Bottomonium (Υ) Partikelresonanser i myonparproduktion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bottomonium (Υ) Partikelresonanser i myonparproduktion"

Transkript

1 D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Førsteårsprojekt nr Stefan Suadicani, Mathias Mikkelsen, Michael Spange Olsen Bottomonium (Υ) Partikelresonanser i myonparproduktion Vejleder: Mogens Dam Afleveret 22. marts 213

2 Praktiske oplysninger Dette er rapporten for førsteårsprojekt nr Den er afleveret 22. marts 213 og indeholder 13 siders tekst og 2 siders bilag Deltagere Mathias Mikkelsen, født 13 /1 1987, Michael Spange Olsen, født 11 /1 1992, Stefan Nordam Suadicani, født 28 /4 1992, Faglig vejleder Mogens Dam, lektor, Eksperimentel subatomar fysik, Enheder I denne rapport benytter vi naturlige enheder. Vi skriver lyshastigheden, c, når den indgår i formlerne, men sætter den lig 1 når vi udfører vores beregninger. Derfor opgiver vi masse i elektronvolt, ev..1 Abstract (en) This project addresses particle resonances found in data from the ATLAS experiment at CERN. We will try to explain why we are able to observe sharp peaks in the amount of produced muons, centered around certain masses. We will do this especially in the purpose of a more detailed study of the three peaks called Bottomonium or Υ. We have in our data analysis determined the mass of the three peaks visible in the data and the distribution in number of muons produced from the three energy levels. In addition, we have established a theoretical distribution of muons, which we compare with the data..2 Resumé (da) Projektet omhandler partikelresonanser fundet i data fra ATLAS-eksperimentet ved CERN. Vi vil her forsøge at redegøre for hvorfor vi kan observere skarpe toppe i antallet af producerede myoner, centreret omkring bestemte masser. Dette især med henblik på en nærmere undersøgelse af de tre toppe som kaldes bottomonium eller Υ. I vores dataanalyse har vi bestemt massen af de tre bottomonium-energiniveauer som er synlige i data, samt fordelingen i antal myoner som dannes fra de tre niveauer. Desuden har vi opstillet en teoretisk fordeling af myoner, som vi sammenholder med data. 2

3 Indhold.1 Abstract (en) Resumé (da) Indledning 4 2 Teori Standardmodellen Myonen (µ) Produktion af myoner Bottomonium (Υ) Resonanser Fordeling af myonpar i bottomoniumhenfald Myonernes impuls og retning Databehandling Beregning af den invariante masse og tegning af histogrammer Funktion som beskriver histogrammets data Fittet Antallet af begivenheder Diskussion Fundne masser Fittet Fordeling af begivenheder Konklusion Forbedringer Litteratur 15 7 Bilag ROOT-script Figurer 1 Standardmodellens periodiske system Energiniveauer i bottomoniumsystemet Oversigtsfigur med alle toppe mellem,3 og 16 GeV Udsnit af figur 3 omkring 1 GeV Plot genereret på grundlag af fittet De tre normalfordelinger som fundet af fitting-scriptet Plots genereret af et fit til Breit-Wigner-funktionen Tabeller 1 Tabel over output fra fitting-scriptet

4 1 Indledning Data til dette projekt kommer fra ATLAS-eksperimentet ved CERN. ATLAS er en af de detektorer der er bygget til the Large Hadron Collider, LHC. I LHC bliver protoner accelereret op til nær-lyshastighed, hvorefter de to protonstråler bringes til kollision i de forskellige detektorer. ATLAS er en 4π-detektor. 4π kommer af begrebet rumvinkel, som beskriver den fraktion af en kugleoverflade som udspændes [7]. Arealet af en hel kugleoverflade er 4π, og ATLAS er således en detektor der måler på hele sfæren omkring kollisionspunktet. 1 Detektoren indeholder 3 hoveddele: Den indre detektor, kalorimetrene og muonspektrometeret. Den fylder desuden næsten 4 gange så meget som Rundetårn. 2 Teori 2.1 Standardmodellen Standardmodellen beskriver de partikler som alt stof er lavet af, samt de kræfter som partiklerne interagerer ved hjælp af. Modellen beskriver tolv elementære fermioner (stofpartikler), og et antal kraftbærende partikler (fx fotonen som overfører den elektromagnetiske kraft). Gruppen af fermioner består af quarker og leptoner som findes i tre generationer af stigende masse. Quarker er partikler som påvirkes af alle fire naturkræfter, og som kan danne hadroner (fx protoner og neutroner) når de kombineres [11]. Quarker er elektrisk ladede, og har enten ladningen + 2 /3 e eller 1 /3 e (hvor e er elektronladningen). Leptoner er partikler som ikke føler den stærke kernekraft, f.eks. elektronen [11]. I hver af de tre generationer er der to quarker, en neutrino og en elektron(-analog) (figur 1). Partiklerne i anden og tredje generation er tungere end deres pendanter i første generation (med tredje generation som den tungeste), og har en kortere levetid. Hver af partiklerne i de tre generationer har en antipartikel som har modsat ladning af partiklen selv [11]. mass charge spin name Quarks Leptons Three generations of matter (fermions) I II III 2.4 MeV/c ⅔ ½u up 1.27 GeV/c ⅔ ½c charm GeV/c ⅔ ½ t top MeV/c -⅓ ½ s 2 14 MeV/c -⅓ ½ b2 4.2 GeV/c -⅓ ½ ddown strange bottom ν e <2.2 ev/c <.17 MeV/c 2 <15.5 MeV/c 91.2 GeV/c ½ electron neutrino.511 MeV/c -1 ½e electron? GeV/c γ ν μ ½ muon neutrino μ ν τ ½ tau neutrino photon MeV/c GeV/c 8.4 GeV/c -1-1 ½ ½ τ 2 2 ±1 1W muon tau W boson Figur 1: Standardmodellens periodiske system. På denne figur ses quarker i lilla, leptoner i grøn, og kraftpartiklerne for elektromagnetismen og kernekrafterne i rød. Desuden er Higgs-bosonen tilføjet i gul. Opdelingen i tre generationer af fermioner ses foroven. (Figur fra [9]) g gluon Z Z boson ± Gauge bosons H Higgs boson 1 Dog ikke de partikler der bevæger sig langs det rør som protonerne bliver accelereret op i. 4

5 2.2 Myonen (µ) Myonen er elektron-analogen i standardmodellens anden generation [11]. Ligesom elektronen har den ladning 1, og dens antipartikel, µ, har som positronen ladning +1. Myonens masse er 15,7 MeV (,11 u) [2]. Den er dermed ganske let i forhold til mange af de sammensatte partikler, men ca. 2 gange tungere end elektronen. Myonens forholdsvis store masse betyder at den afbøjes mindre end elektronen når den passerer gennem stof. Når en punktformet, ladet partikel, som elektronen eller myonen, passerer gennem stof, påvirkes den primært af elektronskyerne omkring stoffets atomer. Ved sammenstød mellem partiklen og elektronerne, ændres deres impuls, og partiklerne spredes. Hvis den passerende partikel er en myon, vil dens store masse i forhold til elektronen betyde at den spredes ganske lidt, og i det store hele fortsætter sin bane, hvor en elektron ville blive sendt på afveje [4]. Myonen trænger altså dybere ind i detektorerne. Den passerer således gennem alle detektorerne i den indre del af ATLAS, og bliver først detekteret i de ydre dele af detektoren. I ATLAS-detektoren bliver myonen udsat for et kraftigt magnetfelt, der afbøjer deres bane. [1]. Hvilken vej en myon afbøjes afhænger af hvilken ladning den har (og derved om det drejer sig om en µ eller µ) og størrelsen af afbøjningen afhænger af partiklens impuls. Man kan, pga. deres forskellige ladning, nemt se forskel på en µ og en µ, og derved identificere µ µ-par. Da disse par kan være produktet af henfald af andre partikler, og da disse henfald er forholdsvis sandsynlige, vil de træde kraftigt frem i data. Myonen er et godt analyseobjekt fordi den har en række gode egenskaber: Den er let at identificere og måle på og en række partikler har mulighed for at henfalde ad veje som kun producerer et µ µ-par. Det er altså muligt at identificere µ µ-par som stammer fra henfaldet af en specifik partikel Produktion af myoner Når LHC s protonstråler mødes i ATLAS-eksperimentet sker der en lang række reaktioner. Blandt andet mellem quarker og tilsvarende antiquarker, som annihilerer og henfalder elektromagnetisk eller via den svage vekselvirkning til et lepton-par, fx et myonpar [5]. Dette giver en produktion af myonpar med varierende energi, som i et histogram over myonproduktionen ved forskellige energier ses som en kontinuerlig baggrund (figur 3 på side 9). Desuden kan quarker og antiquarker bindes til hinanden i quarkonium, fx bottomonium [7]. 2.3 Bottomonium (Υ) Analogt til det velkendte brintatom, som er en bunden tilstand mellem en proton og en elektron, er bottomonium en bunden tilstand af en bottom- og en antibottomquark [7]. Dette kan måske virke en smule mystisk, og vi vil derfor tage en kort tankerejse gennem eksempler som måske kan give en bedre intuitiv opfattelse. I brintatomet er en proton og en elektron bundet sammen af deres elektromagnetiske tiltrækning. Hvis man skifter protonen ud med elektronens antipartikel, positronen (som har ladning +1 ligesom protonen), har man positronium [7]. Den store forskel vil nu være, at da de 2 partikler har samme masse, vil deres fælles massemidtpunkt befinde sig midt imellem dem, hvor brintatomets massemidtpunkt ligger inden for protonens radius. Dette betyder at elektronen og positronen vil cirkulere om et punkt imellem de to partikler, i stedet for som i proton-elektron-tilfældet, hvor protonen reelt befinder sig stationært i midten. Bottomonium (og andre quarkonier) er analog til postitronium [7]. Her er det blot den stærke kernekraft som giver anledning til bindingen mellem partiklerne. Helt analogt med brintatomet kan sådanne bundne tilstande exciteres. Hvor det i brint er elektronens bane som ændres i de exciterede tilstande, er det i bottomonium de to quarkers fælles bane. Figur 5

6 Mass (MeV) 111 ϒ(112) η (3S) b ϒ(186) ϒ(4S) ϒ(3S) (2P) h b χ (2P) b χ (3P) b χ (2P) b1 χ (2P) b2 Thresholds: B s B s B*B* BB 3 ϒ(1 D 2 ) η (2S) b KK ϒ(2S) η π (1P) h b χ (1P) b ω χ (1P) b1 χ (1P) b2 π π 97 η 95 η (1S) b ϒ(1S) 93 PC J = Figur 2: Energiniveauer i bottomoniumsystemet. Υ(1S) er grundtilstanden, og pilene viser mulige henfaldsveje. (Figur fra [2]) 2 viser et diagram over bottomoniumsystemet. Det ser måske en anelse uoverskueligt ud, men vi beder læseren om blot at koncentrere sig om energiniveauerne Υ(nS), hvor n {N}. I henfaldet af partikler er der bevarelse af kvantetal J P C, hvor J betegner impulsmomentet i enheder af [7] [4]. Henfaldet fra Υ til µ µ sker elektromagnetisk, via en virtuel foton, og da fotoner har J P C = 1, ser vi kun tilstande med J P C = 1 i vores data. De tre størrelser der vil kunne observeres ved henfald til µ µ-par er dog kun de tre første, Υ(1S), Υ(2S) & Υ(3S), med masser på [2] M Υ(1S) = 9 64,3 ±,26MeV M Υ(2S) = 1 23,26 ±,31MeV M Υ(3S) = 1 355,2 ±,5MeV Grunden til at vi ikke ser de højere eksitationsniveauer er at energien i disse når over B Bgrænseværdien [7]. Nås dette energiniveau, henfalder langt størstedelen af bottomonierne til en B-meson og dennes antipartikel. B-mesonen ( B-mesonen) er en bunden tilstand af en bottomquark (antibottomquark) og en antiquark (quark) af anden type. Lige over B B-grænsen består B-mesonerne af en bottomquark og enten en antiup- eller antidownquark. Ved højere energier kan der dannes B-mesoner med de tungere strange- og downquarker. B-mesonen henfalder ved den stærke vekselvirkning modsat bottomonium som henfalder elektromagnetisk. Da B-mesonen ikke kan annihilere som bottomonium, kan B-mesonen derfor ikke henfalde til µ µ-par og den ses ikke i det datamateriale vi har arbejdet med i dette projekt [4]. Visse af partiklerne vil nå at henfalde til et lavere energiniveau før de annihilerer. (3S) kan henfalde til (2S) og (1S) og (2S) til (1S), mens (1S) ikke kan henfalde til et lavere energiniveau. [2] Dette har betydning for den fordeling af myoner vi forventer at se dannet fra de tre energiniveauer (se sektion 2.5). Plotter vi antallet af begivenheder som funktion af µ µ-parrets invariante masse, vil vi 6

7 således forvente at se en større tæthed af µ µ-par med masse lig bottomoniumsystemernes, end en evt. baggrundstæthed. Derudover kan vi også forvente at mængden af bottomonium i grundtilstanden vil være større end i de exciterede tilstande, da disse har mulighed for at henfalde til grundtilstanden. Hvordan kan sådan en bunden tilstand af en bottom- og en antibottomquark henfalde til et lepton-par, og mere specifikt et µ µ-par? De to quarker har samme masse, og ligger derfor i samme bane omkring massemidtpunktet [7]. Tænker man igen analogt til en elektron i dens elektronbane, befinder denne sig overalt i skallen, med en given sandsynlighed for at være et bestemt sted, når der bliver målt på systemet. Sådan kan man også se de to quarker i bottomoniumet. Der er derfor også en sandsynlighed for at de begge befinder sig i samme punkt til et bestemt tidspunkt, og gør de det, vil de annihilere, da de to quarker som nævnt er hinandens antipartikler [4]. Når de to quarker annihilerer vil der blive produceret en virtuel foton, som så vil henfalde videre til et partikel-antipartikel-par. Dette kan f.eks. være et µ µ-par, som dem vi ser på i dette projekt: b + b γ µ + µ En virtuel partikel er en intermediær partikel i henfaldet fra ét partikelpar til et andet [7] (s. 51). Når et partikel-antipartikel-par annihilerer elektromagnetisk, dannes der ikke umiddelbart et andet partikelpar. I stedet opstår der en foton, en elektromagnetisk kraftpartikel, som har samme invariante masse som partikelparret før henfaldet. Dette bryder med at virkelige fotoner er masseløse, hvorfor den virtuelle partikel med det samme henfalder igen, denne gang til virkelige partikler. (En anden tolkning er at den virtuelle foton er masseløs, men i sin korte levetid bryder med energibevarelsen) [7]. At fotonen her er virtuel betyder også, at den ikke vil kunne observeres i stedet vil den forblive intermediær. Υ kan også henfalde ved den stærke vekselvirkning, via en virtuel gluon. Disse henfalder dog ikke til leptoner, men til nye hadroner. 2.4 Resonanser Heisenbergs ubestemthedsprincip betyder at partiklers energi er usikker, set over meget korte tidsrum. Da bottomonium har en meget kort levetid, betyder dette at dens energi er usikker. Hvor vi normalt ser massen som en deltafunktion om en bestemt masse ser vi i stedet massen som en sandsynlighedsfordeling centreret omkring den fysiske masse, med en vidde som er givet ved Γ = /τ, hvor τ er partiklens levetid, og er den reducerede Plancks konstant, = h/2π. Matematikken som beskriver denne fordeling minder en del om den matematiske beskrivelse af resonanser i tvungne oscillatorer. Fordelingen af partiklens masse er en Breit-Wigner-fordeling, som er en relativistisk udgave af Cauchy-fordelingen der beskriver amplituden for det klassiske kraftigt dæmpede, tvungne oscillator-system. Den top som opstår omkring middelværdien for partiklens masse svarer således til den der opstår i amplituden når den tvungne frekvens nærmer sig systemets egenfrekvens (se figur 7b på side 14 for en illustration af kurven). Derfor betegner man også disse kortlivede partikler resonanser. [7] Den sande vidde af Υ(1S) er 54,2 ± 1,25 kev, hvilket giver en middellevetid på τ 6, s. Med en fart på op imod lysets, vil vi således kunne forvente at denne resonanspartikel kan nå at bevæge sig i størrelsesordenen m før den henfalder 2. Det er mindre end radius af et hydrogenatom, og derfor også langt mindre end hvad vi kan måle. 2 Tager man den relativistiske tidsforlængelse i betragtning vil partiklen selvfølgelig kunne bevæge sig længere, men makroskopiske afstande vil stadig ikke kunne opnås. 7

8 2.5 Fordeling af myonpar i bottomoniumhenfald Et andet interessant emne i forbindelse med undersøgelsen af bottomonium, er fordelingen af myon-henfald fra de 3 bottomoniumniveauer Υ(1S), Υ(2S) & Υ(3S). Den første antagelse vi vil gøre er at der bliver produceret lige store mængder af de tre tilstande. En af de processer der ændrer dette forhold er de 3 tilstandes individuelle sandsynlighed P µ (Υ) for at henfalde til µ-par [2]: P µ µ (Υ(1S)) = 2,48 ±,5% P µ µ (Υ(2S)) = 1,93 ±,17% P µ µ (Υ(3S)) = 2,18 ±,21% Dette i sig selv er dog ikke nok. Husker man tilbage på figur (2) vil man se, at Υ(2S) kan henfalde til Υ(1S), samt at Υ(3S) kan henfalde til både Υ(2S) og Υ(1S). Dette kan ske på flere måder, hvor den samlede sandsynlighed for at NS henfalder til lavere excitationsniveau ns er P Υ(nS) (Υ(NS)). Desuden er der også 2 andre tilstande som vi ikke har kigget på, der kan henfalde til Υ(1S). Det er X b1 (2P ) og Υ(1D). Sidstnævnte henfald er dog blot anført som seen i [2]. Der er også en henfaldsvej Υ(1D) Υ(1S)π + π, som har en sandsynlighed i størrelsesordnen 1 3. Sandsynligheden for henfald til Υ(1S) via andre veje er sammenlignelig med denne [8], hvorfor vi vil se bort fra bidraget fra Υ(1D). Også Υ(4S) og derover kan også henfalde til lavere energitilstande. Dette sker dog så sjældent (størrelsesordenen < 1 3 % [2]) at vi blot kan se bort fra dette. P Υ(1S) (Υ(2S)) = 26,52 ±,66% P Υ(2S) (Υ(3S)) = 1,6 ±,8% P Υ(1S) (Υ(3S)) = 6,57 ±,21% P Υ(1S) (X 2b (2P )) = 18,7 ± 3,6% Under antagelse af at der bliver produceret lige så mange χ b1 (2P ) som Υ(nS) har vi regnet os frem til følgende forventede ratio af de forskellige Υ hvor Υ(1S) er normaliseret til 1: N µ µ (Υ(1S) = 1 N µ µ (Υ(2S) =,58 ±,5 N µ µ (Υ(3S) =,59 ±,6 2.6 Myonernes impuls og retning Vi har til dette projekt fået en række data fra ATLAS-detektoren. Disse data består af sammenhørende værdier af impuls, spredningsvinkel og pseudorapititet for en lang række myonpar. Ud fra disse værdier er det muligt at beregne hver myons bevægelsesretning og energi, samt parrets invariante masse. Myonernes retning kan beskrives i sfæriske koordinater ved to vinkler: Vinklen med protonstrålens retning, θ, og en vinkel i planet vinkelret på strålen, φ. Pseudorapiditeten, η, er relateret til θ ved (1) (se [1]). θ = 2 arctan ( e η) (1) som giver en værdi af θ i intervallet ] ; π[. Sammen med størrelsen af hver myons impuls, p, kan dette benyttes til at bestemme myonernes impulsvektorer: p x p sin θ cos φ p = p y = p sin θ sin φ (2) p z p cos θ 8

9 Man kan nu opskrive 4-vektoren for hver myon, og for systemet af de to myoner [3]: ( ) ( ) E/c (Eµ1 + E P = = µ2 ) /c (3) p p µ1 + p µ2 Da myonens hvilemasse er meget lille i forhold til de energier vi arbejder ved (pc mc 2 E pc), regner vi myonen for masseløs, og sætter 4-vektoren til [3]: ( ) ( ) p pµ1 + p P = = µ2 (4) p p µ1 + p µ2 Ved at finde størrelsen af systemets 4-vektor kan man nu bestemme den invariante masse, M, ud fra relationen 5 (se [3]). 3 Databehandling P 2 = M 2 c 2. (5) 3.1 Beregning af den invariante masse og tegning af histogrammer Vi har skrevet et script i ROOT (vedlagt i sektion 7.1) som tager listen over sammenhørende værdier af φ, η og p som input og ud fra dette finder θ og den invariante masse, m µ µ. Som output producerer scriptet et histogram (figur 3) over antallet af myonpar som funktion af den invariante masse. På dette histogram viser der sig en række toppe som svarer til resonanser i µ µ-produktionen. Figur 3: Oversigtsfigur med alle toppe mellem,3 og 16 GeV. Denne figur er tegnet på grundlag af de beregnede invariante masser. Der ses et antal toppe, tydeligst ved 3,5, 4, og 5 på førsteaksen, samt 2 mindre ved knap 2,9 og ved 3,. Omkring 2,9 ligger ρ-mesonen og ved 3, ligger ϕ-mesonen. Ved 3,5 (ca. 3,1 GeV) ligger J/ψ, charmquarkens quarkonium. Omkring 4, (1 GeV) ligger bottonomium, og ved knap 5 (ved en masse på godt 9 GeV) ligger Z-bosonen, den svage kernekrafts kraftpartikel. Vi beskæftiger os i dette projekt med området omkring 1 GeV, og har derfor lavet et histogram som indeholder netop de relevante toppe (figur 4). På dette histogram ses to toppe 9

10 over baggrunden den ene top, ved knap 9,5 GeV, er høj og symmetrisk, og den anden, ved godt 1 GeV, er lavere og har en skulder ved ca. 1,4 GeV. Da teorien fortæller os at de tre af bottominiums energiniveauer som henfalder til µ µ-par har masser omkring 1 GeV, antager vi at de to toppe i figur 4 repræsenterer bottomoniums 1S-, 2S- og 3S-tilstande, og at 2S- og 3S-tilstandene ligger så tæt i masse at deres toppe i spektret glider sammen til én asymmetrisk top. Figur 4: Udsnit af figur 3 omkring 1 GeV. På denne figur er begge akser lineære. Her ses en høj top ved knap 9,5 GeV, som hæver sig over 1 begivenheder pr. 5 MeV på et sted hvor baggrunden ligger på godt 3 begivenheder. Desuden ses en top ved godt 1 GeV som på sit højeste kun hæver sig til ca. 6 begivenheder. Denne anden top er ikke symmetrisk, men har en skulder ved knap 1,5 GeV. Dette skyldes at de to toppe som dannes af hhv. Υ(2S) og Υ(3S) ligger så tæt at de ses som én skæv top. 3.2 Funktion som beskriver histogrammets data Vi vil gerne vide mere om produktionen af bottomonium hvad er massen af de forskellige energitilstande, hvor mange bottomonier er der produceret, og hvordan fordeler produktionen sig på de tre energitilstande? For at få svar på disse spørgsmål opstiller vi en model som rimeligvis beskriver antallet af begivenheder ved forskellige energier, og laver et fit af data til funktionen. På denne måde finder vi en række koefficienter som beskriver bottomoniumproduktionen og som efter en tolkning kan give os svar på spørgsmålene. På figur 4 ses at ud over toppene, er der en baggrundsproduktion af myonpar. Vi approksimerer baggrunden i intervallet mellem 8,5 og 11,5 GeV med en lineær funktion. De tre toppe antager vi, er normalfordelte. På grund af den store kompleksitet af detektorforsøget er der mange små faktorer som indvirker på målingerne og dette vil betyde at de eksperimentelt bestemte værdier vil sprede sig i en normalfordeling omkring den reelle værdi. Data vil altså følge en fordeling som er en sum af en lineær funktion (for baggrunden) 1

11 samt tre Gauss-kurver (én for hver top). Denne kan skrives som f(x) = ax + b + 3 i=1 c i e (x µ i ) 2 2σ i 2 (6) σ i 2π hvor a og b definerer den lineære baggrund, µ i er middelværdien af massen for top i, σ i er spredningen, og c i er antallet af begivenheder i toppen. Da den spredning som ses i data er et artefakt stammende fra den eksperimentelle opløsning, og langt større end den reelle spredning, kan det antages at spredningen for de tre Gauss-kurver vil være den samme. Vi sætter altså σ i = σ, og funktionsudtrykket vil derfor blive g(x) = ax + b + 3 i=1 c i σ (x µ i ) 2 2π e 2σ 2. (7) De fundne værdier af c i er lig arealet under kurven for top i i histogrammets enheder. Figur 4 har enheder af GeV på førsteaksen, og begivenheder pr. 5 MeV på andenaksen. Et areal på én enhed vil derfor svare til GeV /5MeV = 2 begivenheder. 3.3 Fittet Efter beregningen af de invariante masser, finder ROOT-scriptet de koefficientværdier som beskriver data bedst. For at scriptet skal finde de bedste koefficienter skal det forsynes med et startgæt bestående af et sæt koefficientværdier som definerer fordelinger med lille spredning og middelværdi tæt ved den faktiske middelværdi for den givne top. Dette begrænser scriptets muligheder for at vandre og fx fitte to teoretiske toppe til den samme top i data. Som output genererer scriptet en liste over fundne koefficienter med usikkerheder og et plot af data og den fittede funktion (figur 5). For at se de tre toppe adskilt fra hinanden har vi ligeledes plottet de tre normalfordelinger som de ser ud hvis man ikke summerer dem (figur 6). I tabel 1 ses de koefficienter som fitting-scriptet har bestemt. Koeff. Enhed Værdi a 2/GeV 2 25 ± 3 b 1/5MeV 1 17 ± 3 c ± 6 µ 1 GeV 9,427 ±, 4 c ± 6 µ 2 GeV 9,992 ±,14 c ± 5 µ 3 GeV 1,35 ±,2 σ GeV,155 1 ±, 4 g(x) = ax + b + 3 i=1 c i σ (x µ i ) 2 2π e 2σ 2 Tabel 1: Tabel over output fra fitting-scriptet 3.4 Antallet af begivenheder Som tidligere beskrevet er koefficienten c i proportional med antallet af begivenheder i top i. Antallet af begivenheder, N i, kan simpelt findes ved N i = 2 c i. 11

12 Figur 5: Plot genereret på grundlag af fittet. På denne figur er kun hvert femte datapunkt indtegnet, for at sikre overskueligheden. Figuren er tegnet på grundlag af et ROOT-histogram. På førsteaksen ses midtpunkterne af histogrammets bins, og på andenaksen antallet af myonpar i hver bin. Usikkerhederne er estimeret ved σ N = N / N, hvor N er antallet af myonpar i en given bin. Vi finder her at forholdet mellem c 1 : c 2 : c 3 er som 1 :,39 ±,3 :,27 ±,2. Dette vil også være forholdet mellem antallet af myonpar som stammer fra henfald direkte fra de tre energiniveauer. 4 Diskussion 4.1 Fundne masser Vi har ved vores fit fundet middelværdier for bottomoniummasserne på: M Υ(1S) = 9 426,5 ±,4 MeV, M Υ(2S) = ± 1,4 MeV, M Υ(3S) = ± 2 MeV, Dette skal sammenlignes med tabelværdierne (fra [2]): M Υ(1S) = 9 64,3 ±,26MeV M Υ(2S) = 1 23,26 ±,31MeV M Υ(3S) = 1 355,2 ±,5MeV Forskellen mellem den af os bestemte værdi, og den af [2] opgivne er langt større end vores usikkerhedsestimat. Dette skyldes primært at usikkerhederne er usandsynligt små, men vi 12

13 Figur 6: De tre normalfordelinger som fundet af fitting-scriptet. Her er toppene adskilt fra hinanden, og fra baggrunden. De træder derfor tydeligt frem, og man kan vurdere deres størrelse. har benyttet ROOT s værktøjer, som ikke tager hensyn til de systematiske usikkerheder. De statistiske usikkerheder er ganske små. De eksperimentelt bestemte masser ligger alle under tabelværdierne, og afstanden er større for de lavere masser. Dette kunne tyde på en systematisk effekt. Der er ved beregning af de invariante masser ikke taget hensyn til usikkerheder på de rå data, da der ikke er angivet usikkerheder i data. En usikkerhedsberegning hér kunne eventuelt give et større (og bedre) estimat af usikkerhederne, da dette ville give større usikkerhed på antallet af myonpar med en given invariantmasse. Usikkerheder på de rå data kunne måske også bringe de eksperimentelt bestemte masser tættere på de i [2] angivne. 4.2 Fittet I forbindelse med konstruktionen af den funktion som vi fittede til data, antog vi at fordelingen af begivenheder i invariant-masse-spektret var en normalfordeling. Dette baserede vi på at den fordeling vi ser primært er et resultat af eksperimentet og så mange faktorer indvirker på dette at resultatet vil være en normalfordeling [4]. Ifølge de teoretiske forudsigelser følger den forventede fordeling dog en relativistisk Breit-Wigner-funktion. Den giver toppe som er spidsere og har længere haler. Funktionsudtrykket for Breit-Wigner er: h(e) = k (E 2 M 2 ) 2 + M 2 Γ, k = 2 2MΓγ 2 π M 2 + γ, γ = M 2 (M 2 + Γ 2 ) (8) 13

14 (a) Data og fittet kurve (b) De tre fits alene Figur 7: Plots genereret af et fit til Breit-Wigner-funktionen Figur 7a viser et fit af data til en Breit-Wigner-funktion. Det kan ses at disse passer rigtig godt; især i de intervaller hvor Gauss-funktionerne havde problemer: Halerne. Kvadratet på fejlen er også mindre for denne fitning, end på fitningnen Gauss. Man kan derfor sagtens argumentere for at Breit-Wigner er en bedre model i dette tilfælde. Dog har vi en formodning om, at pga. de mange små bidrag der kommer fra eksperimentet, så ligger en god model som en kombination af de to modeller; Gauss samt Breit-Wigner. Vi satte desuden spredningen af de tre fordelinger til at være ens, da vi antog at dette hjalp til at bestemme koefficienterne mere præcist. Den spredning vi ser er et resultat af den eksperimentelle opløsning, og vi har ingen grund til at tro at spredningen ændrer sig nævneværdigt over det interval som indeholder toppene for Υ. Vi antog desuden at baggrunden i intervallet mellem 8,5 og 11,5 GeV ikke var konstant, da vi på histogrammet (figur 4) kan se at værdierne ved 8,5 GeV er lavere end ved 11,5 GeV. Vi må altså beskrive baggrunden ved en funktion af m µ µ, men vi vil samtidig ikke approksimere den med et polynomium af højere grad end første, da det vil kunne forstyrre fittet til toppene. At baggrunden dog ikke er lineær ses tydeligt, på plottet i intervallet fra,3 GeV til 16 GeV. Her er baggrunden enten stykvis lineær, eller stykvis bueformet. I baggrunden se også artefakter som stammer fra eksperimentets udførelse. Herunder hører de skuldre der befinder sig til højre for bottomoniumtoppene og til venstre for J/ψtoppene (se figur 3). Disse stammer fra den udvælgelse af data der sker allerede mens forsøget kører. Dette sker for at holde den totale datamængde nede samtidig med at man ikke piller ved mængden af data fra J/ψ og Υ. Så de har ikke nogen betydning for det område vi analyserer på [4]. Formodningen om at baggrunden er lineær, er dog ikke så dårlig som det måske kunne lyde. Intervallet vi ser på er rimelig småt, og baggrunden kan derfor med god præcision approksimeres til en ret linje. 4.3 Fordeling af begivenheder Sammenligner vi vores fundne fordeling med vores teoretiske fordeling af myoner i de tre toppe, ses det at de ikke stemmer overens. Hvor der teoretisk skulle komme cirka lige mange Teoretisk Eksperimentel N µ µ (Υ(1S)) 1 1 N µ µ (Υ(2S)),58 ±,5,39 ±,3 N µ µ (Υ(3S)),59 ±,6,27 ±,2 14

15 fra Υ(3S) og Υ(2S), ser vi i stedet en stor forskel i data, hvor (2S) er en del større end (3S). Desuden er produktionen fra Υ(2S) & Υ(3S) højere i den teoretiske beregning end i data. Dette kunne tyde på, at produktionen aftager med stigende energiniveau af bottomoniumtilstanden. 5 Konklusion Vi kan se at der findes en partikel med en masse på cirka 1 GeV, som kan observeres gennem sit henfald til myonpar. Desuden kan vi se at partiklen opsplittes i mindst tre energiniveauer som ligger med en afstand på omkring 5 MeV mellem de enkelte niveauer. Fordelingen af partikler i de tre toppe ligger et stykke fra den teoretisk forudsagte, hvor vi antog at der er produceret lige mange bottomonier i hver exciteret tilstand. I den teoretiske beregning skulle der således være lige mange partikler i Υ(3S)- og Υ(2S)-toppene, mens vi i vores data ser flere begivenheder i Υ(2S) end i Υ(3S). Vi kan altså konkludere, at der ikke bliver produceret lige mange i hver tilstand. 5.1 Forbedringer Det ses, at Breit-Wigner-modellen passer bedre end en Gauss, og den optræder også i teorien bag resonans. Derfor kunne en gennemarbejdning med Breit-Wigner modellen potentielt producere bedre resultater. Vi har dog først bemærket dette sent i forløbet, og har derfor valgt at holde fast i vores Gauss. Det ville også være interessant at få udarbejdet et bedre gæt på fordelingen af begivenheder. Vi tænker her at en dybere teoretisk forståelse af produktionen af bottomonium i partikelsammenstødene, samt en undersøgelse af sammenhængen mellem f.eks. tilstandens energi og sandsynligheden for at tilstanden bliver produceret, ville kunne afstedkomme et bedre estimat af produktionen. En anden ting der kunne være værd at undersøge er, med hvor stor sikkerhed vi kan sige at der er tre toppe. Umiddelbart kan man sige sig selv at det er med meget stor sikkerhed, da alle tre toppe er meget tydelige, men en kvantificering af dette er også ønskværdigt. 6 Litteratur Litteratur [1] ATLAS Collaboration, 18 page ATLAS fact sheet, fact_sheets.pdf [2] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 86, 11 (212) [3] M. Dam, Introduktion til den specielle relativitetsteori, NBI, København, 212 [4] M. Dam, i forb. m. vejledning [5] S. D. Drell & T.-M. Yan, Massive Lepton-Pair Production in Hadron-Hadron Collisions at High Energies, Phys. Rev. Lett (197) [6] T. C. Pedersen, Applied Statistics, Slides til foredrag holdt [7] B. Povh et al., Particles and Nuclei, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 28 [8] M.B. Voloshin, The enhancement of the decay Υ(1D) ηυ(1s) by the axial anomaly in QCD, Phys. Lett. B562 (23)

16 [9] en.wikipedia.org: en.wikipedia.org/wiki/file:standard_model_of_elementary_particles.svg [1] Wong, C. Y., Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions, World Scientific, 1994, s. 24ff [11] H. D. Young & R. A. Freedman, University Physics with modern physics, Addison- Wesley, 212, s. 149ff. 16

17 7 Bilag 7.1 ROOT-script 1 #define Analyze cxx 2 #include Analyze. h // Analyze. h åbner d a t a f i l e n 3 #include TH2. h 4 #include TStyle. h 5 #include TCanvas. h 6 #include <math. h> 7 8 inline double sqr ( double a ) { 9 return a a ; 1 } // Det f ø l g e n d e d e f i n e r e r den f u n k t i o n v i v i l f i t t e t i l : 13 double f i t F u n c t i o n ( double x, double par ) { 14 double pi =3.1416; 15 double normfac = 1. / s q r t ( 2. pi ) ; double MeVperBin = 5. ; // Udtrykkene f o r gauss kurverne : 2 double gaus1 = normfac / par [ 8 ] exp (.5 sqr ( ( x [] par [ 3 ] ) / par [ 8 ] ) ) ; 21 double gaus2 = normfac / par [ 8 ] exp (.5 sqr ( ( x [] par [ 5 ] ) / par [ 8 ] ) ) ; 22 double gaus3 = normfac / par [ 8 ] exp (.5 sqr ( ( x [] par [ 7 ] ) / par [ 8 ] ) ) ; // Summen a f gausserne : 25 double s i g n a l = par [ 2 ] gaus1 + par [ 4 ] gaus2 + par [ 6 ] gaus3 ; // Baggrunden approksimeres ved en r e t l i n j e : 28 double background = par [ ] x [ ] + par [ 1 ] ; 29 3 // Der f i t t e s t i l summen a f gausser og baggrund : 31 return s i g n a l + background ; 32 } void Analyze : : Loop ( ) 35 { 36 i f ( fchain == ) return ; // Definerer det histogram som kommer t i l at i n d e h o l d e de i n v a r i a n t e masser 39 TH1 invmhist = new TH1D( theta, Histogram o f m { ţ ţ }, 6, 8. 5, ) ; 4 invmhist >GetXaxis ( ) >S e t T i t l e ( m { ţ ţ } [GeV] ) ; 41 invmhist >GetYaxis ( ) >S e t T i t l e ( Entries / 5 GeV ) ; 42 17

18 43 // Finder a n t a l l e t a f myonpar : 44 Long64 t n e n t r i e s = fchain >GetEntries ( ) ; Long64 t nbytes =, nb = ; // Denne l ø k k e kører én gang f o r h v e r t myonpar : 49 for ( Long64 t j e n t r y =; jentry <n e n t r i e s ; j e n t r y++) { 5 Long64 t i e n t r y = LoadTree ( j e n t r y ) ; 51 nb = fchain >GetEntry ( j e n t r y ) ; nbytes += nb ; // Vinklen t h e t a f i n d e s f o r hver a f de to myoner i p a r r e t : 54 double mup theta = 2 atan ( exp( 1 mup eta ) ) ; 55 double mum theta = 2 atan ( exp( 1 mum eta ) ) ; // Den i n v a r i a n t e masse bestemmes : 58 double invm = ( s q r t ( sqr (mup p+mum p) sqr (mup p s i n ( mup theta ) cos ( mup phi )+mum p s i n ( mum theta ) cos (mum phi) ) sqr (mup p s i n ( mup theta ) s i n ( mup phi )+mum p s i n ( mum theta ) s i n (mum phi) ) sqr (mup p cos ( mup theta )+mum p cos ( mum theta ) ) ) ) /1; 59 6 // Den fundne i n v a r i a n t e masse p l a c e r e s i histogrammet 61 invmhist >F i l l ( invm ) ; } // T i l s i d s t t e g n e s histogrammet : 66 invmhist >Draw ( ) ; 67 gstyle >SetOptStat (1) ; 68 gstyle >SetStatH (. 1 ) ; 69 gstyle >SetStatW (. 2 ) ; 7 71 // Og f i t t e t u d f ø r e s : 72 TF1 fitypeak = new TF1( fitypeak, f i t F u n c t i o n, 8. 5, , 9 ) ; 73 fitypeak >SetParameters ( , , 2., 9. 4, 1., 1., 5., ,. 5 ) ; 74 fitypeak >SetParNames ( a, b, c1, my1, c2, my2, c3, my3, s i g ) ; 75 invmhist >Fit ( fitypeak, R, E ) ; } // S c r i p t e t t e g n e r den f i t t e d e kurve på histogrammet og s k r i v e r de fundne parametre ud t i l skærmen. 18

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

Standardmodellen og moderne fysik

Standardmodellen og moderne fysik Standardmodellen og moderne fysik Christian Christensen Niels Bohr instituttet Stof og vekselvirkninger Standardmodellen Higgs LHC ATLAS Kvark-gluon plasma ALICE Dias 1 Hvad beskriver standardmodellen?

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large

Læs mere

Test af en simpel kvarkmodel for hadronmasser

Test af en simpel kvarkmodel for hadronmasser Test af en simpel kvarkmodel for hadronmasser S. Holbek, A. Karlberg, S. Nissen & R. Viskinde 10. april 2008 Indhold 1 Introduktion 3 2 Teori 3 2.1 Standardmodellen 1.............................. 3 2.2

Læs mere

På jagt efter Higgs-bosonen

På jagt efter Higgs-bosonen På jagt efter Higgs-bosonen Af Stefania Xella, Niels Bohr Institutet Higgs-bosonen er den eneste partikel forudsagt af partikelfysikkens Standardmodel, som ikke er blevet observeret eksperimentelt endnu.

Læs mere

Velkommen til CERN. Enten p-p, p-pb eller Pb-Pb collisioner. LHC ring: 27 km omkreds. LHCb CMS ATLAS ALICE. Jørn Dines Hansen 1

Velkommen til CERN. Enten p-p, p-pb eller Pb-Pb collisioner. LHC ring: 27 km omkreds. LHCb CMS ATLAS ALICE. Jørn Dines Hansen 1 Velkommen til CERN LHCb CMS ATLAS Enten p-p, p-pb eller Pb-Pb collisioner ALICE LHC ring: 27 km omkreds Jørn Dines Hansen 1 CERN blev grundlagt i 1954 af 12 europæiske lande. Science for Peace ~ 2300 staff

Læs mere

Rela2vitetsteori (iii)

Rela2vitetsteori (iii) Rela2vitetsteori (iii) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Udgangspunktet: Einsteins rela2vitetsprincip Einsteins postulater: 1. Alle iner*alsystemer er ligeværdige for udførelse

Læs mere

Standardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013

Standardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013 Standardmodellen Allan Finnich Bachelor of Science 4. april 2013 Email: Website: alfin@alfin.dk www.alfin.dk Dette foredrag Vejen til Standardmodellen Hvad er Standardmodellen? Basale begreber og enheder

Læs mere

Frie øvelser Fysik 3 Elementarpartiklers Henfald

Frie øvelser Fysik 3 Elementarpartiklers Henfald Frie øvelser Fysik 3 Elementarpartiklers Henfald Alexander S Christensen Asger E. Grønnow Magnus E. Bøggild Peter D. Pedersen xkcd.com Københavns Universitet Forår 2010 Indhold 1 Indledning 2 2 Standardmodellen

Læs mere

Partikelfysikkens Hvad & Hvorfor

Partikelfysikkens Hvad & Hvorfor Jagten på universets gåder Rejsen til det ukendte Standardmodellens herligheder Og dens vitale mangler Partikelfysikkens Hvad & Hvorfor Jørgen Beck Hansen Niels Bohr Institutet Marts 2016 Vores nuværende

Læs mere

Partiklers energitab i boblekammer. Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006

Partiklers energitab i boblekammer. Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006 Partiklers energitab i boblekammer Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006 1 Indhold 1 Indledning 3 2 Boblekammeret 3 2.1 Boblekammeret............................ 3 2.2 SHIVA.................................

Læs mere

Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 Naturens byggesten

Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 Naturens byggesten Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 I dag: Hvad er det for byggesten, som alt stof i naturen er opbygget af? [Elektrondiffraktion] Atomet O. 400 fvt. (Demokrit): Hvis stof sønderdeles i mindre

Læs mere

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter. Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger

Læs mere

LHC, Higgs-partiklen og et stort hul i Texas

LHC, Higgs-partiklen og et stort hul i Texas LHC, Higgs-partiklen og et stort hul i Texas Af Mads Toudal Frandsen Mads Toudal Frandsen er PhD på NBI og SDU, hvor han arbejder på Theory and Phenomenology of the Standard Model and Beyond. E-mail: toudal@

Læs mere

Om stof, atomer og partikler. Hans Buhl Steno Museet Aarhus Universitet

Om stof, atomer og partikler. Hans Buhl Steno Museet Aarhus Universitet Om stof, atomer og partikler Hans Buhl Steno Museet Aarhus Universitet Hvad består alting af? Thales fra Milet (ca. 635-546 f.kr.) Alt er vand Første eks. på reduktionisme Fra mytisk til rationel verdensforståelse

Læs mere

Z 0 -bosonens Henfaldskanaler. Casper Drukier Andreas Hasseriis Kamstrup Peter Krogstrup Kim Georg Lind Pedersen

Z 0 -bosonens Henfaldskanaler. Casper Drukier Andreas Hasseriis Kamstrup Peter Krogstrup Kim Georg Lind Pedersen Z 0 -bosonens Henfaldskanaler Casper Drukier Andreas Hasseriis Kamstrup Peter Krogstrup Kim Georg Lind Pedersen 4. april 2005 Resumé I det følgende projekt bestemmes først forgreningsforholdet mellem Z

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Øvelse 2: Myonens levetid

Øvelse 2: Myonens levetid Øvelse 2: Myonens levetid Det er en almindelig opfattelse at rigtigheden af relativitetsteorien nødvendigvis er vanskelig at eftervise eksperimentelt. Det er den faktisk ikke. Et lille eksperiment (og,

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 Partikelfysik og kosmologi

Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 Partikelfysik og kosmologi Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 I dag: Noget om det allermest fundamentale i naturen; nemlig naturens mindste byggesten og de fundamentale naturkræfter, som styrer al vekselvirkning mellem stof. Desuden skal

Læs mere

Higgs Hunting. Separation af Simulerede Data i Søgen efter Higgs-bosonen. Førsteårsprojekt i fysik ved Niels Bohr Instituttet i København.

Higgs Hunting. Separation af Simulerede Data i Søgen efter Higgs-bosonen. Førsteårsprojekt i fysik ved Niels Bohr Instituttet i København. Separation af Simulerede Data i Søgen efter Higgs-bosonen Jerôme Baltzersen, Morten Hornbech, Mona Kildetoft og Kim Petersen Førsteårsprojekt i fysik ved Niels Bohr Instituttet i København. 6. februar

Læs mere

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi)

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi) Appendiks NMR-teknikken NMR-teknikken baserer sig på en grundlæggende kvanteegenskab i mange atomkerner, nemlig det såkaldte spin som kun nogle kerner besidder. I eksemplerne her benyttes H og 3 C, som

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Mørkt stof i Universet Oprindelsen af mørkt stof og masse

Mørkt stof i Universet Oprindelsen af mørkt stof og masse Mørkt stof i Universet Oprindelsen af mørkt stof og masse Mads Toudal Frandsen m.frandsen1@physics.ox.ac.uk NSFyn, SDU, 10 April, 2012! Outline! Introduction til universets sammensætning! Universet, mikroskopisk!

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Holder Standardmodellen? Folkeuniversitetet, Århus, 10. marts 2014 Ved Christian Bierlich, Ph.D.-studerende, Lund Universitet

Holder Standardmodellen? Folkeuniversitetet, Århus, 10. marts 2014 Ved Christian Bierlich, Ph.D.-studerende, Lund Universitet Holder Standardmodellen? Folkeuniversitetet, Århus, 10. marts 2014 Ved Christian Bierlich, Ph.D.-studerende, Lund Universitet Velkommen Om mig Kandidat i eksperimentel partikelfysik fra KU Laver Ph.D i

Læs mere

Myonens Levetid. 6. december 2017

Myonens Levetid. 6. december 2017 Myonens Levetid 6. december 2017 Det er en almindelig opfattelse at rigtigheden af relativitetsteorien nødvendigvis er vanskelig at eftervise eksperimentelt. Det er den faktisk ikke. Et lille eksperiment

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Kernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14

Kernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14 Kerneprocesser Side 1 af 14 1. Kerneprocesser Radioaktivitet Fission Kerneproces Fusion Kollisioner Radioaktivitet: Spontant henfald ( af en ustabil kerne. Fission: Sønderdeling af en meget tung kerne.

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Atomer og kvantefysik

Atomer og kvantefysik PB/2x Febr. 2005 Atomer og kvantefysik af Per Brønserud Indhold: Kvantemekanik og atommodeller side 1 Elektronens bindingsenergier... 9 Appendiks I: Bølgefunktioner 12 Appendiks II: Prikdiagrammer af orbitaler

Læs mere

Røntgenspektrum fra anode

Røntgenspektrum fra anode Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af

Læs mere

Fysik 3 Førsteårsprojekt

Fysik 3 Førsteårsprojekt Fysik 3 Førsteårsprojekt Arvid Böttiger Nikolaj Korolev Jesper Mathias Nielsen Martin Cramer Pedersen Københavns Universitet Indhold 1 Indledning 2 2 Standardmodellen 2 3 BRAHMS-detektoren 3 3.1 Generelt

Læs mere

Laboratorieøvelse Kvantefysik

Laboratorieøvelse Kvantefysik Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer. 1 Forord 2. 2 Boblekammer 3

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer. 1 Forord 2. 2 Boblekammer 3 Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer Indhold 1 Forord 2 2 Boblekammer 3 3 Energitab 4 3.1 Teori.................................. 4 3.2 Forsøget................................ 5 3.3

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommereksamen 2015 Institution Thy-Mors HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Fysik A Knud Søgaard

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken. I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Skriftlig Eksamen i Moderne Fysik

Skriftlig Eksamen i Moderne Fysik Moderne Fysik 10 Side 1 af 7 Navn: Storgruppe: i Moderne Fysik Spørgsmål 1 Er følgende udsagn sandt eller falsk? Ifølge Einsteins specielle relativitetsteori er energi og masse udtryk for det samme grundlæggende

Læs mere

Acceleratorer og detektorer

Acceleratorer og detektorer Børge Svane Nielsen, Niels Bohr Institutet Acceleratorer og detektorer CERN, 16. marts 2016 Børge Svane Nielsen, Niels Bohr Institutet, København Naturens byggestene Børge Svane Nielsen, Niels Bohr Institutet

Læs mere

Optisk gitter og emissionsspektret

Optisk gitter og emissionsspektret Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

CERN og partikelfysikken Af Peter Hansen

CERN og partikelfysikken Af Peter Hansen CERN og partikelfysikken Af Peter Hansen CERNs fødsel I 2008 vil den største atomknuser, som verden endnu har set, begynde at kollidere protoner mod hinanden med hver en energi på 7 TeV, d.v.s. energien

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kapitel 6. CERN og partikelfysikken. Af Peter Hansen. CERNs fødsel

Kapitel 6. CERN og partikelfysikken. Af Peter Hansen. CERNs fødsel Kapitel 6 CERN og partikelfysikken Af Peter Hansen CERNs fødsel I 2008 vil den største atomknuser, som verden endnu har set, begynde at kollidere protoner mod hinanden med hver en energi på 7 TeV, dvs.

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,

Læs mere

er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet t= 0, A( t ) er aktiviteten til tidspunktet t og k er henfaldskonstanten.

er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet t= 0, A( t ) er aktiviteten til tidspunktet t og k er henfaldskonstanten. Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Radioaktive henfald Formål Formålet i denne øvelse er at eftervise henfaldsloven A( t) = A0 e kt, hvor A 0 er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet

Læs mere

Moderne Fysik 3 Side 1 af 7 Kvantemekanikken

Moderne Fysik 3 Side 1 af 7 Kvantemekanikken Moderne Fysik 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Indførelsen af kvantiseringsbegrebet for lysenergi (lysets energi bæres af udelelige fotoner med E = hν). I dag: Yderligere anvendelse af kvantiseringsbegrebet

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Matematisk Pendul Hold E: Hold: D12 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Technicolor ved LHC. Mads T. Frandsen

Technicolor ved LHC. Mads T. Frandsen Technicolor ved LHC Af er ph.d.-studerende ved Niels Bohr Institutet og High Energy Physics Center, Syddansk Universitet. E-mail:toudal@ nbi. dk Resumé I denne artikel vil jeg beskrive Technicolor som

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Fysik A. Studentereksamen

Fysik A. Studentereksamen Fysik A Studentereksamen stx132-fys/a-15082013 Torsdag den 15. august 2013 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Side 1 af 9 Billedhenvisninger Opgave 1 U.S. Fish and wildlife Service Opgave 2 http://stardust.jpl.nasa.gov

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

i fundamental fysik og metrologi. Målingen involverede en to foton anslåning

i fundamental fysik og metrologi. Målingen involverede en to foton anslåning Antibrint på flaske Niels Madsen, Michael Charlton, Stefan Eriksson, C. Aled Isaac og Dirk Peter van der Werf Physics Department, College of Science, Swansea University, Swansea SA2 8PP, UK Vi beskriver

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron- og lysdiffraktion

Øvelse i kvantemekanik Elektron- og lysdiffraktion 7 Øvelse i kvantemekanik Elektron- og lysdiffraktion 2.1 Indledning I begyndelsen af 1800-tallet overbeviste englænderen Young den videnskabelige verden om at lys er bølger ved at at påvise interferens

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker

Læs mere

Undersøgelse af lyskilder

Undersøgelse af lyskilder Felix Nicolai Raben- Levetzau Fag: Fysik 2014-03- 21 1.d Lærer: Eva Spliid- Hansen Undersøgelse af lyskilder bølgelængde mellem 380 nm til ca. 740 nm (nm: nanometer = milliardnedel af en meter), samt at

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk

Læs mere

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2009 Landsfinale fredag den 21. november 2008 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med i alt 17 spørgsmål. Bemærk at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

Fremtidige acceleratorer

Fremtidige acceleratorer Fremtidige acceleratorer Af Mogens Dam, Discovery Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Med Large Hadron Collider har CERN et banebrydende fysik-program, der strækker sig omkring to årtier

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Stoffers opbygning og egenskaber 2 Side 1 af 16 Elementarpartikler og partikel-bølge-dualiteten

Stoffers opbygning og egenskaber 2 Side 1 af 16 Elementarpartikler og partikel-bølge-dualiteten Stoffers opbygning og egenskaber 2 Side 1 af 16 Sidste gang: Den specielle relativitetsteori. I dag: Atommodeller, partikelfamilier samt partikel-bølge-dualiteten og det heraf følgende kvantemekaniske

Læs mere

Elementarpartikler. Om at finde orden i partikel Zoo

Elementarpartikler. Om at finde orden i partikel Zoo Elementarpartikler Om at finde orden i partikel Zoo Da man begyndte at kollidere partikler i accelleratorer, fandt man et hav af nye partikler. Først da kvarkerne blev fundet, var man nået til standardmodellen,

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere