Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
|
|
- Ingeborg Juhl
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05
2 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4
3 Grundlæggende uligheder Sætning Cauchy-Schwarz u)lighed) Lad x, y R. Da gælder x y = x y Bevis. Beviset for ovenstående overlades som en øvelse til læseren. Sætning Trekantsuligheden) Lad x, y R. Da gælder x + y x + y Bevis. Vi bemærker først, at x + y = x + y) = x + y), hvor første lighedstegn følger af Sætning. Men da fås x + y = x + y) = x + y + xy x + y + x y = x + y ) Da x x er strengt voksende kan vi altså slutte x + y x + y. Sætning 3 Bernoullis ulighed) Lad x R og n N. Da haves for x at Bevis. Betragt prædikatet P bestemt ved Vi bemærker, at P ) er trivielt opfyldt. Antag nu P k). Da fås + x) n + nx P k) : + x) k + kx, x [, ), n N + x) k+ = + x) + x) k ) + x) + kx) = + k + )x + kx ) + k + )x hvor ) følger af antagelsen P k), mens ) ses ved den trivielle betragtning kx 0 for alle k N og x R. Hermed er P k + ) vist, og sætningen følger af princippet om matematisk induktion. Sætning 4 AM-GM ulighed) Lad x, x,..., x n R +. Da haves x + x x n n n x x... x n
4 Bevis. Betragt prædikatet P bestemt ved P k) : x + x x k k Vi bemærker, at P ) trivielt er opfyldt. k x x... x k, x i R + for alle i k Antag nu P k). Lad α være det aritmetiske gennemsnit af k + ikke-negative reelle tal, altså k + )α = x + x x k+ I tilfældet x = x =... = x k+ er P k + ) trivielt opfyldt, hvorfor vi ved en omarrangering af indicies kan antage x k > α og α > x k+. Da har vi Betragt nu de k tal x, x,..., x k, y med Som følge af antagelsen P k) har vi da Som følge af.) får vi dog x k α)α x k+ ) > 0.) y := x k + x k+ α x k α > 0 α k+ = α k α x x... x k yα.) x k + x k+ α)α x }{{} k x k+ = x k α)α x k+ ) > 0.3) y men da kan vi altså slutte yα > x k x k+. Vi får altså.) k+ α x x... x k yα.3) > x x... x k+ α.) k+ x x... x k yα.3) > k+ x x... x k+ eftersom x x er en strengt voksende funktion på R +. Vi har nu vist P k + ) hvorfor sætningen følger af princippet om matematisk induktion. Grænseovergange Vi introducerer indledningsvis en abstrakt definition af grænseovergange, som vi først skal anvende direkte til at vise enkelte, velkendte grænseovergange, hvorefter vi vil søge at generalisere og formalisere grundlæggende egenskaber for grænseovergange. Definition 5 Lad f : X R være en funktion med X R. Betragt a R, hvor f er defineret i en omegn af a. Vi siger da lim x a fx) = b hvis ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ fx) b < ε 3
5 Lemma 6 Lad f, g, h : X R opfylde relationen fx) gx) hx), og antag lim x a fx) = lim x a hx) = b. Da er lim gx) = b x a x X Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi bemærker først, at antagelsen om lim x a fx) = b giver, at der findes δ, δ > 0, så x a < δ fx) b < ε 3 Betragt nu x a < δ hx) b < ε 3 gx) b = gx) fx) + fx) b gx) fx) + fx) b Før vi er i mål har vi brug for at begrænse størrelsen gx) fx), hvilket vi gør med følgende vurdering Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås gx) fx) = gx) fx) hx) fx) = hx) fx) gx) b gx) fx) + fx) b hx) fx) + fx) b hx) b + fx) b + fx) b < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε for alle x a < δ. Hermed er det ønskede vist. Lemma 7 Vi viser, at sin x lim x 0 x = Bevis. Betragt indledningsvis Figur. Vi ser at den lille trekant har arealet sin x, cirkelstykket areal x og endelig har den store trekant areal tan x. Figur : Geometrisk vurdering af sin x 4
6 Dette giver os følgende vurdering for x [0, π/) En omarrangering af ovenstående giver da 0 sin x x tan x cos x sin x x, for x [0, π/).) Vi bemærker da, at x sin x og x cos x er lige funktioner, hvorfor.) er opfyldt for alle x x π, π). Men da lim x 0 cosx) = følger det ønskede af Lemma 6. Sætning 8 Antag f har en grænseværdi for x gående mod a R. Da er denne grænseværdi entydigt bestemt. Bevis. Antag at vi for b, b R har Da findes altså δ, δ > 0, så lim fx) = b og lim fx) = b x a x a x a < δ fx) b < ε Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås x a < δ fx) b < ε b b = b fx) + fx) b b fx) + fx) b < ε + ε = ε for x a δ, a + δ). Men da ε > 0 var vilkårligt valgt og uligheden b b < ε ikke afhænger af x, kan vi slutte b = b, hvilket er det ønskede. Sætning 9 Lad f, g være defineret i nærheden af a R. Antag lim x a fx) = F og lim x a gx) = G. Da gælder a) lim x a fx) + gx) = F + G. b) lim x a c fx) = cf. c) lim x a fx) gx) = F G. fx) d) lim x a = F, forudsat G 0. gx) G e) Lad f : X Y og g : Y Z med X, Y, Z R. Antag lim x a fx) = b og lim y b gx) = G. Da gælder lim x a gfx)) = G 5
7 Bevis. Vi viser først a). Lad ε > 0 være givet. Vælg δ, δ > 0, så x a < δ fx) F < ε Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås x a < δ gx) G < ε fx) + gx) F G) fx) F + gx) G < ε + ε = ε for alle x a < δ, hvilket viser det ønskede. Vi viser nu b). Lad igen ε > 0 være givet og antag c 0. Vælg δ > 0, så Da fås x a < δ fx) F < ε c cfx) cf = c fx) F < c ε c = ε for alle x a < δ. I tilfældet c = 0 er b) trivielt opfyldt. Dette viser lim x a cfx) = cf, hvilket er det ønskede. Vi viser nu c). Lad igen ε > 0 være givet. Bemærk først fx) gx) F G = fx) gx) fx) G) + fx) G F G) Ved trekantsuligheden følger det da = fx)gx) G) + Gfx) F ) fx) gx) F G fx) gx) G + G fx) F Eftersom lim x a fx) = F kan vi vælge ρ > 0 så fx) F < for alle x a < ρ. Men da følger det igen af trekantsuligheden fx) = fx) F + F fx) F + F < + F Igen, fordi vi antog lim x a fx) = F og lim x a gx) = G, kan vi vælge δ, δ > 0 så x a < δ fx) F < ε G ε x a < δ gx) G < + F ) 6
8 Sæt nu δ = min{ρ, δ, δ }. Da fås fx)gx) F G fx) gx) G + G fx) F for alle x a < δ, hvilket er det ønskede. < + F ) gx) G + G fx) F ε < + F ) + F ) + G ε G = ε Vi viser nu d). Lad igen ε > 0 være givet. Da lim x a gx) = G kan vi vælge δ > 0, så x a < δ gx) G < G hvilket kan omskrives til gx) > G /. Videre kan vi vælge δ > 0, så x a < δ gx) G < ε G Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da fås for G 0 gx) G = G gx) gx)g G gx) < G G = G < ε G G = G gx) gx) G = ε G gx) for alle x a < δ. Vi kan nu slutte lim x a =. Men da følger det af c), at gx) G fx) lim x a gx) = lim fx) x a gx) = lim fx) lim x a x a gx) = F G = F G hvilket netop er det ønskede. Vi viser slutteligt e). Lad ε > 0 være givet. Da lim y b gx) = G kan vi vælge δ > 0, så y b < δ gy) G < ε Ligeledes haves, at eftersom lim x a fx) = b, da kan vi vælge δ > 0, så x a < δ fx) b < δ Men da haves gfx)) G < ε for alle x a < δ, hvilket netop er det ønskede. 7
9 Vi har endnu kun behandlet konvergente grænseovergange. Vi skal slutteligt definere og udlede enkelte resultater om grænseovergange, hvor funktionsværdien vokser eller aftager ubegrænset. Definition 0 Lad f : X R være en funktion med X R. Betragt a R, hvor f er defineret i en omegn af a. Vi siger da lim x a fa) = hvis K > 0 δ > 0 x X : x a < δ fx) > K Tilsvarende definerer vi for en funktion f, der er defineret på et domæne X R, som ikke er begrænset opadtil, at lim x fx) = b hvis ε > 0 M > 0 x X : x > M fx) b < ε I ovenstående tænker vi på K og M som store tal modsat ε og δ). Vi kan naturligvis kombinere ovenstående definitioner til at beskrive grænseovergange som lim x fx) = på oplagt vis. Sætning Lad f : X R være en funktion med X R. Lad endvidere g : X R opfylde fx) gx) samt lim x a gx) =. Da haves lim fx) = x a Bevis. Lad K > 0 være givet. Da vi har antaget lim x a gx) = findes δ > 0, så for alle x X haves x a < δ gx) > K Men bemærk da, at fx) gx) > K, hvilket viser at lim x a fx) =. Eksempel Lad f : R + R være givet ved fx) = x Vi viser lim x fx) = 0. Lad ε > 0 være givet. Vi har da fx) 0 < ε x < ε x > ε Sæt M = ε. Da haves x > M fx) < ε 8
10 Eksempel 3 Lad g : R \ {0} R være givet ved gx) = sin x x Vi viser, at lim x gx) = 0. Bemærk 0 gx), hvorfor det følger af Lemma 6 at x lim gx) = 0 x 3 Kontinuitet Begrebet kontinuitet dækker over en formalisering af den intuitive egenskab at en funktion kan være sammenhængende - vi kan med andre ord tegne grafen for en funktion uden at løfte blyanten, såfremt funktionen er kontinuert! Definition 4 Lad f : X R være en reel funktion, hvor X R. Vi siger da, at f er kontinuert i a X hvis ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ fx) fa) < ε I ord er givet en vilkårlig størrelse ε > 0, som vi typisk vil tænke på som et meget lille tal. For at vise, at en funktion f : X R med X R er kontinuert i et punkt a X, skal vi bestemme en størrelse δ > 0, der - afhængig af valget af ε - skal sikre, at ethvert x X, som har afstand mindre end δ > 0, giver anledning til en funktionsværdi fx) med afstand mindre end ε til fa). Bemærk at vi i termer af grænseovergange kan formulere kontinuitetsegenskaben som lim fx) = fa) 3.) x a Denne betragtning gør det let for os at formulere grundlæggende værktøjer til at konstruere kontinuerte funktioner. Sætning 5 Lad f : X R og g : X R med X R være kontinuerte i a X. Da gælder i) Funktionen x fx) + gx) er kontinuert i a. ii) Funktionen x fx) gx) er kontinuert i a. iii) Funktionen x fx) gx) er kontinuert i a, hvis g er forskellig fra 0 i en omegn af a. iv) Sæt Y = fx) og definer h : Y R og antag h er kontinuert. Da er h f kontinuert i a. Bevis. Tilfældene i)-iv) følger direkte af Sætning 9, hvorfor vi ikke vil gentage beviset her. 9
11 4 Følger Definition 6 Lad x n ) være en følge. Vi siger, at x n ) er konvergent med grænseværdi x R såfremt ε > 0 N N : n N x n x < ε Hvis der ikke findes et sådant x siger vi x n ) divergerer. Eksempel 7 Betragt følgen x n ) bestemt ved x n = + n Vi viser at x n ) er strengt voksende. Ved Sætning 4 fås + n + n n + ) ) n > n+ + n Bemærk nu, at vi kan omskrive venstresiden, så + n ) + n = n + n + n + = + n + Da x x n+ er strengt voksende for n N kan vi ved at sammenholde ovenståede slutte x n+ = + n) n+ > + n) n = x n ) n hvilket netop viser det ønskede. Eksempel 8 Betragt følgen y n ) bestemt ved y n = + n ) n+ Vi viser, at y n ) er strent aftagende. Vi betragter følgende brøk ) n+ + n ) + n+ = n+ = n+ ) n+ n n+ n+ + n + n + ) n+ = n + n ) n+ n + n ) + n + n + n > + n + ) n+ Vi kan således ved at forlænge med nævneren i udtrykket til venstre opnå uligheden y n = + n) n+ > + ) n+ = y n+ n + 0
12 Sætning 9 Lad x n ) være en voksende, begrænset følge. Da er x n ) konvergent med lim x n = sup{x i i N} n Bevis. Sæt x = sup{x i i N} og lad ε > 0 være givet. Antag for modstrid, at for alle n N haves x x n ε. Men da fås x ε x n, hvorfor x ikke er supremum, hvilket er en modstrid. Vi kan altså slutte, at der findes N N, så x N x < ε. Da x n ) er en voksende følge gælder desuden om n N x x n = x x n x x N = x x N < ε hvilket netop er det ønskede. Bemærk nu at følgen x n ) fra Eksempel 7 har følgende begrænsning x n = + n) n + n) n+ = y n < y = 4 hvorfor vi kan slutte af Sætning 9 at x n ) er konvergent. Definition 0 Det naturlige tal e defineres ved e := lim + n n ) n og kan approksimeres til e, 783. Med definitionen af det naturlige tal e kan vi nu udlede følgende helt centrale egenskab. Sætning For alle x R gælder følgende ulighed e x x + Bevis. Vi bemærker først, at med a R + og substitutionen ax = n, x > 0 fås lim + x n = lim + n n) ) ax a a = lim + ) a ) x a a ) = lim + ) a ) x a a = e x hvor ) følger, da funktionen b b x er kontinuert for alle x R +. Det ses oplagt, at ovenstående ligeledes er sandt for x = 0. Vi bemærker først, at for x < giver Bernoullis ulighed os, at + x) n + nx, hvorfor y n ) n y, for n > y n
13 ) n Da følger det af Lemma 6, at lim n y n =. Heraf ses nu for y 0, at ) n = y n y + y n n ) n ) n e y = e y for n Dette giver nu anledning til følgende betragtning for x < 0 lim + x n = lim n n) x ) n = = ex n n e x Vi får nu hvilket er det ønskede. + x + n) x n e x n Eksempel Lad os vise, at f : R R + givet ved forskriften fx) = e x er bijektiv. Bevis. Vi viser, at f er strengt voksende, hvoraf det følger, at f specielt er injektiv. Lad x, x R, hvor x > x. Da fås x x > 0 x x + > e x x > e x x > 0 e x e x x ) > 0 e x e x > 0 fx ) > fx ) Lad os desuden vise, at f ligeledes er surjektiv. Da f er kontinuert og strengt voksende bemærker vi, at f[ n, n]) = [f n), fn)] = [e n, e n ] for alle n R. Dette giver anledning til følgende beregninger som giver os ) fr) = f [ n, n] lim fn) = lim n n en = lim f n) = lim n n e n = lim n e = 0 n n= ) = f[ n, n]) = n= hvor ) følger af overvejelsen ) { y f [ n, n] y y Y n= [e n, e n ] = 0, ) n= } x [ n, n] : y = fx) n= y {y Y n N x [ n, n] : y = fx)} y {y Y n N : y f[ n, n])} y f[ n, n] n=
14 Da vi nu har vist, at x e x er en bijektiv funktion har vi, at der findes netop én invers funktion, som giver anledning til følgende definition. Definition 3 Lad stadig f : R R + være givet ved fx) = e x. Vi definerer nu funktionen g : R + R som den entydigt bestemte funktion, der opfylder x R : g fx) = x og x R + : f gx) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften gx) = lnx), læs: den naturlige logaritme til x). Sætning 4 For alle x R + gælder følgende ulighed lnx) x Bevis. Vi tager udgangspunkt i den allerede kendte ulighed e x x +. Vi får for x R + x = e lnx) lnx) hvor uligheden følger af Sætning. Hermed er det ønskede vist. Vi viser slutteligt en ækvivalent definition af kontinuitet. Sætning 5 Lad f : X R med X R være en funktion. Da er f kontinuert hvis og kun hvis der om enhver følge x n ) med lim n x n = a gælder lim n fx n ) = fa). Bevis. Antag f er kontinuert i a og lad ε > 0 være givet. Vælg da δ > 0, så fx) fa) < ε for alle x a δ, a + δ). Betragt nu en vilkårlig følge x n ) med lim n x n = a, og vælg N > 0 så for alle n N haves x n a < δ. Men da følger det af kontinuitetsantagelsen, at fx n ) a < ε, hvilket viser lim n fx n ) = fa). Antag for en vilkårlig følge x n ) med lim n x n = a at lim n fx n ) = fa). Antag for modstrid, at der findes ε 0 > 0 så for alle δ > 0 eksisterer et x X, så x a < δ og fx) fa) ε. Sæt δ n = > 0 og vælg for hvert δ n i et x i, så fx i ) fa) ε 0. Da vil følgen x n ) opfylde lim n x n = a, hvorfor vi har lim n fx n ) = fa). Dette er imidlertid en modstrid, eftersom vi har fx n ) fa) ε 0 > 0. Vi viser slutteligt en anvendelelse af netop ovenstående ækvivalente definition. Eksempel 6 Betragt funktionen f : R \ {0} R givet ved ) fx) = sin x Vi viser, at f ikke kan plomberes i 0, så f bliver kontinuert. Antag for modstrid, at der findes b R, så udvidelsen af f ved at sætte f0) = b gør f kontinuert. Betragt nemlig følgerne x n ), med x i = πi y n ), med y i = i + )π 3
15 Vi har oplagt lim n x n = lim n y n = 0, men ) lim fx n) = lim sin n n = lim sinπn) = 0 n πn lim fy n) = lim n n sin π+ ) n = lim sin π + ) )n n = sin π) = hvilket en er modstrid, jf. Sætning 6. 5 Perspektivering Vi har i vores endimensionale tilfælde altid opfattet afstanden d mellem to punkter x, y R som dx, y) = x y Vi skal i det følgende generalisere dette afstandsbegreb i termer af en metrik, og undersøge hvordan det påvirker kontinuitet. Definition 7 Lad M være en ikke-tom mængde. En funktion d : M M R kaldes en metrik, hvis d opfylder følgende betingelser for vilkårlige elementer x, y, z M. M) dx, y) 0, dx, y) = 0 x = y Ikke-negativitet) M) dx, y) = dy, x) Symmetri) M3) dx, z) dx, y) + dy, z) Trekantsuligheden) Hvis d er en udvalgt metrik på M, kaldes parret M, d) et metrisk rum. En metrik d er altså en afbildning, der til to punkter x, y M knytter et tal dx, y). Som følge af M) kan denne værdi opfattes som afstanden mellem de to punkter, som er strengt positiv i alle tilfælde, hvor x y, som følge af M). Den tredje betingelse M3) udtrykker den intuitive egenskab at indskydes et punkt mellem to punkter, så er den stykvise afstand længere end eller lig den direkte vej. Eksempelvis har vi for punkter i planen, at længden af siden i en trekant altid er mindre end eller lig summen af de øvrige sider. Eksempel 8 Lad os betragte funktionen d : R R R defineret ved {, for x y dx, y) = 0, for x = y Vi viser, at d er en metrik på R. Lad x, y R og bemærk indledningsvis dx, y) 0. Videre haves dx, y) = 0 x = y 4
16 hvorfor d opfylder M). Det ses ligeledes let, at d opfylder M). Betragt endelig x, y, z R. Hvis dx, y) = eller dy, z) = er M3) trivielt opfyldt, så antag dx, y) = 0 = dy, z). Dette giver imidlertid x = y og y = z, hvorfor x = z og dx, z) = 0. I dette tilfælde er M3) således ligeledes opfyldt. Af Eksempel 9 ser vi, at vores definition af metrikker giver anledning til mere eller mindre degenererede afstandsbegreber. Det viser sig, at kontinuitetsegenskaben for en funktion f er kraftigt afhængig af, hvilken metrik vi anvender. Eksempel 9 Definér en funktion f : R, ) R, d), hvor d angiver den diskrete metrik. Antag f er kontinuert. Vi viser, at f er konstant. Vi har per antagelse, at for ε = > 0 findes δ > 0 så x a < δ dfx), fa)) < Per definition af den diskrete metrik har vi således fa) = fx) for alle x a δ, a + δ). Antag for modstrid at der findes et største M > 0 så fa) = fx) x a M, a + M) Vælg a = a M og a = a + M. Da f er kontinuert findes δ, δ > 0 så fa ) = fx) x a δ, a + δ ) fa ) = fx) x a δ, a + δ ) Siden der er overlap mellem ovenstående intervaller og a M, a+m) kan vi endvidere slutte fa ) = fa) = fa ). Sæt nu δ = min{δ, δ }. Da haves fa) = fx) x a M δ, a + M + δ) hvilket er en modstrid. Dette viser f er konstant. Definér en funktion f : R, d) R, ), hvor d angiver den diskrete metrik. Vi viser at f er kontinuert. Lad ε > 0 være givet. Vælg δ =. Bemærk nu dx, a) < δ er ækvivalent med x = a, hvorfor f oplagt er kontinuert, da da, x) < δ fx) fa) < ε x = a fx) fa) = 0 < ε hvor den nederste implikation naturligvis er opfyldt. 5
17 Definition 30 Definér χ : R R R ved a b, for a, b R +a )+b ) χa, b) =, for a R, b = +a, for a =, b R +b 0, for a = b = Sætning 3 Enhver funktion f : R R, som er kontinuert i R, ), er ligeledes kontinuert i R, χ). Bevis. Bemærk først, at for x, y R haves χx, y) = x y + x ) + y ) x y Antag nu at f : R R er kontinuert i R, ). Da haves altså ε > 0 δ > 0 : x a < δ fx) fa) < ε Men for samme δ > 0 gælder da for alle x a < δ, at χfx), fa)) fx) fa) < ε hvorfor f er kontinuert i R, χ). Enhver reel funktion f : R R, som er kontinuert under metrikken χ, er ligeledes kontinuert i R, ), dog er beviset mere teknisk og udelades her. En reel funktion f er således kontinuert i R, ) hvis og kun hvis f er kontinuert i R, χ), dog giver metrikken χ os videre mulighed for at arbejde med kontinuitet af funktioner med en eller flere singulariteter. Eksempel 3 Vi viser slutteligt, at funktionen f : R, ) R, χ) givet ved { x fx) =, for x 0, for x = 0 er kontinuert i 0. Lad ε > 0 være givet. Da haves χfx), f0)) < ε + fx) < ε + x < ε ε x < ε Ved at vælge δ = ε ε har vi således vist f er kontinuert i 0 under metrikken χ. 6
Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereFunktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
Læs mereOversigt [S] 4.5, 5.10
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereContents. Introduktion 2
Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering
Læs mereGRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereOversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereFordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereOversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereA U E R B A C H M I K E (2) (1)
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs meret x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]).
Artikel 35 Gammafunktionen En introduktion Jacob Stevne Jørgensen I 1700-tallet var interolation en vigtig discilin blandt matematikere. Det handler om ud fra et givet datasæt at finde en funktion, hvis
Læs mere