Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger"

Transkript

1 Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05

2 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4

3 Grundlæggende uligheder Sætning Cauchy-Schwarz u)lighed) Lad x, y R. Da gælder x y = x y Bevis. Beviset for ovenstående overlades som en øvelse til læseren. Sætning Trekantsuligheden) Lad x, y R. Da gælder x + y x + y Bevis. Vi bemærker først, at x + y = x + y) = x + y), hvor første lighedstegn følger af Sætning. Men da fås x + y = x + y) = x + y + xy x + y + x y = x + y ) Da x x er strengt voksende kan vi altså slutte x + y x + y. Sætning 3 Bernoullis ulighed) Lad x R og n N. Da haves for x at Bevis. Betragt prædikatet P bestemt ved Vi bemærker, at P ) er trivielt opfyldt. Antag nu P k). Da fås + x) n + nx P k) : + x) k + kx, x [, ), n N + x) k+ = + x) + x) k ) + x) + kx) = + k + )x + kx ) + k + )x hvor ) følger af antagelsen P k), mens ) ses ved den trivielle betragtning kx 0 for alle k N og x R. Hermed er P k + ) vist, og sætningen følger af princippet om matematisk induktion. Sætning 4 AM-GM ulighed) Lad x, x,..., x n R +. Da haves x + x x n n n x x... x n

4 Bevis. Betragt prædikatet P bestemt ved P k) : x + x x k k Vi bemærker, at P ) trivielt er opfyldt. k x x... x k, x i R + for alle i k Antag nu P k). Lad α være det aritmetiske gennemsnit af k + ikke-negative reelle tal, altså k + )α = x + x x k+ I tilfældet x = x =... = x k+ er P k + ) trivielt opfyldt, hvorfor vi ved en omarrangering af indicies kan antage x k > α og α > x k+. Da har vi Betragt nu de k tal x, x,..., x k, y med Som følge af antagelsen P k) har vi da Som følge af.) får vi dog x k α)α x k+ ) > 0.) y := x k + x k+ α x k α > 0 α k+ = α k α x x... x k yα.) x k + x k+ α)α x }{{} k x k+ = x k α)α x k+ ) > 0.3) y men da kan vi altså slutte yα > x k x k+. Vi får altså.) k+ α x x... x k yα.3) > x x... x k+ α.) k+ x x... x k yα.3) > k+ x x... x k+ eftersom x x er en strengt voksende funktion på R +. Vi har nu vist P k + ) hvorfor sætningen følger af princippet om matematisk induktion. Grænseovergange Vi introducerer indledningsvis en abstrakt definition af grænseovergange, som vi først skal anvende direkte til at vise enkelte, velkendte grænseovergange, hvorefter vi vil søge at generalisere og formalisere grundlæggende egenskaber for grænseovergange. Definition 5 Lad f : X R være en funktion med X R. Betragt a R, hvor f er defineret i en omegn af a. Vi siger da lim x a fx) = b hvis ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ fx) b < ε 3

5 Lemma 6 Lad f, g, h : X R opfylde relationen fx) gx) hx), og antag lim x a fx) = lim x a hx) = b. Da er lim gx) = b x a x X Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi bemærker først, at antagelsen om lim x a fx) = b giver, at der findes δ, δ > 0, så x a < δ fx) b < ε 3 Betragt nu x a < δ hx) b < ε 3 gx) b = gx) fx) + fx) b gx) fx) + fx) b Før vi er i mål har vi brug for at begrænse størrelsen gx) fx), hvilket vi gør med følgende vurdering Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås gx) fx) = gx) fx) hx) fx) = hx) fx) gx) b gx) fx) + fx) b hx) fx) + fx) b hx) b + fx) b + fx) b < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε for alle x a < δ. Hermed er det ønskede vist. Lemma 7 Vi viser, at sin x lim x 0 x = Bevis. Betragt indledningsvis Figur. Vi ser at den lille trekant har arealet sin x, cirkelstykket areal x og endelig har den store trekant areal tan x. Figur : Geometrisk vurdering af sin x 4

6 Dette giver os følgende vurdering for x [0, π/) En omarrangering af ovenstående giver da 0 sin x x tan x cos x sin x x, for x [0, π/).) Vi bemærker da, at x sin x og x cos x er lige funktioner, hvorfor.) er opfyldt for alle x x π, π). Men da lim x 0 cosx) = følger det ønskede af Lemma 6. Sætning 8 Antag f har en grænseværdi for x gående mod a R. Da er denne grænseværdi entydigt bestemt. Bevis. Antag at vi for b, b R har Da findes altså δ, δ > 0, så lim fx) = b og lim fx) = b x a x a x a < δ fx) b < ε Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås x a < δ fx) b < ε b b = b fx) + fx) b b fx) + fx) b < ε + ε = ε for x a δ, a + δ). Men da ε > 0 var vilkårligt valgt og uligheden b b < ε ikke afhænger af x, kan vi slutte b = b, hvilket er det ønskede. Sætning 9 Lad f, g være defineret i nærheden af a R. Antag lim x a fx) = F og lim x a gx) = G. Da gælder a) lim x a fx) + gx) = F + G. b) lim x a c fx) = cf. c) lim x a fx) gx) = F G. fx) d) lim x a = F, forudsat G 0. gx) G e) Lad f : X Y og g : Y Z med X, Y, Z R. Antag lim x a fx) = b og lim y b gx) = G. Da gælder lim x a gfx)) = G 5

7 Bevis. Vi viser først a). Lad ε > 0 være givet. Vælg δ, δ > 0, så x a < δ fx) F < ε Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås x a < δ gx) G < ε fx) + gx) F G) fx) F + gx) G < ε + ε = ε for alle x a < δ, hvilket viser det ønskede. Vi viser nu b). Lad igen ε > 0 være givet og antag c 0. Vælg δ > 0, så Da fås x a < δ fx) F < ε c cfx) cf = c fx) F < c ε c = ε for alle x a < δ. I tilfældet c = 0 er b) trivielt opfyldt. Dette viser lim x a cfx) = cf, hvilket er det ønskede. Vi viser nu c). Lad igen ε > 0 være givet. Bemærk først fx) gx) F G = fx) gx) fx) G) + fx) G F G) Ved trekantsuligheden følger det da = fx)gx) G) + Gfx) F ) fx) gx) F G fx) gx) G + G fx) F Eftersom lim x a fx) = F kan vi vælge ρ > 0 så fx) F < for alle x a < ρ. Men da følger det igen af trekantsuligheden fx) = fx) F + F fx) F + F < + F Igen, fordi vi antog lim x a fx) = F og lim x a gx) = G, kan vi vælge δ, δ > 0 så x a < δ fx) F < ε G ε x a < δ gx) G < + F ) 6

8 Sæt nu δ = min{ρ, δ, δ }. Da fås fx)gx) F G fx) gx) G + G fx) F for alle x a < δ, hvilket er det ønskede. < + F ) gx) G + G fx) F ε < + F ) + F ) + G ε G = ε Vi viser nu d). Lad igen ε > 0 være givet. Da lim x a gx) = G kan vi vælge δ > 0, så x a < δ gx) G < G hvilket kan omskrives til gx) > G /. Videre kan vi vælge δ > 0, så x a < δ gx) G < ε G Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås for G 0 gx) G = G gx) gx)g G gx) < G G = G < ε G G = G gx) gx) G = ε G gx) for alle x a < δ. Vi kan nu slutte lim x a =. Men da følger det af c), at gx) G fx) lim x a gx) = lim fx) x a gx) = lim fx) lim x a x a gx) = F G = F G hvilket netop er det ønskede. Vi viser slutteligt e). Lad ε > 0 være givet. Da lim y b gx) = G kan vi vælge δ > 0, så y b < δ gy) G < ε Ligeledes haves, at eftersom lim x a fx) = b, da kan vi vælge δ > 0, så x a < δ fx) b < δ Men da haves gfx)) G < ε for alle x a < δ, hvilket netop er det ønskede. 7

9 Vi har endnu kun behandlet konvergente grænseovergange. Vi skal slutteligt definere og udlede enkelte resultater om grænseovergange, hvor funktionsværdien vokser eller aftager ubegrænset. Definition 0 Lad f : X R være en funktion med X R. Betragt a R, hvor f er defineret i en omegn af a. Vi siger da lim x a fa) = hvis K > 0 δ > 0 x X : x a < δ fx) > K Tilsvarende definerer vi for en funktion f, der er defineret på et domæne X R, som ikke er begrænset opadtil, at lim x fx) = b hvis ε > 0 M > 0 x X : x > M fx) b < ε I ovenstående tænker vi på K og M som store tal modsat ε og δ). Vi kan naturligvis kombinere ovenstående definitioner til at beskrive grænseovergange som lim x fx) = på oplagt vis. Sætning Lad f : X R være en funktion med X R. Lad endvidere g : X R opfylde fx) gx) samt lim x a gx) =. Da haves lim fx) = x a Bevis. Lad K > 0 være givet. Da vi har antaget lim x a gx) = findes δ > 0, så for alle x X haves x a < δ gx) > K Men bemærk da, at fx) gx) > K, hvilket viser at lim x a fx) =. Eksempel Lad f : R + R være givet ved fx) = x Vi viser lim x fx) = 0. Lad ε > 0 være givet. Vi har da fx) 0 < ε x < ε x > ε Sæt M = ε. Da haves x > M fx) < ε 8

10 Eksempel 3 Lad g : R \ {0} R være givet ved gx) = sin x x Vi viser, at lim x gx) = 0. Bemærk 0 gx), hvorfor det følger af Lemma 6 at x lim gx) = 0 x 3 Kontinuitet Begrebet kontinuitet dækker over en formalisering af den intuitive egenskab at en funktion kan være sammenhængende - vi kan med andre ord tegne grafen for en funktion uden at løfte blyanten, såfremt funktionen er kontinuert! Definition 4 Lad f : X R være en reel funktion, hvor X R. Vi siger da, at f er kontinuert i a X hvis ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ fx) fa) < ε I ord er givet en vilkårlig størrelse ε > 0, som vi typisk vil tænke på som et meget lille tal. For at vise, at en funktion f : X R med X R er kontinuert i et punkt a X, skal vi bestemme en størrelse δ > 0, der - afhængig af valget af ε - skal sikre, at ethvert x X, som har afstand mindre end δ > 0, giver anledning til en funktionsværdi fx) med afstand mindre end ε til fa). Bemærk at vi i termer af grænseovergange kan formulere kontinuitetsegenskaben som lim fx) = fa) 3.) x a Denne betragtning gør det let for os at formulere grundlæggende værktøjer til at konstruere kontinuerte funktioner. Sætning 5 Lad f : X R og g : X R med X R være kontinuerte i a X. Da gælder i) Funktionen x fx) + gx) er kontinuert i a. ii) Funktionen x fx) gx) er kontinuert i a. iii) Funktionen x fx) gx) er kontinuert i a, hvis g er forskellig fra 0 i en omegn af a. iv) Sæt Y = fx) og definer h : Y R og antag h er kontinuert. Da er h f kontinuert i a. Bevis. Tilfældene i)-iv) følger direkte af Sætning 9, hvorfor vi ikke vil gentage beviset her. 9

11 4 Følger Definition 6 Lad x n ) være en følge. Vi siger, at x n ) er konvergent med grænseværdi x R såfremt ε > 0 N N : n N x n x < ε Hvis der ikke findes et sådant x siger vi x n ) divergerer. Eksempel 7 Betragt følgen x n ) bestemt ved x n = + n Vi viser at x n ) er strengt voksende. Ved Sætning 4 fås + n + n n + ) ) n > n+ + n Bemærk nu, at vi kan omskrive venstresiden, så + n ) + n = n + n + n + = + n + Da x x n+ er strengt voksende for n N kan vi ved at sammenholde ovenståede slutte x n+ = + n) n+ > + n) n = x n ) n hvilket netop viser det ønskede. Eksempel 8 Betragt følgen y n ) bestemt ved y n = + n ) n+ Vi viser, at y n ) er strent aftagende. Vi betragter følgende brøk ) n+ + n ) + n+ = n+ = n+ ) n+ n n+ n+ + n + n + ) n+ = n + n ) n+ n + n ) + n + n + n > + n + ) n+ Vi kan således ved at forlænge med nævneren i udtrykket til venstre opnå uligheden y n = + n) n+ > + ) n+ = y n+ n + 0

12 Sætning 9 Lad x n ) være en voksende, begrænset følge. Da er x n ) konvergent med lim x n = sup{x i i N} n Bevis. Sæt x = sup{x i i N} og lad ε > 0 være givet. Antag for modstrid, at for alle n N haves x x n ε. Men da fås x ε x n, hvorfor x ikke er supremum, hvilket er en modstrid. Vi kan altså slutte, at der findes N N, så x N x < ε. Da x n ) er en voksende følge gælder desuden om n N x x n = x x n x x N = x x N < ε hvilket netop er det ønskede. Bemærk nu at følgen x n ) fra Eksempel 7 har følgende begrænsning x n = + n) n + n) n+ = y n < y = 4 hvorfor vi kan slutte af Sætning 9 at x n ) er konvergent. Definition 0 Det naturlige tal e defineres ved e := lim + n n ) n og kan approksimeres til e, 783. Med definitionen af det naturlige tal e kan vi nu udlede følgende helt centrale egenskab. Sætning For alle x R gælder følgende ulighed e x x + Bevis. Vi bemærker først, at med a R + og substitutionen ax = n, x > 0 fås lim + x n = lim + n n) ) ax a a = lim + ) a ) x a a ) = lim + ) a ) x a a = e x hvor ) følger, da funktionen b b x er kontinuert for alle x R +. Det ses oplagt, at ovenstående ligeledes er sandt for x = 0. Vi bemærker først, at for x < giver Bernoullis ulighed os, at + x) n + nx, hvorfor y n ) n y, for n > y n

13 ) n Da følger det af Lemma 6, at lim n y n =. Heraf ses nu for y 0, at ) n = y n y + y n n ) n ) n e y = e y for n Dette giver nu anledning til følgende betragtning for x < 0 lim + x n = lim n n) x ) n = = ex n n e x Vi får nu hvilket er det ønskede. + x + n) x n e x n Eksempel Lad os vise, at f : R R + givet ved forskriften fx) = e x er bijektiv. Bevis. Vi viser, at f er strengt voksende, hvoraf det følger, at f specielt er injektiv. Lad x, x R, hvor x > x. Da fås x x > 0 x x + > e x x > e x x > 0 e x e x x ) > 0 e x e x > 0 fx ) > fx ) Lad os desuden vise, at f ligeledes er surjektiv. Da f er kontinuert og strengt voksende bemærker vi, at f[ n, n]) = [f n), fn)] = [e n, e n ] for alle n R. Dette giver anledning til følgende beregninger som giver os ) fr) = f [ n, n] lim fn) = lim n n en = lim f n) = lim n n e n = lim n e = 0 n n= ) = f[ n, n]) = n= hvor ) følger af overvejelsen ) { y f [ n, n] y y Y n= [e n, e n ] = 0, ) n= } x [ n, n] : y = fx) n= y {y Y n N x [ n, n] : y = fx)} y {y Y n N : y f[ n, n])} y f[ n, n] n=

14 Da vi nu har vist, at x e x er en bijektiv funktion har vi, at der findes netop én invers funktion, som giver anledning til følgende definition. Definition 3 Lad stadig f : R R + være givet ved fx) = e x. Vi definerer nu funktionen g : R + R som den entydigt bestemte funktion, der opfylder x R : g fx) = x og x R + : f gx) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften gx) = lnx), læs: den naturlige logaritme til x). Sætning 4 For alle x R + gælder følgende ulighed lnx) x Bevis. Vi tager udgangspunkt i den allerede kendte ulighed e x x +. Vi får for x R + x = e lnx) lnx) hvor uligheden følger af Sætning. Hermed er det ønskede vist. Vi viser slutteligt en ækvivalent definition af kontinuitet. Sætning 5 Lad f : X R med X R være en funktion. Da er f kontinuert hvis og kun hvis der om enhver følge x n ) med lim n x n = a gælder lim n fx n ) = fa). Bevis. Antag f er kontinuert i a og lad ε > 0 være givet. Vælg da δ > 0, så fx) fa) < ε for alle x a δ, a + δ). Betragt nu en vilkårlig følge x n ) med lim n x n = a, og vælg N > 0 så for alle n N haves x n a < δ. Men da følger det af kontinuitetsantagelsen, at fx n ) a < ε, hvilket viser lim n fx n ) = fa). Antag for en vilkårlig følge x n ) med lim n x n = a at lim n fx n ) = fa). Antag for modstrid, at der findes ε 0 > 0 så for alle δ > 0 eksisterer et x X, så x a < δ og fx) fa) ε. Sæt δ n = > 0 og vælg for hvert δ n i et x i, så fx i ) fa) ε 0. Da vil følgen x n ) opfylde lim n x n = a, hvorfor vi har lim n fx n ) = fa). Dette er imidlertid en modstrid, eftersom vi har fx n ) fa) ε 0 > 0. Vi viser slutteligt en anvendelelse af netop ovenstående ækvivalente definition. Eksempel 6 Betragt funktionen f : R \ {0} R givet ved ) fx) = sin x Vi viser, at f ikke kan plomberes i 0, så f bliver kontinuert. Antag for modstrid, at der findes b R, så udvidelsen af f ved at sætte f0) = b gør f kontinuert. Betragt nemlig følgerne x n ), med x i = πi y n ), med y i = i + )π 3

15 Vi har oplagt lim n x n = lim n y n = 0, men ) lim fx n) = lim sin n n = lim sinπn) = 0 n πn lim fy n) = lim n n sin π+ ) n = lim sin π + ) )n n = sin π) = hvilket en er modstrid, jf. Sætning 6. 5 Perspektivering Vi har i vores endimensionale tilfælde altid opfattet afstanden d mellem to punkter x, y R som dx, y) = x y Vi skal i det følgende generalisere dette afstandsbegreb i termer af en metrik, og undersøge hvordan det påvirker kontinuitet. Definition 7 Lad M være en ikke-tom mængde. En funktion d : M M R kaldes en metrik, hvis d opfylder følgende betingelser for vilkårlige elementer x, y, z M. M) dx, y) 0, dx, y) = 0 x = y Ikke-negativitet) M) dx, y) = dy, x) Symmetri) M3) dx, z) dx, y) + dy, z) Trekantsuligheden) Hvis d er en udvalgt metrik på M, kaldes parret M, d) et metrisk rum. En metrik d er altså en afbildning, der til to punkter x, y M knytter et tal dx, y). Som følge af M) kan denne værdi opfattes som afstanden mellem de to punkter, som er strengt positiv i alle tilfælde, hvor x y, som følge af M). Den tredje betingelse M3) udtrykker den intuitive egenskab at indskydes et punkt mellem to punkter, så er den stykvise afstand længere end eller lig den direkte vej. Eksempelvis har vi for punkter i planen, at længden af siden i en trekant altid er mindre end eller lig summen af de øvrige sider. Eksempel 8 Lad os betragte funktionen d : R R R defineret ved {, for x y dx, y) = 0, for x = y Vi viser, at d er en metrik på R. Lad x, y R og bemærk indledningsvis dx, y) 0. Videre haves dx, y) = 0 x = y 4

16 hvorfor d opfylder M). Det ses ligeledes let, at d opfylder M). Betragt endelig x, y, z R. Hvis dx, y) = eller dy, z) = er M3) trivielt opfyldt, så antag dx, y) = 0 = dy, z). Dette giver imidlertid x = y og y = z, hvorfor x = z og dx, z) = 0. I dette tilfælde er M3) således ligeledes opfyldt. Af Eksempel 9 ser vi, at vores definition af metrikker giver anledning til mere eller mindre degenererede afstandsbegreber. Det viser sig, at kontinuitetsegenskaben for en funktion f er kraftigt afhængig af, hvilken metrik vi anvender. Eksempel 9 Definér en funktion f : R, ) R, d), hvor d angiver den diskrete metrik. Antag f er kontinuert. Vi viser, at f er konstant. Vi har per antagelse, at for ε = > 0 findes δ > 0 så x a < δ dfx), fa)) < Per definition af den diskrete metrik har vi således fa) = fx) for alle x a δ, a + δ). Antag for modstrid at der findes et største M > 0 så fa) = fx) x a M, a + M) Vælg a = a M og a = a + M. Da f er kontinuert findes δ, δ > 0 så fa ) = fx) x a δ, a + δ ) fa ) = fx) x a δ, a + δ ) Siden der er overlap mellem ovenstående intervaller og a M, a+m) kan vi endvidere slutte fa ) = fa) = fa ). Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da haves fa) = fx) x a M δ, a + M + δ) hvilket er en modstrid. Dette viser f er konstant. Definér en funktion f : R, d) R, ), hvor d angiver den diskrete metrik. Vi viser at f er kontinuert. Lad ε > 0 være givet. Vælg δ =. Bemærk nu dx, a) < δ er ækvivalent med x = a, hvorfor f oplagt er kontinuert, da da, x) < δ fx) fa) < ε x = a fx) fa) = 0 < ε hvor den nederste implikation naturligvis er opfyldt. 5

17 Definition 30 Definér χ : R R R ved a b, for a, b R +a )+b ) χa, b) =, for a R, b = +a, for a =, b R +b 0, for a = b = Sætning 3 Enhver funktion f : R R, som er kontinuert i R, ), er ligeledes kontinuert i R, χ). Bevis. Bemærk først, at for x, y R haves χx, y) = x y + x ) + y ) x y Antag nu at f : R R er kontinuert i R, ). Da haves altså ε > 0 δ > 0 : x a < δ fx) fa) < ε Men for samme δ > 0 gælder da for alle x a < δ, at χfx), fa)) fx) fa) < ε hvorfor f er kontinuert i R, χ). Enhver reel funktion f : R R, som er kontinuert under metrikken χ, er ligeledes kontinuert i R, ), dog er beviset mere teknisk og udelades her. En reel funktion f er således kontinuert i R, ) hvis og kun hvis f er kontinuert i R, χ), dog giver metrikken χ os videre mulighed for at arbejde med kontinuitet af funktioner med en eller flere singulariteter. Eksempel 3 Vi viser slutteligt, at funktionen f : R, ) R, χ) givet ved { x fx) =, for x 0, for x = 0 er kontinuert i 0. Lad ε > 0 være givet. Da haves χfx), f0)) < ε + fx) < ε + x < ε ε x < ε Ved at vælge δ = ε ε har vi således vist f er kontinuert i 0 under metrikken χ. 6

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002

GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002 GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

t x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]).

t x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]). Artikel 35 Gammafunktionen En introduktion Jacob Stevne Jørgensen I 1700-tallet var interolation en vigtig discilin blandt matematikere. Det handler om ud fra et givet datasæt at finde en funktion, hvis

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

Optimering i Moderne Portefølje Teori

Optimering i Moderne Portefølje Teori Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere