Matematik på 9. og 10. klassetrin

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik på 9. og 10. klassetrin"

Transkript

1 Matematik på 9. og 10. klassetrin Hayati Balo, AAMS, Forår 2013 Baseret på 9. klasse og 10. klasse udvidet kursus (Sigma), 1. udg. 8. oplæg 1986 og 1. udg. 6. oplæg 1986, af Henry Schultz, Johan Jacobsen, Knud Leth- Nissen, Paul-Erik Rasmussen, Malling Beck A/S 1

2 2

3 1 Koordinatsystemet, funktioner og grafisk afbilding Koordinatsystemet Koordinsystemet består af to tallinier, der normalt står vinkelret på hinanden. Tallinierne kaldes koordinatsystemets akser. Den vandrette akse kaldes den første-aksen eller x-aksen mens den lodrette akse kaldes anden-aksen eller y- aksen. Hvert punkt i koordinatsystemet svarer til et ordnet par som f.eks. vises i grafen som et punkt A = (x = 3,y = 2). Øvelse 1.1 Tegn et rektangel i et koordinatsystem. Tre af vinkelspidserne skal ligge i (4, 2), ( 2,2), og (4, 1). a) Hvilket koordinatsæt har den fjerde vinkelspids? b) Beregn rektanglets areal. 3

4 Øvelse 1.2 Tegn en retvinklet trekant i et koordinatsystem. Trekantens vinkelspidser ligger i (3,1), (3,4) og ( 1,1). a) Find trekantens omkreds. b) Find trekantens areal. Øvelse 1.3 Hvor stor er afstanden mellem følgende punkter: a) ( 4,4) og ( 4, 1) c) (2, 6) og ( 3, 6) b) ( 2,2) og (4,2) d) ( 4,8) og ( 4,0) Funktioner I matematikken indgår funktioner næsten overalt, idet en lang række sammenhænge kan beskrives ved hjælp af funktioner. En funktion er en mængde af ordnede talpar(punktmængde), hvor der ikke er to ordnede talpar, der har samme x-komponent. Følgende mængde af talpar viser en funktion ved navnet f f = {(0, 2),(1,2),(2,6),(3,10)} Man kan tegne et billede af en funktion i et koordinatsystem. Vi kan f.eks.vha. GeoGebra skitsere(tegne) denne funktion ved at definere punktmængden først og bagefter bruge kommandoen Polynomial[list1] på følgende måde; 4

5 Ofte får man opgivet funktions-forskriften samt en besked om, hvilke x-komponente der må bruges. Denne mængde kaldes definitionsmængden Dm f. Mængden af y- komponenten kaldes værdimængden, V m f. Vi har forskriften for følgende funktion: f (x) = x 1 Dm f = {3,4,6} Ud fra definitionsmængden (x-værdier) kan vi regne y-værdier som vil være værdimængden. f (3) = 3 1 = 2 f (4) = 4 1 = 3 f (6) = 6 1 = 5 Dvs. vi har ud fra forskriften følgende punktmængde for funktionen 5

6 f (x) = {(3,2),(4,3),(6,5)} V m f = {2,3,5} I de følgende tre øvelser (1.3,1.4 og 1.5) er definitionsmængden { 5, 4, 3,...4, 5}. Hver funktion skal tegnes i sit eget koordinatsystem og værdimængden skal skrives på listeform. Du kan evt. bruge GeoGebra på følgende måde: Function[3x, 5, 5] Øvelse 1.3 a) f (x) = y = 3x b) f (x) = y = 2x c) f (x) = y = 2x Øvelse 1.4 a) f (x) = y = 3x 2 b) f (x90y = 2x+2 c) f (x) = y = 2x 2 Øvelse 1.5 a) f (x) = y = x + 8 b) f (x) = y = 1 x + 3 c) f (x) = y = x I det følgende vil vi mest arbejde med funktioner, hvis definitionsmængde er alle de reelle tal R. De grafiske billeder vil være sammenhængende linier eller kurver i stedet for enkelte punkter, givet som mængder. Tegn det grafiske billede af følgende funktioner. Angiv for hver af graferne, i hvilket punkt de skærer x- og y-aksen. Øvelse 1.6 a) f (x) = y = 2x + 4 b) g(x) = y = 1 2 x + 4 c) h(x) = y = 1 x + 1 d) i(x) = y = 2x

7 Øvelse 1.7 a) f (x) = y = 2x + 4 b) g(x) = y = 1 2 x + 4 c) h(x) = y = 1 x + 1 d) i(x) = y = 2x Øvelse 1.7 a) f (x) = y = x + 2 b) g(x) = y = 1 2 x 3 c) h(x) = y = x 1 d) i(x) = y = 2x 6 Ved en funktion f s definitionsmængde forstås mængden af x-værdier som funktionen er defineret indenfor og skrives som Dm f. Ved en funktion f s værdimængde forstås mængden af y-værdiersom funktionen er defineret indenfor og skrives som V m f. Øvelse 1.8 Beregn definitions- og væerdimængderne af følgende funktioner. a) f (x) = y = 4x 8 b) f (x) = y = x c) f (x) = y = 240 d) f (x) = y = x 2 x e) f (x) = y = 3 x f) f (x) = y = x 12 Lineære funktioner - førstegradsfunktioner En funktion, hvis grafiske billede er en ret linie, har forskriften f (x) = y = ax + b hvor a er liniens hældningstal og bangiver liniens skæring med y-aksen. 7

8 Hældningstallet angiver, hvor meget y-værdien vokser med, når x-værdien vokser med én enhed. Jo større a er, jo stejlere hælder linien. Hvis a er positiv, går linien opad og nedad hvis negativ. Funkrion, ordnede par i en mængde, forskrift og billede af en funktion er matematiske begreber men de bruges også i hverdagen uden at vi nødvendigvis tænker på det. Forestil dig sammenhængen mellem benzinpris og antal liter som er givet som ordnede talpar: f (x) = {(10,120),(20,,240),(30,360)} På tankstationen kan vi få at vide, hvad en liter benzin koster. Og så ved vi godt, hvordan vi skal regne prisen ud på 10, 20 og liter. Vi kender med andre ord forskriften når literprisen er 12 kr. f (x) = y = 12x Øvelse 1.9 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem: 8

9 a) ( 3, 1) og (2,4) b) (1,6) og ( 2, 3) c) ( 1,1) og (1, 3) d) ( 2,5) og (8,0) e) (2,4) og ( 2, 6) f) (1, 5) og ( 5,1) g) ( 3,3) og (7, 2) h) (0,4) og ( 2,0) Øvelse 1.10 Tegn, (skitser eller afbild) linien l : y = 4 x + 4 og beregn arealet af den trekant, 5 der dannes af l, x-aksen og y-aksen. (facit:10) Øvelse 1.11 Tegn de tre linier: l : y = 4 3 x + 1 m : y = 3 n : x = 3 a) Hvilken figur danner de tre linier? b) Find omkredsen af figuren c) Find arealet af figuren. (Facit:15) Øvelse 1.12 Tegn linierne l, m og n. l : y = 1 2 x m : y = 2x + 7 n : y = 1 Linierne danner en retvinklet trekant. a) Beregn trekantens areal.(facit:20) Øvelse 1.13 En linie har forskriften y = 2x + b. Linien går gennem punktet ( 2, 1). Beregn værdien af b. (Facit:3) 9

10 Øvelse 1.14 En linie har forskriften y = x + b. Linien går gennem punktet (3,5). Beregn værdien af b. Proportionalitet En funktion, hvis forskrift er y = a x kaldes en ligefrem proportionalitet. Hvis x-værdien bliver n gange større, så bliver y-værdien også n gange større. a er en konstant, som kaldes proportionalitetsfaktoren. Øvelse 1.15 Over en modstand på 5 ohm lægges forskellige spændingsforskelle (volt), og strømstyrken (ampere) måles. Efter Ohm s lov gælder: Spændings f orskel = Modstand Str/omstyrke U = R I model. Da modstanden er 5 ohm kan vi opstille følgende funktion eller matematisk U = 5 I Eller matematisk 10

11 y = 5 x når x er strømstyrken og yer spændingsforskel. Dvs. spændingssforskellen er ligefrem proportionalt med strømstyrken. a) Er strømstyrken ligefrem proportionalt med spændingsforskel? b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellen spænding og strøm. Beregn eller aflæs på grafen den manglende værdi i følgende ordnede par: c) (20,y), (x,20), (10,y), (x,10) Øvelse 1.16 På den følgende graf ser man temperatursvingningerne, mens 1 kg. is smelter. Isen ligger i almindelig vand. Det ses, at den føeste temperaturmåling gav resultatet 9 0. Derefter stiger temperaturen jævnt indtil den når isens smeltepunkt. Isen smelter ikke før denne temperatur er nået. Så længe isen smelter er temperaturen den samme. Der bruges enormt meget energi til selve is-smeltningen. 11

12 Det er derfor, at temperaturen ikke stiger selv om der hele tiden tilføres energi. Først når al isen er smeltet, stiger temperaturen igen. a) Hvad er isens smeltepunkt? b) Hvornår kræves der mest energi for at få temperaturen til at stige 1 0 -før eller efter isens smeltning? Hvordan kan man se det på grafen? Mange af dagligdagens problemer løses uden matematik - men andre kan kun løses ved hjælp af matematik, hvad enten man kalder det matematik eller ej. Rn af matematikkens vigtigste anvendelser er netop beskrivelsen og løsningen af almindelige dagligdags problemer. Imidlertid er det med matematik som med så meget andet nødvendigt at beherske nogle teknikker, inden man kan bruge sin viden. Øvelse 1.17 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem følgende punktpar: a) ( 3, 1) og (2, 4) b) (1, 6) og ( 2, 3) c) ( 1, 1) og (1, 3) d) ( 2, 5) og (8, 0) Øvelse 1.18 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem følgende punktpar: a) (2, 4) og ( 2, 6) b) (1, 5) og ( 5, 1) c) ( 3, 3) og (7, 2) d) (0, 4) og ( 2, 0) Øvelse 1.19 Tegn linjen ved hjælp af GeoGebra l : y = 4 5 x + 4. a) Beregn arealet af den trekant, der dannes af l, x aksen og y aksen. 12

13 Intervaller og uligheder Øvelse 1.20 Teg de tre linjer vha. GeoGebra l : y = 4 3 x + 1 m : y = 3 n : x = 3 a) Hvilken figur danner de tre linier? b) Find omkredsen af figuren. c) Find arealet af figuren. Øvelse 1.21 Tegn linierne ved hjælp af GeoGebra. l : y = 1 2 x m : y = 2x + 7 n : y = 1 Linjerne danner en retvinklet trekant. a) Beregn trekantens areal.(facit:20) To Ligninger med to ubekendte - grafisk og analytisk løsning y = 2x 4 og y = x + 5 Ovenfor ses to ligninger, hvor både x og y er ubekendte. Når man skal løse de to ligninger, skal man finde det eller de ordnede talpar, der tilfredstiller begge ligningerne samtidig. Det vil sige, at det ordnede talpar skal gøre begge ligningerne tol sande udsagn, når man indsætter x og y dvs. det ordnede talpar i ligningerne. Når man løser ligningssættet grafisk, opfatter man hver af ligningerne som en forskrift for en funktion: Eksempel 1: Løs ligningssytemet 13

14 y = 3x + 3 og y = 1 2 x 2 At løse ligningssystemet vil sige at finde det ordnede talpar, (x,y), som indsat i begge ligningerne tilfredstiller dem - gør dem til sande udsagn. Vi vil løse ligningssytemet både grafisk vha. GeoGebra ved at tegne linierne i et koordinatsystem og aflæse deres skæringspiunkt. og analytisk vha. alternativt lige store koefficienters metode. Løsningsmængden bliver altså: L = {(2, 3)} Analytisk løsning vha. lige store koefficienters metode som går ud på at sætte de to udtryk lige med hinanden - for at eliminere y i første omgang. y = 3x + 3 og y = 1 2 x 2 3x + 3 = 1 2 x 2 3x x =

15 6x + x = 5 2 5x = 10 x = 2 Indsættes denne værdi i én af ligninger fås y = 3. Prøv selv. Øvelse 1.22 Løs følgende ligningssystemer vha. begge metoder som eksemplet ovenfor. a) y = 1 2 x 2 og y = 5 2 x 6 b) y = 2 x + 6 og y = x 4 3 c) y = 3x 1 og y = x + 3 d) y = 1 x 1 og y = x 3 2 e) y = 2x 1 og y = x 4 f) y = 1 2 x + 1 og y = x 5 g) y = 2 3 x + 3 og y = 2x 5 h) y = 1 2 x + 1 og y = x + 4 Øvelse 1.23 Løs følgende ligningssystemer vha. begge metoder som eksemplet ovenfor. a) y = 2 3 x + 1 og y = 1 x + 7 b) y = 3x + 1 og y = x c) y = 1 2 x 4 og y = 3 2 x + 4 d) y = x + 3og y = 1 2 x 3 e) y = 1 3 x + 4 og y = x 4 f) y = x + 5og y = 1 2 x 3 g) y = 2x og y = 4x + 2 h) y = 2x + 4 og y = x + 7 Eksempel 2: Løs ligningssytemet x y = 3 og y + 2x + 3 = 0 15

16 Når ligningerne står på denne form, kan det tit betale sig at omskrive dem til formen y = ax + b eller y = αx + q. x y = 3 og y + 2x + 3 = 0 y = x + 3 og y = 2x 3 Nu kan vi igen indsætte ligningerne lig med hinanden ligesom før x + 3 = 2x 3 3x = 6 x = 2 Vi finder y-værdien ved at indsætte x-værdien i en af de ligninger y = = 1 Dvs. skæringspunktet eller løsningsmængden er L{( 2,1)} Vi løser ligningerne vha. GeoGebra ved at indtaste dem direkte i inputfeltet 16

17 Øvelse 1.24 Løs følgende ligningssystemer vha. begge metoder som vist ovenfor: a) x + y = 5 og y + 1 = x b) 2y x =6 og x = y 5 c) 2x + y + 1 = 0 og 2y = x 12 d) 5y 2x = 15 og y + 4 = x e) 2 = 2x + y og 2y 19 = x f) 1 y = x + 1 og 2x = y 5 3 Øvelse 1.25 Løs følgende ligningssytemer vha. begge metoder som vist ovenfor: a) 4y + 4 x = 0 og y = x b) 2y + x 9 = 0 og 2y + 3 x = 0 c) 2y + x + 6 = 0 og 2x 4y 8 = 0 d) 2y x 3 = 0 og x y 3 = 0 e) x 1 y + 2 = 0 og 3y + x + 9 = 0 f) 3y x + 2 = 0 og 2x = 6x g) y 2x = 10 og y + 2x = 6 h) y 3 = 2x og x 1 2 y = 1 Lineære uligheder - grafisk og analytisk løsning Teg vha. GeoGebra linien: l : y = 1 2 x samt linien: m : y = x + 5 For hvilke x-værdier ligger linien l over linien m? De to linier skitseres i et koordinatsystem og deres skæringspunkt aflæses: 17

18 Skæringspunkt: (3, 2) Når x-værdierne er større end 3 - i det farvede område -, ligger linien l over linien m. Eller med andre ord: 1 2 x + 1 > x + 5 når x > 3 2 dvs. løsningsmængden er: L = [3; [ Analytisk løsning går ud på at skrive ligningerne sådan at l > m. Dvs. l > m 1 2 x > x + 5 Vi løser uligheden som en ligning ved at samle x-erne og tallene hver for sig 1 2 x + x > x + 2x 2 > Ganges begge sider af ulighedstegnet med tallet 2 18

19 3x > 9 Divideres begge sider med tallet 3 x > 3 Altså løsningsmængden bliver: L = [3; [ Øvelse 1.26 For hvilke x-værdier ligger l over m? a) l : y = 1 2 x + 3 og m : y = x 3 b) l : y = 2x + 8 og m : y = 1 3 x + 1 Øvelse 1.27 For hvilke x-værdier ligger l under m? a) l : y = 2x 4 og m : y = x 1 b) l : 1 2 x 1 og m : y = 1 2 x + 2 Eksempel 1: Løs uligheden 1 x + 2 > 2x 3 både grafisk og analytisk -dvs. ved beregning. 2 Grafisk løsning er lige ud af landevejen. GeoGebra finder løsningen som det farvede område: 19

20 Analytisk eller ved beregning 1 2 x + 2 > 2x 3 1 x 2x > x 4x 2 > 5 Ganges begge sider af ulighedstegnet med tallet 2 5x > 10 Divideres begge sider med tallet -5 og husk at vende ulighedstegnet! x < 2 Øvelse 1.28 Løs følgende uligheder: a) x 2 > 1 x + 4 b) x + 1 > 2x

21 c) 2x + 4 > 1 x 2 d) 2x 3 < x 1 2 e) x x + 4 f) 2x x 2 g) 1 2 x x + 1 h) 1 2 x 4 > 1 2 x + 2 En punktmængde er bestemt ved ulighederne: 2 < x 4 og 3 y < 5. Bestem de punkter, der er indeholdt i punktmængden. Den første ulighed betyder, at x-værdierne skal ligge mellem 2og 4. x- værdierne skal altså ligge i intervallet: ]2;4]. At linien x = 2er stiplet betyder, at netop værdien 2ikke er med i punktmængden. Det farvede område i figuren er den punktmængde, der opfylder den første ulighed. Den anden ulighed angiver y-værdier, der ligger mellm 3 og 5. y-værdierne skal ligge i intervallet: [3;5[ 21

22 Den farvede punktmængde i figuren opfylder denne ulighed. Punktmængden, der tilfredstiller begge ulighederne, må ligge i det kraftigst farvede område i figuren nedenunder. figur: Du kan prøve at skrive i GeoGebra følgende i iputfeltet for at få ovenstående 2 < x 4 3 y < 5 22

23 Øvelse 1.29 En punktmængde er bestemt ved ulighederne: y x 5 og x 3 og y < 2. Beregn arealet af den figur der fremkommer. Øvelse 1.30 En punktmængde begrænses af x-aksen og følgende tre linier: y = x 4 og y = 4 og x = 8 a) Beregn arealet af punktmængden. Ligefrem og omvendt proportionalitet På varer, der sælges i Danmerk, lægges der moms, der udgør 25%. På nedenstående graf, kan man se moms-beløbet som en funktion af varens pris -excl moms. 23

24 Funktionens forskrift er: f (x) = y = 0.25 x Nu kan vi hurtigt beregne/aflæse moms-beløbet for en vare der koster f.eks. 400 kroner. Moms-beløbet udgør således 100 kr. ifølge grafen. Det kan også beregne af forkriften på følgende måde: y = = 100 Øvelse 1.31 Beregn en vares samlede pris, når prisen excl. moms er: a) 50 kr b) 100 kr. c) 200 kr d) 300 kr. Tegn en graf, der viser varens samlede pris - incl moms) soom en funtion af varens pris uden moms. 24

25 e) Hvad er prisen incl. moms for en vare, som excl. moms koster 350 kr? f) En vare koster 600 kr incl. moms. Hvor meget koster samme vare excl. moms? g) Hvad er forskriften for funktionen i spørgsmål e? Som ses af ovenstående forskrift af momsbeløbet y = 0.25x bliver y-værdien fordoblet, når x fordobles, etc. Man siger, at x og y er ligefrem proportionale. Ligefrem proportionale funktioner har altså en forskrift af formen: y = a x og denne kunne i et koordinatsystem afsættes som punkter, der lå på en ret linie, der gik gennem origo (0, 0)og havde hældningstallet a. Tallet a kaldes også proportionalitetsfaktoren. Øvelse 1.32 I de følgende øvelser opgives nogle ordnede talpar. Afgør vha. GeoGebra hvert tilfælde om der er tale om ligefrem proportionalitet elller ikke. a) {(3, 21 2 ),(5, 35 2 ),(2,7),(6,21),(4,14)} b) {(6, 17 2 ),(4,6),(3, 9 2 ),(7, 21 2 ),(5, 15 2 )} c) {(8,1),(2,1),(4,2),(6,3),(16, 1 )} d) {(4,2),(2,4)} 2 Luftens tryk er ca. 1 atm (atmosfære) ved jordoverfladen. Menneskekrop er altså vant til et tryk på ca. 1 atm. 1 atm svarer til et tryk på ca. 10 Newton pr. cm 2 I vand stiger trykket, jo dybere man kommer ned. For hver 10 m, man dykker, stiger trykket med 1 atm.i en dybde af 10 m er der altså et tryk på 2 atm. 25

26 Øvelse 1.33 Tegn en graf, der viser trykket som en funktion af vand-dybden. (Brug evt. y = 0.1 x + 1 som forskrift og GeoGebra) a) Hvor stort er trykket i en dybde af 20 m? 40m? b) I hvilken dybde er trykket 10 atm? Øvelse 1.34 Moderne U-både kan sejle i en dybde af 300 m. Hvor stort tryk skal skroget kunne modstå i denne dybde? Øvelse 1.35 Følgende tabel viser sammenhængen mellem vægt og højde af mænd af middel bygning- ideal-vægte. Højde(cm) Vægt(kg) a) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem idealvægt og lgemshøjde. - GeoGebra giver sammenhængen y = hvor y er højden - b) Er der tale om ligefrem proportionalitet? c) Hvor meget bør man veje, hvis man er 2 m høj? Tegn vha. GeoGebra det grafiske billede af funktionen x y = 24 26

27 Vi kunne også skitsere det grafiske billede vha. programmet Graph af følgende tabel i stedet, hvis vi ikke kendte forskriften- GeoGebra har ikke hyperbel model! x y Ovenstående grafer kaldes en hyperbel. 27

28 Bemærk: a) Grafen ligger i to kvadranter - første og tredie b) Der eksisterer ingen y værdi til x værdien nul c) Der eksisterer ingen x værdi til y-værdien nul Både definitionsmængden og væedimængden består af alle de reelle tal, R, bortset fra tallet nul, dvs. Dm f = R\0 Når en funktion har forskriften x y = k eller y = k 1 x hvor k er en konstant, siges x og u at være omvendt proportionale. Fra Århus til Silkeborg er der ca. 50 km. Hvor lang tid vil det tage en cyklist, en knallert og en bilist at gennemføre turen, når gennemsnitsfart for en cyjkel er 15 km/t, for en knallert 30 km/t og for en bil 100 km/t? Vi ved at hastighed tid = ve jlængde eller strækning v t = s eller t = s v Cykel : t = 50 = 3.33 timer 15 Knallert : t = = 1.67timer Bil : t = 50 = 0.5 timer

29 Øvelse 1.36 Ohm s lov: U = R I U : spændingsforskel - måles i volt R : modstsnd - måles i ohm I : strømstyrke - måles i ampere Den normale spændingsforskel i husholdningerne er 220 volt. For de fleste el-apparater i husholdningen gælder: 220 = R I Groft sagt skal et el-apparat briuge større strømstyrke (I) for at give større arbejde. 60 Watt el-pære ca. 0.3 Ampere 100 Watt el-pære ca. 0.5 Ampere Båndoptager Radio Kaffemaskine Køleskab ca. 0,1 Ampere ca. 0.6 Ampere ca. 3.4 Ampere ca. 0.8 Ampere a) Beregn i hvert af de seks tilfælde, hvor stor modstanden er. b) Er modstand og strømstyrke ligefrem eller omvendt proportionale -ved konstant spænding? c) Er modstand og spændingsforskel ligefrem eller omvendt proportionale - ved konstant strømstyrke? 29

30 Øvelse 1.37 På el-apparater angives sjældent den nødvendige strømstyrke, men derimod effekt som måles i Watt. P = I U hvor P er effekt i Watt, U er spændingsfald i Volt I er strømstyrken i Ampere. a) Er effekt og strømstyrke ligefrem eller omvendt proportionale ved konstant spænding? b) Beregn effekten i hvert af de seks apparater i øvelse 1.36 Øvelse 1.38 Newton s 2. lov fortæller om acceleration, når et legeme med massen m påvirkes af en kraft på F Newton. F = m a De tre størrelser to og to proportionale når den tredje er konstant.afgør om de er ligefrem proportionale: a) Kraft og masse -acceleration er konstant b) Kraft og acceleration - massen er konstant c) Masse og acceleration - kraften er konstant Øvelse 1.39 Afgør om de ordnede talpar tilhører en funktion, der er ligefrem proportional, omvendt proportional eller slet ikke proportional. 30

31 a) {( 3, 6),( 1, 2),(1,2),(3,6)} b) {(8,2),(2,8),(4,4),(16,1)} c) {(2,4),(1,2),(8,4),(6,12)} d) {(15, 15 2 ),(10,5),(5, 5 2 ),(20,10)} e) {(14,56),(2,8),(6,24),(5,20)} f) {(36,6),(18,12),(12,18),(24,9)} g) {( 2, 5),(4,10),( 4, 10),( 1, 5 2 )} h) {(1, 5 2 ),(2,5),(5, 25 2 ),(3, 17 2 )} Øvelse 1.40 Lyset består -ligesom radio og TV-bølger- af bølger med forskellige bølgelængder. I figuren nedenunder er der tale om bølgelængde på 2π.Bølgerne svinger op og ned. Antallet af svingninger pr. sekund kaldes frekvensen. Frekvens gange bølgelængde er lig med lysets hastighed. λ f = c λ : lysets bølgelængde f : lysets frekvens c : lysets hastighed 31

32 a) Er lysets bølgelængde og frekvens ligefrem eller pmvendt proportionale? Øvelse 1.41 Boyle-Mariottes lov: Produktet af en indespærret luftmasses tryk (p) og volumen (V ) er konstant - forudsat at temperaturen er uforandret. a) Prøv at formulere en forskrift, der udtrykker sammenhængen mellem tryk og rumfang. b) Er p og V omvendt proportionale? Øvelse 1.42 I et fysik-forsøg blev 20cm 3 luft spærret inde i en pumpe. Da var trykket 1 atm. a) Hvor stort blev trykket, da stemplet blev trykket ind, så det nye rumfang var 13 2 cm3. b) Derpå blev stemplet trukket ud og lufttrykket målt til 0.8atm. Hvor stort var rumfanget så? 32

33 Øvelse 1.43 Grafen nedenunder viser et resultat fra nogle studerendes forsøg med Boyle-Mariottes lov. a) Opstil en forskrif for forsøget vad at nruge programmet Graph. 2 Algebra, ligninger og funktioner Reduktion At reducere et udtryk vil sige at skrive det kortere. Mange af de ligninger eller andre udtryk, vi møder, kan med fordel reduceres. Derved bliver udtrykkene nemmere at overskue og lettere at regne med. Reducér udtrykket 33

34 a + 2a + 4a 3a Udtrykket er det samme som 1 a + 2 a + 4 a 3 a = 4a Øvelse 2.1 Reducér følgende udtryk: a) 2x + 4x 3x + 6x b) 4b + 2b 3b 7b c) 6a 8a + 3a d) 8y 4y + 3y 7y e) 3 2x 4x + 8x f) 3x 8x 4x + 8x g) 12y 4 2y + 5y h) 8a 4 3a 2a Reducér udtrykket 3x + 4y 5x + 2y x værdier og y værdier samles hver for sig: 3x + 4y 5x + 2y = 3x 5x + 4y + 2y = 2x + 6y Øvelse 2.2 Reducér følgende udtryk: a) 14x 8y + 3y 6x b) 9a 4b + 3a + 4b 12a c) 8a + 3a 4b 6b + 8b d) 6k 3m + 8k + 8m 6k 34

35 e) 8x 3y + 8y 5x f) 9x 8y + 3x y + x g) 3a + 8b 5a 2b 3b h) 6y 8z + 3y + 4z + 3y En plus-parantes kan hæves eller sættes uden videre. En minus-parantes kan hæves eller sættes, hvis man samtidig skifter alle fortegn i parantesen. Rreducér udtrykket (2x 3y) (5x 3y) Foran den første parantes står der intet fortegn, så der der er underforstået et plus fortegn. Foran 2x og foran 5x er der ligeledes underforstået et plus fortegn. Den anden parantes hæves som normalt for en minus-parantes. (2x 3y) (5x 3y) = 2x 3y 5x + 3y = 3x Øvelse 2.3 Reducér følgende udtryk: a) 2x (8x 3y) + 4y b) (4x 3y) + 8x (3x 3y) c) 6x + 3y (2x 2y) d) (4 + 8a) 3 + (6a + 7) 35

36 e) 4b 3a + (8a b) f) 8 3x (5 + 2x) + (3x 8) g) 6x 8 + 3y + ( 3 5x) h) 6x 3y (4x 2y) 2x Den distributive lov a (x + y) = a x + a y a (x y) = a x a y Man ganger et tal, a, med en fler-leddet størrelse ved at gange tallet med hvert af leddene (4x + 2) = 3 4x = 12x a (b 5) = 2a b 2a 5 = 2ab 10a 3. 3 (2x 8) = (6x 24) = 6x + 24 Øvelse 2.4 Gang paranteserne ud af følgende udtryk. a) 5 (8 3x) b) (3x 4) 2 c) 7 (3x 1 2 ) d) 6 ( 2 + 5a) e) (7a + 3b) 4 f) 4 (x 3 2 ) g) 4 (3x + 2) h) (8 2x) ( 4) i) 1 (8 12z) 2 j) 6 (5x 3) k) (3 + 8x) ( 5) l) 13 2 (8 + 2a) Løs ligningen ved at gange paranteserne ud 2x(6 3x) 36

37 Dvs. Mellem 2x og parantesen har man lov til at undlade at skrive gange-tegnet. 2x(6 3x) = 12x + 6x 2 Øvelse 2.5 Gang paranteserne ud: a) 8a(3 4a) b) (8x 5y)2x c) 1 a(8 4a) 2 d) 6(2a 8) e) (4a + 6)( 3a) f) 7x( 3 x) g) (14 2x)3x h) 9 a(20 16a) i) 3(9x 4) 2 j) ( x) 1 4 x k) 8u(u 1 ) l) 2b(8 + b) 4 Reducér udtrykket 14 2a(a + 8) + 10a 14 2a(a + 8) + 10a =14 (2a 2 16a) + 10a = 14 2a 2 16a + 10a = 2a 2 6a + 14 Øvelse 2.6 Reducér følgende udtryk: a) (9a b)6 3(b + 18a) b) 5 (8 4y) + 3(y 7) 2 c) 8 3(x + 4) 4(6 2x) d) 4a(6 a) (12a 2)2 e) 13 2 (6 12x) 2 (6x 12) 3 f) 12(16 + 2y) 3(8y + 48) g) 3a(20 x) + x(x 3a) h) (6x 3) + 4(1 + 2x) 1 37

38 Man ganger to to-leddede størrelser med hinanden ved at gange hvert led i den ene oarantes med hvert led i den anden parentes. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Et produkt af to faktorer med samme fortegn er positivt. Et produkt af to faktorer med forskellige fortegn er negativt. (5 x)(8 2x) = x x 8 + x 2x = 40 10x 8x + 2x 2 = 2x 2 18x + 40 Øvelse 2.7 Reducér følgende udtryk: a) (3 + 8x)(4 2x) b) (12 1 x)(4 + 2x) 2 c) (16x 1 )(4 6x) 2 d) (16 + x)(16 x) e) 4(3x 2)(x + 5) f) (x 3)(4)(x + 3) g) 1 (x + 3)(6x 4) h) 2(x + 3)(x + 3) 2 Ligninger En ligning består af to størrelser med lighedstegn imellem: x + 4 = 7 38

39 At løse ligningen vil sige at finde det/de tal, som - indsat i ligningen på x s plads - gør ligningen til et sandt udsagn. Løsningsregler for ligninger: Løsningsregler for ligninger: 1. Man har lov til at trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 2. Man har lov til at lægge samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 3. Man har lov til at dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet. 4. Man har lov til at gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Når man hhar fundet løsningen/løsningerne, skal man gøre prøve. Ved prøven undersøger man, om man får et sandt udsagn, når man indsætter det fundne tal i den oprindelige ligning. Hvis prøven ikke stemmer hvis venstre side af lighedstegnet ikke bliver lig med højre side - er der lavet en fejl. Enten i prøven eller da ligningen blev løst. Løs ligningen 5x (x 4)(2x + 4) = x(2x 5) 5x (x 4)(2x + 4) = x(2x 5) 5x (2x 2 + 4x 8x 16) = 2x 2 + 5x 5x 2x 2 4x + 8x + 16 = 2x 2 + 5x 9x 2x = 2x 2 + 5x 39

40 9x 2x x 2 = 2x 2 + 5x + 2x 2 9x + 16 = 5x 9x x = 5x 16 5x 4x = 16 4x 4 = 16 4 x = 4 Prøve: Venstre side Højre side 5x (x 4)(2x + 4) x(2x 5) 5( 4) ( 4 4)(2( 4) + 4) ( 4)(2( 4) 5) 20 ( 8)( 4) ( 13) Altså er løsningsmængden: L = { 4} Alternativ løsningsmetode: Samle x erne og tallene hver for sig i hver sin side: 5x (x 4)(2x + 4) = x(2x 5) 5x (2x 2 + 4x 8x 16) = 2x 2 + 5x 5x 2x 2 4x + 8x = 2x

41 9x 2x = 2x 2 + 5x 9x 5x 2x 2 + 2x 2 = 16 4x = 16 x = 4 Øvelse 2.8 Løs følgende ligninger: 1) 16 3(4 2x) (4x + 8) = x + 6 2) (x + 2)( 4) + 3(2x 8) = 5 2 ( 4x 4 5 ) 3) 2(x 8) (4 + 8x) = 4(5 + 3x) 4) 20 4(x + 3 ) + 3(12 2x) = 0 2 5) (x + 3)(4x 2) 5x = 2x(6 + 2x) x 6) 24 (x + 2)(x 2) = (12 + x)(4 x) 8 7) 15x 2 (3x + 2)(4x 5) = 2(x + 6)( 3 2 x + 2) + 1 8) (x + 3)( x + 4) 3(x + 8) = (4 + x)(4 x) 9) (4x 2)(3 + 8x) (2x + 6)(6x + 4) = (4x 6)( x) 10) 9x 2 + (3 x)(8 + 2x) 3(x + 4) = x 2 (4 2x)(4 + 3x) 11) 2x(4 x)(3 + 2) = (2x 8)(2 + 5x) x 2 12) 0 = 24x 2 (6x + 8)(4x 1 2 ) 4 13) 20 = 3(3 x)(x 3) + (12 x)(3x + 4) 14) 16 + (3x 4)(x + 8) = (x 4)(4 + x) + 2x 2 15) (x + 4)(2 + 4)(x 3) = (3x + 1)(2x + 1) 16) 0 = 16 + (2x 3)(x + 4) (5x + 4) 41

42 Kvadrattal og kvadratrødder Når et naturligt tal bliver ganget med sig selv, kaldes prooduktet et kvadrattal. 6 6 = 6 2 = er kvadratet på tallet 6. Øvelse 2.9 Beregn følgende produkter og kvotienter a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Øvelse 2.10 Hvilke af følgende udsagn er sande? a) = 12 2 b) = 8 2 c) = 20 2 d) = 22 e) = 8 2 f) = 62 g) = 42 h) = 10 2 i) = 10 2 j) = 30 2 k) = 56 2 l) = 32 m) a 2 b 2 = (a b) 2 n) m2 n 2 = (m n )2 o) x 2 y 2 = (x y) 2 Nogle potensregler: a 2 b 2 = (ab) 2 a 2 b 2 = (a b )2 Men husk følgende: a 2 + b 2 (a + b) 2 a 2 b 2 (a b) 2 42

43 Løs ligningen: x 2 = 16 Her skal vi finde det/de tal, der ganget med sig selv bliver 16. Der er to tal, der gør udsagnet sandt. x 2 = 16 x =4 x = 4 Løsningsmængden bliver: L = { 4,4} Alternativt kan vi kvadrere begge sider af lighedstegnet: x 2 = 16 x 2 = 16 x = ±4 L = { 4,4} Løs ligningen: (x + 3)(x 4) = 13 x (x + 3)(x 4) = 13 x x 2 4x + 3x 12 = 13 x x 2 x 12 = 13 x 43

44 x 2 x + x = x 2 = 25 x =5 eller x = 5 x = 5 x = 5 L = {5, 5} Løs ligningen: x 2 = 2209 Her er det ikke umiddelbart til at se hvilke tal, x, der ganget med sig selv bliver Derfor bruger vi GeoGebra eller lommeregner. solve[x 2 = 2209] giver {x = 47,x = 47} L = {47, 47} Øvelse 2.11 Løs følgende ligninger: 1) x 2 = 36 2) 2x 2 = 242 3) 5 2 x2 = 360 4) x 2 = 144 5) 3x 2 = 192 6) 4x 2 = 324 7) x 2 = ) x 2 = ) 4x 2 = ) x 2 = ) 100x 2 = ) 8x 2 =

45 Øvelse 2.12 Løs følgende ligninger: a) (x 3)(x + 4) = 4 + x b) (x + 3)(x 3) = (2x + 4)(2x 4) 20 c) 6x(x 4) = (x 10)(x 14) 15 d) x 2 + (3x 4)(x + 2) = 1 x(2x + 4) Løs ligningen: x 2 = 4 25 Vi starter med at kvadrere begge sider af lighedstegnet: x 2 = x 2 = 25 x 2 = ( 2 5 )2 x = ± 2 5 Øvelse 2.13 Løs følgende ligninger: 1) x 2 = 1 2) x 2 = 1 3) x 2 = ) x 2 = 4 5) x 2 = 49 6) x 2 = ) x 2 = ) x 2 = ) x 2 = ) x 2 = ) x 2 = ) x 2 = 0.04 Kvadratrod: 45

46 At beregne et tal i anden kaldes at kvadrere tallet. Når man gør det modsatte, finder man kvadratroden af tallet. Kvadratroden af 16 er 4: 16 = 4 Kvadratroden af 25 er 5: 25 = 5 Kvadratroden af et tal a, er det positive tal x, der ganget sig selv er a. a = x hvis x 2 = a Bemærk, at kvadratroden af et tal ikke kan være negativ. Arealet af et kvadrat er lig med 144 cm 2. Beregn sidelængden Arealet af kvadratet er lig med sidelængden i anden potens. A = x = x 2 x = ±

47 x = 12 eller x = 12 x = 12 x = 12 Da sidelængden ikke kan være negativ vil løsningsmængden -dvs. sidelængden være L = {12} Eksempel : Løs ligningen: x 2 = 81 x 2 = 81 Vi kan nu flytte 81 til venstre side ved at skifte fortegn. x 2 81 = 0 x = 0 Første kvadratsætning sider a 2 b 2 = (a b)(a + b) x = (x 9)(x + 9) = 0 x = 9 eller x =-9 Løsningsmængden er L = { 9,9} I dette tilfælde er begge løsninger svar på det stillede spørgsmål. Ligningen handler ikke om noget fra virkeligheden, der kunne udelukke den ene løsning som svar. 47

48 Øvelse 2.14 Hvilke af følgende udsagn er sande? 1) = 25 2) = 9 3) = 169 4) = 25 5) 16 4 = 64 6) 36 4 = 144 7) 9 25 = 225 8) = ) = ) = ) 36 4 = 9 12) 36 9 = 4 13) a + b = a + b 14) a b = a b 15) a b = a a a b 16) = b b Nogle regler for kvadratrødder: a b = a b eller a b = a b a a a a = b b eller b = b Derimod gælder der ikke tilsvarende regler for addition og subtraktion: a + b a + b og a + b a + b a b a bog a b a b Øvelse 2.15 Beregn følgende uden brug af lommeregner: 1) 5 2 2) ) 9 2 4) ) 4 2 6) 8 2 7) )

49 Kvadratsætningerne Øvelse 2.16 Gang paranteserne ud af følgende udtryk: 1) (x + 2)(x 2) 2) (y + 4)(y 4) 3) (a + 6)(a 6) 4) (a + 3)(a 3) 5) (z + 5)(z 5) 6) (x + 7)(x 7) Første kvadratsætning: (a + b)(a b) = a 2 b 2 To tals sum, (a+b), gange de samme to tals differens, (a b), er lig med kvadratet på første led, a 2, minus kvadratet på andet led b 2. (3x + 4y)(3x 4y) = (3x) 2 (4y) 2 = 9x 2 16y 2 Øvelse 2.17 Gang paranteserne ud: 1) (x + 8)(x 8) 2) (z + 9)(z 9) 3) (x a)(x + a) 4) (a 10)(a + 10) 5) (4 + x)(4 x) 6) (z + a)(z a) 7) (3a 5)(3a+5) 8) ( 1 2 +a)(1 a) 2 9) (a+0.5)(a 0.5) 10) (8x 4)(8x +4) 11) (2x +3y)(2x 3y) 12) (8+a 2 )(8 a 2 ) Esempel: Reducér udtrykket: 20 (a + 5)(a 5) 20 (a + 5)(a 5) = 20 (a ) = 49

50 20 a = 45 a 2 Øvelse 2.18 Reducér følgende udtryk: 1) (a + 2)(a 2) (a + 2)(a 2) 2) (3 + x)(3 x) 3(x + 3) 3) (a + 2)(a 2) + (a + 2)(a 2) 4) (4 + 2x)(4 2x) 2(8 2x) 5) (2x + 4)(2x 4) + x ) (3a + 4)(3a 4) 10a ) 2a 2 (a + 4)(a 4) ) (7x + 2)(7x 2) + 50x 2 9) (x + 4)(x 4) + (4 + x)(4 x) 10) 15x 2 (4x + 3)(4x 3) 10 11) (3y 7)(3y + 7) (7 + 3y)(7 3y) 12) (x + 6)(x 6) (2x + 3)(2x 3) 13) (a 8)(a + 8) a(a + 8) 14) (2x + 8)(2x 8) (3 + 2x)(3 2x) 15) 6(x +3)(x 3) (2x +1)(3x +1) 16) (4x +3)(4x 3) 2(2x +1)(2x 1) 17) (a + 3)(a + 3) 18) (x + 5)(x + 5) 19) (2x + 1)(2x + 1) 20) (a + 8)(a + 8) Anden kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Kvadratet på en to-ledet sum, (a + b), er lig med kvadratet på første led, a 2, plus det dobbelte produkt, 2ab, plus kvadratet på andet led, b 2. Øvelse 2.19 Beregn/reducér følgende udtryk: 1) (x + 3) 2 2) (a + 4) 2 3) (x + 11) 2 4) (y + 8) 2 5) (b + 7) 2 6) (a + 15) 2 7) (2x + 4) 2 8) (4x + 2) 2 9) (16 + 3x) 2 50

51 10) (3a + 5) 2 11) (20 + 5y) 2 12) (12y + 17) 2 13) ( x)2 14) ( x)2 15) (3x )2 16) ( a)2 17) ( x)2 18) (2a )2 19) 3 (x )2 20) 8 (3x )2 21) 5 (2a )2 22) 5 (x + 4) 2 23) 16 (4a )2 24) 7 (3x )2 25) (x + 2) 2 (x + 1) 2 26) (2x + 4) 2 + (3x + 3) 2 27) (3a + 4) 2 + (4a + 3) 2 28) (x + 8) 2 (8 + x) 2 29) (x + 2) 2 (x + 2)(x 2) 30) (16 + 8a) 2 (16 + 8a) 2 31) (3x + 4)(3x 4) + (3x + 4) 2 32) (15 + 2x) 2 + (2x + 15) 2 33) (a 5)(a 5) 34) (2x 7)(2x 7) 35) (x 3)(x 3) 36) (5a 13)(5a 13) Tredje kvadratsætning: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Kvadratet på en to-ledet differens, (a b), er lig med kvadratet på første led, a 2, minus det dobbelte produkt, 2ab, plus kvadratet på andet led, b 2. Øvelse 2.10 Beregn/reducér følgende udtryk: 1) (x 3) 2 2) (a 4) 2 3) (x 11) 2 4) (y 8) 2 5) (b 7) 2 6) (a 15) 2 7) (2x 4) 2 8) (4x 2) 2 9) (16 3x) 2 10) (3a 5) 2 11) (20 5y) 2 12) (12y 17) 2 13) ( 1 2 4x)2 14) ( 3 4 x 16)2 15) (6x 1 3 )2 16) ( 1 4 2y)2 17) (4a 1 2 )2 18) (2a b) 2 19) (a + 4) 2 (2a 3) 2 20) (x 3) 2 (x + 3) 2 51

52 21) (x+4)(x 4)+(x+ 1 2 )2 22) (11 a) 2 +(11+a)(11 a) 23) (x 3) 2 +(2(3x+4) 24) 20 3(x+2) 2 +x(3x 12) 25) (6x + 3y) 2 2x(4 + 18y) 26) (x a) 2 (x + a) 2 27) 2x 2 (x +4) 2 (x 3) 2 28) (x a)(x +a) (x 2a) 2 52

53 To ligninger med to ubekendte- grafisk og analytisk løsning Grafisk løsning: Løs ligningssystemet: y = x + 2 og y = 2x + 8 At løse de to ligninger vil sige at finde dét/de ordnede talpar, (x,y)som indsat i begge ligninger gør dem til sande udsagn. De ordnede talpar skal tilfredstille ligningerne. Vi løser dette ligningssystem vha. GeoGebra. S løsningsmængden bliver: L = {(2,4)} Øvelse 2.11 Løs følgende ligningssystem grafisk vha. GeoGebra: 1) y = x + 5 og y = 1 2 x + 2 2) y = 2x + 4 og y = 1 3 x 3 53

54 3) y = 1 2 x 1 og y = x 4 4) y = 1 2 x og y = x + 6 5) y = 1 2 x og y = 2 3 x + 4 6) y = 1 x og y = 2x 5 3 7) y = 1 2 x + 5 og y = x + 7 8) y = 2 x 2 og y = x Det er ikke altid, man er så heldig at få ligningerne opgivet på formen y = 2 x 2 og y = x + 5. Nogle gange vil du også få opgivet på følgende from som 5 er det samme som før. 2x 5y 10 = 0 og x + y 5 = 0 Løs ligningssystemet: 2x 5y 10 = 0 og x + y 5 = 0 Som regel er det en god ide at omskrive ligningerne, så de kommer på formen y = ax + b eller y = αx + q 2x 5y 10 = 0 og x + y 5 = 0 2x 10 = 5y og y = x + 5 y = 2 x 2 og y = x GeoGebra er faktisk ligeglade med hvordan vi indtaste ligningerne: 54

55 Løsningsmængden er koordinaterne til skæringspunktet: L = {(5,0)} Øvelse 2.12 Løs følgende ligningsæt grafisk vha. GeoGebra: 1) 2x = 4 y og x = 3y + 9 2) 5x = (9 + 3y) og 3y = x + 3 3)2y + 3 = 3x og x + y = 4 4) x 2y = 2 og y + 9 = 3x Analytisk løsning: Analytisk betyder ved hjælp af beregninger. Man kan med fordel løse både vha. grafisk - og anaytisk for en ekstra kontrol. Løs ligningssættet: y = 3x 2 og y = 1 2 x + 5 analytisk At løse ligningssættet vil sige at finde det ordnede talpar, (x,y), som indsat i bege ligninger gør dem til sande udsagn. I de to ligninger er de to venstre-sider ens - der er tale om samme y-værdi. Da må de to højre-sider også være ens: 3x 2 = 1 2 x + 5 Vi samler nu x erne og tallene hver for sig på begge sider af lighedstegnet: 3x 1 2 x = x x 2 55 = 7

56 7x 2 = 7 Ganges over kors: 7x = 14 x = 2 y-værdien findes ved at indsætte denne værdi i en af de ligninger: y = 3x 2 y = 3( 2) 2 = 6 2 = 4 Løsningsmængden er skæringspunktet: L = {( 2,4)} Som kontrol kan du indsætte disse to ligninger i GeoGebra 56

57 Øvelse 2.13 Løs følgende ligningssæt både grafisk vha. GeoGebra og analytisk ved beregning: 1) y = x 12 og y = 3 2 x 2 2) y = 2x 1 og y = 4 3 x 1 3) y = 1 2 x + 9 og y = 2x 1 4) y = x og y = 2 3 x ) y = 1 2 x +2og y = 1 2 x +3 6) y = x +1og y = 2x ) y = 2 3 x og y = 1 2 x 3 8) y = 3 2 xog y = 1 2 x 2 9) x + y = 5 og 3y = 4x ) 1 = x + y og 3x = 2y ) 6y 4x 12 = 0og 1 = x+2y 12) y = 1+2x og 2y = 7+x 13) 2x +y = 2 og 2x +8 = 2y 14) y = 3 4 x og x = 1 3 y 15) y = 2x + 1 og 3y = 2x 9 16) x = y + 6 og y = x + 7 Løs ligningssystemet: 2y = 6x 4 og y 1 = 3x Begge ligningerne regnes om til formen y = ax + b 2y = 6x 4 og y 1 = 3x y = 3x 2 og y = 3x + 1 De to venstre-sider er ens, altså er de to højre-sider også ens: 3x 2 = 3x + 1 Vi samler x erne og tallene hver for sig på begge sider af lighedstegnet: 3x 3x = = 3 57

58 Da nul ikke kan være lig med nul er denne udsagn en falsk udsagn. Løsningsmængden er den tomme mængde. L = /O Vi løser ligningssystemet vha. Geogebra: Som ses af ovenstående graf skærer de to linijer ikke hinanden altså ingen løsning. Løs ligningssystemet- brug både grafisk dvs. GeoGebra og analytisk metode dvs. ved beregning: y = 2x + 3 4x = 6 2y Begge ligninger kan indtastes direkte ind i GeoGebras inputfelt: 58

59 Som ses af figuren er de to ligninger ens da deres billeder er ens og de ligger oven på hinanden! Lad os prøve ved beregning: y = 2x + 3 og 4x = 6 2y y = 2x + 3og 2y = 6 4x y = 2x + 3og y = 2x + 3 De to l igninger viser sig at være ens. Det vil sige, at uanset hvilket ordnet talpar man indsætter, så vil begge enten være falske eller begge vil være sande. Løsningsmængdeb vil således bestå af uendeligt mange ordnede talpar, der alle tilfredstiller ligningen: y = 2x

60 Øvelse 2.14 Løs følgende ligningssæt både geometrisk og analytisk: 1) 3x = y + 1 og 2y + 2 = x 2) 2x + y = 10 og 1 2 x = y + 5 3) 1 = 1 2 y 1 x og 2y + 16 = x 4 4) y 1 = 2x og 2x + 2y = 14 5)2y = x + 4 og 6y + 8x = 10 6) 2y x = 11 og 3y 14 = x 7) 3y x = 8 og y + 2x = 2 8) x + y = 10 og 3y = x Uligheder - løsningsregler for uligheder Man kan løse en ulighed på samme måde, som man løser en ligning. De fire uligheds-tegn: < : mindre end > : større end : mindre end eller lig med : større end eller lig med Eksempler: 8 < 10 : udsagnet er sandt 8 5 < < 5 : udsagnet er sandt4 Man har lov til at rrække samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet. Løs uligheden: x + 8 < 19 x + 8 < 19 Vi sørger for at x erne og tallene er på hver deres side af ulighedstegnet og husk at vende fortegnet 60

61 x < 19 8 L: x < 11 Løs uligheden: 3x + 5 2x x + 5 2x x 2x 21 5 x 16 L : x 16 Øvelse 2.15 Løs følgende uligheder: 1) x + 27 < 34 2) 4x x ) x ) 10x + 12 > 4 + 9x Et sandt udsagn: 8 < 10 Tallet 5 løgges til på begge sider af ulighedstegnet: < Udsagnet er stadig sandt: 13 < 15 Man har lov til at lægge samme tal på begge sider af ulighedstegnet. 61

62 Løs uligheden: x x x x 7 L : x 7 Vi kan også løse en ulighed ved at samle x erne og tallene hver for sig: Løs uligheden: 4x + 3 < 5x 4x + 3 < 5x 3 < 5x 4x 3 < x L : x > 3 Øvelse 2.16 Løs følgende uligheder: a) 7x 16 6x+3 b9 4x > 3x c) 2x+12 3+x d) 16 x > 4 62

63 Et sandt udsagn: 24 > 8 Divideres begge sider med tallet 4 Udsagnet er blevet falsk 24 8 > > 2 Man har lov til at dividere med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet. Man har lov til at dividere med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet - når man samtidig vender ulighedstegnet. Løs uligheden: 16 2x > x > 24 Vi samler x erne og tallene hver for sig på begge sider af ulighedstegnet 2x > x > 8 Vi dividerer begge sider med -2 og husker at vebde ulighedstegnet samtidig 63

64 2x 2 > 8 2 x < 4 Løsningsmængden bliver L : x < 4 Øvelse 2.17 Løs følgende uligheder: 1) 14 3x 16 2) 5 8 < 2 5x 3) 6 2x < 4 4) x 16 5) 2x 4x ) 2x + 14 < x 7) 12 3x < 2x 18 8) 14 4x x + 20 Et sandt udsagn : 9 3 > > 2 Gang med -3 på begge sider af ulighedstegnet Udsagnet er blevet falsk. 9 ( 3) > 2 ( 3) 3 9 > 6 Man har lov til at gange med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet. Man har lov til at gange med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet - når man samtidig vender ulighedstegnet. 64

65 Løs uligheden: 16 x x 3 18 Vi samler x erne og tallene på hver sin side af ulighedstegnet x x 3 2 Ganges nu begge sider af ulighedstegnet med 3 og vi husker at vende ulighedstegnet x ( 3) 6 3 x 6 Løsningsmængden bliver L : x 6 måde: Vi kan huske at man også løser denne ulighed vha. Geogebra på følgende 65

66 Løs uligheden: x 10 > 3 2 x + 5 x 10 > 3 2 x + 5 x x > x + 3x 2 > 15 Divideres begge sider med 5 og vi husker at vende ulighedstegnet x > 30 Løsningsmængden bliver: L : x > 30 Vi læser opgaven vha. GeoGebra grafisk 66

67 Øvelse 2.18: Løs følgende uligheder både grafisk vha. GeoGebra og ved beregning 1) x 24 2) 16x 29 > 8x 5 3 3) x < 33 4) x 4x 7 5) 32 4x < 2x + 2 6) x 9 2 x 7) 4x + 8 > 6x 3 8) 0 < 7x Løsningsregler for uligheder: Man har lov til at lægge samme tal til eller trække samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet. Man har lov til at dividere eller gange med samme tal på begge sider af ulighedstegnet. Hvis tallet er negativt, skal ulighedstegnet vendes samtidig. 67

68 Andengradsfunktioner Tegn en graf, der viser hvor langt et legeme med en konstant acceleration på 4 m/s 2 er kommet efter 4 sekunder. Fysik-formlen for et legeme der bevæger sig med konstant acceleration er: s = 1 2 a t2 Vi kan skrive formlen om, idet vi lader tiden t (sekunder) være x-værdier og strækningen s(strækning) være y-værdier. Dvs. vi kan skrive formlen om til et matematisk udtryk y = 1 2 a x2 Nu har vi forskriften så vi kan skitsere funktionen y = 2x 2 vha. GeoGebra på følgende måde- vi skitserer kun for positive acceleration: Function[a x 2,0,10] 68

69 Grafen er ikke en ret linje. Da x 2 indgår i forskriften, kaldes funktionen en andengrads-funktion. Tegn grafen for andengradfunktionen: y = 1 2 x2 og y = x 2 Øvelse 2.19 Skitsér følgende funktioner a) y = 1 3 x2 b) y = 2x 2 c) y = 3 2 x2 d) y = 1 2 x2 e) y = 2x 2 f) y = 3 2 x2 Den type andengrads-funktioner, vi nu har set på, har haft standartformlen: y = a x 2 Det grafiske billede af y = a x 2 kaldes en parabel, der har toppunkt i (0,0) Øvelse 2.20 Tegn grafen y = x 2 + 2x a) Aflæs toppunktets koordinatsæt b) Hvor skærer grafen x-aksen? Øvelse 2.21 Tegn grafen y = x 2 + 2x a) Aflæs grafens toppunkt b) Hvor skærer grafen x-aksen? 69

70 Når x optræder både i anden potens -f.eks. som 2x 2, i første potens - f.eks. 3x, og nul te potens - f.eks. 5, idet 5 x 0 = 5 1, ser forskriften således ud: y = A x 2 + B x +C y = x 2 3x + 2 hvor A = 1, B = 3 og C = 2 For at få en ide om hvad A, B og C betyder for grafen kan vi på følgende måde illustrere det vha. GeoGebra Øvelse 2.22 I de følgende øvelser, skal du tegne de parabler vha. GeoGebra og aflæse toppunkt og skæring med x-aksen 70

71 1) y = x 2 5x + 6 2) y = x 2 + 2x + 8 3) y = x x 15 4) y = x2 2x + 3 5) y = x 2 6x + 8 6) y = 4x 2 12x + 9 7) y = x 2 3x ) y = 2x 2 + 2x + 12 Tegn graferne y = x 2 og y = x 2 + x 6 og aflæs deres skæringspunkter 71

72 Øvelse 2.23 Tegn graferne og aflæs deres skæringspunkter. 1) y = x 2 +2x+8 og y = x+6 2) y = x 2 +10x 21 og y = 2x 9 3) y = 2x +7 og y = x 2 +8x +15 4) y = x +8 og y = 1 2 x2 5x +8 5) y = x 2 6x + 9 og y = 3x 9 6) y = x + 6 og y = x Beregning af nulpunkter I parablernes nulpunkter er y værdien nul: Når y = 0indsættes i parablens ligning fås: 0 = Ax 2 + Bx +C eller Ax 2 + Bx +C = 0 Det er nu en andengrads-ligning med én ubekendt. Bevis: Ax 2 + Bx +C = 0 Vi dividerer alle led med koefficienten A for at skaffe en koefficient til x 2 på 1: x 2 + B A x + C A = 0 De to første led skrives om til kvadratet på (x + B A ), dvs. (x + B A )2. Det led, der derved bliver tilføjet-kvadratet på andet led: derfor ( B 2A )2 : x 2 + B A x + ( B 2A )2 ( B 2A )2 + C A = 0 72 B ), må straks trækkes fra igen, 2A

73 (x + B 2A )2 ( B 2A )2 + C A = 0 (x + B 2A )2 ( B2 4A 2 C A ) = 0 De sidste to led sammenskrives på en fælles brøkstreg: (x + B 2A )2 ( B2 4AC 4A 2 ) = 0 Sidste led skrives som et kvadrat: ( ) 2 (x + B B 2A )2 2 4AC = 0 2A Differensen mellem to kvadrater kan skrives om vha. første kvadratsætning: ( x + B ) ( B 2A + 2 4AC x + B ) B 2A 2A 2 4AC = 0 2A ( x + B + B 2 4AC 2A ) ( x + B B 2 4AC 2A ) = 0 Et produkt er lig med nul når mindst én af faktorerne er lig med nul: x = B + B 2 4AC 2A eller x = B B 2 4AC 2A Eller kortere skrevet: x = B ± B 2 4AC 2A Hvor D = B 2 4AC kaldes diskriminanten. Løsningerne i en andengradsligning (beregning af nulpunkter) kan beregnes ved hjælp af formlen: hvor D = B 2 4AC x = B ± D 2A 73

74 Beregn nulpunkterne i parablen y = x 2 4x 21 I parablens nulpunkt er y-værdien nul: x 2 4x 21 = 0 A = 1 B = 4 C = 21 Dikriminanten beregnes: D = B 2 4AC D = ( 4) ( 21) = 100 x = B ± D ( 4) ± 10 7 = = 2A 2 3 Parablens nulpiunkter: (7,0) og ( 3,0) Skitsering vha. GeoGebra viser også nulpunkterne som vist nedenunder: 74

75 Beregn nulpunkterne i parablen y = 2x x 48 2x x 48 = 0 A = 2 B = 10 og C = 48 D = B 2 4AC = ( 48) = 484 x = B ± D 10 ± 22 3 = = 2A 4 8 Nulpunkter: (3, 0) og ( 8, 0) Øvelse 2.24 Beregn nulpunkterne i følgende parabler: a) y = x 2 6x + 8 b) y = 2x x c) y = x 2 + 3x 28 d) y = 4x 2 12x + 9 Beregning af parablens toppunkt En parabels toppunkt ligger på parablens symmetriakse. Det betyder, at toppunktets x-koordinat ligger midt mellem de to nulpunkters x-koordinater - hvis der er to nulpunkter. Ved at beregne middelværdien af nulpunkternes x-koordinter, får vi toppunktets x-komponent: Parablens forskrift: y = Ax 2 + Bx +C Det ene nulpunkt har værdien: B + D 2A 75

76 Middelværdien findes: Det andet nulpunkt har værdien: B D 2A B + D 2A + B D 2A 2 = ( B + D) + ( B D) 4A 2B 4A = B 2A = B + D B D 4A = Hvis parablen har ét eller ingen nulpunkter, giver ovenstående beregning ikke uden videre nogen mening. Men enhver parabel kan paralelforskydes i y-aksens retning, så den får to nulpunkter. Ved en sådan parallelforskydning i lodret retning, ændres kun C- værdien i forskriften. Symmetriaksen forbliver ved en sådan paralllelforskydning den samme. Vi kan derfor slutte, at hverken forskriftens C værdi eller diskriminanten har nogen indflydelse på toppunktets x-komposant. Uanset om parablen har to, ét eller ingen nulpunkter vil toppunktets x-komposant være: x = B 2A. Toppunktets y-komposant kan beregnes ved at indsætte værdien x = B 2A i parablens forskrift: y = Ax 2 + Bx +C y = A ( B 2A )2 + B ( B 2A ) +C y = A B2 4A 2 B2 2A +C y = A B2 2A B2 4 A2 4 A A2 C 4 A 2 y = AB2 2AB 2 + 4A 2 C 4A 2 76

77 y = A(B2 2B 2 + 4AC) 4A 2 y = B2 + 4AC 4A = (B2 4AC) 4A = D 4A En parabels nulpunkter og toppunkt: En parabel med forskriften y = Ax 2 + Bx +C har diskriminanten D = B 2 4AC ( B Parablens toppunkt: 2A, D ) 4A Parablens nulpunkter: B ± D 2A Alt efter værdien af D vil parablen have to, et eller ingen nulpunkter: D > 0 :to nulpunkter D = 0 :et nulpunkt. D < 0 :ingen nulpunkter Øvelse 2.25 Tegn parablen y = x 2 2x 15 vha. GeoGebra a) Beregn parablens nulpunkter og kontrollér ved aflæsning. b) Bestem parablens toppunkt c) Bestem parablens symmetriakse. Øvelse 2.26 Beregn nulpunkterne i følgende parabler: a) y = 2x 2 + 3x 20 b) y = 3x 2 + x + 2 Øvelse 2.27 Tegn parablen y = x 2 + 6x

78 a) Bestem parablens toppunkt. b) Beregn grafens skæring med x-aksen. c) Hvor mange nulpunkter har parablen? Øvelse 2.28 Beregn toppunktets koordinatsæt for hver af følgende parabler: a) y = x 2 + 8x + 12 b) y = 1 2 x2 + 4x + 3 c) y = 5 2 x2 10x + 1 b) Bestem forskriften for symmetriaksen for hver af de tre parabler Øvelse 2.29 Tegn parablen y = 2x 2 + 4x + 2 a) Beregn parablens toppunkt. b) Beregn parablens nulpunkter. Øvelse 2.30 Tegn parablen y = 2x 2 + 6x a) Bestem parablens nulpunkter, toppunkt og symmetriakse. Øvelse 2.31 Tegn parablen y = x 2 x + 2 a) Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem parablens toppunkt og et af nulpunkterne. 78

79 Øvelse 2.32 Tegn parablen y = 1 2 x2 x 4 for x-værdier i intervallet [ 2;4]. Gennem punktet ( 5, 6) går en ret linie med forskriften y = ax + b. a) Bestem efter aflæsning de værdier af a for hvilke linien har et eller flere punkter fælles med parablen. Øvelse 2.33 Tegn parablen y = 4x 2 12x + 5 a) Beregn parablens toppunkt. b) Beregn parablens nulpunkter. c) Angiv funktionens værdimængde. d) Angiv efter aflæsning de værdier af x, for hvilke 4x 2 12x Øvelse 2.34 Tegn parablen y = 2x 2 + 3x 1 a) Hvor stor er afstanden mellem parablens nulpunkter? 3 Algebra og formler Opløsning i faktorer Et heltal kan opløses i faktorer. Et eksempel er tallet 12 som kan opløses i sine (prim)faktorer på følgende måde: 12 =

80 På samme måde som heltallene kan vi også opløse matematiske udtryk i faktorer. Vi kan på samme måde prøve at faktoropløse tallet 13. Kan det lade sig gøre?? a(2 + 3a) = 2a + 3a 2 Hvis man læser ovenstående udtryk fra venstre mod højre er a ganget ind i parantesen. Hvis man læser udtrykket fra højre mod venstre er a sat uden for en parantes: 2a + 3a 2 = a(2 + 3a) Man siger, at den fælles faktor, her a, er sat udenfor parantes - eller at man har opløst udtrykket 2a + 3a 2 i faktorewr a og 2a + 3a. Opløs udtrykket x + 8y i faktorer. Her er der en fælles faktoe, nemlig 4. Dvs. at 4 går op i alle tre led. Udtrykket kan derfor omskrives således: x + 8y = x + 4 2y = 4(1 + 3x + 2y) 80

81 Den tre leddede størrelse er blevet opløst i de to faktorer 4 og (1 + 3x + 2y).Man siger også, at 4 er blevet sat uden for en parentes. Man kan lave kontrol ved igen at gange tallet 4 ind i parentesen: 4 (1 + 3x + 2y) = x + 8y Især ved reduktion af brøk-udtryk kan det ofte betale sig at sætte en fælles faktor uden for en parentes. Det kan være, at man derved kan forkorte brøken. 2x 10 Reducár udtrykket: 3x 15 I tælleren kan tallet 2 sættes udenfor en parentes: 2x 10 = 2(x 5) I nævneren kan tallet 3 sættes udenfor en parentes: 3x 15 = 3(x 5) (2x 10) 2(x 5) = (3x 15) 3(x 5) Herefter kan brøken forkortes med (x 5).Hele reducerinen ser således ud: (2x 10) 2(x 5) = (3x 15) 3(x 5) = 2 3 I hver af de følgende øvelser skal du finde et ta, der går op i alle leddene. Det største tal, der går op i alle leddene, sættes udenfor en parentes. Øvelse 3.1 Opløs følgende fler-leddede størrelser i faktorer: 1) 16 8x 2) a 3) 12x 18 81

82 4) 10y ) 30b 24 6) 22a + 44b 6) 12x y 7) 18x + 36y ) 45x 30 15x 9) 24a + 40b 16 10) a + 42b 11) 12a + 24b ) 54a 36b ) 36 72x + 18y 14) a 30b 15) 14x y 16) x + 55z 17) 12k 18m + 60 Opløs udtrykket 6x + 10x 2 i faktorer. Udtrykkets største fælles faktor er 2x som sættes udenfor parentes. 6x + 10x 2 = 2x(3 + 5x) Øvelse 3.2 Opløs følgende i faktorer: 1) 6x 2 24x 2) 55y + 10y 2 3) 8x ) 14a 2a 2 5) 16x 2 64x 6) 3x x 3 7) 6a 2 16a 8) 4x 4 + 8x 2 9) 6x x 10) 2b 3 8b 2 11) 2a 4 + 8a 3 4a 12) 2y 4 + 2y 3 4y y Forkort brøken 8x x mest muligt. 8x x = 8(x + 3) 4(2 + 3x) 82

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

4. Funktioner lineære & hyperbel

4. Funktioner lineære & hyperbel 4. 4.1 Tegn følgende lineære funktioner: a. y = 2 +1 b. y = 3 c. y = 3 d. y = ½ + 2 e. y = 2 + 350 f. y = -25 + 4200 g. y = 125-375 4.2 Tegn følgende lineære funktioner. Det er en stor fordel at isolere

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Facitliste til elevbog

Facitliste til elevbog Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Silkeborg 0-05-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Udarbejdet af matematiklærere fra HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium.

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

GRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB.

GRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB. Mathematicus GRUND FORLØB y x Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus Grundforløb. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 3

Grundlæggende matematiske begreber del 3 Grundlæggende matematiske begreber del 3 Ligninger med flere variable Ligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse LIGNINGER MED FLERE VARIABLE... 3 Ligninger med flere

Læs mere

Matematikopgaver 10. kl

Matematikopgaver 10. kl Matematikopgaver 10. kl 1. Algebra og regneregler 1.1 Vær opmærksom på de negative tal a. 2 b. 10 c. -29 d. -11 e. 7 f. -25 g. 0 h. 21 1.2 Lav brøkerne om til rene brøker (f.eks: 3 ¾ = 15 / 4 ) a. 11 /2

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

TAL OM - '" EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)(

TAL OM - ' EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)( Al gebra og ligning er 7..0-1 Ligninger '? k 'Z "-0'1 Zo '8 x.:: 3-4)("'~g 3~X"'3,.il ''

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere