Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010"

Transkript

1 Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4 Fejlanalyse...5 Divergens...6 Bisektionsmetoden...6 Fejlanalyse...7 Divergens...7 Sekant metoden...7 Fejlanalyse...8 Divergens...10 Opgaver...10 Opgave Opgave Computerprogram...15 Litteraturliste /19

2 Abstract This paper will explain the use of different numerical methods for solving nonlinear equations. The methods are Newton-Raphson's method, the bisection method and the secant method. The theory and how to use each of the methods will be explained including: convergence analysis, error estimation, stopping criteria and order of convergence. The paper will also give examples of how to find the roots of two different nonlinear equations. The roots will be calculated using the methods mentioned above. In addition I have written a program utilizing the Newton-Raphson's method and the secant method to determine the roots. It is often impossible to calculate an exact root of a nonlinear equation, therefore we use these different methods to make a very accurate approximation of the exact root. This approximation can be made as exact as required by carrying out enough iterations. 2/19

3 Indledning I denne opgave vil jeg beskrive, hvordan man finder roden eller f(x)=0. Jeg vil benytte tre forskellige metoder hhv. sekant metoden, Newton's metode og bisektionsmetoden. Derudover har jeg også skrevet et program, som også kan benytte de forskellige metoder. Kildehenvisninger i denne opgave vil være markeret med et tal som f.eks 2 for at se kilden, skal man kigge i litteraturlisten efter nummeret. Ligeledes vil tegn som f.eks. blive brugt til at navngive formler og ligheder, for at forøge overskueligheden. Konvergens Man taler om konvergens i sammenhæng med rækker. At en række konvergerer betyder at den går imod en konstant. Et eksempel på dette kunne være 2-n -1, når n går mod uendelig vil denne række gå mod 2, men den vil aldrig antage værdien 2. Dette da der altid bliver fratrukket en uendelig lille smule, og vi siger så at rækken konvergere mod 2. Hvis rækken ikke går mod en konstant må den gå imod - eller + og rækken kaldes så divergent. Et lille eksempel 2 n vil divergere mod uendelig. Den enkelte metodes konvergens bliver beskrevet nærmere under metoden. Konvergenskriterier Alt efter hvilken metode man benytter, er der forskellige kriterier for konvergens. Benyttes en metode som bisektionsmetoden er der ingen konvergenskriterier. Benyttes derimod Newtons metode skal gættet være tæt nok på roden for at metoden konvergerer, dette ligeledes for sekant metoden. Konvergensorden Konvergensorden er et udtryk for hvor hurtigt en metode nærmer sig roden under de rette forudsætninger. I f.eks Newtons metode og sekant metoden skal gættet ligge tæt på roden ellers vil den enten divergere eller konvergere meget langsomt. Derfor bruger man tit en kombination af metoderne, som f.eks. at starte med bisektionsmetoden for hurtigt at nærme sig roden, hvor Newtons metode muligvis vil konvergere meget langsomt til start (hvis tangenten til gættet er meget stejl). Konvergensorden vedrørende specifikke metoder er skrevet under disse. Fejlestimater Et fejlestimat er et udtryk for hvor stor fejlen er, typisk vil der være uligheder, så du ved at din fejl er mindre end en bestemt værdi. Fejlestimater kan være vigtige, hvis man bliver bedt om at udregne noget med en bestemt præcision. Fejlen for et estimat må være roden fratrukket approximationen til roden. Et fejlestimat skal helst være faldende med antallet af iterationer hvis dette ikke er tilfældet er vores metode ikke ved at konvergere. Uddybende forklaringer af fejlestimater for de enkelte metoder står under disse. 3/19

4 Stopkriterier Når man regner numerisk, regner man ikke eksakt. Det er derfor nødvendigt for os at indføre stopkriterier til vores numeriske metoder, for at de ikke fortsætter i al evighed. Et stopkriterie kan f.eks være at vores fejlestimat skal være mindre end en konstant. Når det er opnået stoppes den iterative proces og vi accepterer vores approximation som en løsning. Da man ikke på forhånd kan vide hvor mange iterationer det vil tage at nå en given præcision programmerer man tit et stopkriterie, således at der kun bliver gennemløbet et bestemt antal iterationer. På denne måde undgår man at sætte computeren igang med en evig udregning. Taylor's Theorem Taylor's theorem er tilknyttet til teorien om numeriske metoder. Jeg vælger derfor at opskrive teoremet da jeg anvender det i nogle af mine udregninger. Hvis f er en C n+1 funktion, (C n+1 betyder at den n+1'te afledte er kontinuert) defineret på et lukket interval [a,b]. Da for et hvert punkt x og x+h som ligger i [a,b] gælder Hvor Epsilon ligger mellem x og x+h. (når der skrives f (k) menes der den k'te afledte af f ikke at forveksle med f opløftet i k'te). 1 Numeriske metoder Numeriske metoder er de metoder vi bruger til at tilnærme os nulpunktet. Det er ofte umuligt at udregne det præcise nulpunkt og vi bliver derfor nødt til at benytte en eller flere af disse metoder. Newtonsmetode Newtonsmetode benytter sig af iterationen for n 0. Denne iteration kræver at man har den afledte af f altså f '. Vi kan starte med et gæt på en rod x 0. Vi laver en iteration, som derefter vil give os x 1. Derefter indsætter vi x 1 i Newton-Raphsons iteratio og finder x 2. Dette fortsætter man med til vores stopkriterier er nået (se stopkriterier). Vi ser på en grafisk beskrivelse af Newtons metode. Vi befinder os i den n'te iteration. Tangenten til f(x n ) følges til skæringspunktet med x-aksen. Dette punkt er x n+1. Når vi dividerer f(x n ) med f '(x n ) finder vi længden mellem x n og x n+1, når denne længde trækkes fra x n får vi x n-1. Dette fortsætter man med at gøre til man kommer tilpas tæt på r, som er roden. 4/19

5 2 Newtons metode er den hurtigste af mine tre metoder henholdsvis; Newtons metode, bisektionsmetoden og sekant metoden. Grunden til dette er at Newtons metode har en kvadratisk konvergens. Fejlanalyse Fejlen for den n'te iteration vil vi betegne med e n =x n -r. Vi antager at f '' er kontinuert og at f '(r) 0. f '' antages kontinuert da vi ønsker at benytte Taylors teorem. Her har jeg benyttet at e n =x n -r og sat på fælles brøkstreg. Jeg vil nu benytte Taylors teorem, dette kan jeg gøre eftersom f '' er kontinuert. Hvor Epsilon er et tal mellem r og x n. Ved at omskrive venstre siden og højre siden af ovenstående ligning fås. Ved at indsætte ovenstående i fås venstre siden af nedenstående udtryk, når n er høj vil x n være tæt på r og vi kan derfor lave approximationen set nedenunder. 5/19

6 Når vores x n er tiltrækkeligt tæt på r vil e n være mindre end 1. Vi ser at vores n+1'te fejl er kvadratet på den n'te fejl gange en konstant. Eftersom at e n er under 1 vil den næste fejl blive mindre end den foregående fejl. Da fejlen bliver mindre med kvadratet på den foregående kaldes denne form for konvergens kvadratisk konvergens. Dette er en meget hurtig form for konvergens. Divergens Som sagt er Newtons metode ikke garanteret konvergens. Derfor bruger man tit Newtons metode i kombination med andre langsommere metoder som til gengæld konvergerer globalt (overalt). Denne hybrid metode kan så laves så den konvergerer globalt og er hurtigere end de enkelte metoder hver for sig. Et simpelt eksempel på en funktion som ikke er globalt konvergent med Newtons metode ses herunder. Det ses at hvis x 0 vælges så langt fra r så tangenten i f(x 0 ) har hældning < 1 da vil tangenten i f(x 1 ) få endnu mindre hældning og dernæst vil tangenten i f(x 2 ) få endnu mindre hældning osv. X n vil derfor bevæge sig længere og længere væk fra r. 3 Bisektionsmetoden Bisektionsmetoden bruges normalt mest til grov placering af roden. Hvis funktionen har flere rødder i det interval man vælger, kan bisektionsmetoden volde problemer fordi produktet af f(a) og f(b) ikke nødvendigvis er negativt. Hvis produktet af f(a) og f(b) er positivt har vi et lige antal rødder, og er funktionsværdien negativ har vi et ulige antal rødder. Hvis produktet af f(a) og f(b) er 0 da må enten f(a) eller f(b) være 0 altså være funktionens rod. Det samme gælder hvis f(a n ) gange f(b n ) er 0 (det er dog meget usandsynligt at man gætter roden). Når man benytter bisektionsmetoden er det første man skal have et interval, hvor man ved at roden ligger inden for. Man finder dette interval ved at gange f(a) med f(b). Hvis f(a) gange f(b) er positivt er enten både f(a) og f(b) positive eller negative, og der er derfor ingen rod i dette interval. Hvis f(a) gange f(b) derimod er negativt, ved vi at roden må ligge i intervalet [a,b] fordi et positivt tal gange et negativt giver et nyt negativt. Vi kan kun have både et positivt tal og et negativt tal hvis funktionen krydser x-aksen i dette interval (forudsat vi har en kontinuert funktion på [a,b]). 6/19

7 Fremgangsmåden for bisektionsmetoden bliver således. Vi definerer midtpunktet i intervallet c=½(a+b). Vi checker så om f(a) gange f(c) er negativt, er den negativ ved vi at roden ligger i dette interval og vi kalder så c for b 1 og a for a 1. Vi benytter så metoden forfra i intervallet [a 1,b 1 ] hvor vi starter med at definere c 1 osv. Hvis produktet af f(a) og f(c) ikke er negativt ved vi at roden må ligge i [c,b], vi kalder så c for a 1 og b for b 1, og fortsætter metoden på dette interval. Fejlanalyse Vi kalder vores originale interval [a,b]=[a 0,b 0 ] det er klart at længden på [a 1,b 1 ] er den halve af [a 0,b 0 ]. Længden (b n -a n ) er altså længden på (b 0 -a 0 ) halveret n gange. Jeg kan således skrive længden b n -a n = 2 -n (b 0 -a 0 ). Når vi ikke gider lave flere halveringer er vi tilbage med et interval hvori roden ligger. Det bedst kvalifecerede gæt vi kan lave på roden er i midten af det sidste interval. Altså vores gæt c n =(a n +b n )/2. Hvis c n er vores gæt og roden skal ligge i [a n,b n ] så må fejlen være e n ½(b n -a n ). Samlet set er vi altså kommet frem til at: Hvis man kun ser på det første lighedstegn er det tydeligt at konvergensordenen er lineær, e n-1 er nemlig ikke opløftet i noget, men bare ganget med en konstant. Vores fejlestimat er altså begrænset af følgende ulighed. Et lille eksempel på et fejlestimat [a 0,b 0 ]=[3,7] e 5 2 -(5+1) (7-3) = 1/16 Divergens Givet fremgangsmåden for bisektionsmetoden er det tydeligt, at vi ikke kan have problemer med divergens i denne metode. Sekant metoden En af ulemperne ved Newtons metode er at man skal bruge den afledte af funktionen. I sekant metoden undgår vi denne ulempe ved at lave en approximation. Tricket er at f '(x) skrives ved hjælp af definitionen på en differentionskvotient Denne approximation bliver bedre og bedre jo tættere x n-1 er på x n. Vi erstatter nu f '(x n ) i Newtons metode med ovenstående approximation og får: for n 1. Vores iteration er altså ikke længere afhængig af den afledte f(x). Tilgengæld kræver sekant 7/19

8 metoden to start gæt (x 0 og x 1 ) for at kunne bestemme x 2. På billedet nedenfor ses sekant-metoden benyttet på en funktion. Som vi kan se tegnes sekanten mellem to punkter på grafen, denne sekantlinies skæring med x-aksen giver os den næste værdi af x (foreløbigt gæt på rod). 4 Fejlanalyse Jeg vil bestemme konvergensordenen af sekant metoden. Fra definitionen på sekant metoden samt at e n =x n -r kan vi skrive: Ved at faktorisere e n e n-1 ud og gange med 1 på en smart måde, (x n -x n-1 )/(x n -x n-1 ) får vi: Ved brug af Taylors teorem får jeg nedenstående. Når jeg skriver O(e n3 ) betyder dette at udtrykket er højest samme størrelsesorden som e n3. Hvilket vil sige at O(e n3 ) Ce n3. Alt dette bunder i at det dominerende led i Taylorrækken er e n 3 leddet, da de senere led vil indeholde e n i højere potens, og da e er mindre end 1, vil leddet blive mindre des højere e n 's potens er. 8/19

9 Jeg dividerer ovenstående udtryk med e n på begge sider af lighedstegnet og husker at f(r) = 0. Her har jeg blot ændret indekset til n-1 ingen matematik er udført. Ved at trække fra får vi nedenstående lighed. Da x n -x n-1 =e n -e n-1 får vi nedenstående. Dette er skrevet som en approximation, da vi har undladt leddet O(e 2 n-1) denne approximation har ikke stor betydning, da e gerne skulle blive meget lille og e 2 derfor endnu mindre. Den første firkantede parentes i er opskrevet nedenfor. Vi ser at hvis man vender brøken har vi vores approximation for f '(r) nemlig differenskvotienten. Nedenstående udtryk på altså være den inverse af f '(r). Vi ser at og er approximationer for henholdsvis den første og anden firkantede parentes i. Vi indsætter disse approximationer og får følgende. Vi kan her se at vores fejl minder meget om fejlen fra Newtons metode. Den eneste forskel er at i Newtons metode havde vi C e 2 n og her har vi C e n e n-1. Denne konvergens vil derfor ikke være kvadratisk medmindre at e n = e n-1. Dette giver dog ingen mening, da fejlen må antages at blive mindre og mindre da vores metode ellers ikke ville konvergere. Vi kan således nu konkludere at konvergensordenen er mindre end kvadratisk (for e a n = e n e n-1 må a < 2 da e n-1 er mindre end e n, husk a =2 er kvadratisk konvergensorden). e n e n-1 <e n da e n og e n-1 er mindre end 1, da vi har e a n = e n e n-1 og vi ved at højresiden bliver mindre end e n må venstre siden også skulle blive mindre end e n. Dette kan kun ske på én måde og det er hvis a>1 da e n <1. Jeg har således vist at 1<a<2 altså mindre end 9/19

10 kvadratisk konvergensorden, men større end lineær konvergensorden. Denne form for konvergensorden har derfor fået navnet superliniær konvergensorden. Divergens Sekant metoden har samme divergens muligheder som Newtons metode. Da en sekant, som en tangent, også kan bringe os længere væk fra løsningen. Se Newtons metode divergens for illustration. Opgaver Herunder vil der blive løst to opgaver. Den første opgave har jeg valgt at løse med Newtons metode og det program jeg har programeret vil også løse opgaven med Newtons metode. Opgave 1 Jeg skal bestemme nulpunktet for funktionen. Jeg vil benytte Newton-Raphsons metode. Det første man gør er at gætte på der hvor nulpunktet er. Jeg gætter på -2. Så indsætter jeg mit gæt i Newton-Raphsons metode. Derefter får jeg udregnet det tal jeg skal fortsætte udregningerne med. Dette er det næste bud på min rod. Jeg benytter metoden igen for at udregne et mere præcist bud på den rigtige rod. Så indsætter jeg det nye tal og udregner næste. Nu gentages processen til mine stopkriterer nås. 10/19

11 Nu sker der ingen ændringer i tallet længere og jeg må derfor gå ud fra at jeg har nået nulpunktet. Det skal dog siges at det program jeg bruger til udregningerne (TI interactive) udregner med et bestemt antal decimaler og selv om den siger at svaret er -1 er det muligvis bare meget tæt på -1, men rent faktisk ikke -1, der er roden. Derefter ser jeg på en graf for at se om mit resultat ser nogenlunde rigtigt ud. 11/19

12 Som det ses på grafen ovenfor ser -1 ud til at være roden i min funktion. Ofte vil man kun kunne lave en meget præcis tilnærmelse. Mit gæt har været udemærket og derfor har mine udregninger hurtigt konvergeret mod roden. Nedenunder har jeg intastet samme startgæt, altså -2 i mit computerprogram som jeg har skrevet. Som det kan ses nærmer programmet sig nulpunktet præcis som da jeg selv lavede en tilnærmelse til nulpunktet. (for forklaring bag programmet se computerprogram). Opgave 2 Jeg skal bestemme 0 punktet for funktionen. 12/19

13 Jeg vil benytte sekant metoden. Når man benytter sekant metoden skal man bruge to gæt jeg gætter på 0 og -1. Så indsætter jeg mine gæt i sekant metoden og får derefter udregnet mit nye gæt på roden. Mit nye gæt på roden bliver. Så indsætter jeg mit nye tal som x n-1 og mit gamle x n-1 bliver det nye x n og udregner næste gæt. Nu gentages processen til mine stopkriterier nåes. 13/19

14 Nu sker der ikke længere ændringer i tallet og jeg går derfor ud fra at jeg har nået nulpunktet. Det skal dog siges at jeg bruger et program til udregningerne (TI interactive) og programmet bruger et bestemt antal decimaler, så selv om den siger at svaret er 1 er det muligvis bare meget tæt på 1, men rent faktisk ikke 1 der er roden. Derefter ser jeg på en graf for at se om mit resultat ser nogenlunde rigtigt ud. 14/19

15 Som det ses på grafen ovenfor ser 1 ud til at være roden i min funktion. Mine gæt har været udemærkede og derfor har mine udregninger hurtigt konvergeret mod roden. Nedenunder ses udregningerne udregnet i det computerprogram jeg selv har skrevet. Som det kan ses tilnærmer programmet sig på præcis samme måde som udregningerne, fordi jeg har benyttet sekant metoden begge steder. Computerprogram Jeg har skrevet et computerprogram der kan løse både f(x) og g(x) ved hjælp af Newton-Rapsons metode. Programmet starter med en lille introduktion hvor det fortæller, hvad det kan. Derefter kommer man ind i en menu med forskellige valgmuligheder hvor man kan vælge hvad man vil lave. Efter hvilken menu man vælger kan man enten: løse f(x) og g(x) ved hjælp af Newton-Raphsons metode eller løse g(x) ved hjælp af sekant metoden. Efter programmet har regnet, bliver man spurgt om man vil tilbage til startmenuen. Dette for at man ikke behøver at genstarte programmet, hvis man ønsker at prøve forskellige metoder. Jeg har også lavet et break inde i løkken der går, at hvis man får det samme resultat flere gange stopper udregningerne. Hvis ikke programmet når et resultat 15/19

16 stopper programmet med at regne efter 100 udregninger. Dette har jeg sat den til for at den ikke skal regne for længe. Nedenfor kan man se det program jeg har skrevet i Dev C++. 16/19

17 17/19

18 18/19

19 Litteraturliste Bøger: Introduction to Numerical Computation - analysis and Matlab illustrations" af Lars Eldén, Linde Wittmeyer-Koch og Hans Bruun Nielsen. "Numerical Analysis Mathematics of scientific computing Third edition" af David Kincaid og Ward Cheney. Specifikke kilder: 1: "Numerical Analysis Mathematics of scientific computing Third edition" af David Kincaid og Ward Cheney. Side 10. 2: "Numerical Analysis Mathematics of scientific computing Third edition" af David Kincaid og Ward Cheney. Side 83. 3: "Numerical Analysis Mathematics of scientific computing Third edition" af David Kincaid og Ward Cheney. Side 84. 4: "Numerical Analysis Mathematics of scientific computing Third edition" af David Kincaid og Ward Cheney. Side /19

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard Numerisk differentiation Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 25. Billeder: Forside: istock.com/iunewind Side 5: istock.com/cienpies Desuden egne illustrationer Erik

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

1. At vise hvordan man kan bruge et CAS-program som Maple i sin undervisning.

1. At vise hvordan man kan bruge et CAS-program som Maple i sin undervisning. Page 1 of 19 Konvergens af Newton's metode og relationerne til Fraktaler og Juliamængder. Dette foredrag har to delmål: 1. At vise hvordan man kan bruge et CAS-program som Maple i sin undervisning. 2.

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Numerisk differentiation og integration med Python

Numerisk differentiation og integration med Python Numerisk differentiation og integration med Python En uformel prototype til en tutorial, Karl Bjarnason, maj 2010 Vi vil gerne lave et program som numerisk integrerer og differentierer funktionen f(x)=x

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere