Camp om Kryptering. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering. Rasmus Lauritsen. August 27,

Transkript

1 Camp om Kryptering Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen August 27,

2 Indhold Datasikkerhed RSA Kryptering Faktorisering Anvendelse Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [2]

3 Hvad er datasikkerhed? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [3]

4 Datasikkerhed Hvad er datasikkerhed? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [3]

5 Datasikkerhed Fortrolighed Hvad er datasikkerhed? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [3]

6 Datasikkerhed Fortrolighed Autenticitet Hvad er datasikkerhed? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [3]

7 Datasikkerhed Fortrolighed Autenticitet Integritet Hvad er datasikkerhed? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [3]

8 Datasikkerhed Hvad er datasikkerhed? Fortrolighed Autenticitet Integritet Beskydtelse mod tab Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [3]

9 Fortrolighed Hemmeligholdelse af data overfor nogle som ikke må lære de informationer data indholder at kende. At gemme sine data i et pengeskab er en måde at sikre fortroligheden af dem på. Denne metode er stadig udbredt men typisk ikke så praktisk hvis data f.eks. ofte ændre sig. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [4]

10 Autenticitet Sikring af data s oprindelse. F.eks. en mekanisme til at overbevise modtageren af et brev om at brevet faktisk kommer fra den person der er skrevet på som afsender. Ovenfor har Alice underskrevet et dokument således at oprindelsen af dokumentet kan fastslåes til at være Alice. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [5]

11 Integritet Sikring af at data ikke har ændret sig f.eks. under transport over internettet eller over tid. Dette minder meget om autenticitet men er ikke helt så kraftfuldt da modtageren ikke har nogen sikring for identiteten af afsenderen. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [6]

12 Sikring af imod tab af data. Beskydtelse mod tab Ovenfor har Alice begravet mange backups (kopier) af sit kostbare brev. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [7]

13 Fortrolighed, hvordan gør vi det? En anden måde at sikre fortrolighed af data på er ved at kryptere data. En krypteringsmekanisme består af tre beregningsopskrifter: GEN, ENC og DEC. En beregningsopskrift kaldes også en algoritme. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [8]

14 Fortrolighed, hvordan gør vi det? En anden måde at sikre fortrolighed af data på er ved at kryptere data. GEN(STYRKE) - Er en algoritme til at generere nøgler ENC(NØGLE,BESKED) - Er en algoritme til at kryptere DEC(NØGLE,KRYPTERING) - Er en algoritme til at de-kryptere Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [9]

15 Fortrolighed, hvordan gør vi det? En anden måde at sikre fortrolighed af data på er ved at kryptere data. Måden disse algoritmer bruges på er: 1 Lav en nøgle med GEN 2 Krypter en eller flere beskeder med ENC 3 De-krypter evt. beskederne igen med DEC Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [10]

16 Fortrolighed på nettet, vi bruger kryptering På internettet kan vi sikre fortrolighed i kommunikation med kryptering. Alice og Bob udveksler en hemmelig nøgle f.eks. ved at mødes. Alice anvender krypteringsalgoritmen på en besked og sender resultatet til Bob. Bob anvender de-krypteringsalgoritmen på det han modtager fra Alice og opnår Alice s besked. På internettet mellem de lodrette streger kan hvem som helst lytte med uden at lære Alice hemmelige besked til Bob. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [11]

17 Internettet Denne løsning er jo håbløst upraktisk over internettet da to personer på forhånd skal have udvekslet en nøgle for at snakke fortroligt sammen:(. Hvad kan vi gøre ved det? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [12]

18 RSA Kryptering Netop denne problemstilling optog tre fyre fra MIT i Boston: Ronald [R]ivest, Adi [S]hamir og Leonard [A]dleman og de fandt en løsning i 1977, RSA: Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [13]

19 Bag om RSA Rivest, Shamir og Adleman fandt ud af at det er mulig at lave tre tal e, d og N sådan at når c = m e mod N for en hemmelig besked m gælder der m = c d mod N De fandt altså ud af at man kan lave tre heltal e, d og N således at overstående to ligninger holder og at det bliver gradvist sværer at lære m at kende hvis man kun kender c, e og N for større og større N. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [14]

20 Gen Hvordan skal vi bruge e, d og N? GEN(STYRKE) generer tre tal e, d, N. Vi kalder parret (e, N) for den offentlige nøgle og parret (d, N) den private nøgle. N hedder modulus, e hedder den offentlige eksponent og d hedder den private eksponent. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [15]

21 Gen Hvordan skal vi bruge e, d og N? Styrke parameteren til GEN er et helt positivt tal vi kalder sikkerhedsparameteren. N laves ved at vælge to tilfældige primtal så store at når vi ganger dem sammen får vi et N med netop Styrke antal bits. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [16]

22 Enc Hvordan skal vi bruge e, d og N? Kryptering af en hemmelig besked ENC(NØGLE, M): Bemærk NØGLE = (e, N): c = m e mod N Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [17]

23 Dec Hvordan skal vi bruge e, d og N? Dekryptering af en krypteret besked c sker ved at anvende DEC(NØGLE,C), hvor NØGLE denne gang er den private nøgle:= (d, N) m = c d mod N Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [18]

24 RSA Kryptering - Brugsanvisning Enc m G Dec Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [19]

25 RSA Kryptering - Brugsanvisning Enc offentlig nøgle m G privat nøgle Dec Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [19]

26 RSA Kryptering - Brugsanvisning Enc offentlig nøgle m G privat nøgle Dec Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [19]

27 RSA Kryptering - Brugsanvisning Enc offentlig nøgle m G c privat nøgle Dec Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [19]

28 RSA Kryptering - Brugsanvisning Enc offentlig nøgle m G c privat nøgle Dec Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [19]

29 RSA Kryptering - Brugsanvisning Enc offentlig nøgle m G c privat nøgle Dec Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [19]

30 Hvad sker der egentlig ved ENC? Vores hemmelige besked m betragtes som et heltal. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [20]

31 Hvad sker der egentlig ved ENC? Vores hemmelige besked m betragtes som et heltal. Rest ved heltals division, kender i det? a mod N er netop a s rest ved division med N. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [20]

32 Hvad sker der egentlig ved ENC? Vores hemmelige besked m betragtes som et heltal. Rest ved heltals division, kender i det? a mod N er netop a s rest ved division med N. m e betyder m ganget med sig selv e gange. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [20]

33 Hvad sker der egentlig ved ENC? Vores hemmelige besked m betragtes som et heltal. Rest ved heltals division, kender i det? a mod N er netop a s rest ved division med N. m e betyder m ganget med sig selv e gange. Krypering i RSA sker altså ved at gange beskeden med sig selv e gange og derefter tage dette tals rest ved division med N. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [20]

34 Hvad sker der egentlig ved ENC? Vores hemmelige besked m betragtes som et heltal. Rest ved heltals division, kender i det? a mod N er netop a s rest ved division med N. m e betyder m ganget med sig selv e gange. Krypering i RSA sker altså ved at gange beskeden med sig selv e gange og derefter tage dette tals rest ved division med N. Vi skal derfor forstå rest ved division godt for at forstå RSA. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [20]

35 Heltals division med rest 8 mod 5 = mod 120 = Generelt har vi at en rest ved division med N giver et entydigt tal a [0; N 1]. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [21]

36 Eksempel: Heltalne i rest-spande ved division med n n n n Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [22]

37 Rester på en cirkel Hvis f.eks. N = 7 kan vi betragte resterne modulo 7 på en cirkel: 0 Vi kan regne med rester: = 8 mod 7 = Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [23]

38 Rester på en cirkel Hvis f.eks. N = 7 kan vi betragte resterne modulo 7 på en cirkel: 0 Vi kan regne med rester: = 8 mod 7 = = 1 mod 7 = Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [23]

39 Rester på en cirkel Hvis f.eks. N = 7 kan vi betragte resterne modulo 7 på en cirkel: 0 Vi kan regne med rester: = 8 mod 7 = = 1 mod 7 = = 8 mod 7 = Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [23]

40 Rester på en cirkel Hvis f.eks. N = 7 kan vi betragte resterne modulo 7 på en cirkel: 0 Vi kan regne med rester: = 8 mod 7 = = 1 mod 7 = = 8 mod 7 = 1 1/4 mod 4 = Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [23]

41 Rester på en cirkel Hvis f.eks. N = 7 kan vi betragte resterne modulo 7 på en cirkel: 0 Vi kan regne med rester: = 8 mod 7 = = 1 mod 7 = = 8 mod 7 = 1 1/4 mod 4 = 2 2/21 mod 7 = fejl div med 0 Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [23]

42 RSA Kryptering eksempel N = 11 e = 3 d = 7 m = 2 c = ENC(3, 11, 2) = 2 3 mod 11 = 8 d = DEC(7, 11, 8) = 8 7 mod 11 = 2 Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [24]

43 Gentaget kvadrering Hvis vi skal beregne et tal i en stor eksponent f.eks mod 11 kan vi udnytte princippept om gentaget kvadrering. Vi skriver 29 op som en sum af eksponenter af 2: 29 = = på den måde kan vi regne 7 29 mod 11 = (7 16 mod 11) (7 8 mod 11) (7 4 mod 11) (7 mod 11) mod 11 Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [25]

44 Gentaget kvadrering fortsat 1 Beregn 7 2 mod 11 = 5 2 Beregn 7 4 = mod 11 = 5 5 mod 11 = 3 3 Beregn 7 8 = mod 11 = 3 3 mod 11 = 9 4 Beregn 7 16 = mod 11 = 9 9 mod 11 = 4 5 Beregn 7 29 = = mod 11 = 8 Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [26]

45 RSA Signatur Hvordan kan vi bruge principperne fra RSA til at lave en digital underskrift? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [27]

46 RSA Signatur Hvordan kan vi bruge principperne fra RSA til at lave en digital underskrift? RSA Underskrift Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [27]

47 RSA Signatur Hvordan kan vi bruge principperne fra RSA til at lave en digital underskrift? RSA Underskrift Beskeden m er ikke længre hemmelig, men kendt. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [27]

48 RSA Signatur Hvordan kan vi bruge principperne fra RSA til at lave en digital underskrift? RSA Underskrift Beskeden m er ikke længre hemmelig, men kendt. Den private nøgle (d, N) bruges nu til at underskrive med. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [27]

49 RSA Signatur Hvordan kan vi bruge principperne fra RSA til at lave en digital underskrift? RSA Underskrift Beskeden m er ikke længre hemmelig, men kendt. Den private nøgle (d, N) bruges nu til at underskrive med. Den offentlige nøgle (e, N) bruges til at tjekke at en underskrift er gyldig. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [27]

50 RSA Signatur Hvordan kan vi bruge principperne fra RSA til at lave en digital underskrift? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [28]

51 RSA Signature - Brugsanvisning Sig m G Ver Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [29]

52 RSA Signature - Brugsanvisning Sig sk m G pk Ver Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [29]

53 RSA Signature - Brugsanvisning Sig sk m G pk Ver Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [29]

54 RSA Signature - Brugsanvisning Sig sk m G s pk Ver Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [29]

55 RSA Signature - Brugsanvisning Sig sk m G s pk Ver Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [29]

56 RSA Signature - Brugsanvisning Sig sk m G s pk Ver accept/reject Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [29]

57 Virker dette for vilkårlige e, d? Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [30]

58 Virker dette for vilkårlige e, d? Nej! Givet N skal vi vælge e og d omhyggeligt ellers er dekryptering ikke muligt. Vi vælger d og e således det er muligt at dekryptere: c d = m ed så for at få m igen skal der gælde: ed = 1 dvs e = 1 d Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [30]

59 Faktorisering og RSA Ser vi på RSA igen undre man sig måske over hvorfor det er sikkert at afsløre e, N og c? Det er det faktisk heller ikke for alle valg af N. For at opnå høj sikkerhed skal N være produktet at to store primtal, lad os kalde dem p og q. Vi har altså at N = pq Men hvad går der galt hvis N s primtalfaktorisering består af mange små primtal? N = n 1 n 2... n k Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [31]

60 Afslører e ikke d? ed = 1 dvs e = 1 d Det tror vi ikke på. Hvis den gør det kan vi faktorisere N!!. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [32]

61 Afslører e ikke d? Tricket er at i eksponenten regner vi modulo (p 1)(q 1) når vi regner modulo N = pq. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [32]

62 Afslører e ikke d? Derfor hvis vi kan finde d fra (e, N) kan vi: ed 1 = n(p 1)(q 1). For et eller andet n, vi kender størrelsen af e, d, N og derfor også størrelsen af (q 1)(p 1). Derfor kan vi nemt gætte n. x 2 (p + q)x + pq Har netop to løsninger p og q. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [32]

63 Anveldelse: Sikre internet addresser LIVE DEMO MED EN BROWSER Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [33]

64 Tak for i dag Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen [34]