðº ½¾
13 ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ö Ì Ù ÖÓ ¹Æ ÒÒ Ø Ä Ò Ò Ò Ø Ð Ø ÒÙÑÑ Ö ÔÖÑ ÔÙÞÞÐ Ò Ö ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ Ö Ð Ú ÑÓ Ø Ø ÓÖÖ Ø Ú Ö Ð Ö Ã Ö Ø Ò Ò Ö Ò ÄÓÙ Ä Ø ÊÙÒ Ã Ò È ÐÓ Îº ÀÓÐÑ¹Æ Ð Ò À ÐÐ È Ø Ö Ò Ó Å Ö ÓÐѺ Ø Ö ÓÒ ÙÐØ Ø ÓÒ Ñ Ò Ô Ò Ø Ð Ð Ò Ö ØÓÖ Ö Ö Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø Ö Ñ Ø Ð Ø Ú Ò Ö Ò Ö Å º Ì ÐÐÝ Ò ÑÝ Ø ÔÖÑ ÙÒÒ ÖÐ Ø ÚÖ Ñ Ö ÑÝ Ø º Ø Ö Ö Ò ÑÐ ÓÑ Ò ÅÝ Ø Öݺ Ò Ò ÒØ Ó Ö Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ð º ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½
14 ½
15 ÔÐÓØ ÕÖØ Üµµ ÕÖØ ½¹Ü ¾µ ÕÖØ Üµµ¹ ÕÖØ ½¹Ü ¾µ Ü ¹½ºº½ ÓÐÓÖ Ö Ü ÒÓÒ Ø Ò µ ½
16 Ö ÖÚ Ö Ö ÒÓ Ã ÖÐ Å Ð ½¼¼ Ö ØÚ ÚÐ Ø ÓÖØ Ò ÖÚ Ñ Ö ÖÚ Ö ÓÑÖ Ö ÓÑ Ö Ò ÖÒ Ø Ð ÐÐ Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ Öº ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ú Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ö Ò ÙØ Ö ½ ¾ Ó Ò Ð Ö Ò Ø Ö Ø Ú ÓÖ ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Ò ÓÑ ½ º Ø ØÓ¹ ÐØ Ú ÓÑ Ö Ø Ö Ãº ÔÔ Ð Ó Ïº À Ò ½ Ó Ò Ö ÑÑ Ò Ñ Âº ÃÓ ¾ ÓÖ Ò Ò Ò Ðº Ø Ð Ò Ò Ñ Ò Ò ÑÑ Ö Ú ÓÑ Ò Ø Ò ¾¼ Ö Ø Ö Ö Æ Ð ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Ð Èº Ë Ò Ö È ÙÐ Ë ÝÑÓÙÖ Ó Ì ÓÑ ÊÓ Ò º Ö ØÓ Ò Ø Ø Ð Ò Ð Ú Ö ÓÖ ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Òº Â Ò Ú Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ø ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ú Ò ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ò Ó Ú Ö Ø ÓÚ ÖÓÖ Ò Ø Ò Ð Ú ÖÒ ÐÐ Ö ÑÑ º ÃÓÖØ Î˺ Ö Ò ÖÚÒ Ò Ë ÐÐ Ò ÑØ ÓÖØ Ñ Ö ÖÚ Ö Ö Ö Ø Ñ Ò ØÖ µ Ô ÙÖ Ò Ø Ð Ú Ò ØÖ º Ã Ò ÚÒ ÑØ Ó ËØÓÖ ØÖ Ñ ÑØ Ö ÔÖ Ø Î Ø ÐÐ Ò ÑØ Ó Ö Ö ¹ ÓÖ ÑØ Ö ØÖ Ø ÊÓ Ð ÑØ Ö ØÖ Ø Ó Ø Ø ÖÒ ÓÑÖ Ú Øµ Ö ÖØ Ñ ÖÝ Öº Æ ÓÓÑÖ Ö ÐØ Óѹ Ö Ö ÓÑ Ö Ò ÖÒ Ø Ð ÐÐ Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ Ö Ó Ö ÖÚ Ö Ö Ó Ö Ø Ñ Ò Ø ÒØ Ð ÖÚ Ö ØØ Ö Ø Ð¹ Рغ ÊÓ Ð ÑØ Ã Ò ÚÒ ÑØ Ó Ö Ö ÓÖ ÑØ Ö Ò ÑÐ Ò ÝÖ Ò Ó Ö Ó Ð Ò Ö Ð Ö ÖÙ ØÖ ÖÚ Öº ÓÑÖ¹ Ö Ö ÐÐ ÑÑ Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ø Ø ÖÒ ÓÑÖ Ó ÖÚ Ò ØØ ÓÑÖ Ð Ö ÓÖ ÚÖ ÓÖ ÐÐ Ö ØÖ ÚÖ º Ê Ø Ò ÖÚÒ Ò Ò Ð Ö Ò Ñغ Ë ÙÐÐ Ñ Ò Ú ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Ò Ù Ö ÓÚ Ò Ø Ò ÓÖع ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ùй Ð Ñ Ò Ò Ö ÓÖÑ ÐØ Ú Ö ÓÖ Ø Ú Ø ÓÖغ Ò Ò Ø ÓÒ Ú Ð Ñ Ø ØÓÔÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ø Ò Ó ÓÑÖ Ö Ò ÝÖ ÔÐ Ö Ò º ÓÔÐÝ Ò Ò Ö Ö ÖÖ Ð Ú ÒØ ÚÓÖ ÑÑ Ò Ò º Ò ÖÚÒ Ò Ø ÓÑÖ ÓÖ¹ Ù ØØ Ö ÐÓØ Ò Ø Ð Ò Ó ÖÒ ÖÚ º Î Ò Ö ÓÖ Ñ ÓÖ Ð Ò Ö Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ð Ø ÓÒ R Ô ÑÒ Ò V ÓÑÖ ÖÒ Ú Ø ØÓ ÓÑÖ Ö Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÑØ Ö Ò ÓÓÑÖ Öº Í Ö ÒÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒ ØÖÙ Ö ÑÒ Ò E = {(v, w) vrw, v V, w V }º È ÖÖ Ø G = (V, E) Ð Ò Ù Ð Ö Ø Ð ÓÖØ Øº Ù Ð Ö Ö Ö ÐÓØ Ò Ð ÐÐ ÑÒ Ú Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÓÖ Ø Ú Ö ¹ Ö Ö Ø ÓÖ º Ú Ø Ò ¹ØÓÑ ÑÒ V Ó Ò ÑÙÐ Ú ØÓѵ ÑÒ ½
17 E = {(v, w) v, w V } Ö Ô ÖÖ Ø G = (V, E) Ò Ö º Ð Ñ ÒØ ÖÒ V й ÒÓÖÑ ÐØ ÒÙ Ö Ó V Ø ÚÖ ÒÙ ÑÒ Òº Ð Ñ ÒØ ÖÒ E Ð ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ö Ó E Ø ÚÖ ÒØÑÒ Òº ÓÖ Ó Ö Ð Ñ ÒØ ÖÒ Òع ÑÒ Ò ÙÓÖ Ò Ô Ö ÚÓÖ ÓÖ Ö Ö Ú Ö Ñ Ø Ö Ö ÙÓÖ ÒØ Ö º ÀÚ ÒØ Ò (v, w) Ò v Ó w Ø ÚÖ Ò Ó ÒÙ Öº Ò Ú Ú Ð ÒØ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò ¹ ÖÚ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÒÙ Ø ÖÚ ÒÙ ÖÒ Ò Ù Ð Ö Ñ Ö ÖÚ Ö Ò Ó ÒÙ Ö Ö ÑÑ ÖÚ º Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ú ÓÖ ÐÐ Ò ¹ Öº ËÖÐ Ø Ö Ú ÒØ Ö Ö Ø Ö Ö ÓÑ Ò Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ö Ð Ø Ö Ò ÒØ Ö Ñ Ò Ö Ø Ö Ò ÐÐ Ò ÒÙ Öº ØÝÔ Ö Ö Ö Ð ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ó Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒº Å Ò ÝÒ Ø ÓÖÑ ÒØÐ Ø Ø ÒØ Ö Ö ÓÖ ÒÒ ØÝÔ Ö ¹ Ö Ò ØÓÔ ÓÖ Ò Ð Ñ ¹ ÖÚ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Øº ËÔ ÐØ Ö Ò Ù Ð Ö Ø Ð Ø ÓÖØ Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ó Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ò ÓÚ Ø Ù Ô Ú ÖØ ÓÑÖ Ó ØÓ ÓÚ Ø Ö ÓÖ Ò Ñ Ò ÒØ Ö ÑØ Ö Ö Ô Ø Ú ÓÑÖ Ö Ö Ò ÖÒ Ø Ð ÐÐ º Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ù Ð Ö Ø Ð Ë ÐÐ Ò ÑØ ÓÖØ Ô ÙÖ Ò ÖÓÚ Ö Ø Ð Ö º ÇÑ Ò Ö Ö ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ö Ò ÚÖ ÚÖØ µ ÙÖ ½ µ Ø Ö º Ø Ò Ö Ö ÔÐ Ò Ö Ö Ò ¹ ØÝ Ò Ñ Ø ÑØÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÔÐ Ò Ö º ÇÑÚ Ò Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ò ÙÑ Ð Ö ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ö ÔÐ Ò Öº È ÙÖ ½ µ Ö Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ñ Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒº È ÙÖ ½ µ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ò ¹ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÑÑ Ö º ÔÐ Ò Ö Ö Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ú ÒØ ÓÖ Ó Ö Ñ ÓÑ Ö ÑØØ Ø ÒØ Ö ºÚº ÔÐ Ò Ö Ö Ö ÓÑ Ñ Ø Ö ÔÐ Ò Ö Ø Ø Ò Ú Ø Ø Ð ÐÓØ Ò Òغ Ö Ö Ñ ÒÒ Ò Ð ÓÖ Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Ö Öº Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ô ÙÖ ½ µ Ö Ò Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Ö Ñ Ö ÒÙ Öº Ò ÔÐ Ò Ö Ø Ò Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ò Ù Ö Ö Ò Ò ØÙÖÐ Ò Ð Ò Ø Ò ¹ ÔÐ Ò Ò Öº Ð ÖÒ Ö ÒØ Ö Ö ÒØÑÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ó Ù ØÝÖ Ö Ö Ò Ñ Ø ØÓÔÓÐÓ Ô Øº Ò ÔÐ Ò Ö Ø Ò Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ð Ö Ñ Ò Ø Ö Ò Ö º Ò ¹ ÖÚÒ Ò Ò Ö Ö Ò ÖÚÒ Ò Ö Ò ÒÙ Ö Ñ Ö ÖÚ Ö Ò Ó ÒÙ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ Öº ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ¹ ÖÚ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ¹ Ú Ö ÓÒ Ò ÓÑ ØØ Ö Ð Ø Ö Ö Ö Ò Ö Ö ÓÑ Ò ÚÖ Ù Ð º Ó ÓÖ¹ Ý ÒØ Ö ÓÖÑ Ò (v, v), v V ÓÖ ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÒÙ ÚÖ Ò Ó Ø Ð ÐÚº Ò Ò ÒØ Ð Ò Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ¹ ÖÚ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ¹Ú Ö ÓÒ Ò Ø Ò Ö ÒÙ Ì Ó Ö ÓÑ Ð Öº ½
18 ÀÓÚ ØÒ Ò ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Òµº Ò Ú Ö Ð Ö ÔÐ Ò Ö Ö Ò ¹ ÖÚ º Å Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ò Ú Ö Ò Ð ÓÖ ÐÐ ÒÙ Ö v 1,...,v n ÚÓÖ ÒØ ÖÒ (v i, v i+1 ) 1 i<n Ö ÒØÑÒ ¹ Òº Ò Ö Ø ÚÖ ÑÑ Ò Ò Ò¹ Ö ÑØ Ö Ò Ò Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ú Ð ÖÐ ¹ ÒÙ Öº Ö Ö ÓÑ Ö Ù ÑÑ Ò Ò Ò ØÖ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ Ò ÒÙ v Ö Ò Ð Ö Ò Ø Ö Ø µ µ ÑÑ Ò Ò Ò Ð Ö ÓÑ Ò ÓÐ Ö vº Ð Ð Ö Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ö Ò ÓÑÔÓÒ Òغ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ö Ô ÙÖ µ Ñ Ò ÙÖ µ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò Ù Ñ¹ Ñ Ò Ò Ò Ö º Á Ò ØÒÚÒØ Ò Ö Ò Ò Ú Ñ ÐÐ Ñ º º v 1 Ó v 3 º Ð Ö Ò Ø Ò ÒÙ ÖÒ v 3 Ó v 6 Ó ÒØ Ò (v 3, v 6 ) Ö Ò Ø Ö Ø ÑÑ Ò Ò Ò Ð Ö ÓÑ Ò ÓÐ Ö v 3 Ó v 6 Ó Ö Ö ÓÖ Ò ÓÑÔÓ¹ Ò Òغ Ò Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÑÑ Ö Ð Ö Ò Ñ ÒÙ ÑÒ Ò V = {v 1, v 2, v 4, v 5 } Ó ÒØÑÒ Ò E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 5 ), (v 1, v 4 ), (v 5, v 2 ), (v 4, v 5 )}º Ò ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÚÓÖ Ú Ö Ó Ò Ù Ò Ð µ Ö Ò ØÖ ÒØ ºÚº º Ø Ú Ö Ö ÖÒ Ø Ñ ØÖ ÒØ Öº ÙÖ½ µ Ò Ñ Ò Ø ÑÔ Ð Ô Ò ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò º ÑÖ Ø ÒÒ Ö Ó Ö Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Öº ØØ Ö Ò Ò Ø Ð Ð º Ò Ú Ö ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò º ÒØ Ø ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Ò Ð Öº Ö Ò ÐØ ÔÐ Ò Ö Ö Ö ÓÑ Ò ¹ ÖÚ º Ö Ö Ö ÑÓ ÑÔÐ Ö Ø Ð Ì Ó Ö Ö ÓÖ Ð Ö ÔÐ ¹ Ò Ö Ö Öº ØÖ Ø ÑÒ Ò ÐÐ ÑÓ ÑÔÐ Öº Å Ò Ò Ð ÑÒ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ð Ö Ú ÑÔ ÐÚ ÐÓØ Ø ØÖ Ø ÑÓ ÑÔÐ ÖÒ Ñ ÖÖ Ø ÒÙ Ö ÐÐ Ö ÖÖ Ø ÒØ Ö ÑºÚº Ö Ö Ñ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ Ö Ò Ò ÓÖ Ø Ò º Ì Ð ÚÓÖ ÖÙ ØÖ Ø Ö Ú ÑÓ ÑÔÐ Ö ÓÑ Ö ÖÖ Ø ÒÙ Öº Ö Ñ Ò Ñ Ð ÒØ ÐÐ Ø ÒÙ Ö Ó Ð Ò ÖÙÒ Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔ¹ Ð Öº Ö ÖÒ ÒÒ Ð Ö Ð Ð ÑÑ ÒØ Ð ÒÙ Ö Ó Ö Ò Ò Ø ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ñ ÖÖ ÒÙ Ö Ò ¹ ÖÚ Ó ØØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ñ Ò Ñ Ð Ø Ø Òº Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ø Ð Ì Ñ Ö Ö Ø Ó Ø ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ñ ÑÑ ÒØ Ð ÒÙ Ö Ó Ö Øº Ò ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ø ÓÒ ½º Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ø Ð Ì Ö Ò ÔÐ Ò Ö Ö G ÓÑ Ò ¹ ÖÚ Ó ÓÖ Ò Ú Ö ÔÐ Ò Ö Ö G ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö Ø G (V ) < G(V ) Ò G ¹ ÖÚ º ÆÖ Ñ Ò ÒÙ Ú Ð Ú Ø Ì Ð Ö Ö ÚÓÖ ÑÐ Ø ÑÐ Ñ Ò ÓÔÐÝ ¹ Ò Ò Ö ÓÑ ÑÙÐ Ø ÓÑ Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ó Ô Ø Ö Ø Ð ØÖ Ð Ø Ð Ø Ú Ø Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ò º ½
19 Ò ÙÒ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ú Ö Ø Ø Ö Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ó ÖÑ Ø Ò Ú Ö ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ ¹ Ö Ò º Î Ò Ö Ö Ö Ò Ò ÒÙ v Ø Ð Ø ÚÖ ÒØ ÐÐ Ø ÒØ Ö ÓÑ v Ö Ò ÒÙ ÓÖº Ð Ð Ö Ö Ò Ò ÒÙ v Ó ÒØ ÐÐ Ø Ò Ò Ó Ö Ó Ò ÒÙ Ö k Ð Ò ¹ ÒÙ º Ò Ö Ö Ò Ú ÓÑ Ø ÖØ Ö Ó Ò Ö ÑÑ ÒÙ º ÄÒ Ò Ò Ö Ö ÒØ ÐÐ Ø ÓÖ ÐÐ ÒÙ Ö Ö Òº Ò Ö ÐÒ k Ð Ò ¹ Ö º Ø Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ö Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Ñ Ö Ö Ø Ú Ú ÔÖ Ø ÚÓÖ Ò Ò ÓÐ Ø Ø Ð Ò k¹ ÒÙ Ö Ù º Æ Ó ÖÒ Ò¹ Ò Ö Ò ÑÐ Ò Ö ÐÒ k ÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ÙÖ Ò Ø Ð Ú Ò ØÖ º ÖÒ Ö Ñ Ò Ö Ò ÒÙ Ö Ö Ö Ò Ó ÐÐ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ò ÒÙ Ö ÓÖ Ö Ñ Ò Ò ÒÝ Ù ÑÑ Ò¹ Ò Ò µ Ö Ø Ò ØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÚÓÖ ÓÖ Ö Ò Ö ÐÐ Ò º Á Ø Ø Ð Ð ÓÑ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ÙÖ Ò Ú Ð Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÐÓØ ÒÙ Ò v Ò ÐÐ Ò Ö ØÖ Ò Ó ÖÒ º ØØ Ö Ñ Ð ÖØ ÙÒ Ø Ô ÐØ Ø Ð Ð ÓÖ Ö Ò Ó ÐÐ Ö Ò Ø ÖÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Ò Ú Ö ÙÒ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ò ÐÐ Ò Ö ÐÒ ØÖ ÐÐ Ö Ö º Ø Ö Ø Ø Ð Ð Ú Ò Ö Ñ Ò Ú Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ò Ò º Ò Ú Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ Ò ¹ Ö Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö ÓÑ Ö Ò ¹ ÒÙ Öº Ò Ö Ñ ÒÒ Ò Ð ÒØ ÖÒØ ¹ ÑÑ Ò Ò Ò º ØØ Ö Ø Ð Ð Ø Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ¹ ÑÔÐ Ö Ò Ò ÒÙ Ö Ö Ö ØÖ ÐÐ Ö Ö ÓÖ ÐÐ Ö Ú Ð Ö Ò Ó Ö Ù Ö Ò ÐÐ Ò Ö ÐÒ Úº ØÖ ÐÐ Ö Ö º ÓÖØ ÓÖØ ººº Ø ÑÐ ÓÔÐÝ Ò Ò Ö ÓÑ ÚÓÖ Ò Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ö Ù Ô ÐÐ Ö Ò ÒØÖ Ð ÖÓÐÐ ¹ ÖÚ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Øº Î ØÖ Ø Ö Ò Ð Ö G Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð T Ó ÖÓ Ø Ø ¹ ÖÚ Ö Ò Ù Ø ÚØ T \G Ó Ù Ú Ö ÒÒ ¹ ÖÚÒ Ò Ø Ð Ò ¹ ÖÚÒ Ò T º ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò Ø ÖØ Ö Ú Ö Ö Ñ Ø Ö ÒÙ Ö ÓÑ Ó ØÖ Ú ÐØ Ò ¹ ÖÚ º ÀÚ ØØ ÐÝ Ò ÒÒ Ö Ñ Ò Ñ ÔÔ ÒÓ Ð Ð Ö Ö ÓÑ Ò ÚÖ Ò ÓÐ Ø Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ðº ÓÖ Ø ÙÒÒ ÖÙ ÒÒ Ñ ØÓ ØÖ Ø Ö Ú Ð Ö Ö Ñ Ú Ò Öº ÒØ Ú Ö Ò ¹ ÖÚÒ Ò G Ó ØÖ Ø ØÓ ÒÙ Ö v 1 Ó v 2 G. ÀÚ ÒÙ Ö Ö Ò Ó ÒÙ Ö T Ñ Ò G Ö Ñ Ø ÑÑ ÖÚ ¹ ÖÚÒ Ò Ò G Ó Ú Ö ÚÖ ÒÖ Ú Ð Ù Ú ¹ ÖÚÒ Ò Ò G Ø Ð Ò ¹ ÖÚÒ Ò T º Î Ò Ö Ö ÓÖ Ø ÙÒ ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ö Ö Ð Ö Ö Ú Ò Ö Ò Ø ÓÒ ¾º G Ö Ò Ò Ù Ö Ø Ð Ö Ò Ñ Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Ö T Ö ÑØ ½
20 G Ö Ò Ð Ö T Ó Ú Ö ÒØ T Ñ Ò ÒÙ Ö G(V ) Ö Gº ÆÖ Ú ØÖ Ø Ö Ò Ò Ù Ö Ø Ð Ö Ö Ú ÖÙ ÓÖ Ø Ú ÚÓÖ Ò Ð¹ Ö Ò Ö Ò ÓÐ Ø Ò ÓÔÖ Ò Ð Ö º Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ø ÚÖ Ø ÓÑ Ù ØÝÖ Ö Ò Ò Ù Ö Ø Ð Ö Ñ ÓÔÐÝ Ò Ò Ö ÓÑ ÒÙ ÖÒ Ö Ò ÓÔÖ Ò ¹ Ð Ö º Ò Ø ÓÒ º Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ù Ö Ø Ð Ö G T Ù ØÝÖ Ø Ñ Ò Ð Ò Ò γ : G(V ) N v G(V ), γ(v) = grad T (v) ÚÓÖ grad T (v) Ö Ö Ò ÒÙ Ò v T º Ò Ø ÓÒ º Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (G, γ) Ò Ö T Ö ÑØ G Ö Ò Ò Ù Ö Ø Ð Ö T Ó Ú Ö ÒÙ v G Ö Ö γ(v) T º Ø ÑÔ Ð Ô Ò Ñ Ø ÑÔ Ð ÓÒ Ù¹ Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÒÙ Ö ØÖ º Î Ú Ö Ö Ø Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ò Ò ¹ ÒÙ Öº Ä Ö ÓÖ G m ÚÖ Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ó Ð v ÚÖ Ò ¹ ÒÙ º ËÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ¹ ÙÖ Ò ÒÒ Ö Ò Ó ÖÒ ÓÑ Ö Ò v Ò 3¹ Ö ÓÑ Ö Ò ÐÐ Ò ¹ Ö Ø Ö Ò Ò¹ Ö Ö ØÓѺ ØÖ Ø ÒÙ Ö Ò G m \ {v} ÙÖ ¾ ÚÓÖ Ñ Ò ÖÒ Ö v Ö Ò ÓÔÖ Ò Ð Ö ÑØ ÐÐ ÒØ Ö ÓÑ v Ö Ò ÒÙ ÓÖº ÒÒ Ö Ö Ò ÒÙ ÖÖ Ò G m Ó Ò Ò Ù Ø ÚØ ¹ ÖÚ ÚÓÖ Ò Ó ÖÒ Ø Ð v Ö ØÖ ÓÖ ÐÐ ÖÚ Ö Ö Ò ÝÖ Ò Ó Öº È ÙÖ Ò Ö Ò Ó ÖÒ Ø ÖÚ ÖÒ Ö Ö Ò Ó Ð Ó Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ö Ö Ø Ó Ø Úº ÒÒ ¹ ÖÚÒ Ò Ò Ù Ú Ø Ð Ò ¹ ÖÚÒ Ò G m ÚÓÖ v Ö Ò Ö ÖÚ º G m Ò Ö ÓÖ ÚÖ Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ó ÖÑ Ö Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ¹ ÑÔ Ð Ò Ò 3¹ ÒÙ º ÓÖÑÐ Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò Ò Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ¹ ÑÔ Ðº Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ñ ÒÒ Ò Ð Ö Ù Ðº Ò ÒÙ Ö ØÖ Ö Ò Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº ÇÑ Ð Ø Ú Ö Ø Ò Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ú Ò ÚÒ Ö Ó Ñ ÒØ Ö Ò Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ò Ñ Øµ Ø ÖÑ ¹ Ò Ö Ø Ó Ñ Øµ ÓÔ Ò ÓÑ Ô Ö ÓÒ Ò ÖÑ ØØ Ò Ó ÝÒ Ø Ð Ø Ö Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Öº Å Ò Ø Ö ÒÓ º ÓÖ ÐÚÓÑ Ñ Ò Ò ÒÒ Ø Ð ÓØ Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ö Ø ÙÒ ÒÓ Ø ÓÑ ÚÓÖ Ò Ø Ñ Ò ¹ Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ö Ù º ÀÚ Ñ Ò Ö ÑÓ Ò Ú Ø ÑÒ Ò ÙÒ Ò Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ö ÙÙÒ Ð ºÚº Ø Ñ Ò Ø Ò ÓÒ ÙÖ ¹ Ø ÓÒ ÖÒ ÑÒ Ò Ò Ö Ø Ú ÖØ Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ö Ñ Ò ÑÓ Ú Ø Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ ÑÔÐ Ö Ó Ö Ú Ø ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Òº ÓÖ ØØ Ö Ð Ò Ò ØÓ Ø Ð Ò Ð Ú Ö ÓÖ Ìº ÔÔ Ð À Ò Ó ÃÓ Ö Ø ÓÑ Ò Ó ÊËËÊ Ò Ö Ö ÑÚ Ø Ò ÙÙÒ Ð ÑÒ ¹ Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Öº Ò Ö ØÒÚÒØ Ò ÓÐ Ø ½ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ¾¼
21 Ñ Ò Ò Ò Ø ÙÒ Ò ÓÐ Ø º Ö Ô ÐÐ Ò ØÓÖ ÖÓÐÐ ÓÖ Ò Ð Ö ¹ à ÑÔ ¹ Ö ÙÑ ÒØ Ö ÑÑ Ò Ñ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ð Ú Ö ÙÖØ Ø ÙÓÚ Ö Ù Ð º Ê Ù Ð Ø Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ø ÓÑÔÙØ ÖÔÖÓ Ö Ñº Ä Ð Ú ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÖÒ ÙÙÒ Ð Ø Ú ÐÔ Ò ÓÑÔÙØ Öº Ñ ÒØ Ó Ö Â Ú Ö ÓÑ Ð Ø Ö Ù Ð Ø Ø Ò Ò Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ú Ø ÖÚ Ö Ñ Ð ÖØ Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ã ÑÔ ¹ Ö ÓÑ Ú Ð Ø ÖØ Ñ Ø ÔÖ ÒØ Ö º ØÖ Ø Ò ¹ ÖÚ Ø ÔÐ Ò Ö Ö G Ó ØÓ ÖÚ Ö Ó º Ð Ö Ò G Ø Ò ÒÙ Ö ÖÚ Ø Ñ ÐÐ Ö Ó ÐÐ ÒØ ÖÒ Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ö ÐÚ Ò ÔÐ Ò Ö Ö º Ø Ö Ó ÖØ Ø G Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ó G ØÖ Ö ÓÖ Ò ÐÐ Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÖ ¹ à ÑÔ ¹ Öº Ö Ø Ã ÑÔ ¹ Ö Ø ÑÑ Ö Ö Ã ÑÔ ÓÖ Ô Ø Ú Ì ½ Ó Ð Ú Ö Ö ÖÙ Ø Ò Ð Ò Ò ¹ ÖÚ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Øº à ÑÔ Ú Ð Ú Ö Ø Ò Ö Ò Ø ÓÑ ÚÖ Ò Ø Ú Ø Ð ¹ ÖÚ ¹ ØÒ Ò Ò Ñ Ò Ò ÓÐ Ø Ñ Ð ÖØ Ò Ð Ø Ð Ú ÔÔ Ø Èº º À ÛÓÓ ½ ¼º ØÖ Ø Ò ¹ ÖÚÒ Ò Ò ÔÐ Ò Ö ÑÑ Ò Ò¹ µ µ Ò Ö ÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ÙÖ Ò µ Ø Ð Ú Ò ØÖ º Ð Ò Ø Ö ÖÚ Ö Ö ÖÚ ÖÒ ÓÖØ Ó Ú º È ¹ ÙÖ Ò Ö ÒÙ ÖÒ ÖÚ Ø Ñ Ò ØÓ ÖÚ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ñ ØÓÖ Ú ÐÐ Ö ÓÖØ Ö Ð Öº ÚÖ ÒÙ Ö ÖÚ Ø Ñ Ò ØÓ Ò Ö ÖÚ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ò Ñ Ñ Ö Ð Öº Ò ÔÐ Ò Ö Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ö Ò G ÓÖØ Ú Ô ÙÖ µ Ó ØÖ ØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº ÀÚ Ö Ö Ò ÓÖع Ú Ã ÑÔ ¹ º à ÑÔ ¹ Ö ÖÙ Ø Ð Ø Ò Ö Ò ¹ ÖÚÒ Ò Ò Ö Ú Ø ÝØØ ÓÑ Ô ÖÚ ÖÒ Ò Ð Ã ÑÔ ¹ º ÓÖ Ò ÓÑ Ú Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ø Ñ Ö ÒÙ ÖÒ ¹ à ÑÔ ¹ Ò Ò Ò Ó Ò ÓÔÖ Ò Ð Ö ÖÚ Ø Ó Ó ÓÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ð Ò ÑÑ ¹ à ÑÔ ¹ º ØØ ØÝ Ö ÓÖÑ ÐØ Ø Ñ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ö ÖÚ ÖÒ Ó Ò ¹ à ÑÔ ¹ Ù Ò Ø ÖÝ ¹ ÖÚÒ Ò Ò Ò ÓÔÖ Ò Ð Ö º Å Ò Ö Ò ØÙÖÐ Ú Ò Ò Ò ¹ ÖÚÒ Ò Ö Ò Ñ Ò ØÓ Ñ Ò Ö Ö ÒÒ ¹ ÖÚÒ Ò ÝÐ º Î ÓÖØ ØØ Ö Ñ ÚÓÖ ÑÔ Ð Ó ÝØØ Ö ÓÑ Ô ÖÚ ÖÒ ÓÖØ Ó Ú Ò Ò ÓÖع Ú Ã ÑÔ ¹ º Ò Ò Ò Ð Ö Ú Ø ÙÒ Ö Øº Ò Ö ÔÖ¹ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÒÝ ÖÚÒ Ò Ô ÙÖ µº Ò ÓÔÖ Ò Ð ¹ ÖÚÒ Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ð Ú Ö Ò Ó ÐÐÙ ØÖ Ö Ô ÙÖ µº ËÓÑ Ø ÑÔ Ð Ô Ò Ñ Ö Ú Ò Ö Ø Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ö Ú Ö Ó Ñ Òغ Ö Ó Ñ ÒØ ØÖ Ò ¹ ÒÙ Ñ ØÖ Ô Ò Ò Ò Ð Ò Ò Ó ÒÙ Ö Ö Ñº ÒÙ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú ÓÖØ ÒÙ Ö µ µ ¾½
22 ÙÖ Ò Ò Ò ÓÖ Ø Ð Ö º ÒÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÓÔ Ð Ø Ø Ö º º Ö Ó ÓÑ Ö Ú Ø ½ ½ Ø ÒÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ¹ ÑÔ Ðº Â Ò Ú Ö Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ Öº ÒØ Ø Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÐ Ø Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð G m ÐØ Ø Ö Ò G m Ò ÓÐ Ö Ò ¹ ÒÙ ÓÑ Ö ØÖ Ò Ó Ö Ö Ñº Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ G m ÐÐÙ ØÖ Ö Ô ÙÖ Ò Ø Ð Ö Ó ÓÒ ØÖÙ Ö Ù Ö Ø G m Ö Ñ ¹ Ñ Ð ÔÐ Ò Öº È ÒÒ Ö ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÓÖ¹ Ø ÒÙ Ö Ö Ñº Ä C Ø Ò ¹ Ö Ò v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 1 º Î Ú ÒÓ Ø ÓÑ Ö ÖÒ ÒÙ ÖÒ C Ñ Ò Ú Ö ÑÓ Ø Ö Ò C Ö Ò ÐÐ Ò ¹ Ö º ØÖ Ø Ö Ò G m,y ÚÓÖ Ñ Ò ÖÒ Ö Ø Ò¹ Ö ¹ Ö Ò G m ÐØ ÚÓÖ Ñ Ò ÖÒ Ö ¹ ÒÙ ÖÒ Ö Ö Ó Ñ ÒØ ÓÖØ ÒÙ Öµ Ó ÐÐ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ò ÒÙ Ö ÓÖº Î ÓÒ ØÖÙ Ö Ö Ò ÒÝ Ö G m,y Ù Ö G m,y Ô Ð Ò Ñ ÃÒÙ ÑÒ Ò G m,y Ö G m (V ) \ {v 2, v 4 } {v 2,4 }º à ÒØ ÖÒ G m,y ÓÑ Ú Ö Ò Ö v 2 ÐÐ Ö v 4 ÓÑ Ò ÒÙ Ö Ñ ÒØÑÒ Ò G m,y Ñ Ò Ò Ó ÖÒ Ø Ð v 2 Ó v 4 G m,y Ð Ú Ö Ò Ó Ö Ø Ð v 2,4 G m,yº à ÒØ Ò (v 2,4, v 6 ) Ø Ð ÒØÑÒ Òº Ò ÒÝ Ö G m,y Ö Ò Ú Ð Ø Ù Ñ Ò Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ò Ò Ð¹ Ñ Ò Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÖ º Ö ÒØ Ò (v 2,4, v 6 ) Ö Ø Ð Ø Ö Ú ÐÓØ ÒØ Ö Ø ÒÙ ÖÒ v 2 Ó v 4 ÒÙ Ò v 2,4 º ØØ ØÝ Ö Ø Ú Ö Ñ ÐØ Ø ÒÙ ÖÒ ÑÑ Ò Ò Ó ÑÑ ÒÙ Ó Ø ÒØ Ö ÒÙ Ö Ò Ó Ö Ð Ú Ö Ò Ó Ö Ø Ð Ò ÒÝ ÒÙ º Ò ÔÐ Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ G m,y Ø Ð Ú Ò¹ ØÖ Ò ÐÔ Ð Ö Ò Ñ Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÒ º Â Ô ØÖ ÒÙ Ø G m,y Ö Ò Ð Ö Ó ÔÐ Ò Ö Ö º ÀÚ v 2 Ó v 4 Ú Ö Ò Ó ÒÙ Ö G m Ú Ð ÔÐ Ò Ö Ø Ø Ò G m ØÚ Ò¹ v 3 Ø Ð Ø ÚÖ Ò ¹ ÒÙ Ú Ð Ø Ú Ö Ú Ø Ö Ò ÓÐ Ø Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ¹ ÑÔ Ðº Ö ÓÖ Ò ÒØ Ò (v 2,4, v 2,4 ) ÚÓÖ ÓÖ G m,y Ö Ð Ö º ÈÐ Ò Ö Ø Ø Ò Ö ÙÖ Ò Ø Ð Ú Ò ØÖ º Ò Ú Ö Ö G m,y ÖÖ ÒÙ Ö Ò G m º Ö Ò G m,y Ò Ö ÓÖ ¹ ÖÚ Ò Ù Ø ÚØ Ó Ú ¹ ØÖ Ø Ö Ò ¹ ÖÚÒ Ò Òº v 1, v 6, v 2,4 Ö Ò ÝÖ Ò Ó Ö Ð ØÖ ÖÚ Ò ÖÙ Ô Ñº À Ö Ú ÖÚ Ò Ö ÓÖØ Ð Ó Ö Ò Ø Ð Ø ÖÚ Ñ Ò Ú ÒØ ¹ Ø v 1 ÑÔ ÐÚ Ö ÖÚ Ø Ö v 2,4 Ö ÖÚ Ø Ð Ó Ø v 6 Ö ÖÚ Ø Ö Òº Ö ¾¾
23 Ö Ñ Ò ÑÙÐ Ö ÓÖ Ò Ö ÒÙ Öº ÃÒÙ Ò v 3 Ö Ø Ò ÖÚ Ð Ò Ø Ö ÓÖØ Ó Ö Ò Ó ÒÙ Ò v 5 Ö ÒØ Ò Ø Ö ÐÐ Ö ÓÖغ Ò ¹ ÖÚÒ Ò G m,y Ò Ù Ö Ö Ò ÓÖ Ð ÐÚ ¹ ÖÚÒ Ò G m ÚÓÖ ÒÙ ÖÒ v 2 Ó v 4 Ö ÑÑ ÖÚ º Ø Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø ÓÚ Ò Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö Ö v 2 Ó v 4 Ò ÚÖ Ò Ó ÒÙ Ö G m º Î Ñ Ò Ð Ö ÒÙ ÐÓØ Ø ÖÚ Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ø Ö Ð Ò ØÓÔ Ø Ú Ö ÒÙº Î Ò ÓÖÙ Ñ Ö Ó Ö Ö ÓÖ Ò Ø Ø Ð Ø Ô ÐÐ ÑÙÐ Ö ÓÑ ÑÙÐ ÖÚÒ Ò Ö v 3 Ó v 5 Ñ Ö Öº ÑÙÐ Ö Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ÙÖ º Ø ÙÖØ Ø Ø Ú Ö Ø Ò Ù Ú Ð Ò ÐÚ ¹ ÖÚÒ Ò Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÙÑ Ð Ö ÐÐ Ø Ð Ð Ò Ô ÒÖ Ø Ð Ð Ø ÚÓÖ v 3 Ó v 5 Ö ÖÚ Ø Ö Ø Ð Ð Ø µµº À Ö Ð Ú Ö Ú Ò Ø Ø Ð Ø ÒÚ Ò Ø Ã ÑÔ ¹ Ö ÙÑ Òغ ÀÚ v 3 Ó v 5 Ö Ò Ð Ò ÑÑ Ö ¹ ÓÖØ Ã ÑÔ ¹ ØÖ ÒÒ ÒÙ Ö Ø Ý¹ Ö Cº Ò Ö Ò¹ Ð Ã ÑÔ ¹ ÓÑ v 4 Ö Ò Ð Ú Ð Ö ÓÖ Ú ÐÐ ÒÙ Ö Ñ Ò Ö ¹ ÓÖØ Ã ÑÔ ¹ ÓÑ v 3 Ó v 5 Ö Ò Ð º Ö ÓÖ Ö Ö ÔÐ Ò Ö Ø Ø Ò G m Ø v 2 Ó v 4 Ö Ò Ð Ò ÑÑ Ö Ò¹ Ð Ã ÑÔ ¹ º Î Ò Ö ÓÖ ÝØØ ÓÑ Ô ÖÚ Ò Ò Ö Ò¹ Ð Ã ÑÔ ¹ ÓÑ v 4 Ö Ò Ð Ó Ú Ö Ò ÒÝ ÐÚ ¹ ÖÚÒ Ò G m ÚÓÖ v 4 Ö Ö Ò Ó Ú Ò Ù Ú ÒÒ ÖÚÒ Ò Ø Ð Ò ¹ ÖÚÒ Ò G m ÓÑ ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ÙÖ Ò Ø Ð Ö º ÀÚ v 3 Ó v 5 Ö ÑÓ Ö Ò ÑÑ Ö ¹ ÓÖØ Ã ÑÔ ¹ ØÖ Ø Ö Ú Ò Ö ¹ ÓÖØ Ã ÑÔ ¹ ÓÑ v 3 Ö Ò Ð º ÀÚ v 1 Ö Ò Ð Ò ÝØØ Ö Ú ÓÑ Ô ÖÚ Ò Ó Ö Ò ÒÝ ÐÚ ÖÚÒ Ò G m ÚÓÖ v 3 Ö ÓÖغ Î Ò ÒÙ Ù Ú Ø Ð Ò ¹ ÖÚÒ Ò G m ÓÑ Ø Ð Ð Ø µ ÐÐÙ ØÖ Ö Ø Ô ÙÖ º Î Ñ Ò Ð Ö ÒÙ Ø Ø Ð Ð ÚÓÖ v 1 Ó v 3 Ö Ò Ð Ò ÑÑ Ö ¹ ÓÖØ Ã ÑÔ ¹ Ó v 5 Ö Ò Ð Òº Á ØØ Ø Ð Ð Ò Ú ÝØØ ÓÑ Ô ÖÚ Ò Ò Ö ¹ ÓÖØ Ã ÑÔ ¹ ÓÑ v 5 Ö Ò Ð º Á ÒÒ ÒÝ ÖÚÒ Ò Ö v 5 ÓÖØ ÚÓÖ ÓÖ Ú Ò Ö Ñ Ø Ð Ð Ø µ ÙÖ º Î Ö ÚÖ Ø ÐÐ ÑÙÐ ÖÒ ÒÒ Ñ Ó Ò ÖÑ ÓÒ ÐÙ Ö Ø Ö ¹ Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ø Ñ Ò Ñ ÐØ ÑÓ ÑÔ Ð Ó Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ò Ö Ù Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ä ØØ Ö ØÙÖÐ Ø ½ ú ÔÔ Ð Ò Ïº À Òº Ú ÖÝ ÔÐ Ò Ö Ñ Ô ÓÙÖ ÓÐÓÖ Ð Ô ÖØ Á Ö¹ Ò º ÁÐÐ ÒÓ Âº Å Ø ¾½ ¾ ¼ ½ º ¾
24 µ µ µ µ µ µ ÙÖ ¾ ú ÔÔ Ð Ïº À Ò Ò Âº ÃÓ º Ú ÖÝ ÔÐ Ò Ö Ñ Ô ÓÙÖ ÓÐÓÖ Ð Ô ÖØ ÁÁ Ê Ù Ð Øݺ ÁÐÐ ÒÓ Âº Å Ø ¾½ ½ ½ º º Ö Ó º Ì Ö Ù Ð ØÝ Ó Ñ Ô º Ñ Öº º Å Ø º ½½ ½¾ ½ ½ º ʺ º Ï Ð ÓÒº Ö Ô ÓÐÓÙÖ Ò Ò Ø ÓÙÖ¹ÓÐÓÙÖ Ø ÓÖ Ñº ÇÜ ÓÖ ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼¾º Æ Ð ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Ð Ë Ò Ö È ÙÐ Ë ÝÑÓÙÖ Ò ÊÓ Ò Ì ÓÑ º Ì ÓÙÖ¹ÓÐÓÙÖ Ø ÓÖ Ñº º ÓÑ º Ì ÓÖÝ Ë Ö ¼ ½µ ¾ ½ º Ì ÓÑ Ë ØÝ Ò È ÙÐ Ã Ò Òº Ì ÓÙÖ¹ÓÐÓÖ ÔÖÓ Ð Ñº Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ ½ º ¾
25 Ø ÖÖ ÖÝ Å ÖØ Ò Ñ ÙÖ Ñ Ù ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¾
26 ½ ÅÙ Ð Ñ Ô Ð Ö Ñ Ö Ä Ñ ØÓÖ Ú Ð ½½ ÓÖ ÓÔØÖ Ö ÖÒ Ò Ò Ò ¹ Ø Ú ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ½ ¾¼¼½ ¾¼¼ ½ Ë Ò ÖÚÒ Ò ½ Ð Ó ÓÖ ÀÓÐÐ Ò ½ Í Ø ÖØ Ö Ø Ö Ø ÐÝ ¾¼ Ð ¹ Ó Ö Ò À Ú Ö Ú Ö ÒÓ Ø ÚÖ ÚÐ Ñ Ð ÖÓÚµ ¾½ Å ÒÓ Ù Ë Ø Ö Ø Ð ÃÝÐ ¾ Ò ÓÖ ÐØ Ð Ð Ø Ô ØÓ Ø ÖÒ Ò Ö ¾ Î Ö ÓÑ Ö Ñ Ò ØÖ Ö Ö Ö Ñ Ö Ø Ø ÐÐ Ô Ò ÓÒ ¾ Æ Û ÓÖ ¾ Ö Ð ØÝÔ ØÝ Ò Ò Ò Ö Ð ÓÒ ÓÖÒ Ø Ð ¾ ÃÓÑ ÎÓÐØ Ö ËÔ Ð Ö Ò ¹ Ö Ø Æ Ç Ñ Ã ÙÐ Ö Ö Ö Ðº º ÒÒ Ñ Ù ÒÒ Ð ÓÙÖÒ Ð Ø Öµ ÓÖ Ø Ø ØØ Ù Ú Ð Ò Ò Ò Ö Ó Ù Ò Ò Ò ÔÖ ÅÓ Ð Ø Ò Ö Ò ÐÓ ÐØ Ý Ø Ñ ÓÖ ÑÓ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÃÚ Ò ¼ ÓÒ Ø Ö Ò Ö Ø Ú ÓÒ ÓÒ Ò¹ Î Ò Ö Ø Ø ÐÝ Ö ÙÒÒ Ö Ø ØØ ÞÞ Ô ÞÞ ½ ÁÒ Ý Ø ÒÓ¹ ÒÖ ¾ ÁÒ Ø Òع Ö ÒÝØØ ÓÖ ØÙ Ö Ò Ò Ì ÖÙÑ Ô 10 9 ËÓÑ ØÖ Ö ÐÙع Ò Ò Ö ÙÒ Ô Ò ÚÙÖ Ö Ò Ö ¼ ÃÓÑ Ø Ö Ð Ú ÓÔ Ø ¾¼»½ ½ Ó ÓÔ Ð Ø Ø Ö Ò ÓÔ Ö Ò Ô Ò Ñ Ø Ö ØÖÓÒÓÑ Ø Ð Ò Ö Ò Ð Ò ËÓÑ Ø ØØ Ö ÚÓÖ Ò ÒÓ Ø Ö ÚÖ ÑÓ Ø Ö ÔØ Ú Ê ÓÙÖ Ò Ò ÐÓÚÔÖ Üº Ò Ò ÓÖ Ñ Ò Ñ Òص Ð ØÖ ¼ Ä Ò Ó ÓÖ Ø ÐÐ Ú Ø Ø Ò Ê ÔÙ Ð Ò Ã Ö Ø Ö Ò Ù Ò ½ ½ Ñ Á Ñ Ú ¾ Ä ÐÐ Ý Ø Ý Ô ÒÓÖ Ò Ù Ð Ò Ð¹ Ò Ë ÐÓÑÓÒ ÖÒ Ç Ò Ò Í ÖÒ Ò ÚÓÖÙÒ Ö Ò ÐÐ Ö Ö Ô Ö ÓÒ Ö Ð Ð ÄÝ ÓÐ Ö Ò ÓÖ ÓÖØ Ð ÓÖ ØØÓ ¼ ÒØ Ð Ñ ÒÓ ÝÖ ÓÑ ÑÔ ÐÚ Ñ Ó Ñ Ò Ð Ö Ö Ô ½ Ú ¾ Ö ÙÑ Ö¹ Ö Ò Ù Ì ØÙÐ ØÙÖ ÓÖ Ö Ð ÒØ Ø Ø Ö ÝÐ Ó Ô ÐÑÙ ÎÓÐ ÑÓÖØ Å Ø Ð Ñ Ö Ø ØÖÓÐ Ñ Ò À ÖÖÝ ÈÓØØ Ö ¹ ÖÒ À Ò Ù Ð Ñ Ö Ð Ø Ö Ó Ø Ö Ð Ø Ò Ð ÓÔÙ µ ËØÖ Ñ Ë ÐÚ ÓÖ Ä Ò ¼ ÒÓÖ Ò Ò Ö Ú Ö ÐÝ Ô Ý Ð Ò Ù Ò ÖÙ ØØ Ö Ö ¾ Í ÓÖÑÙ Ò ÓÚ Ö ÖØ ØÝ Ò Ò ÓÑ Ò Ô Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ö Ñ Ø Ö Ö Ø ÖÝ ÖÙÒ Ø Ñ Ä Ò ÓÑÖ Ö ÑÓ Ú ÓÖÔÐ ¹ Ø Ð Ö Ø Ð Ð Ò Ð Ñ Ò Ò Ö Ø Ò Üº ÓÒ Ò Å Ö Ñ Ì ÖÖ ØÓÖ ÙÑ ÓÑ Ø Ð Ø ÖÖ Ð Ö ÒÒ Ñ Ø ÖÒ Ö Ò ÐÙ Ö Ø Ð Æ¹ÌÝ Ð Ò Æ¹ÈÓÐ Ò Ò ÒÙÚÖ Ò Ã Ð Ò Ò Ö ¹Ö ÓÒ ÑØ Ä Ø Ù Ò ÒØÖ Ð ÙÖÓÔ Ð Ò ¾
27 ½ Ä ÐÐ ÖÝ ¾ ËÚ Ò ¹ Ò Ò Ð Ñ Ö Ð Ö ÓÖ ÒÝÐ Ö ÑØ Ø ÖÖ Ò Ð ÓÝ ÓØ Ñ ÐÐ Ñ Ø Ò ÂÙÒ ÓÖ ÒÒ Ñ Ò ØÐ Ù Ù Ø ÃÖÓ ÁÒ Ø ØÙØØ Ø Ô Ò ÓÖÒ ÚÒ È Ö Ñ Ø Ö Üº ÓÒØÓ Òµ Ö ØÐ Ö ÐÒ Ú Ö Ù ÝØØ Î Ò ËØ ÑÑ Ò ÁÒ Ù ØÖ ½¼ ÍÒ ÖÚ Ö Ò Ò ÔÓÐÝÒ ÑÝØÓÐÓ ØÒ Ò ØÝÔ Üº ËÔ Ò Ò Ä Ø Ò Ñ Ö Ó Å Ü Ó ÁÑÔÙ ØÓ Ð Î ÐÓÖ Ö Ó µ ½½ À ÐÚ Ð Ø Ò Ò ½¾ À ÐÐ Ý Ò Ò Ö ½ Ö Ò Ò ÚÒ ½ ÐÚÓÖ ÙÐ Ø ÑÙ ØÝ Ð Ò ÓÑØ Ø ÑÔÓ ÄÓ Ö Ø ½ È ÖØ Ö Üº ÑÙ ØÝ µ Ö Ù Ö ÐÓØ Ò Ò ÐØ Ô Ö ÓÒ ¾¾ Æݹ ¾ ÀÓÐÐ Ò Ó Ø ¾ Ù ¾ Ü Ð Á Ø ¼ ËÔÓÖØ ½ Ê ÆÐ ØÖ ÖÙ Ø ÓÔ Ý Ø ÓÖØÝ Ð Ö ÝØØ Ö Ö Ò ÀÙÐ ÒÐ Î Ò Ñ ¼ ÀÓÚ ¹Ö ÔÙ Ð Ø Ý Ð Ö À Ú ½½ Ñ ÒÓÖ ÓÖ Î Ò ÞÙ Ð Ý Ø Ú ÒØÝÖÐ ÙÒ Ò Ú Ò Ö Ì Ø Ò Ð Ò ¹ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ú Ö Ò ÁÑÔÖ ÓÒ Ø¹ÑÓØ Ú Ð Ñ Ð ¼ ÃÓÖØ Ö ØÒ Ò Ö ÔÖÓ Ø Ò ÅÙ ÑÑ Ð Ú ½ Ö Ò Ó Ñ Ù ÔÖ Ò Ò ÓÐ Ð Ò ÓÑ Ý Ö ÑÓ Ý Ó Ò Æ Ñ ¾ ÌÊÍÌÌ ÊÍÌ ÓÖ¹ Ö Ò ÓÖ ÓÖ Ð Ö Ò Ò Å Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö Öº ASCII( )=(84,116)º ½ Ð Ò Ò Ä Ì ¹ Ó ÓÖ µ Ñ ÝÑ ÓÐ ÓÖ ÑÙÓÒ ÙÑÔ ÖØ Ð Ð Ò Ó ÓÖ Å ÙÖ Ø Ù Î ÖÑ Ð Øµ Ö ÍÒ ÚÒ Ú Ò Ä Ð ÑÖ Ö È Ö ÆÖ Ò Ö ÖÓ ÖÙ Ø ËÙÖÑÐ ÔÖÓ Ù Ø ½ ÈÝÒØ Ò Ø Ò ËÐÙÑÑ Ö ÔÔ Ø Ø Ý Ò Ò Ð Ñ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ Ø ÐØ Ö ÐÚ Ø Üº Ô ÑÑ Öµ Ö Ø ¹ÙÒ Ö Ö Ø ÈÐ ½ ASCII Ö Ö Ð Ò Ò Ø Ò Ð Ð Ø {,,,..., Þ} Ò N N ASCII(x) = ( Ñ Ð Ë ÁÁ ¾ ¹ Ó ÓÖ x ÙÔÔ Ö µ, Ñ Ð Ë ÁÁ¹ Ó ÓÖ x ÐÓÛ Ö µ ). ¾ Ë ÁÁ Ö Ö Ñ Ö Ò ËØ Ò Ö Ó ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒØ Ö Ò º ¾
28 ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ Ò ÔÙ Ð Ö Ñ Ó Ú Ø Ö Ö Ö Ö ÖÙÒ Ø ÓÚ Ø Ô Ò Ñ Ò Ò Ø Ø Ñ Öº ÚÖÖ Ö Ø ÓÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ö Ò Ø ÑÑ Ð ÙØ Ò ÑÑ Ð ÓÔ Ú Ø ÙÐÐ ÓÖØÐÐ ÓÑ ØÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò ÐÑ Ò Ð Ñ ÒÒ Öº Â Ö Ñ Ò Ð Ø Ð ØØ Ö ÓÔ Ú Ò Ñ Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ñ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ý Ó Ò Ö Ú Ø ÓÖ Ö Ý Ø ÖÑ Ö Ù Ò Ò Ú Ò Ú Ø ÙÐÐ ÓÑÑ Ò Ô ØÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø º  ÓÖ Ö Ñ ÒÓÖÑ ÐØ Ú Ö Ø Ø ÓÖ Ð Ö Ø Ø ÓÖ Ö Ö Ø ÓÖ Ø ÚÓÖ ÓÖ ÐØ Ø Ú Ö ÓÑ Ö Ò Ó Ö Ò Ø ÖÖ Ð Ø Ö Ó ÚÓÖ ÓÖ Ø Ó Ø Ö ÓÑ Ö Ò Ó Ö Ø Ð º ÀÚÓÖ ÓÖ Ö Ñ Ò º º ØÓ Ð Ø Ö Ú Ò ÒÖ Ñ Ò Ð Ö ØÓ Ò Ò Ð Ø Ö Ú Ò ÑÑ Ò ÚÖÖ ÒÖ Ð ÒØ Ñ Ø ÐÒ Ö Ñ Ò ÓÖ Ð Ö Ò Ò Ò Ò ÀÚÓÖ¹ ÓÖ ÔÙÖ Ø ØÖ Ñ Ð Ø Ñ Ö Ò Ø Ð Ô Ö Ö Ò Øº Å Ò ÓÔ Ú Ö Ö ØÝ Ð Ð ØØ Ö º Â Ö Ò Ö Ñ Ø Ù Ö Ð Ö Ö ÐØ ÐÑ Ò Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ µ Ó Ú Ð ÙÒÒ ÓÖ Ò Ó ÔÓÖØ ÓÒ Ú Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø º Â Ú Ð ÓÖ Ø Ø ÖØ ÚÓÖ Ò Ö Ø Ö ØÙ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ú Ð ÙÒÒ Ð Ñ º ÇÑ Ø Ö ÐÝ Ñ Ø ÓÐ Ð Ö Ú Ð Ò Ô Ø Ò Ú Ù Ú º ÃÖÚ Ö Ø ØÓÖ Ò Ø Ý Ø Ð ÒÒ ÖØ Ð Ø Ö Ñ Ò Ú Ð ÓÖ Ø ÒØ ÒÓ Ø Ø ÖÖ Ò Ø Ð Ý º Â Ú Ð Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ö Ö ÓÔØÖ Öº È Ò Ò Ò Ú Ð Ö ÒÓ Ø ÓÖ Ô ÐØ ÓÖ Ð Ò ÓÖ Ð Ö Ò Ö Ý ÑÓØ Ú Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÖÒ º Ø Ô Ö ÑÐ Ö Ö ÒØ Ö Ö Ø Ñ ÒÒ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ò ÓÖ ¹ Ò Ò ÖÖ Ö Ö ÓÑ Ý ÑÓ ÐÐ Ö ÓÖ Ñ ÖÓ Ó ÑÓ Ú Ö Ð Ò ÓÖ Ð Ö Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ú Ö Òº Å Ò Ò Ö Ú Ò Ð Ö Ö Ð Ø ÚØ Òº Â Ö Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ø ÙÒÒ Ö Ú Ø Ð Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ò Ö ÐÐ Ö ÓÐÓ¹ ÓÖ Ò Ñ Öº ËÔ Ö ÑÐ Ø Ö Ô Ò Ñ Ñ Ö ÓÚ ÖÓÖ Ò Ø Ã Ò Ý ÑÓ ÐÐ Ö ÓÖ Ñ ÖÓ Ó ÑÓ ÓÚ Ö ÓÚ Ø ÓÖ Ð Ö Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ú Ö Ò Â Ö ÒÒ ÖØ Ð Ø ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ØØ Ð Ò Ø Ö Ö ÓÔРغ ÆÖ Ø Ð Ö ÓÑ Ý ÑÓ ÐÐ Ö ÓÔ ØØ Ö Ø ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÓÖÑÙ¹ Ð Ö Ø ÓÖ Ö Ú Ó Ø Ö Ò ÓÖØÓÐ Ý Ø ÖÑ Öº Ø Ö ÐÚ Ð Ð Ø Ø ¾
29 ÒØ Ö ÒØ Ô Ö ÑÐ ÓÑ Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ö Ú Ö Ð Ò ÓÖÖ Ø Ñ Ò Ø Ö Ù Ò ØÝ Ò Ò ÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÝ º ÐÐ Ò Ø Ý Ø ÓÖ Ö Ö Ö ÖÒ Ò Ò Ö Ö Ú Ð Ò Ú Ö Ð Òº ËÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ñ Ò ØÙ Ö Ñ Ù ÓÚ Ö ÖÒ Ò Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ð Ð Ò ÓÖ¹ Ø Ð ÓÖ ÚÓÖ ÓÖ Ö ÖÒ º Ä Ñ Ö Ú Ò ÑÓ Ð Ö Ø Ú Ð ÙØ Ö Ó Ô ÐØ Ú Ð ÖÒ Ò Ò Ö Ò Öº Â Ú Ð Ø Ù Ò ÔÙÒ Ø Ö Ú Ð Ö Ú Ö Ò ÓÑ Ø Ò ÔÓ Ø ÚØ Ð ØÓÑ ÖÒ Ö Ó Ò Ø ÚØ Ð Ð ØÖÓÒ Öº ØÓÑ ÖÒ ÖÒ ØÖ ÐÚ ÔÖÓØÓÒ Ö Ó Ò ÙØÖÓÒ Ö Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ØÝ Ò Ò Ú Ò Ö Ö Ð Ò Ø Ù ÓÚ Ö Ú Ñ Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ò Ö ÚÓÖ ÓÑ Ú Ð Öº ÓÖ Ø Ö Ø Ð ÓÖ ÓÑÔÐ ¹ Ö Ø Ö Ú ÓÖØ Ö ÖÒ ÖÒ Ò Ö ØÖÙ ØÙÖ Ó Ö Ø Ò Ò Ò Ö Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ò ÙÒ Ö ØÝ Ò Ò Ú Ñ Ø Ò Ö Öµº Ä Ô ÖØ Ð Ö Ú ÐÚ Ö Ö Ñ Ò Ò Ò ÒÒ Ñ Ð ØÖ Ó Ñ Ò Ø ¹ Ö Ø Öº Ô ÖØ Ð ÖÒ Ù Ò Ö Ñ Ø ÐØÖ Ö Ó Ò Ò Ò Ú ØÝÒ Ö Ø Òº Ò Ñ Ò Ø Ö Ø Ó ØÝÒ Ö Ø Ò Ö Ð Ò Ø Ú Ö Ò Ð ØÖ Ö Ø Ö Ö ÓÖ Ú Ð Ó Ø Ð Ø Ø ÖØ Ñ ÖÒ Ñ Ø Ð Ø ÓÖØ Ö º ÌÝÒ Ö Ø Ò Ó Ñ Ò Ø Ö Ø Ö Ö ØÝ Ò Ò ÓÖ ÚÓÖ Ò Ú Ö Ò ÓÑ Ö Ò Ó Ö Ù Ó Ø ÓÖØ Ö Ñ Ö Ò ØÓÖ ÖÒ Ò Ò Ö ÓÖ Ú Ð Ò Ö Ú Ò Ø Ð Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ö ÒÚÓÐÚ Ö Ø Ø Ò ÐÙ Ö Ñº ÃÚ ÒØ Ñ Ò Ó Ö ÒØ ØÓÑ Ø Ø Ð Ø Ø ÌÓ Ð ØÖ Ô ÖØ Ð Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖÒ x 1, x 2 R 3 Ø ØÖ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙѵ Ñ Ð Ò Ò Ö q 1, q 2 R Ö Ò Ð ØÖ Ò Ö Ú Ø Ú ÓÙÐÓÑ ÐÓÚ q 1 q 2 x 1 x 2. ÀÚ Ú ÓÖ Ø ÐÐ Ö Ó Ø ØÓÑ Ö ÒØ ØÓÑ Øµ Ø Ò Ò ÖÒ Ñ Ð Ò Ò +1 Ó Ñ M Ó Ò Ð ØÖÓÒ Ñ Ñ 1 Ó Ð Ò Ò ½ 1 Ú Ð Ò Ö Ò Ð Ñ Ò ÚÖ Ú Ø Ú Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ò ÔÓ Ø ÓÒ X R 3 Ó ÑÔÙÐ P R 3 Ó Ð ØÖÓÒ Ò ÔÓ Ø ÓÒ x R 3 Ó ÑÔÙÐ p R 3 E(x, p, X, P) = 1 2M P p2 x X. ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ø ÓÖ x = X Ñ Ò Ñ Ö ÐÚÓÖÐ Ø Ö Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø Ð ÖÒ Øº Ø ØÝ Ö Ø Ò Ð Ö Ú Ð Ø ØÓÑ ÑÙÐ Ö Ø Ø Ò Ú Ú Ð ÖÐ Ò Ø Ú Ò Ö º Ø ÒØ ØÓÑ Ö Ø ÐØ Ú Ú Ö Ò Ò Ñ ÓÑ Ú Ð ÖÒ Ú Ð Ø ÐÐ ØÓÑ Ø Ø Ú Ú Ð ÖÐ ØÓÖ Ò Ö ÑÒ Ö Ó Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ð Ð ØØØ Ö ÑÓ ÖÒ Òº ½ Î ÚÐ Ö Ø ÑÐ ÐÐ Ñ Ö Ò Ö Ð ØÖÓÒÑ Ò Ó ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ò Ö Ñ ÒÙ Ð ØÖÓÒÐ Ò Ò Ò ¾
30 Ø Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ð Ú Ð Ø Ò Ú ÒØ Ñ Ò Ö Ú Ð ØÓÑ Ö Ô ÖØ Ð Öº Ä Ñ ÓÖØ Ø Ö ÚÓÖ Ò Ò Ö Ò Ö ÒØ ØÓÑ Ø ¹ Ö Ò Ú ÒØ Ñ Ò º À Ö Ö Ú Ø Ö ÒØ ØÓÑ Ú Ø Ò Ú Ø Ó ÑÔÙÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ ÓÖ Ð ØÖÓÒ Ò Ó ØÓÑ ÖÒ Òº Á Ø Ø Ö Ú ØÓÑ Ø Ú Ø Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òµ ψ : R 3 R 3 C Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ó ÖÒ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ö (x, X)º Á Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÓ Ý ÖÐ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ð ØÖÓÒ Ò Ô Ò Ó ÖÒ Ò Ô Òº ËÔ ÒÒ Ø Ö ØÓÖ ¹ ØÝ Ò Ò ÓÖ Ý Ò Ñ Ò ÙÑ Ð ÖØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ø Ö Ú Ð ÙØ Ö Ö ÐÒ Ö ÓÖØ Ö Ñ Ò Ø ÐØ Öµº Â Ú Ð Ö ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ò Ð Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ñ Ø Ø ÐÐ Ñ Ø ÒÓÖ Ö Ô ÒÒ Ø ¾ º Ò Ö Ò Ú ÒØ Ñ Ò Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ Ö Ö Ú Ö ØÓÑ Ø Ø Ð Ø Ò º Ø Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ψ Ö Ö Ö Ð Ú ÒØ º Ø Ö Ø ÐØ Ò ÑØ Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ô Ö ÑÐ Ø ÔÖ Ö Ò Ö Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ò Ò Ò Ò Ø Ý Ý Ø Ñ Ñ Ò ØÖ Ø Öº ÓÖ Ö ÒØ ØÓÑ Ø Ö Ò Ö Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø ËÓ ÓÐ Ú ÖÙÑ Ñ Ò Ø Ú Ð ÒÝØØ Ñ Öº Á Ø Ø Ú Ð Ó Ù Ö Ô Ò Ñ Ò Ö ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ Ö ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÒÙÐ Ù Ò ÓÖ Ò ÖÒ Ø ÑÒ º  ÖÙ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ò C0 1 ÓÖ ÒÒ Ð ÙÔ Ö Ö ÔØ Ø ½ ØÖ ÓÖ ÒØ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ö ÒØ Ð Ó Ù Ö ÔØ Ø ¼ ØÖ ÓÖ Ø Ö ÒÙÐ Ù Ò ÓÖ Ò ÖÒ Ø ÑÒ µº ÓÖ Ö ÒØ ØÓÑ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐØ C0 1(R3 R 3 )º Ù Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ ÓÔ ÝÐ ÒÓÖÑ Ð Ö Ò Ò ψ(x, X) 2 dxdx = 1. ½µ ÒÒ ÒÓÖÑ Ð Ö Ò Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÓÖØÓÐ ψ(x, X) 2 ÓÑ Ò ÝÒÐ ÓÖ ¹ Ð Ò Ò ÓÖ Ð ØÖÓÒ Ò Ó ÖÒ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Öº ÓÖ Ö ÒØ ØÓÑ Ø Ö Ò Ö Ò Ù ØÖÝ Ø Ú ψ Ú Ø Ú E H (ψ) = 1 X ψ(x, X) 2 dxdx + 1 x ψ(x, X) 2 dxdx 2M 2 ψ(x, X) 2 1 x X dxdx. À Ö Ö x ψ Ó X ψ Ö ÒØ ÖÒ Ñ Øº Ú Ö Ð x Ó Xº Å Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò ÑØ Ø E H (ψ) Ö Ú Ð Ò Ö Ø ÓÖ ψ C 1 0(R 3 R 3 )º Ò Ø ÓÒ ½ Ö ÒØ ØÓÑ Ø ÖÙÒ Ø Ð Ø Ò Ò Ö µº Ö ÒØ ÖÙÒ Ø Ð Ø Ò Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ú { } E H = inf E H (ψ) ψ C0(R 1 3 R 3 ), ψ(x, X) 2 dxdx = 1. ¾ Ð ØÖÓÒ Ò Ô Ò Ò ÐÙ Ö Ú ÐÓØ Ø Ð x R 3 {1, 1} Á Ò Ö Ù ØÖÝ Ø Ö Ö Ù ÓÚ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ø Ò Ö Ú Ð Ø Ò Ö ÚÓÖ ÈÐ Ò ³ ÓÒ Ø ÒØ = 1º ºÚº º Ø ÐÒ ÑÐ Ó Ö Ö Ù ÓÑ Ö º 0, Ñ Ø Ö Ò Ö ÑÐ ¾ÊÝ Ö ÓÑ Ö º 4, ÂÓÙÐ Ó Ø ÑÐ Ò Ò ÓÑ Ö º 2, ÙÒ Öº ¼
31 ËØ Ð Ø Ø Ö ÒØ ØÓÑ Ø Ö Ô Ø Ò Ò E H > ÐØ Ø Ò Ö Ò Ò ÚÖ Ú Ð ÖÐ Ò Ø Úº ÒÒ ÙÐ Ö Ô Ò Ò Ñ ÓÔÐ Ø Ñ Ò Ø Ö Ð Ø Ø Ñ Ò Ø Ò Ù Ö Ò Ò Ö Ò Ö ÒØ Øº ËØÒ Ò ¾ Ö Ò ØÓÑ Ø Ò Ö µº E H = 1 M 2 M + 1. ¾µ Ë Ö Ò Ö Ú Ö Ò Ö Ø Ø Ð Ø Ò ØØ Ø Ð ½ ¾ ÐÚÓÑ Ò Ñ Ú Ø ÙÐ ØÒ Ø Ú µº ÓÖ Ðº º ØØ Ö ÙÐØ Ø ÑÓ Ø Ë Ö Ò Ö ½ ÒÓ ÐÔÖ Ò Ý º Æ Ð Ó Ö Ú ÐÐ Ö Ø Ð Ö ÓÖ Ð Ö Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ö ÒØ Ð ÒÒ Ø Ñ ÒÓ ÐÔÖ Ò ½ ¾¾µ Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ú Ð Ò Ö Ø ÓÑ Ë Ö Ò Öº ËØ Ð Ø Ø Ó Ù Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Å Ò Ö ÐØ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ø ÙÒÒ Ò Ø Ù ØÖÝ ÓÖ Ö Ð Ú ÒØ Ø ÖÖ Ð Ö ÓÑ º º E H º Å Ò Ö Ö ÓÖ ÒØ Ö Ö Ø Ø ÙÒÒ Ú ÚÙÖ Ö Ò Ö ÐØ Ø Ò ÙÐ Ö ÚÓÖ Ø ÖÖ Ð ÖÒ Ò Öº Å Ò Ú Ð Ó Ø Ý Ö Ø Ð Ø Ø Ò Ö ÒØ ÓÖ Ð Ö Ø Ù Ö À Ò Ö ÒÓ ÐÔÖ Ò Ý ½ ¾µ Ö ÑØ Ù Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ñ Ø Ó ÑÔÙÐ º Å ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÖ Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ù Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ú ÙÐ Ò x ψ(x, X) 2 dxdx x X 2 ψ(x, X) 2 dxdx 1 R 3 R 3 R 3 R 4, 3 ÓÑ ÓÐ Ö ÓÖ Ò Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ ψ C 1 0(R 3 R 3 ) Ñ ψ(x, X) 2 dxdx = 1º Ø Ö Ø Ó ÐØ ÒØ Ö Ð ÓÚ Ò ÓÖ ÓÖØÓÐ ÓÑ ÓÖÚ ÒØÒ Ò ÚÖ Ò Ú Ö Ø Ø Ô Ð ØÖÓÒ Ò ÑÔÙÐ Ó Ø Ò Ø Ó ÐØ ÒØ Ö Ð ÓÑ ÓÖÚ ÒØÒ Ò ÚÖ Ò Ú Ö Ø Ø Ô Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ð ØÖÓÒ Ò Ó ÖÒ Òº ÍÐ Ò Ù ØÖÝ Ö Ðº º Ø ÓÖ ÓÐ Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÖÐ Ø ØØ Ú ÖÒ Ò Ó ÑØ Ú Ú Ð ÖÐ Ð ÐÐ ÑÔÙÐ º Î ÐÔ Ù Ö ÙÐ Ò Ö Ñ Ò Ø Ò Ö ¹ Ù ØÖÝ Ø ÓÖ Ö ÒØ ÓÔ ÝÐ Ö E H (ψ) 1 8 ( 1 ψ(x, X) x X 2 ψ(x, X) dxdx) 2 2 dxdx. x X ÒÒ ÙÐ ÓÖ Ð Ö Ö Ó Ø Ð Ø Ø Ò Ö Òغ Ø ÓÚ ÖÐ Ø Ð Ð Ö Ò Ø Ò ØØ Ú Ø Ð Ð Ò ÓÔ Ú º ÆÓ ÐÔÖ Ò Û ÛÛÛºÒÓ ÐÔÖ Þ ºÓÖ Ò ÓÐ Ö Ó Ø Ö Ð Ø ÚØ ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ð Ö Ò Ö Ò Ý Ö Ð Ö Ø Ð ÖÙÒ ÓÖ ÔÖ Ò Ó Ó Ö Ö ÔÖ ÑÓ Ø ÖÒ º ½
32 ÇÔ Ú º Ò Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ψ n C 1 0(R 3 R 3 ) Ñ ψ n (x, X) 2 dxdx = 1 Ð Ø ( x X 2 ψ n (x, X) dxdx) 2 ψn (x, X) 2 dxdx x X ÒÖ n º ËØ Ð Ø Ø Ò Ö ÒØ Ð Ö ÐØ Ò Ú ÒÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ù ¹ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ø Ò ØÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ò º ËØÒ Ò À Ö Ý Ù Ö Ö Ð Ø ÓÒµº ÓÖ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f C0 1(R3 ) Ð Ö x f(x) 2 dx 1 1 R 4 3 R x 3 2 f(x) 2 dx. Ö Ò Ø Ð Ú Ö Ò ÙÐ Ö ÐÐ Ñ Ò ÓÒ Ö Ø ÖÖ Ò Ñ Ò Ð Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Öº ÒÒ ÙÐ ÓÑ Ú Ú Ö Ö Ú Ö x ψ(x, X) 2 dxdx 1 x X 2 ψ(x, X) 2 dxdx R 3 R 4 3 R 3 R 3 1 ( ) 2 x X 1 ψ(x, X) 2 dxdx. 4 R 3 R 3 ÓÖ ÐÐ ψ C 1 0(R 3 R 3 ) Ñ ψ(x, X) 2 dxdx = 1º Ò Ø ÙÐ ÓÚ Ò ÓÖ Ö Ò ÓÒ Ú Ò Ù Ý¹Ë Û ÖÞ ÙÐ ÓÖ ÒØ Ö Ð Öµ ÐÐ Ö Â Ò Ò ÙÐ º Î ÖÙ ÓÚ Ò Ø Ò ÚÙÖ Ö Ò Ö Ø ÒÙ Ò ÑØ Ø Ú Ø Ð Ø Ø Ò Ö ÒØ ºÚº º Ø E H > Ñ Ò Ñ Ò Ö Ò Ø ÚÖ Ö ËØÒ Ò ¾º Ò Ô Ñ Ò Ñ Ö Ñ Ö ÒØ Ö ÒØ ÙÐ Ö Ó Ù ØÖÝ Ö Ù Ö ¹ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ó Ó Ú Ö Ø Ð Ø Ø Ò Ö ÒØ Ö ËÓ ÓÐ ÚÙÐ Ò ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö Ù Ò Ú º ËØÒ Ò ËÓ ÓÐ Ú ÙÐ µº ÓÖ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö f C 1 0(R 3 ) Ö x f(x) 2 dx 3 ( ) 1/3 R 4 (2π2 ) 2/3 f(x) 6 dx. µ 3 R 3 Ö Ò Ø Ð Ú Ö Ò ÙÐ Ö ÐÐ Ñ Ò ÓÒ Ö Ø ÖÖ Ò Ñ Ò Ð Ú Ö Ñ Ò ÓÒ Öº ¾
33 Å ÖÓ ÓÔ Ø Ð Ø Ø ËØ Ð Ø Ø Ò Ö ÒØ Ò Ö Ð Ö Ö Ò ÑØ Ø Ð Ø Ð Ø Ø Ò Ö ØÓÑ Ö Ó ÑÓÐ ÝÐ Öº Å Ò Ú Ñ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Ö Ö Ò ÑØ Ò ÓÐ Ö ÓÚ Ö Ô ÖØ Ð Ö Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÝÒ ÔÙÒ Ø Ö Ú ÒØ Ö Ö Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ò ÒÖ ÒØ ÐÐ Ø Ô ÖØ Ð Ö Ö ÑÓ Ù Ò Ð º Ä Ó ØÖ Ø Ø Ý Ø Ñ Ø Ò 2N Ô ÖØ Ð Ö N Nµ ÓÑ ÓÖ ÓÚ Ö¹ Ù Ð Ò ÝÐ ÒØ ÐÐ Ø Ú ÑÑ Ñ = 1µº Ä Ó Ó ÒØ Ø ÐÚ Ð Ò Ô ÖØ Ð ÖÒ Ö Ð Ò Ò +1 Ó Ò Ò Ò ÐÚ Ð Ð Ò Ò 1º ÀÚ Ú ÒÙÑ Ö Ö Ö Ô ÖØ Ð ÖÒ i = 1, 2,..., 2N Ð Ö Ú Ö Ø N Ô ÖØ Ð Ö ÚÖ ÔÓ Ø ÚØ Ð Ø Ú º Ö Ð Ò Ò ÖÒ q i = 1 ÓÖ i = 1,...,N Ó Ö ÓÖ q i = 1 ÓÖ i = N + 1,..., 2Nº ÈÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ú x 1,...,x 2N R 3 º Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ ØØ Ý Ø Ñ Ö Ò C 1 0 ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ú Ö Ð ÐØ ψ C 1 0(R 6N )º Ò Ö Ù ØÖÝ Ø Ö Ú Ø Ú E 2N (ψ) = N i=1 xi ψ(x 1,...,x 2N ) 2 dx 1 dx 2N R 6N q i q j x i x j ψ(x 1,...,x 2N ) 2 dx 1 dx 2N. R 6N 1 i<j 2N ËÝ Ø Ñ Ø Ð Ú Ø Ò Ö ÖÙÒ Ø Ð Ø Ò Ò Ö Òµ Ö { } E(2N) = inf E 2N (ψ) ψ C0 1 (R6N ), ψ(x 1,...,x 2N ) 2 dx 1 dx 2N = 1. R 6N Ê ÙÐØ Ø Ø ¾µ ÓÑ Ö ÒØ ØÓÑ Ø Ò Ö ØÝ Ö Ú Ö Ø E(2) = 1 º Î ÖÙ 4 Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÑ Ö ÒØ Ø Ð Ø Ø Ú Ö Ñ Ò Ò ÑØ Ø Ö ÓÖ ÐÐ N N Ð Ö E(2N) > º ÓÖ Ø ÓÖ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Ö Ö Ú ÒØ Ö Ö Ú Ö Ö Ñ E(2N) ÒÖ N º Â Ö ÓÖ Ò ÒÝÐ ½¼ µ Ú Ø Ø ÖÒ ÚÖ Ò lim N E(2N) (2N) 7/5 Ø Ö Ö Ó Ö ØÖ Ò Ø Ò Ø Úº Ø Ò Ö Ø Ù ØÖÝ ÓÖ ÒÒ ÖÒ ¹ ÚÖ º ËØÒ Ò Ý ÓÒ ÓÖÑ Ðµº ÚÓÖ lim N E(2N) = inf (2N) 7/5 E(u) = 1 2 { E(u) u C 1 0(R 3 ), R3 x u(x) 2 dx 45/4 Γ( 3) 4 5π 1/4 Γ( 5) 4 } u(x) 2 dx = 1, µ R 3 u(x) 5/2 dx.
34 Ø Ö Ò µ Ö Ð Ö ËÓ ÓÐ ÚÙÐ Ò µ Ó À Ð Ö ÙÐ ÓÑ ÓÑØ Ð Ø Ö ÓÑ ÑÐ Ó ÒØ Ö ÐØ ÓÖ µº Ø ÙÒÒ ÙÑ Ð ÖØ Ù ÓÑ ÓÑ Ö Ò µ Ö Ð ÚÖ Ø Ù Ö Ò ÓÑ E(2N) ÐÚº Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ø Ð Ð Øº Ø Ö Ò ÑØ Ø Ò Ö Ò µ ÒÙÑ Ö Ô Ò ÓÑÔÙØ Öº ÒØ ÐÐ Ø N Ð ÚÖ ÖÐ ØÓÖØ Ñ Ò Ö Ò ½¼µ Ö ÐÚ Ò ÙÖØ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ñ Ò Ø ÓÖ Ø Ò ÓÖ Ø ÐÐ Ú Ð ÙÒÒ Ù Ö Ò E(2N) Ò Ò ÓÖ Ò Ö Ñ Ð Ø º ÁÒ Ò Ø Ö Ð Ö Ò ÓÖ Ø Ú Ú Ø µ Ð ÙÒ Ö ØÖ Ø ÓÖÑÐ Ò Ð Ú ØØ Ø Ò Ö ÑØ Ñ Ø Ñ Ø Ý Ö º Ý ÓÒ ½ ½ Ó Ø Ò Ò ÐÚ Ð Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ñ º Ä Ö ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö Øݺ Ø ÑÐ Ú Ö Ô ÓÚ Ö ¼ Ö Ò ÓÑÑ Ò Ô Ø Öº ÓÖÑÐ Ò µ Ú Ö Ø Ö Ñ ÚÖ ÒÓ Ø ÐØ Ñ ÚÓÖ Ö Ú Ð Ý Ø Ñ Ø Ð Ô ÖØ Ð Öº ÈÓØ Ò Ò 7/5 ÓÖÑÐ Ò Ö Ò ÑÐ Ø ØÖÓ Ð Ð Ö ÓÖ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ú Ö Òº 7/5 > 1 Ú Ð Ò ÓÒ Ú Ò ÓÖÑÐ Ò ÚÖ Ø ÐØ ØÓ Ú Ð Ú Ò ÚÓÐ ÓÑ Ø ÐØÖ Ò Ò Ö Ø Ó ÐØ Ú Ð ÓÐÐ Ô º ÑÖ Ò ÑÐ Ø ØÓ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Ö Ñ Ò ÓÐ Ú 2N 1 Ó 2N 2 Ô ÖØ Ð Ö ÐØ Ú Ð Ú Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÓÖØ Ö Ò ÔÓ Ø Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÓÒ Ø Òص Ö º N 7/5 1 N 7/5 2 º ÀÚ Ú Ô Ò Ò Ò Ð Ö Ñ ÓÐÐ Ô Ø Ð Ø Ó Ø Ð Ú Ö Ò Ö Ò (N 1 +N 2 ) 7/5 N 7/5 1 N 7/5 2 º ØÓ Ó Ø Ö Ò Ö ÓÖ ÓÐÐ Ô Ó Ù Ð Ò ÒÓÖÑ Ò Ö ÑÒ º Å Ò Ò Ú Ò ÒÖÑ Ö Ò ÐÝ Ø Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Ñ Ô ÖØ Ð Ö Ú Ð Ò Ù ØÖ Ò Ò Ñ Ò Ö Ò Ò ØÓÑ ÖÒ ÐØ Ð Ò Ø Ñ Ò Ö Ò Ø ØÓÑ Ø Ò ÐÓØ ØÓ Ô ÖØ Ð Öº Ç Ø Ö Ø Ò Ñ Ò Ô ÖØ Ð Ö Ú Ð ÐØ ÚÖ Ð Ò Ø Ñ Ò Ö Ò Ó Ø Ö Ñ Ô ÖØ Ð Öº Å Ò Ö ÓÖ ÓÖÑÐ Ò µ ØÝ Ö Ø Ò Ñ ÖÓ Ô Ú Ö Ò Ò Ø Ö º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø Ú Ö Ø ÓÖØ Ö Ø Ò Ø ÚØ Ð Ð ØÖÓÒ Ö ÓÔ ÝÐ Ö Ø Ñ Ø Ú Ø ÐÙ ÓÒ ¹ ÐÐ Ö È ÙÐ ÔÖ Ò Ôº ØØ ÔÖ Ò Ô ÓÑ Ð Ú ÓÖÑÙ¹ Ð Ö Ø ÏÓÐ Ò È ÙÐ Ó ÓÖ Ú Ð Ø Ò ÒÓ ÐÔÖ Ò Ý ½ Ö Ð Ø Ø Ø ØÓ Ð ØÖÓÒ Ö Ò ÚÖ ÑÑ Ø Ð Ø Ò º Ò Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò È ÙÐ ÔÖ Ò ÔÔ Ø Ö Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ Ð ÚÖ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ú Ö Ð Ö Ú Ö Ö Ø Ð Ð ØÖÓÒ Öº Ú º Ú Ð ÒØ Ø ψ ÓÔ ÝÐ Ö ψ(x 1,...,x N, x N+1, x N+2,...,x N+j 1, x N+j, x N+j+1, x 2N ) = ψ(x 1,...,x N, x N+j, x N+2,...,x N+j 1, x N+1, x N+j+1, x 2N ), ÓÖ ÐÐ j = 1,..., Nº Ä Ó Ð ÙÒ ÖÙÑÑ Ø C0 1(R6N ) Ø Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒÒ Ò ÓÖ CF 1(R6N )º Ò Ý ÓÖÖ Ø Ò Ö Ö Ö ÓÖ { } E F (2N) = inf E 2N (ψ) ψ CF 1 (R6N ), ψ(x 1,...,x 2N ) 2 dx 1 dx 2N = 1. R 6N ÓÖ ÒÒ Ò Ö Ò Ñ Ò Ú Ð Ò Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Øº
35 ËØÒ Ò Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÖÒ µº ÖÒ ÚÖ Ò Ø Ö Öº E F (2N) lim N 2N ÑÖ Ø ÚÓÖ Ú Ø Ð Ö Ú ÔÓØ Ò Ò 7/5 ÓÔØÖ Ö ÒÙ ÔÓØ Ò Ò 1º ÖÒ ÚÖ Ò Ù ØÖÝ Ö Ò Ö Ò Ô Ö Ô ÖØ Ð ÓÖ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Öº Å Ò Ò ÓÖØÓÐ Ø Ò Ò ÒÒ ÖÒ ÓÑ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ú Ö¹ Òº ÖÒ Ò ÓÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÒÓÖÑ ÐØ ÓÑ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÖÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ö Ö Ú Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Öµº Î Ö Ö ÙÒ Óѹ Ø ÐØ Ò Ñ Ø ÑÔ Ð Ú Ö ÒØ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÖÒ µº ÎÖ Ò ÖÒ Ò µ Ò º Ø Ò Ò µ Ö Ò Ò Ñ ÓÒ Ú Ò Ð Ò ØÓ Ò Ö Ú E F (2N)º Ä ÑÑ ËÙ Ø Ú Ø Ø Ò Ö Òµº Ò Ö Ò E F Ö Ù Ø Ú ºÚº º ÓÖ ÐÐ N 1, N 2 N Ö E F (2(N 1 + N 2 )) E F (2N 1 ) + E F (2N 2 ). µ Ø ÑÑ Ð Ö ÚÖ Ø Ó ÓÖ Ò Ö Ò E(2N) Ò Ö Ø Ù Ò È ÙÐ ÔÖ Ò¹ ÔÔ Øºµ ËØÒ Ò ËØ Ð Ø Ø Ó Ñ ÖÓ ÓÔ ØÓ µº Ö Ø Ö Ö Ò ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ C CN E F (2N) 0, µ ÓÖ ÐÐ N Nº ÇÔ Ú ½¼º Î Ø ËØÒ Ò Ð Ö Ä ÑÑ Ó ËØÒ Ò º ÇÔ Ú ½½ Í ÓÖ Ö Ò Òµº Á Ò ÓÖÑ Ä ÑÑ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ö ØÖÓÖ Ò Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ Òº Ö Ò Ø Ð Ú Ö Ò Ó Ò Ú Ò Ð Ö Ö ÙÐØ Ø Öº Ä Ö Ò Ù ÓÖ Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ú ÓÖ Ä ÑÑ º Ò Ö Ø Ö Ù ÓÖ Ö Ò Ò ÓÔ Ò ÓÚ ÖÚ Ø Ù Ý Ø Ø Ð Ø ÐÓÖ¹ ÐÐ Ö ÔÖÓ Ø ÑÒ Øº ËØÒ Ò ÓÑ Ø Ð Ø Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ØÓ Ö Ñ Ø ÚÖ Ø Ú Ó Ö Ò Ð Ò ØÓÖ ÓÑ ÓÖØ Ú Ð Ö Ú Ò Ò ÓÖº Ø Ö Ø Ú Ð Ú Ú Ø Ý ÓÒ Ó Ä Ò Ö ¾ º Å Ö ÓÑ Ø Ð Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÓÖ Î Ö Ø Ø ÓÖ Ð Ö Ò Ò ØÓÑ Ö Ø Ð Ø Ø Ú Ö Ò Ú ÒØ Ñ Ò Ò Ø Ð ØÖ ÙÑ Öº Ò ÒÙÑ Ö ÚÖ ÓÖ E H Ú Ø ËØÒ Ò ¾ Ô Ö ÚÖ Ø ÒØ Ø Ó Ø Ñ Ô Ö Ñ ÒØ Öº Î Ö Ó Ø Ø Ø Ð Ø Ø ØÓÑ Ö Ò ÓÖ Ø Ù Ö Ô Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ö Ù Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ó Ù Ö Ò Ú ÒÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ø À Ò Ö º µ
36 Ø ÓÚ ÖÖ Ò Ö Ø Ô Ö ÑÐ Ø ÓÑ Ø Ð Ø Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Ö Ö Ò Ø Ò ÐØ ÓÚ Ö Ø Ý Ð ØØ Ö ØÙÖ Òº Ò Ö Ø Ò Ö Ð Ú Ö ÓÖØ ÓÔ¹ ÑÖ ÓÑ Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö Ò ÖØ Ð ½ Ò ÒÓÖ Ñ Ö Ä Ö ÇÒ Ö ÓÑ ÓÖ Ø ÐØ Ò Ø Ö ÒÓ ÐÔÖ Ò Ñ ½ µº ÇÒ Ö Ú Ö Ò ÖØ Ð Ø ØÓÖØ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÖÖ Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ð Ø Ø ÙÒ Ö Ú ÑÔÐ Ö Ò ÒØ Ð Öº ÇÒ Ö ÓÚ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð ÖÙÒ ÓÖ Ñ Ò Ò Ö Ú Ö ÓÖ Ø Ð Ø Øº Ò Ö Ø ÖØ Ð ÐÚ Ö Ú Ú Ö Ò ÓÖØ ÑÖ Ò Ò ÓÑ ÇÒ Ö Ö ÙÑ Òغµ Ê ÙÐØ Ø Ø ËØÒ Ò Ú Ö Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ø Ö Ò ÓÖ Ð Ö Ð Ò Ù Ö Ù Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ð Ò º Å Ò Ö Ò Ø Ø Ð Ó Ø Ø È ÙÐ ÔÖ Ò ÔÔ Ø ØÖ ØÒ Ò º ÒÒ Ú Ø Ð ÓÒ Ú Ò È ÙÐ ÔÖ Ò ÔÔ Ø Ð Ú Ö ØÓÖØ Ø Ð Ö Ö Ñ Ú Ø Ý Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÚÓÖ Ö ÐÐ Ö Ó Ø Ð ØÓÖ Ú Ø Ô ÔÖ Ò ÔÔ Ø ØÝ Ò Ò ÓÖ Ø Ð Ø Ø Ø ÖÒ Ö º º Ð Ø Ú ÚÖ º Ý ÓÒ ½ Ö Ò Ö Ø Ö Ò Ö ØÝ Ò Ò Ò È ÙÐ ÔÖ Ò ÔÔ Ø ÓÖ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ú Ö Òº ËÓÑ ÐÐ Ö ÒÚÒØ Ö Ø Ó Ý ÓÒ Ö Ñ Ö Ñ º Ä Ò Ö Ö Ø Ú Ö ËØÒ Ò ÓÑ Ø Ð Ø Ø Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ØÓ º º Ä Ó Âº Ä ÓÛ ØÞ Ö Ö Ø Ø Ð Ø Ú Ø Ò Ò Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÖÒ Ò ØÝ Ð Ñ Ö Ò Ö Ð ØÙ Ø ÓÒ Ò Öº ËÓÑ ÒÚÒØ Ò Ð Ò Ò Ò Ö Ú Ø ÓÖØ Ö Ñ Ò Ø Ú ÐÚ Ö Ò Ò Ö Ó ØÝÒ Ö Ø Òº Â Ö ÐÚ ÚÖ Ø Ñ Ø Ð Ø Ú Ø Ñ Ò Ò Ò ÐÙ Ö Ñ Ò Ø Ú ÐÚ Ö Ò Ò Ö Ø Ð Ø Ø ØÖ ØÒ Ò ÖÒ Ó Ò Ø Ò Ø ÓÑ ÙÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Öµº Î ØÖ ØÒ Ò Ñ Ò Ø Ö Ø Ö ÓÑÑ Ö ÐÝ Ø ¹ Ø c Ò ØÙÖÐ Ø Ò ÓÑ Ò Ô Ö Ñ Ø Öº Á Ò Ö Ú Ö Ú Ð Ø Ö ÐÝ Ø Ø Ò ÚÖ Ö Ó Ø ÒÚÒ α 1 ÚÓÖ α Ð Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Òº Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÚÖ Ö α 1/137º ÓÖ α Ö Ö Ð Ø ÚØ Ð ÐÐ Ö Ñ ¹ Ò Ø Ö Ø Ö ÙÒ Ð ÐÐ Ò Ý Ð Ô º º ØÓÑ Ö Ô ØÖ º Ò Ö Ò Ö Ô ØÖ Ò Ö ÝÐ Ñ Ò Ø Ö Ø Ö Ð ÓÖ Ò ØÖÙ ØÙÖ Òº Ø Ú Ö µ Ø Ñ Ò ÓÖ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ð Ø Ø Ñ ÖÚ Ø Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ¹ Ø ÒØ Ò Ö Ð ÐÐ ÒÓ º À Ð Ú Ö ½»½ Ð ÐÐ ÒÓ ÌÝÒ Ö Ø Ò Ö ØÝ Ð Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Øº ÓÖ ÒÒ Ú ÐÚ Ö Ò Ò Ð Ö Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ð Ø Ø Ñ Ò Ý Ø Ñ Ö Ð ÚÖ Ò ØÓÖ Ö Ð Ú Ö Ù Ø Ð º Ò Ò Ý Ö Ëº Ò Ö Ö Ù Ú Ð Ø ÓÖ Ò ÓÖ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ð Ø Ø Ó Ò Ø Ð Ø Ø Ó ÓÖ Ø ÒÓ ÐÔÖ Ò Ý ½ º Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ò Ò Ö Ö Ø ÓÖ Ò Ò º ÆÖ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ò Ø ¹ Ð Ø Ø Ò ØÖ Ö Ò Ö ÓÖÑÓ ÒØÐ ÓÔ Ø ÓÖØ ÙÐÐ Öº Ø Ö Ó ÑÙÐ Ø Ø Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ú Ð ÓÐÐ Ô º Ö Ò ÒÓ Ò Ý Ø ÓÖ Ö Ò ÓÖ Ð Ö ÓÖ ÓÐ Ö ÓÔ ØÖ ÙÒ Ö Ö Ú Ø Ø ÓÒ ÐØ ÓÐÐ Ô º Ø Ú Ð ÖÚ Ò Ø ÓÖ Ö ÓÑ ØØ Ö Ú ÒØ Ñ Ò Ó Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÓÖ º Ë ÐÚÓÑ Ä Ö ÇÒ Ö Ú Ö Ñ Ö Ö Ò Ø ØÓÖ Ò Ý Ð Ô ÑÓ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø º º Ò Ò ÓÖ Ú ÒØ ÖÙÔÔ Ö Ó ØÓÔÓÐÓ ÐØØ ÓÖ Öº
37 Ø ØÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ËØ Ð Ø Ø Ú ÒØ ÐØØ ÓÖ Â Ö ÙØ Ö Ø Ø Ð Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö ÒÚÓÐÚ Ö Ö Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ö Ó ØÝÒ Ö Ø Òº Á Ð Ù ÓÒ Ò Ò Ø Ð Ú Ö Ö Ø ÐØ Ò ÒØ Ø Ø Ö Ø Ö ÙÒÒ Ö Ú Ú Ú Ñ Ò Ú Ð Ð Ð ÐØ Ö Ö Ú Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ú ØÓÖ ÐØ Ö Ô Ø ØÖ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÙѺ Ý Ò ÓÖØÐÐ Ö Ó Ø ØØ Ö Ò ÓÖÖ Ø Ö Ú Ð º Î ÐÚ Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ú Ú Ò¹ Ø Ñ Ò º Ø Ú Ð Ø ÐØ ÖÒ Ð Ö Ú Ú ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ô À Ð ÖØÖÙѺ Ë ÒÒ Ø ÓÖ Ö ÚÓÖ ÐØ ÖÒ Ö Ö Ú Ø Ú ÒØ Ñ Ò Ð Ú ÒØ ÐØØ Ó¹ Ö Öº Ø ÑÔ Ð Ô Ò Ú ÒØ ÐØØ ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ò ÓÖ Ð Ô ÖØ Ð Ö Ú ÐÚ ÖÒ Ò Ñ Ø Ú ÒØ Ö Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ðغ ÒÒ Ø ÓÖ ÓÖ ÐÝ Ó ØÓ Ð Ú Ò¹ Ø Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Òº ÝÒÑ Ò Ë Û Ò Ö Ó ÌÓÑÓÒ ½ ÒÓ ÐÔÖ Ò ÓÖ Ö Ð Ø ÚØ Ù Ò Ø Ò Ò Òµ Ø Ú ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ú ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Òº Å Ò ÙÒÒ Ø Ø Ú Ö ÑÙÐ Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ú Ø Ð Ø Ø Ú ÒØ ¹ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º Ø Ö ÚÖÖ Ð Ò Ø Ö Ø Ð Ð Øº ÃÚ ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ö Ò ÝÒ ÖÐ Ø ÓÖ ÚÓÖ Ý Ø ÖÖ Ð Ö ÙÒ Ò Ù ØÖÝ ÓÑ ÔÓØ Ò Ö Ö Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Òº ºÚº º Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ò Ú Ö Ð ÔÓØ Ò Ö ¹ Òº Ë ÐÚ ÓÔ Ö ÚÒ Ò Ò ÔÓØ Ò Ö Ö Ö Ò Ú Ò Ð Ó Ñ Ò Ö Ø Ù Ö Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð Ö ÖÒ º Ý ÓÒ Ú Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ú ÚÓÖ Ò Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø Ò Ò Ö Öº Ý ÓÒ Ö Ú Ø Ó Ò Ö Ø Ö Ò Ö Ø Ö Ö ÓÖÑÓ ÒØÐ Ö ÓÒÚ Ö Ò Ö Ù ¼ Ú ÓÑ Ö Ò Ø ÙÐ ØÒ Ø Ú ÓÖ ØØ µº Á Ò Ø ÓÖ Ö ÙÒ Ö Ö Ú Ø Ú ÔÓØ Ò Ö Ö Ñ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ù ¼ Ú Ö Ø Ò Ò Ñ Ò Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ð Ø Øº Ø Ö Ö Ñ Ø Ð Ø Ö Ú Ö Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ò Ò Ò Ò Ø ÓÖ º Ø Ð Ö Ø Ö Ú ÒÚÒ Ø Ñ Ò Ú Ø Ù Ö Ò Ö Ø Ð Ú ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ò ÔÓØ Ò Ö Ö Ö Ò ÐØ ÓÖÖÝ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ñ Ô Ö Ñ Ø ÐÐ ÚÖ Ö Ó Ø ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ù ÓÚ Ö ½¼ ØÝ Ò Ö µº Ò Ñ Ø ÓÖ Ø ØÙ Ö Ø Ð Ø Ø Ú ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ö Ú Ø Ò Ö Ò ÓÒÚ Ö Ò ØÓÖº Ø Ö Ò ÐØ ÐÑ Ò Ð Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø º Å Ò Ò Ö Ö Ò Ð ÐÐ ØÖ Ô Ö Ñ Ø Ö ε > 0 ÓÑ Ö Ö Ø ÐØ ÓÒÚ Ö Ö Öº Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ø Ò Ò Ð ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ø Ø ÓÖ Ú ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ñ Ò ÓÒÚ Ö¹ Ò ØÓÖ Ò ÐÙ Ö Øº Å Ò Ú ÐÐ ÐÚ Ð Ð ÖÒ ÙÒÒ Ð ε ÑÓ ÒÙÐ Ñ Ò Ø Ö ÑÙРغ Ø Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÖÒ Ñ Ú ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ ÝÐ Ø Ñ Ò Ö Ò ÙÐ Ø ÓÖ º Ø Ð Ò Ø Ø Ö Ø Ñ Ò Ú Ø Ò ÐÙ Ö Ö Ø Ö Ú Ò Ø Ð Ú Ö Ö ÒÓÖ Ö Ø Ò ÑÐ Ò Ú Ó Ò ØÖ Ú ÐÚ Ö Ò Ò Ú Ð Ò Ø ÓÖ Ö Ö ÑÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÑ Ú ÒØ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º Å Ò Ö ÐÚ Ð Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ö Ø Ò Ø ÓÖ Ö Ò ÐÙ Ö Ö ÐÐ Ö Ò Ø Ö Ø Ö Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ñ ØÝÒ Ö Ø Ò Ó Ò Ú Ó ØÖ Ú ÐÚ Ö Ò Ò º Ø Ö
38 ÒÓ Ñ Ø Ð Ò Ù Ø Öº Ä ØØ Ö ØÙÖÐ Ø ½ Ý ÓÒ Ö Ñ Ò Âº ÖÓÙÒ Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ý Ø Ñ Ó Ö Ô ÖØ ¹ Ð ÂÓÙÖº Å Ø º È Ý º ½ ½ ½ µº ¾ Ý ÓÒ Ö Ñ Ò Âº Ò Ä Ò Ö Ò Ö Û ËØ Ð ØÝ Ó Ñ ØØ Öº Á ÂÓÙÖº Å Ø º È Ý º ¾ ½ µ Ò ÁÁ ÂÓÙÖº Å Ø º È Ý º ½½ ½ µº Ä ÐÐ ÓØØ Àº Ò Ä ÓÛ ØÞ ÂÓ Ð Äº Ì ÓÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ñ ØØ Ö Ü Ø Ò Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÓÖ Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó Ð ØÖÓÒ Ò ÒÙÐ º Ú Ò Ò Å Ø º ½ ½ ¾µº Ä ÐÐ ÓØØ Àº Ò ÄÓ Å Ð Ò ËÓÐÓÚ Â Ò È Ð Ô ËØ Ð ØÝ Ó Ñ ØØ Ö Ò Ñ Ò Ø Ð È Ý º Ê Úº Ä Øغ ½ µº ¾¾ ½½ ½ µº Ä ÐÐ ÓØØ Àº Ò ËÓÐÓÚ Â Ò È Ð Ô ÖÓÙÒ Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ø ØÛÓ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ó ÓÑÑÙÒº Å Ø º È Ý º ¾ ¾ ¾¼¼ µº Ä ÐÐ ÓØØ Àº Ò Ì ÖÖ Ò Ï ÐØ Ö º Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÓÐÐ Ô Ò ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò Û Ø Ê Ð Ø Ú Ø Ã Ò Ø Ò Ö Ý ÒÒ Ð Ó È Ý º ƺ ºµ ½ ½¾ ½ µº Ä ÐÐ ÓØØ Àº Ò Ù ÀÓÖÒ ¹ÌÞ Ö Ì Ò Ö Ö Ì ÓÖÝ Ó ËØ ÐÐ Ö ÓÐÐ Ô Ø Ä Ñ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò ÓÑÑÙÒº Å Ø º È Ý º ½½¾ ½ ½ ½ µº ÇÒ Ö Ä Ö Ð ØÖÓ Ø Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÅÓÐ ÙÐ ÂÓÙÖº È Ý º Ѻ ½ ½ ½ µº ËÓÐÓÚ Â Ò È Ð Ô ËÓÑ ÑÔÐ ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ ØÓ Ø ÇÒ Ö Ð ÑÑ ÓÒ Ñ ØÖ Ô Ê ÔÓÖØ ÓÒ Å Ø º È Ý º ¾ ½ º ½¼ ËÓÐÓÚ Â Ò È Ð Ô ÍÔÔ Ö ÓÙÒ ØÓ Ø ÖÓÙÒ ËØ Ø Ò Ö Ó Ø ÇÒ ¹ Ò ÌÛÓ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ó º ÌÓ ÔÔ Ö Ò ÓÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ð È Ý ¾¼¼ º
39 Ñ ÔÖ Ð ¾¼¼ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ Å Ð Ö Ñ Ò Æ ÓÐ ËØÖ Ò Ë Ö Ö Ð ÒØ Ò Ú ºµ Ì Ö Ö Ö Ì Ù ÖÓ ¹Æ ÒÒ Ø ÍÐÖ Ù ÓÐØÞ Ì Ò Ö ÒÒ Î Ò Ð Å ÖØ Ò Ñ Ù Ñ ÙÖ Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑ Ö Ì Ö Ò º ÙÒ ¾¼¼ ÁÒ Ð ÑÓ Ø ÖÒ Ó Ò Ø Ø Ð ÑÓ Ñ Ø º Ùº Ñ Ø ÖÒ Ö Ú Ø Ä Ì º Ñ Ö Ø ÒØ ÖÒØ Ð º Ø ÖØÖÝ Ø ÐÐ Ø Ñ Ð Ò Ú Ð º Ð Ø Ñ»Ó ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø Ð Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ô Ö Ò ¾½¼¼ Ã Ò ÚÒ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ùº» ÑÓ» ÇÔÐ ¼¼ Ø º ÁËËÆ ½ ¹¾½
40 Ð Ð Ø ÓÖÖ Ã Ù Ú Ò Ù Øº ËÓÐ Ò Ö ÖÙ Ø Ö Ñ Ó ÓÖÖ Ø Ð Ò Ø ÓÑ ÐÒ Óѹ Ñ Ø Ø Ð Ã Ò ÚÒº Ö Ö Ñ Ð Ó Ú ÖÑ ÐÙ Ø Ò ÑØÐ Ô Ö ÒÒ Ö ¹ Ý Ò Ò Ò Ö ØÖ Ð Ú Ø ØÖÙ Ø Ò Ó Ò Ø Ñ ÖØ Ò Ö Ñ ÐØ Øº ÃÒÓÔÔ Ö Ö Ó Ø Ð Ô ÐÐ ØÖ Ö Ó Ù Ó ¹ Ý Ò Ò Ò Ð¹ Ö Ù Ò Ö Ø Ñ Ô Ð ØÙ Ö Ò ÓÑ Ò ÖØ ÔÖ Ò Ö Ù ÓÑ Ò Ø Öº ÐÐ Ô Ð ØÙ Ö Ò Ö ÖÙ ÓÖ ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø Ö ÓÖ Ø Ð Ú Ö Ú Ö Ô Ñ ÑÓ ¹ Ø Ø ÐØ Ö ÖØ Ð Ö ÒÒ Ò º Ø Ö Ú ÐÚ Ð Ð Ð ÓÖ Ñ Ò Ö Ö¹ Ø Ð Ö Ö ÐØ ÓÖ Ñ Øº Î Ö Ö ÓÖ Ù Ù Ø ØÓ ÖØ Ð ÖÒ Ø Ð ÙÒ ÒÙѹ Ñ Ö Ø Ó Ú Ú ÑÓ Ø Ö Ö ÖØ Ð Ö Ð Ú Ö Ø Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ó ØÓ Öº Ø Ö ÐÚ Ð Ð Ð Ø Ö Ú Ð¹ Öº Á Ö ÒÖ ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø Ö Ö Ò Ó Ð ØÓÖ Ð Ò ØÙ Ò¹ Ò Ð Òº Å Ò Ú Ú Ô Ò Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ö ÖØ Ð Ö Ô Ò Ò Ú Ð¹ Ð ÖØ Ð ÖÒ ÓÖÑÓ ÒØÐ Ð Ø Ð Ú Ð Øº Ë Ö Ö Ø Ð ÓÑ Ø Ú Ö ÖÙÒ Ø Ñ Ò ÑÑ Ø Ö Ó ÓÖ Ùй Ð Ö ÐÐ ÒÝ Ù º Ö Ö Ö ÑÓ Ø Ð ÓÑ Ø Ú ÐÙ Ö Ù Ó ÔÖ Ð Ö Ö Ð ¹ Ú Ö ÓÖ ÒØÐ ÔÐ Ø Ð ÐÐ ÒÝ Ô ÔÐ ÒØ Öº Â Ö Ú Ø Ú ÐÚ Ø Ð Ú Ú ÐØ ØØ Ú Ð Ù Ñ Ø ÓÖ Öº Ç Ñ Ò Ð ¹ Ö Ö Ú Ø ÐÐ Ö Ø Ú ÚÐÒ Ò ¹ Òº Ë Ñ ÐÐ Ö ØÓÔÔ Öº È Ú Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ú Ð ÐÓØ Ò ÐÐ Ú ÐÓÚ Ö Ø Ñ Ò Ö Ó Ò Ô º Î Ø Ð Ö ÚÝ Òº
q 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.
ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ
ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ËÓ ÃÓÚ Ð Ú Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖØ Ð Ö ØÓ Ô ÐØ Ø µ ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º
ŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ
deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320
*36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø
ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø
ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ
JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM
ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ
w j p j 1 w j / p / = 1
ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º
ÈÐ ÒÐ Ò Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÙÐØÙÖ ÐØ Ú Ö ÒØ Ñ Ð ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö ØØ ÇØØ Ò ¼½½ ¾µ ÄÓÙ ÌÖ Ò Ö ½ µ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ê Ò Î ØÓÖ Î ÐÕÙ Î Ð ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÖع
ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼
Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò
V e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
ÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ
Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼
Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼ Ý ÓÖ ÄÁ ËØ Ò À Ò Ò ¾¼¼ ÁË Æ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ ËĹ Ó Ð Ò Ì ÓÖÚ Ð Ò Ú ¼ ½ ½ Ö Ö Ö ÓÖ ÓØÓ È Ø Ö º È Ø Ö Ò ÆÝ ÖÓ ÓØÓ Á»Ë Ô Ø
È Ö Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Â Ò Ä ÙØ Ö Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ Ó Æ Ð ØÐ Ò Ö Ò Î Ð Ö ÖÒ Ä ÙÖ Ò ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐ ¾ ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º ÒÙ Ö ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÈÖÓ Ø Ø Ö Ö Ñ Ñ Ö Ö Ò ØÓÐ ÙÑ Ð ÖØ ÐÚ ÒÖ ÓÔØÖ¹ Ö Ô Ö ÖØ ÑÓ Ø Ö Ò Ú Ø º ÈÖÓ
αν x ν αν αν ϕ(x ν )
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ ÑÓ ½½º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò Å ÖØ Ò
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
Effektivisering af det industrielle byggeri
Effektivisering af det industrielle byggeri Kandidatspeciale Byggeri og anlægssektoren Byggeledelse Aalborg universitet Sonja Dissing Pedersen Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Civilingeniøruddannelsen
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½ Ñ ½½º Ñ ÖØ ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò È Ø Ö ÄÙÒ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º½ ÔØ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑ
¾
½ ¾ ÁÒ ÓÐ ½ ÆÓÑ Ò Ð ØÙÖ ¾ ØÖ Ø ÁÒ Ð Ò Ò ½½ º½ ÓÖÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÁÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ä Ú Ð Ò Ò º º
Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø ÁÒ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø
(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L
![(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L](/thumbs/77/74710801.jpg "(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L")
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÙÒ ¾¼¼ 2 4¹Ð Ó¹ ÐÓ Ò º ½ º À Ö Ò Ò Ö Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ Öº Ò Ð ÐÐ ÖÙÔÔ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö À Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö Ö
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ ÓÙÐ Ú Ö Ëº Ö ÒØ È½¼ ½ ¼¼ ÁÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ð ÙÒ ØÖ º Ö Ö ØÓÔ
xi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)
ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø
¾
Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ã Ò Ú Ò Í Ò Ú Ö Ø Ø ½½º ÙÒ ¾¼½¼ Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ø Ò ËÐ ØÓÖÒ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ð Ö Æ Ø Ð Ï Ð ¾ ÁÒ ÓÐ Ê ÙÑ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ½ ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ
ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ø ÒÖ Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÐØ Ø ÚÖ ØÖ
Ì Ø Ð Í Ö Ø Î Ð Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ò ØÓ Ð Ò Ñ Ò È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ý Ó Ã Ñ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ½º Ñ ¾¼¼ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö
LØSNING AF OPENSHOP OG FLO WSHOP PR OBLEMER Susanne Hjorth Tønder Rasm ussen L YNGBY 2001 EKSAMENSPR OJEKT NR. 00/00 IMM
Ä ËÆÁÆ ÇÈ ÆËÀÇÈ Ç ÄÇÏËÀÇÈ ÈÊÇ Ä Å Ê ËÙ ÒÒ À ÓÖØ Ì Ò Ö Ê ÑÙ Ò Ä Æ ¾¼¼½ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ¼¼»¼¼ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÙØØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò Ö ØÙ Ø ÓÖ ÓÔÒ¹ Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö
ÇÚÖ Ø ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ½ ÁÒØÖÓ Ó ÒÖÐÐ ÖÖ ¾ Å ÑÐ Ð Ô Ø ØÑØ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÍÚÐ ØÐ ÙÒØ ÚÖÒ ¹ ØÙÔ ÃÒØ ÐÐÖ ÙÒØ ÚÖÒ Ê Ê ÒÓØ µ ÂÒ Ãº ÅÐ
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ
ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å
ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ÂÙÐ ÙØØÑ ÒÒ ÓÖ Ò Ò Ó ÙÑ Å ÒÞ ¾¼½ Ì
ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ì ÓÖ Ö Ø Ù Ú Ð Ò ÔÐ Ð Û Ö Ý Ø Ñ Ö Ì ÓÖÝ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ö Ð Ð Û Ý Ø Ñ ÌÙ Ö Â Ò Ò Ì Ö Ð ÃÖ Ø Ò ÌÓÐ ØÖÙÔ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ñ Ò ÔÖÓ Øº ÈÖÓ Ø Ø Ö Ù Ö Ø Ú ÁÒ Ø ØÙØ
ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÐ ÔØÐ ½¼µ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ Ø
ÇÒØÓÐÓ Ø Ø Ò Ò ÆÐ ØÐ ÒÖ Ò È Ö Ö Ì ÓÑ À Ð Ö Ò Ò Ó Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ ÎÐ Ö ÌÖÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ Ô Ð ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º Ó ØÓÖ ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÁÒ Ø Å Ø Ö Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ö ÔÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ØØ Ñ¹ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ
Analyse Numerique -- 2ieme Annee ENSEM -- Annee Version provisoire
ÇÔØ Ñ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò º Î Ò Ö ½ Ù ÐÐ Ø ¾¼¼ ÔÓÐÝÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ¾¼¼ ¾¼¼ г Ò Ò Ñ ÒØ ÕÙ ³ ÔÖÓ Ù Ô Ò ÒØ ÔÖ Ü Ò º Å ÒØÓ Ò ÕÙ ÙÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ñ Ø Ð³ ÓÒÒ ÙÖ Ö Ö ÕÙ Ø ÜØ Ó Ø ØÖ Ù ÙÜ ØÙ
ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÑÔÐ À Ó ÚØ ÃÓÖÖÐØÓÒ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ Ô ½½µ ÅÒ Ø ÚÖØÖ ÑØÓ ÁÒÖÒ ÖÖ ÓÒ ÑÓÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÐÒÒ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÈÖØÓÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÃÓÖÖÐØÓÒ Ó ÖÖ ÓÒ Ê Ê
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÃÔØÐ ½½ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ
γ : t I R γ(t) = P(t) S.
Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð
ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ ÖØ ÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ ÃÓÒØÒÙÖØ ÓÖÐÒÖ ¼ ÃÔØÐ ËØÔÖÚÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ Ó Ò Ó ØÓ ØÔÖÚÖ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÚÖÒ Ö ÃÔØÐ ¼ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒРʹÒÓØ ËØØ Ø Ú ÑÙ
ÃÙÖ Ù ¼¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ËÙÑÑÖÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¼» ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ ËÝ Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÌÁÌ Ä ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÑÐ Ö Ì Å Å ÖÓ Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö ÈÊÇ ÃÌÈ ÊÁÇ ½º ÖÙ Ö ½º Ñ ¾¼¼½ ÈÊÇ ÃÌ ÊÍÈÈ ½¼ ÊÍÈÈ Å Ä ÅÅ Ê Å Ð Ë ÔÔ Ö Ò Ö Ò Â Ô Ö Ð Ù Ò Ð Ê Ò ÂÙ Ø Æ Ð Ò ÇÐ
φ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j
½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½ Å ÌÄ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ Ã ÖÒ Ð Å Ø Ó ÊÓ ÖØ Ë ØØ Ò Ö Ø Ó ÇØÓ Ö ¾¼ ¾¼½½ Ì Ø Ð Ö ÔÓÖØ ÓÒØ Ò ÓÑ ÓÔ ÙÐÐÝ ÐÔ ÙÐ ØÙ ÓÖ ÛÖ Ø Å Ì¹ Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÖÒ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÓ Ý Ö Ù Ö ÓÒØ Ò Ú ÖÝ ÓÓ ÓÑÔ
Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼
Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ Ø Ú Ð Ó ÓÑ ØÖÝ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ ØØÔ»» ºØ Ò ÓÒº º л Ø» ËÔÓÒ ÓÖ Ý ÙÖÓÔ
Ò Ð Þ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ò ÐÓ ÙÐ Óѹ ÐÙÐ ØÓÖ ÈÖÓ Ø ÔÐÓÑ Ò Ó Ù ÁÙÒ ¾¼¼¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÙÐ ÐÙÐ ØÓ Ö ÙÐØ Ø ÙØÓÑ Ø ÐÙÐ ØÓ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ò Ì Ñ Ó Ö ÊÓÑ Ò ÓÒ Ù ØÓÖ ÔÖÓ Ø ºÐº Ò º Å Ö Ò ÓÐ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÑ Ø Ò ÝÓÙ
High-Z SN Search Team Supernova Cosmology Project. m-m (mag) =0.3, W L =0.7 W M =0.0 =1.0, W L = D(m-M) (mag)
Å ÏÒÓÛ ÓÒ Ö ÒÖÝ ÖÒ ÀÙØÖÖ Ï ØÖÒ Ê ÖÚ ÍÒÚÖ Øݵ ÄÖÓÒ ÂÑ ÊØÓÒ ¼¼½±µ ÄÙÑÒÓÙ ÅØØÖ ¼½±µ 00 11 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 ÖÝÓÒ ÅØØÖ ±µ 000000 111111 000000 111111 00000000 11111111
Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
ÁÑÔÐ Ø ÙܹÓÖÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÃÙÞÑ Ò Åº ÅĐÓÐÐ Ö Ëº ÌÙÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ
ÁÑÔÐØ ÙܹÓÖÖØ ØÖÒ ÔÓÖØ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒØ ÐÑÒØ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐÖ ÕÙØÓÒ º ÃÙÞÑÒ Åº ÅĐÓÐÐÖ Ëº ÌÙÖ ÁÒ ØØÙØ Ó ÔÔÐ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ ÖÑÒÝ ËØØ Ó Ø ÖØ ÖØ ÔÔÖÓ ØÓ ÙÔÛÒÒ³ ÆÓÒÐÒÖ Å¹Ì ÓÖÑÙÐØÓÒ ÍÒ ÐÑØÒ ØÖØÝ ÆÙÑÖÐ
ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒØÓÒ ÙÒÖ ÚÒ Ð ÐÝ ÒÒ ¹ Ó ÓÒØÖ ØÓÖÓÐ ËØÒ ÙÒÖ ËÔÐÒÐÒ Ú ØÐÓ ÁÒ ØØÙØ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ÁÃ͵ ¼º ÙÐ ¾¼¼½ ½ Ê ÙÑ ÒÖ ÖÒ ÑØÓÖ ØÐ ÑÒØÖÒ ØÒ ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒ¹ ØÓÒ ÇÊ ÔÔÐØÓÒÖ ÙÒÖ º Ö ÙÚÐ Ø ÓÑÔÐØ Çʹ Ý ØÑ ØÐ ÙÒÖ Ð
Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÀÝ ÓÐÓÖÐØ Ë ½ ÁËÆ ¾¹ ¹½¹ ÆÖº ÖÒ ËØÙ ÀÙÑÒØØ ÖÒ Ø Ñ ÓÔÖ Ö ÒÒ ÓÒ ØÖ Ñ Ò ÚÖÐÓÚÒ ÐÐÖ ØÖ Ñ ÚØÐÖ ÓÑ ÓÔÖÒ ÒÒØØ Ñ ÃÓÔÒÓÖ ÒØÖ
Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ê ÙÖ Ú ÌÖ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖعÄÙ Û ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ĐÓØÞ ÇÐ Å
ÄÑØ ÌÓÖÑ ÓÖ ÙØÓÐ Ó ÊÙÖ Ú ÌÖ ÖØØÓ ÞÙÖ ÖÐÙ ÓØÓÖÖ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ù ÈÝ Ö ÐÖعÄÙÛ ¹ÍÚÖ ØĐØ ÖÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖÐØ ÚÓ ĐÓØÞ ÇÐ ÅÙ ÓÙ Ñ ÖÙÖ ¼¼ ÈÖÓº Öº ÃÝ ÃĐÓ Ñ ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÄÙÖ ÊĐÙ ÓÖ ÈÖÓº Öº ÊÐÔ ÆÖ ØÙÑ Ö ÑĐÙÐ ÈÖĐÙÙ
ÐÖÒ Ó ØÐØÓÖÒ Ó«ÒØÐ ÒÐ ÖÝÔØÖÒ Ó ÒÖÒº ÆÓØÖ ØÐ ÙÖ Ù ÙÐ Óغ ¾¼¼¼ ÊÚÖØ ÙÖ Ù Ø ØÐ Ó ÝÐÒÐ ÔØ Ö ÃÒ ÒØ ÓÑ Ô¹ Ð Ô ÛÛÛºÑºÙºÒ ÑØÔµ ÂÓÒ Èº ÀÒ Ò ¹ÑÐ ÑØÔѺٺ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÖÙ ÍÒÚ Ö ØØ ÁÒÐÒÒ ÁÒÓÐ ÃÔØÐ ½º ËØÖ Ø ÐÐ Ú ÓÖ
À Ö¹ÇÖ Öµ ÍÒ Ø ÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Å ÙÖ Ó Ý Ð ¹Ê Ò ÓÒ ÖÓÙÞ Ã Ñ Ö Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð À Ö ÓØ¹Ï ØØ ÍÒ Ú Ö
ÀÖ¹ÇÖÖµ ÍÒ ØÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐØ Ù ØØÙØÓÒ ÅÙÖÓ ÝйÊÒÓÒ ÖÓÙÞ ÃÑÖÒ ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÓÑÔÙØÖ Ò ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÍÒÚÖ Ö Ð ÀÖÓعÏØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ö Ð º º Ö Ð ÒÙÖ ËÓØÐÒ Á ÒÓÚÒ Ø ÆØÖÐÒ ÇØÓÖ ¾¼¼¼ Ìг ÈÐÒ ½º ÏØ ÀÇÍ ¾º ÀÇÍ Ò ÜÔÐØ Ù
ÖØ ÚÖÒ ØÓÖØ ÓÑ Ø Ò ÐÐÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÒØ ÒÚÒØ ÜÑÔÐÖº ÅÒ ØÖØÒÒ ÑØ ÓÖ ÐÐ ËÝÒ ÔÙÒØÖ Ö ÚÐ ÒØÓÔ Ø Ø Ò ØÖØ ÚÐ Ø Ú ÚÖØ ÓÖÙÒØ Ñ ÙÖÒÐ ÎÒ ÐÖ ÔÙÐØÚ Î Ø ÓÑÑ ØÐ Ò Ä ÒÒ ËÔ
ØÒÒÒ ÓÑ ÃÐÓ ØÖÖÒØÖ Ìº ƺ ÌÐ ¾º ÆÓÚÑÖ ½¾ Á Ø Å Ò ÙÙ Ø ºº ÚÐØ ÀÒ³ ÖØÓÒ ÓÖ ØÖØ Ñ ËÐ Ø ØÒ ÓÒ ÙÐÒØ ÀÖº ÈÖÓ ÓÖ Äº ÇÔÔÖÑÒÒ Ó ÃÑÑÖÙÒÖ ÈÖÑÖ¹ÄÙØÒÒØ ÖÒØ ÓÑ ÓÖ Ð ØÐÐÖ Ö Ø Ò ÖØ ÒÒ ÓÖ Ð ÓÑ Ø ÒÐ Ô Ø ØÒ ÓÖ ÖÐ Ö ÓÖ ÃÚÒÖ
ÈÓÖØÐÓÔØÑÖÒ ÓÖ Ò ÖÐÖØÐÒ ÃÓÙÖÓ ÅÖÒ Ê ÑÙ Ò ¾¾µ ½¾º ÑÖØ ¾¼¼ ÎÐÖ ÈÖÓº ÂÒ ÐÙ Ò ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖÒ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÓÖÓÖ ØØ ÑÒ ÔÖÓØ Ö ÙÖØ ÓÑ ÐÙØÒÒ Ô ÑÒ ÙÒÒÐ ÓÑ ÚÐÒÒÖ Ñ ÖØÒÒ ØÒÐ Ò ÒÚÒØ ÑØÑØ Ú ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ Øغ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ Ò ½ ¼ ¹½ ½µ Ö Ø Ð Ö Ö Ó ÐÓ Öº ÇÔ Ò Ø Ö Ø ³Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒ³ Ó ÓÖ Ö Ð ÓÓÐ Ð Ö ÐÓ º
Ð ÓÖ ØÙÖ ÅØÑØ ¹ÓÒÓÑ Ó ËØØ Ø ½º ÖÒ ÒÖº ÑÖ ¼¼ ÙÙ ØÙ ÅÓÖÒ ½¼¹½½µ ÖØ ÐÖÖ Ó ÐÓÖº ÇÔÒØ ÖØ ³ÑØÑØ ÒÙØÓÒ³ Ó ÓÖÖ Ð ÓÓÐ ÐÖ ÐÓº ÁÒÓÐ Ì Ö ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÙÐÐÖ
ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ë Ð Ý ÙÒ Ý ÂÓĐ Ð ÓÓ Ò Þ Ë Ò ÓÝ ÖÙ Ý Å Ý ¾¼¼½ ØÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ô ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ô ¹ ØÝ Û Ø
ÇÒ¹ÐÒ ÙÐÒ ÓÒ ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ ËÐÝ ÙÒ Ý ÂÓĐÐ ÓÓ Ò Þ ËÒÓÝ ÖÙ Ý ÅÝ ¾¼¼½ ØÖØ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ Ò ÖØÖÞ Ý Ô ÓÖ ÓÔÙØÒ Ô¹ ØÝ ÛØ Ø ÒØÖÔÖØØÓÒ ØØ Ó ÜÙØÒ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÛØ Ô ÓÖ Ø Ø ÙÒØ ÓÔÐØ Øµ ÙÒØ Ó ÜÙØÓÒº Ì ÓÒ¹ÐÒ
ÍÖ Ò ÚÖÒ ÒÐÝ ØÐ ÑÑÒÐÒÒ Ò Ø ØÒ ¾º ØÖ ÖÙÔÔÖ Ó ÓÒÐÙÖ Ù Ö ÒÒº ÓÖ ØÑØ Ó ÓÒÒ ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐÒ Ò Ø ¹ ÒÚ ÓÖ ÓÑÒйÔØÒØÖÒ ÓÖÓÐ ØÐ ÝÒÓÐÓ¹ ÚÖ Ö Ö ØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÚÖÒ ÒÐ
Ø ØØØ ÖºØÜØ Á ØØÔ»» غÔÙÐغٺ»ÐØ» м»ÑÑÓÔÚºØÑе Ò ÓÔÖÐ ÓÚÖ ÑÐÒÖ Ô ÔØÒØÖ Ö Ö ÒÒÑØ Ò Ò ØÝÔÖ ÓÔÖØÓÒÖ µ ÒÖØ Ú Ö Ú ÓÔÐÝ ÒÒ ÓÑ ÔÖ ÓÒÒ ÐÖ Ö ÐÖµ ÑØ ÐÒÒ ÀÖÙÓÚÖ Ò Ø Ò Òصº Ò Ö Ö Ø Ø ÙÒÖ ÚÓÖÒ ÐÒÒ Ò Ø Ò ÒÖ Î Ó ÓÔÖØÓÒ
System AND3 R1 R2 R3 R4 R5
ÖÒÒ ÚÒ Ö ÖÔÖØÓÒ ÒÐÒÖ ØÐ ØÖÓÙÐ ÓÓØÒ ÓÑÒÖ Ñ Ò Ð Ó Ò ÒÐÒÖ System AND1 AND2 AND3 K1 K2 K3 K4 K5 H1 H2 H3 H4 H5 R1 R2 R3 R4 R5 ÖÙÔÔ ¹ Ì ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö Ú ¾¾¼ ÐÓÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÐÒÒ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö
Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004)
Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004) 1a n = rk + 2. m = 2k + 2(r 1)(k 1). Dijkstra: O(m log n) = O((2k + 2(r 1)(k 1))log(rk + 2)) = O(rk log(rk)). 1b 2 / 1 t 1 2 1 / 1 3 / 3 1 3 s 0 / 0 På grafen
ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÖÑ Ð ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑ Ö ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ù Á Ñ Ò ÂÓÙ Ó ÎĐ Đ ÒĐ Ò Ò ØÖ Ø ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ö Ò ÓÚ Ö Ð
ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÖÑÐ ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑÖ ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐÒ ÚÐÙ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ù ÁÑ Ò ÂÓÙÓ ÎĐĐÒĐÒÒ ØÖØ ÁÒ Ó¹ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÚÖÐ ÖÒ ÓÚÖ ÐÐ Ù Ø Ò ÖÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÒ Ò ÕÙ ØÓÒº ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÀÒÒ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ ÚÖÝ ÑÓÐ ÒÓÛ ÛØ Ø
ÃÔØÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ ØÐ ÔÖ ÓÒÒ Ô Ò ØÐÐØ ÐØ Ò Ò ÒÚÒÐ Óѹ Ö ÚÐ ÛÓÖ Ø¹ ÔÖ ÓÒÒ ÓÑ Ö Í³ Ù Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ô 8 ÈÖ ÓÒÒ Ö ÖÓÖ ÚÐØ ØÐ Ø ÚÖ
ÁÒÓÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ¾ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖÓÐÑÖÒ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä ÒÒ ¾º½ ÎÐ
ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹ ÓÖÑÙÐÖØ ÓÑ Ò ÝÒÑ ÐÒÖ ÑÓÐ Ö ØÒ Ï ÆÐ Ò ØØÒ ÖÚÖ Ö ÂÙÒ ¾¼¼¾ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø ÒÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹
ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý Ø Ñ Ë ÑÓÒ ÐÓ ÖÓ ² Ö Ö Ê Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ËØÖÙ Ð Ó ½¼ ¼ Î ÒÒ Ù ØÖ ØÖ Ø Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý
ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ ËÑÓÒ ÐÓÖÓ ² ÖÖ ÊÒ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ËØÖÙÐÓ ½ ÎÒÒ Ù ØÖ ØÖØ Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ Ö Ø ÝÒÑ Ó Ð¹ÖÚع ØÒ Ò ÑÐ Ó ÓÐÐ ÓÒÐ ÔÖØÐ Ò Ø ÖÑÛÓÖ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓÑ ÐÖ ØÓÖÝ
ÇÒ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä ÞÐ Ó ÖÑ Ò Ò ØØ Ð ÃÓÚ Ý ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ø Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø ÖÐ Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú
ÇÒ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ä ÞÐÓ ÖÑÒ Ò ØØÐ ÃÓÚ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÒÚ ØØ ÚÖÓÙ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ º ØÖ ÙÑÑÖÞÒ Ø ÖÐÖ Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ ØØ ÓÖ ÚÒ ÐØØ Ò ÜÔÒ Ú ÑØÖÜ Å Å µ ØÒ ØÖ ÐÛÝ Ü Ø ÙØÐ Ø Ø ÓÖ Û Å µ ÒÙÑÖ Ý ØѺ ÀÖ ÑÒ
Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÑ ÐÐ Ø ¹ ÒÐÓ Ò Ë Ö Ð À Ö¹È Ð ËÓ Ñ Å ÞÙÑ Ö Ý ÆÓÚ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø È Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ò
Ø ÐÓÖØÑ ÓÖ ÓÑÔÙØÒ Ø ËÑÐÐ Ø ¹ÒÐÓ Ò ËÖÐ ÀÖ¹ÈÐ ËÓÑ ÅÞÙÑÖ Ý ÆÓÚÑÖ ¼ ¾¼¼ ØÖØ Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÒÒ ÓÖ ÚÒ Ò ÔÓÒØ Ø È Ò Ø ÔÐÒ Ò Ò ÒØÖ Ò Ø ÑÐÐ Ø ÖÐ ÒÐÓ Ò Ø Ð Ø ÔÓÒØ Ó È º Ï ÔÖ ÒØ ÖÒÓÑÞ ÐÓÖØÑ ØØ ÓÑÔÙØ Ò Ç Òµ ÜÔØ
ÓÖ Ò ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ Ô À Ò ÖÙ Ò ÍÒ Úº Ó Ð Ø Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ö Ö Ã ÐÐ Ö ÍÒ Úº Ó ÖÐ Ò Ò Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒ Úº Ó Ï Ö Û ÈÓÐ Ò Ë Ø Ò Ú Ò ËØÖ Ò ÍÒ Úº Ó Ñ
ÓÖÒ ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒÑÐ Ý ØÑ ÓÒ ÑÔ ÀÒ ÖÙÒ ÍÒÚº Ó ÐØ Ø ÆØÖÐÒ ÖÖ ÃÐÐÖ ÍÒÚº Ó ÖÐÒÒ Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒÚº Ó ÏÖ Û ÈÓÐÒ Ë ØÒ ÚÒ ËØÖÒ ÍÒÚº Ó Ñ ØÖÑ Ø ÆØÖÐÒ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÐÐ ÓÛ ØØ ØÖ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒÑÓÐ ÑÔ ¼ ¼ Û ÒÓÒ¹ÖÒÓÖÑÐÞÐ
Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ê ÛÖ Ø Ò Ö Ø ÉÙ Ö Í Ò Î Û Ë Ö Ó Ò ½ Ï ÖÒ Ö ÆÙØØ ¾ Ò Ð Ü Ò Ö Ë Ö Ö Ò ½ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ö Ò º Ù º º Ð ¾ ÖÑ
ÐÓÖØÑ ÓÖ ÊÛÖØÒ ÖØ ÉÙÖ Í Ò ÎÛ ËÖ ÓÒ ½ ÏÖÒÖ ÆÙØØ ¾ Ò ÐÜÒÖ ËÖÖÒ ½ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ Ì ÀÖÛ ÍÒÚÖ ØÝ ÂÖÙ ÐÑ Á ÖÐ ÖÒ ºÙººÐ ¾ ÖÑÒ Ê Ö ÒØÖ ÓÖ ÖØ Ð ÁÒØÐÐÒ ÃÁ ÑÀµ ½¾ ËÖÖĐÙÒ ÖÑÒÝ ÏÖÒÖºÆÙØغ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ ú ͺ ÄÙÚÒ ÀÚÖÐ
Å¹Ã Ò Ú Ò Ë ÑÔÐ Ö ÐÔ Ø¹ÁÒ Ô Ò ÒØ Å¹ÁÒ Ü Ê Ð ÈÖÞÝÛ Ö ½ ËÞÝÑÓÒ Ö ÓÛ ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ð Ò ÖÓ Ë Ð Ò Ö ½ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ôغ Ì º ÍÒ Úº Ó Ä Ó Þ ÈÓÐ Ò º
Å¹Ã Ò ÚÒ ËÑÔÐÖ ÐÔعÁÒÔÒÒØ Å¹ÁÒÜ ÊÐ ÈÖÞÝÛÖ ½ ËÞÝÑÓÒ ÖÓÛ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò ÐÒÖÓ ËÐÒÖ ½ ÓÑÔÙØÖ ÒÒÖÒ Ôغ ̺ ÍÒÚº Ó ÄÓÞ ÈÓÐÒº ¾ Ôغ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚº Ó Ð Ðº Ú Êº ÖØÓÒ ËÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÏØÖÐÓÓ Òº ØÖغ
Estimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Homepage: Literature: Work environment: library(rcmdr) Why R: 1 R-language. 1.1 Data
Ê ¹ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ÇÐ Ú Ö Ã Ö ÑÔ ½ º ÂÙÐ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Â Ò ¹¼ Â Ò Ñ Ð ÓÐ Ú Ö Ö ÑÔº ½ ½ Homepage: http://www.kirchkamp.de/ Literature: Î Ò Ð ËÑ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ê Î ÖÞ Ò Ë ÑÔÐ Ê ÖÒ ÛÓÖØ ÓÒÓÑ ØÖ Ò
ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼ ÊÓ Ð Ø ¾¾ ¼ ¾¼ Ñ ÑÙÖÙº Û ÑÙºÖÙº à ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ ÁÅÍ Ø Ø ÒÖº»¾¼¼ Ö Ò ¼½¼¹¾¾ Á ØØ ÔÖÓØ
ÌÃËÌ ÆÊ ¾¼¼ ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ Ã ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÌÃËÌÊ Ö ÁÅÍ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎÊËÁÌÌËÆÌÊ ÇÊ ËÌÍÁÌ ÅÌÅÌÁÃ Ç ËÁà ËÅÌ ÊË ÍÆÃÌÁÇÆÊ Á ÍÆÊÎÁËÆÁÆ ÇÊËÃÆÁÆ Ç ÆÎÆÄËÊ ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼
Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ Ò ÇÔÐ ØÐ ËÒØÐ ½½ ÐÙ
ËØÖØ ÊÙÐÖ ÖÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ËÔÐ ØÖÖØ ¼¼½ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÃºÅºÂº ÓÒØÖ Ö ºÎº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Ý ÅºÅº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Þ º ºÂº ÀÙÖ Ò Ü ÂºÃº Ä Ò ØÖ Üß Êº Ê Ú Äº ËØÓÙ Ü Å Ö ¾¼¼ ØÖ
ÔÔÖÓÜÑÓÒ ÐÓÖÑ ÓÖ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ ÃÅÂ ÓÒÖÖ Î ÀÐÐÓÖ ÓÒ Ý ÅÅ ÀÐÐÓÖ ÓÒ Þ Â ÀÙÖÒ Ü ÂÃ ÄÒ Ö Üß Ê ÊÚ Ä ËÓÙ Ü ÅÖ ¼¼ Ö ÁÒ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ Ó Ñ Ñ ÚÒ ÓÖ Û ÓÐÐÓÒ Ó Ù ÐÐ ÑÐÐ ÙÓÐÐÓÒ Ó Ó Ð Ù ÓÖ ÔÖ Ó Ñ Ö Ò ÐÓÒ ÓÒÒ ÜÐÝ ÓÒ Ó ÛÓ Ñ Á
INSTITUT FÜR INFORMATIK
INSTITUT FÜR INFORMATIK ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ ÈØÙÖ ÄÒÙ ÇÐÚÖ ÅØÞ ÖØ ÆÖº ¼¼ ÖÙÖÝ ½ ¾¼¼ CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT KIEL ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÁÒÓÖÑØ Ö Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ ÇÐ Ù Ò ØÖº ¼ ß ¾¼ ÃÐ ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ
ÁÌ ÎÓÐ ÆÓ ÔÔ ß ¹»»¹ ËÛØ ² ØÐÒÖ ÏÝ Ê ØÖØ ØÚ ËÛÖÞ ÓÒÚÖ ØÖ ØÒ ØÚ ËÛÖÞ ÎÊÁÁÃÁ ËÌÌÀÁÇÍ Ò ÅÊÌÁÆ Â ÆÊ ØÖØ ÔÖØÒØ Ó ÅØØ Ò ËØØ Ø ÅÐÐ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÓÒØÖÐ É Ò À à РØØÓÙØÐÐ ÒÖØÐÐ ÊÒØÐÝ ÚÖÒØ Ó Ø ØÚ ËÛÖÞ Ëµ ÔÖÓÒØÓÒÖ Ø Ö
ÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁÄ ËÁÆË ÄÇÊ ÍÆÁÎÊËÁÌ ÊÊÁà ÂÊË Î ÈÓÒ Ã¹ ÄÇÊ ÌÐÜ ½ ½ ÆÅÊà ÌØÐ ËÙØØÐ ÌÑ ÈÖÓØ ÔÖÓ ÇÒ Ø ÚÓÒ ÃÖÑÒ ÕÙØÓÒ ÁÒØйÓÙÒÖÝ ÎÐÙ ÈÖÓÐÑ Ò ËØÐÞØÓÒ ÔÔÐ ÅØÑØÐ ÒÐÝ ÖÙÖÝ Ø ¹ ÂÙÒ ½Ø ÙØÓÖ ÀÒÖ Î Ö ØÒ Ò ÖÒ ÈÖ Ò ËÙÔÖÚ
Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ð Ó ÖÓ Å Ò ÂÒÙÖ ¾¼¼¾ Ð ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø Ø ØÒ ¹ÒØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÌÁÌÄ Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ó ÖÓ Å Ò ÎÂÄÊ ËÖÒ ÄÙÒÝ¹Ö ØÒ Ò ÌÓÑ Ë ÈÊÁÇ ½º ÔØÑÖ
(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L
![(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L](/thumbs/69/60497485.jpg "(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L")
ÅØÑØ ÓÖÒÒ Ö ØÖØÓÒ ÓÖ Ø ÓÐ ÓÑÑÖ ÓÐ Ó Ö Ö Ò ÓÖ Ö Ø Ò ØÐ Ù ÃÒÚÒ Ô Àº ÓÑÑÖ ÓÐÒ ËÖÒ ÐÖ ÃÍ ËÝÑÓÐ ÝÒÑ ÖÒ ÌÓØ ËÍ ÍÐ Ø ÓÑÒØÓÖ ÔÖÓÐÑÖ ÒÚÒÖ ØÐ ÑØÑØ ØÙÖÒ Ò Ø ÐÚÐ ËÓÑÑÖ ÓÐÒ ØÙÙѺ Ⱥº¹ ØÙÖÒ Ö Ó ÑØ ÚÐÓÑÒº Ö Ö Ø ÐØÖÝÖ
à ÊÆ Ä Ê Å ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈ Ê ÌÇÊË Î ÁÌ ËÄ Î Î Ë Ä ØÖ Øº Ó Ö Ñ ÜÔ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ð À Ð ÖØ Ô Ö ÜÔÐ Ò Ò ÓÒØ ÜØ Û Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ò Û ÓÑ ØÖ Ô¹ Ô
ÃÊÆÄ ÊÅ ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈÊÌÇÊË ÎÁÌËÄÎ ÎËÄ ØÖغ Ó ÖÑ ÜÔÒ ÓÒ Ò ÔÖÐ ÀÐÖØ Ô Ö ÜÔÐÒ Ò ÓÒØÜØ ÛØ Ø ØÓÖÝ Ó Ô ÙÓÒÚÖ ÓÔÖØÓÖ º ÒÛ ÓÑØÖ Ô¹ ÔÖÓ ÓÙØÐÒ ÓÒÒØÒ ÓØ Ö º Ò ØÖØÚ Öѹ ÔÖÓÙÖ Ù Ø Û Ò ØÓ ÚÒ ÙÒØÓÒ ÒØ ÖÑ ÓÖ Ê Þ ÓÖ Ø ÜÔÒ
Ö Ñ Ø Ë Ò Ê ÓÒ Ö ÁÐ Ò Î Ö ÓÒØ ÒØ ½ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ½¾ È Ý Ð ÙÑÔØ ÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÑ Ø ËÒ ÊÓÒÖ ÁÐÒ ÎÖ ÓÒØÒØ ½ ÌÖÒ ÐØÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓÐÑ ½¾ ÈÝ Ð ÙÑÔØÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÖØ ÖÓÙÒ º º º º º º º
½ ËÐ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÇÐ Ú Ö Ä ÙÖ ÒØ ÁÅĹ ÆÊË Å Ö ÐÐ ÇÐ Ú ÖºÄ ÙÖ ÒØÔÔ º Ù Ùº Ö ÄÓÖ ÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖ ÙÒ ÖÓÑ º Ø ØÖ Ø ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓ
½ ËÐÒ ÔÓÐÖÞ ØÚ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ÇÐÚÖ ÄÙÖÒØ ÁÅĹÆÊË ÅÖ ÐÐ ÇÐÚÖºÄÙÖÒØÔÔ ºÙ ÙºÖ ÄÓÖÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖÙÒÖÓÑ ºØ ØÖØ ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÓÑÔÙØÒ ÛØ Ø ØÚ Û ÒØÖÓÙ ÒÓØÓÒ Ó Ð ÔÖÓÓ¹ÒØ ÓÖ Ø ÔÓÐÖÞ ÖÑÒØ Ó ÐÒÖ ÐÓº Ï ÔÖÓÚ
Matematiklærerdag 2008
Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit
ÚÒÖØ ÃÖ Ý ØÑ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÍÖØ ÈÖÓØÖÙÔÔ ¹ ¹¼ ÐØÖÓÒ ¹ ÐØÖÓØÒ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Í ¾¼ º ¾¼¼ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÐØÖÓÒ ËÝ ØÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÌÁÌÄ ÚÒÖØ Ö Ý ØÑ ÌÅ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÈÊÇÂÃÌÈÊÁÇ ¾º Ô ¾¼¼ ¹ ¾¼º ¾¼¼ ÊÍÈÈ
H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Ä Ð Ö Ô Ò ÝÒ Ñ Ä Ò Å Ø Ò ÓÖ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ò ÐÝ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ È Ý ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙ Ö¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ó ÙÑ ÚÓ
ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ ÒÐÝ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö Ò ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ò Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÈÝ ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÓÙÑ ÚÓÖÐØ ÚÓÒ ÄÙÖÒÞ Ï ÓØØ ÂÙÐ ½ ÈÙÐ Ï ÓØØ Äº ½µº ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ
ÒØÒÒ Ù ÒÙÑ Ó Ò ÖÑÒØÙÖÒÒÖ Ó ÝÒÒ Ò ÒÒ Ó Ò ØØÖÙ Ô ÃÒØ ËÐÐÒ Ø ËÐÐ ÊØØÖ Ó ÏÒØÖÐ Ù ÚÖÙÐ Ö ÙÑÝÒÖ Ò Ó Ú Ò ØÖ ÐÐØ ØÐ ÚÐÓ º Ö Ø ØØ ÑÐÐ ÚÐÐÖ Ò Ò ÒÒ ÚÖ ÙÑÝÒÖÙÖ Ó
ÊÔÔ Ò Ö Ø ÒÖ Àº ÙÑÙÒ ÓÒ ÊÙÒÚ Ò ØÓÒÙÒ À ÐÒ ÁÒÒÒÙÖ ÀÙ Ø ÓÑ Ø ÃÙÔÑÒÒÒ Ò ÆØÙÖÐÖÒ ÑÒ Ð ØÖ Àº º Ö Ø Ó ÚÖ Ò ØÐÙ ØÐ ÒÒ ÐÙ Ð Ö Ú ÀÒÖ Ð Ó ÐÖ Ð Ò¹ ÑÖÙº ÀÒ ÚÖ Ó ÒÓØÙ Ñ Ð Ð Öº Ò ÒØÙÖ ÒÖÑØ ÖÖÖ Ö ØÙ ÚÖ ÝÖ Ø ÒÒ ÐÙÒ Ð
Ê ÓÒ¹ ÅÓ Ð ØÖ Ø ÓÒ Â Ö ÑÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø º Ö Ð Ýº Ù Â Ñ Êº Ä ÖÙ Ð ÖÙ Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Â Ó Ê Ó Ö Ó Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Ù Ù Ø ¾¼¼ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖ Ö Ñ Ãº Ê Ñ
ÊÓÒ¹ ÅÓÐ ØÖØÓÒ ÂÖÑÝ ÓÒØ ÓÒØ ºÖÐݺ٠ÂÑ Êº ÄÖÙ ÐÖÙ ÑÖÓ ÓغÓÑ ÂÓ ÊÓ ÖÓÑÖÓ ÓغÓÑ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖÖÑ Ãº ÊÑÒ ÖÖÑÑÖÓ ÓغÓÑ ÅÖÓ ÓØ Ê Ö ÅÖÓ ÓØ ÓÖÔÓÖØÓÒ ÇÒ ÅÖÓ ÓØ ÏÝ ÊÑÓÒ Ï ¼¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ ÖºÑÖÓ
AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN
AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN 10. SEMESTER MORTEN GROTKJÆR HANSEN ÅÓÖØÒ ÖÓØÖ ÀÒ Ò ¾ ØØ
À ÐÝ ÙÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÒÚ ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÎ ÁÚ Ò ËÐ ÔÒ Ö Ý Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ä Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Ø Â Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ò Â ¾
ÀÐÝ ÙÖØ ËÝÑÑØÖÒÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÀÝÔÖÓÐ ËÎ ÁÚÒ ËÐÔÒÖ Ý ÙÙ Ø ¼ ¼¼ ØÖØ ÄØ Ñ Ò ÖÐ ÑØÖÜ ÛØÙÐÐ ÓÐÙÑÒ ÖÒÒ ÐØ Â Ò Ò ÓÒÐ ÑØÖÜ Ó Ò Â º ÌÝÔÖÓÐ ÒÙÐÖ ÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ ÀËε Ó Ø ÔÖ Âµ Ò Í Î Í ÓÖØÓÓÒÐ ÔÓ ØÚ ÒØÓÒÐ Ò Î Â¹ÓÖØÓÓÒÐ
ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÖÐ Ò Ò¹ÆÙÖ Ñ ÙÖ Ö Ó ÅÙÐØ Ñ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò Å Ø Ö Ì ËØ Ð Þ Ò Ø Ø ÆÒ ÈÖÓ Ø ÓÒ Èµ Ð ÓÖ Ø Ñ ËØ Ð ÖÙÒ Ø ÆÒ ÈÖÓ Ø ÓÒ Èµ ¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ý Ù
ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÖÐÒÒ¹ÆÙÖÑÙÖ Ö Ó ÅÙÐØÑ ÓÑÑÙÒØÓÒ Ò ËÒÐ ÈÖÓ Ò Å ØÖ Ì ËØÐÞÒ Ø Ø ÆÒ ÈÖÓØÓÒ Èµ ÐÓÖØÑ ËØÐ ÖÙÒ Ø ÆÒ ÈÖÓØÓÒ Èµ¹ÐÓÖØÑÙ Ý ÙÒÒ ÈÆ ËÙÔÖÚ ÓÖ ÈÖÓº Ôк¹ÁÒº ÏÐØÖ ÃÐÐÖÑÒÒ ÖÐÒÒ ÅÝ ÖÐĐÖÙÒ Á ÚÖ Ö ÖØ ÓÒ ÖÑ ÀÐ ÙÒ ÓÒ
! " # !" # $ % & ' ( ) * +, -. /
!"#!# $%!"#$%&' ()*+,-./0' # ; >? FGHI J'# KLH MN KL!"#$%#&'()*+,-./ 0+ + 2 3456789:6;