SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen"

Transkript

1 UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules ligning (se fx Refeene [6] ). Endvidee skal an have læst upeledende elektone A/ af Pe Hedegåd [5]. Den supeledende tilstand e et akoskopisk kvantefænoen. Heved fostås, at de kvanteekaniske effekte so elles noalt e skjulte og skøbelige nu ha akoskopiske konsekvense, de kan ækes og ses. En supelede kan beskives ved hjælp af en akoskopisk bølgefunktion. Hvo an i fx bintatoet beskive en enkelt elektons bevægelse ved hjælp af en bølgefunktion å an ved beskivelsen af den supeledende tilstand benytte en bølgefunktion de beskive den salede vikning af hele det supeledende kondensat (en odnet bevægelse af alle elle næsten alle valenselektonene i det supeledende ateiale). Den akoskopiske bølgefunktion e eget ee obust end en enkelt elektons bølgefunktion, fodi den e udtyk fo en salet, kollektiv vikning af et eget stot antal elektone. Lige so an kan tage en kystal og vende og deje den ed sine hænde uden at kystallen byde saen, findes de også håndtag hvoed an kan tække i den akoskopiske bølgefunktion (se unde osephson-effekten) uden at bølgefunktionen (og deed den supeledende tilstand) byde saen (kollabee). LONDON-LIGNINGERNE I kvanteekanikken opdage an, at an ikke kan buge det sædvanlige udtyk fo ipulsen, nå fx en elekton bevæge sig i et agnetisk felt. Man skal i stedet benytte den såkaldte kanoniske ipuls, so e den sædvanlige kinetiske ipuls plus et eksta bidag so gundlæggende skyldes tilstedevæelsen af et agnetisk felt: Den kanoniske ipuls e givet ved (L-1) p = v qa hvo A e det såkaldte vektopotential og q e ladningen af patiklen. Det e et felt på sae åde so det agnetiske felt, og de gælde, at an få det velkendte B-felt ved at tage otationen af vektopotentialet : A = B, og an kan defo sige at de uden o A-feltet sno sig et agnetisk felt. Hvis vektopotentialet ænde sig i tiden, dannes et elektiske felt: A = E t Dette e faktisk Faadays lov (induktionsloven). Man kan se det ved at tage otationen på begge side af ligningen: A B = E = E t t I afsnittet Det skjulte felt, s i Ref. [5] e det faktisk vektopotentialet, de e det skjulte felt. Heeligheden e, at vektopotentialet påvike bølgefunktionens fase, nå an sende en elekton en tu undt o et sted hvo de e et A-felt, og det kan ses ved at elektonbølgen lave

2 intefeens ed sig selv. I en supelede et det endda elativt net at se fænoenet (se afsnittet "fluxkvantiseing" i denne note. Man kan læse en ee udfølig foklaing af fænoenet i Feynan Letues bd. II, s til øvest []. Den tyske fysike Fitz London opdagede i 1935 saen ed sin bo Heinz, at (L-1) plus en enkelt eksta antagelse o supeledeens bølgefunktion kan foklae Meissneeffekten. Uden påtykt agnetfelt foventes (eget natuligt) en gundtilstand af supeledeen ed den totale ipuls nul: = p Hvis nu bølgefunktionen på en elle anden åde ha en stivhed i sig (so Meissneeffekten jo indikee), og bevae sin fo så p = også nå de påtykkes et felt, å vi defo have at (L-) = ea. v og den supeledende stø å væe givet ved n e (L-3) = n e v = A Med London-ligningen (L-3) i hånden kan vi nu foklae både supeledning og Meissneeffekt: Pefekt konduktivitet (supeledning) Hvis an nu diffeentiee (L-3) på begge side fås (idet (L-5) d dt ne = d A ne = dt E A = E ) at t hvilket betyde at støen ed tiden vokse popotionalt ed et påtykt elektisk felt. Dette e jo i vikeligheden Newtons anden lov fo de supeledende elektone, so gnidningsfit blive aeleeet. Ud ove de supeledende elektone e en vis del, n N, af den salede ængde elektone i supeledeeen noale, dvs. de kan kollidee ed gitteionene og ed hinanden, og de opføe sig defo helt so elektonene i en noal odstand: n e N τ (L-6) N = E hvilket e den velkendte Ohs lov i en lidt anden foklædning. di Tilsvaende e induktionsloven (Faadays lov) L = V jo bae ligning (L-5) i foklædning. dt Man kan defo opfatte supeledeen so vist på ækvivalentkedsløbet heunde, dvs. so en spole i paallel ed en odstand. L R

3 Den supeledende del af elektonene ha ingen odstand en en vis induktans L, ens den noale del af elektonene ha en odstand R i paallel ed induktansen. Nå det elektiske felt påtykkes supeledeen vil støen føst få den noale del af elektonene til at bevæge sig, en i løbet af kot tid ha E-feltet aeleeet de supeledende elektone op. Den kaakteistiske tid fo denne poes vil væe 13 L nnτ 1 1 s (L-7) = = τ R n ( T T ) / T nn hvo de efte sidste lighedstegn e indsat hvoledes afhænge af tepeatuen og tillige indsat n en typisk vædi fo τ. En sådan typisk vædi fo τ findes ved at beæke, at n e N = σ E, hvo konduktiviteten N τ σ =, dvs. at an kan skive elaxationstiden (gennesnitstiden elle to kollisione fo en given elekton) τ so τ =, hvo ρ e esitiviteten af stoffet. Typiske vædie fo elaxationstiden ved 77 K ligge n e ρ N 13 oking 1 1 s. Pefekt diaagnetise (Meissne-effekten) London ligningen sige jo, at n e = A Hvis an tage otationen på begge side af denne ligning fås n e ne (L-8) = A = B På den anden side ha vi en af Maxwell ligningene (Apee s lov; uden o en stø sno de sig et agnetfelt): (L-9) 1 = B µ og tage an otationen på begge side af ligningen fås (L-1) 1 1 = B = µ µ B ættes endvidee (L-1) lig ed (L-8) fås: 1 (L-11) B B = λ hvo 1 µ n e (L-1) λ = Det e ikke svæt at løse ovenstående diffeentialligning (L-11) i fx een diension. Resultatet blive at agnetfeltet aftage eksponentielt fa sin fulde vædi uden fo supeledeen, og den kaakteistiske afstand ove hvilken B-feltet aftage inde i supeledeen e defo givet ved λ, og

4 benævnes indtængningsdybden. Typiske vædie fo indtængningsdybden e 1-1 Å (afhængigt af tepeatuen). Meissneeffekten kan altså fostås ved, at nå supeledeen påtykkes et agnetfelt, induees de en afskæningsstø i det ydeste, tynde lag af supeledeen og afskæningsstøen e pæis så sto, at det agnetfelt so den danne, ophæve det påtykte agnetfelt. Endelig skal an beæke, at an godt kan have pefekt konduktivitet (en "supe-god lede", dvs. et ateiale uden odstand) uden defo at have Meissne-effekten. e på nedenstående figu. En supe-god lede vil nå den blive skubbet ind i et agnetfelt se et agnetfelt de ænde sig, og defo ifølge induktionsloven geneee en stø, de danne et agnetfelt, de odvike det påtykte felt. Hvs den supe-gode lede deiod køles ned ens de e påtykt et agnetfelt, vil de ikke væe nogen ænding i agnetfeltet, og agnetfeltet vil defo stadig gennetænge den supegode lede. Fo en igtig supelede skubbes agnetfeltet deiod ud af supeledeen, i sae øjeblik so tepeatuen nå unde den kitiske tepeatu. GINZBURG-LANDAU TEORIEN Indledning Ginzbug-Landau teoien blev udviklet af de ussiske fysikee Vitaly Ginzbug og Lev Landau i begyndelsen af 195 ene. Den e et estestykke i fysisk intuition. Baseet på de tidligee efainge fa London-ligningene og det faktu at den supeledende tilstand å væe beskevet ved en akoskopisk bølgefunktion, kunne Ginzbug og Landau ved en ække snedige og eget geneelle aguente udlede en ligning, eget svaende til hödingeligningen fo en elekton, so den akoskopiske bølgefunktion å adlyde. Faseovegang og Ginzbug-Landau teoi Ved en faseovegang gå et stof fa en ee syetisk fase (høj tepeatu) til en inde syetisk fase. Et eksepel kunne væe flydende vand (tænk på vand i en kugle det e otationssyetisk). Nå vandet fyse til is blive det faktisk inde syetisk (det iste sin otationssyeti). De opstå pludselig (ved nul gade elsius) en etning, so vi kan beskive ved en etningsvekto, en odenspaaete. Ved en (feo)agnetisk faseovegang odne atoenes spin, de elles ha peget i alle ulige etninge, og pege nu alle i sae etning. He vil odenspaaeteen væe en vekto, de angive agnetfeltets etning. Nå et stof blive supeledende, å det skyldes, at den supeledende fase ha en lavee enegi end den noale, etalliske fase. Nå den supeledende tilstand indtæde ved en bestet tepeatu, få odenspaaeteen, de kaakteisee den supeledende tilstand, en vædi, de e foskellig fa nul. I supeledning e odenspaaeteen den akoskopiske bølgefunktion, so ha en aplitude Ψ og en fase ϕ : (GL-1) iϕ Ψ = Ψ e Tæt ved ovegangstepeatuen å absolutvædien af odenspaaeteen, Ψ, væe lille. Hvis de ikke e nogen elektiske elle agnetiske felte i supeledeen, å foskellen i enegi elle noaltilstanden og den supeledende tilstand da kunne skives so en potensække (GL-) F F N = α ψ + β ψ 4

5 Man kan ikke benytte potense af Ψ da enegien skal væe et eelt tal (an kan ikke slippe uden o dette ved at nøjes ed at tage ealdelen af Ψ, da enegien i supeledeen ikke kan afhænge af selve fasen). Man kan helle ikke benytte ulige potense af Ψ, da sådanne vil esultee i et ufysisk knæk i enegifoskellen. Altså e de kun tilbage at benytte lige potense af Ψ, og de to føste led e angivet i folen heove, og det vil væe tilstækkeligt hvis Ψ e lille. Koeffiientene skal så bestees, en an skal huske på, at de afhænge af tepeatuen. 1 Ginzbug-Landau enegifoskellen fo T>T ( α > ). Fo enkelheds skyld e det antaget at Ψ e eel. α Ginzbug-Landau enegifoskellen fo T<T ( < ). Det ses, at enegien nu e lavest fo en vædi af Ψ so e foskellig fa nul; Den akoskopiske bølgefunktion (odenspaaeteen) e defo foskellig fa nul i den supeledende fase, en nul i den noale fase (se foegående figu). Desuden ha vi fa kvanteekanikken det geneelle udtyk fo støtætheden (he ålt i A/ ) [3]: e h e ( ) = ( ψ ψ + ψ ψ ) ψ A i og indsættes udtykket (GL-1) fo den akoskopiske bølgefunktion, fås at støtætheden blive e h ( e ) (GL-6) = ( ϕ) ψ A e og e paaete, de angive ladning og asse af de supeledende elektone. Egentlig skulle an to at det bae va e og, so det e tilfældet fo en fi elekton, en so Badeen, Coope og

6 hieffe viste, danne elektonene pa, så vi skal faktisk sætte e = e og =, en det e ikke så afgøende fo de følgende aguente. Lad os nu betagte det tilfælde hvo ψ e konstant og A e lille. Vi kan fotolke ψ so tætheden af supeledende elektonpa, så n ψ = (vi e igen lidt bagkloge, og ved at elektonene danne pa). Antag endvidee, at de ikke e nogen ænding af fasen af den akoskopiske bølgefunktion genne supeledeen (supeledeen e hoogen). å e det føste led på høje side i (GL-6) nul (vi skal i afsnittet o osephsoneffekten se, at an også kan få en supestø, hvis føste led i (GL-6) ikke e nul, ens andet led i (GL-6) e nul). Defo følge af foel (GL-6), at e ( ) n ( e ) (GL-7) = ψ A = A en det e jo Londons ligning (L-3)! Fa ekspeiente ved an iøvigt, at 4 T T n n = 1 n (1 ) T T hvo gælde fo T unde, en tæt på T og hvo n e tætheden af supeledende elektone nå T (alle ledningselektone vil så deltage). Ved hjælp af Ginzbug-Landau teoien kan vi foklae næsten alle de kaakteistiske fænoene, de, udove pefekt konduktivitet og Meissneeffekt, optæde i supeledning, fx kitisk stø, osephson-effekten, fluxkvantiseing og kitisk agnetfelt (type I og type II supeledee) og i det hele taget fostå supeledning so en faseovegang. Pefekt konduktivitet (supeledning) Da (GL-7) jo netop gav Londons ligning (L-3), kan vi foklae den pefekte konduktivitet ved at følge det alleede givne aguent i London-afsnittet. Pefekt diaagnetise (Meissne-effekten) Ligning (GL-7) gav jo netop London ligningen (L-3), så vi kan bae følge det unde Londonafsnittet alleede givne aguent fo at foklae Meissneeffekten! Kitisk agnetfelt Nå an lægge et agnetfelt hen ove supeledeen vil den fo ikke fo kaftige agnetfelte skubbe agnetfeltet væk. Fo et vis kitisk vædi af agnetfeltet, B, vil det ikke enegiæssigt kunne betale sig fo supeledeen at holde agnetfeltet ude, og den blive i stedet noal. Fa ekspeiente ved an, at det kitiske agnetfelt afhænge på følgende åde af tepeatuen (nå T<T ): T B = B () 1 T hvo B () e det kitiske agnetfelt fo T (se figu heunde).

7 B Noal B () B (T) upeledende T upeledee kan deles i to hovedtype, afhængigt af hvoledes de eagee på kaftige agnetfelte. Type I supeledee blive sipelthen noale nå en bestet vædi, B 1, af det kitiske felt nås. Type II supeledee foblive supeledende også fo felte ove B 1. De ske en delvis indtængen af agnetfeltet i så fluxlinje (hve ed et fluxkvantu igenne sig), de sidde odnet i et tekantsønste. Oking fluxlinjene e de afskæningsstøe. Fo en støe kitisk felt, B, blive også type II supeledee noale. De nye høj-tepeatu supeledee e type II. Kitisk stø Nå an øge støen genne supeledeen, øges også det af støen dannede agnetfelt. Fo en bestet vædi af støen blive det dannede agnetfelt støe end det kitiske felt, og supeledeen holde op ed at væe supeledende, og gå ove i den noale tilstand. Fa Ginzbug-Landau teoien kan an udlede en foel fo den kitiske støtæthed i en 3 T supelede. vaet e, at = () 1, hvo () e den kitiske stø nå T. Hvis T T 3 T e lige unde T kan an benytte tilnæelsen ( ) 1. T OEPHON-EFFEKTEN osephson effekten ud fa Ginzbug-Landau teoi Vi se på to supeledee, de e adskilt fa hinanden ved et tyndt lag af en isolato (typisk 1- Å tykt). Klassisk set skulle det ikke væe uligt at få en stø genne en sådan fobindelse, en pga. den kvanteekaniske tunneleffekt [3] kan det alligevel lade sig gøe. Endnu ee beækelsesvædigt e det, at an også kan få en supeledende stø genne baieen. En sådan fobindelse elle to supeledee ha også en ække ande beækelsesvædige egenskabe, so blev opdaget i staten af 196 ene af bl.a. englændeen Bian osephson og aeikaneen Philip Andeson. De to supeledee å hve have en akoskopisk bølgefunktion: iϕ1 (-1) Ψ = e fo den venste supelede og 1 Ψ

8 iϕ (-) Ψ = e fo den høje supelede. Ψ På gund af den kvanteekaniske tunneleffekt e de en endelig sandsynlighed fo at elektonpa kan tunnelee igenne den isoleende baiee. Man kan fostå det ved at odenspaaeteen ha ikke falde bat til vædien nul lige ved isolatoen, en aftage blødt. e figuen heunde: L Ψ Ψ upelede 1 upelede Hvis de skal væe en blød ovegang fa den ene supelede til den anden, skal de to bølgefunktione hægtes pænt saen, fx. so: Iψ e iϕ 1 Reψ x e iϕ x x (-3) Ψ( x ) = (1 ) Ψ1 + Ψ L L tøen kan nu beegnes via det geneelle udtyk fo den kvanteekaniske sandsynlighedsstø (se (GL-6)): eh i (-4) ( Ψ Ψ Ψ Ψ ) = Ψ sin ϕ eh = det vil sige e 1 (-5) = sin ϕ, hvo = h Ψ L hvilket e den føste osephson-ligning. Den sige, at an kan få en supestø genne en kontakt bestående af to supeledee so e adskilt af et ikke fo tykt isolatolag. Beæk, at supestøen løbe elle de to supeledee, uden at de e påtykt nogen spænding V ove kontakten. Dette kaldes også d-osephson effekten. I 1 L I-V kaakteistik, de vise d osephson effekten (en stø løbe fo V=). Fo støe spændinge V opføe osephsonkontakten sig so en sædvanlig odstand. V

9 Hvad ske de nu, hvis vi påtykke en spændingsfoskel V hen ove kontakten? a, så vil elektonene i et Coopepa have højee enegi på ene side af kontakten end på den anden. Enegifoskellen vil væe E = qv =ev. Fa kvanteekanikken vides [],[3], at bølgefunktionens tidsafhængighed helt geneelt kan skives so i Et (-6) Ψ( t) = Ψe hvo E e enegien, so vi i dette tilfælde så va (-7) E = ev Vi få defo, at i Et i ϕ h (-8) Ψ = Ψe = Ψe og da eksponentene i eksponentialfunktionen skal væe ens fås, at ev (-9) ϕ = t, h således at an ved diffeentiation få d ϕ ev (-1) = dt h hvilket e den anden osephson ligning. Den fysiske fotolkning af denne ligning e, at fasen i hve supelede deje undt, en ikke ed sae fekvens. De opstå defo en tidsafhængig fasefoskel, så den esulteende stø genne kontakten e skiftevis ettet od venste og od høje, altså en vekselstø. En påtykt dspænding esultee defo i en a-vekselstø. Dette kaldes også a-osephson effekten. Det kan net ses at de fekoe en vekselsstø, nå an indsætte ligning (-9) i ligning (-5), hvoved fås ev (-11) = sin t = sin( ω t) h ev Fekvensen ω = benæves osephsonfekvensen. Fo en spænding på 1 µ V e denne fekvens h 483,6 MHz. Da de e tale o supeledende elektone e de ikke nogen odstand og deed intet enegitab ved selve tanspoten af Coopepaet fa den ene kontakt til den anden, så enegigevinsten ev ved hele tiden ved hjælp af vekselspændingen at flytte et Coopepa fe og tilbage igenne kontakten å selvfølgelig dukke op et elle andet sted, og vi fovente (lidt på sae åde so en elekton de spinge fa et eneginiveau til et andet) at det å væe i fo af en foton. Fa kontakten vil de defo blive udsendt ikobølgefotone. I paksis e disse svæe at detektee, da effekten hvoed fotonene udsendes e et lille. Det lykkedes dog at se effekten et pa å efte osephsons teoetiske foudsigelse. Man kan også undesøge hvad de ske, hvis an lægge en vekselspænding ove kontakten oven i den konstante d-spænding dvs. V = V os t V 1 ω + 1. Indsættes nu dette udtyk i (-5) fås ev (-1) ϕ( t) = ω 1 t + sin( ω1t ) + ϕ hω1 Hvis ovenstående udtyk fo fasen indsættes i folen den føste osephson ligning, - fås ev1 (-13) = ( ) sin ω t + sin ω1t + ϕ = n (ev1 / hω1) sin( ω t ± nω1t + ϕ ) hω1 n

10 hvo n (x) e den odinæe Besselfunktion af n te oden (ikke at foveksle ed den aksiale supestø!) og hvo vi ved det sidste lighedstegn ha benyttet en foel, de gælde fo odinæe Besselfunktione [ 7 ]. Resultatet betyde at osephson-kontakten blande ultipla af den påtykte fekvens ed den fo kontakten kaakteistiske osephson-fekvens ω. peielt kan an betagte tilfældet ω = nω1 : se på det sidste led i (-13). Det vil da ikke afhænge af tiden, og de vi væe en d-supestø! upestøen vil have støelsen n ( ev1 / hω1) sin( ϕ ) og de vil væe en konstant supestø hve gang betingelsen ω = nω1 e opfyldt. Dette ske fo spændinge, de opfylde betingelsen nhω (-14) V = 1. Fo en bestete vædie af spændingen V fås altså en konstant stø, selv o de e e påtykt en vekselspænding! I Den invese a osephson effekt: Fo bestete vædie af V ( supestø. V V n ω = h 1 ) opnås en konstant e Med osephsoneffekten ha vi nu endelig fået et håndtag hvoed vi kan hive og tække i odenspaaeteens fase. e fx på ligning (-9). He e spændingen V diekte koblet til fasefoskellen elle de to supeledee, og ved at egulee V, kan vi påvike odenspaaeteens fase. FLUXKVANTIERING Ligning (GL-6) gee i sig et fænoen, de e næsten lige så beækelsesvædigt so Meissneeffekten. Betagt en ingfoet supelede so vist på figuen heunde. Integeé undt langs en vej de ligge dybt inde i selve supeledeen (hvo B-feltet e nul) og so oslutte hullet i ingen (den stiplede linje på figuen). Da afskæningsstøen løbe i det ydeste, tynde lag af supeledeen, å de gælde at

11 v e eh (F-1) = d = A + ϕ d Vi ha defo pga. tokes sætning (se efeene [] elle [4]), at (F-) A d = A d = B d = Φ He e Φ den agnetiske flux, de osluttes af ingen. Da bølgefunktionen kun kan have een bestet vædi i et givet punkt, å bølgefunktionens fase ændes ed π hve gang an gå en tu undt: (F-3) ϕ d = ϕ = π n, hvo n e et helt tal.hvis ligning (F- ) og (F-3) kobinees, fås slutesultatet nh (F-4) Φ = = nφ e tøelsen Φ benæves fluxkvantet. Det ses, at den agnetiske flux, de gennetænge supeledeen, kun kan antage bestete heltallige vædie (ultipla af fluxkvantet)! Fluxkvantiseing e blevet obseveet i både konventionelle supeledee og højtepeatu supeledee, og det e et af de bedste bevise på, at an skal benytte en kopleks odenspaaete, nå an skal beskive en supelede. [1] Mihael Tinkha: Intodution to upeondutivity, MGaw-Hill Int. (1975) [] Rihad Feynan: The Feynan Letues in Physis I-III, [3] Moten haff: Intoduktion til kvanteekanik, Akadeisk folag (1971) [4] Reitz, Milfod and Chistie Foundations of Eletoagneti Theoy), 3.ed, Addison-Wesley (1979) [5] Pe Hedegåd: Foenede elektone A/, Nysyn eien (1991) [6] L. olya and D. Walsh: Letues on the Eletial Popeties of Mateials,.ed, Oxfod Univesity Pess (1979) [7] A. Baone, G. Pateno: Physis and Appliations of the osephson Effet, Wiley and ons (1984), s. 9 1 Hvis supeledeen e i et agnetfelt blive udtykket fo enegifoskellen lidt ee koplieet: F 4 1 h FN = α ψ + β ψ + ( e A) ψ + i B µ Den fie enegi kan iniees ht. ψ, hvilket esultee i Ginzbug-Landau ligningen (vi kan dog ikke bae diffeentiee løs. De e he tale o et såkaldt vaiationsegningspoble. Vi vil ikke diskutee det næee he, en et oveskueligt, genneegnet eksepel kan findes i efeene [6]):

12 h Ψ e A i 1 (GL-4) α + β Ψ Ψ + ( ) Ψ = Hvis an flytte lidt undt på leddene i ligningen se den sådan ud: 1 h (GL-5) ( e A) Ψ = ( α + β Ψ )Ψ i so det ses inde ligningen en hel del o hödinge-ligningen (hvis an se bot fa β -leddet og identifiee α ed E e den faktisk agen til hödinge-ligningen). Man kan nu løse denne ligning i en hel ække foskellige situtatione og deved finde ud af hvodan supeledeen opføe sig. Bl.a. kan an i detalje undesøge hvoledes agnetfeltet delvis tænge ind i supeledeen i type II supeledee.

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf)

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

grib chancen 1/3 sæt ord på din drøm

grib chancen 1/3 sæt ord på din drøm gib chancen sæt od på din døm DR e på mange måde alleede i vedensklasse. Og vi skal væe det hele vejen undt. DR i vedensklasse handle om samab: Hvodan skal vi samab i femtiden? Og hvilke vædie skal vi

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 12 Magnetisme. Magnetisering

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 12 Magnetisme. Magnetisering Elektroagnetise 10 Side 1 af 12 Magnetisering Magnetfelter skabes af ladninger i bevægelse, altså af elektriske strøe. I den forbindelse skelnes elle to typer af agnetfeltskabende strøe: Frie strøe, der

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Misspecifikationer i modal-split modeller

Misspecifikationer i modal-split modeller Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009 side 08 fysioteapeuten n. 05 mats 2009 diagnostik Skulde Mogens Dam e oplægsholde på fagfestivalen d. 26.-28. mats 2009. Fysioteapeut Mogens Dam ha udvalgt en ække gængse diagnostiske test fo skuldepobleme.

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE VORDINGBORG KOMMUNE N BØDKERVÆNGET VÆVERGANGEN BRYGGERVANGEN VALDEMARSGADE LOKALPLAN NR. C-15.2 Butiksomåde ved Byggevangen Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007 AKTUEL ANALYSE Nye tie på boligmakeet 24. janua 2007 De høje pisstigningstakte på boligmakeet e løjet af, og meget tale fo en fotsat afæmpning i en kommene ti. Sien boligmakeet vente i 1993, e pisene vokset

Læs mere

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom Uddannelsesodning fo uddannelsen til Gastonom Udstedelsesdato: 9. juni 2011 Udstedt af Det faglige Udvalg fo Gastonomuddannelsen i henhold til bekendtgøelse n. 329 af 28. apil 2009 om uddannelsene i den

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Øvelsesvejledning: δ 15 N og δ 13 C for negle.

Øvelsesvejledning: δ 15 N og δ 13 C for negle. AMS 4C Daterings Laboratoriet Institut for Fysik og Astronoi Øvelsesvejledning: δ 5 N og δ 3 C for negle. Under besøget skal I udføre tre eksperientelle øvelser : Teltronrør - afbøjning af ladede partikler

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering CoCo-obligatione i matematisk modelpespektiveing CoCo bonds in a mathematical modeling pespective af JENS PRIERGAARD NIELSEN ######-#### THESIS fo the degee of MSc in Business Administation and Management

Læs mere

Retningsbestemt lydgiver

Retningsbestemt lydgiver Retningsbestemt lygive Intouktion Ve uenøs musik e et isæ e ybe tone, e høes i sto afstan fa scenen, og et kan væe geneene fo en kunstneiske ufolelse på en naboscene elle fo beboelse i en vis afstan fa

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder

Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder Miljøpojekt N. 812 2003 Fivillige dykningsaftale i indsatsomåde Gundlag og mulighede belyst ud fa kvælstofpoblematikken Egon Noe og Andes Højlund Nielsen Danmaks JodbugsFoskning Helene Simoni Thoup og

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI) Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

elevblad Tommerup Efterskole Hvad bruger man en orlov til? Lærer Mark Bradford har været et år i UK sammen med hele familien.

elevblad Tommerup Efterskole Hvad bruger man en orlov til? Lærer Mark Bradford har været et år i UK sammen med hele familien. Toeup Efteskole www.th-te.dk Udgivet af elevfoeningen N. 3 septebe 2013 106. ågang elevblad Hvad buge an en olov til? Læe Mak Badfod ha væet et å i UK saen ed hele failien. NY igen So 2. åselev pøve an

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune -egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.

Læs mere

Beregningsmetode for bestemmelse af forsatsvinduers energimæssige egenskaber

Beregningsmetode for bestemmelse af forsatsvinduers energimæssige egenskaber Beeninsmetode fo bestemmelse af fosatsvindues eneimæssie eenskabe dabejdet af DT i 200 fo eneistyelsen, o justeet i 2005 i fællesskab af DT o Teknoloisk Institut Kontaktpesone: Pofesso Svend Svendsen Danmaks

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde "Falunparken" LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde Falunparken LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ VORDINGBORG KOMMUNE N PRINS JØRGENS ALLÈ FALUNVEJ KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-25.2 Boligomåde "Falunpaken" Vodingbog mats 2005 20 k. Rettelsesblad til Lokalplan B-25.2 Lokalplan C.17.24.01 Vaehus ved

Læs mere

Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart

Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart Eektomagnetisme 9 ide af 5 Magnetfete Biot og avat En aften i 8 havde fysikpofesso fa Københavns Univesitet Hans Chistian Østed inviteet venne og studeende hjem i pivaten fo at demonstee, at en stømføende

Læs mere

Danske Regioner Økonomi Vejledning 2013 Udsendt september 2013

Danske Regioner Økonomi Vejledning 2013 Udsendt september 2013 Danske Økonomi Vejledning 2013 Udsendt septembe 2013 Pis- og lønudviklingen 2012-2014 Denne vejledning indeholde en endelig opgøelse af pis- og løn udviklingen (PL) i 2012 samt et nyt skøn fo 2013 og skøn

Læs mere

Afdeling for Virksomhedsledelse. Uge 47

Afdeling for Virksomhedsledelse. Uge 47 B4 - egnsab og Fnanseng -. del Efteå 005 Esben Kolnd Laustu (mal@ezben.d Afdelng fo Vsomhedsledelse Uge 47 Fnancal Maets and Cooate Stategy af Ma Gnblatt og Shedan Ttman (G&T e en sædeles god læebog, som

Læs mere

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden Danmaks Tekniske Museum O P T I K & L Det kunstige øje - om mikoskopet og dets veden Y S Til læeen At bille både e fysik og kultuhistoie, e fo mange bøn en velbevaet hemmelighed. Dette til tods fo at alle

Læs mere

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning Livstidssundhedsomkostninge fo ygee og ldig-ygee Ålige omkostninge ved pssiv ygning Konsulentppot udbejdet til Hjetefoeningen f pojektlede Susnne Reindhl Rsmussen, egotepeut, MPH DSI Institut fo Sundhedsvæsen,

Læs mere

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder!

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder! DET NYE KICK- START FORÅRETS SALG - mød ove 20.000 købedygtige nodjyde! Eksklusive moms Nodjysk Ivæksætte Netvæk indbyde igen til Se side 4 GRATIS ENTRÉ FOR JERES MESSEGÆSTER Endnu ledige STANDE - SE STANDPLAN

Læs mere