Modellove ved fysiske modelforsøg

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Modellove ved fysiske modelforsøg"

Transkript

1 DANSIS emadag om eksperimenel fluid dynamik (EFD) på FORCE Technology, yngby, 8. okober 003 odellove ved fysiske modelforsøg Chrisian Aage Docen, ph.d. Danmarks Tekniske Universie ariim Teknik Absrac: Selv om fysiske modelforsøg inden for srømningsmekanikken har være udfør i århundreder, er de førs inden for de sidse god og vel hundrede år, a man har kunne uddrage fornufige konklusioner af forsøgene og omsæe måleresulaerne il pålidelige fuldskaladaa. ed udgangspunk i den hisoriske udvikling af fysiske modelforsøg på skibsområde gennemgås udviklingen og sysemaiseringen af de generelle modellove. 1. Indledning En model er e billede af virkeligheden, som har visse væsenlige egenskaber fælles med den undersøge prooype, mens andre egenskaber er forskellige. En model kan være en fysisk gensand udsa for fysiske påvirkninger, eller den kan være af ren ankemæssig, immaeriel indhold, som for eksempel en maemaisk eller en numerisk model. En fysisk model kan indeholde en række af prooypens vigigse egenskaber, for eksempel relaiv geomerisk form, massefordeling og bølgeforhold i e modelbassin, mens andre egenskaber, som absolu sørrelse, byggemaerialer og sejlhasighed med vilje er valg anderledes end for prooypen. Herved kan der opnås sore besparelser i id og penge, og forsøgene kan flyes ind i e laboraorium, hvor de fysiske omgivelser kan syres. Overordne se ønsker man i e modelforsøg a overholde ligedannehedsprincippe he principle of similiude i så høj grad som mulig, eller med andre ord a overholde de modellove, som er relevane for de pågældende problem. igedannehedsprincippe kan formuleres som en overenssemmelse mellem de nondimensionale kombinaioner af variable, der har beydning for de pågældende fysiske fænomen, de såkalde modelal. ed dimensionsanalyse kan man opsille alle de nondimensionale modelal, som er eoreisk mulige for en given fysisk proces. Denne meode er sysemaisere af Buckingham (1914) i de såkalde i-eorem. en hvis man opsøger alle de mulige nondimensionale modelal, som kan dannes på basis af alle de paramere, der kunne ænkes a indgå i en given fysisk proces, kan man komme op på e mege sor anal, hvoraf de flese vil være uden væsenlig beydning. an må derfor generel foreage en sorering basere på fysisk indsig og erfaring. Denne arikel omhandler hovedsagelig fysiske modelforsøg, og i særdeleshed de hydro- og aerodynamiske modelforsøg, modellove og modelal, der finder anvendelse indenfor skibs-, offshore- og bygningsområde. Hydro- og aerodynamiske modelforsøg har hisorisk se være nøglen il forsåelsen af srømningsmekanikken, og modelforsøg er sadig e uvurderlig værkøj i forskningsmæssig og indusriel sammenhæng. I dee foredrag gennemgås den grundlæggende eori for sådanne forsøg. eoder il omregning af modelresulaer il fuld skala beskrives, og skalaeffeker diskueres. De skal nævnes, a modellovene også kan anvendes ved sammenligning af fuldskalakonsrukioner af forskellig sørrelse, for eksempel ved omregning af fuldskalamålinger fra e mindre skib il e sørre

2 . Hisorisk baggrund odelforsøg med skibe er beskreve i den videnskabelige lieraur hel ilbage il 1600-alle, og forsøg med modelskibe har uvivlsom være udfør på amaørplan i årusinder. Seriøse videnskabelige modelforsøg blev i 1700-alle udfør i bassiner, der i sørrelse nærmer sig vore dages laboraoriebassiner. Som regel blev modsandsforsøg udfør som sammenlignende forsøg mellem alernaive udformninger af e give skib. en selv om daidens sørse videnskabsmænd blev inddrage i forsøg på en eoridannelse og olkning af sådanne eksperimener, der selvsag havde sor sraegisk og økonomisk beydning, måe man generel erkende, a der ilsyneladende ikke var nogen enydig sammenhæng mellem modelforsøgsresulaerne og skibenes præsaioner. Så sen som i 1870 konsaerede den kende skibsbygger og hydrodynamiker J. Sco Russell om skibsmodsandsmålinger, a he resuls on a large scale, were precisely he conrary o he resuls on a small scale. Bemærkningen fald i en diskussion i The Insiuion of Naval Archiecs i England (errifield, 1870), hvor William Froude måe forsvare sine planer for en skibsmodelank, som han samme år havde fåe søe il fra de briiske admiralie. Froude havde i 1868 ved eoreiske overvejelser og nogle forholdsvis enkle forsøg funde løsningen på modelforsøgsgåden (Froude, 1868). Nogle få år senere, da Froude ikke alene havde udfør en række epokegørende modelforsøgsserier i sin nybyggede modelank i Torquay, men også havde efervis sin analysemeodes rigighed ved de berøme Greyhound fuldskalaforsøg (Froude, 1874), var hele den mariime verden bleve overbevis om værdien af skibsmodelforsøg, og i løbe af nogle årier havde alle skibsfarsnaioner bygge modelanke efer Froude s forbillede. Danmark fik dog som de sidse land i Skandinavien førs sin skibsmodelank i Hjorekær i 1959 efer rofessor C.W. rohaskas mangeårige forarbejde. Froude s geni besod i, a han i modsæning il alle sine forgængere erkende, dels a modelforsøge for a give mening måe udføres ved en hasighed, der sikrer ligedannehed af bølgesysemerne, og dels a skibes modsand besår af flere fysisk mege forskellige komponener: bølgemodsand, frikionsmodsand og rykmodsand, der ikke kan omfaes af en fælles skalafakor. Froude s meode var da a måle og adskille disse komponener i modelskala, a omregne dem hver for sig il skibsskala efer love, som han selv førs måe finde, og derefer igen sammensæe komponenerne il skibes modsand. En anden vigig del af Froude s begavelse var hans evne il a konsruere og med egne hænder bygge alle de maskiner, modeller og måleapparaer, såvel i modelskala som i fuld skala, der var nødvendige for gennemførelsen af hans forsøg. Froude s klare forsåelse af skibsmodsandens fysik var e sørre gennembrud, end man i dag foresiller sig. å hans id var den almindelige opfaelse af skibsmodsand, også bland lærde folk, hene fra analogi med en plov, der rækkes gennem jord. odsanden menes a samme fra den kraf, der skulle il for a skubbe vande il side, således a skibe kunne få plads il a bevæge sig frem i den derved skabe plovfure. Denne opfaelse føre naurlig nok il de dampskibe, der kendes fra miden af 1800-alle, som havde eksrem spidse og konkave sævne og mege lille bredde, hvilke i øvrig medføre e sor anal unødvendige skibsforlis på grund af manglende sabilie. A der opsår e overryk ved skibes forsævn var umiddelbar forsåelig for enhver. en den anke, a overrykke kunne omsæes il forøge hasighed langs skibes bund og sider, for så igen (om end med e vis ab) a blive omsa il overryk ved agersævnen, var fremmed for den ids skibsbyggere. an kende naurligvis Bernoulli s ligning (1738), som forklarer denne energiomsæning. en på de idspunk var der en generel misillid il den klassiske hydrodynamik, der - -

3 ofe havde før il uforsåelige resulaer, eksempelvis d Alember s paradoks (1768), som forudsiger modsanden nul på e vilkårlig legeme neddykke i en srømmende ideal væske, hvilke er eoreisk korrek, men i klar modsrid med erfaringen fra virkelige væsker. rakiske skibsbyggere og hydrodynamikere havde derfor i årevis føl sig henvis il a bygge skibe efer eoreisk svag funderede håndregler baserede på fuldskalaerfaringer. 3. Froude s lov hisorisk Bølgemodsanden måe ifølge Froude besemmes ved en hasighed, hvor modellens bølgedannelse var ligedanne med skibes, samidig med, a bølgesysemerne skulle være saionære se fra farøje, de vil sige bevæge sig med samme hasighed som henholdsvis model og skib, som erfaringen viser, a skibsbølger gør. Bølgers udbredelseshasighed c på dyb vand er give ved formlen: c g λ π (1) hvor g er yngdeacceleraionen og λ er bølgelængden, og denne formel var velkend på Froude s id. Da bølgelængderne på grund af ligedannehedsbeingelsen måe forholde sig som længderne af henholdsvis model og skib, kunne han derfor konkludere, a hasighederne ved corresponding speeds måe forholde sig som kvadraroden af skalaforholde, således a: S S () Hvor indeks sår for model og S for skib. Dee speed-lengh raio med hasigheden i knob og farøjes længde i fod forerækkes sadig af en del skibsbyggere af radiionsmæssige grunde. i skal nedenfor udlede de nondimensionale Froude-al, som generel bruges i dag. ed disse hasigheder ville modsandene så ifølge Froude forholde sig som farøjernes væge, de vil sige som skalaforholde i redje poens. Denne vigige aw of Comparison kaldes i dag Froude s lov. Oprindelig havde Froude regne med, a hele modsanden ville følge denne lov, men han erkende idlig efer eoreiske overvejelser og omhyggelig udføre forsøg, a frikionsmodsanden fulge andre love. Froude s udledelse af den modelhasighed, som giver den korreke bølgedannelse, var e gennembrud for modelforsøgseknikken. å Froude s id var de en udbred opfaelse, a modellerne skulle slæbes med skibshasighed, og de gav naurlig nok anledning il fejlkonsrukioner, da selv simple sammenligningsforsøg mellem o modeller kan give mege misvisende resulaer, når hasighederne er forkere. De bør nævnes her, a franskmanden F. Reech allerede i 183 fremsae ovennævne lovmæssighed for hasigheder og modsande af flydende legemer, men uden i øvrig a udnye denne erkendelse il noge prakisk formål. Froude s lov kaldes derfor underiden Froude-Reech s lov. Frikionsmodsanden kunne man på Froude s id ikke beregne, men de var almindelig accepere, a den var proporional med hasighedens kvadra og med overfladeareale. Også på dee punk leverede Froude den nyænkning, som var nødvendig, for a hans modelforsøgseknik kunne blive en succes. Han argumenerede for, a frikionsmodsanden voksede mindre end hasighedens - 3 -

4 kvadra, ide hasigheden langs den våde overflade måe blive nedbremse, således a de agerse dele af overfladen mærkede en mindre frikionsmodsand end de forrese. Denne inuiive forløber for grænselagseorien vake også en del modsand bland daidens eksperer, men Froude kunne efervise sin hypoese ved hjælp af sysemaiske serier af slæbeforsøg med ynde ferniserede ræplader af varierende længde op il 50 fod. Herved fik han samidig eablere de sæ af frikionsmodsandskurver, som gjorde de mulig for ham med forbavsende nøjagighed a eksrapolere frikionsmodsanden hel op il skibssørrelse. I dag regner vi som regel frikionsmodsanden som værende proporional med hasighedens kvadra, men korrigerer så for nedbremsningen i grænselage ved hjælp af variable frikionsmodsandskoefficiener. Trykmodsanden, som Froude kalde hvirvelmodsand (eddy-making resisance), anog han ville følge samme skalafakor som bølgemodsanden, dvs. redje poens af de lineære skalaforhold. Froude s meode var a udføre modelforsøg med o modeller af skibe, den ene en normal redimensional skalamodel, den anden en ynd fernisere ræplade af samme længde og samme våde overflade som den førse model. odsanden på den førse model var da den oale modelmodsand R T, mens modsanden på den anden model var den rene frikionsmodsand R F. Forskellen mellem disse, der besod af bølgemodsand og i mindre omfang af rykmodsand, benævne han resmodsanden R R (residuary resisance). Omregningen il skibsskala foregik som nævn ved, a resmodsanden blev muliplicere med skalaforholde i redje poens, mens skibes frikionsmodsand blev funde ved eksrapolaion af Froude s sysemaiske frikionsmodsandskurver. Denne meode bruges sadig i dag, dog med den modifikaion, a man beregner frikionsmodsanden i sede for a måle den. Efer uallige frikionsforsøg med plader af varierende sørrelse og ved varierende hasighed har man være i sand il a sammenfae de måle frikionsmodsande i nondimensionale frikionslinier. es kende er Schoenherr s frikionslinie (193) og ITTC-1957 linien, der begge med sor nøjagighed angiver frikionsmodsanden på plane flader med urbulen grænselag, såvel i modelskala som i skibsskala. I erkendelse af, a også frikionsmodsanden i nogen grad afhænger af skibsskroges form, kan man efer G. Hughes (1954) forslag, i dag benævn ITTC-1978 meoden, indføre formfakorer som en ilpasning af den grundlæggende frikionslinie il den akuelle skibsform. 4. Froude s lov generel Froude s lov er oprindelig udled specifik il brug ved skibsmodelforsøg. Den udrykker, a bølgesysemerne omkring model og skib skal være ligedannede, og da overfladebølger er besem af inerikræfer og yngdekræfer, er de med andre ord forholde mellem disse, der skal være ens. Denne modellov har imidlerid generelle anvendelser, der går lang udover skibsmodsandsforsøg. Froude s lov gælder for alle yper af skibs- og offshoreforsøg, hvor inerikræfer og yngdekræfer dominerer, de vil sige ved forsøg med overfladebølger, herunder selvfremdrivningsforsøg, sødygighedsforsøg og bølgebelasningsforsøg. en også havne- og kysforsøg med bølger og andre hydrauliske forsøg med floder og vandløb, vandfald og vandkrafværker er omfae af Froude s lov. ed overfladebølger forsås her generel bølger på grænsefladen mellem o fluider af forskellig massefylde, således også mellem salvand og ferskvand eller mellem o luflag i amosfæren

5 En lang række ekniske forsøg med fase legemer, hvor ineri og yngde dominerer, er syre af Froude s lov, eksempelvis dynamiske forsøg med bygninger, huse, årne, broer og ranspormidler, sam visse ballisiske forsøg. Også i biologisk og palæonologisk forskning har Froude s lov spille en vigig rolle. De har vis sig, a landlevende dyrs kropsmål og deres skridlængde sa i forhold il deres hasighed i gang og løb kan sysemaiseres ved hjælp af Froude s lov. Og ved a anvende samme analysemeode på forsenede foridsdyr har man kunne besemme, hvor hurig de forskellige arer af dinosaurer har være i sand il a gå eller løbe (R.. Alexander, 1976). Tidsskalaen i Froude s lov har beydning ved filmopagelser af modelforsøg. Hvis en modelforsøgsfilm skal kunne illudere naurlig fuldskalaempo ved normal fremvisningshasighed (4 billeder per sekund for film, 5 billeder per sekund for T), skal modelforsøge filmes med highspeed kamera ved en billedhasighed, der svarer il idsskalaen (se nedenfor). Dee gælder såvel ekniske forsøg som spillefilmopagelser med eksempelvis modeller af synkende skibe, vælende og eller sammensyrende huse. Udledelsen af Froude s lov kan foreages på mange måder. i vil her age udgangspunk i srømningsmekanikken, men mere generel end Froude selv gjorde de, ide vi blo udrykker, a ineri- og yngdekræfer skal have samme forhold for model og prooype. E mål for en væskes ineri er førse led i Bernoulli s ligning, de dynamiske ryk, der som bekend udrykker væskens kineiske energi per rumfangsenhed. De dynamiske ryks virkning på e vilkårlig areal A giver en inerikraf. Tilsvarende finder vi yngdekrafen som virkningen af yngdeacceleraionen g på e vilkårlig væskevolumen med massefylden. odelsørrelser beegnes med indeks, mens prooypesørrelser beegnes med indeks. inerikraf yngdekraf g ½ A g g Fr inerikraf yngdekraf ½ A g Fr g g (3) Ifølge ISO-sandard skrives de dimensionsløse Froude-al som Fr. I skibssammenhæng benyes dog ofe de ældre symbol F n. I skibssammenhæng er de ligeledes normal a ersae indeks med e S for skib. ængden er en for de pågældende forsøg karakerisisk længde, ved skibsmodsandsforsøg på dyb vand skibes vandlinielængde w. an ser, a massefylden ikke indgår i Froude s al. De beyder, a man kan udføre Frouderelaerede modelforsøg i en vilkårlig væske. an kan eksempelvis benye ferskvand i sede for - 5 -

6 salvand og sadig få de korreke forhold mellem ineri- og yngdekræfer. en ved beregning af kræfernes absolue sørrelse må man dog age hensyn il de akuelle massefylder. 5. Skalaforhold ifølge Froude s lov Når forholde mellem ineri- og yngdekræfer er de samme for model og prooype, følger heraf skalaforholde for alle andre variable. I skibsmodelforsøg er de lineære skalaforhold radiionel forholde mellem prooypelængde og modellængde, de vil sige: (4) hvor alså normal >1 (ide der dog findes modelforsøg, hvor modellen med fordel kan gøres sørre end prooypen). En direke følge af den grundlæggende forudsæning i Froude s lov er, a alle acceleraioner forholder sig som yngdeacceleraionerne. Hvis vi for nemheds skyld anager, a yngdeacceleraionerne g for model og prooype er omren ens uanse sede på jordkloden, må alle andre acceleraioner a også nødvendigvis skaleres ens, de vil sige: a a g g 1 (5) En logisk følge heraf er, a både id og hasighed må skaleres som kvadraroden af de lineære skalaforhold: (6) Kræferne F, der ifølge Newon s anden lov er produke af masse og acceleraion, må da forholde sig som masserne af ilsvarende væskevolumener, de vil sige: F F 3 (7) Herefer kan alle øvrige skalaforhold udledes. En samle oversig findes i Tabel Reynolds lov hisorisk A der er frikionsmodsand i ykflydende væsker er åbenlys for enhver, der har prøve a række en kniv på langs gennem væsker som honning, jære eller yk olie. en a også de mes leflydende fluider som vand og luf har en viskosie, der har en alafgørende beydning for srømningsmodsanden på legemer neddykke i fluiden, er ikke umiddelbar indlysende. Således var de indil lang - 6 -

7 op i 1800-alle en almindelig accepere anagelse i den klassiske hydrodynamik, a man uden mærkbare fejl kunne se bor fra alle viskose effeker i væsker som vand. A de neop var denne ilsyneladende mege rimelige anagelse, der var skyld i de mes iøjnefaldende fejl, hvoraf d Alember s paradoks nok er de mes kende (se ovenfor), blev i realieen førs opklare af udwig randl (1904) i hans banebrydende grænselagseori. iskosieen har såvel en direke som en indireke virkning på srømningsmodsanden. iskosieens direke virkning er frikionsmodsanden, som man mærker langs en fas væg, der er parallel med srømningsreningen, som for eksempel langs e skibs bund og sider. Dee skyldes, a selv den mindse viskosie vil medføre, a de inderse molekyle sidder fas på væggen, den såkalde no-slip condiion, hvorved der opsår e grænselag med en hasighedsgradien og dermed en forskydningsspænding i væsken nær væggen. iskosieens indireke virkning er rykmodsanden. iskosieen forårsager en opbremsning i grænselage æ på legeme, som bevirker, a der opsår separaion e sed på legemes overflade med eferfølgende hvirveldannelse nedsrøms. Der sker med andre ord en energidissipaion ud i væsken, hvorved der ikke er energi nok il hel a genopbygge de samme overryk bag legeme, som srømningen har frembrag på forsiden. Den samlede virkning af denne usymmeriske rykfordeling er rykmodsanden. For srømlinede legemer som skibe eller fly er frikionsmodsanden væsenlig sørre end rykmodsanden. For plumpe legemer som kugler, cylindre eller kasser er omvend rykmodsanden hel dominerende i forhold il frikionsmodsanden. A gøre e legeme srømline beyder med andre ord a minimere rykmodsanden. iskosie og frikionsmodsand har beskæfige forskerne hel ilbage il Isaac Newon, men som nævn var der udbred enighed om, a disse sørrelser i vand og luf var ubeydelige.. Navier (186) havde på delvis inuiiv basis opsille bevægelsesligningerne for væsker inklusive de viskose kræfer. Senere udlede G.G. Sokes (1845) på en mere formel korrek måde de samme ligninger, som derfor kaldes Navier-Sokes ligninger. en på grund af disse ligningers komplicerede naur kunne de ikke og kan sadig ikke løses maemaisk, undagen i mege specielle ilfælde. Dog er de i de senere år bleve mulig ved anvendelse af mege sor regnekraf a løse Navier- Sokes ligninger numerisk. Førs med G. Hagen s (1839) og J. oiseuille s (1841) uafhængige undersøgelser af rørsrømninger fik man eoreiske og eksperimenelle daa for viskosieens beydning på dee eknisk vigige område. G.G. Sokes (1843) var den førse, der observerede, a srømninger kan være usabile, således a den mindse årsag kan skabe en forsyrrelse i srømningen, der akkumuleres nedsrøms. Neop dee fænomen blev grundig undersøg af Osborne Reynolds (1883), som opsillede e krierium for, under hvilke omsændigheder vandes bevægelse ville være direc or sinuous, senere beegne som henholdsvis laminar eller urbulen srømning. Beingelsen for ligedannehed af srømninger blev benævn Reynolds aw of Similiude eller Reynolds lov. 7. Reynolds lov generel Reynolds lov udrykker, a hvis o srømninger i viskose, usammenrykkelige væsker eller lufarer skal være ligedannede, så skal forholde mellem inerikræfer og frikionskræfer være de samme. Inerikrafen udrykkes igen ved de dynamiske ryks virkning på en vilkårlig flade. Frikions

8 krafen på en vilkårlig flade er ifølge Reynolds proporional med fladens areal A, med væskens dynamiske viskosie µ, og med hældningen af hasighedsprofile U/ y ved væggen, hvor U beegner den lokale hasighed og y er afsanden fra væggen. Denne lovmæssighed går i virkeligheden hel ilbage il Isaac Newon, hvorfor væsker, der følger den, kaldes Newon ske. Forholde mellem den dynamiske viskosie µ og massefylden kaldes den kinemaiske viskosie ν µ ν (8) ed nedensående udledelse af den generelle Reynolds lov benyer man, a der overal er ale om forhold mellem sammenlignelige sørrelser i o ligedannede srømninger. Når man ilsyneladende kan forkore eksempelvis o forskellige hasigheder, skyldes de, a forholde mellem dem er de samme på begge sider af lighedsegne. inerikraf frikionskraf ½ A ν Re U µ A y µ inerikraf frikionskraf ½ U µ y µ ν Re A A (9) hvor er en repræsenaiv længde, for e skib vandlinjelængden, for e rør eller en cylinder deres diameer. En konsekvens af Reynolds lov er, a modelforsøg kræver hasigheder, der er omvend proporionale med modelsørrelsen, hvilke er e alvorlig prakisk problem, da man med små modeller mege le i både luf og vand kommer op på overlydshasighed, hvor srømningerne oal skifer karaker. Afhængig af prooypens srømningshasighed er der alså en absolu grænse for, hvor lille modellen kan bygges, hvis Reynolds lov skal opfyldes. E ande principiel og uløselig problem af særlig beydning for skibsmodelforsøg er, a Reynolds og Froude s modellove ikke kan opfyldes samidig. Reynolds lov kræver, a modelhasigheden er sørre end skibshasigheden, Froude s lov kræver, a modelhasigheden er mindre end skibshasigheden. En logisk men uineressan løsning er naurligvis e modelforsøg i skala 1:1. En anden løsning kunne være a udføre forsøge i en væske med en viskosie, der er mege mindre end vandes, men en sådan væske findes desværre ikke. I sede må man ved hjælp af særlige forsøgsog analyseeknikker korrigere for de skalaeffeker, der skyldes de ikke opfylde modellove. Dee problem diskueres mere generel nedenfor

9 8. Skalaforhold ifølge Reynolds lov Når forholde mellem ineri- og frikionskræfer er de samme for model og prooype, følger heraf skalaforholde for alle andre variable. Igen definerer vi de lineære skalaforhold som forholde mellem prooypelængde og modellængde, de vil sige: (10) hvor alså normal >1 (ide der dog findes modelforsøg, hvor modellen med fordel kan gøres sørre end prooypen). Forholde mellem hasighederne er umiddelbar give ved Reynolds lov: ν ν ν ν (11) an ser heraf, a der kan være fordele ved a skife forsøgsmedium. Da den kinemaiske viskosie for vand er omkring gange mindre end for luf, kan man eksempelvis ved a udføre vindbelasningsforsøg i vand opnå korrek Reynolds al ved en gange lavere hasighed end i luf. En sådan forsøgseknik forudsæer dog, a man kan undgå bølgeeffeker på vandoverfladen. I de følgende beregninger forudsæes de for enkelhedens skyld, a modelforsøgene udføres i prooypemedie, de vil sige luf/luf eller ferskvand/ferskvand ved samme emperaur. Ifølge Reynolds lov har man da: (1) Skalaforholde for iden kan udledes på følgende måde: 1 (13) Der er alså ifølge Reynolds lov en ganske beydelig skalafakor på iden, hvilke har sor beydning ved forsøg med srømningsinducerede vibraioner i plaforme og broer, hvor man både ved modelbygning og i forsøgsanalysen må age hensyn il denne skalafakors virkning på frekvenserne. Også på dee område kan der opså en uløselig konflik mellem Reynolds og Froude s modellove. Acceleraionerne a skaleres ifølge Reynolds modellov som: a a (14) - 9 -

10 Kræferne F, der ifølge Newon s anden lov er produke af masse og acceleraion, skaleres da på følgende måde, ide vi fasholder forudsæningen om samme srømningsmedium: F F a a (15) Ifølge Reynolds modellov skal hasigheden alså øges så mege i modelforsøge, a kræferne bliver de samme som for prooypen. Alene dee forhold viser, a modelforsøg på skibe, offshorekonsrukioner og bygninger med korrek Reynolds al er næsen umulige a gennemføre i praksis. Herefer kan alle øvrige skalaforhold udledes. En samle oversig findes i Tabel 1. Froude s lov ængde (m) Areal (m ) olumen (m 3 3 ) 3 asse (kg) 1 Tid (s) Frekvens (s -1 1 ) 1 Hasighed (m/s) Reynolds lov Acceleraion (m/s 3 ) 1 3 Kraf (N) 1 Tryk (N/m ) 4 Energi (J) 7 Effek (J/s) 1 Tabel 1 Skalaforhold af forsøgsvariable ved modelforsøg under overholdelse af henholdsvis Froude s og Reynolds modellove, ide der er forudsa samme srømningsmedium for model og prooype. 9. De dybdebaserede Froude-al Som ovenfor nævn var Froude s lov oprindelig e udryk for, a bølgernes udbredelseshasighed skulle være lig modellens henholdsvis skibes sejlhasighed. å uendelig dyb vand, hvor bølgeudbredelseshasigheden er en funkion af bølgelængden, er de naurlig a benye skibslængden som den karakerisiske længde. en på lavere vanddybder er forholdene mere komplicerede. å mellemdyb vand er bølgeudbredelseshasigheden en funkion af både bølgelængden og vand

11 dybden. å mege lav vand er hasigheden en funkion af vanddybden d alene, således a alle bølger udbreder sig lige hurig, nemlig med hasigheden c gd (16) ed a indsæe vanddybden d i sede for vandlinjelængden i de almindelige Froude-al får man de dybdebaserede Froude-al: Fr d g d g d (17) Denne varian af Froude-alle, som underiden benævnes Boussinesq-alle, er e mål for, hvor hurig farøje sejler i forhold il bølgernes udbredelseshasighed ved den pågældende (lave) vanddybde. De dybdebaserede Froude-al er e nøgleal i Havelock s (1908) undersøgelser af skibes bølgedannelse på lav vand, og de har fåe ny akualie i forbindelse med indførelsen af hurigfærger i kysnære områder. Bølgedannelsen fra disse skibe afhænger særdeles mege af deres hasighed i forhold il bølgehasigheden. ed de dybdebaserede Froude-al Fr d 1 (18) er skibes hasighed lig med bølgeudbredelseshasigheden. Dee kaldes den kriiske hasighed; lavere hasigheder kaldes underkriiske, højere hasigheder kaldes overkriiske. Da skibe ved den kriiske hasighed bevæger sig med samme hasighed som samlige bølgefrekvenser (i modsæning il siuaionen på dyb vand, hvor kun én frekvens passer med skibes hasighed), kan der akkumuleres mege høje bølger omkring skibe. Af hensyn il kysmiljøe og andre søfarende må man derfor planlægge skibes far i forhold il ruens varierende vanddybder, sådan a skibe enen sejler overkriisk eller underkriisk, og a de befinder sig i de kriiske hasighedsområde i kores mulig id. Der er en ydelig analogi mellem de dybdebaserede Froude-al i forbindelse med sejlads på lav vand og ach-alle i forbindelse med flyvning ved lydhasighed. ed modelforsøg på lav vand ønsker man a opfylde såvel de almindelige som de dybdebaserede Froude-al. Der er ikke nødvendigvis en konflik mellem disse o krav. Hvis modelvanddybden kan skaleres som modellens øvrige lineære skalaforhold, kan begge Froude-al overholdes samidig. 10. Keulegan-Carpener-alle I svingende srømninger, som for eksempel bølgebevægelser omkring en offshorekonsrukion, har de vis sig, a Reynolds-alle ikke er ilsrækkelig il a karakerisere srømningsformer og kræfer. Dee hænger sammen med, a en svingning med sor ampliude og lav frekvens kan give samme parikelhasighed som en svingning med lille ampliude og høj frekvens, men de o srømningsformer kan give vid forskellige kræfer på konsrukionen. I de førse ilfælde nærmer siuaionen sig den saionære srømning, som Reynolds-alle egenlig refererer il, mens man i de ande ilfælde har en siuaion, hvor srømningen den ene vej næppe kan nå a eablere e sabil mønser, før reningen vender, og e ny srømningsmønser skal eableres med modsa foregn

12 For a kunne karakerisere sådanne svingende srømninger definerede G.H. Keulegan og.h. Carpener (1958) de såkalde Keulegan-Carpener-al: U max T KC D (19) hvor U max er den maksimale srømningshasighed i den uforsyrrede srømning på konsrukionens sed, T er (bølge)perioden, og D er e karakerisisk værmål på konsrukionen, for en cirkulær cylinder dens diameer. KC-alle er således, borse fra en alfakor, e mål for parikelbanens ampliude i forhold il konsrukionens sørrelse, og de har afgørende beydning for sørrelsen af srømmodsands- og inerikoefficienerne i orison s formel. KC-alle kan opfyldes samidig med Froude-alle i e bølgemodelforsøg, men da vil Reynoldsalle ikke være opfyld. Overholdelse af alle re modelal i e modelforsøg kan kun finde sed i skala 1:1. en da bølgekræfer på offshorekonsrukioner har så sor sikkerhedsmæssig og økonomisk beydning, har man for dog a nærme sig denne forsøgsilsand flere seder i verden bygge mege sore bølgekanaler, hvor selv de sørse havbølger kan genskabes i skalaforhold omkring 1: Srouhal-alle E ande modelal af beydning for svingningsfænomener i srømmende medier er Srouhal-alle, som er e modelal for hvirvelafløsningsfrekvensen bag e fas legeme i srømmen. an kan også opfae Srouhal-alle som forholde mellem legemes sørrelse og hvirvelafsanden i hvirvelalléen bag legeme. De defineres som: Sr f D U (0) hvor f er hvirvelafløsningsfrekvensen, D er e karakerisisk værmål på konsrukionen, for en cirkulær cylinder dens diameer, og U er den lokale uforsyrrede srømningshasighed. Srouhal-alle er il en vis grad en funkion af Reynolds-alle. Og da Reynolds-alle sjælden kan overholdes i e modelforsøg, vil man generel heller ikke kunne opnå de korreke Srouhal-al. 1. Cauchy-alle Cauchy-alle omhandler forholde mellem inerikræfer og elasiske kræfer, mere specifik i denne sammenhæng kræfer på en konsrukion i vand eller luf i forhold il de elasiske kræfer i konsrukionen selv. Cauchy s modelal defineres som: U Cy E (1) - 1 -

13 hvor er fluidens massefylde, U er srømningshasigheden, og E er maeriales elasicieskoefficien. I e modelforsøg, der skaleres efer Froude s lov i ideniske fluider, vil ælleren i Cauchy-alle blive skalere som de lineære skalaforhold. For a få den korreke elasiske reakion i modellen må man derfor bygge denne af e ilsvarende blødere maeriale end prooypen. Cauchy-alle er en vigig modelparameer ved vindunnelforsøg med hængebroer og andre bløde bygninger, ved dynamiske forsøg med bevægelige offshorekonsrukioner og ved forsøg med skibe i is. 13. Weber-alle Weber-alle omhandler forholde mellem inerikræfer og overfladespændingskræfer. Dee forhold har beydning for modelleringen af propellerkaviaion, bundslag (slamming) og bølgesprøj. Weber s modelal defineres som: U l We σ () hvor er væskens massefylde, U er srømningshasigheden, l er en karakerisisk længde, og σ er overfladespændingen. Generel kan Weber s lov ikke opfyldes sammen med Froude s lov, hvilke er årsagen il, a modelbølger mangler de naurlige bølgers hvide skumoppe. Dee er dog mes er e opisk problem. ere alvorlig er den mangelfulde modellering af propellerkaviaion ved selvfremdrivningsforsøg. For a undersøge dee fænomen har man derfor måe konsruere særlige kaviaionsanke, hvor rykke kan reguleres, således a bobledannelsen omkring kavierende propellerblade kan simuleres i modelskala. 14. ach-alle ach-alle angiver forholde mellem den lokale srømningshasighed U og lydhasigheden c i de srømmende medium. ydhasigheden er de samme som udbredelseshasigheden af en rykbølge i medie. ach-alle defineres som: U a c (3) Udover sin indlysende beydning for fly- og rakeeknologien har ach-alle også relevans for skibs-, offshore- og bygningsforsøg i de ilfælde, hvor rykbølger opsår i vand eller luf. Eksempler herpå er eksplosioner og undervandskommunikaion. I forbindelse med bølgesødryk på offshoreplaforme eller de beslægede slammingryk på skibe er ach-alle e vigig modelal il beskrivelse af rykbølgerne i vande og i de lufpuder, der normal dannes mellem vandoverfladen og konsrukionen, og dermed il skalering af de resulerende ryk

14 ach-alle har kun beydning, når hasigheder og ryk er så sore, a medies kompressibilie er af væsenlig beydning. ed de srømningshasigheder, der er akuelle i skibs-, offshore- og bygningssammenhæng, kan man, borse fra ovennævne specielle fænomener, berage både luf og vand som usammenrykkelige. 15. Skalaeffeker Konfliker mellem de forskellige modellove har være nævn adskillige seder i de foregående afsni. Generel kan man i fysiske modelforsøg ikke opnå overholdelse af mere end en eller o modellove. Alle de uopfylde modellove, som i sørre eller mindre grad er væsenlige for forsøge, vil da give anledning il de fejl, som kaldes skalaeffeker. Skalaeffeker opsår som en logisk følge af, a naurlovene ikke kan ændres i ak med skalaforholde. Skalaeffeker må ikke forveksles med de fejl, der opsår på grund af en ufuldsændig fysisk modellering af forsøgsobjeke eller de fysiske omgivelser. De fejl, der skyldes sådanne fejl, for eksempel en forenkle modelkonsrukion, vægeffeker i en vindunnel eller bølgerefleksioner i e bassin, kaldes derfor modeleffeker. an kan i e vis omfang korrigere for de uundgåelige skalaeffeker. Dee kan ske ren fysisk ved a ændre modellens egenskaber, således a skalaeffekerne minimeres. E eksempel herpå er indførelse af ruhedselemener på modellen for a opnå e urbulen grænselag ved en hasighed, hvor de ellers ville være laminar. E ande eksempel er anvendelse af akive eller passive mekanismer, der løbende korrigerer de kræfer på modellen, som er mes udsa for skalaeffeker. Endelig kan man ved en omhyggelig eferanalyse af forsøgsresulaerne forsøge a fjerne skalaeffekerne ren beregningsmæssig. William Froude s meode il eksrapolaion af skibsmodelforsøg er e skoleeksempel på denne sidsnævne meode. 16. ieraur D Alember, J.. (1768): aradoxe proposé aux géomères sur la résisance des fluides, XXXI émoire, pp Alexander, R. cn. (1976): Esimaes of Speeds of Dinosaurs, Naure, ol. 61, pp Bernoulli, D. (1738): Hydrodynamica, Srasbourg, Basel, 31 pp., 86 figs. Buckingham, E. (1914): On hysically Similar Sysems: Illusraions of he Use of Dimensional Equaions, hysical Review eers, ol. 4, pp Froude, W. (1868): Observaions and Suggesions on he Subjec of Deermining by Experimen he Resisance of Ships, Correspondence wih The Admiraly, Chelson Cross, December 1868, reprined in The apers of William Froude, The Insiuion of Naval Archiecs, ondon, 1955, pp Froude, W. (1874): On Experimens wih H..S. Greyhound, Transacions of The Insiuion of Naval Archiecs, ol. X, pp Hagen, G. (1839): Über die Bewegung des Wassers in engen zylindrischen Röhren, ogg. Ann., ol. 46, pp

15 Havelock, T.H. (1908): The ropagaion of Groups of Waves in Dispersive edia, wih Applicaion o Waves on Waer produced by a Travelling Disurbance, roceedings of he Royal Sociey of ondon, Series A, ol. XXXI, pp Hughes, G. (1954): Fricion and Form Resisance in Turbulen Flow, and a roposed Formulaion for use in odel and Ship Correlaion, Transacions of The Insiuion of Naval Archiecs, ondon, ol. 96, pp ITTC-1957: roceedings of he Eighh Inernaional Towing Tank Conference, adrid, 15-3 Sepember 1957, prined adrid, ITTC-1978: roceedings of he 15h Inernaional Towing Tank Conference, The Hague, 3-10 Sepember 1978, prined Wageningen, Keulegan, G.H. & Carpener,.H. (1958): Forces on Cylinders and laes in an Oscillaing Fluid, Journal of Research of he Naional Bureau of Sandards, Washingon D.C., ol. 60, No.5, pp errifield, C.W. (1870): Experimens Recenly roposed on he Resisance of Ships, Transacions of he Insiuion of Naval Archiecs, ondon, ol. XI, pp Navier,. (186): émoire sur les lois du mouvemen des fluides, émoires de l Académie des Sciences, prined aris, 187, ol. I, pp oiseuille, J. (1841): Recherches expérimenelles sur le mouvemen des liquides dans les ubes de rès peis diamères, Compes Rendus, ol. 11, pp , ol. 11, pp , (1840), ol. 1, p , (1841). randl,. (1904): ÜberFlüssigkeisbewegung bei sehr kleiner Reibung, erhandlungen des III. Inernaionalen ahemaiker-kongresses, Heidelberg, Reynolds, O. (1883): An Experimenal Invesigaion of he Circumsances which Deermine Wheher he oion of Waer Shall be Direc or Sinuous, and of he aw of Resisance in arallel Channels, The hilosophical Transacions of he Royal Sociey, ondon, ol. 174, pp Schoenherr, K.E. (193): Resisance of Fla Surfaces oving Through a Fluid, Transacions of The Sociey of Naval Archiecs and arine Engineers, New York, ol. 40, pp Sokes, G.G. (1843): On Some Cases of Fluid oion, Transacions of he Cambridge hilosophical Sociey, prined Cambridge, 1847, ol. III. Sokes, G.G. (1845): On he Theories of Inernal Fricion of Fluids in oion, Transacions of he Cambridge hilosophical Sociey, prined Cambridge, 1847, ol. III, pp Chrisian Aage 9. sepember

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Rustfrit stål i husholdningen

Rustfrit stål i husholdningen Rus f r i s åli hus hol dni ngen Hv i l k es ål y perbr ugerv iikøkk ene oghv or f or?oghv ader f l y v er us? Rusfri sål i husholdningen Hvilke sålyper bruger vi i køkkene og hvorfor? Og hvad er flyverus?

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1 Brugervejledning & insrukion MHC / Varenr. 57405 MHC /4 Varenr. 57407 MHC/0- INDHOLD.0 Beskrivelse.0 Insallaion 3.0 Programmering 4.0 Forskellige funkioner 4. Toggle hygrosa (MHC /) 4. -rins hygrosa (MHC

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder n IDEKLIMA Overføring af ulrafi e og gasser mellem o Overføring af gasser, og røglug mellem er ofe e problem for beboere i ældre eageejendomme. Derfor har Saens Byggeforskningsinsiu undersøg en ny æningsmeode,

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

A. Valg af udførelsesmetode og materiel

A. Valg af udførelsesmetode og materiel A. Val af udførelseseode o aeriel I dee kapiel beskrives, vorledes ovedakivieerne udføres, sa vilke aeriel der benyes. I dee kapiel benyes der ænder. A.1 Val af raveaskiner I forbindelse ed val af askine

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Landbrugets Byggeblade

Landbrugets Byggeblade Landbruges Byggeblade Love og vedæger Bygninger Teknik Miljø Arkivnr. 95.03-03 Beregning af ilsrækkelig opbevaringskapacie Udgive Mars 1993 Beregning af dyreenheder (DE) jf. bilag il bekendgørelsen om

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Bearbejdning af rustfrit stål

Bearbejdning af rustfrit stål Bear bej dni ngaf r us f r i s ål Hv ads k erdermed k or r os i ons bes andi gheden, nårmanbear bej ders ål e? Bearbejdning af rusfri sål Hvad sker der med korrosionsbesandigheden, når man bearbejder såle?

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i f r a i d é i l p r o j e k e n m e o d e i l n y æ n k n i n g o g p r o b l e m l ø s n i n g n o v a i s p r o c e s s e n i n d e h o l d e r... n n o v a p r e j e k Toolki & Mindhouse er o konsulenvirksomheder,

Læs mere

Dagpengeskandalen. B A T k a r t e l l e t. r. 5 november 2008

Dagpengeskandalen. B A T k a r t e l l e t. r. 5 november 2008 B A T k a r e l l e BAT N r. 5 november 2008 Regeringen skal udarbejde konkree energi- og CO2 mål for byggerie og for bygninger, ellers ender den danske indsas med a blive en relaiv landingsbane silsand.

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere