Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
|
|
- Gerda Ibsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige for fordeliger på R evis for sætig 5.2.3: middelværdi af t(x ). Fordelig af X 2 Trasformatio med fordeligsfuktio og ivers fordeligsfuktio Flerdimesioale kotiuerte fordeliger Itegratio i R Defiitio af tæthed, sadsylighedsmål Margialfordeliger I eftermiddag: De lidt lettere gere til gegæld står tigee ikke så eksplicit i otere. Fraktiler mm., også i R De 1.96 i kofidesiterval for biomialsadsylighed: hvorfra? Dataeksempel: daske mæds idtag af A-vitami SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 1 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 2 / 30 Trasformatiossætige Middelværdi af Y = t(x ) Atagelser: 1. X kocetreret på iterval I fra a til b, dvs. P(X I ) = X kotiuert med tæthed p der er kotiuert på (a,b). 3. t : I R kotiuert. Så er J = t(i ) et iterval fra v = if J til h = supj og Y = t(x ) er kocetreret på (v,h). 4. t kotiuert differetiabel med t (x) 0 for alle x (a,b). Så er t stregt mooto og desude eksisterer de iverse t 1 : J I. Sætig Y = t(x ) er kotiuert med tæthed q givet ved { p(t q(y) = 1 (y))/ t (t 1 (y)) y (v,h) 0 ellers Sætig Y = t(x ) har middelværdi hvis og ku hvis I t(x) p(x)dx < og middelværdie er så E(Y ) = E(t(X )) = t(x)p(x) dx I Ka bevise sætige i tilfælde hvor t opfylder atagelsere fra sætig 5.4.1: Tæthede for Y givet fra trasformatiossætige Hvorår eksisterer middelværdie for Y? Omskriv betigelse til betigelse om X N. d dy t 1 (y) = 1/t (t 1 (y)), så q(y) = p(t 1 (y)) d dy t 1 (y) på (v,h) SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 3 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 4 / 30
2 Fordelig af X 2 Trasformatio med fordeligsfuktio X kotiuert SV med værdier i hele R og kotiuert tæthed p. Hvad er tæthede for Z = X 2 (og hvorfor er Z e kotiuert SV?) Ka ikke umiddelbart bruge trasformatiossætige med t(x) = x 2. Hvorfor? ruger i stedet samme fremgagsmåde som sidst: Reg på fordeligsfuktioe for Z Argumetér for at F Z er kotiuert differetiabel på (0, ) rug sætig og slut at Z er kotiuert med tæthed F Z Reg på F Z. Specielt: Hvis X N(0,1) så er Z = X 2 χ 2 -fordelt med e frihedsgrad: q(z) = 1 2πz e z/2, z > 0 X kotiuert SV kocetreret på iterval fra a til b med stregt voksede fordeligsfuktio F på (a, b). Se på Y = F (X ). Hvilke værdier ka Y atage? Hvad er fordeligsfuktioe for Y Hvad er fordelige af Y? Avedelse: Data x 1,...,x fra formodet fordelig med fordeligsfukt. F : ereg y i = F (x i ) Lav histogram for y 1,...,y og se om det liger histogrammet for e ligefordelig. Eksempel: A-vitamidata (i eftermiddag) SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 5 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 6 / 30 Trasformatio med ivers fordeligsfuktio Repetitio: tæthed og sadsylighedsmål på R Omvedt: Hvis R er ligefordelt, så har Z = F 1 (R) fordeligsfuktio F. F skal stadig være stregt voksede såda at F 1 eksisterer. Avedelse: simulatio af tal fra med givet fordeligsfuktio. Eksempel: Prøv evt. i R: r = ruif(10000) hist(r) x=qorm(r) hist(x) Φ 1 (R) N(0,1) Iterval I R. E fuktio p : I R kaldes e tæthed på I hvis p(x) 0 for alle x I og I p(x)dx = 1 Sadsylighedsmål på I: For pæe delmægder A af I sættes P(A) = 1 A (x)p(x)dx = p(x) dx I A P er e kotiuert fordelig, og P har (sadsyligheds)tæthed p. Fortolkig af p(x) som sadsylighed per lægdeehed omkrig x: x0 +h P([x 0,x 0 + h]) = p(x)dx p(x 0 )h x 0 Ka udvide til R ved at sætte p til 0 udefor I. Stokastisk variabel med fordelig P: P(X A) = 1 A(x)p(x)dx, SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 7 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 8 / 30
3 Sadsylighedstæthed og sadsylighedsmål på R Sadsylighedstæthed og sadsylighedsmål på R 2 Skal getage historie på R. emærk: Hvorfor? Skal kue beskrive fordelige af flere variable samtidig Skal kue itegrere fuktioer af flere variable Nyt spørgsmål: hvis vi ved hvorda (X,Y ) er fordelt, hvorda er så X fordelt? Og Y? Margialfordeliger. Nyt spørgsmål: Er der oge sammehæg mellem X og Y? Eksempel: ligefordelige på [0, 1] [0, 1] Delmægde R 2. Fuktioe p : [0, ) er e tæthed eller sadsylighedstæthed på hvis p(x,y)dx dy = 1 Sadsylighedsmål på : For pæe delmægder A af sættes P(A) = 1 A (x,y)p(x,y)dx dy P kaldes e kotiuert fordelig, og P har tæthed p. Ka udvides til fordelig på hele R 2 ved at defiere p til ul udefor. Stok. var. med fordelig P: P((X,Y ) A) = R 2 1 A(x,y)p(x,y)dx dy... me hvad betyder itegralere? SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 9 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 10 / 30 Sadsylighedstæthed og sadsylighedsmål på R Itegratio i R 2 og R Delmægde R. Fuktioe p : [0, ) er e tæthed eller sadsylighedstæthed på hvis p(x 1,...,x )dx 1 dx = 1 Sadsylighedsmål på : For pæe delmægder A af sættes P(A) = 1 A (x 1,...,x )p(x 1,...,x )dx 1 dx = P kaldes e kotiuert fordelig, og P har tæthed p. Ka udvides til fordelig på hele R ved at defiere p til ul udefor. Stokastisk variabel med fordelig P: P((X 1,...,X ) A) = R 1 A(x 1,...,x )p(x 1,...,x )dx 1 dx... me hvad betyder itegralere? 1. f : A R hvor f er kotiuert og A = [a 1,a 2 ] [b 1,b 2 ] er begræset. Itegralet af f over A defieres som græse af I = i=1 j=1 f (x i,x j ) (a 2 a 1 )(b 2 b 1 ) svarede til iddeliger af [a 1,a 2 ] og [b 1,b 2 ] i dele. Itegralet ka bereges som dobbeltitegral: a2 ( b2 ) f (x,y)dx dy = f (x,y)dy dx = A a 1 Hvorfor giver dette meig? b 1 b2 b 1 ( a2 a 1 ) f (x,y)dx dy SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 11 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 12 / 30
4 Itegratio i R 2 og R Itegratio i R 2 og R 2. f : R 2 [0, ) kotiuert hvor f altså er defieret på e ubegræset mægde. Vi ser på de begræsede mægder A = [,] [,] og de tilhørede itegraler I = f (x,y)dx dy = f (x,y)dx dy A Hvis I kovergerer siger vi at f er itegrabel og defierer f (x,y)dx dy = lim I R2 3. f : R 2 R hvor f altså er defieret på e ubegræset mægde og ka have egative værdier. f kaldes itegrabel hvis f er itegrabel, og i så fald er f (x,y)dx dy = R2 4. f : R R hvor f altså er defieret på R. f (x,y)dy dx = f (x,y)dx dy f kaldes itegrabel hvis f er itegrabel, og i så fald er R f (x 1,...,x )dx 1 dx =... eller i e ade itegratiosrækkefølge. f (x 1,...,x )dx dx 1 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 13 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 14 / 30 Tæthed og sadsylighedsmål på R 2 og R Tæthed som sadsylighed per areal-/volumeehed Nu skulle defiitioere på tæthed og sadsylighedsmål gere give meig... Eksempel (ispireret af eksempel D.2.1): = [0,1] [0,1] og p(x,y) = 3mi(x,y), (x,y) Er p e tæthed på? Sæt A = {(x,y) y x}?. Hvad er P(A) p tæthed på R 2. Se på (x 0,y 0 ) og atag at p er kotiuert i (x 0,y 0 ). etragt et lille δ og mægde A = [x 0 + δ,y 0 + δ]. Så er P(A) = 1 A (x,y)p(x,y)dx dy p(x 0,y 0 )δ 2 = p(x 0,y 0 ) A således at p(x 0,y 0 ) ka fortolkes som sadsylighed per arealehed ær (x 0,y 0 ). Tilsvarede i R : p(x 1,...,x ) er sadsylighed per volumeehed ær puktet (x 1,...,x ). SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 15 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 16 / 30
5 Margialfordeliger Margialfordeliger Atag at de todimesioale stokastiske variabel (X,Y ) har tæthed p på R 2. For à R 2 er altså P ( (X,Y ) à ) = (x,y)p(x,y)dx dy = 1Ã(x,y)dy dx R 2 1 à Hvad ka vi sige om margialfordeligere, dvs. fordelige af X og fordelige af Y? R R X er e kotiuert stokastisk variabel med tæthed q(x) = p(x,y)dy Fider altså tæthede for X ved at itegerere y ud i tæthede. Tilsvarede i R : Hvis (X 1,...,X ) har tæthed p, så er (X 1,...,X k ) også kotiuert med tæthed der fås ved at itegrere de øvrige koordiater væk: q(x 1,...,x k ) = p(x 1,...,x )dx k+1 dx R k Eksempel (fortsat): Hvis (X,Y ) har tæthed R p(x,y) = 3mi(x,y), (x,y) på = [0,1] [0,1], hvad er så fordelige af X? SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 17 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 18 / 30 Mere om ormalfordelige Normalfordelige med middelværdi µ og varias σ 2 Diverse om ormalfordelige: Tæthede for forskelligt valg af µ og σ 2. Fraktiler i ormalfordelige. Fordeligsfuktio og fraktiler i R. X biomialfordelt med atalsparameter og sadsylighedspar. p. Estimator for p er ˆp = X. (Approksimativt) 95%-kofidesiterval for p: ˆp(1 ˆp) ˆp ± 1.96 Hvor kommer de 1.96 fra? Eksempel hvor ormalfordelige er yttig selvom data overhovedet ikke er ormalfordelt Desity f(y) N( 2,0.25) N(0,1) N(2,1) N(0,4) y SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 19 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 20 / 30
6 Eksempel: idtag af A-vitami Eksempel: idtag af A-vitami A-vitamiidtaget for 1079 daske mæd. Idlæst i R som variabel avit (tæk ikke på hvorda lige u...) Histogram for avit Histogram of avit Histogram of logavit Histogram for logavit defieret som logaritme til avit logavit ser ud til at være ormalfordelt! Empirisk middelværdi (geemsit), varias og spredig for logavit: Modelkotrol: ȳ = 7.485, s 2 = 0.192, s = Normeret histogram samme med tæthed for N(7.485, 0.192). Er det e rimelig approksimatio? Prøv også at trasformatio med fordeligsfuktio for N(7.485, 0.192). Ligefordelt? Desity 0e+00 2e 04 4e avit Desity logavit SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 21 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 22 / 30 Eksempel: idtag af A-vitami Diverse R-kommadoer Histogram of tras ### Normeret så samlet areal er 1, cirka 15 itervaller hist(logavit, class=15, prob=t) Frequecy ### Middelværdi og spredig for logavit ey = mea(logavit) sdy = sd(logavit) ### Normalfordeligstæthed ovei: z = seq(5,9,0.1) ## x-værdier des = dorm(z,ey,sdy) ## tæthede poits(z,des, type="l") ## teg ovei tras ### Trasformatio til formodet ligefordelig: tras = porm((logavit-ey)/sdy) hist(tras) SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 23 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 24 / 30
7 Fraktiler i stadardormalfordelige Fraktiler i stadardormalfordelige Desity (φ) z Cdf (Φ) P( X 1.645) = 0.90 eller P(X 1.645) = er 95%-fraktile i N(0,1). Opgave 5.18, uge z > porm(1.645) [1] > qorm(0.95) [1] > qorm(0.975) [1] > porm(1.96) [1] > qorm(0.995) [1] > porm(2.576) [1] P(X 1.645) = 0.95 P( X 1.645) = 0.90 P(X 1.96) = P( 1.96 X 1.96) = 0.95 P(X 2.576) = P( X 2.576) = 0.99 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 25 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 26 / 30 Sadsyligheder i ormalfordelige Opgave Desity Hvis Y N(µ,σ 2 ): 99.7% 95% 68% σ P(µ 1 σ Y µ + 1 σ) = 0.68 P(µ 2 σ Y µ + 2 σ) = 0.95 Desity f(y) N( 2,0.25) N(0,1) N(2,1) N(0,4) y Desity Desity Desity Hvad er middelværdi og varias mo for oveståede data? P(µ 3 σ Y µ + 3 σ) = SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 27 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 28 / 30
8 Kofidesiterval for p i biomialfordelige Resume ˆp = X / er approksimativt ormalf. med middelv. p og varias p(1 p)/. Derfor er ( ) p(1 p) p(1 p) P p 1.96 ˆp p Isolér p og idsæt estimatet ˆp i stedet for p i græsere: ( p(1 p) 0.95 P ˆp 1.96 p p P ( ˆp(1 ˆp) ˆp 1.96 p ˆp ) p(1 p) ˆp(1 ˆp) ) Vigtige tig fra i dag: Flerdimesioale fordeliger: tæthed, margialfordeliger Større tryghed med ormalfordelige Næste uge: Mere om flerdimesioale fordeliger uafhægighed trasformatio middelværdi, varias, kovarias, korrelatio Husk at dette er et udsag om ˆp! SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 29 / 30 SaSt2 (Uge 7, osdag) Trasf., ormalf., flerdim. 30 / 30
Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereDeskriptiv teori: momenter
Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk
Sadsylighedsregig og statistisk J. C. F. Gauss 777 855) Peter Haremoës Niels Brock 2. april 23 Idledig Dette hæfte er lavet som supplemet til 2. udgave af boge Mat B. Der er lagt vægt på at give e bedre
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2
Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs merer n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!
Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereForelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen
Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset
Læs mereRegularitetsbetingelserne i simple modeller
Kapitel 7 Regularitetsbetigelsere i simple modeller I dette kapitel vil vi udersøge forskellige modeller med uafhægige, idetisk fordelte variable, rækkede fra det trivielle til det gaske geerelle. Målet
Læs mereSupplement til Kreyszig
Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereOversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme
Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereSTATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115
STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS 19. DECEMBER 2008 θ x VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Istitut for Matematiske Fag Fredrik
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 4.4 og kapitel 6 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae 8. udervisigsuge 1 E hypotese af forme H 0 : θ =
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereSTATISTIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
STATISTIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Jui 209 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse INDLEDNING...3 DESKRIPTIV STATISTIK...4 Skemaer...5 Diagrammer...8 Statistiske deskriptorer... 0 Typetal
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereProgram. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger
Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mere