Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side

Transkript

1 Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1 Skitse af kastemaskine Fiu Rekonstuktion af kastemaskine Vi ha alle pøet at kaste tin op i luften fo at se, ho højt i kan kaste, elle ho lant i kan kaste Gennem histoien ha man but kastemaskine til kisføelse, nå man skulle indtae belejede bye o boe I oldtiden a Achimedes 1 beømt fo sine kismaskine, de ble benyttet i fosaet af byen Syacus mod den omeske belejin I fiu 1 e ist pincippet i en kastemaskine elle blide fa middelaldeen På middelaldecentet på Falste ha man ekonstueet en kastemaskine, se fiu, som du kan se unde afskydnin, his du kie på intenetadessen Tidliee ha man ikke kunnet beene banen fo kasteskytset Det a Galilei, de føst fandt, at et kast kunne sammensættes af en andet beæelse o et lodet fald Deed kunne han ise, at den kue, de femkomme ed et kast, e en paabel Senee opfandt Benjamin Robins 3 det ballistiske pendul, som mulijode pæcise måline af pojektiles hastihede Robins opdaede, at luftmodstanden på et pojektil kunne æe op til 1 ane så sto som tyndekaften på pojektilet Han a en teoi fo banekuen, som et pojektil føle unde luftmodstand Tabelle, de stamme fa Robins ble endnu but unde edenski til beenin af moteanates bane 1 Achimedes, 87-1 BC Gæsk matematike, fysike o ineniø Galiei, Italiensk idenskabsmand o astonom 3 Benjamin Robins, Enelsk matematike o ineniø

2 Det skå kast o ballistiske kue side Kastepaablen Fiu 3 Kastepaablen Vi il nu betate det skå kast uden luftmodstand Beæe en patikel si i et konstant tyndefelt med tyndeacceleationen ettet lodet nedad, se fiu 3, kan acceleationsektoen af patiklen i et xy-koodinatsystem skies a Vi antae, at patiklen state til tiden t med en hastihed, his støelse e o som danne en inkel på α med andet, se fiu 1 Hastihedsektoen til t e da cos α Inteee i acceleationen med hensyn til t finde i hastihedsektoen (t) til (t) + a t cos α - t Befinde patiklen si i punktet (,) til tiden t, finde i stedektoen (t) til (t) cos α t t + ½ a t t - ½ t Rækkeidden x x(t ) af kastet finde i ed at sætte y(t ), hilket ie fo t

3 Det skå kast o ballistiske kue side 3 t, hoefte ækkeidden x blie x cos α x(t ) Af fomlen fo x se i, at fo en ien beyndelsesfat il ækkeidden blie støst, his 1, ds at i skal kaste med en statinkel på α 45 Den støste højde y y((t ) på paablen finde i nå hastiheden i y-etninen y (t ) elle de indsat i y(t) ie t, y y(t ) Af fomlen fo y se i, at fo en ien beyndelsesfat il den maksimale højde blie støst, his 1, ds at i skal kaste med en statinkel på α 9 Opae Fiu 4 Sisimiut bandæsen i aktion Sisimiut bandæsen e bleet kaldt ud til en band på Byskolen Bandmændene holde ståleøet i punktet A med en inkel på α 6 med andet i en højde på 1,5 m oe joden, se fiu 4 Afstanden fa A til skolebyninen e 9 m Højden af skolens byninen e 9 m o bedden 6 m, se fiu 4 På und af andfobuet i Sisimiut på bandtidspunktet e andets hastihed ed mundinen af fa ståleøet 14 m/s

4 Det skå kast o ballistiske kue side 4 Spøsmål 1 Ho på byninens facade il andstålen amme? Unde slukninsabejdet e bandæsnet køt undt i Sisimiuts ade, ho man ennem højttalee ha opfodet folk til at spae på andet Deed stie pludseli hastiheden af andet ed ståleøets mundin til 1 18 m/s Ståleøets inkel i A e stadi α 6 med andet Spøsmål Ho amme andstålen nu? Vi skal i de følende se næmee på den banekue en patikel føle, nå man tae hensyn til luftmodstanden Ballistiske kue o skydeåben Fiu 5 Jatiffel Banen i det skå kast e kun med tilnæmelse paabelfomet Foøe i hastiheden af patiklen, elle betate i et lænee tidsum, il luftmodstandens indflydelse øe si ældende Affye i et pojektil fa et skydeåben, som ist i fiu 5, il pojektilet føle en den ballistisk kue På fiu 6 e ist en skitse af en ballistisk banekue i fohold til sitelinien på Fiu 6 Sitelinien i fohold til den ballistiske kue skydeåbnet Den ballistiske kue afie mee o mee fa paabelfomen jo lænee æk pojektilet ha beæet si Vi il nu opstille beæelseslininen fo et pojektil I uppeopae n 11 så i, at luftmodstanden på et leeme med faten kunne skies på fomen F D c D ½ A ρ, ho c D e modstandskoefficienten, ρ e luftens massefylde o A e leemets tæsnitsaeal

5 Det skå kast o ballistiske kue side 5 Fiu 7 Modstandskoefficientens afhænihed af faten målt i feet/second I fiu 7 e ist modstandskoefficienten fo foskellie type af pojektile som funktion af Af pojektilets fat Standadpojektilet e G1, de nomalt affyes med en mundinshastihed på ca 75 f/s ca 838 m/s Fo dette pojektil e c D,5 Med kalibe på 8 mm o en massefylde af luften på ρ 1, k/m 3 blie F D F D,5 ½ π/4,8 1, N s /m 1, N s /m Ha pojektilet en masse på m 18, en beyndelseshastihed 838 m/s o en hældnin med andet på α,15, ise en beenin ( se MAPLE løsninen), at iflen e Fiu 8 Afielse af den ballistiske kue fa en paabel indskudt på afstanden 3 m, se fiu 8 Faten af pojektilet e efte 3 m faldet til 87 m/s, o det e,37 sekunde om at nå sit mål