Brede linier. En glemt geometrisk begrebsstruktur. af Jens Høyrup

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Brede linier. En glemt geometrisk begrebsstruktur. af Jens Høyrup"

Transkript

1 Brede linier En glemt geometrisk begrebsstruktur af Jens Høyrup Den følgende hilsen til Marinus følger sporene af en forståelse af arealer der for os synes mærkværdig (for Platon, som vi skal se, skandaløs) men som i flere matematiske kulturer har været så selvfølgelig at der ikke var brug for at forklare den: så mærkværdig, og så selvfølgelig at moderne historikere har besluttet at passager i kilderne der afspejler den er fejlagtige, forvirrede eller meningsløse. Jeg hentyder til forståelsen af linier som bærere af en virtuel bredde svarende til en længdeenhed, og af arealer som sammensatte af sådanne bånd-linier. Denne forståelse har behersket mange før-moderne praktiske landmålerkulturer, hvor det var let at enes om valget af en enkelt standardbredde hvor, så at sige, land blev målt som vi i dag stadig sælger stof, i meter (med den fysisk bestemte bredde) og ikke i kvadratmeter. Men den afspejles også i tekster som er af mere teoretisk præg omend de stadig inspireres eller farves af den praktiske landmåling og dens sprogbrug. Ud fra et godt gammelt princip skulle temaet ligge nær på emner Marinus har arbejdet med, uden dog at sidde låret af ham. Italiensk landmåling, fra Fibonacci til Pacioli I indledningen til sin Pratica geometrie [ed. Boncompagni 1862: 3 4] gør Leonardo Fibonacci rede for længde- og arealmål. I de første linier [ed. Boncompagni 1862: 3 4] er der intet overraskende for en moderne læser: en cubita superficialis er et kvadrat hvis side er en cubita linealis; på samme måde er en ulna superficialis et kvadrat med side én ulna linealis, og en pertica superficialis et kvadrat med side én pertica linealis. Men så fortsætter Fibonacci med en beskrivelse af det system der bruges i hans hjemby Pisa og det er temmelig anderledes end vi er vant til. 1 En pertica linealis består af 6 lineære fod, og hver af disse af 18 lineære punkter eller unciae. En pertica 1. Fibonacci latiniserer lokale toskanske enheder; skønt disses navne er afledt fra latin er deres former derfor ikke altid hvad en filolog ville forvente. AIGIS Supplementum III Marinus 80 1

2 quadrata består tilsvarende af 6 flade-fod; som Fibonacci forklarer, er nemlig en fladefod 1 pertica lang og en sjettedel af en pertica (altså en fod) bred. En flade-uncia er en pertica lang og en attendedel af en fod bred. En flade-fod er altså en sjettedel af en flade-pertica, og en flade-uncia en attendedel af en flade-fod eller en 108-del af en flade-pertica. Større arealer måles i enhederne scala (= 4 flade-pertice), panorum (= 5½ fladepertice), staiorum (=12 panori) og modiorum (=24 staiori). De er alle først og fremmest arealmål, men de kan også forstås som længdemål hvor 1 lineær panorum er den længde som, hvis den udstyres med en bredde på 1 fod, giver et areal på en fladepanorum (o.s.v.). De bruges, fortæller Fibonacci, ved køb og salg af marker, byggegrunde og huse altså i praktisk økonomisk liv. Tilsvarende forklarer den geometriske del af Luca Pacioli's Summa de arithmetica, geometria, proportioni: et proportionalita [1494: II, fols 6v 7r] det målesystem der på hans tid bruges i Firenze ved køb og salg af jord. Her er den tilbagevendende bredde bracio (flertal bracia; en underarm med hånd eller cubitum på ca. 50 cm): Multiplikation af bracia med bracia giver kvadrat-bracia. Multiplikation af bracia med pugnora giver pugnora. Multiplikation af bracia med panora giver panora; multiplikation med staiora giver staiora.... (1 staioro = 12 panora = 12 2 pugnora = 12 3 bracia). Fremstillingens hele struktur så vel som målesystemet viser at denne passage (i modsætning til mange andre) ikke er kopieret fra Fibonacci. Pacioli beskriver et system der faktisk var i brug i Firenze på hans tid. Ægypten Forståelsen af arealer som sammensat af bånd med standardbredde og målt i længdemål kan findes i andre praktiske målesystemer. Et bekendt eksempel kommer fra det Midterste Riges Ægypten [Peet 1923: 24 25]. Til opmåling af land brugtes længdeenheden khet (et reb ), med en længde på 100 mḥ (stadig en cubitum på ca. 50 cm). I skoletekster er den grundlæggende arealenhed setat, en kvadrat-khet. I praktisk land- AIGIS Supplementum III Marinus 80 2

3 måling brugtes derimod som oftest en mḥ af land eller tusind af land, rektangler hvis ene side var en mḥ henholdsvis 1000 mḥ, mens den anden var en khet. Det målesystem Peet beskriver hører hjemme i den andet årtusinde f.v.t. Skønt den hellenistisk- og romersk-ægyptiske matematik var eklektisk og havde overtaget materiale af babylonisk, aramæisk og persisk oprindelse, så genfinder vi dog den struktur vi her betragter i de demotiske papyri. Således dukker en mḥ af land op i en papyrus fra romersk tid [ed. Parker 1972: 71]. Endnu mere bemærkelsesværdig er en passage fra den samme papyrus [ed. Parker 1972: 72] hvor aroura (den gamle setat eller kvadratkhet) bruges som længdeenhed ganske vist uden anførelse af navnet, men i denne periode eksisterede der ingen anden længdeenhed af denne størrelse. Oldbabylonisk matematik De brede linier afspejles mindre klart i det oldbabyloniske målesystem, 2 og af samme grund er deres tilstedeværelse som underliggende struktur i den almene matematiske tænkning ikke blevet bemærket. Derimod er der blevet skrevet ganske meget om en tilsvarende struktur for rummål. Vandrette afstande blev målt i NINDAN, en stang på 12 KÙš (også en KÙš er en cubitum på ca. 50 cm en NINDAN er altså ca. tre gange en romersk pertica). Lodrette afstande blev derimod målt i KÙš. Volumina blev målt i arealmål, underforstået med en tykkelse på 1 (nemlig 1 KÙš). Volumina blev med andre ord opfattet som sammensat af skiver med tykkelse 1 KÙš. For at se at den samme ide indgår i forståelsen af arealer må vi analysere den terminologi der blev brugt til at beskrive arealberegning. Blandt de termer der traditionelt oversættes som multiplikation synes to at være forbundet med sådanne beregninger [Høyrup 2002: 21 23]. Det ene (med forskellige synonymer) er šutakūllum, hvis betydning er at lade [to liniestykker] holde (nemlig holde et rektangel jfr. Elementer II, def. 1 [ed. Heiberg 1883: 118]). Det andet er našûm, at løfte. I virkeligheden refererer šutakūllum ikke til beregningen men til konstruktionen af rektanglet (i overensstemmelse med ordets betydning). Sædvanligvis medfører konstruktionen en underforstået beregning af arealet (oldbabylonisk geometri handler altid om målelige størrelser). Der findes dog tilfælde hvor beregningen omtales separat, og andre hvor to liniestykker af 2. Den oldbabyloniske periode dækker tidsrummet f.v.t. (ifølge middelkronologien ; de matematiske tekster hører hjemme i periodens anden halvdel. AIGIS Supplementum III Marinus 80 3

4 ukendt længde lades holde, og hvor det kun siges at en flade er blevet bygget (d.v.s. konstrueret). Beregningen af arealet af et rektangel der allerede er konstrueret tidligere sker altid ved løftning. Den samme operation bruges til bestemmelse af arealerne af trekanter, trapezer og irregulære firkanter. Løftning bruges generelt når en konkret størrelse bestemmes ved hjælp af multiplikation. I almindelighed bestemmes faktorernes orden stilistisk; for eksempel er det sædvanen at et tal der lige er fundet løftes til den anden faktor. Men der er én enkelt undtagelse: ved volumenbestemmelser er det ufravigeligt basis B der løftes til højden h. Termen er altså en endnu levende metafor når det gælder volumenbestemmelse, og død i alle andre sammenhænge. Vi må konkludere at metaforen kommer fra volumenberegning: Et prisme h B får vi ved at løfte den virtuelle højde 1 KÙš af grundfladen B (forstået som skive) til den aktuelle højde h. Ideen svarer til definitionen af multiplikation i Elementer VII, def. 15 [ed. Heiberg 1884: 186]: produktet af h og B indeholder B lige så mange gange som h indeholder enheden. Overførelsen af metaforen til arealmål forudsætter at arealer opfattes som sammensat af bånd med bredden 1 NINDAN, på samme måde som volumina er sammensat af skiver med tykkelse 1 KÙš. Så kan arealet findes ved løftning af striben 1 b til den virkelige bredde a. Ideen om en virtuel bredde har også sat sine spor i de såkaldte algebraiske tekster. Det er en gammel iagttagelse at mange af disse adderer længder til eller subtraherer dem fra arealer operationer der altid er blevet opfattet som geometrisk absurde og som bevis for at teksternes geometriske vokabular ikke kan tages alvorligt men blot bærer en rent numerisk tænkning. 3 Som jeg har vist andetsteds 4 er det en fejlslutning; den numeriske tolkning forklarer de tal der optræder i teksterne men hverken terminologiens struktur eller detaljerne i fremstillingen, somme tider end ikke operationernes rækkefølge; disse tekstniveauer gennemtvinger en geometrisk fortolkning. Der er ingen tvivl om at forfatterne af visse oldbabyloniske tekster så et problem i additionen af længder og arealer. For at gøre den meningsfuld foretrak de at bruge en term der tillader addition af de to størrelsers måltal uden hensyn til deres konkrete 3. It is true that they illustrated unknown numbers by means of lines and areas, but they always remained numbers. This is shown at once in the first example, in which the area xy and the segment x y are calmly added, geometrically nonsensical [van der Waerden 1962: 72]. 4. Mest grundigt i [Høyrup 2002]. AIGIS Supplementum III Marinus 80 4

5 betydning, og for at forvandle opgaven til et geometrisk problem udstyrede de derefter længden med en udtrykkelig bredde, i forskellige tekster kaldet udstikkende 1, sokkel eller bredde nr. 2. Denne bredde forvandler en linie s til et rektangel 1 s, som uden vanskelighed kan føjes til et andet areal. Dermed forsvinder vanskeligheden. Men når det kommet til subtraktion af en linie fra et areal, så er der ingen terminologisk distinktion mellem operation på måltal og konkret operation til rådighed. Nogle tekster tillader sig endvidere at føje længder til arealer uden at have indført et udstikkende 1 eller tilsvarende. De forudsætter simpelt hen det kan ses af operationerne i en tekst som AO at linierne er bånd der kan tilføjes til eller udskæres fra et areal. 6 Skønt målesystemets vidnesbyrd har begrænset udsagnskraft er der alt i alt ingen tvivl om at den oldbabyloniske matematiske tænkning kendte til forestillingen om liniers virtuelle bredde især der hvor den var tættest på den praktiske geometri. Euklid Heron Platon Euklid forklarer at en linie er en længde uden bredde (μῆκoς ἀπλατές Elementer I, def. 2 [ed. Heiberg 1883: 1]). Hverken Herons Definitioner [ed. Heiberg 1912: 14 16] eller Proklos' kommentar [Friedlein 1873: ; trans. Morrow 1970: 79 82] antyder at denne afgrænsning (vel den mest adækvate oversættelse af Euklid's ὅρoς) af begrebet havde til formål at udelukke forestillingen om bånd-linier. På dette niveau af græsk matematik den modne teori er der efter alt at dømme ingen spor af ideen om brede linier. På andre niveauer der hvor vi er tættere på praktisk landmåling eller i polemik mod dens sædvaner er der på den anden side spor, og lejlighedsvis mere. 5. Se [Høyrup 2002: ]. 6. Det ser ud til at de tekster der forudsætter en virtuel bredde er blandt dem der er tættest på disciplinens oprindelse, nemlig skriverskolens lån af et lille antal geometriske gåder fra et landmålermiljø i starten af det 18. århundrede f.v.t. se [Høyrup 2002: ]. Den terminologiske skelnen og indførelsen af det udstikkende 1 og dets ækvivalenter er dermed sekundære fænomener, resultatet af skolelæreres kritiske tænkning over de tvetydigheder der i første omgang var blevet overtaget fra landmålerne sammen med gåderne. AIGIS Supplementum III Marinus 80 5

6 For det første er der de to pseudo-heron antologier Stereometrica og De mensuris, hvor det forklares hvordan man finder hvad der resulterer fra 1 fod på (ἐπί) 1 fod (Stereometrica II.69 [ed. Heiberg 1914: ]; en smule anderledes De mensuris 27 [ed. Heiberg 1914: 182]). Stereometrica versionen diskuterer først 1 fod på 1 fod, idet 16 multipliceres med 16 (eftersom 1 fod indeholder 16 fingre ). Dernæst, for at finde og forklare 1½ fod på 1½ fod multipliceres 24 med 24, hvorefter resultatet divideres med 16; kvadratet forvandles altså til et bånd med bredde 1 fod, og dettes længde findes at være 36 [fingre] eller 2¼ fod. At der virkelig er tale om en tænkning i termer af bånd og ikke om et blot og bart regneskema fremgår af en tredie beregning, nemlig af (½+¼) fod på (½+¼) fod. Teksten multiplicerer (8+4) med (8+4) og finder 144. Men i stedet for at dividere med 16 (hvad der ville give et kontra-intuitivt bånd hvis bredde var større end længden) relaterer den produktet direkte til = 256, og finder at forholdet er ½+ 1 / 16. Indtil dette punkt gør De mensuris det samme; men mens Stereometrica stopper her, fortsætter De mensuris med 2 fod på 2 fod og (2+½+¼+⅛+¹/₁₆) fod på (2+½+¼+⅛+¹/₁₆) fod; i begge tilfælde vendes der tilbage til forvandlingen til bånd, som bekræftelse af at det er metoden der skal bruges når et egentligt bånd resulterer. De mensuris 25 [ed. Heiberg 1914: 180] en enten forkert eller korrupt alternativ metode til at finde kapaciteten af et teater stiller os over for et andet eksempel. Arealet reserveret til tilskuerne findes som produktet af den ydre og den indre perimeter (henholdsvis 100 fod og 80 fod). Det er også antallet af tilskuere, for på én fod sidder der en mand, d.v.s., på 16 fingre. Her tænker Heiberg som en moderne matematiker og påpeger at der snarere skulle stå 256 fingre, da der efter hans mening er tale om kvadratfod. Tekstens ord er dog (på dette punkt) berettigede hvis vi tænker på arealet som bestående af bånd med bredde én fod og samlet længde 8000 fod; da teksten ikke finder behov for at gøre dette klart må denne opfattelse af arealet have faldet forfatteren naturlig Bredden af afstanden mellem trinnene i virkelige teatre er irrelevant for betragtningen. I det foregående kapitel (hvor selve arealberegningen er matematisk korrekt) formodes afstanden mellem trinnene at være ca. 6 cm (hvis teatret forudsættes at være en halvcirkel) eller ca. 3 cm (hvis vi går ud fra en fuld cirkel). AIGIS Supplementum III Marinus 80 6

7 Klarere end disse er et eksempel fra kapitel af 24 Geometrica, en anden pseudo- Heron antologi [ed. Heiberg 1912: 418] (som det fremgår af Heibergs kritiske apparat er kapitel 24 faktisk et uafhængigt skrift). Her løses et problem af samme type som dem der behandles i den oldbabyloniske algebra (dog ikke afledt fra skoletraditionen, der blev brutalt afbrudt efter 1600 f.v.t., men fra en af de oprindelige landmålergåder): Det handler om et kvadrat, hvis areal (A) sammen med dets perimeter (4 l) udgør 896 fod, og det forlanger at arealet skilles fra perimeteren. 8 4 enheder sættes uden for (ἐκτίθημι) kvadratet. Halvdelen er 2 fod hvad der viser at siden faktisk opfattes som et rektangel med længde l og bredde 1 fod. [Linien på] 2 fod stilles på sig selv, og 4 fod resulterer. Hvis disse føjes til de 896 fod resulterer 900 fod, og siden af kvadratet er derfor 30 fod. Eftersom halvdelen er blevet taget væk nedenunder (ὑφαιρέω) 9 de 4, resulterer 2 fod [som rest]; og [som side af det oprindelige kvadrat] resterer [når også disse to fjernes] 28 fod. Arealet er altså [28 28 =] 784 fod, og perimeteren [4 28 =] 112 fod. Hvis alt sættes sammen, resulterer 896, som er arealet sammen med perimeteren. Proceduren kan følges i Figur 1. Som vi ser måles både længde l og areal i fod, og aldeles uproblematisk i samme slags fod. Heiberg mener at tekstens kompilator har kopieret uden at forstå hvad han skriver. Det er naturligvis altid muligt, men Heibergs begrundelse for at mene det holder ikke. 10 Endvidere, selv hvis kompilatoren ikke forstår må han have kopieret fra en græsk original hvis forfatter forstod. Han har hverken oversat en tekst skrevet på et andet sprog eller kopieret en tradition der er blevet skabt uden forståelse; det fremgår ikke blot af brugen af græsk metrologi (foden) men også af den stilistiske afstand til de 8. Heibergs oversættelse skjuler en del af argumentet. Jeg giver her en tæt parafrase af den græske tekst. 9. Den bogstavelige oversættelse er berettiget ingen anden subtraktion i nærheden er ὑφαιρέω. 10. Heiberg følger ikke det geometriske argument og ser derfor ikke at man for at finde siden l fra de 30 skal fjerne netop den halvdel der i første omgang blev efterladt da den anden halvdel blev taget bort nedenunder og stillet ovenpå. Han ser derfor denne passage som tegn på manglende forståelse. AIGIS Supplementum III Marinus 80 7

8 mulige vestasiatiske og demotiske kilder. I det hele taget er de spor af brede linier der dukker op i de pseudo-heroniske skrifter forbundet med græske sædvaner og praktikker; vi kan slutte at de svarer til tankebaner der var udbredte også blandt græske logistikoi. Både længder og arealer måles også i fod i Platons dialoger. Det sker bl.a. i to passager der er berømte blandt matematikere på grund af referencerne til dýnamisbegrebet: Theaetetus 147D and Politicus 266B. De pseudo-heroniske skrifter gør det nærligende at antage men beviser ikke at disse passagers δίπoυς, τρίπoυς og πεντέπoυς ikke skal forstås som abstrakte mål, altså som 2, 3 og 5 kvadratfod, men snarere som bånd af længde 2, 3 og 5 fod (og bredde 1 fod). En anden Platon-passage taler langt tydeligere, nemlig Nomoi 819D 820B [trans. Bury 1926]. Athenienseren taler her om a certain kind of ignorance [...] naturally inherent in all men, men mere præcist blandt alle grækere (d.v.s. almindelige Grækere konteksten viser at matematikere ikke medregnes): nemlig den opfattelse at længder, bredder og dybder 11 are commensurable with another 12. I det følgende specificeres det at der faktisk er tale om to distinkte fejlopfattelser: For det første at længder kan måles med længder, bredder med bredder, og dybder med dybder; for det andet, as regards the relation of length and breadth to depth, or of breadth and length to each other do not all we Greeks imagine that these are somehow commensurable with one another? Den første fejltagelse henviser selvfølgelig til opdagelsen af irrationelle forhold, for eksempel (Aristoteles standardeksempel) forholdet mellem kvadratets side og diagonal; det er ikke sandt at enhver længde kan måle enhver anden længde. Det er uinteressant i den nærværende sammenhæng. 11. Bury oversætter som lines, surfaces and solids, imod den direkte betydning af μῆκoς, πλάτoς og βάθoς men i foregribelse af hvad der (som vi straks skal se) kan læses ud af konteksten). 12. Mere præcist siger den græske tekst at de alle kan måles ved hinanden (πάντα μετρητὰ πρὸς ἄλληλα). Det tekniske kommensurabilitetsbegreb er altså en tilsnigelse. Faktisk formodes det ifølge teksten at den gensidige måling kan gøres enten absolut (σφόδρα) eller så nogenlunde (ἠρέμα), hvad der er meningsløst hvis vi tænker på det tekniske begreb jeg erindrer hvor forarget Marinus' gamle ven Olaf Schmidt blev da jeg refererede passagen for ham (den bekræftede Olafs i almindelighed negative meninger om filosoffer der udtaler sig om matematik). AIGIS Supplementum III Marinus 80 8

9 Den anden synes mere dunkel jfr. [Mueller 1992: 94 95]. Hvis længde, bredde og dybde alle forstås som lineære udstrækninger, så er der ingen virkelig forskel på de to fejltagelser. Den anden mulighed er at forstå bredde som en sammentrukket betegnelse for størrelser der også er udstyret med en bredde (altså flader), og tilsvarende at tolke dybder som størrelser der også har en dybde altså legemer, siden denne dimension her og andetsteds af Platon omtales som den tredie. Til fordel for den sidste tolkning taler ikke blot at den tillader fejltagelse nummer to at være forskellig fra nummer 1 men også at den svarer til den matematiske terminologis almindelige karakter. Vi træffer en tilsvarende sammentrækning når den unge Theaitetos definerer kvadratiske tal (Theaetetus 147E 148A) som tal der kan genereres som produkt af ens faktorer, mens aflange tal er sådanne som kun kan genereres af ulige faktorer det kan kvadratiske tal naturligvis også. Samme mønster gentager sig lidt senere når han omtaler linier der kun kan måles dynamei (d.v.s., når de forstås som parametrisering af et kvadrat, jfr. [Høyrup 1990]) som dynameis, mens de der også har et måltal når de forstås direkte som længder omtales netop som længder. Sammentrækningen i Nomoi kan også illustreres af hvad Proklos har at sige om Euklids definition af linien [Friedlein 1873: 96 97, trans. Morrow 1970: 79]: Der er ingen grund til at sige without breadth and without depth eftersom everything that is without breadth is also without depth denying breadth of [the line] he has also taken away depth. Ikke desto mindre fortrækker Ian Mueller (med en svag tvivl) at holde sig til den første tolkning. Fejltagelsen der ligger i at tro længder, flader og legemer sam-målelige blot fordi de alle måles i fod forekommer ham så banal at han ikke kan tro Platon ville polemisere imod den. Som vi har set er det fælles mål i fod dog mere end et udtryk for fraværet af det eksponentsymbol der tillader os at skelne mellem fod, fod 2 og fod 3. Det er udtryk for et komplekst tankesæt, og hvis længder er bærere af en virtuel bredde (som kan aktualiseres når der er behov for det), så er det ikke nogen triviel fejltagelse at mene at længder og flader kan måle hinanden enten eksakt eller i det mindste med tilnærmelse faktisk er det slet ikke nogen fejltagelse. AIGIS Supplementum III Marinus 80 9

10 Men det forblev en fejltagelse for dem som transformerede geometrien fra landmålerteknik til teori. For dem, som for Platon, var det ikke blot en fejltagelse men en fejltagelse der måtte udryddes, præcis ligesom de udryddede den fejltagelse at alle linier er kommensurable. Vi kan tænke på det oldbabyloniske udstikkende 1, der synes at have tjent præcis samme formål (note 6). Afrunding og en smule morale Lad os vende tilbage til Euklids definition af linien. Hverken Heron (den virkelige) eller Proklos giver udtryk for at uden bredde skal tjene til at udgrænse bånd-linierne; formodentlig var de allerede afskrevet blandt geometere da Euklid skrev sine Elementer. Men definitionen er ikke Euklids opfindelse. Den citeres ordret (som en allerede gængs definition) i Aristoteles' Topica 143b11 [ed. Tredennick & Forster 1960: 591]; måske blev den allerede brugt af Platons matematiker-venner, og måske er den endnu ældre. Det interessante er imidlertid Aristoteles' argument: Han påpeger at definitionen forudsætter eksistensen af en genus (længder) der består af to species: Længder udstyret med bredde og længder uden bredde. Ifølge Aristoteles eksisterer de begge. Det viser at (platoniske) ideer ikke kan eksistere; enten har længdens ide bredde, eller den har ikke; men i begge tilfælde ville eksistensen af to species være udelukket. Vi kan ikke være sikre på at længder forsynet med bredde er den praktiske landmålings bånd-linier; muligvis tænker Aristoteles blot på flader; men bånd-linierne er heller ikke udelukkede. Det forbliver en mulighed at afgrænsningen uden bredde oprindelig skulle tjene til at udelukke brede linier (hvad der ifølge Nomoi-passagen ville være i Platons ånd). Passagen i Nomoi selv er mere entydig. Kun forestillingen om bånd-linier tillader os at skelne mellem to fejltagelser som er både forskellige og substantielle. Hvad angår de oldbabyloniske tekster var den manglende forståelse af de brede linier den vigtigste grund til valget af en rent numerisk tolkning af algebraen. Som vi har set blev fejltagelse nummer 2 så effektivt undertrykt at Heiberg, da han udgav Geometrica, fandt forvirring der hvor teksten rent faktisk giver en klar og korrekt beskrivelse. Ethvert matematisk tankesystem og sprog indeholder et rigt mål af tvetydigheder, som dets udøveres fælles træning og praksis forhindrer i at manifestere sig. I Euklids geometri er således en figur (et σχῆμα Elementer I, def. 14) noget der afgrænses af én AIGIS Supplementum III Marinus 80 10

11 eller flere grænser (ὅρoι), og et kvadrat er en figur (def. 22) [ed. Heiberg 1883: 4, 6]. Men et kvadrat kan også være ens med én eller flere andre figurer (for eksempel i Elementer I, 47 og II, 14 [Heiberg 1883: 110, 160]), og så er det pludselig reduceret til sit areal. Inden for den matematiske diskurs der er tale om forbliver sådanne tvetydigheder som regel skjult de reguleres af det operationelle rum begreberne afhænger af og som terminologien taler om: hvis et kvadrat deles af en diagonal, er der ingen tvivl om at der er tale om figuren; hvis det er fem gange et andet, må det dreje sig om arealet. Dette fravær af pedanteri tjener tankens økonomi. Men når man det være sig som matematikhistoriker eller som matematiklærer tror at kun de andres og ikke ens egen diskurs indeholder tvetydigheder; når man ikke forstår at også de andres tvetydigheder er virtuelle og ikke aktuelle fordi også de reguleres af deres operationsrum; når man dermed glemmer at forskellige tvetydigheder er en priviligeret vej til forståelse af de andres tænkning så forvandles fraværet af pedanteri i ens egen diskurs til pedanteri og intolerance over for disse andre, og en barriere for forståelse. Måske kan opdagelsen af denne intolerance i historiske studier og forsøget på at overvinde den bidrage til at blive opmærksom på den og til at overvinde den i matematikundervisningen et område der (som historikeren med eller mod sin vilje må erkende) er langt mere vigtigt i denne verden end historiografien som ren videnskabelig disciplin. Henvisninger Boncompagni, Baldassare (ed.), Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Vol. II. Practica geometriae et Opusculi. Roma: Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche. Bury, R. G.(ed., trans.), Plato, Laws. 2 vols. (Loeb Classical Library). London: Heinemann / New York: Putnam. Friedlein, Gottfried (ed.), Procli Diadochi In primum Euclidis Elementorum librum commentarii. Leipzig: Teubner. Heiberg, J. L. (ed., trans.), Euclidis Elementa. Vol. I. Leipzig: Teubner. Heiberg, J. L. (ed., trans.), Euclidis Elementa. Vol. II. Leipzig: Teubner. AIGIS Supplementum III Marinus 80 11

12 Heiberg, J. L. (ed., trans.), Heronis Definitiones cum variis collectionibus. Heronis quae feruntur Geometrica. Leipzig: Teubner. Heiberg, J. L. (ed., trans.), Heronis quae feruntur Stereometrica et De mensuris. Leipzig: Teubner. Høyrup, Jens, 1990b. Dýnamis, the Babylonians, and Theaetetus 147c7 148d7. Historia Mathematica 17, Høyrup, Jens, Lengths, Widths, Surfaces: A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin. New York: Springer. Morrow, Glenn R. (ed., trans.), Proclus, A Commentary on the First Book of Euclid's Elements. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Mueller, Ian, Mathematics and Education: Some Notes on the Platonic Programme. Pp in I. Mueller (ed.), Peri To n Mathe mato n. Edmonton, Alberta: Academic Printing and Publishing. Pacioli, Luca, Summa de Arithmetica geometria Proportioni: et proportionalita. Venezia: Paganino de Paganini. Parker, Richard A., Demotic Mathematical Papyri. Providence & London: Brown University Press. Peet, T. Eric, The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum and London: University Press of Liverpool. Tredennick, Hugh, & E. S. Forster (eds, trans.), Aristotle, Posterior Analytics and Topica. (Loeb Classical Library 391). Cambridge, Mass.: Harvard University Press / London: Heinemann. van der Waerden, B. L., Science Awakening. 2nd Edition. Groningen: Noordhoff. AIGIS Supplementum III Marinus 80 12

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? *

Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? * Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? * Af Vassilis Karasmanis Afsnit 31b4 32c4 fortæller os at verden, fordi den kan ses og berøres, må bestå af ild og jord, og der

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Kapitel 5 At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Robin Millar Praktisk arbejde er en væsentlig del af undervisningen i naturfag. I naturfag forsøger vi at udvikle elevernes kendskab til naturen

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii Årsplan Matematrix. kl. A Første halvår Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Dette er samtidig et redskab for

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm

Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm Klassetrin: 4. 10. 1 lektion. Kontekst: Ren matematik. Indgangstærskel: Lav. Hjælpemiddel: 1 cm 1 cm ternet papir. GeoGebra. Pr par: Et stykke karton på 1 cm gange

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering. Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Årsplan Matematik 4.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 4 samt opgaver

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence Normat 2/1998 71 Jeg er den største Vagn Lundsgaard Hansen Institut for Matematik Danmarks Tekniske Universitet Bygning 303 DK 2800 Lyngby V.L.Hansen@mat.dtu.dk Optimalitetsbetragtninger optræder i næsten

Læs mere

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat3 Noter: Kompetencemål efter 3. klassetrin Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker og procent Negative

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Pascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3

Pascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3 Pascals trekant Det mest bemærkelsesværdige ved Pascals trekant er formentlig, at den for en gangs skyld ikke går tilbage til grækerne. I stedet har den gamle indiske, muslimske og kinesiske rødder, der

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger. Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...

Læs mere

Den sene Wittgenstein

Den sene Wittgenstein Artikel Jimmy Zander Hagen: Den sene Wittgenstein Wittgensteins filosofiske vending Den østrigske filosof Ludwig Wittgensteins (1889-1951) filosofi falder i to dele. Den tidlige Wittgenstein skrev Tractatus

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Hvad får jeg for det?

Hvad får jeg for det? Hvor mange mennesker mon der kommer i dag? Hvordan er de placeret? Er der stole nok eller alt for mange stole? Hvordan finder jeg derud? Hvad tid skal jeg være der? Hvor lang tid er jeg om at cykle derud?

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

http://www.uvm.dk/service/publikationer/publikationer/folkeskolen/2009/faelles-maal-2009- Matematik/Formaal-for-faget-matematik

http://www.uvm.dk/service/publikationer/publikationer/folkeskolen/2009/faelles-maal-2009- Matematik/Formaal-for-faget-matematik Årsplan Matematik Skoleåret 2012-2013 4. klasse Undervisningen i matematik i 4. klasse følger Fælles Mål, som er de overordnede bestemmelser for, hvad vi skal nå. Fælles Mål opstiller målene i hhv. indskoling,

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Matematik og bevægelse

Matematik og bevægelse Matematik og bevægelse Matematik i marts 2015 Hvad jeg ikke vil gøre Sundhedsdiskussionen Den kognitive diskussion om at øget aktivitet hvor man får pulsen op giver øget hjernemotion. Motivationsfaktoren

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik Målgruppe: 04A Periode: Oprettet af: BK Mål for undervisningen: Årsplan Matematik 4.klasse 2017/2018 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Dialoger i Projekter

Dialoger i Projekter For at ville må du vide! Demokrati i Projekter Bind I Dialoger i Projekter Nils Bech Indhold Bevar og forny! 3 To s-kurver og 14 dialoger Formål og mål, metoder og midler er ingredienser til at skabe RETNING.

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Nationale mål, resultatmål og Fælles Mål Tre nationale mål 1. Folkeskolen skal udfordre alle elever, så de bliver så dygtige, de kan 2.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Uddrag af (kilde: http://aigis.igl.ku.dk/2005,1/cgtmen.pdf): Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Kapitel 16: SOKRATES: Sig mig så dreng, ved du, at et kvadratisk areal ser sådan

Læs mere

Kildebaseret matematikhistorie i SRP

Kildebaseret matematikhistorie i SRP Kildebaseret matematikhistorie i SRP Mie Johannesen 18. marts 2016 Mie Johannesen Foredrag ved matematiklærerdag 1 / 23 Introduktion Speciale: Studieretningsprojekter i matematik og historie: Kvalitative

Læs mere