Bornholms gåde Af Niels Bandholm, Ringkøbing,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bornholms gåde Af Niels Bandholm, Ringkøbing, niels.bandholm@gmail.com"

Transkript

1 Bornholms gåde Af Niels Bandholm, Ringkøbing, Dette er beretningen om hvordan jeg brød koden til placeringen af Bornholms middelalderkirker i toget på vej til efterårsmødet oktober 2006 i stedet for at løse sudoku. Jeg skulle til mødet for at høre Erling Haagensens foredrag om emnet. Vi havde 3 år forinden vekslet mange mails derom, og jeg havde sendt ham en del artikler om arabisk ma- skønt er det vi ser, skønnere det vi har erkendt, - men skønnest er det, vi intet ved om. Niels Stensen tematik bl.a. John Norths artikel: The Astrolabe, Scientific American, jan Vel anbragt i toget på orange billet tog jeg artiklen frem. Heri beskriver North den stereografiske projektion. Jeg havde taget den med, fordi jeg intuitivt så en forbindelse mellem cirklerne og Haagensens tegning. Man kunne jo aldrig vide. Astrolabiet er en analogcomputer mere end 2000 år gammel. Nord Christiansø Olsker 2 2 Nyker Østerlars Nylars Matematik Fysik Den stereografi ske projektion: Punkter på himmelkuglen forbindes med rette linier til sydpolen og afbildes i skæringspunktet i ækvatorplanen. Den er konform og afbilder ) Cirkler i cirkler og 2) Bevarer vinkler. Projektionen er først beskrevet af Hipparchus (90-20 BC) og benyttes i astrolabiet. Figuren er fra Norths artikel og viser ækvator og vendekredsene som koncentriske cirkler. Projektionen af himmelkuglen med den excentriske ekliptikacirkel drejes gang i døgnet omkring Nordstjernen over grundplanen, hvorpå horisonten med højde- og breddekoordinater indtegnet. Figuren herover er fra Erling Haagensens bog: Bornholms Rundkirker (2003) p LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007

2 0,6 A krebsens vendekreds s ekliptika R 23,578 O R2 - F s*r B -0,5 0,5,5 E - 33,2 stenbukkens vendekreds D 56,789 - C Jeg tog HP-lommeregneren frem, sendte et blik til den kønne pige diagonalt over for mig fordybet i Burda og begyndte at regne. Jeg i min verden og hun i sin hvor er der dog mange verdener. Jeg indsatte en ekliptika-hældning e = 23,5 på en skitse, der minder om snittegningen her, som viser et plan gennem himmelens polakse. R 2 er radius i projektionen af Stenbukkens vendekreds. Ækvatorradius sættes til lig afstanden mellem Østerlars og Nylars, der i virkeligheden er 4,336 km. Ved hjælp af ensvinklede trekanter regnede jeg radius ud til, Haagensen mente, at afstanden Østerlars-Christiansø, skulle være 3 =, med den valgte enhed. Det var pokkers. Hurtigt regnede jeg modsat og fik sinus til ekliptikahældningen til at være Det gav et sus af fryd gennem kroppen, jeg sendte pigen et hemmeligt smil. Måske havde man regnet med en ekliptilahældning på Arcsin(), da det havde lettet udregningerne. Jeg vidste dengang ikke, hvor nøjagtigt man kunne måle vinkler. Opgave: Sæt s = og benyt tegningen til at vise, at R 2 = 3. Jeg tog en udskrift af et regneark frem over afstande og azimut (vinklen fra nord) for liniestykker mellem kirkerne parvis. Mellem de 4 kirker og Chr.Ø er der 05 afstande. Jeg havde for 3 år siden lavet et regneark til Haagensen, der viste afstandene langs storcirkler. Araberne kunne jo regne på kugleoverflader. Jeg havde dengang gjort Haagensen opmærksom på, at azimutvinkler er lidt forskellige i hver ende mellem storcirklerne og retningen til nord ). Måske ville andre afstandsforhold fra den stereografiske projektion dukke op i mit regneark. Øverst på næste side er en bearbejdet udgave af mit regneark, dog kun med afstandene og uden Pedersker. Jeg kunne svagt huske, at Haagensen havde fundet halve og kvarte afstande af enheden (ØL- NL): de rosa markerede. Samt den halve afstand af ØL-Chr.Ø: de grønt markerede. Jeg havde også udregnet radius i Krebsens vendekreds 7, men til min skuffelse dukkede den ikke op. Derimod fandt jeg radius til ekliptikas projektion. Da den ) Forskellen er lille, nogle /0-dele grader. Haagensen har i sin reviderede udgave af Tempelherrernes skat (2006) s bygget videre på disse tanker til at finde Jordens radius dog med noget urealistiske vinkelnøjagtigheder på /00-del grad. LMFK-bladet, nr. 2, marts Fysik Matematik

3 Matematik Fysik tangerer begge vendekredse, er radius middelværdien. Reduceret er den 5. Det var afstanden mellem Rø og Åkirke. Jeg fandt Bornholm- 2 kortet frem og følte, at jeg var på jagt efter tempelriddernes skat. Pigen kiggede interesseret til fra sin Burda-verden. Jeg dykkede ned i tabellerne og fandt nogle andre afstandsforhold uden speciel betydning. Opgave: Vis med tal fra tabellen, at afvigelsen mellem målt og teoretisk værdi i afstanden mellem Rø og Åkirke kun er 0,07%. Imidlertid opdagede jeg, at vinklen på omkring 56,8 fra projektionen dukkede op flere steder i mit regneark og lige ved de linier, der var fremhævet ovenfor. Det var tæt på den vinkel, der optræder i den stereografiske projektion. Jeg besluttede at se nøjere på det i toget på vejen hjem. Togets bremser hvinede, da det kørte ind på hovedbanegården. Min muse rejste sig graciøst og gik tæt forbi mig. Vi var i samme verden. På årsmødet kontrollerede jeg, at ekliptikahældningen i databogen var lidt mindre end de 23,5 det var ikke så godt. Men intuitionen sagde, at det nok skulle passe, den har sikkert ændret sig. Hjemme igen blev ekliptika-hældningen tjekket, og på Steno Instituttet fandt jeg de arabere, der havde brugt den nærmeste hældning til Arcsin(). Nemlig ). Newcombs formel for ekliptika-hældningen er afbildet grafisk her og viser, hvordan hældningen er aftaget de sidste årtusinder. Opgave: Vis med Newcombs formel, at årstallet hvor ekliptikahældningen er Arcsin() er 98 e. Kr. I de sidste par måneder har jeg arbejdet på at løse denne gåde, hvor jeg stadig finder nye overraskende sammentræf. Ved et møde på Steno Instituttet blev figuren øverst på næste side, der viser de omtalte linier med deres azimut-vinkler, præsenteret: De farvede længder viser en slående overensstemmelse med afvigelser fra middelværdien på nogle få promiller. Undtagelsen er (Bo-Pe) med en afvigelse på,85 %. Forholdet mellem de røde og grønne linier svarer næsten til forholdet på 3 =, mellem ækvatorradius og radius af Stenbukkens vendekreds i den stereografiske projektion. 2) Det drejede sig om Habash (midt 9.årh), al-battani ( ), Ibn Yunus ( ) og al-biruni ( ) samt al-tusi (20-72) som ung. 32 LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007

4 Påfaldende forhold og vinkler Længder for kirkeafstande linie halv hel afvigelse ØL-Chr 2,898 0,03% Ol-Ny 0,954 2,908 0,08% ØL-Ib 0,935 2,870-0,0% middelværdi 2,892 linie kvart halv hel ØL-NL 4,336 0,06% ØL-Ru 4,32-0,04% Rø-Kl 7,45 4,29 5% VM-AA 7,65 4,33 0,03% NL-VM 3,588 7,77 4,353 0,9% middelværdi 4,326 (Bo-Pe) 7,295 4,59,85% snit teori Forhold,528,5275,4,2 Chr 0,8 sqr(7/3) 0,6 Ol Ru Rø Kl - -0,5 ØL 0,5 Ny ØM - VM Ib Kn /4 NL Bo AA - Azimut-vinkler snit teori Kl-Rø 56,43 56,35 st.afv. VM-AA 57,5 57,07 56,82 56,79 ØL-Ib 56,4 56,30 9 Pe-Bo 57,38 57,46 Kl-Pe -33,88-33,74-33,99-33,2 Rø-Bo -34,23-34,09 7 De teoretiske værdier for azimut i tabellen kommer også fra den stereografiske projektion. Man bemærker, at azimut omkring ±56,8 optræder 4 steder, og 2 steder vinkelrette linier med vinkler omkring -33,2. (De to værdier for hver linie svarer til azimut i hver ende af linien) Et konservativt estimat af sandsynligheden for at syv tilfældige vektorer med de nævnte vinkelog længdetransformationer vil være identiske indenfor måleusikkerheden er ca Med andre ord er det overvældende sandsynligt, at kirkerne er placeret bevidst. Men kan man nu forudsætte, at man har benyttet en ekliptikahældning på præcis arcsin()? De målte forhold og vinkler er jo behæftet med en lille usikkerhed, der også vil give en lille usikkerhed på ekliptikahældningen. I det følgende vil jeg give et argument for at ekliptikahældning var sat til præcis Arcsin(). Samtidig gives også en forklaring på, at linien NL-ØL-Chr har azimut 40,9 og OL-Ny og VM- NL har begge azimut 0,9. Hvis et astrolabium skal konstrueres i praksis giver det større nøjagtighed, hvis 3 konstrueres direkte. Den enkleste metode med passer og 30 -,2 -,4 -,6 lineal er vist herunder. Samtidig får man forklaring på vinklen 40,9. D I H A E B På en lodret linie markeres to punkter A og B. Tre cirkler med radius AB med centre i A, B og skæringspunktet C tegnes. Den horisontale linie CD er vinkelret på AB og skærer i E. En linie fra E til skæringspunkt F trækkes og skærer i punktet G. Denne linie danner vinklen 40,89 med AB. Sættes EC lig, ækvatorradius, så er EF lig 3, Stenbukkens vendekreds, og EG lig 7, Krebsens vendekreds. En lignende figur Vesica Piscis er kendt i den kristne symbolik. Opgave. Vis at radierne passer med konstruktionen. LMFK-bladet, nr. 2, marts Pe G Po F C Fysik Matematik

5 Med yderligere en transformation får man forklaring på beliggenheden af kirkerne Ol og Ny samt vinklen 0,9.,2 0,8 Chr Matematik Fysik A' /4 Ny' NL' Ol' B' J A E (ØL') I de store gule trekanter ser man, at de røde højder har længderne og ½ af ækvatorradius CE der er. Den grønne diagonal har længden 3. De små gule trekanter svarer til de store multipliceret med en faktor ½ og drejet 30 grader mod uret og punktet A flyttes til A. Herved får den lille grønne diagonal længden ½ 3 med azimut. 40,89-30 = 0,89. E.Haagensen har lavet en ækvivalent konstruktion. Se Målte azimut-vinkler Snit Teori NL-ØL 40,65 40,77 ØL-Chr. 40,77 40,95 40,78 40,89 Ny-Ol 7 9 NL-VM 0,3 0,30 0,89 Opgave Linien A A sigter mod F. Vis at den skærer midt på den grønne linie Ol -Ny. Ovenstående multiplikation med faktoren 0,5 giver ideen til en konstruktion, hvor radierne er halveret, men stadig med centrum i ØL. Den stereografiske projektion fra Nord (0;0,5) mod Krebsens og Stenbukkens vendekreds, se tynde blå linier på næste figur, tegnes. Man bemærker, at ikke blot har Kl-Rø den rette hældning, men den ligger også tæt på Krebsens projektionslinie. B G F (Chr') C sqr(7/3) 0,6 Nord Ol Ru Rø krebs Kl S - K -0,5 ØL 0,5 U stenbuk proj. fra Nord Ny ØM - VM Ib Kn /4 proj.fra Nord NL Bo AA - -,2 4 Matematiske sammentræf Hvis man tegner linien fra Nord (0;0,5) mod Chr.Ø i vinklen 56,789 (Arctan( 7 ) skærer den den lodrette linie under Chr.Ø i 7 ) + _ 2 =, Astrolabiekonstruktionen (grøn linie) giver derimod 2 =, På de 2,899 km svarer forskellen til umålelige 0,77 m. Ved Ibsker, der jo ligger på Stenbukkens vendekreds med halv radius, kan der laves en anden approksimation om end ikke så god. Opgave: Prøv at finde en anden måde hvorpå Ibskers placering kan fastlægges geometrisk. Hint: tegn en linie gennem U parallel med Chr.Ø-ØL. Men hvor er ekliptika-projektionen? En cirkel med centrum i Rø og radius Rø-AA viser sig næsten at tangere de to vendekredse, som den skulle, men afvigelsen er noget større end den normale præcision, ca. 230 m over de m dvs.,47%. Imidlertid er radius nøjagtig inden for 0,07%. Centrum skal flyttes de ca. 230 mod nordvest. Afstanden mellem Rø og AA er 5653 m en afvigelse på m i forhold til den beregnede 5642 m. Tegner man en cirkel med centrum i Rø se næste figur og denne radius har man tilsyneladende også fastlagt, hvordan ekliptika skal tegnes i systemet, men ekliptika rører ikke helt vendekredsene. Midteraksen går også næsten gennem Rø, Øl og ØM. AA er eneste kirke på ekliptika og må svare til Solen. Pe Po 34 LMFK-bladet, nr. 2, marts 2007

6 ,2 Chr 0,8 0,6 sqr(7/3) Ol Ru Rø Kl - -0,5 ØL 0,5 Ny VM Kn /4 NL AA - - -,2 Pe ØM Po Bo Ib Kn på en nord-sydlinie, og Kn har y-koordinaten -0,5. Ligesom vi af konstruktionen med de farvede trekanter indser, at y-koordinaterne for Ol er 0,5 og for Ny er 5. Svær opgave for Astrolabie kyndige: Solens position svarer til en dato, og en linie fra ØL til AA angiver et tidspunkt hvornår på året og dagen? Andre mærkværdige sammentræf Jeg har fundet andre påfaldende linier og afstande. En forlængelse af linien AA-VM vil ramme megalitstenkredsen Ales Stenar på Skånes sydkyst på samme måde, som linien Kl-Rø rammer Chr.Ø. Desuden er afstanden mellem Åkirke og Ales Stenar 65,025 km, det samme som afstanden mellem Lund Domkirke og Ales Stenar på 64,994 km (midtpunktet falder stadig indenfor skibssætningen). Her stoler jeg ikke helt på min kugleformede jordmodel, idet en geoide vil give lidt andre afstande og azimut-vinkler. Jeg har dog valgt en kugle med radius svarende til middelkrumningen af geoiden 950 på Bornholm, så afvigelserne er meget beskedne. Chr.Ø og kirkerne NL, Ol, Ny, VM, AA og Ib kan fastlægges absolut i forhold til ØL, mens vektoren KL-Rø skal skære i Chr.Ø (og 0;0,5) ligesom AA-VM nok skal skære Ales Stenar. Positionen af vektoren Pe-Bo er nok parallelforskudt vinkelret på Kl-Rø, men hvorfor denne afstand? Dog ligger Pe på en linie fra Lund gennem Ales Stenar. Po og Chr.Ø har numerisk samme y-koordinat og en linie mellem Ru og Po har numerisk samme hældning som ØL-Chr.Ø. Med den konstaterede usikkerhed på vinklerne ( ½ grad) ligger Ru og Et mysterium Astrolabiekonstruktionen Vesica Piscis er baseret på en meget speciel værdi af ekliptika-vinklen på Arcsin(). Konstruktionen var sandsynligvis kendt af en indviet kreds af kristne munke med matematisk viden. Værdien kan opfattes som et tegn fra gud eller den tids kosmologiske konstant. Måske er det denne matematiske hemmelighed, der er Tempelherrernes skat. Men selv om dele af koden hermed er afsløret, så er der faktisk endnu flere gåder, der trænger sig på, hvis man sætter denne placering af kirkerne ind i en historisk kontekst: Hvorfor dette design? Hvem udtænkte det? Hvem fik det iværksat? Hvordan blev det gjort? Hvem udførte det? Var koden hemmelig eller er den forsvundet i historiens mørke på grund af uheld, krige, uforstand eller grådighed? Der er ikke plads til forsøg på svar her, men det er et oplagt emne for et tværfagligt projekt under almen studieforberedelse, der inddrager kirkehistorie, korstogene, arabernes indflydelse på vestens astronomi, arabiske og latinske oversættelser, triangulering og meget mere. Jeg tilbyder at sende en Geometerfil med kirkernes positioner til de gymnasielærere, der måtte være interesseret i at indgå i et sådant projekt. LMFK-bladet, nr. 2, marts Fysik Matematik

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger

Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger 2009 Pladeudfoldning Specielle Udfoldninger Pladeudfoldning af specielt forekomne udfoldninger Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Forord...2 Kugleformet tromlekedelhoved

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten. Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser

1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser 1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

1 Løsningsforslag til årsprøve 2009

1 Løsningsforslag til årsprøve 2009 1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a

Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a Matematik A Højere teknisk eksamen 5 timers skriftlig prøve htx103-mat/a-17122010 redag den 17. december 2010 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2010 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Introduktion til ovaler: Ovato Tondo fra Rafaels skole En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere