Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011"

Transkript

1 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a Fredag den 26. august 2011

2

3 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til arbejdet med forberedelsesmaterialet til prøverne i matematik A. Oplægget indeholder teori, eksempler og opgaver i et emne i forlængelse af kernestoffet. Billedmateriale uden noter er opgavekommissionens ejendom. Dele af materialet uddybes i et appendiks. Dette appendiks indgår ikke i den skriftlige prøve. Forberedelse til den 5-timers skriftlige prøve: Nogle af spørgsmålene ved 5-timersprøven tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Forberedelse til den mundtlige prøve: Emnet, behandlet i dette materiale, indgår som supplerende stof. Der vil derfor være spørgsmål ved den mundtlige prøve i dette emne. I forberedelsesperioden er alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

4 Differentialligninger 1 Indledning I 1687 udkom Sir Isaac Newtons trebinds værk Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica i daglig tale kendt som Principia. En oversættelse af Newtons Principia til engelsk, med en illustration der viser forfatteren. Det var her Newtons bevægelsesligning (Newtons 2. lov), der er det fundamentale princip for al bevægelse, blev opstillet for første gang. Astronomen Johannes Kepler havde i 1609 og 1619 formuleret tre love, som planeternes bevægelse opfylder. Dette havde han gjort på grundlag af observationer udført af blandt andre Tycho Brahe, men han kunne ikke give nogen forklaring på, hvorfor lovene gælder. Med sin grundlæggende bevægelsesligning kunne Newton forklare Keplers love, og han kunne vise, at det er de samme love, der gælder for planeternes bevægelse på himlen, som for legemer, der falder til jorden. Der er altså ikke en særlig fysik for de himmelske legemer, som mange ellers mente. Principia har derfor for altid ændret vores opfattelse af verden. Newtons værk var ikke bare en triumf for fysikken, men også for matematikken. Newton påbegyndte arbejdet på en ny matematik, som vi i dag kalder differential- og integralregning. En af Newtons vigtige opdagelser var, at man kan beskrive fysiske størrelser der ændrer sig, ved hjælp af ligninger. Ligningerne sammenknytter de fysiske størrelser med deres differentialkvotienter. Sådanne ligninger betegnes differentialligninger. Ved at opstille og løse differentialligninger for planeternes bevægelse, kunne Newton forklare Keplers love. Det er ikke kun inden for fysikken, man anvender differentialligninger. Differentialligninger har givet indsigt indenfor andre områder såsom biologi, kemi og medicin. De bliver brugt til at beskrive antallet af bakterier i (urent) kød på butikkernes hylder, til at kvantificere hvor hurtigt en kemisk reaktion forløber, og til at modellere bevægelsen af det menneskelige hjerte. I dette forberedelsesmateriale skal vi beskæftige os med nogle simple typer af differentialligninger, og se hvordan de kan bruges til at beskrive en række forskellige konkrete problemstillinger. 1

5 2 Differentialligninger og deres løsninger Lad os først se nogle eksempler på differentialligninger. y (t) = 1 t, t > 0, y (t) = y(t)(1 y(t)), t R, y (t) + sin(y(t)) = 0, t R. I almindelighed er en differentialligning en ligning, hvor der indgår afledede af en ukendt funktion. En løsning til en differentialligning er en funktion defineret på et interval I, hvor funktionen passer ind i ligningen. Så i modsætning til f.eks. en andengradsligning, hvor løsningsmængdens elementer er tal, er løsningsmængden til en differentialligning en mængde af funktioner. For eksempel er y(t) = ln(t), t > 0 en løsning til differentialligningen y (t) = 1, t > 0. Det kan t man se ved indsættelse, for sætter vi ind, bliver venstresiden ln (t) = 1, og det er jo netop lig t højresiden for alle t > 0. Helt generelt kan man eftervise, om en funktion er en løsning ved at indsætte i venstresiden af ligningen og indsætte i højresiden af ligningen, og se at begge dele giver det samme udtryk for alle t I. Eksempel 1 Vi vil vise, at y(t) = e t er en løsning til differentialligningen y (t) = y(t)(1 y(t)), t R. Derfor sætter vi først y(t) = e t = (1 + e t ) 1 ind i venstresiden. Vi finder y (t) = ( 1 + e t) 2 ( e t ) = Sætter vi ind i højresiden af ligningen, får vi y(t)(1 y(t)) = 1 ( 1 + e t 1 1 ) 1 + e t e t (1 + e t ) 2. = 1 ( e t ) 1 + e t 1 + e t = e t (1 + e t ) 2. Så venstresiden er lig højresiden for alle t R når y(t) = 1, og vi har derfor fundet en 1 + e t løsning. Opgave 1 Gør rede for alle mellemregninger i eksempel 1. 2

6 Opgave 2 Vi betragter igen differentialligningen fra eksempel 1 og vil finde nogle flere løsninger. y (t) = y(t)(1 y(t)), a) Vis at er en løsning. b) Vis at er en løsning for alle c 0. y(t) = y(t) = 0, t R ce t, t R Opgave 3 a) Vis at y(t) = sin(t t 0 ), t R er en løsning til (y (t)) 2 + (y(t)) 2 = 1 for alle t 0 R. b) Findes der også konstantløsninger, altså løsninger på formen y(t) = c? 3 Differentialligningen y (t) = q(t) Vi ser først på differentialligningen y (t) = cos(t). Denne ligning har en løsning y(t), hvis den differentierede af y(t) er lig funktionen cos(t) for alle t R. Vi skal altså finde en stamfunktion til cos(t), og det er jo y(t) = sin(t). Hvis vi lægger en konstant til, får vi en ny løsning, og det gælder, at samtlige løsninger er y(t) = sin(t) + c, t R, c R. Vi kan generalisere dette ved at erstatte cos(t) i differentialligningen med en vilkårlig kontinuert funktion q(t) defineret på et interval I. Så bliver ligningen y (t) = q(t), t I. Ligesom før er løsningen en stamfunktion y(t) = q(t)dt, og vi får samtlige løsninger ved at lægge en konstant til, så vi får y(t) = q(t)dt + c. 3

7 Sætning 1 Lad q(t), t I være en kontinuert funktion defineret på et interval I. Samtlige løsninger til differentialligningen y (t) = q(t), t I, er givet ved y(t) = q(t)dt + c, t I, c R. Eksempel 2 Vi vil løse differentialligningen y (t) = sin(2t). Vi ved, at en løsning er sin(2t)dt. Vi ved, at en stamfunktion til sin(t) er cos(t). Ved at gøre prøve kan man se at 1 2 cos(2t) er en stamfunktion til sin(2t), for bruger vi reglen for differentiation af en sammensat funktion, fås ( 1 ) 2 cos(2t) = 1 2 (cos(2t)) = 1 ( 2sin(2t)) = sin(2t). 2 Til sidst bruges sætning 1 til at konkludere, at samtlige løsninger er y(t) = 1 cos(2t) + c, t R, c R. 2 Figur 1 viser nogle løsninger for forskellige værdier af konstanten c. Figur 1. Forskellige løsninger til y (t) = sin(2t). Opgave 4 For et legeme i frit fald gælder differentialligningen v (t) = g. Her betegner v(t) legemets hastighed, regnet positiv opad, og g = 9,8m/s 2 er tyngdeaccelerationen. Bestem alle løsninger til differentialligningen. 4

8 Opgave 5 Find alle løsninger til differentialligningen y (t) = 2te t2, t R. Opgave 6 Denne opgave handler ikke om at opskrive funktionsforskrifter for samtlige løsninger til en differentialligning, men derimod om at tænke over, hvad det betyder, at en funktion y(t) er løsning til en differentialligning. Vis at enhver løsning til differentialligningen er en voksende funktion. y (t) = e sin(t) 4 Lineær differentialligning af 1. orden Vi har set, hvordan man løser differentialligninger, der kan skrives på formen y (t) = q(t). Nu går vi over til lidt mere komplicerede differentialligninger, hvor den ukendte funktion y(t) også indgår. Mere præcist ser vi på ligningen y (t) + py(t) = q(t), t I, (1) hvor p er en konstant, og q er en givet funktion, der er kontinuert på intervallet I. Som sagt er dette en mere generel klasse af differentialligninger, for i tilfældet p = 0 får vi netop den differentialligning, vi så på i sidste afsnit. En ligningen som kan skrives på formen (1), betegnes en lineær differentialligning af 1. orden. Vi vil nu udlede en løsningsformel til differentialligningen (1). Det viser sig at være en god idé at kigge på funktionen h(t) = e pt y(t) i stedet for den oprindelige funktion y(t). Vi bestemmer først et udtryk for h (t). Det nedenstående gælder for alle t I. h (t) = ( e pt y(t) ) = pe pt y(t) + e pt y (t) = e pt (py(t) + y (t)) = e pt q(t). Opgave 7 Gør rede for alle detaljer i udregningen ovenfor. 5

9 Der gælder altså, at funktionen h(t) opfylder differentialligningen h (t) = e pt q(t). Men det er jo en differentialligning af den type vi kiggede på i sidste afsnit, for funktionen på højre side af lighedstegnet er en kendt funktion. Det følger af løsningsformlen, at samtlige løsninger er h(t) = e pt q(t)dt + c. Indsættes definitionen på h(t) fås e pt y(t) = e pt q(t)dt + c. Da e pt aldrig giver nul, uanset hvad p og t er, kan vi dividere med dette på begge sider af lighedstegnet, ( ) y(t) = e pt e pt q(t)dt + c, for vilkårlig c R, og her har vi vores løsningsformel for (1). Vi opsummerer resultatet i følgende sætning. Sætning 2 Lad q(t) være kontinuert på intervallet t I, og lad p være en konstant. Samtlige løsninger til differentialligningen y (t) + py(t) = q(t), t I (1) er givet ved ( ) y(t) = e pt e pt q(t)dt + c, t I, c R. Eksempel 3 Vi løser differentialligningen y (t) + 2y(t) = 1, t R. Man kan se, at differentialligningen er på samme form som den i sætning 2 med p = 2 og q(t) = 1. Derfor er samtlige løsninger ( ) y(t) = e 2t e 2t dt + c ( ) 1 = e 2t 2 e2t + c hvor t R og c R. = ce 2t, Opgave 8 Find samtlige løsninger til differentialligningen y (t) + 2y(t) = e 2t, t R. 6

10 5 Løsninger med begyndelsesbetingelse Det følger af løsningsformlen i sætning 2, at der altid er uendelig mange løsninger til en lineær 1. ordens differentialligning. Tit er man interesseret i at finde en bestemt løsning i løsningsmængden, og det går ofte hånd i hånd med, at vi ved noget mere om den funktion, vi ønsker at bestemme. Vi ser på et eksempel. Eksempel 4 En fyldt tekop står i et godt ventileret rum. Temperaturen af rummet er T r = 19 C og til tiden t = 0 er temperaturen af te og tekop T 0 = 80 C. Newtons afkølingslov er en simpel matematisk model for udviklingen af teens temperatur T (t). Loven siger, at temperaturtilvæksten pr. tidsenhed er proportional med forskellen mellem rummets temperatur og teens temperatur. Skrevet symbolsk svarer dette til: T (t) = K(T r T (t)). Proportionalitetsfaktoren K > 0 afhænger af forskellige ting såsom tekoppens form, og hvor meget te, der er i koppen. Af ligningen fremgår det, at teens temperatur aftager, så længe teen er varmere end omgivelserne, som man også umiddelbart vil forvente. For når teen er varmere end omgivelserne, så er T r T (t) negativ. Det vil sige at højresiden af ligningen er negativ, og når T (t) er negativ, er T (t) aftagende. For at løse differentialligningen, omskriver vi den til T (t) + KT (t) = KT r. Hermed er den på formen (1), hvor y(t) = T (t), p = K og q(t) = KT r er en konstant funktion. Ved hjælp af løsningsformlen finder vi ( ) T (t) = e Kt e Kt KT r dt + c ( ) = e Kt KT r e Kt dt + c ( ) = e Kt 1 KT r K ekt + c = T r + e Kt c. 7

11 Figur 2. Temperaturen af en kop te i C som funktion af tiden i minutter. Her har vi benyttet, at en stamfunktion til e Kt er 1 K ekt. Samtlige løsninger til differentialligningen er altså T (t) = T r + ce Kt, t R, c R. Som forventet er der uendelig mange løsninger, men ikke alle løsningerne beskriver den fysiske situation, for de opfylder ikke alle, at starttemperaturen af teen er T 0. Vi ønsker at finde en løsning, der opfylder T 0 = T (0), altså at T 0 = T r + ce K 0 = T r + c. For at dette skal være opfyldt, må vi vælge c = T 0 T r. Med denne værdi af c bliver løsningen T (t) = T r + (T 0 T r )e Kt. En realistisk værdi for K er 0,06 min 1. Med de kendte størrelser indsat, er løsningen T (t) = e 0,06t, hvor T er angivet i C. Blandt de uendelig mange løsninger har vi fundet netop én, der opfyldte den givne betingelse til t = 0. I figur 2 er denne løsning illustreret. Opgave 9 Teen smager ikke godt, når temperaturen kommer under 55 C. Til hvilket tidspunkt, t, kommer temperaturen ned på 55 C? Opgave 10 I appendikset side 13 er der udledt differentialligningen U C (t) + 1 RC U C(t) = 1 RC U(t), 8

12 for spændingen U C (t) over en kapacitor i et elektrisk kredsløb. I denne opgave skal ligningen løses, når U(t) = sin(t), R = 2000, C = Alle størrelser er i SI-enheder og kan sættes direkte ind i differentialligningen. a) Find samtlige løsninger til differentialligningen. Hvis vi ved at spændingen over kapacitoren U C (t) til tiden 0 er U C (0) = 1, er der præcis en løsning, der opfylder dette krav. b) Bestem denne løsning. c) Bestem spændingen over kapacitoren til tiden t = 10. Vi har set i eksempel 4 og i opgave 10, at hvis man udover differentialligningen har en ekstra betingelse, kan det bestemme en løsning entydigt. Dette gælder helt generelt, så længe betingelsen er, at løsningens værdi er kendt på ét tidspunkt, y(t 0 ) = y 0. Sætning 3 Lad q(t) være en kontinuert funktion defineret på intervallet I. Lad t 0 I og y 0 R være givne konstanter. Så har differentialligningen y (t) + py(t) = q(t), t I (1) én og kun én løsning, der opfylder y(t 0 ) = y 0. Betingelsen y(t 0 ) = y 0 kaldes en begyndelsesbetingelse. Sætningen siger to ting. For det første at der er en løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen. For det andet at der kun er denne ene løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen. Man siger, at begyndelsesbetingelsen bestemmer løsningen entydigt. Bevis. Ifølge sætning 2 er samtlige løsninger givet ved ( ) y(t) = e pt e pt q(t)dt + c, t I, c R. Vi lader igen h(t) betegne en stamfunktion til e pt q(t), altså h(t) = e pt q(t)dt. Så gælder Indsættes t = t 0 fås Da vi kræver, at y(t 0 ) = y 0 giver dette y(t) = e pt (h(t) + c), t I, c R. y(t 0 ) = e pt 0 (h(t 0 ) + c). y 0 = e pt 0 (h(t 0 ) + c). 9

13 Denne ligning løses med hensyn til c, og man finder c = y 0 e pt 0 h(t 0 ). Givet t 0 og y 0 er der altså netop én værdi af konstanten c der sikrer, at begyndelsesbetingelsen y(t 0 ) = y 0 er opfyldt. Sætning 3 kan virke ret teoretisk, men den har en stor betydning, når man benytter differentialligninger som matematiske modeller. Vi har set eksempler på, at lineære differentialligninger af 1. orden kan beskrive variationen af spændingen i et elektrisk kredsløb og udviklingen af temperaturen af en kop te, der køles af. Sætning 3 fortæller os i begge tilfælde, at vi har brug for at vide to ting: Nogle fysiske lovmæssigheder, der beskriver situationen (Kirchoffs love, Newtons afkølingslov) samt kendskab til den fysiske størrelse vi modellerer til bare ét tidspunkt (U C (0) henholdsvis T (0)). Ved hjælp af denne information er systemerne fuldstændigt beskrevet, for de udvikler sig på præcis den måde, som den entydigt bestemte løsning til differentialligningen fortæller os. Der er ikke brug for yderligere information. Desuden er sætningen meget vigtig i den matematiske teori. I næste afsnit finder vi en anden måde at finde løsninger til (1) end ved at bruge sætning 2. Beviset for denne løsningsmetode benytter sig af sætning 3. 6 Gættemetoden Sætning 4 Lad q(t) være en kontinuert funktion på intervallet I. Hvis y p (t), t I er en løsning til differentialligningen y (t) + py(t) = q(t), t I, (1) er samtlige løsninger y(t) = y p (t) + ce pt, t I, c R. Ved første øjekast kan sætningen virke overflødig; vi har jo allerede sætning 2, der giver os alle løsninger. Sætning 4 kræver, at vi på en eller anden måde har fundet en løsning y p (t), men fortæller os ikke, hvordan vi skal gøre det. Men sætningen er nyttig, fordi det meget ofte er muligt at gætte en løsning y p (t), og udregningerne ved at eftervise, at et gæt er en løsning, er som regel meget simplere end at finde en stamfunktion, som sætning 2 kræver. Eksempel 5 Vi vil finde alle løsninger til differentialligningen y (t) + y(t) = t 2, t R ved hjælp af sætning 4, og vil derfor forsøge at gætte en løsning y p (t). Da højresiden er et andengradspolynomium, kan man gætte på, at der også er en løsning, der er et andengradspolynomium. Vi gætter derfor på, at der er en løsning af formen y p (t) = At 2 + Bt +C, 10

14 og vil nu undersøge, om det er muligt at vælge koefficienterne A,B og C så y p (t) opfylder differentialligningen. Vi regner venstresiden ud: y (t) + y(t) = (2At + B) + (At 2 + Bt +C) = At 2 + (2A + B)t + (B +C). Højresiden af differentialligningen er t 2, så der skal gælde At 2 + (2A + B)t + (B +C) = t 2 for alle t R. Dette er sandt, netop hvis koefficienterne i polynomiet på venstre side er lig koefficienterne i polynomiet på højre side, altså når A = 1, 2A + B = 0, B +C = 0, har vi en løsning. Disse tre ligninger er opfyldt for A = 1, B = 2 og C = 2. Det vil sige, at y p (t) = t 2 2t + 2,t R er en løsning. Eftersom vi har fundet en løsning, kan vi bruge sætning 4 til at opskrive samtlige løsninger. De er y(t) = t 2 2t ce t, t R, c R. Vi kunne også have brugt sætning 2, men udregningerne ville blive mere omstændelige, i hvert fald hvis vi skulle regne i hånden. Opgave 11 Bestem samtlige løsninger til differentialligningen y (t) + y(t) = e 2t ved at gætte på en løsning af formen y p (t) = Ae 2t. Opgave 12 Bestem først q(t) så y p (t) = t 2 er en løsning til differentialligningen y (t) + 2y(t) = q(t), t R. Bestem herefter samtlige løsninger. Bestem til slut den løsning der opfylder y(0) = 1. Sætning 4 siger to ting. For det første y(t) = y p (t) + ce pt er løsninger til differentialligningen, og for det andet at der ikke er andre løsninger. Vi beviser her det første udsagn, mens vi viser det andet i appendikset side

15 Bevis. Udgangspunktet er, at vi kender en funktion y p (t),t I som er løsning til differentialligningen (1). Vi viser her at funktionen y(t) = y p (t) + ce pt, t I er løsning til differentialligningen for alle c R, ved at indsætte i differentialligningen. y (t) + py(t) = q(t) y(t) = y p (t) + ce pt y (t) = y p(t) cpe pt y (t) + py(t) = Differentialligningen opskrives Funktionen y(t) opskrives Funktionen y(t) differentieres (y p(t) cpe pt ) + p(y p (t) + ce pt ) = y (t) og y(t) indsættes Venstre side af differentialligningen opskrives (y p(t) + py p (t)) + ( cpe pt + cpe pt ) = Udtrykket omordnes, så leddene med y p (t) samles y p(t) + py p (t) = q(t) Den anden parentes er nul Vi udnytter, at y p (t) er en løsning, så der gælder y p(t) + py p (t) = q(t) Ovenstående udregninger viser, at y (t) + py(t) = q(t), altså er y(t) en løsning til differentialligningen. Opgave 13 I appendiks side 14 er der udledt en differentialligning for temperaturen T (t) i et spabad, der opvarmes ved hjælp af en varmeveksler, nemlig T (t) + ṁ m T (t) = ṁ m T v(t). (2) Her er T (t) temperaturen af vandet i spabadet, m massen af vandet i spabadet og T v (t) temperaturen af vandet i varmeveksleren. Desuden angiver ṁ massen af vandet der løber gennem varmeveksleren per tidsenhed en størrelse der kaldes massestrømmen. I denne opgave skal ligningen løses når m = 2000 kg, ṁ = 1000 kg/time, T v (t) = cos(t). Temperaturen er angivet i C. Vandet i spabadet ønskes opvarmet fra 32 C til 45 C. a) Find én løsning til (2) af formen T p (t) = Acos(t) + Bsin(t) +C. b) Find den fuldstændige løsning til (2). c) Find den løsning til (2) som opfylder T (0) = 32 C. Tegn grafen for denne løsning, og beskriv med ord, hvordan temperaturen udvikler sig. Kan det lade sig gøre at få præcis den ønskede temperatur på 45 C? 12

16 Appendix I dette appendiks vises det, hvordan man på grundlag af fysiske love kan udlede differentialligninger som matematiske modeller. Konkret ser vi på udledningen af de formler, der benyttes i opgaverne 10 og 13. Desuden afslutter vi beviset af sætning 4. Elektrisk kredsløb En kapacitor (en elektrisk kondensator) er en elektrisk komponent, der kan opbevare elektrisk ladning. Den beskrives ved sin kapacitet C. I kredsløbet på figuren er en resistor (modstand) R og en kapacitor C forbundet i serie med en spændingskilde, hvor der er påtrykt en spænding U(t). R + U R (t) U(t) + + U C (t) C I(t) Vi vil ved hjælp af Kirchoffs love opskrive en differentialligning der beskriver strømmen gennem resistoren og kapacitoren og spændingsfaldene over dem. Kirchoffs 1. lov siger at den strøm der løber til et knudepunkt, er lig den strøm, der løber fra knudepunktet. Det betyder, at den strøm, der løber gennem resistoren, er lige så stor som den, der løber gennem kapacitoren. Strømmen betegnes I(t). Kirchoffs 2. lov siger, at summen af spændingsfaldene over en lukket kreds er nul. Hvis spændingsfaldet over resistoren betegnes U R (t), og spændingsfaldet over kapacitoren betegnes U C (t) gælder For spændingen over resistoren gælder Ohms 1. lov, U(t) = U R (t) +U C (t). (3) U R (t) = RI(t). (4) Den sidste ligning vi har brug for, er ligningen for strømmen gennem en kapacitor. Den elektriske ladning Q(t) i en kapacitor kan beskrives ved Q(t) = CU C (t). Differentieres denne ligning fås Q (t) = CU C (t). 13

17 Da ændringen af elektrisk ladning pr. tidsenhed pr. definition er elektrisk strøm, Q (t) = I(t), fås I(t) = CU C (t) (5) Sættes udtrykket (4) for U R (t) ind i (3) fås Herefter kan udtrykket (5) for I(t) indsættes, U(t) = RI(t) +U C (t). U(t) = RCU C (t) +U C(t). Ved at dividere på begge sider af lighedstegnet med RC og omordne leddene får vi endelig U C (t) + 1 RC U C(t) = 1 RC U(t). Dette er en lineær differentialligning af 1. orden af samme form som (1), hvor Opvarmning af spabad y(t) = U C (t), p = 1 1 og q(t) = RC RC U(t). Vi betragter et spabad fyldt med vand, der skal opvarmes ved hjælp af en varmeveksler. Vi vil opstille en differentialligningsmodel for udviklingen af vandets temperatur T (t). Massen af vandet i spabadet betegnes m. Et spabad. Billedet er taget af Erik Bjerregaard Christensen. For at varme vandet i spabadet op, ledes der varmt vand med en temperatur på T v (t) ind i varmeveksleren. Det varme vand bliver afkølet, mens det løber i røret, og vi regner med, at varmeveksleren er så effektiv, at det er blevet kølet helt ned til spavandets temperatur T (t) ved udløbet. Den fysiske lov vi vil benytte er energibevarelse, idet den energi, der afgives af vandet i varmeveksleren, antages at blive optaget af vandet i spabadet. Desuden får vi brug for, at ændringen 14

18 af varmeenergien E i en mængde vand med masse m, hvor temperaturen øges med T er E = mc T, hvor c er vandets specifikke varmekapacitet. Massestrømmen gennem varmeveksleren, altså hvor meget masse der strømmer gennem pr. tidsenhed, betegnes ṁ. Vi betragter nu energiafgivelsen fra varmeveksleren i tidsintervallet mellem t og t + t, hvor t er lille. Massen af vand, der løber gennem varmeveksleren i dette tidsinterval er ṁ t, så den afgivne energi er E = ṁ t c(t v (t) T (t)) Denne energi optages af spavandet, hvorved temperaturen stiger fra T (t) til T (t + t), så der gælder også E = mc(t (t + t) T (t)). Sættes de to udtryk sammen fås mc(t (t + t) T (t)) = ṁ t c(t v (t) T (t)), og divideres der med m, c og t på begge sider af lighedstegnet finder man T (t + t) T (t) t = ṁ m (T v(t) T (t)). Hvis t går mod 0, går venstresiden mod T (t). Omordnes leddene giver dette T (t) + ṁ m T (t) = ṁ m T v(t). Dette er en lineær differentialligning af 1. orden af samme form som (1), hvor Bevis af sætning 4 y(t) = T (t), p = ṁ m og q(t) = ṁ m T v(t). Vi har allerede bevist at y(t) = y p (t)+ce pt er en løsning til differentialligningen for alle c R. Nu fører vi beviset til ende ved at vise at der ikke er andre løsninger. Bevis. At der ikke er flere løsninger er det samme som at sige, at hvis y 1 (t),t I er en vilkårlig løsning, kan vi finde en konstant c, så y(t) = y p (t) + ce pt er den samme funktion som y 1 (t) for alle t I. Ideen i beviset er at vise, at vi kan vælge c så y 1 og y p (t) + ce pt stemmer overens for én værdi t 0 af t, og derefter bruge sætning 3 til at vise at de to funktioner er lig hinanden for alle t. Vælg et t 0 I. Hvis y 1 (t) = y p (t) + ce pt da gælder specielt y 1 (t 0 ) = y p (t 0 ) + ce pt 0, og derfor c = (y 1 (t 0 ) y p (t 0 ))e pt 0. Men der gælder også omvendt, at hvis c = (y 1 (t 0 ) y p (t 0 ))e pt 0 så er y 1 (t 0 ) = y p (t 0 ) + ce pt 0. De to funktioner y 1 (t) og y(t) = y p (t) +ce pt er begge løsninger til differentialligningen, og de antager med det angivne valg af c samme værdi når t = t 0. Det følger nu fra sætning 3, at de to funktioner er ens for alle t I. Og det var netop hvad der skulle vises. 15

19

20 Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Lektion 8 Differentialligninger

Lektion 8 Differentialligninger Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 14MABA61

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Det skal tydeligt fremgå af besvarelsen hvilken tankegang, der ligger bag løsningen. Dvs. fyldestgørende og præcis forklaring, men samtidig så kort

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Det perfekte blødkogte æg

Det perfekte blødkogte æg Det perfekte blødkogte æg Opgaveformulering: Ifølge undersøgelser på University of Exeter 1 kan det vises, at den optimale kogetid for et blødkogt æg kan skrives som Giv en kort redegørelse for den engelske

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Ny skriftlighed - Matematik

Ny skriftlighed - Matematik Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 15MABA61

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen htx112-mat/a-30082011 Tirsdag den 30. august 2011 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2011 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Lektion 9 Vækstmodeller

Lektion 9 Vækstmodeller Lektion 9 Vækstmodeller Eksponentiel vækst 1. Eksponentielt voksende funktioner 2. Eksponentielt aftagende funktioner 3. Halverings- og fordoblingstider Vækst mod asymptotisk grænse Logistisk vækst 1.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

2. del. Reaktionskinetik

2. del. Reaktionskinetik 2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Daniells element Louise Regitze Skotte Andersen

Daniells element Louise Regitze Skotte Andersen Louise Regitze Skotte Andersen Fysikrapport. Morten Stoklund Larsen - Lærer K l a s s e 1. 4 G r u p p e m e d l e m m e r : N i k i F r i b e r t A n d r e a s D a h l 2 2-0 5-2 0 0 8 2 Indhold Indledning...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere