GrundlÄggende funktioner

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GrundlÄggende funktioner"

Transkript

1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul

2 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4. LineÄr funktion LineÄr väkst Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineär väkst Skriv hvd og b i lineär forskrift fortäller Eksponentiel väkst 8. Eksponentiel funktion Eksponentiel väkst Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel väkst Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortäller. 6 PotensvÄkst 1. Potensfunktion PotensvÄkst Udregn procentändring for potensfunktion... 7 Grfer 15. Grf for lineär funktion Grf for eksponentiel funktion Grf for potensfunktion Regression 18. LineÄr regression Regression, Årstl Hvorfor skl lle tl i tbel bruges? Fejl t bruge målt tl når vi skl bruge model Eksponentiel regression Potensregression....1 Bestem forskrift ud fr Åt eller to punkter 4. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter Bestem og b i y = +b ud fr to punkter givet ved tekst Bestem b i f () = +b ud fr og punkt Bestem i f () = +b ud fr b og punkt Bestem og b i y=b ud fr to punkter Bestem og b i y=b ud fr to punkter givet ved tekst Bestem b i y=b ud fr og punkt Bestem i y=b ud fr b og punkt b og be k Bestem og b i y=b ud fr to punkter...17 Fordoblings- og hlveringskonstnt 4. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt AflÄs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortäller Udregn y-värdier med T og T Ç Proportionle og omvendt proportionle vrible 9. Proportionle vrible Omvendt proportionle vrible Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle Proportionl/omvendt proportionl med udtryk... Logritmefunktioner 4. Nturlig logritme og titlslogritme...4 Beviser 44. Bevis for hvd og b i y = +b fortäller Bevis for hvd og b i y = b fortäller Bevis for reglen om potensväkst...5 Polynomier 47. Polynomier og rédder....6 Andengrdspolynomier 48. Andengrdspolynomium Toppunkt Diskriminnt Betydning f, b, c og d for grfen Nulpunkt Antl nulpunkter eller lésninger LÉs ndengrdsligning Ligninger f typen = r Bevis for formlen for lésning f ndengrdsligninger... Tidligere udgver f dette häfte hr skiftet dresse til GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve, Å 015 Krsten Juul. Nyeste version f dette häfte kn downlodes fr Det mç bruges i undervisningen hvis läreren med det smme sender en e-mil til som oplyser t det bruges og oplyser hold, niveu, lärer og skole. 1/8-015

3 1. Procenter på en ny måde. Procent 1. T er 4 % f 600 T = 4 % f = 600 Ñ 0,4 d 4% = 100 = 04 = 0,4 Du plejer nok t udregne 4 % ved t dividere med 100 og gnge med 4. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til t vänne dig til t gnge med 0,4 for t udregne 4 %. 1b. S er 4 % stçrre end 600 S = 14 % f 600 d 100 % + 4 % = 14 % 14 = 600 Ñ 1,4 d 14 % = = 1,4 100 = 804 1c. R er 4 % mindre end 600 R = 66 % f 600 d 100 % 4% = 66 % 66 = 600 Ñ 0,66 d 66% = 100 = 96 = 0,66 NÅr du udregner det der er 4% stérre end et tl, så plejer du nok t udregne 4 % f tllet og lägge til tllet. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til t vänne dig til t gnge med 1,4 for t udregne det der er 4 % stérre. NÅr du udregner det der er 4% mindre end et tl, så plejer du nok t udregne 4 % f tllet og träkke fr tllet. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til t vänne dig til t gnge med 0,66 for t udregne det der er 4 % mindre. 1d. Hvor mnge procent er 5 f 16? , ,698 41,% 5 er 41, % f 16. 1e. Oversigt over grundläggende procentregning y 0,0 y 0,0 y y y 1 y 1,0 y y 0,70 0,0 0,70 1 A B y 0,0 A B B er 0% f A B er 0% stçrre end A B er 0% mindre end A B er 10% f A B er 70% f A A B ,0 141 er 0% f GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

4 . VÄkstrte. Hvd er väkstrte? At den Årlige väkstrte er 18 % betyder t stérrelsen bliver 18 % stérre hvert År. NÅr väkstrten er r = 18 % = 0,18, så er fremskrivningsfktoren = 1+r = 1,18, dvs. hvert År bliver stérrelsen gnget med 1,18. At den månedlige väkstrte er % betyder t stérrelsen bliver % mindre hver måned. NÅr väkstrten er r = % = 0,0, så er fremskrivningsfktoren = 1+r = 0,97, dvs. hvert År bliver stérrelsen gnget med 0,97. b. Eksempel Der gälder Antl nstte skl stige med en Årlig väkstrte på 10 %. Dvs. Antl nstte skl stige 10% hvert År. I År er ntl nstte 80 % 45 % Om 1 År er ntl nstte 80 1, Om År er ntl nstte 80 1,45 1, Om 6 År er ntl nstte Om År er ntl nstte 80 1, , % ,45 1,45 1,45 801,45 1,45 Antl nstte ,45 1, , År. Gennemsnitlig procent. Metode til t udregne gennemsnitlig procent Hvis en stérrelse stiger fr A til B på n År, så kn den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning r udregnes ved hjälp f formlen A(1+r) n = B. b. Eksempel pé udregning f gennemsnitlig procent Hvis A = 158, B = 1 og n = 10, er 158(1+r) 10 = 1. Nspire léser denne ligning mht. r for r > 0 og får r = 0,0416, dvs. Den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning er,41 %. c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent Perioden behéver ikke väre et År. Fr uge 10 til 15 er indtägten steget fr 1,7 mio. kr. til,4 mio. kr. Vi regner som vist ovenfor og får: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %. Dette betyder: Ved t stige med 7,14 % hver uge kn et beléb stige fr 1,7 til,4 mio. kr. Procentstigningen hr måske ikke väret den smme hver uge. Derfor ordet gennemsnit. d. Advrsel om gennemsnitlig procent Vi kn IKKE udregne gennemsnitlig procent ved t lägge procenter smmen og dividere med ntllet. Dette skyldes t procenterne ikke tges f lige store tl. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

5 LineÄr väkst 4. LineÄr funktion. En funktion f er lineär hvis den hr en forskrift f typen b BÅde og b kn väre ethvert tl. DefinitionsmÄngden (dvs. de tl vi kn indsätte for ) er lle tl. Tllet i en lineär forskrift b kldes häldningskoefficienten. 5. LineÄr väkst. 5. Reglen for lineär väkst (reglen for hvd i en lineär smmenhäng y b Hver gng vi gér án enhed stérre, bliver der lgt til värdien f y. fortäller): 5b. Reglen for hvd b i lineär smmenhäng y b NÅr er 0, er y lig b. fortäller: 5c. Af 5b og 5 får vi: PÅ grfen for y = 0,+0,9 ligger punkterne (-1, 0,6), (0, 0,9), (1, 1,), (, 1,5) osv. Den skrå sorte linje er grf for funktionen y = 0, +0,9. Figuren viser t der lägges 0, til y-koordinten (séjlehéjden) når bliver 1 stérre. 0,6 + 0, y 0,9 + 0, 1, + 0, 1,5 0, +0, : y : 0,6 0,9 1, 1,5 0,+0,9 +0, +0, +0, 5d. Hvis vi fläser punkterne (0,7), (1,11), (,15), (,19) på en lineär grf, kn vi f 5 og 5b slutte t y = e. For y = +5 gälder: Hvis vi 10 gnge gér en stérre, vil der 10 gnge blive lgt til y, så: Hver gng vi gér 10 enheder stérre, bliver der lgt 0 til värdien f y. Dvs. på grfen ligger punkterne ( 10, 5), (0,5), (10,5), (0,65) osv = 0 : y : GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

6 6. Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineär väkst. Opgve Mn skl betle 10 kr. for t strte på et computerspil, og herefter skl mn betle 0,50 kr. pr. minut mn spiller. Skriv en ligning vi kn bruge til t udregne prisen for t spille når vi kender ntl minutter vi spiller. Besvrelse Vi bruger og y til t betegne félgende tlstérrelser: = ntl minutter y = prisen i kr. SÅ kn vi oversätte oplysningerne til félgende: NÅr 0 er y 10 Hver gng vi gér án enhed stérre, bliver der lgt 0,50 til y. Af reglerne for hvd og b i b fortäller, får vi: y 0,50 10 når = ntl minutter og y = prisen i kr. 7. Skriv hvd og b i lineär forskrift fortäller. Opgve For en cirkel på et elektronisk billede kn rdius udregnes ved hjälp f formlen y 80 hvor er temperturen i C og y er rdius i mm. Besvrelse Hvd fortäller tllene og 80 om rdius? Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi: er det tl der bliver lgt til rdius y hver gng vi gér temperturen en grd stérre. NÅr temperturen er 0, er rdius y lig 80. Dvs.: Rdius er 80 mm ved 0 C og bliver mm mindre for hver grd temperturen stiger. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

7 8. Eksponentiel funktion. Eksponentiel väkst En funktion f er eksponentiel hvis den hr en forskrift f typen b og b skl väre positive tl. DefinitionsmÄngden (dvs. de tl vi kn indsätte for ) er lle tl. Tllet i en eksponentiel forskrift b kldes fremskrivningsfktoren. 9. Eksponentiel väkst. 9. Reglen for eksponentiel väkst (reglen for hvd i eksponentiel smmenhäng y b fortäller): Hver gng vi gér án enhed stérre, bliver värdien f y gnget med. 9b. Reglen for hvd b i en eksponentiel smmenhäng y b NÅr er 0, er y lig b. fortäller: 9c. Af 9b og 9 får vi: PÅ grfen for y = 41,5 ligger punkterne ( 1,16), (0,4), (1,6), (,54) osv. y 41,5 Den sorte kurve er grf for funktionen y = 41,5. Figuren viser t y-koordinten (séjlehéjden) gnges med 1,5 når bliver 1 stérre. 16 1,5 4 1,5 6 1, : y : ,5 1,5 1,5 1,5 9d. Hvis vi fläser punkterne (0,), (1,6), (,18) på en eksponentiel grf, kn vi f 9 og 9b slutte t y =. 9e. For y = 5,81,04 gälder: Hvis vi 8 gnge gér án enhed stérre, vil y 8 gnge blive gnget med 1,04, så: Hver gng vi gér 8 enheder stérre, bliver y gnget med 1,04 8 = 1, ,04 8 = 1,400 : y : 4,14 5,8 8,1 11,7 5,81,04 1,4 1,4 1,4 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

8 10. Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel väkst. 10. Opgve Kl. 9 er der 75 celler, og hver time bliver ntl celler 0 % stérre. (voksende) Opstil en model der beskriver udviklingen i ntllet f celler. Svr NÅr = ntl timer efter kl. 9 og y = ntl celler gälder: NÅr ntl timer bliver 1 stérre, vil ntl celler y blive 0 % stérre, dvs. ntl celler y bliver gnget med 1,0. (Strt: 100 %. Efter stigning: 10 % = 10:100 = 1,0). NÅr ntl timer er 0, er ntl celler y lig 75. Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi y 75 1, 0 10b. Opgve Den 1. mj er fgiften 860 kr. Afgiften nedsättes med,5 % pr. uge (ftgende) Opstil en model der beskriver udviklingen i stérrelsen f fgiften. Svr NÅr = ntl uger efter 1. mj og y = fgiften i kr. gälder: NÅr ntl uger bliver 1 stérre, vil fgiften y blive,5 % mindre, dvs. fgiften y bliver gnget med 0,975. (Strt: 100 %. Efter fld: 97,5 % = 97,5:100 = 0,975). NÅr ntl uger er 0, er fgiften y lig 860. Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi y 8600, Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortäller. 11. Opgve Om en figur på skärmen gälder t y 001, 07 (voksende) = temperturen og y = relet Hvd fortäller tllene 00 og 1,07 om figuren. hvor Svr Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi NÅr temperturen bliver 1 grd stérre, bliver relet y gnget med 1,07, dvs. relet y bliver 7,% stérre. (Strt: 100 %. 100 %1,07 = 107, %. 107, % 100 % = 7, %) NÅr temperturen er 0, er relet y lig 00. Dvs. NÅr temperturen er 0 grder, er relet 00, og relet bliver 7, % stérre for hver grd temperturen stiger. 11b. Opgve Antllet f dyr Ändres sådn t y 70 0, 90 hvor (ftgende) = ntl dge efter 1. juni og y = ntl dyr Hvd fortäller tllene 70 og 0,90 om ntllet f dyr. Svr Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi NÅr ntl dge bliver 1 stérre, bliver ntl dyr y gnget med 0,90, dvs. bliver 10 % mindre. (Strt: 100 %. 100 %0,90 = 90 %. 90 % 100 % = 10 %) NÅr ntl dge er 0, er ntl dyr y lig 70. ntl dyr y Dvs. Den 1. juni er ntllet f dyr 70, og hver dg bliver ntllet f dyr 10 % mindre. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

9 PotensvÄkst 1. Potensfunktion. En funktion f er en potensfunktion hvis den hr en forskrift f typen b skl väre et positivt tl. kn väre ethvert tl. DefinitionsmÄngden (dvs. de tl vi kn indsätte for ) er de positive tl. Tllet i potensforskriften b kldes eksponenten. b. 1. PotensvÄkst. 1. Reglen for potensväkst: Om en potenssmmenhäng NÅr bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. y b gälder for et positivt tl k: 1b. Eksempel y = 1, 0,7 NÅr gnges med 1,5, så gnges y med 1,5 0,7 = 1,17. NÅr gnges med, så gnges y med 0,7 = 1,6. 1,5 1,5 : 1,14 1,4 1,79,80 7,60 y : 1, 1,54 1,80,06 4,96 1,5 0,7 1,5 0,7 0,7 14. Udregn procentändring for potensfunktion. 14. Opgve (udregn Ändring f Et dyr vokser sådn t y =,7 1,6 hvor y er vägt i grm, og er längde i cm. NÅr dyret er 40 % längere, hvor mnge procent tungere er det så? Besvrelse At bliver 40% stérre, er det smme som t bliver gnget med 1, 40. (Strt: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40) NÅr bliver gnget med 1, 40, så bliver y gnget med 1,40 1,6 = 1,7119 1,71 At y bliver gnget med 1, 71, er det smme som t y bliver 71% stérre. (Strt: 100%. 100%1,71=171%. 171% 100%=71%) Dyret bliver 71 % tungere når det bliver 40% längere. 0,51 14b. Opgve (udregn Ändring f ) 40 hvor er rutes längde i km, og f () er ntl deltgere. Hvor mnge procent kortere skl rute väre for t fordoble ntl deltgere? 0,51 Besvrelse NÅr vi gnger med k, bliver ntllet f () gnget med k. D vi vil gnge f () 0,51 med, skl vi välge k så k. Nspire léser denne ligning mht. k og får k = 0, At längden skl gnges med 0,57, er det smme som t längden bliver 74,% mindre. (Strt: 100%. 100%0,57 = 5,7%. 5,7% 100% = 74,%) Ruten skl väre 74,% kortere for t ntl deltgere fordobles. BemÄrk t vi IKKE sätter 1,40 ind i ligningen. Vi bruger eksponenten fr ligningen. 14c. Forskellige formuleringer Det er ikke ltid t der står t eller y Ändres med en procent. I stedet kn der stå t eller y gnges med et tl. SÅ slipper vi for t omsätte mellem procent og tl når vi bruger 1 ovenfor. I 14b ovenfor blev y gnget med. Det er det smme som t y bliver 100% stérre. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

10 Grfer 15. Grf for lineär funktion b Grfen er en ret linje. d PÅ grfen ser vi: DefinitionsmÄngde: lle tl dvs. lle tl kn indsättes for. Voksende: positiv eksempel: d Aftgende: negtiv eksempel: g Hvis 0 i b eller i b, eller 1 i b, så er b, så grfen er en vndret linje. g Hvis 1 i b, er b, så grfen er en skrå linje. 16. Grf for eksponentiel funktion b hvor og b er positive PÅ grfen ser vi: DefinitionsmÄngde: lle tl dvs. lle tl kn indsättes for. h Voksende: stérre end 1 eksempel: h Aftgende: mellem 0 og 1 eksempel: k Grfen kommer vilkårlig tät på -ksen, men når den ldrig. BemÄrk t grfen krummer sådn: eller sådn: IKKE sådn:, og IKKE sådn: k 17. Grf for potensfunktion b hvor b er positiv PÅ grfen ser vi: DefinitionsmÄngde: de positive tl dvs. lle positive tl kn indsättes for. Voksende og grf krummer op: over 1 eksempel: m Voksende og grf krummer ned: mellem 0 og 1 eksempel: n Aftgende: negtiv eksempel: p Aftgende potensfunktion: grfen kommer vilkårlig tät på -ksen, men når den ikke. m n p BemÄrk t grferne IKKE krummer sådn: GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

11 Regression 18. LineÄr regression. Opgve Vi hr målt längde og bredde for nogle komponenter: Bredden f (), målt i cm, er med god tilnärmelse givet ved b Besvrelse längde i cm 11,5 1,5 1,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5, 5,9 6,1 6,6 hvor er längden målt i cm. Find tllene og b. Vi indtster tllene sådn t längde kommer på den vndrette kse og bredde kommer på den lodrette kse. Nspire lver lineär regression på de indtstede tl og får 0,8 0,67. Dvs. 0,8 og b 0, 67 SÉdn tster vi pé Nspire Vi välger vindue f type Lister og Regnerk og tster tbel sådn Ld ikke mrkér stå i sidste felt du Ändrer. I menuen välger vi Sttistik/ Sttistiske beregninger.../ LineÄr regression (m+b)... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nedenfor. I X-liste-feltet og Y-liste-feltet, skl du ikke tste nvnet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue tster f () og trykker på Ä får vi 19. Regression, Årstl. Opgve Tbellen viser ntllet f boliger i et bestemt område. Antllet f boliger kn med god tilnärmelse beskrives ved en ligning f typen hvor y er ntllet f boliger, og er ntl År efter Find tllene og b. Besvrelse Vi tster félgende tbel: àrstl Antl boliger y Nspire lver lineär regression på hele denne tbel og får y 11, , 81 Dvs. 11, og b 141 y b Vi tster ikke Årstl d ikke er Årstllet. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

12 0. Hvorfor skl lle tl i tbel bruges? Tbel: : y: 6 9 De fire punkter i tbellen er vist som réde prikker. Hvis vi bruger lle punkter til t bestemme lineär grf, så får vi den fuldt optrukne linje. Hvis vi kun bruger de to férste punkter, så får vi den punkterede linje som psser dårligere med tbellen. 1. Fejl t bruge målt tl når vi skl bruge model. For en type vre er y omsätning dge efter nnoncering. MÉlte tl: : Model: y = 8 +1 y: Opgve: Brug model til t bestemme stigning i omsätning fr 6 til 10 dge efter nnoncering. Forkert svr: Af tbel: når = 6 er y = 65 Af y = 8 +1 : når = 10 er y = = 9 Stigning 9 65 = 7 Det er en fejl t bruge tllet fr tbellen d vi skl besvre spérgsmålet ved hjälp f modellen. Rigtigt svr: Af y = 8 +1 : når = 6 er y = = 60 Af y = 8 +1 : når = 10 er y = = 9 Stigning 9 60 = GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

13 . Eksponentiel regression. Opgve Besvrelse Tbellen viser ntllet f indbyggere i et område i perioden Udviklingen kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen b hvor f () er ntllet f indbyggere (målt i tusinder), og er ntl År efter 000. Find og b. Ud fr den givne tbel lver vi tbellen nedenfor hvor Årstllet er erstttet f värdien f. Denne tbel tster vi. Nspire lver eksponentiel regression på hele tbellen og får Dvs. àr Antl (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10, y 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10, 8, , ,07 og b 8, 48 BemÄrk Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. Grfen for y 8, , 0686 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den eksponentielle grf der fviger mindst fr punkterne. SÉdn tster vi pé Nspire Vi välger et vindue f typen Lister og Regnerk og tster tbellen som vist til héjre. I menuen välger vi Sttistik/Sttistiske beregninger.../eksponentiel regression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til héjre. Du skl ikke tste det der står i X-liste-feltet og Y-liste-feltet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Ä GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

14 . Potensregression. Opgve De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhängen mellem lder og längde. SmmenhÄngen kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen hvor f () Besvrelse b Bestem og b. er längde (målt i mm), og er lder (målt i dégn). Denne tbel tster vi så lder er i -séjlen og längde er i y-séjlen. Nspire lver potensregression på hele tbellen og får Dvs. BemÄrk Alder i dégn LÄngde i mm ,790 0,8007 0,80 og b 6, 79 Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. 0,8007 Grfen for 6,790 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den potensgrf der fviger mindst fr punkterne. SÉdn tster vi pé Nspire Vi välger et vindue f typen Lister og Regnerk og tster tbellen som vist til héjre. I menuen välger vi Sttistik/Sttistiske beregninger.../potensregression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til héjre. Du skl ikke tste det der står i X-liste-feltet og Y-liste-feltet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Ä Hvis potensfunktionen er ftgende, skriver Nspire en brék: Dette skl du selv skrive om til formen b. Husk t tilfçje et minus forn eksponenten: GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

15 Bestem forskrift ud fr Åt eller to punkter 4. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter. 4. Opgve Punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen for smmenhängen y b. Find tllene og b. Oplysningen om de to punkter Metode 1: Vi indsätter i formler for og b : er nogle gnge skrevet sådn: f ( 7) = 1 og f (8) = 4. Af ( 1, y1) ( 7, 1) og (, y ) (8, 4) får vi y y , 8 ( 7) 15 Metode : Nspire léser ligningssystem: D (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen, er 1 ( 7) b 4 8 b Nspire léser dette ligningssystem mht. og b og får 0, og b, 4 Nspire: Metode : Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler: D (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen, er (1) 1 ( 7) b () 4 8 b Af (1) får vi () 1 7 b Vi indsätter dette i () og får 4 8 (1 7) hvorf , Dette indsätter vi i () og får 1 7 0, b hvorf,4 b Metode 4: Nspire lver lineär regression: Nspire lver lineär regression på punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) og får y 0,, 4 4b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0, og b, 4 Hvis der står t vi skl finde forskriften for f, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0,,4 1 b y , ( 7),4 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

16 5. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter givet ved tekst. Opgve Der er en lineär smmenhäng mellem tempertur og overskud. NÅr temperturen er C, er overskuddet 1 mio. kr. NÅr temperturen er 5 C, er overskuddet 8 mio. kr. Skriv en ligning der viser smmenhängen mellem tempertur og overskud. Besvrelse Vi sätter = tempertur (målt i C) Det er nédvendigt også t skrive dette! y = overskud (målt i mio. kr.) Der er oplyst to -värdier og tilhérende y-värdier: Til 1 svrer y 1 1. Til 5 svrer y 8. D smmenhängen er lineär, er den ségte ligning på formen b Dvs.: y y ( ) 16 8 y1 1 1 ( ) Ligningen y viser smmenhängen mellem temperturen i C og overskuddet y i mio. kr. y b, og Alle fire metoder fr rmme 4 kn bruges her. 6. Bestem b i f () = +b ud fr og punkt. Opgve Punktet ( 4, 5) ligger på grfen for funktionen 8 b. Find tllet b. Besvrelse Vi indsätter 4 for og 5 for f () i 8 b og får b. Vi léser denne ligning mht. b og får b. Dvs. b 7. Bestem i f () = +b ud fr b og punkt. Opgve Punktet ( 5, 8) ligger på grfen for smmenhängen 18. Find tllet. Besvrelse Vi indsätter 5 for og 8 for f () i 18 og får Vi léser denne ligning mht. og får. Dvs. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

17 8. Bestem og b i y b ud fr to punkter. 8. Opgve Punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) smmenhängen y b. Udregn tllene og b. Metode 1: Vi sätter ind i formler for og b Af, y ) (4, ) og, y ) (7, 4) ( 1 1 ( får vi Metode : Vi léser ligningssystem med elektronisk hjälpemiddel ligger på grfen for Punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) ligger på grfen for y b, så 4 b og 4 b Nspire léser dette ligningssystem mht. og b og får og b 16 Metode : Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler 7 Punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) ligger på grfen for y b, så b 4 og 7 4 b Vi dividerer héjre ligning med venstre: 7 4 b 4 b NÅr vi forkorter de to bréker, får vi 8 så b dvs. y y y Vi indsätter denne värdi f i ligningen b og får b 4 Ved t dividere begge sider med får vi b 4 så b 16 Metode 4: Vi bruger eksponentiel regression Nspire lver eksponentiel regression på punkterne (, (4, ) og (, (7, 4) og får og b 0, b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: og b 0, 1875 eller sådn: og d b 16 Hvis der står t vi skl finde forskriften f or f, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0, eller sådn: Nspire: 16 Oplysningen om de to punkter er nogle gnge skrevet sådn: f (4) = og f (7) = GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

18 9. Bestem og b i y = b ud fr to punkter givet ved tekst. Opgve En plntes vägt kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen y = b hvor y er vägt i kg, og er År efter udplntning. Efter År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Udregn og b. Svr Der står: Efter Ér er vägten 1,60 kg. Efter 5 Ér er vägten 4,10 kg. Dvs. NÅr = er y = 1,60. NÅr =5 er y = 4,10. Vi indsätter punkterne ( 1, y1) (, 1,60) og (, (5, 4,10) og b og lder Nspire udregne udtrykkene: i formlerne for Dvs.. = 1,68. og.b = 0, Bestem b i f () = b ud fr og punkt. Opgve Svr Punktet (, 6) ligger på grfen for funktionen f () = b. Find tllet b. NÅr vi indsätter for i forskriften, så er resulttet 6, dvs. b = 6. Nspire léser ligningen b = 6 mht. b og får b = Bestem i f () = b ud fr b og punkt. Opgve Svr Punktet (, 40) ligger på grfen for funktionen f () = 5. Find tllet. NÅr vi indsätter for i forskriften, så er resulttet 40, dvs. 5 = 40. Nspire léser ligningen 5 = 40 mht. og får =. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

19 . b og be k. 0. Regel Vi kn skrive en eksponentiel forskrift på to måder: b og Vi kn omskrive fr den ene måde til den nden ved hjälp f formlen: e be k k 0b. Opgve Skriv 00, 76 på formen k be. Svr e k 0,76 Nspire léser denne ligning mht. k og får k 0, e k 0e 0,74 Nspire: Almindeligt e kn ikke bruges! 0c. Opgve Skriv,8 e 1,4 på formen b. Svr e k 1,4 e Nspire udregner héjre side og får 4, 055.,8 4, 06. Bestem og b i y b ud fr to punkter.. Opgve Punkterne (, (, 5) og (, (, 7) y b. Udregn tllene og b. Metode 1: Vi léser ligningssystem med elektronisk hjälpemiddel Punkterne (, (, 5) og (, (, 7) 5 b og 7 b Nspire léser dette ligningssystem mht. og b og får 0,8984 og b, 8195 ligger på grfen for smmenhängen ligger på grfen for Nspire: Oplysningen om de to punkter er nogle gnge skrevet sådn: f () = 5 og f () = 7. y b, så Metode : Vi bruger potensregression Nspire lver potensregression på punkterne (, (, 5) og (, (, 7) 0,8984 og b, 8195 og får b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0,8984 og b, 8195 Hvis der står t vi skl finde forskriften for f, så skl vi skrive konklusionen sådn:,8195 0,8984 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

20 Fordoblings- og hlveringskonstnt 4. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt. 4. OplÄg Tbellen viser hvordn héjden f en plnte er vokset eksponentielt. I tbellen ser vi: Antl uger efter kéb: HÉjde i cm: uge efter kébet er héjden 15 cm. uger senere er héjden 0 cm, som er det dobbelte f 15 cm. uger efter kébet er héjden 19 cm. uger senere er héjden 8 cm, som er det dobbelte f 19 cm. Unset hvornår vi strter, så vil der gå uger fér héjden er fordoblet. Mn siger t héjdens fordoblingskonstnt er uger. 4b En eksponentielt voksende smmenhäng hr en fordoblingskonstnt T. NÅr -värdien bliver T enheder stérre, så bliver y-värdien fordoblet. 4c En eksponentielt ftgende smmenhäng hr en hlveringskonstnt T1. NÅr -värdien bliver T1 enheder stérre, så bliver y-värdien hlveret. 4d. Eksempel T = 7, dvs. y (séjlehéjden) fordobles når bliver 7 stérre : y : 1, ,5 T = e. Eksempel T Ñ = 4, dvs. y (séjlehéjden) hlveres når bliver 4 stérre : 6 10 y : 8,4 4,,1 1,05 Ñ Ñ Ñ 8,4 4,,1 T Ñ =4 1, GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

21 5. AflÄs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf. Opgve (hlvering) Figuren viser grfen for en eksponentielt ftgende smmenhäng. Hvd er hlveringskonstnten for denne smmenhäng? Besvrelse Resulttet bliver det smme unset hvilken -värdi vi strter med. Vi kn f.eks. strte med 1: NÅr 1 er y, 1 (se figur) Det hlve f,1 er,1 1, 55. y er, 7 NÅr 1, 55 (se figur) For t hlvere y skl vi ltså Ége med,7 1, 7 så hlveringskonstnten er,7. BemÄrkning (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kn fordoblingskonstnten fläses på nästen smme måde: Vi finder to grfpunkter hvor y-koordinten til det ene er gnge y-koordinten til det ndet. Forskellen på de to punkters -koordinter er fordoblingskonstnten. 6. Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift. For funktionen b gälder: 6. Regel Hvis f er voksende ( 1 ), er 6b. Regel Hvis f er ftgende ( 0 1 ), er For funktionen be k gälder: 6c. Regel Hvis f er voksende ( k 0 ), er 6d. Regel Hvis f er ftgende ( k 0 ), er 6e. Eksempel Hvis 6f. Eksempel Hvis 6g. Eksempel Hvis 6h. Eksempel Hvis ln() T ln( ) ln( 1 ) T1 ln( ) T T 1 ln() k ln( 1 ) ln() 1,5 1, 06 er T 11,454 11, ln(1,06) ln( , 85 er ) T 4,650 4, 7 1 ln(0,85) 0,5 ln() 0,6 e er T,7759, 77 0,5 1, ln( 1,08 e er ) T1 0,519 0, 5 1, k GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

22 7. Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortäller. Opgve Der er en eksponentiel smmenhäng y b = längden (i cm) y = omkredsen (i cm) Vi hr fået t vide t fordoblingskonstnten er 7. Hvd fortäller dette om längde og omkreds. mellem de vrible Besvrelse At fordoblingskonstnten er 7 betyder: Dvs: NÅr -värdien bliver 7 enheder stérre, så bliver y-värdien fordoblet. NÅr längden bliver 7 cm stérre, så bliver omkredsen fordoblet. Hvis vi i stedet hvde fået t vide t hlveringskonstnten er 7 ville svret väre NÅr längden bliver 7 cm stérre, så bliver omkredsen hlveret. 8. Udregn y-värdier med T og T Ç. 8. Opgve Om en eksponentiel funktion f er oplyst t f (4) = 9 og t T =. Udregn f (10). Besvrelse + + : f (10) = 6 f (): b. Opgve Om en eksponentiel funktion f er oplyst t f ( 0) 1 og t hlveringskonstnten er 1. Udregn f (). Besvrelse f (1) 1 6, f () 6 og f () 1, 5. f ( ) 1,5 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

23 Proportionle og omvendt proportionle vrible 9. Proportionle vrible. 9. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis 9b. Opgve y er proportionl med y k og k er det smme tl for lle värdier f. De to vrible og y er proportionle. Tbellen viser nogle smmenhérende värdier f og y. Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? Besvrelse Udregne k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y k. I tbellen ser vi t når 4 er y 18. Dette indsätter vi i (1): 18 k 4 Denne ligning léser vi mht. k og får 0,75 k Dette tl indsätter vi i (1) og får ligningen for smmenhängen mellem og y: () y 0, 75 Udregne y : For t finde y når er 10, sätter vi til 10 i (): y 0,7510 Herf får vi y 7, 5 så y er 7,5 når er y I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k férst, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn lése ligningen ved t dividere begge sider med 4. Udregne : For t finde når y er 15, sätter vi y til 15 i (): 15 0, 75 Vi léser denne ligning mht. og får 0 så er 0 når y er 15 Vi kn lése ligningen ved t dividere begge sider med 0,75. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

24 40. Omvendt proportionle vrible. 40. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis y er omvendt proportionl med k y og k er det smme tl for lle värdier f. 40b. Opgve De to vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 6 y 9 6 Besvrelse Udregne k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y. I tbellen ser vi t når 1 er y 6. Dette indsätter vi i (1): 6 k 1 Vi léser denne ligning mht. k og får 7 k Dette tl indsätter vi i (1) og får ligningen for smmenhängen mellem og y: () Udregne y : y 7 For t finde y når er 6, sätter vi til 6 i (): 7 y 6 Herf får vi y så y er når er 6 I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k férst, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn lése ligningen ved t gnge begge sider med 1. Udregne : For t finde når y er 9, sätter vi y til 9 i (): 7 9 Vi léser denne ligning mht. og får 8 så er 8 når y er 9 Vi kn lése ligningen ved férst t gnge begge sider med og derefter t dividere begge sider med 9. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

25 41. Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle. Opgve PÅ en skärm er et rektngel som vi kn Ändre ved t träkke med musen. HÉjde og bredde er omvendt proportionle. HÉjden er,5 når bredden er 8 Hvd er héjden når bredden er,? Besvrelse Vi klder héjden for h og bredden for b. Udregne k : D h er omvendt proportionl med b, findes et tl k så k h b D h, 5 når b 8 må k,5 8 Vi gnger begge sider med 8 og får k 0, dvs. (1) Udregne h : h 0 b Vi sätter b, i (1): h 0, Herf får vi h 6, 5 så héjden er 6, 5 når bredden er, 4. Proportionl/omvendt proportionl med udtryk. 4. Opgve En vribel y er proportionl med kvdrtet på en vribel. Bestem en forskrift for y som funktion f. Besvrelse "Kvdrtet på " er " ". At y er proportionl med noget, betyder t y er lig en konstnt k gnge dette noget. Dvs. y = k. 4b. Opgve En vribel V er omvendt proportionl med en vribel i. potens. Skriv en formel der ngiver V udtrykt ved. Besvrelse At V er omvendt proportionl med noget, betyder t V er lig en konstnt k divideret med k dette noget. Dvs. V =. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

26 Logritmefunktioner 4. Nturlig logritme og titlslogritme. Funktionen ln() hedder den nturlige logritmefunktion. Funktionen log() hedder titlslogritmefunktionen. Funktionerne ln() og log() er på Nspire. Logritmereglerne: ln( b) ln( ) ln( b) log( b) log( ) log( b) ln( ) ln( ) ln( b) log( ) log( ) log( b) b b ln( ) ln( ) log( ) log( ) ln( 1) 0 log( 1) 0 ln(e) 1 log( 10) 1 Grfer: ln log DefinitionsmÄngden for ln og log er de positive tl, dvs. lle positive tl kn indsättes for. Eksempler pé brug f logritmereglerne: ln(e 4 ) 4 ln(e) ln(e ) log( 1000) log(10) log(10) 1 10 log( 10) log(0,1) log( ) log(1000) 0,1 log( 5) log() log(5 ) log(10) 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

27 Beviser 44. Bevis for hvd og b i y = +b fortäller. SÄtning For en lineär smmenhäng y b gälder: Bevis for NÅr vi lägger 1 til, så lägges til y. 44b. NÅr =0, er y=b. +1 : t t+1 +b : t+b (t+1)+b = t+1 + b Vi gnger ind i prentes. = t+ + b gnge 1 er. FÉrste klder vi t. Andet er 1 stérre. FÉrste y får vi ved t indsätte t for i +b og ndet y får vi ved t indsätte t+1 for i +b = t+b + Dette er férste y plus, så 44 er bevist! Bevis for 44b Om y b gälder: NÅr =0 er y = 0+b = 0+b = b, så 44b er bevist! 45. Bevis for hvd og b i y = b fortäller. SÄtning For en eksponentiel smmenhäng y b gälder: 45. NÅr vi lägger 1 til, så gnges y med. 45b. NÅr =0, er y=b. Bevis for FÉrste klder vi t. Andet er 1 stérre. : t t+1 FÉrste y får vi ved t indsätte t for i b og b : b t b t+1 ndet y får vi ved t indsätte t+1 for i b Bevis for 45b Om = b t 1 IfÉlge potensreglen r+s = r s. = b t IfÉlge potensreglen 1 =. Dette er férste y gnge, så 45 er bevist! y b gälder: NÅr =0 er y = b 0 = b1 = b, så 45b er bevist! 46. Bevis for reglen om potensväkst. SÄtning Bevis Om en potenssmmenhäng y b gälder for et positivt tl k: 46. NÅr bliver gnget med k, så gnges y med k. k : t tk b : bt b(tk) FÉrste klder vi t. Andet er k gnge férste. FÉrste y får vi ved t indsätte t for i b og ndet y får vi ved t indsätte tk for i b. = bt k IfÉlge potensreglen (b) r = r b r. Dette er férste y gnge k, så 46 er bevist! GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

28 47. Polynomier og rédder. Polynomier 47. Polynomier Et férstegrdspolynomium er en funktion f typen Et ndengrdspolynomium er en funktion f typen Et tredjegrdspolynomium er en funktion f typen Osv. b hvor 0. b c hvor 0. b c d hvor 0. 47b. Nulpunkter og rçdder Hvis vi i b c sätter 1, b og c 5, får vi 4 ndengrdspolynomiet f f ) 1 5 ( 4 Til héjre hr vi tegnet grfen for dette ndengrdspolynomium. PÅ grfen ser vi t hvis vi sätter 4 ind for i forskriften og regner ud, så får vi y-värdien. PÅ grfen ser vi også t hvis vi sätter 10 ind for og regner y-värdien ud, så får vi 0. Et tl kldes et nulpunkt for f hvis vi får 0 når vi indsätter tllet for i forskriften og regner ud. Et nulpunkt kldes også en rod. At finde rédderne er det smme som t lése ligningen PÅ grfen ser vi t rédderne er og 10. Hvis vi léser ligningen 5 0, så får vi ltså lésningerne og c. Opgve ( 1 4 Vis t 10 er rod i polynomiet f ) 5. Besvrelse f (10) D f ( 10) 0, er 10 rod d. Regel om ntl rçdder, ntl fällespunkter med -kse og ntl lçsninger Et polynomium f grd n kn héjst hve n rédder. Eksempel Et tredjegrdspolynomium kn ikke hve mere end rédder. Grfen for et tredjegrdspolynomium kn héjst hve punkter fälles med -ksen. En tredjegrdsligning kn héjst hve lésninger. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

29 48. Andengrdspolynomium. Andengrdspolynomier 48. Et ndengrdspolynomium er er en funktion f typen (1) b c hvor 0 Hvis vi skriver 0 på 's plds, så bliver det ikke et ndengrdspolynomium d forsvinder. 48b. Eksempel Hvilke tl er, b og c lig? Vi sätter 1 b c 0 i b c og får 1 ( ) 0 så er et ndengrdspolynomium. I dette og ndre ndengrdspolynomier skl vi kunne se hvd, b og c er for t kunne indsätte i formler med, b og c. 49. Toppunkt. 49. Grfen for et ndengrdspolynomium b c, 0 er en prbel. Grfens toppunkt hr -koordinten b T f T 49b. Eksempel Udregn toppunkt Vi ser t 0,4 1,,4 b c og 0, 4 b 1, c, 4 Toppunktets -koordint er b ( 1,) T 1,5 ( 0,4) Toppunktet ligger på grfen og hr -koordinten 1, 5 så y-koordinten er y T 0,4 ( 1,5) Vi udregner héjresiden og får y T 4, 1, ( 1,5),4 Toppunktet er T (1,5, 4,) f GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

30 50. Diskriminnt. 50. Diskriminnten for et ndengrdspolynomium b c, 0 er tllet d b 4c 50b. Eksempler Udregn diskriminnten d 50c. 5 er på formen b c og b 1 c 5 d b 4c ( 1) d. er på formen b c og 1 b c d b 4c 41 ( ) 4 4 ( ) 4 ( 1) Betydning f, b, c og d for grfen. b c, 0 d er diskriminnten : positiv: grene vender op negtiv: grene vender ned prblen er bredere når er tättere på nul 0,5 1 b : b er häldningskoefficient for tngent til grf i skäringspunkt med y-kse b positiv: b nul: b negtiv: grf går op mod héjre i skäring med y-kse grfs toppunkt er på y-kse grf går ned mod héjre i skäring med y-kse b 0 l f c : Grf skärer y-kse i punktet (0, c) c positiv: grf skärer y-kse over -kse c nul: grf går gennem punktet (0, 0) c negtiv: grf skärer y-kse under -kse l er tngent til f-grfen i dennes skäringspunkt med y-ksen. b er lig l 's häldningskoefficient. c 0 c 0 d : d positiv: grf hr to punkter på -kse d nul: grf hr át punkt på -kse d negtiv: grf hr ingen punkter på -kse d 0 d 0 d 0 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

31 5. Nulpunkt. 5. At et tl er nulpunkt for en funktion betyder t når vi indsätter tllet for i forskriften og regner ud, så får vi nul. Ordet nulpunkt er misvisende. Et nulpunkt er IKKE et punkt. Et nulpunkt er et tl. 5b. Eksempel Nulpunkt At 1,5 er nulpunkt for betyder t 1,5 1,5 Dette er det smme som t 0 1,5 er lésning til ligningen 0 og det smme som t grfpunktet med -koordint 1, 5 ligger på -ksen. f 0 og 1,5 er nulpunkter for f 5. Antl nulpunkter eller lésninger. 5. f ) b c (, 0 d er diskriminnten Der gälder t ntllet f nulpunkter for ndengrdspolynomiet b c dvs. ntllet f lésninger til ndengrdsligningen b c 0 er hvis d 0 1 hvis d 0 0 hvis d 0 5b. Eksempel Antl nulpunkter eller läsninger Vi vil bestemme tllet k så ndengrdsligningen k 0 hr netop án lésning. Ligningen er på formen b c 0 med k, b, c, så diskriminnten er d b 4c ( ) 4k 4 1k Vi vil finde ud f hvornår der er án lésning, dvs. vi vil finde ud f hvornår d er 0: 4 1k 0 er ensbetydende med t Ligningen k 0 k 1 hr netop án lésning når k 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

32 54. LÉs ndengrdsligning. 54. En ndengrdsligning b c 0, 0 kn vi lése sådn: FÉrst udregner vi diskriminnten: d b 4c SÅ bruger vi félgende regel: Hvis d 0 Hvis d 0 hr ligningen ingen lésninger. b hr ligningen lésningen Hvis d 0 BemÄrkning hr ligningen lésningerne BÅde når d 0 og d 0 b d er lésningerne b d og b d Formlen for t lése ndengrdsligninger. 54b. Eksempel LÄs ndengrdsligning Ligningen 1 er f typen b c 0 0 med, b og c 1 Diskriminnten er d b 4c ( ) 4 ( 1) 16 D d > 0 hr ligningen lésningerne b d ( ) b d ( ) Konklusion: Ligningen 1 0 hr lésningerne 1 og 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

33 55. Ligninger f typen = r. 55. OplÄg Ligninger f typen = r NÅr er 9 NÅr er ( ) ( ) 9 9 netop når eller 55b. Regel for t läse ligninger f typen = r NÅr n er negtiv: = n hr ingen lésninger d et tl gnget med sig selv ikke kn give noget negtivt ( + + = +, 0 0 = 0, = + ). = 0 hr lésningen = 0. NÅr p er positiv: = p hr to lésninger: eller p p d kvdrtroden f p er det tl som gnget med sig selv giver p. 55c. Eksempel Ligninger f typen ( udtryk ) = r Vi vil lése ligningen ( ) 9 Af regel 55b får vi 9 eller 9 eller dvs. 5 eller 1 55d. Eksempel Andengrdsligning uden -led NÅr en ndengrdsligning ikke hr noget -led, kn vi lése den ved t omskrive og bruge regel 55b: eller GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side Krsten Juul

34 56. Bevis for formlen for lésning f ndengrdsligninger. ( b) () b b (1) ( b) 4 b 4b ifélge formlen Her hr vi omskrevet héjre side ( u v) u v uv Vi omskriver ndengrdsligningen: I ligningen b c 0, 0 gnger vi begge sider med 4 : 4 b c 4 0 Vi gnger ind i prentesen: 4 4b 4c 0 Vi lägger diskriminnten d b 4c til begge sider: 4 4b 4c b 4c 0 b 4c Vi reducerer: 4 Af (1) får vi ( b) 4b b d d Vi bruger nu de tre dele f 55b: Hvis d 0 : ( b) d hr ingen lésninger Hvis d 0 : ( b) b b Hvis d 0 : ( b) b 0 b b Nu hr vi bevist lle tre dele f reglen i rmme 54. d 0 d d d GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, udgve Side 015 Krsten Juul

35

36 A ndengrdsligning...0 ndengrdsligning uden -led...1 ndengrdsligning, bevis... ndengrdsligning, lésninger...0 ndengrdspolynomium...7 ndengrdspolynomium, grf...8 B bevis...5, D diskriminnt...8, 9, 0 E eee...17, 19, 4 eksponentiel funktion...5 eksponentiel grf...8 eksponentiel regression...11, 16 eksponentiel väkst...5 eksponentiel, bestem forskrift/ligning6, 15, 16 eksponentiel, fortäller...6 F fordoblingskonstnt...18, 0 fordoblingskonstnt, fläs...19 fordoblingskonstnt, formel...19 fordoblingskonstnt, fortäller...0 fremskrivningsfktor..., 5 G gennemsnitlig procent... grf...8, 4, 8 H hlveringskonstnt...18, 0 hlveringskonstnt, fläs...19 hlveringskonstnt, formel...19 hlveringskonstnt, fortäller...0 K kvdrtet på... L lineär funktion... lineär grf...8 lineär regression...9 lineär väkst..., 5 lineär, bestem forskrift/ligning...4, 1, 14 lineär, fortäller...4 logritme...4 logritmefunktion, grf...4 logritmeregler...4 lésning...0 lésninger, ntl...6, 9 N nturlig logritme...4 nulpunkt...6, 9 nulpunkter, ntl...6, 9 O omvendt proportionl..., omvendt proportionl med udtryk... P polynomium...6 potens, bestem forskrift/ligning...17 potensfunktion...7 potensfunktion, procentändring...7, 5 potensgrf...8 potensregression...1 potensväkst...7, 5 procent...1, 6, 7 procent, gennemsnitlig... proportionl...1, proportionl med udtryk... R regression, eksponentiel...11 regression, lineär...9 regression, potens...1 regression, Årstl...9, 11 rod...6 rédder...6 rédder, ntl...6, 9 T titlslogritme...4 toppunkt...7 V väkstrte...

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr www.mt1.dk. Siderne mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere