Modellove ved fysiske modelforsøg

Transkript

1 DANSIS emadag om eksperimenel fluid dynamik (EFD) på FORCE Technology, yngby, 8. okober 003 odellove ved fysiske modelforsøg Chrisian Aage Docen, ph.d. Danmarks Tekniske Universie ariim Teknik Absrac: Selv om fysiske modelforsøg inden for srømningsmekanikken har være udfør i århundreder, er de førs inden for de sidse god og vel hundrede år, a man har kunne uddrage fornufige konklusioner af forsøgene og omsæe måleresulaerne il pålidelige fuldskaladaa. ed udgangspunk i den hisoriske udvikling af fysiske modelforsøg på skibsområde gennemgås udviklingen og sysemaiseringen af de generelle modellove. 1. Indledning En model er e billede af virkeligheden, som har visse væsenlige egenskaber fælles med den undersøge prooype, mens andre egenskaber er forskellige. En model kan være en fysisk gensand udsa for fysiske påvirkninger, eller den kan være af ren ankemæssig, immaeriel indhold, som for eksempel en maemaisk eller en numerisk model. En fysisk model kan indeholde en række af prooypens vigigse egenskaber, for eksempel relaiv geomerisk form, massefordeling og bølgeforhold i e modelbassin, mens andre egenskaber, som absolu sørrelse, byggemaerialer og sejlhasighed med vilje er valg anderledes end for prooypen. Herved kan der opnås sore besparelser i id og penge, og forsøgene kan flyes ind i e laboraorium, hvor de fysiske omgivelser kan syres. Overordne se ønsker man i e modelforsøg a overholde ligedannehedsprincippe he principle of similiude i så høj grad som mulig, eller med andre ord a overholde de modellove, som er relevane for de pågældende problem. igedannehedsprincippe kan formuleres som en overenssemmelse mellem de nondimensionale kombinaioner af variable, der har beydning for de pågældende fysiske fænomen, de såkalde modelal. ed dimensionsanalyse kan man opsille alle de nondimensionale modelal, som er eoreisk mulige for en given fysisk proces. Denne meode er sysemaisere af Buckingham (1914) i de såkalde i-eorem. en hvis man opsøger alle de mulige nondimensionale modelal, som kan dannes på basis af alle de paramere, der kunne ænkes a indgå i en given fysisk proces, kan man komme op på e mege sor anal, hvoraf de flese vil være uden væsenlig beydning. an må derfor generel foreage en sorering basere på fysisk indsig og erfaring. Denne arikel omhandler hovedsagelig fysiske modelforsøg, og i særdeleshed de hydro- og aerodynamiske modelforsøg, modellove og modelal, der finder anvendelse indenfor skibs-, offshore- og bygningsområde. Hydro- og aerodynamiske modelforsøg har hisorisk se være nøglen il forsåelsen af srømningsmekanikken, og modelforsøg er sadig e uvurderlig værkøj i forskningsmæssig og indusriel sammenhæng. I dee foredrag gennemgås den grundlæggende eori for sådanne forsøg. eoder il omregning af modelresulaer il fuld skala beskrives, og skalaeffeker diskueres. De skal nævnes, a modellovene også kan anvendes ved sammenligning af fuldskalakonsrukioner af forskellig sørrelse, for eksempel ved omregning af fuldskalamålinger fra e mindre skib il e sørre

2 . Hisorisk baggrund odelforsøg med skibe er beskreve i den videnskabelige lieraur hel ilbage il 1600-alle, og forsøg med modelskibe har uvivlsom være udfør på amaørplan i årusinder. Seriøse videnskabelige modelforsøg blev i 1700-alle udfør i bassiner, der i sørrelse nærmer sig vore dages laboraoriebassiner. Som regel blev modsandsforsøg udfør som sammenlignende forsøg mellem alernaive udformninger af e give skib. en selv om daidens sørse videnskabsmænd blev inddrage i forsøg på en eoridannelse og olkning af sådanne eksperimener, der selvsag havde sor sraegisk og økonomisk beydning, måe man generel erkende, a der ilsyneladende ikke var nogen enydig sammenhæng mellem modelforsøgsresulaerne og skibenes præsaioner. Så sen som i 1870 konsaerede den kende skibsbygger og hydrodynamiker J. Sco Russell om skibsmodsandsmålinger, a he resuls on a large scale, were precisely he conrary o he resuls on a small scale. Bemærkningen fald i en diskussion i The Insiuion of Naval Archiecs i England (errifield, 1870), hvor William Froude måe forsvare sine planer for en skibsmodelank, som han samme år havde fåe søe il fra de briiske admiralie. Froude havde i 1868 ved eoreiske overvejelser og nogle forholdsvis enkle forsøg funde løsningen på modelforsøgsgåden (Froude, 1868). Nogle få år senere, da Froude ikke alene havde udfør en række epokegørende modelforsøgsserier i sin nybyggede modelank i Torquay, men også havde efervis sin analysemeodes rigighed ved de berøme Greyhound fuldskalaforsøg (Froude, 1874), var hele den mariime verden bleve overbevis om værdien af skibsmodelforsøg, og i løbe af nogle årier havde alle skibsfarsnaioner bygge modelanke efer Froude s forbillede. Danmark fik dog som de sidse land i Skandinavien førs sin skibsmodelank i Hjorekær i 1959 efer rofessor C.W. rohaskas mangeårige forarbejde. Froude s geni besod i, a han i modsæning il alle sine forgængere erkende, dels a modelforsøge for a give mening måe udføres ved en hasighed, der sikrer ligedannehed af bølgesysemerne, og dels a skibes modsand besår af flere fysisk mege forskellige komponener: bølgemodsand, frikionsmodsand og rykmodsand, der ikke kan omfaes af en fælles skalafakor. Froude s meode var da a måle og adskille disse komponener i modelskala, a omregne dem hver for sig il skibsskala efer love, som han selv førs måe finde, og derefer igen sammensæe komponenerne il skibes modsand. En anden vigig del af Froude s begavelse var hans evne il a konsruere og med egne hænder bygge alle de maskiner, modeller og måleapparaer, såvel i modelskala som i fuld skala, der var nødvendige for gennemførelsen af hans forsøg. Froude s klare forsåelse af skibsmodsandens fysik var e sørre gennembrud, end man i dag foresiller sig. å hans id var den almindelige opfaelse af skibsmodsand, også bland lærde folk, hene fra analogi med en plov, der rækkes gennem jord. odsanden menes a samme fra den kraf, der skulle il for a skubbe vande il side, således a skibe kunne få plads il a bevæge sig frem i den derved skabe plovfure. Denne opfaelse føre naurlig nok il de dampskibe, der kendes fra miden af 1800-alle, som havde eksrem spidse og konkave sævne og mege lille bredde, hvilke i øvrig medføre e sor anal unødvendige skibsforlis på grund af manglende sabilie. A der opsår e overryk ved skibes forsævn var umiddelbar forsåelig for enhver. en den anke, a overrykke kunne omsæes il forøge hasighed langs skibes bund og sider, for så igen (om end med e vis ab) a blive omsa il overryk ved agersævnen, var fremmed for den ids skibsbyggere. an kende naurligvis Bernoulli s ligning (1738), som forklarer denne energiomsæning. en på de idspunk var der en generel misillid il den klassiske hydrodynamik, der - -

3 ofe havde før il uforsåelige resulaer, eksempelvis d Alember s paradoks (1768), som forudsiger modsanden nul på e vilkårlig legeme neddykke i en srømmende ideal væske, hvilke er eoreisk korrek, men i klar modsrid med erfaringen fra virkelige væsker. rakiske skibsbyggere og hydrodynamikere havde derfor i årevis føl sig henvis il a bygge skibe efer eoreisk svag funderede håndregler baserede på fuldskalaerfaringer. 3. Froude s lov hisorisk Bølgemodsanden måe ifølge Froude besemmes ved en hasighed, hvor modellens bølgedannelse var ligedanne med skibes, samidig med, a bølgesysemerne skulle være saionære se fra farøje, de vil sige bevæge sig med samme hasighed som henholdsvis model og skib, som erfaringen viser, a skibsbølger gør. Bølgers udbredelseshasighed c på dyb vand er give ved formlen: c g λ π (1) hvor g er yngdeacceleraionen og λ er bølgelængden, og denne formel var velkend på Froude s id. Da bølgelængderne på grund af ligedannehedsbeingelsen måe forholde sig som længderne af henholdsvis model og skib, kunne han derfor konkludere, a hasighederne ved corresponding speeds måe forholde sig som kvadraroden af skalaforholde, således a: S S () Hvor indeks sår for model og S for skib. Dee speed-lengh raio med hasigheden i knob og farøjes længde i fod forerækkes sadig af en del skibsbyggere af radiionsmæssige grunde. i skal nedenfor udlede de nondimensionale Froude-al, som generel bruges i dag. ed disse hasigheder ville modsandene så ifølge Froude forholde sig som farøjernes væge, de vil sige som skalaforholde i redje poens. Denne vigige aw of Comparison kaldes i dag Froude s lov. Oprindelig havde Froude regne med, a hele modsanden ville følge denne lov, men han erkende idlig efer eoreiske overvejelser og omhyggelig udføre forsøg, a frikionsmodsanden fulge andre love. Froude s udledelse af den modelhasighed, som giver den korreke bølgedannelse, var e gennembrud for modelforsøgseknikken. å Froude s id var de en udbred opfaelse, a modellerne skulle slæbes med skibshasighed, og de gav naurlig nok anledning il fejlkonsrukioner, da selv simple sammenligningsforsøg mellem o modeller kan give mege misvisende resulaer, når hasighederne er forkere. De bør nævnes her, a franskmanden F. Reech allerede i 183 fremsae ovennævne lovmæssighed for hasigheder og modsande af flydende legemer, men uden i øvrig a udnye denne erkendelse il noge prakisk formål. Froude s lov kaldes derfor underiden Froude-Reech s lov. Frikionsmodsanden kunne man på Froude s id ikke beregne, men de var almindelig accepere, a den var proporional med hasighedens kvadra og med overfladeareale. Også på dee punk leverede Froude den nyænkning, som var nødvendig, for a hans modelforsøgseknik kunne blive en succes. Han argumenerede for, a frikionsmodsanden voksede mindre end hasighedens - 3 -

4 kvadra, ide hasigheden langs den våde overflade måe blive nedbremse, således a de agerse dele af overfladen mærkede en mindre frikionsmodsand end de forrese. Denne inuiive forløber for grænselagseorien vake også en del modsand bland daidens eksperer, men Froude kunne efervise sin hypoese ved hjælp af sysemaiske serier af slæbeforsøg med ynde ferniserede ræplader af varierende længde op il 50 fod. Herved fik han samidig eablere de sæ af frikionsmodsandskurver, som gjorde de mulig for ham med forbavsende nøjagighed a eksrapolere frikionsmodsanden hel op il skibssørrelse. I dag regner vi som regel frikionsmodsanden som værende proporional med hasighedens kvadra, men korrigerer så for nedbremsningen i grænselage ved hjælp af variable frikionsmodsandskoefficiener. Trykmodsanden, som Froude kalde hvirvelmodsand (eddy-making resisance), anog han ville følge samme skalafakor som bølgemodsanden, dvs. redje poens af de lineære skalaforhold. Froude s meode var a udføre modelforsøg med o modeller af skibe, den ene en normal redimensional skalamodel, den anden en ynd fernisere ræplade af samme længde og samme våde overflade som den førse model. odsanden på den førse model var da den oale modelmodsand R T, mens modsanden på den anden model var den rene frikionsmodsand R F. Forskellen mellem disse, der besod af bølgemodsand og i mindre omfang af rykmodsand, benævne han resmodsanden R R (residuary resisance). Omregningen il skibsskala foregik som nævn ved, a resmodsanden blev muliplicere med skalaforholde i redje poens, mens skibes frikionsmodsand blev funde ved eksrapolaion af Froude s sysemaiske frikionsmodsandskurver. Denne meode bruges sadig i dag, dog med den modifikaion, a man beregner frikionsmodsanden i sede for a måle den. Efer uallige frikionsforsøg med plader af varierende sørrelse og ved varierende hasighed har man være i sand il a sammenfae de måle frikionsmodsande i nondimensionale frikionslinier. es kende er Schoenherr s frikionslinie (193) og ITTC-1957 linien, der begge med sor nøjagighed angiver frikionsmodsanden på plane flader med urbulen grænselag, såvel i modelskala som i skibsskala. I erkendelse af, a også frikionsmodsanden i nogen grad afhænger af skibsskroges form, kan man efer G. Hughes (1954) forslag, i dag benævn ITTC-1978 meoden, indføre formfakorer som en ilpasning af den grundlæggende frikionslinie il den akuelle skibsform. 4. Froude s lov generel Froude s lov er oprindelig udled specifik il brug ved skibsmodelforsøg. Den udrykker, a bølgesysemerne omkring model og skib skal være ligedannede, og da overfladebølger er besem af inerikræfer og yngdekræfer, er de med andre ord forholde mellem disse, der skal være ens. Denne modellov har imidlerid generelle anvendelser, der går lang udover skibsmodsandsforsøg. Froude s lov gælder for alle yper af skibs- og offshoreforsøg, hvor inerikræfer og yngdekræfer dominerer, de vil sige ved forsøg med overfladebølger, herunder selvfremdrivningsforsøg, sødygighedsforsøg og bølgebelasningsforsøg. en også havne- og kysforsøg med bølger og andre hydrauliske forsøg med floder og vandløb, vandfald og vandkrafværker er omfae af Froude s lov. ed overfladebølger forsås her generel bølger på grænsefladen mellem o fluider af forskellig massefylde, således også mellem salvand og ferskvand eller mellem o luflag i amosfæren

5 En lang række ekniske forsøg med fase legemer, hvor ineri og yngde dominerer, er syre af Froude s lov, eksempelvis dynamiske forsøg med bygninger, huse, årne, broer og ranspormidler, sam visse ballisiske forsøg. Også i biologisk og palæonologisk forskning har Froude s lov spille en vigig rolle. De har vis sig, a landlevende dyrs kropsmål og deres skridlængde sa i forhold il deres hasighed i gang og løb kan sysemaiseres ved hjælp af Froude s lov. Og ved a anvende samme analysemeode på forsenede foridsdyr har man kunne besemme, hvor hurig de forskellige arer af dinosaurer har være i sand il a gå eller løbe (R.. Alexander, 1976). Tidsskalaen i Froude s lov har beydning ved filmopagelser af modelforsøg. Hvis en modelforsøgsfilm skal kunne illudere naurlig fuldskalaempo ved normal fremvisningshasighed (4 billeder per sekund for film, 5 billeder per sekund for T), skal modelforsøge filmes med highspeed kamera ved en billedhasighed, der svarer il idsskalaen (se nedenfor). Dee gælder såvel ekniske forsøg som spillefilmopagelser med eksempelvis modeller af synkende skibe, vælende og eller sammensyrende huse. Udledelsen af Froude s lov kan foreages på mange måder. i vil her age udgangspunk i srømningsmekanikken, men mere generel end Froude selv gjorde de, ide vi blo udrykker, a ineri- og yngdekræfer skal have samme forhold for model og prooype. E mål for en væskes ineri er førse led i Bernoulli s ligning, de dynamiske ryk, der som bekend udrykker væskens kineiske energi per rumfangsenhed. De dynamiske ryks virkning på e vilkårlig areal A giver en inerikraf. Tilsvarende finder vi yngdekrafen som virkningen af yngdeacceleraionen g på e vilkårlig væskevolumen med massefylden. odelsørrelser beegnes med indeks, mens prooypesørrelser beegnes med indeks. inerikraf yngdekraf g ½ A g g Fr inerikraf yngdekraf ½ A g Fr g g (3) Ifølge ISO-sandard skrives de dimensionsløse Froude-al som Fr. I skibssammenhæng benyes dog ofe de ældre symbol F n. I skibssammenhæng er de ligeledes normal a ersae indeks med e S for skib. ængden er en for de pågældende forsøg karakerisisk længde, ved skibsmodsandsforsøg på dyb vand skibes vandlinielængde w. an ser, a massefylden ikke indgår i Froude s al. De beyder, a man kan udføre Frouderelaerede modelforsøg i en vilkårlig væske. an kan eksempelvis benye ferskvand i sede for - 5 -

6 salvand og sadig få de korreke forhold mellem ineri- og yngdekræfer. en ved beregning af kræfernes absolue sørrelse må man dog age hensyn il de akuelle massefylder. 5. Skalaforhold ifølge Froude s lov Når forholde mellem ineri- og yngdekræfer er de samme for model og prooype, følger heraf skalaforholde for alle andre variable. I skibsmodelforsøg er de lineære skalaforhold radiionel forholde mellem prooypelængde og modellængde, de vil sige: (4) hvor alså normal >1 (ide der dog findes modelforsøg, hvor modellen med fordel kan gøres sørre end prooypen). En direke følge af den grundlæggende forudsæning i Froude s lov er, a alle acceleraioner forholder sig som yngdeacceleraionerne. Hvis vi for nemheds skyld anager, a yngdeacceleraionerne g for model og prooype er omren ens uanse sede på jordkloden, må alle andre acceleraioner a også nødvendigvis skaleres ens, de vil sige: a a g g 1 (5) En logisk følge heraf er, a både id og hasighed må skaleres som kvadraroden af de lineære skalaforhold: (6) Kræferne F, der ifølge Newon s anden lov er produke af masse og acceleraion, må da forholde sig som masserne af ilsvarende væskevolumener, de vil sige: F F 3 (7) Herefer kan alle øvrige skalaforhold udledes. En samle oversig findes i Tabel Reynolds lov hisorisk A der er frikionsmodsand i ykflydende væsker er åbenlys for enhver, der har prøve a række en kniv på langs gennem væsker som honning, jære eller yk olie. en a også de mes leflydende fluider som vand og luf har en viskosie, der har en alafgørende beydning for srømningsmodsanden på legemer neddykke i fluiden, er ikke umiddelbar indlysende. Således var de indil lang - 6 -

7 op i 1800-alle en almindelig accepere anagelse i den klassiske hydrodynamik, a man uden mærkbare fejl kunne se bor fra alle viskose effeker i væsker som vand. A de neop var denne ilsyneladende mege rimelige anagelse, der var skyld i de mes iøjnefaldende fejl, hvoraf d Alember s paradoks nok er de mes kende (se ovenfor), blev i realieen førs opklare af udwig randl (1904) i hans banebrydende grænselagseori. iskosieen har såvel en direke som en indireke virkning på srømningsmodsanden. iskosieens direke virkning er frikionsmodsanden, som man mærker langs en fas væg, der er parallel med srømningsreningen, som for eksempel langs e skibs bund og sider. Dee skyldes, a selv den mindse viskosie vil medføre, a de inderse molekyle sidder fas på væggen, den såkalde no-slip condiion, hvorved der opsår e grænselag med en hasighedsgradien og dermed en forskydningsspænding i væsken nær væggen. iskosieens indireke virkning er rykmodsanden. iskosieen forårsager en opbremsning i grænselage æ på legeme, som bevirker, a der opsår separaion e sed på legemes overflade med eferfølgende hvirveldannelse nedsrøms. Der sker med andre ord en energidissipaion ud i væsken, hvorved der ikke er energi nok il hel a genopbygge de samme overryk bag legeme, som srømningen har frembrag på forsiden. Den samlede virkning af denne usymmeriske rykfordeling er rykmodsanden. For srømlinede legemer som skibe eller fly er frikionsmodsanden væsenlig sørre end rykmodsanden. For plumpe legemer som kugler, cylindre eller kasser er omvend rykmodsanden hel dominerende i forhold il frikionsmodsanden. A gøre e legeme srømline beyder med andre ord a minimere rykmodsanden. iskosie og frikionsmodsand har beskæfige forskerne hel ilbage il Isaac Newon, men som nævn var der udbred enighed om, a disse sørrelser i vand og luf var ubeydelige.. Navier (186) havde på delvis inuiiv basis opsille bevægelsesligningerne for væsker inklusive de viskose kræfer. Senere udlede G.G. Sokes (1845) på en mere formel korrek måde de samme ligninger, som derfor kaldes Navier-Sokes ligninger. en på grund af disse ligningers komplicerede naur kunne de ikke og kan sadig ikke løses maemaisk, undagen i mege specielle ilfælde. Dog er de i de senere år bleve mulig ved anvendelse af mege sor regnekraf a løse Navier- Sokes ligninger numerisk. Førs med G. Hagen s (1839) og J. oiseuille s (1841) uafhængige undersøgelser af rørsrømninger fik man eoreiske og eksperimenelle daa for viskosieens beydning på dee eknisk vigige område. G.G. Sokes (1843) var den førse, der observerede, a srømninger kan være usabile, således a den mindse årsag kan skabe en forsyrrelse i srømningen, der akkumuleres nedsrøms. Neop dee fænomen blev grundig undersøg af Osborne Reynolds (1883), som opsillede e krierium for, under hvilke omsændigheder vandes bevægelse ville være direc or sinuous, senere beegne som henholdsvis laminar eller urbulen srømning. Beingelsen for ligedannehed af srømninger blev benævn Reynolds aw of Similiude eller Reynolds lov. 7. Reynolds lov generel Reynolds lov udrykker, a hvis o srømninger i viskose, usammenrykkelige væsker eller lufarer skal være ligedannede, så skal forholde mellem inerikræfer og frikionskræfer være de samme. Inerikrafen udrykkes igen ved de dynamiske ryks virkning på en vilkårlig flade. Frikions

8 krafen på en vilkårlig flade er ifølge Reynolds proporional med fladens areal A, med væskens dynamiske viskosie µ, og med hældningen af hasighedsprofile U/ y ved væggen, hvor U beegner den lokale hasighed og y er afsanden fra væggen. Denne lovmæssighed går i virkeligheden hel ilbage il Isaac Newon, hvorfor væsker, der følger den, kaldes Newon ske. Forholde mellem den dynamiske viskosie µ og massefylden kaldes den kinemaiske viskosie ν µ ν (8) ed nedensående udledelse af den generelle Reynolds lov benyer man, a der overal er ale om forhold mellem sammenlignelige sørrelser i o ligedannede srømninger. Når man ilsyneladende kan forkore eksempelvis o forskellige hasigheder, skyldes de, a forholde mellem dem er de samme på begge sider af lighedsegne. inerikraf frikionskraf ½ A ν Re U µ A y µ inerikraf frikionskraf ½ U µ y µ ν Re A A (9) hvor er en repræsenaiv længde, for e skib vandlinjelængden, for e rør eller en cylinder deres diameer. En konsekvens af Reynolds lov er, a modelforsøg kræver hasigheder, der er omvend proporionale med modelsørrelsen, hvilke er e alvorlig prakisk problem, da man med små modeller mege le i både luf og vand kommer op på overlydshasighed, hvor srømningerne oal skifer karaker. Afhængig af prooypens srømningshasighed er der alså en absolu grænse for, hvor lille modellen kan bygges, hvis Reynolds lov skal opfyldes. E ande principiel og uløselig problem af særlig beydning for skibsmodelforsøg er, a Reynolds og Froude s modellove ikke kan opfyldes samidig. Reynolds lov kræver, a modelhasigheden er sørre end skibshasigheden, Froude s lov kræver, a modelhasigheden er mindre end skibshasigheden. En logisk men uineressan løsning er naurligvis e modelforsøg i skala 1:1. En anden løsning kunne være a udføre forsøge i en væske med en viskosie, der er mege mindre end vandes, men en sådan væske findes desværre ikke. I sede må man ved hjælp af særlige forsøgsog analyseeknikker korrigere for de skalaeffeker, der skyldes de ikke opfylde modellove. Dee problem diskueres mere generel nedenfor

9 8. Skalaforhold ifølge Reynolds lov Når forholde mellem ineri- og frikionskræfer er de samme for model og prooype, følger heraf skalaforholde for alle andre variable. Igen definerer vi de lineære skalaforhold som forholde mellem prooypelængde og modellængde, de vil sige: (10) hvor alså normal >1 (ide der dog findes modelforsøg, hvor modellen med fordel kan gøres sørre end prooypen). Forholde mellem hasighederne er umiddelbar give ved Reynolds lov: ν ν ν ν (11) an ser heraf, a der kan være fordele ved a skife forsøgsmedium. Da den kinemaiske viskosie for vand er omkring gange mindre end for luf, kan man eksempelvis ved a udføre vindbelasningsforsøg i vand opnå korrek Reynolds al ved en gange lavere hasighed end i luf. En sådan forsøgseknik forudsæer dog, a man kan undgå bølgeeffeker på vandoverfladen. I de følgende beregninger forudsæes de for enkelhedens skyld, a modelforsøgene udføres i prooypemedie, de vil sige luf/luf eller ferskvand/ferskvand ved samme emperaur. Ifølge Reynolds lov har man da: (1) Skalaforholde for iden kan udledes på følgende måde: 1 (13) Der er alså ifølge Reynolds lov en ganske beydelig skalafakor på iden, hvilke har sor beydning ved forsøg med srømningsinducerede vibraioner i plaforme og broer, hvor man både ved modelbygning og i forsøgsanalysen må age hensyn il denne skalafakors virkning på frekvenserne. Også på dee område kan der opså en uløselig konflik mellem Reynolds og Froude s modellove. Acceleraionerne a skaleres ifølge Reynolds modellov som: a a (14) - 9 -

10 Kræferne F, der ifølge Newon s anden lov er produke af masse og acceleraion, skaleres da på følgende måde, ide vi fasholder forudsæningen om samme srømningsmedium: F F a a (15) Ifølge Reynolds modellov skal hasigheden alså øges så mege i modelforsøge, a kræferne bliver de samme som for prooypen. Alene dee forhold viser, a modelforsøg på skibe, offshorekonsrukioner og bygninger med korrek Reynolds al er næsen umulige a gennemføre i praksis. Herefer kan alle øvrige skalaforhold udledes. En samle oversig findes i Tabel 1. Froude s lov ængde (m) Areal (m ) olumen (m 3 3 ) 3 asse (kg) 1 Tid (s) Frekvens (s -1 1 ) 1 Hasighed (m/s) Reynolds lov Acceleraion (m/s 3 ) 1 3 Kraf (N) 1 Tryk (N/m ) 4 Energi (J) 7 Effek (J/s) 1 Tabel 1 Skalaforhold af forsøgsvariable ved modelforsøg under overholdelse af henholdsvis Froude s og Reynolds modellove, ide der er forudsa samme srømningsmedium for model og prooype. 9. De dybdebaserede Froude-al Som ovenfor nævn var Froude s lov oprindelig e udryk for, a bølgernes udbredelseshasighed skulle være lig modellens henholdsvis skibes sejlhasighed. å uendelig dyb vand, hvor bølgeudbredelseshasigheden er en funkion af bølgelængden, er de naurlig a benye skibslængden som den karakerisiske længde. en på lavere vanddybder er forholdene mere komplicerede. å mellemdyb vand er bølgeudbredelseshasigheden en funkion af både bølgelængden og vand

11 dybden. å mege lav vand er hasigheden en funkion af vanddybden d alene, således a alle bølger udbreder sig lige hurig, nemlig med hasigheden c gd (16) ed a indsæe vanddybden d i sede for vandlinjelængden i de almindelige Froude-al får man de dybdebaserede Froude-al: Fr d g d g d (17) Denne varian af Froude-alle, som underiden benævnes Boussinesq-alle, er e mål for, hvor hurig farøje sejler i forhold il bølgernes udbredelseshasighed ved den pågældende (lave) vanddybde. De dybdebaserede Froude-al er e nøgleal i Havelock s (1908) undersøgelser af skibes bølgedannelse på lav vand, og de har fåe ny akualie i forbindelse med indførelsen af hurigfærger i kysnære områder. Bølgedannelsen fra disse skibe afhænger særdeles mege af deres hasighed i forhold il bølgehasigheden. ed de dybdebaserede Froude-al Fr d 1 (18) er skibes hasighed lig med bølgeudbredelseshasigheden. Dee kaldes den kriiske hasighed; lavere hasigheder kaldes underkriiske, højere hasigheder kaldes overkriiske. Da skibe ved den kriiske hasighed bevæger sig med samme hasighed som samlige bølgefrekvenser (i modsæning il siuaionen på dyb vand, hvor kun én frekvens passer med skibes hasighed), kan der akkumuleres mege høje bølger omkring skibe. Af hensyn il kysmiljøe og andre søfarende må man derfor planlægge skibes far i forhold il ruens varierende vanddybder, sådan a skibe enen sejler overkriisk eller underkriisk, og a de befinder sig i de kriiske hasighedsområde i kores mulig id. Der er en ydelig analogi mellem de dybdebaserede Froude-al i forbindelse med sejlads på lav vand og ach-alle i forbindelse med flyvning ved lydhasighed. ed modelforsøg på lav vand ønsker man a opfylde såvel de almindelige som de dybdebaserede Froude-al. Der er ikke nødvendigvis en konflik mellem disse o krav. Hvis modelvanddybden kan skaleres som modellens øvrige lineære skalaforhold, kan begge Froude-al overholdes samidig. 10. Keulegan-Carpener-alle I svingende srømninger, som for eksempel bølgebevægelser omkring en offshorekonsrukion, har de vis sig, a Reynolds-alle ikke er ilsrækkelig il a karakerisere srømningsformer og kræfer. Dee hænger sammen med, a en svingning med sor ampliude og lav frekvens kan give samme parikelhasighed som en svingning med lille ampliude og høj frekvens, men de o srømningsformer kan give vid forskellige kræfer på konsrukionen. I de førse ilfælde nærmer siuaionen sig den saionære srømning, som Reynolds-alle egenlig refererer il, mens man i de ande ilfælde har en siuaion, hvor srømningen den ene vej næppe kan nå a eablere e sabil mønser, før reningen vender, og e ny srømningsmønser skal eableres med modsa foregn

12 For a kunne karakerisere sådanne svingende srømninger definerede G.H. Keulegan og.h. Carpener (1958) de såkalde Keulegan-Carpener-al: U max T KC D (19) hvor U max er den maksimale srømningshasighed i den uforsyrrede srømning på konsrukionens sed, T er (bølge)perioden, og D er e karakerisisk værmål på konsrukionen, for en cirkulær cylinder dens diameer. KC-alle er således, borse fra en alfakor, e mål for parikelbanens ampliude i forhold il konsrukionens sørrelse, og de har afgørende beydning for sørrelsen af srømmodsands- og inerikoefficienerne i orison s formel. KC-alle kan opfyldes samidig med Froude-alle i e bølgemodelforsøg, men da vil Reynoldsalle ikke være opfyld. Overholdelse af alle re modelal i e modelforsøg kan kun finde sed i skala 1:1. en da bølgekræfer på offshorekonsrukioner har så sor sikkerhedsmæssig og økonomisk beydning, har man for dog a nærme sig denne forsøgsilsand flere seder i verden bygge mege sore bølgekanaler, hvor selv de sørse havbølger kan genskabes i skalaforhold omkring 1: Srouhal-alle E ande modelal af beydning for svingningsfænomener i srømmende medier er Srouhal-alle, som er e modelal for hvirvelafløsningsfrekvensen bag e fas legeme i srømmen. an kan også opfae Srouhal-alle som forholde mellem legemes sørrelse og hvirvelafsanden i hvirvelalléen bag legeme. De defineres som: Sr f D U (0) hvor f er hvirvelafløsningsfrekvensen, D er e karakerisisk værmål på konsrukionen, for en cirkulær cylinder dens diameer, og U er den lokale uforsyrrede srømningshasighed. Srouhal-alle er il en vis grad en funkion af Reynolds-alle. Og da Reynolds-alle sjælden kan overholdes i e modelforsøg, vil man generel heller ikke kunne opnå de korreke Srouhal-al. 1. Cauchy-alle Cauchy-alle omhandler forholde mellem inerikræfer og elasiske kræfer, mere specifik i denne sammenhæng kræfer på en konsrukion i vand eller luf i forhold il de elasiske kræfer i konsrukionen selv. Cauchy s modelal defineres som: U Cy E (1) - 1 -

13 hvor er fluidens massefylde, U er srømningshasigheden, og E er maeriales elasicieskoefficien. I e modelforsøg, der skaleres efer Froude s lov i ideniske fluider, vil ælleren i Cauchy-alle blive skalere som de lineære skalaforhold. For a få den korreke elasiske reakion i modellen må man derfor bygge denne af e ilsvarende blødere maeriale end prooypen. Cauchy-alle er en vigig modelparameer ved vindunnelforsøg med hængebroer og andre bløde bygninger, ved dynamiske forsøg med bevægelige offshorekonsrukioner og ved forsøg med skibe i is. 13. Weber-alle Weber-alle omhandler forholde mellem inerikræfer og overfladespændingskræfer. Dee forhold har beydning for modelleringen af propellerkaviaion, bundslag (slamming) og bølgesprøj. Weber s modelal defineres som: U l We σ () hvor er væskens massefylde, U er srømningshasigheden, l er en karakerisisk længde, og σ er overfladespændingen. Generel kan Weber s lov ikke opfyldes sammen med Froude s lov, hvilke er årsagen il, a modelbølger mangler de naurlige bølgers hvide skumoppe. Dee er dog mes er e opisk problem. ere alvorlig er den mangelfulde modellering af propellerkaviaion ved selvfremdrivningsforsøg. For a undersøge dee fænomen har man derfor måe konsruere særlige kaviaionsanke, hvor rykke kan reguleres, således a bobledannelsen omkring kavierende propellerblade kan simuleres i modelskala. 14. ach-alle ach-alle angiver forholde mellem den lokale srømningshasighed U og lydhasigheden c i de srømmende medium. ydhasigheden er de samme som udbredelseshasigheden af en rykbølge i medie. ach-alle defineres som: U a c (3) Udover sin indlysende beydning for fly- og rakeeknologien har ach-alle også relevans for skibs-, offshore- og bygningsforsøg i de ilfælde, hvor rykbølger opsår i vand eller luf. Eksempler herpå er eksplosioner og undervandskommunikaion. I forbindelse med bølgesødryk på offshoreplaforme eller de beslægede slammingryk på skibe er ach-alle e vigig modelal il beskrivelse af rykbølgerne i vande og i de lufpuder, der normal dannes mellem vandoverfladen og konsrukionen, og dermed il skalering af de resulerende ryk

14 ach-alle har kun beydning, når hasigheder og ryk er så sore, a medies kompressibilie er af væsenlig beydning. ed de srømningshasigheder, der er akuelle i skibs-, offshore- og bygningssammenhæng, kan man, borse fra ovennævne specielle fænomener, berage både luf og vand som usammenrykkelige. 15. Skalaeffeker Konfliker mellem de forskellige modellove har være nævn adskillige seder i de foregående afsni. Generel kan man i fysiske modelforsøg ikke opnå overholdelse af mere end en eller o modellove. Alle de uopfylde modellove, som i sørre eller mindre grad er væsenlige for forsøge, vil da give anledning il de fejl, som kaldes skalaeffeker. Skalaeffeker opsår som en logisk følge af, a naurlovene ikke kan ændres i ak med skalaforholde. Skalaeffeker må ikke forveksles med de fejl, der opsår på grund af en ufuldsændig fysisk modellering af forsøgsobjeke eller de fysiske omgivelser. De fejl, der skyldes sådanne fejl, for eksempel en forenkle modelkonsrukion, vægeffeker i en vindunnel eller bølgerefleksioner i e bassin, kaldes derfor modeleffeker. an kan i e vis omfang korrigere for de uundgåelige skalaeffeker. Dee kan ske ren fysisk ved a ændre modellens egenskaber, således a skalaeffekerne minimeres. E eksempel herpå er indførelse af ruhedselemener på modellen for a opnå e urbulen grænselag ved en hasighed, hvor de ellers ville være laminar. E ande eksempel er anvendelse af akive eller passive mekanismer, der løbende korrigerer de kræfer på modellen, som er mes udsa for skalaeffeker. Endelig kan man ved en omhyggelig eferanalyse af forsøgsresulaerne forsøge a fjerne skalaeffekerne ren beregningsmæssig. William Froude s meode il eksrapolaion af skibsmodelforsøg er e skoleeksempel på denne sidsnævne meode. 16. ieraur D Alember, J.. (1768): aradoxe proposé aux géomères sur la résisance des fluides, XXXI émoire, pp Alexander, R. cn. (1976): Esimaes of Speeds of Dinosaurs, Naure, ol. 61, pp Bernoulli, D. (1738): Hydrodynamica, Srasbourg, Basel, 31 pp., 86 figs. Buckingham, E. (1914): On hysically Similar Sysems: Illusraions of he Use of Dimensional Equaions, hysical Review eers, ol. 4, pp Froude, W. (1868): Observaions and Suggesions on he Subjec of Deermining by Experimen he Resisance of Ships, Correspondence wih The Admiraly, Chelson Cross, December 1868, reprined in The apers of William Froude, The Insiuion of Naval Archiecs, ondon, 1955, pp Froude, W. (1874): On Experimens wih H..S. Greyhound, Transacions of The Insiuion of Naval Archiecs, ol. X, pp Hagen, G. (1839): Über die Bewegung des Wassers in engen zylindrischen Röhren, ogg. Ann., ol. 46, pp

15 Havelock, T.H. (1908): The ropagaion of Groups of Waves in Dispersive edia, wih Applicaion o Waves on Waer produced by a Travelling Disurbance, roceedings of he Royal Sociey of ondon, Series A, ol. XXXI, pp Hughes, G. (1954): Fricion and Form Resisance in Turbulen Flow, and a roposed Formulaion for use in odel and Ship Correlaion, Transacions of The Insiuion of Naval Archiecs, ondon, ol. 96, pp ITTC-1957: roceedings of he Eighh Inernaional Towing Tank Conference, adrid, 15-3 Sepember 1957, prined adrid, ITTC-1978: roceedings of he 15h Inernaional Towing Tank Conference, The Hague, 3-10 Sepember 1978, prined Wageningen, Keulegan, G.H. & Carpener,.H. (1958): Forces on Cylinders and laes in an Oscillaing Fluid, Journal of Research of he Naional Bureau of Sandards, Washingon D.C., ol. 60, No.5, pp errifield, C.W. (1870): Experimens Recenly roposed on he Resisance of Ships, Transacions of he Insiuion of Naval Archiecs, ondon, ol. XI, pp Navier,. (186): émoire sur les lois du mouvemen des fluides, émoires de l Académie des Sciences, prined aris, 187, ol. I, pp oiseuille, J. (1841): Recherches expérimenelles sur le mouvemen des liquides dans les ubes de rès peis diamères, Compes Rendus, ol. 11, pp , ol. 11, pp , (1840), ol. 1, p , (1841). randl,. (1904): ÜberFlüssigkeisbewegung bei sehr kleiner Reibung, erhandlungen des III. Inernaionalen ahemaiker-kongresses, Heidelberg, Reynolds, O. (1883): An Experimenal Invesigaion of he Circumsances which Deermine Wheher he oion of Waer Shall be Direc or Sinuous, and of he aw of Resisance in arallel Channels, The hilosophical Transacions of he Royal Sociey, ondon, ol. 174, pp Schoenherr, K.E. (193): Resisance of Fla Surfaces oving Through a Fluid, Transacions of The Sociey of Naval Archiecs and arine Engineers, New York, ol. 40, pp Sokes, G.G. (1843): On Some Cases of Fluid oion, Transacions of he Cambridge hilosophical Sociey, prined Cambridge, 1847, ol. III. Sokes, G.G. (1845): On he Theories of Inernal Fricion of Fluids in oion, Transacions of he Cambridge hilosophical Sociey, prined Cambridge, 1847, ol. III, pp Chrisian Aage 9. sepember