ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 - hvad er det nu lige det er?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 - hvad er det nu lige det er?"

Transkript

1 ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 - hvad er det nu lige det er? Anna B.O. Jensen Informatik og Matematisk Modellering Danmarks Tekniske Universitet Til praktisk brug er ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 næsten det samme, og hvis man arbejder med absolut GPS, og er tilfreds med positionsnøjagtigheder på 1 2 meter, eller hvis man arbejder med fase-differentiel GPS over korte afstande (< 50 km), er der ingen grund til at bekymre sig om forskellen, men blot arbejde ud fra antagelsen om at de fire koordinatsystemer er det samme. Hvis man derimod arbejder med fase-differentiel GPS-positionering og ønsker nøjagtigheder på få cm eller mm med længere afstande mellem reference og rover, kan man have glæde af at være bevidst om forskellen mellem de fire systemer. Baggrund I forbindelse med introduktionen af GPS til landmåling og positionsbestemmelse med nøjagtigheder på få cm opstod behovet for et nyt referencesystem i Danmark. Det eksisterende System 34, fra 1930 erne, og ED50, fra 1950 erne, er i Danmark begge realiseret i kraft af observationer mellem fundamentalstationer i det gamle 1.ordens triangulationsnet. Observationerne er udført med den teknik, der på det tidspunkt var bedst mulig, og koordinatsystemerne levede ved deres introduktion fuldt op til datidens krav til referencesystemer. Med GPS kom et redskab til positionering der var mere nøjagtigt over længere afstande end de eksisterende metoder, og de eksisterende referencesystemer var derfor ikke nøjagtige nok. Samtidig var der behov for et 3D referencesystem, da GPS er en tre-dimensionel observationsmetode. Der var altså behov for dels et mere nøjagtigt referencesystem, og dels et system der var defineret i tre dimensioner. Dette behov var ikke kun tydeligt i Danmark, men også i resten af verden efterhånden som GPS blev taget i brug i de enkelte lande. Kort & Matrikelstyrelsen (KMS) er den nationale danske myndighed, der har ansvaret for at udvikle og realisere geodætiske referencesystemer til kortlægning, opmåling og positionering i Danmark, og det var derfor også KMS opgave at introducere et nyt referencesystem i denne sammenhæng. I KMS begyndte arbejdet i slutningen af 1980 erne, og arbejdet i Danmark er foregået stort set samtidig med lignende tiltag i resten af Europa. I Danmark har man indført European Terrestrial Reference System, ETRS89 (også kaldet EUREF89), der en europæisk udgave af det internationale ITRS (International Terrestrial Reference System). I dette notat starter fortællingen derfor oppefra med at beskrive ITRS inden vi bevæger os ned på europæisk plan, for til sidst at ende i Danmark. Derefter beskrives det amerikansk udviklede WGS84 og dets relation til de øvrige systemer, og til sidst kommer nogle bemærkning om praktisk anvendelse af de forskellige systemer. Anna Jensen, DTU Side 1 August 2004

2 Om begreberne I herværende skrift anvendes begreberne koordinatsystem, referencesystem og referenceramme. For at lette læsning af skriftet forklares forskellen mellem de tre begreber indledningsvis. Koordinatsystem er en generel betegnelse for et system der kan anvendes til angivelse af positioner. Her skelnes ikke mellem om det er globalt eller regionalt, hvilket formål der har været med definition af systemet eller hvilken definitionsnøjagtighed det har. Begrebet referencesystem anvendes her i betydningen et geodætisk referencesystem, og begrebet kommer direkte af det engelske reference system. Et referencesystem består af en beskrivelse af jordens placering i verdensrummet, og i definitionen af systemet indgår yderligere definitionen af en referenceellipsoide, en global tyngdefeltsmodel samt en række fysiske parametre f.eks. jordens omdrejningshastighed og masse. En geodætisk referenceramme er en fysisk realisering af et geodætisk referencesystem. En referenceramme gør det muligt at anvende referencesystemet i praksis. Det vil sige, at referencerammen består af en række punkter (fikspunkter), hvis positioner er bestemt i det givne referencesystem. Referencerammen er noget fysisk, man kan røre ved punkterne der indgår i referencerammen, hvorimod referencesystemet er abstrakt, og det eksisterer kun på papiret i kraft af definitionen. De punkter der indgår i en referenceramme er typisk fikspunkter, der indgår i et referencenet. Her er det dog vigtigt at være opmærksom på at de punkter der indgår i referencerammen er med til at definere den, mens et referencenet, der anvendes i praksis, kan være en fortætning af de punkter der indgår i referencerammen. F.eks. vil et globalt referencesystem bliver realiseret i form af en global referenceramme. Denne kan så fortsættes med en række punkter i Danmark, hvorved vi opnår et dansk referencenet, der er fastlagt i forhold til den globale referenceramme. Positioner til punkterne i det danske referencenet er dermed koordineret i det globale referencesystem, selv om der ikke er punkter i Danmark, der indgår i definitionen af systemet som en del af referencerammen. Det globale polyhedron International Terrestrial Reference System (ITRS) er et globalt referencesystem. Inden en nærmere beskrivelse af ITRS skal vi se på et par geofysiske problemstillinger: Jorden er i fysisk forstand ikke et stift legeme, men et elastisk legeme, hvis form ændres ved påvirkning fra indre og ydre kræfter. F.eks. deformeres jorden af månens tiltrækningskraft (tidejord). Som konsekvens heraf er jordens omdrejningsakse hele tiden i bevægelse, da jorden er påvirket af ydre kræfter mens den drejer rundt. Da jorden er elastisk og hele tiden er i bevægelse, betyder det, at jordoverfladen også hele tiden er i bevægelse, den er dynamisk. De tektoniske plader, der udgør jordens overflade, bevæger sig i forhold til hinanden. Når de støder sammen opstår der bl.a. jordskælv, der giver en meget kraftig og pludselig ændring af jordoverfladens form, som yderligere påvirker jordoverfladens dynamik. Formålet med en referenceramme er primært at beskrive jordens form, således at vi kan bestemme vores position i forhold til andre positioner på jorden. Når jordoverfladen er dynamisk, medfører Anna Jensen, DTU Side 2 August 2004

3 det, at også referencerammerne må være dynamiske for at kunne give et tilfredsstillende billede af jordoverfladen. Princippet med den globale polyhedron, som beskrevet af Yehuda Bock (1996), kan måske hjælpe med forståelsen af dette. De punkter der indgår i en global referenceramme kan bindes sammen af linier og flader, hvorved vi får en mange sidet og mange kantet figur et polyhedron. Jo flere punkter (eller hjørner) der indgår i figuren, og jo bedre de er fordelt over jordoverfladen, des bedre bliver polyhedronet som model for jordens faktiske form. Når vi har et sæt kartesiske X, Y, Z koordinater til en række punkter, der indgår i en global referenceramme, kan vi forbinde alle disse punkter og få en tre-dimensionel figur, der giver et billede af jordens form på det tidspunkt koordinater til punkterne blev bestemt. Når jordoverfladens form efter noget tid er ændret, vil polyhedronet stemme dårligere overens med jordoverfladens faktiske form. Det vil så være nødvendigt at lave en ny referenceramme, det vil sige bestemme nye koordinater til alle punkterne i referencerammen, da punkterne flyttes, når jordens overflade ændres. Med den nye referenceramme får vi et nyt polyhedron, der stemmer bedre overens med jordens faktiske form. ITRS og ITRF The International Earth Rotation Service (IERS) har det overordnede ansvar for at definere internationale realiseringer af astronomiske og terrestriske referencesystemer, og IERS står bag f.eks. the International Terrestrial Reference System (ITRS), som i dag anses for at være det bedste referencesystem, der hidtil er defineret. ITRS bliver realiseret i form af en række referencerammer (ITRF International Terrestrial Reference Frames), der opdateres, når det findes nødvendigt. Karakteristika for ITRS er at der arbejdes med et retvinklet kartesisk koordinatsystem med origo i jordens massemidtpunkt. GRS80 ellipsoiden (Moritz, 2000) er valgt som referenceellipsoide, og den er placeret i koordinatsystemet så dens origo er sammenfaldende med origo for det kartesiske koordinatsystem. Enheden for alle akser er defineret ved SI-enheden meter. Den første realisering af ITRS var ITRF88 og den seneste er ITRF2000. Omregning mellem koordinater givet i forskellige versioner af ITRF foretages ved anvendelse af en ligedannethedstransformation (også kaldet en 3D Helmert transformation). De syv transformationsparametre, og deres hastighedskomponenter, bestemmes af IERS ved at sammenholde de forskellige ITRF-løsninger. Omregningsproceduren er beskrevet bl.a. i Boucher og Altamini (2001) og i Boucher og Altamini (1996). Koordinater kan omregnes mellem de forskellige referencerammer f.eks. fra ITRF2000 til ITRF94, men der kan også via transformations-parametrenes hastigheder omregnes fra den oprindelige tidsepoke (det tidspunkt hvor referencerammen blev defineret) til et aktuelt tidspunkt. Koordinater kan således omregnes fra for eksempel ITRF2000 epoke 1. september 2001 til ITRF94 epoke 1. januar Transformationsparametrenes hastigheder giver et billede af, hvor meget jordoverfladen har bevæget sig, siden referencerammen blev defineret. Nogle af punkterne i referencerammen flytter sig med op til 10 cm om året (Boucher og Altamimi, 1996). Ønsker man få cm s nøjagtighed i transformationen, skal hastighederne således tages i betragtning, når man arbejder med differentiel GPS og de to modtagere er placeret så langt fra hinanden, at de ikke bevæger sig med samme hastighed (typisk hvis de er placeret på to forskellige kontinentalplader). Anna Jensen, DTU Side 3 August 2004

4 Eventuelle lokale bevægelser indgår ikke i de globale hastighedsmodeller, og en fast monteret GPSreferencestation, f.eks. i et dansk havneområde hvor undergrunden typisk er blød og ustabil, vil have en vis egenbevægelse, som man selv må holde øje med og korrigere for, for at undgå, at fejl i referencestationens koordinater forplanter sig til roveren. ETRS89 I 1987 vedtog man under et møde i den internationale geodætiske organisation, at indføre et nyt referencesystem i Europa til afløsning for ED50 (European Datum af 1950). ITRS var på dette tidspunkt beskrevet, og man besluttede at det nye europæiske system skulle tage udgangspunkt i ITRS. Derfor er ETRS defineret med udgangspunkt i den samme placering af koordinatsystemets origo og de samme fysiske størrelser som ITRS. Men realiseringerne af ETRS adskiller sig fra ITRF som beskrevet i det følgende. Den første realisering af ETRS blev introduceret i 1990, og blev kaldt European Terrestrial Reference Frame, ETRF. Denne realisering tog udgangspunkt i ITRF89-koordinater til alle de ITRF-punkter der lå i Europa, og derfor kan ETRF89 ses som en mindre del af ITRF89, og koordinater bestemt med udgangspunkt i de to referencerammer er identiske (Adam et al. 1999). ETRS er fastlåst til den europæiske kontinentalplade, og da den europæiske kontinentalplade bevæger sig med ca. 2,5 cm/år, bevæger ETRF sig væk fra den globale ITRF løsning i takt med kontinentalpladen (Adam et al. 1999). ETRS er blevet realiseret et antal gange via forskellige forbindelser til ITRF. Den første realisering var som nævnt ETRF89 og den sidste er ETRF2000. Nye referencerammer med få års mellemrum er meget uhensigtsmæssigt til opmåling, kortlægning og anden form for geoinformatik, og man har derfor på europæisk plan lagt sig fast på at anvende ETRS, realiseret ved de koordinater som punkterne i ETRF89 havde den 1. januar For at understrege tidspunktet for definitionen anvendes ofte betegnelsen ETRS89. Gennem 1990 erne er ETRS89 med udgangspunkt i en anbefaling fra EUREF-kommissionen, blevet introduceret i de fleste europæiske lande, som det referencesystem der anvendes til kortlægning og opmåling. På et tidspunkt vil de interne deformationer på den europæiske kontinentalplade være blevet så store, at det vil være nødvendigt at indføre en ny referenceramme, men der vil gå adskillige år før det sker. ETRS89 i Danmark I Danmark blev ETRS89 introduceret med udgangspunkt i en opmålingskampagne i 1994 hvor seks punkter i Danmark blev koordineret i forhold til stationer der indgår i ETRF. Disse seks danske stationer er siden blevet fortættet til ca. 100 stationer, det såkaldte REFDK-net. Introduktionen af ETRS89 og REFDK i Danmark er beskrevet af Bo Madsen (2001). Beregningsteknisk set er ETRS89 introduceret i Danmark via ETRF92. Den oprindelig opmåling, der blev foretaget i 1994, blev regnet med præcise satellit positioner og koordinater til de internationale referencestationerne, der var givet i ITRF92. Dermed blev koordinaterne for de danske stationer oprindelig beregnet i ITRF92, hvorefter de blev omregnet til ETRF92 med Anna Jensen, DTU Side 4 August 2004

5 hensyntagen til hvordan den europæiske kontinental-plade havde bevæget sig siden 1989, hvor ITRF og ETRF var identiske. Afslutningsvis blev koordinaterne til de danske stationer tilbageført til epoke 1989,0 med hensyntagen til bevægelser i jordoverfladen der har fundet sted fra 1. januar 1989 til observationstidspunktet i september 1994 (Fankhauser og Gurtner, 1995). REFDK-nettet er siden blevet fortættet, så der er i dag er ca. 900 punkter der er koordineret i ETRS89. Hermed er ETRS89 blevet introduceret og udbredt i Danmark, så det overalt i landet er muligt at placere en GPS-referencestation i et punkt, der er koordineret i ETRS89 i nærheden af det område, hvor man skal arbejde. Begrebet EUREF89 (European Reference) ses ofte anvendt som betegnelse for ETRS89. Begrebet kommer fra den oprindelige opmålingskampagne som EUREF-kommissionen igangsatte i 1989 for at få fastlagt ETRS. Det anbefales i dag at man primært anvender begrebet ETRS89, da det tydeligt angiver, hvilket system der er tale om. WGS84 World Geodetic System 1984 (WGS84) er et konventionelt referencesystem, der blev defineret sammen med GPS, således at positioner for GPS-satellitter og GPS-modtagere kunne angives i det samme koordinatsystem. Definitionen og realiseringen af systemet er beskrevet af National Imagery and Mapping Agency, NIMA (2000). WGS84 blev oprindelig realiseret, ved hjælp af TRANSIT 1 i 1987, således at koordinater for fem fysiske stationer blev bestemt i systemet. På daværende tidspunkt var WGS84 et meget nøjagtigt referencesystem, men det blev overgået af ITRS, da det blev introduceret i Den første realisering af WGS84, kaldet WGS84 (G730), blev anvendt frem til 1994, hvor en ny GPS-baseret realisering blev introduceret. Denne var baseret på data fra et antal permanente GPSstationer, inklusive en række IGS-stationer 2, og koordinater til IGS-stationerne blev fastholdt til deres ITRF92 koordinater i beregningen. Herved blev WGS84 stort set identisk med ITRF92. I 1996 blev en ny realisering af WGS84 indført. Den fik navnet WGS84 (G873), og blev defineret ved samme fremgangsmåde som nævnt ovenfor. Denne gang blev IGS-stationerne dog fastholdt til deres ITRF94 koordinater. I januar 2002 kom den seneste realisering af WGS84 (G1150), bestemt efter samme princip som ovenfor, men med fastholdelse af IGS stationerne i ITRF2000. En serie transformationer udført af Merrigan et al. (2002) viser at: "WGS84 stort set er identisk med ITRF2000". Hvis man anvender de officielle omregningsparametre er forskellen mellem ETRS89 i Danmark og ITRF2000 (epoke ), der således svarer til WGS84, ca. 30 cm. 1 TRANSIT, the Navy Navigation Satellite System, var det første egentlige satellitnavigationssystem. TRANSIT var operationelt fra 1964 til 1996 (Misra og Enge, 2001). 2 IGS International GNSS Service er en service organisation under den internationale geodætiske organisation. IGS står bl.a. bag et globalt net af permanente GPS-stationer af meget høj kvalitet. Se IGS' web site for yderligere oplysninger: Anna Jensen, DTU Side 5 August 2004

6 I praksis WGS84 blev defineret som en referenceramme der skulle anvendes i forbindelse med GPS, og derfor er de satellit koordinater, der bestemmes udfra broadcast efemeriderne, som udgangspunkt angivet i WGS84. Når der udføres absolut positionering med GPS ved hjælp af broadcast efemerider vil positionen derfor blive givet i WGS84. Da positionsnøjagtigheden ved absolut GPS er meget ringere end nøjagtigheden af referencesystemet er det dog uden betydning om man i denne sammenhæng ønsker positioner i WGS84 eller ETRS89. Ved differentiel GPS er det mere vigtigt at være opmærksom på, at valg af koordinatsystem for reference og rover skal foretages i relation til hvilket koordinatsystem, der er anvendt til satellitternes positioner. Hvornår er det så vigtigt at tænke over hvilket koordinatsystem man bruger? Som udgangspunkt er det ikke relevant, hvis man arbejder med positionsnøjagtigheder på meter niveau, eller hvis afstanden mellem reference og rover er mindre end ca. 50 km, når man arbejder med differentiel fase GPS. Til gengæld er det yderst relevant hvis man arbejder med geodynamik, som f.eks. kontinentalplade-bevægelser og landhævninger, hvis man arbejder med tidsserier eller referencenet, hvor der bestemmes GPS-positioner til det samme punkt over flere år, eller hvis man arbejder med lange afstande mellem reference og rover. Ved præcis positionsbestemmelse anvendes ikke broadcast efemerider, da deres nøjagtighed kun er ca. 3 meter. I stedet anvendes præcise efterberegnede satellit positioner (precise orbits), der har en nøjagtighed ned til ca. 4 cm. De præcise satellit positioner er bestemt i ITRS, og ved at anvende disse præcise satellit positioner, og koordinater til referencestationer, der også er givet i ITRS til den samme tidsepoke, undgås geometriske spændinger i positioneringen. Derved er der mulighed for at opnå de høje nøjagtigheder, da positionen ikke indeholder restfejl fra en sammenblanding af de forskellige referencesystemer. Høje nøjagtigheder opnås naturligvis kun, hvis de øvrige fejlkilder i systemet er behandlet med tilsvarende omhu. Et bud på om det er nødvendigt at anvende ITRS og præcise satellit positioner kan fås udfra nedenstående tommelfingerregel angivet af f.eks. Leick (1995): db b = dr ρ hvor db er fejl i den bestemte GPS-vektor mellem reference og rover, b er længden af vektoren, dr er samlet fejl i referencestationens og satellittens position, og ρ er afstanden fra satellit til referencestation. Da referencestationens og satellitternes koordinater fastholdes i differentielle GPSberegninger, vil hele unøjagtigheden på vektoren, altså db, komme til udtryk som fejl i roverens position. Leddet dr i ovenstående formel skal ses som summen af unøjagtighed i referencestationens og satellittens koordinater, herunder uoverensstemmelser mellem de koordinatsystemer, der er anvendt til angivelse af de to positioner. (1) Anna Jensen, DTU Side 6 August 2004

7 Et eksempel: Ønsket positionsnøjagtighed for roveren (db): 1 cm Vektorlængde (b): 500 km Gennemsnitlig afstand til satellitterne (ρ): km Dermed bliver størrelsen af leddet dr = 44 cm Hvis man i den givne situation ønsker en positionsnøjagtighed på 1 cm er det således nødvendigt at anvende præcise satellitpositioner, da positionsnøjagtigheden for broadcast baner er meget dårligere end de 44 cm. Dermed er det også implicit nødvendigt at anvende ITRS-koordinater til referencestationen, da der ellers vil opstå geometriske uoverensstemmelser i beregningen. Et andet eksempel: Vektorlængde (b): 500 km Gennemsnitlig afstand til satellitterne (ρ): km Vi anvender præcise satellitpositioner (og dermed ITRS) og referencestationens koordinater har en nøjagtighed på ca. 1 cm. Dermed bliver dr = 4.1 cm Hvis alle andre fejlkilder i systemet antages at være negligible kan der herved opnås en positionsnøjagtighed (db) på 0.9 mm. Hvis vi i stedet anvender ETRS89 til angivelse af referencestationens koordinater (men stadig bruger ITRS til satellittens koordinater) bliver dr 30.3 cm, og den opnåelige positionsnøjagtighed bliver 6.8 mm, altså en væsentlig forringelse, blot fordi der anvendes to forskellige referencesystemer. Ofte vil der i forbindelse med GPS-positionering være andre fejlkilder, der har en langt større indflydelse, hvorved denne øvelse kan synes at være overdrevet. Men hvis man virkelig ønsker de høje positionsnøjagtigheder, må selv den mindste fejlkilde håndteres seriøst Metadata Metadata er data, eller information, om data, og i denne sammenhæng er det nødvendigt at understrege vigtigheden af at metadata altid følger med data, der på en eller anden måde er produceret ved hjælp af GPS. Da der eksisterer så mange forskellige referencesystemer og referencerammer er det vigtigt altid at angive hvilket koordinatsystem givne positioner er angivet i. Derved mindskes risikoen for at der senere i processen opstår fejl som følge af anvendelse af forkerte referencesystemer eller sammenblanding af referencesystemer. Forskellen mellem f.eks. ETRS89 og WGS84 er så lille, at man ikke umiddelbart kan se forskellen ved blot at se på kooordinatværdierne. Man må have information om koordinatsystemet af anden vej. Det anbefales, at man altid opgiver hvilken kortprojektion og hvilket datum eller referencesystem der anvendes. Såfremt koordinaterne er angivet i ITRS eller ETRS er det ligeledes vigtigt at angive hvilken epoke (tidspunkt) der er anvendt. Ved anvendelse af WGS84 bør man også angive tidspunkt for dataindsamling, da WGS84 er en dynamisk referenceramme, i kraft af at det med jævne mellemrum tilpasses ITRS. Ved anvendelse af ETRS89 i Danmark er det ikke nødvendigt med Anna Jensen, DTU Side 7 August 2004

8 yderligere information, da systemet er defineret ved koordinater til de grundlæggende fundamentalstationer. Afslutning og diskussion Eksemplerne i teksten viser at problemstillingen med referencesystemer er irrelevant for de fleste GPS-brugere. For mange brugere kan det til gengæld være relevant at vide, at reference-rammer der anvendes i forbindelse med moderne positioneringsmetoder ikke er noget statisk. Man bør derfor indstille sig på, at der fremover med mellemrum vil blive indført nye koordinatsystemer, og at ændringer i koordinatsystemerne vil have indflydelse på positioner bestemt med nøjagtigheder på cm-niveau. Dette gælder f.eks. for positioner bestemt med RTK, og det er derfor vigtigt, at man som bruger gør sig klart hvilket koordinatsystem der arbejdes i, således at koordinaterne vil kunne omregnes med en tilfredsstillende nøjagtighed, når der næste gang indføres et nyt koordinatsystem. Problemet er således kun aktuelt for meget få GPS-brugere i dag, men der kan forudses problemer den dag koordinaterne skal omregnes til et nyt koordinatsystem, da man som bruger af f.eks. RTK ikke behøver nogen fag-specifik uddannelse og derfor ikke nødvendigvis har nogen viden om koordinatsystemer og deres baggrund. De videregående uddannelsesinstitutionerne har et ansvar for formidling af dette, men de GPS-brugere der ikke har en videregående uddannelse kan ikke nås på den måde, og derfor bør både forhandlere og myndigheder også være bevidst om deres ansvar i denne sammenhæng. Referencer Adam, J., Augath, W., Boucher, C., Bruyninx, C., Dunkley, P., Gubler, E., Gurtner, W., Hornik, H., v.d. Marel, H., Schlueter, W., Seeger, H., Vermeer, M., Zielinski, J.B.: The European Reference System Coming of Age, Juli 1999, Presented at the IUGG/IAG General Assembly, Birmingham, 1999 Bock, Y. (1996). Reference Systems. I GPS for Geodesy. Redigeret af A. Kleusberg og P.J.G. Teunissen. Lecture Notes in Earth Sciences. Springer. Boucher, C. og Altamimi, Z. (1996) International Terrestrial Reference Frame. GPSWorld. Vol. 7, no. 9. Advanstar Publiching, september Boucher, C. og Altamimi, Z. (2001) Memo: Specifications for reference frame fixing in the analysis of a EUREF GPS campaign. Version 5: Memo from Observatoire de Paris, Kan downloades fra: Frankhauser, S. and W. Gurtner, (1995). EUREF-DK94, Denmark EUREF Densification Campaign. Satelliten-Beobachtungsstation Zimmerwald. Bericht nr. 23. Druckerei der Universität Bern Leick, A., (1995) GPS Satellite Surveying. 2nd edition. Wiley Interscience. Anna Jensen, DTU Side 8 August 2004

9 Madsen, F.B. (2001). REFDK- fremtidens referencenet i Danmark. Landinspektøren, nr bind, 110. årgang. Udgivet af Den danske Landinspektørforening, februar Misra, P. og Enge, P. (2001). Global Positioning System - signals, measurements and performance. Ganga-Jamuna Press. Merrigan, J. M., Swift, E. R, Wong, R.F., Saffel, J. T. (2002). A Refinement to the World Geodetic System 1984 Reference Frame. I Proceedings fra the 15th International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GPS 2002). Portland, September Moritz, H. (2000). Geodetic Reference System I The Geodesist's Handbook 2000 editeret af O. B. Andersen. Journal of Geodesy. Vol. 74, no. 1. Springer. National Imagery and Mapping Agency (2000). Department of Defence World Geodetic System Technical Report , 3. edition, amendment 1, January NIMA Stock no. DMATR83502WGS84. Anna Jensen, DTU Side 9 August 2004

Norm for RTK-tjenester

Norm for RTK-tjenester Forslag til norm for RTK-tjenester version v.5 Norm for RTK-tjenester Indholdsfortegnelse 1. Indledning 2. Registrering af RTK-tjenester 3. Koordinatgrundlag 4. Nøjagtighed 5. Integritet 6. Kontinuitet

Læs mere

Statens Luftfartsvæsen Bestemmelser for Civil Luftfart

Statens Luftfartsvæsen Bestemmelser for Civil Luftfart Statens Luftfartsvæsen Bestemmelser for Civil Luftfart BL 3-38 Bestemmelser om anvendelse af geografiske koordinater Udgave 1, 23. januar 1997 I medfør af 52 og 149, stk. 10, i lov om luftfart, jf. lovbekendtgørelse

Læs mere

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,

Læs mere

Vejledning til koordinatberegning udenfor bynære områder i Grønland Finn Bo Madsen, DTU Space

Vejledning til koordinatberegning udenfor bynære områder i Grønland Finn Bo Madsen, DTU Space Vejledning til koordinatberegning udenfor bynære områder i Grønland Finn Bo Madsen, DTU Space Indledning Principielt sker der altid en forringelse af GNSS målingers nøjagtighed når resultaterne ønskes

Læs mere

Kortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.

Kortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Kortprojektioner L4 2016 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup

Læs mere

Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester

Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på

Læs mere

Mikkel Gundersen Esben Milling

Mikkel Gundersen Esben Milling Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,

Læs mere

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens

Læs mere

Nyt referencenet og højdesystem

Nyt referencenet og højdesystem Nyt referencenet og højdesystem System 2000 marts 2000 6150000 m.n 530000 m.e Hvad er et referencenet? Alle kender et kort, men de færreste kender kortets fundament referencenettet. Kortets nøjagtighed

Læs mere

Geodæsi og Geostatistik

Geodæsi og Geostatistik 1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009. Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder

Læs mere

Tyngdepunkt og Masse Midtpunkt.

Tyngdepunkt og Masse Midtpunkt. C.C.Tscherning, Niels Bohr Instituttet Tyngdepunkt og Masse Midtpunkt.. Masse-midtpunkt: Definitioner: Ligevægtspunkt for summen af alle masse-dele Tyngdepunkt: Punkt, hvor drejningsmomentet er nul (ligevægt

Læs mere

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt. Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU

Læs mere

5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)

5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

himlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen

himlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen Nye GNSS satellitter på himlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen DdL Fagligt Møde, 31. januar 2014 Hvem er foredragsholderen? Uddannet: Landinspektør i 1994 Ph.d. i geodæsi fra Københavns Universitet Ansat:

Læs mere

GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester

GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester 1982 1992 Programmet for i dag: Stedbestemmelse. Hvordan beskrives, hvor tingene er, og hvordan taler vi om det? 2002 Alle mennesker ved altid, hvor

Læs mere

En studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:

En studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende: Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Nyt fra satellitternes fagre verden

Nyt fra satellitternes fagre verden KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY Nyt fra satellitternes fagre verden Anna B.O. Jensen, Afdelingen for Geodæsi og Satellitpositionering, KTH Hvem er foredragsholderen? Siden 2014 professor i geodæsi og

Læs mere

Langsigtet strategi for referencenet og -system på

Langsigtet strategi for referencenet og -system på Færøerne I. Behov og anvendelser... 3 II. Eksisterende referencenet og -systemer... 4 A. Historiske referencesystemer... 4 B. Gældende eksisterende referencesystemer... 4 1. Eksisterende EUREF89-koordinatsystem...

Læs mere

TECHNICAL REPORT NO. 08. Metode til at følge vandstandsstigningstakten. Per Knudsen, Karsten Vognsen

TECHNICAL REPORT NO. 08. Metode til at følge vandstandsstigningstakten. Per Knudsen, Karsten Vognsen TECHNICAL REPORT NO. 08 Metode til at følge vandstandsstigningstakten i de danske farvande Per Knudsen, Karsten Vognsen KMS Technical report number 08: Metode til at følge vandstandsstigningstakten i de

Læs mere

Introduktion til GPS. Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk

Introduktion til GPS. Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk Introduktion til GPS Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk Hvad bruges en håndholdt GPS til? Måle tilbagelagt distance og fart Optage spor og markere punkter Navigere til et punkt efter et spor efter en rute

Læs mere

Nyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS

Nyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner

Læs mere

Referencenet for Danmark Status, strategi og udvikling NETSTRATEGI 2012

Referencenet for Danmark Status, strategi og udvikling NETSTRATEGI 2012 Referencenet for Danmark Status, strategi og udvikling NETSTRATEGI 2012 KMS, Referencenet J.nr. KMS-509-00001 Den 6. januar 2012 Version 1.1 2 Indhold 1 Indledning...4 1.1 Formål og baggrund...4 1.2 Referencenettet

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).

Opgave: GPS og koordinater (Geo-øvelse i Kongens Have). Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik

Læs mere

Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester, 2012

Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester, 2012 Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og yggeri og Anlæg, 1. semester, 2012 LCG-1. Introduktion til landmåling 1. Danmarks fikspunktsregister (I) 2. Horisontalretningsmåling

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

RTK test udført ved Kort & Matrikelstyrelsen.

RTK test udført ved Kort & Matrikelstyrelsen. Q RTK test udført ved Kort & Matrikelstyrelsen. Erfaringer fra 4 RTK test: Test af enkeltstations RTK, November 2000 Test af GPS referencens RTK løsning i Herning by, September 200 Test af Netværks RTK,

Læs mere

Geodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland

Geodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland Geodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland Version 0 April 2007 Indledning Dette informationsmateriale beskriver de gamle og nye geodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland, og

Læs mere

Notat. DTU CAS DTU FIKSPUNKTER Beskrivelse af fikspunkter INDHOLD. 1 Baggrund Etablering af de fysiske fikspunkter... 4

Notat. DTU CAS DTU FIKSPUNKTER Beskrivelse af fikspunkter INDHOLD. 1 Baggrund Etablering af de fysiske fikspunkter... 4 Notat DTU CAS DTU FIKSPUNKTER Beskrivelse af fikspunkter April 2017 Udarbejdet af MMKS Kontrolleret af MHFR og LRLA Godkendt af MMKS INDHOLD 1 Baggrund... 2 1.1 Resultater... 3 2 Etablering af de fysiske

Læs mere

RTK-tjenester i Danmark

RTK-tjenester i Danmark RTK-tjenester i Danmark - en anvendelsesorienteret undersøgelse Line Andkjær Henrik Plenge Jensen Martin Møller Sørensen Afgangsprojekt 2004 Landinspektøruddannelsen Aalborg Universitet Titel Projektperiode

Læs mere

Kort & Matrikelstyrelsen skal anmode om, at eventuelle bemærkninger til udkastet er meddelt styrelsen senest den 16. november 2007.

Kort & Matrikelstyrelsen skal anmode om, at eventuelle bemærkninger til udkastet er meddelt styrelsen senest den 16. november 2007. Matrikel- og Juraområdet J.nr. KMS-200-00010 Ref. jes Den 26. oktober 2007 Høring om udkast til ny bekendtgørelse om matrikulære arbejder Hermed fremsendes udkast til ny bekendtgørelse om matrikulære arbejder,

Læs mere

Positionering Nokia N76-1

Positionering Nokia N76-1 Nokia N76-1 2007 Nokia. Alle rettigheder forbeholdes. Nokia, Nokia Connecting People, Nseries og N76 er varemærker eller registrerede varemærker tilhørende Nokia Corporation. Andre produkter og firmanavne,

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Matematiklærerdag 11. marts 2005

Matematiklærerdag 11. marts 2005 Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan

Læs mere

I dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data.

I dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. I dag: Digital projektering -formål Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. Dagens emner Hvad er et digitalt kort? Digitale grunddata

Læs mere

Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion.

Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Erik Wirring, LE34 Peter Cederholm, AAU Henrik Vad Jensen, Vejdirektoratet Per Knudsen,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Jesper V. Kristensen Landinspektør COWI Landmåling & Ejendomsret. EVA-seminar 4. februar 2010

Jesper V. Kristensen Landinspektør COWI Landmåling & Ejendomsret. EVA-seminar 4. februar 2010 Jesper V. Kristensen Landinspektør COWI Landmåling & Ejendomsret Behov for data om geografisk beliggenhed Dansk Energi Sekretær for Dansk Ledningsejerforum / FULS Sekretær for arbejdsudvalg d vedr. norm

Læs mere

Strategi for Danmarks geodætiske infrastruktur Geomatics Notes 4 Version

Strategi for Danmarks geodætiske infrastruktur Geomatics Notes 4 Version Strategi for Danmarks geodætiske infrastruktur 2015 2025 Geomatics Notes 4 Version 2 2017-10-11 Geomatics Notes 4. Version 2, 2017-10-11 Strategi for Danmarks geodætiske infrastruktur 2015 2025 Forsiden:

Læs mere

Opgave 1 - Grønlands størrelse

Opgave 1 - Grønlands størrelse Kort har jeg printet fra nettet. Her er links: Kort 1: https://www.google.gl/maps/@69.604809,-42.1736914,3z Kort 2: http://en.wikipedia.org/wiki/greenland#mediaviewer/file:greenland_ice_sheet_amsl_thickness_mapen.png

Læs mere

Klimatilpasning og detaljerede højdedata

Klimatilpasning og detaljerede højdedata Klimatilpasning og detaljerede højdedata 1 Klimatilpasning og detaljerede højdedata Dette notat er en kort beskrivelse af fakta, råd og vejledning om detaljerede højdedatas betydning for indsatsen mod

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO

Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO GPS - GLONASS - GALILEO Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet Disposition 1 Retningsbestemt navigation 2 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 3 Militær og kommerciel baggrund GALILEO

Læs mere

Memo risiko analyse på deduster

Memo risiko analyse på deduster Memo risiko analyse på deduster To: All From: DEr CC: Date: January 6, 2015 Re: Risiko analyse på deduster. Indholdsfortegnelse: Indholdsfortegnelse:... 1 Formål:... 2 Risiko analyse:... 2 Risiko resultater

Læs mere

Lydmåling i klubberne

Lydmåling i klubberne Lydmåling i klubberne Metoder til egenkontrol LYDMÅLING I KLUBBERNE 1 Egenkontrolmålinger Introduktion Støj (Lyd) er den væsentligste miljøpåvirkning fra motorsportsbaner. Egenkontrollen skal give sikkerhed

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Byudvikling, klimaændringer og oversvømmelsesrisiko

Byudvikling, klimaændringer og oversvømmelsesrisiko Byudvikling, klimaændringer og oversvømmelsesrisiko Per Skougaard Kaspersen*, Nanna Høegh Ravn, Karsten Arnbjerg-Nielsen, Henrik Madsen, Martin Drews *PhD student Climate Change and Sustainable Development

Læs mere

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.

Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Evaluering af Soltimer

Evaluering af Soltimer DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning

Læs mere

Brug af GPS for korttegning

Brug af GPS for korttegning Brug af GPS for korttegning Fremstilling af grid på grundmaterialet side 1 Import af track og waypoints fra GPS til OCAD side 2 Indstilling af GPS og brug af antenne side 5 Almanac for satellitmodtagelse

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Seismisk dataindsamling Søndre Strømfjord Vestgrønland

Seismisk dataindsamling Søndre Strømfjord Vestgrønland Seismisk dataindsamling Søndre Strømfjord Vestgrønland Solopgang over Søndre Strømfjord. Foto: Aja Brodal Aja Brodal s050940 Cecilie Dybbroe s050938 Indledning Formålet med denne rapport er at beskrive

Læs mere

Access version 1.5 Totalstation Opstilling Opmåling Afsætning

Access version 1.5 Totalstation Opstilling Opmåling Afsætning Access version 1.5 Totalstation Opstilling Opmåling Afsætning Juli 2010 Per Dahl Johansen GEOTEAM A/S pdj@geoteam.dk Opstilling Opstilling af selve instrumentet Instrumentet opstilles på stativet og stilles

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Er GPS teknologien præcis nok til brug i Road Pricing løsninger?

Er GPS teknologien præcis nok til brug i Road Pricing løsninger? Er GPS teknologien præcis nok til brug i Road Pricing løsninger? Martina Zabic PhD Student Logistics & Intelligent Transport Systems Department of Transport Technical University of Denmark Ph.d.-projekt

Læs mere

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing Projektopgaven 2007 Om selve opgaven Formålet med denne opgave er at give kursusdeltagerne

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Forskning i Kort & Matrikelstyrelsen. Oktober 2000

Forskning i Kort & Matrikelstyrelsen. Oktober 2000 Forskning i Kort & Matrikelstyrelsen Oktober 2000 Indhold Forord 3 Motivering 3 KMS s rolle i samfundet 3 Formål med forskning i KMS 4 Strategi for forskning i KMS 6 Forskning i Kort & Matrikelstyrelsen

Læs mere

3D matriklen i et fremtidsperspektiv

3D matriklen i et fremtidsperspektiv 3D matriklen i et fremtidsperspektiv Lars Bodum Center for 3D GeoInformation Aalborg Universitet Esben Munk Sørensen Land Management Aalborg Universitet Hvad er problemet? Vi diskuterer mange gange løsninger

Læs mere

Technical Impact of Multiple GNSS on Applications

Technical Impact of Multiple GNSS on Applications Technical Impact of Multiple GNSS on Applications Professor Gethin Wyn oberts Dr. Lawrence Lau Dr. Craig Hancock University of Nottingham 1 of 23 Overview Discrepancy among the GNSS eference Frames Discrepancy

Læs mere

Rapport 2. Naturgeografisk feltarbejde i Vissenbjerg.

Rapport 2. Naturgeografisk feltarbejde i Vissenbjerg. Feltarbejde omkring lokalisering og korttegning. Lokalitet: Vissenbjerg, 1. september 2010. 1 /12 Rapport 2. Naturgeografisk feltarbejde i Vissenbjerg. Formålet er at stifte bekendtskab med nogle grundlæggende

Læs mere

Billedanalyse, vision og computer grafik. NAVN :..Lærerne... Underskrift :... Bord nr. :...

Billedanalyse, vision og computer grafik. NAVN :..Lærerne... Underskrift :... Bord nr. :... År: 3 Kursusnr: 5 Billedanalyse, vision og computer grafik Skriftlig prøve, den 5. december 3. Kursus navn: Billedanalyse, vision og computer grafik. Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige. "Vægtning":

Læs mere

SmartWorx Viva/System 1200 Unleveled Setup

SmartWorx Viva/System 1200 Unleveled Setup er en applikation til Viva og SmartWorx System 1200, som muliggør beregning af fri opstilling og efterfølgende opmåling og afsætning med Leica totalstationer i tiltede koordinatsystemer og i et ustabilt

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Anmeldelse af ændret metode til kompensation af havvindmølleparker ved påbudt nedregulering. 1. Baggrund. Sekretariatet for Energitilsynet

Anmeldelse af ændret metode til kompensation af havvindmølleparker ved påbudt nedregulering. 1. Baggrund. Sekretariatet for Energitilsynet Til Sekretariatet for Energitilsynet Anmeldelse af ændret metode til kompensation af havvindmølleparker ved påbudt nedregulering 19. februar 2016 HEP/HEP Med henvisning til Elforsyningslovens 73a anmoder

Læs mere

Kontrolopmåling 2012. Rekvirent. Rådgiver. Faxe Kommune Att. Orbicon Ringstedvej 20 4000 Roskilde Telefon 46 30 03 10 E-mail sgsc@orbicon.

Kontrolopmåling 2012. Rekvirent. Rådgiver. Faxe Kommune Att. Orbicon Ringstedvej 20 4000 Roskilde Telefon 46 30 03 10 E-mail sgsc@orbicon. Rekvirent Faxe Kommune Att. Rådgiver Orbicon Ringstedvej 20 4000 Roskilde Telefon 46 30 03 10 E-mail sgsc@orbicon.dk Sag 3691200053-03 Projektleder SGSC Kvalitetssikring SGSC Revisionsnr. 1.0 Godkendt

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Introduktion til matrikulære data

Introduktion til matrikulære data Introduktion til matrikulære data Matrikulære data kan deles op i tre grupper: - elementer i basismatriklen - temaer - øvrige elementer Elementer i basismatriklen omfatter elementer, der indgår i den matrikulære

Læs mere

Topcon PCCDU opsætning GNSS Base eller Rover.

Topcon PCCDU opsætning GNSS Base eller Rover. Topcon PCCDU opsætning GNSS Base eller Rover. Sikre at GPS enheden er forbundet via en COM port til computeren. Åben PCCDU programmet på computeren og tryk connect Når PCCDU får forbindelse med GNSS enheden

Læs mere

NOTAT. Definition af trængsel. Trængselskommissionen CAB

NOTAT. Definition af trængsel. Trængselskommissionen CAB NOTAT Til Trængselskommissionen Vedr. Definition af trængsel Fra DTU Transport 7. oktober 2012 CAB En definition af trængsel skal sikre en ensartet forståelse af, hvad der menes med trængsel, hvad enten

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Forord 7

Indholdsfortegnelse. Forord 7 Indholdsfortegnelse Forord 7 1 Indledning 8 1.1 Baggrund 8 1.2 Kort som projekteringsgrundlag 8 1.3 Topografiske kort 8 1.4 Tekniske grundkort 9 1.5 Situationsplaner 10 1.6 Matrikelkortet 10 2 Landmåling

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111

Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 Miljø og Teknik Svendborg Kommune April 2011 Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 1. Fremtidens permanente havstigning Den globale

Læs mere

Ændringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks

Ændringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks NOTE 2-2008 WWW.GeoCAD.dk Ændringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks Indførelsen af minimaks ved Kort- & Matrikelstyrelsen den 10. september 2008 vil medføre en række

Læs mere

Kortlægning og opmåling ved udbygning af Motorring 3 i København

Kortlægning og opmåling ved udbygning af Motorring 3 i København Kortlægning og opmåling ved udbygning af Motorring 3 i København Af Landinspektør Torben Weinkouff Rasmussen, Vejdirektoratet, Anlægsområdet twr@vd.dk Udbygning af en eksisterende motorvej i bymæssig område

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Registrering af detektorfund Vendsyssel Historiske Museum

Registrering af detektorfund Vendsyssel Historiske Museum Registrering af detektorfund Vendsyssel Historiske Museum Registrering af detektorfund. Let arbejdsgangen for museet med den rigtige registrering hjemme fra! For en amatørarkæolog/detektorfører, er det

Læs mere

University of Copenhagen. GIS og "klima, jord og vand" Madsen, Lene Møller; Holm, Christine. Publication date: 2006

University of Copenhagen. GIS og klima, jord og vand Madsen, Lene Møller; Holm, Christine. Publication date: 2006 university of copenhagen University of Copenhagen GIS og "klima, jord og vand" Madsen, Lene Møller; Holm, Christine Publication date: 2006 Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record

Læs mere

Brug af de danske koordinatsystemer

Brug af de danske koordinatsystemer Brug af de danske koordinatsystemer i Microstation V8i Indhold Indledning... 1 VIGTIGT OMKRING LÆNGDE/BREDDEGRAD... 2 EKSPORTERE DGN FIL TIL GOOGLE EARTH... 2 AFLÆSE KOORDINATER I GOOGLE EARTH... 2 GOOGLE

Læs mere

UDKAST TIL BETÆNKNING

UDKAST TIL BETÆNKNING EUROPA-PARLAMENTET 2004 2009 Udvalget om det Indre Marked og Forbrugerbeskyttelse 2008/2173(INI) 20.11.2008 UDKAST TIL BETÆNKNING om beskyttelse af forbrugere, især mindreårige, i forbindelse med brugen

Læs mere

Indholdsfortegnelse. 2 Kortlægningsmetode

Indholdsfortegnelse. 2 Kortlægningsmetode Roskilde Amt Geofysisk kortlægning i Skovbo Kommune Landbaserede TEM-målinger COWI A/S Parallelvej 2 00 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 www.cowi.dk Indholdsfortegnelse 1 Indledning

Læs mere

Indledning og indhold

Indledning og indhold UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske

Læs mere