ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER"

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas... 3 Når den ubekendte står i 2. brilleglas... 4 Videregående regler om ligninger... 5 Løse ligning på lommeregner Casio fx-991es EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER a. Beregningsrækkefølge b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) c. Angive de variable ud fra sproglig tekst d. Løse ligninger med lommeregnerens solve (brugsanvisning side 5) e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) f. Indsæt variables værdi og løs ligning FLERE EKSAMENSOPGAVER (fra årene 2006 og 2007) "STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser...29 Opdeling (briller) af udtryk med parenteser:...29 Ligninger med x først TEORI...33 Algebraisk hierarki - og briller...33 Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje...33 Brøkligninger...35

2 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 2 af FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER Tal, regneoperationer og ligninger Regnearternes hierarki t Beregningsrækkefølge: 1. potensopløftning 2. gange/division 3. plus/minus En parentes ændrer på hierarkiet Plus-parenteser kan hæves (1) 5 + (x 3) = 5 + x 3 = x + 2 Minus-parenteser: fortegnsskift (2) 8 (3 + x) = 8 3 x = 5 x (3) 7 (x 2) = 7 x + 2 = 9 x Gange-parenteser kan hæves: (4) 2 (3 x) = 2 3 x = 6 x (5) (3 x) 2 = 3 x 2 = 3 2 x = 6 x Gange ind i (parenteser med + og ) (6) 2 (x+4) = 2 x = 2x + 8 Samle led (7) 5 x x = 4 x Kvadratsætninger (8.1) (3+x) 2 = x x (8.2) (x 5) 2 = x x 5 Plus-parenteser kan hæves (1) a + (b c) = a + b c Minus-parenteser: fortegnsskift (2) a (b + c) = a b c (3) a (b c) = a b + c Gange-parenteser kan hæves: (4) a (b c) = a b c (5) (a b) c = a b c Gange ind i (parenteser med + og ) (6) c (a+b) = c a + c b Samle led (7) a + 2 a = 3 a Kvadratsætninger (8.1) (a+b) 2 = a 2 + b a b (8.2) (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b En ligning består af to formler med lighedstegn imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x. Ligninger Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at passe, kaldes en løsning. I en ligning må man 1) lægge samme tal til på begge sider 2) trække samme tal fra på begge sider 3) gange med samme tal på begge sider, dog ikke med 0 4) dividere med samme tal på begge sider, dog ikke med 0

3 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 3 af 35 Isolere en ubekendt (nedenfor betegnes den ubekendte som x, men enhver variabel kan naturligvis isoleres tilsvarende). Der beskrives en sikker vej til at kunne isolere x, når den kun optræder 1 gang i en ligning indeholdende tal,bogstaver, regneoperationer + - * / (og senere potensopløftning ^ ), samt eventuelt parenteser. Nedenstående beviser, at den slags ligninger altid kan løses. (Undtagelse: hvis proceduren giver division med 0). Grundlaget for hvert skridt er, at den side af ligningen, der indeholder x, opdeles med briller (også hvis der kun er et enkelt tal/bogstav ved siden af x) Fremgangsmåden afhænger nu af om x står i første eller andet brilleglas og af hvilken regneoperation, der sammenknytter de to brilleglas. Oftest bruges den modsatte regningsart. + = Hvis x står i første brilleglas (til venstre, eller i en brøk: for oven) Når der står (x)+(b) nedenfor betyder (x) et udtryk (brilleglas), der indeholder den ubekendte, x. (a), (b) og (c) står for andre udtryk, der ikke indeholder x. m Taleksempel Mønster eller / Kommentar Når man trækker (b) fra på begge sider, flyttes over som. p Når man lægger (b) til på begge sider, flyttes over som. d (Kan kun bruges, når (a) ikke er 0) Når man dividerer med (a) på begge sider, flyttes over som g Når man ganger med (a) på begge sider, flyttes over som

4 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 4 af 35 Bemærk, vi siger ikke (b) flyttes over på den anden side af lighedstegnet og ændrer fortegn. I de to sidste tilfælde ovenfor, d og g hvor (a) flyttes over, ændres der ikke fortegn fra plus til minus. Man bruger derimod den modsatte regningsart, og det man flytter skal stå sidst, for at man kan sige flyttes over som. (eller omvendt) flyttes over som (eller omvendt) Når den ubekendte står i 2. brilleglas (til højre eller forneden i en brøk) Kort fortalt: Ved PLUS og GANGE kan man bare bytte om, så den ubekendte rykker frem i første brilleglas. Ved MINUS og DIVISION bruges den omvendte regningsart, nøjagtig som ovenfor. Den ubekendte kommer så over på den modsatte side af lighedstegnet, hvor man er i en bedre situation til at komme videre. For nu står der PLUS i stedet for MINUS, eller der står GANGE i stedet for DIVIDERE, og så kan man bare bytte om. Her skrives det ud i detaljer: o o Taleksempel Mønster + - eller / Der kan ombyttes ved PLUS, så den ubekendte kommer i første brilleglas. (idet a+b=b+a ) Derefter minusoperationen m ovenfor, og (x) er alene Der kan ombyttes ved GANGE, så den ubekendte kommer i første brilleglas. (idet a b=b a ) Derefter divisionen d ovenfor. p Efter plus-operationen bruges den netop omtalte ombytning o. Når (x) er kommet forrest på højre side, bruges minus-operationen m, og (x) er alene. g Efter gange-operationen bruges den netop omtalte ombytning o Når (x) er kommet forrest på højre side, bruges divisions-operationen d, og (x) er alene. I hvert skridt af løsningen af en kompliceret ligning, ser man hvilken side af lighedstegnet, der indeholder x. Udtrykket på den side af ligningen opdeles med briller. Er x i første brilleglas, bruges det første skema, ellers bruges skemaet lige ovenfor, og omformnings-trinnet vælges efter om den adskillende regneoperation er plus, minus, gange eller dividere. På den måde er der 4+4 = 8 valgsituationer. Når ligningen er omformet, er man i en ny situation, igen med 8 mulige udgangspunkter for at vælge blandt de 5 handlinger (m, p, d, g og o ). Til sidst står x alene på den ene side af lighedstegnet.

5 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 5 af 35 Ovenstående procedure kræver ingen omformning af regneudtryk ud over ombytningerne a+x=x+a og a x=x a. Men formlerne adskilles og delene samles på ny måde. Ved praktisk ligningsløsning kan man ofte spare nogle skridt ved at bruge omskrivninger. Når man regner med papir og blyant, vil man tit undlade at skrive ombytningen, men blot have den i hovedet. Ellers skal hver mellemregning skrives, for at dokumentere, at man kender de enkelte principper. Videregående regler om ligninger f r Når man ganger med (-1) på begge sider, ændres fortegn. Bruges ved potensopløftning, når (x) står i første brilleglas. Kan bruges når (x) og (c) vides positive, ellers ikke altid. F.eks. har ingen løsning. har -3 og 3 som løsning. l Bruges ved potensopløftning, når x står i sidste brilleglas. Kan kun bruges når (a) og (c) vides positive. fu () (c) kan være positiv, 0 eller negativ. (x) bliver et positivt tal. fu () (c) kan være positiv, 0 eller negativ. (x) bliver et positivt tal. fu () () Kan kun bruges når (c) vides positiv. () Kan bruges når (x) vides at ligge mellem 0 og 180 fu eller () eller Ellers er der flere eller andre løsninger. () () Kan bruges når (x) vides at ligge mellem 0 og 180 fu () Ellers er der flere eller andre løsninger.

6 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 6 af 35 Løse ligning på lommeregner Casio fx-991es For at løse ligningen 2 x = 8 på lommeregneren Casio fx-991es indtastes følgende: 2X=8, X Man bruger disse taster: X =, Man sætter ligningsløsningen i gang ved først at taste og ser (MYSTISK?) Tallet 112 er ikke løsningen, men en tilfældig gammel x-værdi (I vil se andre tal, når I prøver). Man skal indtaste et start-gæt. Tast f. eks. tallet 1 og tryk på det lighedstegn, der er nederst til højre på lommeregneren Her ses løsningen : x=4 (Det nederste L-R betyder venstre side minus højre side, som giver 0, når løsningen x=4 er indsat i ligningen)

7 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 7 af 35 1 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER Regn ikke, men læs opgaverne, og bevar derefter spørgsmålene på næste side Opg. 101 Opg. 102 Opg. 104 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden , kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen y = ,06 x hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?

8 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 8 af 35 Opg. 104 Opg. 105 Spørgsmål til ovenstående 4 opgaver: Hvilke af nedenstående færdigheder ser det ud til at man skal kunne beherske for at regne og besvare de fire opgaver (sæt v ) : a. Indsætte tal i formel b. Indtaste formel (med tal, parenteser og regneoperationer) i lommeregner og udregne. c. Se hvilken side, der er hypotenuse i en retvinklet trekant. d. Løse ligninger med 1 ubekendt med lommeregnerens solve. e. Løse ligninger med 1 ubekendt med ligningsregler, papir og blyant. f. Gange ind i en parentes. g. Se ud fra en sproglig tekst, hvilke variable der indgår. h. Bestemme rentefod ud fra startkapital, slutkapital og antal år. i. Gennemskue formlernes betydning, herunder vide at gange skal udføres før plus ved beregning af en formels værdi. 2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2 a. Beregningsrækkefølge. Fra Karsten Juul Bogstavregning Op. 201 (Trinvis udregning) Vis ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående a) Eventuelle parenteser udregnes først b) Gange/dividere udføres før plus/minus (omskrives tydeligst med vandret brøkstreg). c) Flere gange/dividere-operationer udføres fra venstre mod højre d) Flere plus/minus-operationer udføres fra venstre mod højre (1) (4) = = 23 (2) 2 (4 + 3) 5 (5) 4 (1+ 3) 2

9 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 9 af 35 = = 14 5 = 70 (3) 2 ( ) (6) (4 1+ 3) 2 Op. 202 (Trinvis udregning) (som ovenfor) (1) 8 ( 2 + 4) (4) 2 (6 4) (7) 3 (2 5) (2) 8 + (2 4) (5) (8) (3) (6) (9) (3 2) 5 Fra Gyldendals Gymnasiematematik, Arbejdsbog B1 Udregn med trinvise mellemregninger (gerne i hovedet, ellers 10-kr. lommeregner) Opg. 203

10 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 10 af 35 Opg. 204 Omskriv med vandret brøkstreg og udregn, med trinvise omskrivninger/mellemregninger: a) / 3 b) 9 8 / 2 c) 18 / = = 11 b) / 4 6 e) 55 / / 7 f) 20 / / g) / / 7 h) / Opg. 205 Udregn, med trinvise mellemregninger: (potensopløftning udføres før gange/dividere, der som bekendt udføres før plus/minus) Opg. 206 Omskriv og udregn, med trinvise mellemregninger: a) 16 / 2 3 b) 36 / 3 2 c) 6 2 / 12 d) 2 5 / 4 e) 5 3 / d) 40 /

11 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 11 af 35 g) / 3 2 h) 8 2 / i) Opg. 207 Udregn, med trinvise mellemregninger: Opg. 208 Udregn, med trinvise mellemregninger:

12 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 12 af 35

13 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 13 af 35 2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) Opg Indsæt x og udregn y (Der må gerne bruges lommeregner. Men "mellemregningen" skal anføres) x 3 2, ,032 = 11 = -1 Opg. 212 Indsæt b, x, y og udregn a b 5 9 0,3-3 x ,4 6 y ,4-8 = 7,5 (evt.) (regnes ikke) Opg Indsæt x 1, x 2, y 1, y 2 og udregn a

14 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 14 af ,3 0, ,4 3, , , = 2 (evt.) 2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven. De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema. Opg. 221 symbol (bogstav) Forklaring (tekst) d møntens diameter (mm) 23,35 h møntens m k Et tal, der afhænger af materialet Værdi, hvis oplyst De kendte tal indsættes i formlen:

15 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 15 af 35 (Og ligningen løses for at beregne k, men dette venter vi med til næste afsnit ) Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven. De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema. Opg. 222 a) b) a) Spørgsmålet "Bestem lysstyrken i afstanden 2 0 cm fra lygten": symbol Forklaring Værdi, hvis oplyst (bogstav) (tekst) x I Sæt de kendte værdier ind i formlen nedenfor, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne : b) Spørgsmålet " I hvilken afstand fra lygten er lysstyrken 9 5 μw/ m 2?" symbol Forklaring Værdi, hvis oplyst (bogstav) (tekst) x I Sæt de kendte værdier ind i formlen, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne : Opg. 223 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden , kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen y = ,06 x hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?

16 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 16 af 35 symbol (bogstav) Forklaring (tekst) Værdi, hvis oplyst Beregning af resultatet: Konklusion: Svaret på spørgsmål b formuleret som en sætning: Opg. 224 symbol (bogstav) (se hvordan nedenfor) Forklaring (tekst) Værdi første gang x x 1 = x 2 = y y 1 = y 2 = Beregn a med følgende formel (vedrørende lineær sammenhæng, y = ax + b a y x y x Beregn b med følgende formel (vedrørende lineær sammenhæng, y = ax + b b = y 1 a x 1 = Værdi anden gang 2 d. Løse ligninger med lommeregnerens solve (brugsanvisning side 5) Løs med lommeregnerens "solve" (aflever som brøk eller decimaltal med 3 betydende cifre): Opg. 231 Opg. 232:

17 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 17 af 35 Opg. 213 a) Løs (i hånden eller) med "solve" : b) Skriv en konklusion en sætning - som svar på spørgsmål a) i opgave 221 i afsnit 2c ovenfor c) Løs ligningen med solve : d) Skriv en konklusion en sætning - som svar på spørgsmål b) i opgave 222 i afsnit 2c ovenfor

18 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 18 af 35 2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) Opg Opg

19 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 19 af 35 Bruge regneregler ( som led i at løse ligninger) Regnereglerne og eksempler - står på side 2. Først afprøver og anskuliggør vi nogle af reglerne. Opg. 243 Indsæt tallene a=8, b=4, c=3, i formlerne A og B, og udregn med med trinvise mellemreninger (som på side 7). A B (1) a + (b c) a + b c 8 + (4 3) (2) a (b + c) a b c (3) a (b c) a b + c (4)-(5) a (b c) a b c ( a b) c (6) c (a+b) c a + c b c (a b) c a c b (7) a + 2 a 3 a (8.1) (a+b) 2 a 2 + b a b

20 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 20 af 35 (8.2) (a b) 2 a 2 + b 2 2 a b Opg. 244 Nedenstående figurer illustrerer nogle af regnereglerne. Hvilke? Hvordan? Skriv hver regel under figuren a b a b c c (a+b) c c a c b a b a b a (a+b) 2 a a 2 a b b b a b b 2 a -b a -b a (a-b) 2 a a 2 -a b -b -b -a b b 2 Opg. 245* Brug de omtalte regneregler undervejs når nedenstående ligninger løses

21 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 21 af 35 Opg. 246* 10 (x +3) = 2, 20 + (4 t) =18, g (6 g) = 12, 7v 5 (v + 2 ) = v 2 (x 3) =12, 3 (4 t) =36, (5 g) 2 = 100, 2 (v 2 ) (2 2) = 64 (x+3) 2 x 2 = 21, (5+x) 2 x 2 = 75, (x 2) 2 x 2 = 14, (4 x) 2 x 2 = 16

22 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 22 af 35 2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning Opg Indsæt A = 14, h = 4 og bestem g af ligningen: ( solve eller løses i hånden) 2. Indsæt A = 22, h = 5 og bestem g af ligningen 3. Indsæt A = 24, g = 5 og bestem h af ligningen 4. Indsæt A = 10, g = 4 og bestem h af ligningen 5. Indsæt A = 28, l = 8 og bestem b af ligningen 6. Indsæt A = 6, b = 8 og bestem l af ligningen 7. Indsæt O = 20, b = 3 og bestem l af ligningen 8. Indsæt O = 6, l = 1,2 og bestem b af ligningen

23 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 23 af Indsæt A = 38, a = 8, b = 2 og bestem h af ligningen 10. Indsæt A = 42, a = 5, h = 3 og bestem b af ligningen 11. Indsæt A = 32, h = 4, a=3 og bestem b af ligningen 12. Indsæt A = 32, h = 4, a = 2 b og bestem b af ligningen 13. Indsæt A = 20, π = 3,1416 og bestem r af ligningen 14. Indsæt A = 80, π = 3,1416 og bestem r af ligningen 15. Indsæt O = 80 og bestem r af ligningen 16. Indsæt O = 80 og bestem d af ligningen

24 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 24 af Indsæt V = 32, h = 4, l = 5 og bestem b af ligningen 18. Indsæt O = 140, h = 4, l = 5 og bestem b af ligningen 19. Indsæt O = 150, b = 3, l = 5 og bestem h af ligningen 20. Indsæt O = 200, b = 4, h = 3 og bestem l af ligningen 21. Indsæt V = 50, π = 3,1416 r = 3 og bestem h af ligningen 22. Indsæt V = 70, h = 3 og bestem r af ligningen 23. Indsæt O = 140, r = 3 og bestem h af ligningen 24. Indsæt O = 170, h = 10 og bestem r af ligningen 3 FLERE EKSAMENSOPGAVER (fra årene 2006 og 2007)

25 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 25 af 35 Opg. 301 Opg. 302 Opg. 303

26 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 26 af 35 Opg. 304 Opg "STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER. Opg. 401* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger. Se mønstre side 3.

27 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 27 af 35 Opg. 402* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger

28 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 28 af 35

29 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 29 af 35 Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser Opdeling (briller) af udtryk med parenteser: ( ) ( ) Svar nr. 1-17: opdeles efter b, b, b, c, b, c, f, b, a, c, b, c, a, d, b, a, a

30 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 30 af 35 Ligninger med x først. Opdel venstresiden ( briller ) og foretag første skridt i at isolere x.

31 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 31 af 35 Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (Husk briller ). Se side XXX

32 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 32 af 35 Svar Ligninger med x først (side 10) spm 4-15: ; ; ; ; Svar Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (side ) spm 4-22: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

33 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 33 af 35 TEORI Algebraisk hierarki - og briller Når værdien af et regnestykke med en masse tal skal udregnes, skal opgaven deles op i en række delopgaver hvor tal to og to lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges, divideres eller opløftes i potens. Eksemplet Udregnes ved = 5 efterfulgt af 5+3 = 8. Efter hvilket princip valgte vi at starte med 15-10? De 5 regningsarter er + - / og ^ Beregningsrækkefølge: Når flere regneoperationer er "på samme niveau" siger man at 1. potensopløftninger udføres først (hænger tættest sammen) 2. gangning og division udføres derefter i den rækkefølge de står 3. plus og minus udføres derefter i den rækkefølge de står (adskiller stærkest) Parenteser får regneoperationerne indenfor parentesen til at optræde i et andet niveau, end dem uden for. En parentes værdi udregnes først og indgår i regnestykket udenfor parentesen Når man skriver et regnestykke op med vandrette brøkstreger, virker disse på samme måde som parenteser. Tilsvarende skal den lille løftede eksponent i en potensopløftning behandles, som hvis den stod i en parentes. Man skal i princippet både kunne indtaste et regnestykke, kunne udregne det i hånden, og kunne overskue den overordnede opbygning af det. Det sidste er vigtigt i regneudtryk med bogstaver, der måske indgår i en model af en konkret problemstilling, og det vigtigt, når man skal løse en ligning. Lad os starte med indtastning. I nogle IT-redskaber kan formler indtastes direkte som de står på papiret, og så kan man blot at lære at bruge knapperne. Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje. I andre IT-værktøjer indtastes formler i én lang linje. Det gør det nødvendigt at indtaste flere parenteser: Indtastning af en brøk kan kræve op til tre sæt parenteser: om tæller, om nævner og om hele brøken. (den om hele brøken kan dog undværes hvis man kun er interesseret i tal-resultatet). Er der et regnestykke i eksponenten ved potensopløftning, skal det indtastes i parentes. indtastes (/) indtastes 2^(3+4) Overskue og udregne i hånden - et eksempel. Et stort og kompliceret regneudtryk opdeles først overordnet i to dele ( briller ). Hver af de dele analyseres og opdeles måske yderligere. Vi belyser reglerne for udregnings-sammenhæng (og rækkefølge) med følgende eksempel, hvor man f. eks. kan tænke sig a=1, b=2, c=3 o.s.v.:

34 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 34 af Vandrette brøkstreger opdeler på samme måde som parenteser Her: brøkstregen opdeler hele udtrykket i to deludtryk (der er intet ved siden af brøken). divideres med 2. Plus og minus adskiller kraftigere end gange (og potensopløftning). Er der flere plus og minustegn, adskiller det sidste (længst til højre) kraftigst Som netop nævnt: Minus adskiller kraftigere end gange: - 4. Gange adskiller kraftigere end potensopløftning. Højre del af (1.). (Selv om + skiller mere end på samme niveau, fungerer den løftede eksponent, hvis den var i parentes), på samme måde som Denne opdeling er nok ikke hvad man ville have gættet uden at kende reglerne. (Det ser ud som om e og f hænger sammen da de begge er store bogstaver, men det gør de altså ikke). Endnu mere lumsk, når gangetegnet er underforstået: Sæt b=3 og udregn Hvad bliver det, og hvorfor? 5. Den løftede eksponent fungerer som hvis den var i parentes: Bemærk, at hvis et brilleglas indeholder 1 eller 2 tal/bogstaver, så er der ingen tvivl om udregningsrækkefølgen, eller hvad der hænger sammen med hvad. Indeholder brilleglasset 3 eller flere tal/bogstaver, så må indholdet opdeles med nye briller. Øvelse: indtegn de sidste manglende briller i det nederste store billeglas.

35 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 35 af 35 Brøkligninger Isoler x i følgende fire ligninger: 1) 3) 2) 4) Omskriv alle løsningerne ovenfor til en brøk, lige som i følgende omskrivning: = Nedenfor ses ligning 1 løst ved at stikke en strikkepind gennem den ubekendte, og lade tyngdekraften trække den fjerne ende af ligningen nedad. Lav tilsvarende illustrationer for ligning 2, 3 og 4. 1)

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Negative tal...7 Parenteser...9 Brøkstreger...1 Tekst og regnestykker hvad passer sammen?... Potenser...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere