Operationsanalyse. Hans Keiding

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Operationsanalyse. Hans Keiding"

Transkript

1 Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie Operationsanalytiske problemer og metode Litteratur 12 Kapitel 2. Lineær programmering Indledning Lineære programmeringsproblemer, eksempler Lineære programmeringsproblemer, definition Simplex-algoritmen (1): Basisløsninger Simplex-algoritmen (2): Valg af ny basissøjle; optimalitet Mere om dualitet Opgaver Litteratur 34 Kapitel 3. Mere om lineær programmering Indledning Dual simplex-metode Revideret simplex Dekomponering af LP-problemer En anvendelse af lineær programmering: DEA-analyse Andre LP-algoritmer Opgaver Litteratur 61 Kapitel 4. Ikke-lineær programmering Indledning Kvadratisk programmering: Wolfe s algoritme Konveks simplex-metode Opgaver Litteratur 78 Kapitel 5. Heltalsprogrammering Optimering med heltaltsrestriktioner Metoder for heltalsprogrammering (1): Generel teori Metoder for heltalsprogrammering (2): Gyldige uligheder 83

2 4. Metoder for heltalsprogrammering (3): Dualitet Skæringsplan-algoritmer: Fractional cut Branch-and-bound Opgaver Litteratur 99 Kapitel 6. Travelling Salesman Det klassiske TSP-problem Vehicle routing Opgaver Litteratur 112 Kapitel 7. Dynamisk programmering Indledning Diligence-eksemplet Knapsack-problemer Litteratur 117 Kapitel 8. Grafer Hvad er en graf? Nogle grafteoretiske begreber Veje, cykler, træer Afstand i grafer, farvning Grader af sammenhæng i grafer Plane grafer Litteratur 133 Kapitel 9. Netværk Indledning Definition af netværk Maximale strømme Maximal strøm algoritmen Edmonds-Karp algoritmen Markeringsprocessen Dinic s algoritme Parring i grafer Udvidelse af max-flow-min-cut Opgaver Litteratur 160 Kapitel 10. Lokalisering Introduktion Lokaliseringsproblemer i netværk En algoritme til løsning af lokalisering uden kapacitetsbegrænsning Litteratur 173 Kapitel 11. Transport og assignment Introduktion Teorien bag transportalgoritmen Assignment-problemer Opgaver Litteratur 190 Kapitel 12. Optimale rækkefølger 191

3 1. Rækkefølgekrav Projektet som netværk Den kritiske vej Out-of-kilter metoden til løsning af særlige LP-problemer Anvendelse af out-of-kilter metoden til project scheduling Flow-shop problemet Opgaver Litteratur 213 Kapitel 13. Kompeksitet Indledning Beregninger og deres kompleksitet Decisionsproblemer Turing maskiner Ikke-deterministiske Turing maskiner og klassen NP Polynomiale transformationer og NP-komplette problemer SATISFIABILITY og Cook s sætning* Andre NP-komplette problemer Litteratur 229 Kapitel 14. Punktprocesser og fornyelse Stokastiske processer i operationsanalysen Punktprocesser Genanskaffelsesproblemer Fornyelsesprocesser; Blackwell s sætning Den asymptotiske fordeling; busparadokset Maskinproblemet med 1 operatør Opgaver Litteratur 249 Kapitel 15. Pålidelighed og vedligehold Binære pålidelighedssystemer Pålidelighedsmål Pålidelighed i specielle situationer Opgaver Litteratur 258 Kapitel 16. Det optimale lager Indledning Det deterministiske lagerproblem Lagerpolitik ved stokastisk efterspørgsel: Aviskioskmodellen Stokastisk efterspørgsel: Flerperiode-modeller Lagerpolitik ved stokastisk efterspørgsel i kontinuert tid Poissonfordelt salg: Exakte udtryk for omkostning ved lagerpolitik Opgaver Litteratur 273 Kapitel 17. Køteori Den generelle problemstilling; klassifikation af kømodeller Little s sætning Analyse af en kø; køens tilstand Køen M/M/ Opgaver 283

4 6. Litteratur 283 Litteratur 284 Stikordsregister 287

5 Forord Denne lærebog i operationsanalyse er blevet til gennem en tiårsperiode som forelæsningsnoter ved gennemgangen af faget på politstudiet ved Københavns Universitet. Ved valg af emner er der på den ene side taget hensyn til, at gennemgangen var dækkende for de problemstillinger, der sædvanligt er at finde i lærebøger i dette fag (som lineær programmering, heltalsprogrammering, strømme i netværk, kø- og lagerteori) og på den anden side har det været et mål at inddrage dels lidt nyere emner, dels sådanne, der har lidt relation til et økonomistudium iøvrigt, og som kan tjene som reklame for en matematisk tilgang til løsningen af økonomiske problemer. Den endelige redaktion af de oprindelige forelæsningsnoter til den foreliggende form skyldes anvendelsen ved matematik-økonomi studiet på Handelshøjskolen i København. En lang række studerende og lærere har igennem den tid, hvor materialet har været benyttet, været behjælpelige med at luge ud i de mange trykfejl; en særlig tak skal rettes til Birger Madsen, der ydede en særlig indsats i den tid, hvor han varetog undervisningen. Hvad der er tilbage, er naturligvis mit ansvar. November 2002 Hans Keiding 8

6 KAPITEL 1 Hvad er Operationsanalyse? 1. Indledning Der er tradition for at starte gennemgangen af et fag med en definition af dets emne. Som regel viser det sig at være temmelig svært at afgrænse emnet, for videnskabsgrene i udvikling har det med at trænge ind over de tilgrænsende discipliners område i en sådan grad, at det hurtigt bliver umuligt at adskille den ene fra den anden. Men da det nu alligevel er så rodfæstet en tradition, skal det også blive forsøgt her. Blandt de mindst misvisende definitioner af faget operationsanalyse finder vi følgende: Operationsanalyse er teorien for matematisk modellering af optimale beslutninger og modellernes anvendelse i praksis. Hermed har vi ihvertfald en rimelig fornemmelse af, hvad det handler om, især når vi lægger behørig vægt på sidste del, der handler om anvendelsen i praksis, for ellers kan det være svært at se forskel på operationsanalyse på den ene side og optimering (samt store dele af nyere økonomisk teori) på den anden. Her burde der iøvrigt nok tilføjes et par ord om, hvad det er for en praksis, der tænkes på det er virksomheders og organisationers stræben mod bedst mulig målopfyldelse. Operationsanalysen skal ses som en erhvervsøkonomisk (i bredest tænkelige forstand) disciplin. At den også kan ses som en matematisk, er så en charme mere (eller mindre). Der er ganske vist en del traditionelle operationsanalytiske emner (f.eks. køteori), som vi ikke får fanget ind med denne definition. Det kunne så føre til et nyt forsøg, men det kan dårligt betale sig. Operationsanalyse er simpelthen ikke nogen præcist afgrænset disciplin. Den handler om de emner, der kommer i de følgende kapitler samt om en del andre emner, der er udeladt, herom senere. Ret meget nærmere kan man alligevel ikke komme. Iøvrigt er disciplinens afgrænsning heller ikke konstant over tiden. Der er emner, som tidligere var oplagt operationsanalytiske (f.eks. spilteori), men som ikke er det mere, fordi de er blevet selvstændige videnskabelige discipliner og måske også er kommet til at skifte indhold og perspektiv undervejs. Til gengæld er der andre ting, der nu trænger sig mere på. Hvis man kigger på indholdsfortegnelsen, vil man se, at emner, der tidligere hørte til diskret optimering eller computer science, nu er ved at liste ind i almindelig operationsanalyse. Igen har det noget at gøre 9

7 med, at disse emner har fået anvendelser, der fører dem fra specialisternes felt over i kassen af almindeligt brugbare værktøjer. Ser man på, hvad der normalt kommer i operationsanalytiske tidsskrifter eller på faglige konferencer, er billedet tilsvarende broget. Operationsanalyse er en slags gennemgangslejr; fremtidige videnskaber hører til her et stykke tid indtil de bliver selvstændige eller går af mode. Det bliver den ikke mindre spændende af. 2. Operationsanalysens historie Der er en smule uklarhed omkring det nøjagtige tidspunkt for fremkomsten af operationanalyse som en selvstændig disciplin, men det er knyttet til militær forskning overvejende af utraditionel karakter i England op til og under 2. verdenskrig. Udtrykket operational research optræder i forbindelse med udviklingen af radarsystemer i perioden , og dette er rimeligvis første gang, at begrebet er nævnt. For alvor skub i udviklingen kom der dog først i efterkrigstidens USA. Denne udvikling var i første omgang knyttet ret tæt til forskningen omkiring lineær programmering, specielt i forbindelse med simplex-metoden udviklet af G.B.Dantzig i årene efter Senere kom også andre optimeringsmetoder ind, således især diskrete optimeringsproblemer og strømme i netværk. Men gennem adskillige år var operationsanalyse 3/4 simplexmetode og 1/4 andet. Det har ændret sig en del i de senere år. For det første er det ikke længere nødvendigt at ofre så meget opmærksomhed på simplexmetoden, da denne nu typisk vil være noget, man har lært i forvejen andetsteds. Derved bliver der automatisk mere plads til resten. Men der er for det andet også kommet en del decideret nye emner til; et eksempel på dette er multikriterieoptimering. Da der som tidligere nævnt altid har været nogen uklarhed omkring operationsanalysens genstand, har man traditionelt understreget, at det vigtigste egentlig ikke var de konkrete emner, som man arbejder med, men metoden, som bliver brugt. Det vender vi tilbage til. 3. Operationsanalytiske problemer og metode Vi har i forrige afsnit været inde på, hvilke problemstillinger, som er fast bestanddel af operationsanalysen. I den følgende oversigt har vi taget disse såvel som de senere tilkomne emner med. Operationsanalyse omfatter således følgende: 10 Optimeringsproblemer: Ikke-lineære optimeringsproblemer Diskret optimering

8 Grafmodeller: Strømme i netværk Lokaliseringsmodeller Rækkefølger Spilmodeller Stokastiske modeller Pålidelighed Køteori Lagerteori Disse emner vil, pånær spilteorien, blive taget op i de følgende kapitler. Det vil ganske vist for hvert af emnerne kun blive til en begrænset fordybelse, men det er væsentligt at dække operationsanalysens mange forgreninger så godt, som det nu er muligt. Det betyder også, at vi vil se lidt på et par emner (systemer, kompleksitet), som er lidt marginalt placeret, men som er vigtige for at forstå mange af de nye ting i branchen. Afslutningsvis er der et par traditionelle indledende bemærkninger at fyre af. For det første plejer man at diskutere valget af matematisk model. Man har ikoniske modeller, hvor man laver en tro kopi i mindre målestok; sådanna støder vi ikke på. Videre har man analoge modeller, hvor man konstruerer en mekanisme fra et helt andet område, men med samme funktion som den organisation, problemet drejer sig om. Endelig har vi symbolske modeller, og det er typisk sådanne, vi vil få med at gøre i det følgende. Da vi kun støder på denne sidste type, er diskussionen ikke så interessant, men den understreger ihvertfald, at det i vor praktisk orienterede disciplin ikke er så vigtigt, hvordan modellen tager sig ud, det afgørende er, hvordan den fungerer. Dermed er vi ovre i den sidste generelle kommentar, der drejer sig om metoden. Det er sædvanligt at se et operationsanalytisk problem som bestående af fem faser, nemlig Definition af problemstilling, Konstruktion af model, Løsning af model, Kontrol af model, Implementering af resultater. Det er i det store og hele kun fase 3, som bliver behandlet i de følgende kapitler, og det har den oplagte årsag, at kun dette er egnet lærebogsstof; resten er noget, man må tilegne sig i det praktiske arbejde. Det kan dårligt undgås, at denne koncentration omkring ét af aspekterne i arbejdet med en given problemstilling må føre til en vis forsømmelse af de andre, og den dårlige samvittighed kommer til udtryk på dette sted, idet det hermed understreges, at de andre faser skam er mindst 11

9 lige så vigtige, uanset at de altså ikke behandles. Der er her som i faget generelt en vis bevægelse. Man kan f.eks. se inddragelsen af multikriteriemetoder i operationsanalysens værktøjskasse som en begyndelse til en mere systematisk behandling af implementeringsfasen. 4. Litteratur Der findes flere standardlærebøger i faget Operationsanalyse. De to mest udbredte er Hillier og Libermann (1995), Taha (1997). Begge er særdeles udmærkede som supplerende eller som alternativ læsning; de dækker nogenlunde samme emnekreds, og de kan anbefales blandt andet fordi de med et omfang på omkring 1000 sider har flere eksempler og detaljer end den foreliggende noget mindre omfangsrige fremstilling. Et par gamle klassikere, der til gengæld ikke dækker helt så mange metoder som det kræves idag, er Churchman og Ackoff (1957) og Ackoff og Sasieni (1968). 12

10 KAPITEL 2 Lineær programmering 1. Indledning Lineær programmering er operationsanalysens vigtigste værktøj. De fleste optimeringsopgaver vil i sidste ende blive formuleret således, at de kan løses ved metoder, der er kendte fra lineær programmering. Selv for de problemer, der ikke kan løses på denne måde, vil metoderne være anvendelige som en del af arbejdet ved at finde frem til løsninger. Lineær programmering drejer sig egentlig blot om at maximere en lineær funktion under et antal lineære bibetingelser. At dette kan være besværligt nok, kan man dog hurtigt overbevise sig om, og der fandtes ikke systematiske løsningsmetoder før omkring midten af dette århundrede. De første formuleringer af lineære programmeringsproblemer som sådanne, kombineret med metoder til deres løsning, kom sidst i trediverne i det daværende Sovjet, hvor de groede ud af praktiske problemer i en virksomhed, som man fik en kompetent matematiker (Kantorovich) til at se nærmere på. Gennembruddet kom under krigen med Dantzig s arbejder i USA, der også have en praktisk baggrund (forsyning af tropperne i Europa). Det er Dantzig s løsningsmetode, den såkaldte simplex-metode, som er blevet standard, og som vi skal bruge mest. Betegnelsen lineær programmering dukkede op omkring 1950, og den har smittet af, således at andre optimeringsproblemer er blevet til ikke-lineær programmering, heltalsprogrammering osv. Motivationen for denne lidt misvisende betegnelse der er ikke tale om programmering i datalogisk forstand var, at løsningsmetoderne i modsætning til, hvad man var vant til dengang, ikke gik på at løse et ligningssystem, men bestod i at angive en fremgangsmåde, en algoritme. Denne algoritme kan så iøvrigt føres videre og gøres til et program for en maskine, det skal vi se et par eksempler på. Af dette kapitel ihvertfald af de første mange afsnit kan man godt få det indtryk, at lineær programmering er identisk med simplex-metoden. Vi skal senere løse særlige LP-problemer på andre og nemmere måder, og vi kommer også i de sidste afsnit ind på et par andre løsningsmetoder af nyere dato, så at vi samtidig kan notere os, at lineær programmering ikke er en museumsgenstand. Det gemmer vi imidlertid til et efterfølgende kapitel; i første omgang koncentrerer vi os helt om 13

11 simplex-metoden. I det næste afsnit diskuteres nogle eksempler på lineære programmeringsproblemer, og det fører så til den generelle formulering i afsnit 3, hvorunder vi kommer ind på det meget vigtige forhold, at lineære programmeringsproblemer altid optræder i par, med et primært og et dualt problem. I afsnit 4 starter vi diskussionen af simplex-metoden, som fortsættes i afsnit 5. Derefter vender vi os til en lidt nærmere betragtning af det duale problem og hvad det kan bruges til. 2. Lineære programmeringsproblemer, eksempler Det kommer næppe bag på nogen,atopgavergående ud på at maximere en lineær funktion under bibetingelser givne ved lineære uligheder optræder ganske hyppigt i økonomiske problemer. Eksempel 2.1 Den klassiske situation er virksomheden, der producerer to produkter, som sælges til faste priser, lad os sige henholdsvis 7 og 13 kroner pr. stk., og som har givne stykomkostninger, som ikke afhænger af produktionens omfang, på henholdsvis 5 og 8. Denne virksomhed forventes nu at stræbe mod maximal værdi af profitten (7 5)x 1 + (13 8)x 2 =2x 1 +5x 2, hvor produktionen af vare 1 og 2 betegnes med henholdsvis x 1 og x 2.På det korte sigt, under hvilket problemet betragtes, er der endvidere nogle kapacitetsbegrænsninger, der skyldes, at hver af produkterne lægger beslag på en vis mængde af to forskellige råvarer, af hvilke der findes et begrænset lager. Lader vi råvareforbruget pr. produceret enhed være henholdsvis 0.3 og 0.7 for den første vare, og 1.2 og 1.3 for den anden, og forudsættes de to råvarer at være til stede i mængderne 10 og 13, har vi de to bibetingelser 0.3x x x x 2 13 Hertil kommer naturligvis den oplagte betingelse, at de producerede mængder ikke må være negative. Ialt har vi således et optimeringsproblem: max 2x 1 +5x 2 under bibetingelserne 0.3x x x x 2 13 x 1 0,x 2 0 Der er en lineær funktion, der skal maximeres, der er to lineære bibetingelser, og der er ikke-negativitetsbetingelser på alle variable. Dette er så rendyrket et LP-problem, som man vel kan tænke sig. 14

12 Eksempel 2.2 Kostplan-problemer drejer sig om at sikre en forsyning c 1,...,c m af forskellige næringsstoffer, der er indeholdt i diverse fødevarer, på billigste måde. Antag f.eks., at vi skal forsyne børnene i en vuggestue med kalk, protein og kulhydrater, hvoraf hver enkelt barn skal have henholdsvis 3, 5 og 4 enheder pr.dag. Vore muligheder er at indkøbe mælk, havregryn, rugbrød, Coca-Cola og Kinder-mælkesnitter. Det har vist sig, at disse varers indhold af kalk, protein og kulhydrat er som anført: mælk havregryn rugbrød Coca-Cola mælkesnitte Kalk Protein Kulhydrat Priserne på de fem produkter er henholdsvis 2.50, 1.50, 1.25, 6.50 og 7.50 pr.enhed; ialt har vi derfor et minimeringsproblem af formen: min 2.5y y y y y 5 under bibetingelserne 2.3y y y y y y y y y y y y y y 5 4 y j 0,j =1,...,5. (Enhver lighed hos dette eksempel med virkelighedens verden er naturligvis tilfældig). Vi har her at gøre med et minimeringsproblem, hvor visse lineære bibetingelser ikke må overskrides. Men bortset fra det med minimeringen og retningen af ulighederne sva rer det til det første problem. At vi betegner variablene med y j i stedet for x i kan sådan set være ligegyldigt, men der er en vis ide også i det, som vi senere skal se. Som det antydes af eksempelvalget, vil man normalt første gang støde på et LP-problem i forbindelse med en erhvervsøkonomisk problemstilling. Det har dog mere at gøre med, hvorledes fagene introduceres, end med anvendeligheden af LP. Det klassiske LP-problem, kostplan-problemet (Eksempel 2.2) der var blandt de først formulerede, er et typisk økonomisk problem om forsyning af flere typer varer. 3. Lineære programmeringsproblemer, definition Helt generelt kan et lineært programmeringsproblem skrives som max c 1 x c n x n under bibetingelserne 15

13 a 11 x a 1n x n b 1... a m1 x a mn x n b m x 1 0,...,x n 0 (1) Her er x 1,...,x n de n variable i problemet. Koefficienterne c 1,...,c m giver os kriteriefunktionen z = c 1 x c n x n, som skal maximeres. På matrixform kan det skrives max c t x under bibetingelserne Ax b x 0 idet tegnet t står for transponering. Et LP-problem skrevet op som ovenfor (hvor alle bibetingelser er skrevet med ulighedstegn ) siges at være på kanonisk form. Det er ikke sikkert, at et problem opstået i en praktisk anvendelse ser sådan ud; Nogle af bibetingelserne kan have et ulighedstegn, som vender den anden vej ( ), eller kan være givet ved =. Den sidste variant er som bekendt specielt interessant, når man skal løse LPproblemer ved simplex-metoden. Vi siger at et LP-problem er på standard form, hvis det har følgende udseende max c 1 x c n x n under bibetingelserne a 11 x a 1n x n = b 1... (2) eller, skrevet på matrixform, a m1 x a mn x n = b m x 1 0,...,x n 0 16 max c t x under bibetingelserne Ax = b x 0

14 Et LP-problem på kanonisk form kan gøres til et LP-problem på standard form ved at indføre nye variable (de såkaldte slack-variable) x n+1,...,x m+n,én for hver bibetingelse. At den første ulighed i (1) skal være opfyldt, er jo ensbetydende med, at a 11 x a 1n x n + x n+1 = b 1 for en vis ikke-negativ værdi af den nye variabel x n+1 ; tilsvarende for hver af de andre uligheder. Ialt får vi den helt ækvivalente formulering af problemet: max c 1 x c n x n under bibetingelserne a 11 x a 1n x n + x n+1 = b 1... a m1 x a mn x n + x n+m = b m x 1 0,...,x n+m 0 Dette er tydelig nok et LP-problem på standard form; skrevet på matrixform bliver det max c t x hvor under bibetingelsen Ā x = b x 0 a 11 a a 1n a Ā = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn med de sidste m søjler udgørende en (m m) enhedsmatrix, hvor c er (n + m)- vektoren c med nuller på de sidste m pladser, og hvor x er en vektor af n + m variable. Tilsvarende kan man omskrive et LP-problem på standard form, så at det kommer på kanonisk form. For hver ligning i bibetingelserne, således f.eks. ligning i i (2), har vi, at a i1 x a in x n = b i er opfyldt, netop når begge ulighederne a i1 x a in x n b i a i1 x a in x n b i 17

15 er opfyldte. Den sidste ulighed vender ganske vist forkert i forhold til kravene i den kanoniske form, men det klarer vi ved at skifte fortegn, dvs. ved at gange med 1 på begge sider, således at vi får a i1 x 1... a in x n b i. Dermed har vi omformuleret bibetingelsernes n ligninger til 2n uligheder, og vi har fået problemet på kanonisk form. Ganske vist har vi undervejs et fået et problem, der kan genere os lidt i sammenhæng med simplex-metoden, nemlig at nogle af koefficienterne b i kan være negative, men det kan vi klare hen ad vejen. Vi skal bruge lidt terminologi: En vektor x, der opfylder bibetingelserne, kaldes en brugbar løsning; hvis den maximerer kriteriefunktionen blandt alle brugbare løsninger, kaldes den en optimal løsning. Det er ikke sikkert, at der overhovedet findes brugbare løsninger; det gør der f.eks. ikke, hvis bibetingelserne strider mod hinanden, som i tilfældet x 1 + x 2 1 x 1 + x 2 2 hvor det ses, at x 2 måværenegativ,foratbeggeulighederkanværeopfyldte. Selvom der findes brugbare løsninger, behøver der ikke at være optimale; det hænger sammen med, at problemet kan være ubegrænset, som det er tilfældet i følgende eksempel: max x 1 + x 2 under bibetingelserne x 1 2x 2 = 17 x 1 0,x 2 0 Her vil vi kunne opnå vilkårligt store kriterieværdier: Når blot x 2 = x 1 17, 2 kan x 1 vælges vilkårligt stor uden at bibetingelserne er overtrådt, og kriteriefunktionens værdi bliver da x 1 + x = 3 2 x , der klart nok er ubegrænset i x 1. 18

16 Dualitet. Lineære programmeringsproblemer optræder så at sige altid i par; til et LP-problem (i denne forbindelse kaldt primært ) max c 1 x c n x n under bibetingelserne hører der et dualt LP-problem, nemlig a 11 x a 1n x n b 1... a m1 x a mn x n b m x 1 0,...,x n 0, min b 1 y b m y m under bibetingelserne a 11 y a m1 y m c 1... a 1n y a mn y m c n y 1 0,...,y m 0. Der er indført nye variable y 1,...,y m, og der minimeres, men iøvrigt er koefficienterne, såvel i kriteriefunktion som i bibetingelser, de oprindelige, blot er der ordnet om på dem. Sammenhængen kommer klart frem, hvis henholdsvis primært og dualt LP-problem skrives på matrixform, Primært problem: Dualt problem max c t x min b t y under bibetingelserne under bibetingelserne Ax b y t A c t x 0 y 0 Det er let at se, at hvis x er en brugbar løsning til det primære problem og y en brugbar løsning til det duale, da må der gælde, at c t x (y t A)x = y t (Ax) y t b = b t y, så kriteriefunktionen i det primære problem altid er værdien af kriteriefunktionen i det duale. Der gælder mere endnu, nemlig den såkaldte hovedsætning om lineær programmering, som vi faktisk vil få et bevis for i forbindelse med vor diskussion af 19

17 simplex-algoritmen: Hvis både det primære og det duale problem har en brugbar løsning, da har de begge en optimal løsning, og for disse er værdien af kriteriefunktionerne ens. Hvis ét af problemerne ikke har en brugbar løsning, da har ingen af dem en optimal løsning. 4. Simplex-algoritmen (1): Basisløsninger I det generelle tilfælde med n variable har vi brug for en metode, der giver os mulighed for systematisk at flytte fra en brugbar basisløsning til en anden, således at kriterieværdien forbedres undervejs. En sådan metode er simplex-metoden, som vi vil forklare i dette og næste afsnit. Udgangspunktet er et LP-problem på standard form, maxc t x under bibetingelserne Ax = b x 0 Det antages, at alle b i er ikke-negative (i modsat fald kan den pågældende ligning ganges igennem med 1 uden at det ændrer noget ved mængden af løsninger). Vi skal i første omgang kun interessere os for systemet af bibetingelser Ax = b, x 0. Dette er næsten et almindeligt problem om løsning af et antal lineære ligninger, noget som kan gøres f.eks. ved at løse en enkelt ligning og substituere i den næste osv. Vi skal dog også holde styr på, at vi hele tiden kun har ikke-negative løsninger. I alt det følgende antages det, at m n og at der er m lineært uafhængige rækker i matricen A. Det betyder, at der ikke er nogen række, der kan fås som en linearkombination af de øvrige. Var der det, kunne vi blot smide den væk. Vi indfører betegnelsen en basis for en samling af m lineært uafhængige søjler fra A. Skriver vi j te søjle som A j, vil en basis altså kunne skrives som B = {A j1,...,a jm }, hvor der er udtaget søjler med index j 1,...,j m. En basisløsning hørende til B er en løsning x til ligningssystemet Ax = b, således at x j =0for j/ {j 1,...,j m } (koefficienter hørende til ikke-basissøjler er nul). En brugbar basisløsning hørende til B er en basisløsning med ikke-negative koefficienter. Skrives m m matricen af basissøjler fra B som B, og er x en basisløsning, har vi Bx = b eller x = B 1 b. 20

18 De to ligninger kan også skrives som b = m x j B j, x = j=1 m b j (B 1 ) j, hvor B j, henholdsvis (B 1 ) j, er den j te søjle i B, henholdsvis B 1, den inverse matrix til B. Simplex-metoden går i al korthed ud på at flytte sig fra en brugbar basisløsning til en anden, således at kriteriefunktionens værdi hele tiden vokser. Når man ikke kan øge kriteriefunktionen ved at flytte til en anden brugbar basisløsning, har man et optimum. For at udføre disse ting i praksis må vi have en bekvem regnemetode. Den fås af det såkaldte simplex-tableau. Tableauet har m+1rækker og n+1søjler; der er en søjle (den første) svarende til vektoren b samt en søjle for hver variabel. Tilsvarende er der en række (den øverste) til vektoren c og en række til hver bibetingelse. Det øverste højre hjørne i tableauet står tomt i første omgang: j=1 c 1 c n b 1 a 11 a 1n... b m a m1 a mn Søjlen af b-koefficienter må ikke indeholde negative tal;ellers er der ingen betingelser på koefficienterne. Vi vil i første kun se på de nederste m rækker, så vi udelader rækken med koefficienter fra vektoren c. Lad os i starten antage, at vort tableau er således, at de sidste m søjler udgør en enhedsmatrix, dvs. at vi har tableauet b 1 a 11 a 1,n m b m a m1 a m,n m 0 1 Hvis de sidste m variable var slack-variable af den type, vi brugte for at bringe problemet fra kanonisk til standard form, vil tableauet se ud netop på denne måde. Vi ser, at de sidste m søjler netop giver os en basis vi har at b kan skrives som en ikke-negativ linearkombination af søjlerne A n m+1,...,a n, nemlig på den trivielle måde b = b 1 A n m b m A n. 21

19 Eksempel 2.3 Betragt det lineære programmeringsproblem max 2x 1 +2x 2 + x 3 under bibetingelserne x 1 + x 2 +2x 3 2 4x 1 +2x 2 + x 3 4 x 1 +2x 2 + x 3 2 x 1,x 2,x 3 0. For at kunne løse problemet ved simplex-metoden skal vi først omskrive til standard form, idet vi indfører nye slack-variable x 4,x 5,x 6 svarende til hver ulighed, hvorefter vort problem ser således ud: max 2x 1 +2x 2 + x 3 Opstillet i tableau-form får vi følgende: under bibetingelserne x 1 + x 2 +2x 3 + x 4 =2 4x 1 +2x 2 + x 3 + x 5 =4 x 1 +2x 2 + x 3 + x 6 =2 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x Bemærk, at de tre sidste søjler udgør en enhedsmatrix. Det vil altid være tilfældet, når der er føjet slack-variable til problemet svarende til samtlige bibetingelser. Basisløsningen er altså (x 1,...,x m ) = (b 1,...,b m ),så yderste venstre søjle angiver løsningen: Tallet i række i er værdien af den variabel fra basis, hvis tilhørende søjle har ettallet i i te række. Dette er et gennemgående fænomen ved simplex-tableauet; man kan altid aflæse den aktuelle basisløsning. Der kan læses mere endnu: Tager vi en søjle A j, som ikke er i basis, har vi, at dens koefficienter er a ij er de tal, som basissøjlerne skal ganges med for at få j te søjle frem. Igen er det naturligvis helt trivielt for vor starttableau, men det er det ikke, når vi begynder at ændre på det. Ændringer i tableauet sker på en eneste måde, nemlig ved rækkeoperationer. Man må gange en vilkårlig række med et tal (positivt eller negativt) og lægge til en vilkårlig anden række. Hvis dette er gjort således, at det tableau, som kommer ud af det, har en basis i form af enhedsvektorer stående i passende søjler {j 1,...,j m } (således at disse giver et ettal i hver af rækkerne, ikke nødvendigvis i nummerorden), 22

20 kan vi stadig aflæse basisløsning af yderste venstre søjle, og inde i tableauet kan vi aflæse de oprindelige søjlers koefficienter i den nye basis. I det følgende vil vi overalt bruge notation b, A, B osv. for vektorer og matricer lavet af koefficienterne fra det oprindelige problem angivet ovenfor. Vi bruger samme bogstaver, men med en ˆ føjet på, til at angive koefficienter i et simplextableau lavet fra det oprindelige ved hjælp af passende mange rækkeoperationer. I hvert sådant tableau har vi, når B er matricen hørende til basis, at yderste venstre søjle er den aktuelle basisløsning, b = m ˆbj B j, j=1 (idet ˆx j =0hvis j ikke er en søjle fra den aktuelle basis, og j te søjle i tableauet er den oprindelige søjle j s koordinater i den aktuelle basis: m A j = â ij B i. i=1 Disse sammenhænge følger af, at vi har brugt rækkeoperationer til at få en basis frem. Vi skal bruge dem i det følgende. Hermed har vi værktøjet til at forklare simplex-metoden: Lad os antage, at vort tableau efter diverse rækkeoperationer er følgende: ˆb1 â 11 â 1n... ˆbm â m1 â mn og at der er en basis svarende til søjlerne {j 1,...,j m }. Den tilhørende basisløsning ˆx antages at have alle koordinater svarende til basis strengt positive. Vi ønsker at ændre på vor basis B ved at inddrage en ny søjle A j. I så fald må vi droppe en af de eksisterende søjler, for der kan ikke være flere end m, hvis søjlerne skal være lineært uafhængige. Vi kan dog ikke fjerne en søjle fra den gamle basis på vilkårlig måde; der skal tages hensyn til, at vi skal kunne skrive b som en ikke-negativ linearkombination af de nye basissøjler. Vi har som bemærket ovenfor, at b = ˆb 1 A j1 + + ˆb m A jm (1) med ˆb i > 0, i=1,...,m. Videre har vi, at enhver søjle A j kan skrives som en linearkombination af basissøjlerne, nemlig som A j =â 1j A j1 + +â mj A jm 23

21 eller 0=λA j λ m â ij A ji, (2) hvor vi har flyttet rundt på leddeneoggangetpå begge sider med et (positivt) tal λ. Vi ved ikke noget om fortegnene på koefficienterne â 1j,...,â mj, men hvis vi lægger (1) og (2) sammen, får vi, at i=1 b = m (ˆb i λâ ij )A ji + λa j, i=1 og dette udtryk fortæller os, at når tallet λ er > 0 og meget lille, så vil alle koefficienter være ikke-negative. Vælger vi tilmed λ præcist så stort, at netop én af koefficienterne til de gamle basissøjler bliver 0, får vi en ny basis med A j inde og en af de gamle ude. Den præcise værdi af λ er λ = ˆbi min. j:â ij >0 â ij I simplex-tableauet svarer det til, at vi række for række danner forholdet mellem koefficienterne i yderste venstre søjle og i den potentielle basissøjle, med mindre den sidste er 0 eller negativ. Vi vælger da den række, for hvilket det resulterende tal er mindst (er der mere en én sådan række, vælges den øverste af dem). Vi ved nu, hvilken basissøjle som skal ud, nemlig den, der har ettallet i den pågældende række. Dette klarer basisskift i den situation, hvor den aktuelle basisløsning ˆb ikke har nogen koefficienter, som er nul. Hvis der er en sådan, f.eks. b i0 =0kan vi ikke bruge argumentet ovenfor, men vi kan da blot lade den nye søjle gå ind i basis i stedet for den i 0 te, igen med den tilhørende koefficient lig nul. Der er sådan set ikke sket nogetsomhelst, men det er praktisk alligevel at betragte dette som et basisskift, og i tableauet fungerer det helt på samme måde. Hele operationen kaldes et pivotstep, og man siger, at vi pivoterer omkring det særlige element i tableauet valgt ovenfor. 5. Simplex-algoritmen (2): Valg af ny basissøjle; optimalitet Vi ved nu, hvorledes vi flytter fra en basis til en anden. Der resterer at forklare, efter hvilket kriterie vi udvælger den nye søjle til basis. Her skal vi bruge den første række i simplex-tableauet. Vi vil igen antage, at vort første simplex-tableau er sådan, at de sidste n m variable er slackvariable; da de ikke indgik i det oprindelige LP-problem, er de tilhørende koefficienter i 24

22 Eksempel 2.4 Antag, at vi i tableauet fra sidste eksempel, som her er gengivet uden øverste række, ønsker at skifte den første søjle ind i basis. Vi sammenligner da tallene i b-søjlen divideret samme rækkes tal i den betragtede søjle; det giver os henholdsvis 2 1 =2, 4 4 =1og 2 1 =2. Det mindste af disse tal er 1, så vi skal pivotere om elementet i første søjle, anden række. (Bemærk, at alle tal i den betragtede søjle var positive; hvis der havde været negative tal eller 0, skulle de pågældende rækker ikke indgå i sammenligningen.) Først divideres der igennem i anden række med pivotelementet 4. Det giver os en række med et ettal på pivotelementets plads. For at få nul i første søjle på de øvrige pladser kan vi trække den nye anden række fra henholdsvis første og tredie række. Ialt giver det os tableauet Ialt er der, som man kan se, sket det, at første søjle er kommet ind i basis i stedet for den femte søjle. At det var femte søjle, der skulle ud af basis, fandt vi faktisk ud af, allerede da vi fandt pivotelementet. Det stod nemlig i anden række, og hvis vi gik hen til den basisvektor, der havde sit ettal i denne række, ville vi netop være kommet til række fem. Ved vort basisskift har vi fået en ny brugbar basisløsning frem i b-søjlen. Der står nemlig løsningen x 4 =1, x 1 =1, x 6 =1(og resten lig nul). 25

23 vektoren c alle nul: c 1 c n m 0 0 b 1 a 11 a 1,n m b m a m1 a m,n m 0 1 Som tidligere bruger vi ˆ-notationen for koefficienter i de efterfølgende tableauer, hvor der er udført rækkeoperationer. Bemærk, at der dermed også vil komme tal i øverste venstre hjørne. Dette tal skriver vi som z (idet z selv bliver ikke-negativ). At inddrage den øverste række ændrer ikke noget ved operationerne omkring basisskift. Det eneste, der skal føjes til, er at man ved hvert basisskift skal sørge for, at ĉ-koefficienterne i basissøjlerne er 0. Antag nu, at vi efter et antal basisskift har tableauet ĉ 1 ĉ n ˆb1 â 11 â 1n... ˆbm â m1 â mn Ved forskriften om nul i øverste række af basissøjler opnår vi, at ĉ j = c j m c i â ij, hvor der summeres over den aktuelle basis. Vi noterer os nu, at â ij for i =1,...,m er den j te søjles koordinater i den aktuelle basis. Vi kan derfor fortolke udtrykket ovenfor: c j er gevinsten (målt i kriteriefunktionen) ved at bringe én enhed af søjle j ind i basis; andet led er tabet (igen målt i kriteriefunktion) ved at lade denne enhed gå ind, for vi må jo såtilgengældladetilsvarendemegetafdengamlebasisgå ud. Det er nu oplagt, at vi alt i alt får en gevinst ved at bringe søjle j ind, når ĉ j > 0, ellers ikke. Det fører os til vort kriterie for at bringe en ny søjle ind i basis: Vælg blandt alle de søjler udenfor basis, for hvilke ĉ j > 0, den søjle med størst værdi af ĉ j (er der flere af dem, da vælg den længst til venstre i tableauet). Hvis der ikke er nogen søjle med ĉ j > 0, er vi færdige. 26 i=1

24 Vi får iøvrigt den optimale værdi af kriteriefunktionen serveret i tableauet: I øverste venstre hjørne har vi nemlig m z = ˆbi c i og da ˆb netop er ikke-nul-elementerne i løsningen ˆx, får vi z som den aktuelle kriterieværdi. Er vi nået til sidste tableau, hvor vi ikke kan komme videre, er ˆx den optimale løsning, z den optimale kriterieværdi. Der er en lidt teknisk pointe i forbindelse med simplex-algoritmen: Vi kan se fra konstruktionen i det foregående, at kriteriefunktionens værdi aldrig falder i forbindelse med et basisskift. Den kan dog forblive uændret, noget som sker hvis man fra en situation, hvor der var nuller i basisløsningen, skifter over til en anden basisløsning med nuller. Dette sker der ikke noget ved i sig selv, men selve det forhold, at kriteriefunktionen ikke vokser ved hvert basisskift, åbner en teoretisk mulighed for, at man kan skifte basis en del gange og derefter være kommet tilbage til en basis, men allerede har haft. Det ville betyde, at algoritmen har cykler, går i ring, en ganske ubehagelig egenskab, som man helst vil være foruden. Hvad angår simplex-algoritmen, så kan den slags undgås ved en passende specifikation af, hvad man skal gøre i situationer, hvor der er mere end én mulighed for at vælge (søjle eller række). Denne specifikation kan ske på forskellig måde; den, som er valgt i teksten, kaldes Bland s anticykling-algoritme. i=1 Vi kan nu sammenfatte simplexalgoritmen i følgende trin: 1. Klargøring: Opstil det første simplex-tableau. Sørg for, at b-søjlen er ikke-negativ, at der er en basis svarende til enhedsvektorer, og at øverste række har 0 i basissøjlerne. 2. Inddrage ny søjle: Så længe der er en søjle, så den tilhørende koefficient er positiv, gennemføres dette og næste trin: Vælg den søjle j, som har størst koefficient i første række (hvis der er flere, vælg den som står længst mod venstre). 3. Pivotstep: Vælg den række i, for hvilken forholdet ˆb i /â ij er mindst (idet der kun ses på rækker, hvor â ij > 0). Lad søjle i erstatte søjle j i basis, dvs. lav rækkeoperationer således at ij te element bliver 1, og alle andre elementer i j te søjle (inclusive elementet i øverste række) bliver 0. Dermed har vi alle elementer i simplex-algoritmen pånær et enkelt: Hvad gør man, hvis problemet i sin oprindelige udgave er sådan, at der ikke skal tilføjes slackvariable, og man ikke umiddelbart har en basis i sit starttableau? At dette er et reelt problem, bliver især klart når problemets dimension er passende stort; for problemer med to-tre rækker kan man nok finde en basis ved at prøve sig frem, men generelt må man have en fast procedure. 27

25 Eksempel 2.5 Lad os regne vort gennemgående eksempel helt igennem ved hjælp af simplex-metoden. Starttableauet var Tableauet er allerede klargjort, idet der er en basis (de sidste tre søjler), og koefficienterne i c-rækken hørende til basissøjler er alle 0. Vi ser, at både første og anden søjle har maximal koefficient i c-rækken, nemlig 2. Vi vælger da den med lavest nummer, dvs. søjle 1. Vi har i tidligere set, hvordan vi finder pivotelement og tilpasser tableauet; der skal her blot også skaffes et 0 i c-rækken, hvilket sker ved at gange den nye anden række med 2 og trække fra c-rækken. Resultatet bliver I det nye tableau har anden søjle den største positive c-koefficient og skal altså ind i basis. Der pivoteres om elementet i tredie række, og vi får tableauet I dette tableau har c-rækken udelukkende ikke-positive elementer. Det betyder, at vi har nået den optimale løsning. Denne kan aflæses i b-søjlen til x 1 = 2 3,x 2 = 2 3,x 4 = 2 3, 28

26 Eksempel 2.5, fortsat og de øvrige variable lig nul. Da det kun er de første tre variable, der er af interesse, kan vi altså konkludere, at løsningen til det oprindelige problem i eksempel 7.1 bliver x 1 = 2 3,x 2 = 2 3,x 3 =0. Man gør følgende: Antag, at det oprindelige problem er på standard form. Tilføj m nye slackvariable x n+1,...,x n+m, og opstil hjælpeproblemet max x n+1 x n+m under bibetingelserne Ax + Ix = b x 0,x 0. Dette er et nyt LP-problem på standard form. Det er uheldigvis lidt større end det oprindelige, men det har til gengæld den fordel, at vi umiddelbart kan nedskrive et simplex-tableau med en basis i de sidste m søjler. Der køres nu simplex på hjælpeproblemet, hvorved der kan ske tre forskellige ting: (1) På et tidspunkt har vi en basis af søjler svarende til de gamle variable, således at alle slackvariablene er drevet ud af basis. Da har vi klart nok også en basis i det oprindelige problem. Da det var det, vi manglede, kan vi nu gå igang med det gamle problem. (2) Den optimale løsning til hjælpeproblemet indeholder slackvariable på ikkenul niveau, svarende til at kriterieværdien i maximum er negativ. Da vil der ikke være nogen brugbar basisløsning til det oprindelige problem, for i så fald ville vi have en optimal løsning i vort hjælpeproblem med kriterieværdi 0. (3) Vi får en optimal løsning til hjælpeproblemet med z =0, men nogle af slackvariablene er i basis på nul-niveau. I denne, lidt specielle situation har vi en brugbar løsning til det oprindelige problem, men vi mangler nogle søjler for at have en basis. Her kan man komme på plads ved at inddrage vilkårlige søjler og bytte ud mod slackvariabel-søjlerne (der skal blot være noget forskellig fra 0 på ij te plads, hvis søjle j skal ind i stedet for basissøjle i). Minimering. Til afslutning vender vi tilbage til problemet om minimering i stedet for maximering. Som vi tidligere har set, kan minimering af funktionen f gennemføres som maximering af f. Oversat til simplex-tableau betyder det, at vi blot skal starte med et fortegnsskift på alle c-koefficienter og derefter gennemføre simplex ganske som tidligere. Løsningen vil da fremkomme som sædvanlig; eneste forskel fra tidligere er, at vi tilsvarende skal vende fortegn på den optimale kriterieværdi, hvilket iøvrigt betyder, at den kommer direkte frem i øverste venstre hjørne. 29

27 Alternativt kan man også operere med en særlig simplex-rutine for minimeringsproblemer. I så fald skrives de rigtige c-koefficienter i øverste række, men ved afgørelsen af, hvilken søjle som skal ind i basis, er det nu den med mindst mulig koefficient, der skal hentes ind, og vi har en optimal løsning når alle koefficienter er positive. Alt andet er som ved simplex for maximeringsproblemer. Denne sidste procedure er iøvrigt helt ækvivalent med den ovenfor, så det er en smags sag, hvad man vælger. 6. Mere om dualitet Simplex-tableauet giver os endnu en information (foruden optimal basisløsning og optimal kriterieværdi), nemlig løsningen til det duale problem. Til dette formål er det vigtigt at starte med et klargjort tableau c 1 c n m 0 0 b 1 a 11 a 1,n m b m a m1 a m,n m 0 1 Når der gennemføres en hel række af pivotstep, vil tableauet få nye koefficienter; specielt vil der i øverste række typisk ikke længere stå 0på de sidste m pladser, men passende tal ĉ n m+1,...,ĉ n. Det første, vi kan notere os, er at vektoren ĉ S af koefficienter ĉ n m+j hørende til slackvariablene kan skrives som ĉ S = c t BB 1, hvor c B er vektoren af oprindelige c-koefficienter til den aktuelle basis, og B er matricen af søjler hørende til denne basis. Vi får heraf, at m ĉ n m+i b i =ĉ t Sb = c t BB 1 b = c tˆx, i=1 hvor ˆx er den aktuelle brugbare basisløsning. Som man kan se, er der her en mulighed for at gøre prøve, idet vi åbenbart skal have, at m i=1 ĉn m+ib i = z. Værdien af denne prøve skal dog ikke overvurderes; den fanger ikke alle tænkelige regnefejl, og det er da heller ikke derfor, at c-koefficienterne hørende til slackvariablene er interessante. 30

28 Pointen er, at når vi har den optimale løsning, er ĉ n m+i for i =1,...,m den optimale løsning til det duale problem. Disse tal er for det første ikke-negative; ellers ville vi jo ikke være i optimum. De giver også en brugbar løsning til det duale problem, for hvis vi tager j te søjle i A, har vi ( ĉ t S)A j = c t BB 1 A j. Nu er sidste led netop det, der skal trækkes fra c j for at få ĉ j. Men da vi var i optimum, er alle ĉ j ikke-positive, hvilket betyder, at der må gælde c t BB 1 A j c j for alle j, dvs. ĉ t S er en brugbar løsning til det duale problem. Det er også en optimal løsning: Lad nemlig y R m + med y 0 være således at y t A c t ; da dette er en ulighed, som holder for hver af de n koordinater, må den specielt holde for dem, der hører til den aktuelle basis, og vi kan skrive dette som y t B c t B. Vi bruger nu, at vi har en optimal løsning ˆx med ikke-nulelementer svarende til vektoren ˆb; ganges hver af de m uligheder med ˆb i 0, i =1,...,m, og lægges sammen, fås idet der benyttes at ˆb = B 1 b at y t BB 1 b c t Bˆb, der også kan skrives som y t b c tˆx = ĉ t Sb, hvoraf vi ser, at enhver brugbar løsning til det duale problem må have mindst lige så stor kriterieværdi som vektoren ĉ S. Denne egenskab ved simplex-metoden, at den giver de duale variable som et automatisk biprodukt, er særdeles nyttig. Dels kan det ofte være netop disse variable, man er interesseret i, dels har de tit en særlig økonomisk fortolkning, som kaster nyt lys på det oprindelige problem. Det er derfor praktisk, at de kan aflæses umiddelbart. Ser man nærmere til, vil man af det foregående faktisk kunne udlede et bevis for den tidligere omtalte hovedsætning for lineær programmering. Vi har ihvertfald vist, at hvis det primære problem har optimal løsning, da kan en sådan findes ved simplex-metoden, som samtidig giver os en optimal løsning til det duale problem, endda med samme kriterieværdi. Resten af sætningen kan fås ved at flytte lidt om på problemet; det overlades til læseren. 31

29 Eksempel 2.6 I det gennemgående eksempel kan vi finde løsningen til det duale problem min 2y 1 +4y 2 +2y 3 under bibetingelserne y 1 +4y 2 + y 3 2 y 1 +2y 2 +2y 3 2 2y 1 + y 2 + y 3 1 y 1,y 2,y 3 0. ved at aflæse koefficienterne til slack-variablene: Vi har dermed, at det duale problem har løsningen y 1 =0,y 2 = 1 3,y 3 = 2 3. Bemærk, at første variabel har værdien 0, svarende til, at den indgik i den optimale løsning til det oprindelige problem. Det svarer fint til intutionen omkring skyggepriser som værdien af, at bibetingelsen slækkes en smule: Hvis bibetingelsen ikke binder i den optimale løsning, har man heller ikke nogen glæde af, at der bliver lidt mere luft i denne betingelse. 7. Opgaver 1. Løs det lineære programmeringsproblem max 2x 1 +3x 2 +3x 3 + x 4 under bibetingelserne x 1 + x 2 + x 3 = 10 x 1 +2x 3 =8 x 2 + x 4 =7 x 1,x 2,x 3,x 4 0 ved simplexmetoden. Bemærk: Der er ikke nogen basis i slackvariable. Brug standardmetoden til at finde en. 32

30 Den næste opgave er et eksempel påsåkaldt målprogrammering, hvor man tænker sig, at beslutningstageren har flere mål, som han/hun ønsker opfyldt, men som ikke kan opfyldes samtidig. Dette kan ofte med fordel formuleres som et LP-problem, hvor hvert af målene giver en bibetingelse, der så kan over- eller underopfyldes. Det sidste opnås ved at tilføje to slackvariable i hver bibetingelse. Beslutningstagerens holdning til over- eller underopfyldelse søges da indfortolket i kriteriefunktionen. 2. En virksomhed producerer tre varer i årlige mængder x 1,x 2,x 3. Disse varer har dækningsbidrag på henholdsvis 12, 9 og 15 pr. enhed, og der er beskæftiget henholdsvis 5,2 og 4 medarbejdere pr. enhed. Endelig er der et kapitalkrav (i form af nyinvestering) på 5, 7 og 8 pr.enhed. Virksomheden har en målsætning gående ud på, at profitten ihvertfald skal være på 125, at beskæftigelsen skalæ være 40, og at investeringerne ikke må overstige 50. Undersøg om målsætningerne kan opfyldes samtidig. Hvis ikke, har ledelsen meddelt, har ledelsen givet pointværdi pr.enhed afvigelse (idet større pointtal er udtryk for dårligere situation): Underopfyldelse af profitmål: 5, Overopfyldelse af beskæftigelsesmål: 2, Underopfyldelse af samme: 3, Overopfyldelse af investeringsmål: 3. De ikke anførte muligheder vurderer ledelsen som uden ulemper. Formuler som LP og find løsning. 3. En klinik behandler tre typer patienter ved genoptræning på tre forskellige maskiner; en standardbehandling på en patient af hver type lægger beslag på maskinerne i overensstemmelse med tabellen nedenfor: Patienttype: Maskine: I II III hvor tallene er opgivet i minutter. Klinikken er åben i 7 timer om dagen. Klinikken drives af en velgørende institution, som selv visiterer patienter til behandling. Målsætningen er at gøre antallet af patienter i den gruppe, der behandles færrest af, så stort som muligt. Opstil problemet som et LP-problem og løs det. 4. Løs LP-problemet max 2x 1 +3x 2 +5x 3 under bibetingelserne 3x 1 +2x 2 + x 3 4 x 1 + x 2 + x 3 =8 x 1 +7x 2 16 x 1,x 2,x

31 5. Et transportproblem (som vi skal se meget mere på senere) går ud på at minimere samlede transportomkostninger ved at flytte givne varemængder s 1,...,s m i m kilder til fastlagte efterspøgsler t 1,...,t m i n terminaler, idet m i=1 s i = n j=1 t j. Omkostningerne ved at transportere en enhed fra kilde i til terminal j er c ij. Formuler transportproblemet som et LP problem og opstil starttableauet. Formuler det duale problem. Vis, at hvis man til en basisløsning (x 0 ij ) i det oprindelige problem kan finde tal µ 1,...,µ m og ν 1,...,ν n så µ i + ν j c ij med lighedstegn hvis x 0 ij er forskellig fra 0, da er løsningen (x0 ij ) optimal. Her er lidt simplex-træning: 6. En virksomhed fremstiller fire produkter, I, II, III og IV. Om disse produkter gælder følgende: I II III IV Salgspris, kr.pr.stk Stykomkostn., kr.pr.stk Maskintid,min.pr.stk Elforbrug,kWh pr.stk Virksomheden råder over en maskinpark, der kan arbejde i timer pr.måned. Af historiske årsager er virksomheden underkastet en rationering i elforbruget, der ikke må overstige kwh om måneden. Endelig er der et affaldsprodukt, hvoraf der opstår 1 mg pr. produceret enhed af vare I og II, men ikke af III og IV. Der må maximalt udledes 500 mg af dette stof om måneden. (1) Find optimal produktion i virksomheden. (2) Hvis der udbydes tilladelser til yderligere udledning, hvor meget vil virksomheden være villig til at ofre pr. mg? 8. Litteratur Lineær programmering er særdeles grundigt beskrevet i litteraturen. Alternative fremstillinger er f.eks. Hillier og Lieberman (1990). En ældre, men stadig fremragende teoretisk gennemgang af dette (og tilstødende) emner findes i Gale (1960). 34

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Operationsanalyse MØK

Operationsanalyse MØK Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold

4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold 4.1. Geometrisk hovedindhold 4. Simplexmetoden 4.1. Geometrisk hovedindhold 4.2. Opstart 4.3. Algebraisk form 4.4. Tableauform 4.5. Løse ender 4.6. Kunstige variabler og tofasemetoden 4.7. Postoptimale

Læs mere

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115 Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Optimering i Moderne Portefølje Teori

Optimering i Moderne Portefølje Teori Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

G r u p p e G

G r u p p e G M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode

C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode Handelshøjskolen i København Statistikgruppen Erhvervsøkonomi-matematik-studiets 4. semester 2003 C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode Lene Hansen leha01ad Morten Høgholm

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK 98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere