INFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "INFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker"

Transkript

1 INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium

2 Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER... 8 FUNKTIONSUNDERSØGELSE OG OPTIMERING Optimering TAYLORRÆKKER... 56

3 STAMFUNKTIONER I forindelse med differentilregning indførte vi for funktionen f differentilkvotienter i, der er tl, som ngiver hældningen for tngenten til grfen for f i punktet, f. Derefter indførte vi den fledede funktion f f, der er en funktion, hvis funktionsværdier er de pågældende differentilkvotienter. Inden for integrlregning hr vi for funktionen f indført det estemte integrl over et intervl,, og det er et tl, der ngiver det smlede rel mellem grfen og førsteksen regnet med fortegn. Vi skl nu indføre en funktion, hvis funktionsværdier kn nvendes til t ngive det estemte integrl (og dermed et rel). Der kommer dog den forskel fr differentilregning, t vi nu får rug for funktionsværdier, d vi skl fgrænse det intervl, som relet er plceret inden for, mens vi inden for differentilregning kun hr rug for én funktionsværdi, d vi her finder tngenthældningen i et punkt. Og en nden forskel er, t mens vores fledede funktion er entydig estemt, dækker vores nye egre over uendelig mnge funktioner, der dog som vi senere får evist kun fviger fr hinnden ved en konstnt. Definition 6 (Stmfunktion): Ld funktionen f være kontinuert i intervllet I. En stmfunktion til f i I er en funktion F: I givet ved F( ) f t dt k ; I ; k er en (reel) konstnt Der er flere ting t emærke ved denne definition: Vi hr skiftet vores integrtionsvriel, så vi integrerer med hensyn til t. Det skyldes, t vi ser på funktionen F med den ufhængige vriel, og når vi skl finde en funktionsværdi F, kommer til t fungere som den fste, øvre grænse, dvs. vi integrerer fr til, og så kn jo ikke også ngive lle punkterne mellem og. Det lder vi t om. Dvs. t repræsenterer lle tllene i intervllet., k er en konstnt, dvs. et eller ndet reelt tl. f skl være kontinuert i I, så vi ved, t f er integrel. Men vi hr jo tidligere forudst, t vores intervl skulle være et lukket, egrænset intervl,, mens I godt kn være. Det skyldes, t når er vlgt, så vil, eller, udgøre det lukkede, egrænsede intervl, dvs. vores estemte integrl er veldefineret. Pg. vores Definition 5 kn vores rgumenter ligge i hele I, dvs. vi kn åde hve - værdier, der er mindre end, større end og lig. F k (ifølge Definition 5) 3

4 Vores stmfunktioners værdier svrer ikke direkte til de reler i et intervl,, som vi er vnt til t finde, men det råder vi od på med følgende sætning: Sætning 9: Ld funktionen f være kontinuert i I. Så gælder for lle, I, netop hvis F er en stmfunktion til f. f d F F Bevis 9: D det er en netop hvis -sætning, skl vi vise to veje. Vi viser først " ", dvs. t hvis F er en stmfunktion, så gælder udsgnet for lle, I. Vi lder F være en vilkårlig stmfunktion til f, dvs. er vilkårlig vlgt, og k er en konstnt. Ved hjælp f indskudsreglen og definitionerne 5 og 6 kn vi så for vilkårlige, I omskrive højresiden i Sætning 9: F F f d k f d k f d f d f d f d f d f d f d Vi skl nu vise" ". Dvs. vi ntger, t vi hr en funktion F, hvor udsgnet gælder for lle, I, og vi skl så rgumentere for, t F må være en stmfunktion. D udsgnet gælder for lle, I, gælder det også for det fste tl I ndet tl i I, dvs. vi hr: D F F f t dt F f t dt F er et fst tl, er F t være en stmfunktion. smt ethvert en konstnt, dvs. F opfylder etingelsen (Definition 6) for Vi kn ltså åde ngive det estemte integrl som f d og som F F vilkårlig stmfunktion til f. Bemærk også, t der i Sætning 9 ikke forudsættes noget om eliggenheden f og., hvor F er en Det estemte integrl er som nævnt mnge gnge et tl. Vi indfører nu det uestemte integrl, der er en fmilie f funktioner: Definition 7: For funktionen f er egreerne en stmfunktion til f og et uestemt integrl f f synonymer. Dvs. de dækker over præcis det smme. Med symolet f d ngiver mn det uestemte integrl f f, der er funktionsfmilien estående f smtlige stmfunktioner til f. 4

5 Vi skl senere se, t der gælder en meget simpel mtemtisk smmenhæng mellem lle de forskellige stmfunktioner til f, og derfor vil vi kunne ngive det uestemte integrl f f på en meget simpel måde. Men først skl vi hve vist den helt centrle og ekstremt nyttige Sætning (Infinitesimlregningens Fundmentlsætning): Ld funktionen f være kontinuert i I. Der gælder så: F er en stmfunktion til f, netop hvis F ' f Bevis : Vi ser på en funktion f, der er kontinuert i intervllet I. Først vises det, t hvis F er en stmfunktion til f, så gælder F ' f : På figuren til venstre ses grfen for f. Vi lder F være en vilkårlig stmfunktion til f, dvs. Ivælges vilkårligt og F f t dt k. Vi ser på et i, så vi hr intervllet, i I i I og dnner desuden stedet i. Vi skl nu til t smmenligne reler. Vi dnner et rektngel med redden og højden f i,m (det lå rektngel på figuren nedenfor) og et rektngel med redden og højden f i,min (vist med gul). Desuden udnytter vi, t med fortegn) i intervllet rel, der i intervllet, i F ngiver relet mellem grfen for f og førsteksen (regnet, (eller, ). Det fortæller os, t F i F i ngiver det i I dette intervl findes en største og en mindste funktionsværdi, og rgumenterne i,m og i,min er de steder, hvor disse funktionsværdier ntges. På figuren til venstre flder det gælder (selvfølgelig) ikke generelt. relet f den punktmængde, der er ngivet med rødt nedenfor. i,min smmen med i, men fgrænses f grfen for f og førsteksen (regnet med fortegn), dvs. 5

6 En smmenligning f reler giver os: Agul Arød Alå i,min i i i,m f F F f Hvis vi forudsætter, t, kn vi forkorte med denne størrelse i egge uligheder uden t skulle vende ulighedstegnene, og vi får så: F i F i f i,min f i,m F i F i Vi emærker, t udtrykket er F s differenskvotient for i, og vi hr fået klemt den inde mellem to funktionsværdier. Ld os se på, hvd der sker ved grænseovergngen. D f er kontinuert, vil f f og f f egge mellem i og i i,min i i,m i for, for i,m og i,min ligger og vil ltså ligge med i,m i og i,min i, hvor er det positive tl, der indgår i definitionen på kontinuitet, og som sikrer, t hvis lot fstnden til i er mindre end dette, så er funktionsværdiens fstnd til f i mindre end fjendens udleverede. Og d vores differenskvotient er klemt inde mellem f i,min og f i,m, må også F i F i f for. F i F i Men dermed kn vi ltså se, t definition, t denne grænseværdi er differentilkvotienten i i, dvs: F f ' i i i hr en grænseværdi for, og vi ved pr. D vores i vr vilkårlig vlgt, hr vi dermed vist, t den fledede funktion f en stmfunktion til f er f. Det gør ikke nogen forskel, om i ligger til højre eller venstre for, men hvis er negtiv, skl ulighedstegnene vendes, når der forkortes med. Det ændrer dog ikke noget ved konklusionen, for vores differenskvotient vil stdig være klemt inde mellem to størrelser, der hr smme grænseværdi for. Vi skl nu vise " ", dvs. t hvis F ' f, så er F en stmfunktion til f. Vi ser ltså på en funktion F, hvorom det gælder, t F ' f. Nedenfor til venstre er grfen for funktionen tegnet, og der er desuden vlgt to vilkårlige, I. D vi gerne vil vise, t F er en stmfunktion til (dvs. noget med integrler), er det måske ikke så overrskende, t vi inddeler, i n delintervller med redden (se figuren nedenfor til højre). n 6

7 I hvert delintervl ser vi nu på hældninger for tre linjer (se figuren nedenfor) Seknten gennem punkterne, F og, F F F i i i i i 7 i hr hældningen, hvilket er vores differenskvotient for i. Den repræsenterer gennemsnitsvæksthstigheden i intervllet, så i intervllet må der åde findes væksthstigheder (tngenthældninger), der er større og mindre (med mindre væksthstigheden er konstnt). Vi lder nu være et sted i intervllet med en tngent, hvis hældning ikke er større end nogen nden i,min tngenthældning i intervllet. Tilsvrende er i,m et sted med en tngenthældning, der ikke er mindre end nogen nden tngenthældning. På figuren ovenfor flder disse steder smmen med i og i, men i princippet kn de ligge hvor som helst i intervllet. Tngenthældningerne er pr. definition givet ved F' i,min - ngivet med grønt på figuren og ' i,m D vi hr ntget, t F ' f, vil disse tngenthældninger også svre til i,min i,m f. Og vi hr ltså i hvert delintervl: F F i i f i,min f i,m Vi forlænger i egge uligheder med det positive tl og får: i,min i i i,m f F F f F - ngivet med låt. f og Vi summerer nu disse idrg, og d ulighederne gælder i lle delintervller, gælder også: n n n i,min i i i,m f F F f i i i Ld os først se på den midterste sum. Summen F F simpelt. For emærk, t i i, d netop er redden f delintervllerne: n n i i i kn fktisk ngives ret F i F i F F F 3 F F 4 F 3... F n F n i Som det fremgår, indgår smtlige led to gnge i summen ortset fr F og F n, og lle disse doeltoptrædende led optræder med åde positivt og negtivt fortegn, dvs. de ophæver hinnden. D og n, hr mn derfor:

8 n F i F i F F i Og emærk, t dette vel t mærke gælder unset ntllet f delintervller. n Udtrykkene f i,min og f i,m genkender vi som henholdsvis vores undersum og i i oversum fr Bevis 3, for f i,m og i,min n f er jo relerne f de rektngler, der er henholdsvis større og mindre end relet mellem grfen for f og førsteksen (regnet med fortegn). Og d f er kontinuert i I, er f integrel over I, dvs. undersum og oversum hr den smme grænseværdi for, nemlig n D F F i i i f d. er klemt inde mellem to udtryk, der egge hr grænseværdien f d for, må dette udtryk svre til grænseværdien, dvs.: F F f d D det gælder for lle, I, hr vi ifølge Sætning 9, t F er en stmfunktion til f. Bemærk, t den centrle pointe i sætningen (og eviset) er: Beviset indeholder selvfølgelig en msse med summer og grænseværdier, men emærk ved ulighederne i eviset, t det netop er ovenstående opertion, der foretges. Infinitesimlregningens Fundmentlsætning udtrykkes også i den helt centrle Integrtionsprøven: F f d F ' f Den er vigtig, fordi den fortæller os, hvordn vi stort set ltid vil grie sgen n. Hvis vi vil undersøge, om en funktion F er en stmfunktion til funktionen f, så gør vi det ved t differentiere F og se, om vi får f. Det er på denne form, mn oftest ser integrtionsprøven, men det er (i modsætning til Sætning ) egentlig ikke en korrekt mtemtisk opskrivning. For udsgnet F f d lider under, t højresiden ngiver fmilien estående f smtlige stmfunktioner til f, mens venstresiden repræsenterer én vilkårlig stmfunktion til f. 8

9 REGNEREGLER Opsmling: Med Infinitesimlregningens Fundmentlsætning hr vi fået hele grundlget for infinitesimlregningen på plds. Læg specielt mærke til to ting: ) En stmfunktion F til funktionen f kendes ved, t den differentieret giver f. ) Vi kn estemme reler (estemte integrler) ud fr en vilkårlig stmfunktion. Nogle vil måske indvende, t dette ikke er så vigtigt, d vi jo llerede hr estemt msser f reler og rumfng, men til det må vi svre: Nej! Det hr vi ikke. Det vr Mple, der gjorde det. For husk på, t vi ikke selv hr været i stnd til t estemme værdierne f de estemte integrler. Men det skl vi live nu, netop fordi vi i ) hr fået en nvisning på, hvordn vi finder stmfunktioner, og fordi ) fortæller os, t de kn ruges til t estemme reler. Vi tger nu ft på t estemme fledede funktioner og stmfunktioner til lle vores stndrdfunktionstyper smt regneregler for differentition og integrtion. Følgende er en oversigt over lle de funktioner, du skl kunne differentiere og integrere. Krvet er meget simpelt: Du skl kunne huske lt det, der er mrkeret med gult. Stmfunktioner Funktion Afledet funktion k d k c k Konstntfunktion: k ' 3 d c 3 d ln c d c Potensfunktion: ln Herunder d c Eksponentilfunktion: e d e c Herunder e log d log ln c Logritmefunktion: log ln d ln c Herunder ' ' ' ' ln log e ' e e log ' ln ' sin ' cos ln sin d cos c Trigonometrisk funktion: sin cos d sin c Herunder cos tn d ln cos c Herunder tn tn Specielle: sin cos ' sin ' cos ' ln sin ' cos ln sin Med stmfunktioner er pointen, t du skl kende reglerne for differentition og så nvende tnkegngen fr integrtionsprøven, dvs. tænke: Hvd er det for en funktion F, der differentieret giver den udleverede funktion f? sin 9

10 Udregninger f estemte integrler Ifølge Sætning 9 er f d F F nu følgende skrivemåde for det estemte integrl:, hvor F er en vilkårlig stmfunktion til f. Vi indfører En skrivemåde: f d F F F Bemærk, t dette lot er en ekstr skrivemåde. Den indføres, fordi mn ellers ikke i udregningen kn se forskriften for stmfunktionen. Vi ved, t vi kn nvende en hvilken som helst stmfunktion, og derfor vælger vi ltid for nemheds skyld stmfunktionen uden konstnt (dvs. c ). Eksempel 47: Vi vil estemme D d. 3 er den simpleste stmfunktion (den uden konstnt), skriver vi: d Eksempel 48: Vi vil estemme relet f den punktmængde M, der i intervllet, fgrænses f grfen for sin og førsteksen: Vi vælger igen den simpleste stmfunktion A sin d cos M cos cos cos : Vi tger nu ft på t udlede regneregler for fledede funktioner og integrler. Funktion multipliceret med konstnt Sætning : Ld funktionen f være differentiel (evt. lot kontinuert for integrlerne). Der gælder så følgende sætninger, hvis k er en konstnt. ' ' k f k f k f d k f d k f d k f d Sætningen siger ltså, t vi åde ved differentition og integrtion skl lde en eventuel konstnt stå og kun rejde med den del, der indeholder vores vriel. Der er stillet som krv, t f skl være differentiel (eller kontinuert), men disse krv skl (selvfølgelig) kun være opfyldt i de områder, mn rejder med. F.eks. er kvdrtrodsfunktionen ikke differentiel, d den ikke er differentiel i, men sætningen gælder også for denne, når mn lot indskrænker sig til t se på positive reelle tl.

11 Bevis : Vi ntger, t f er differentiel og dermed differentiel i ethvert tilhørende f s definitionsmængde. Pr. definition (Definition 9) ved vi så, t differenskvotienten for hr en grænseværdi for, og t denne grænseværdi er ' f ' for f f f, dvs.: Vi ser nu på vores funktion k f, der er vores oprindelige funktion multipliceret med en konstnt. Spørgsmålet er, om denne funktion også er differentiel, og i så fld hvd differentilkvotienten er. For t få svr på dette skl vi opskrive differenskvotienten: k f k f k f k f f f k Det første lighedstegn kommer f, t det jo simpelthen er det, mn mener med en funktion multipliceret med en konstnt. Mn multiplicerer funktionsværdierne med konstnten. Vi ser nu på det sidste udtryk. Hr det en grænseværdi for? Svret er J. For d den nden fktor er den differenskvotient, som, vi ved, hr grænseværdien ' f for, så hr vi ifølge Sætning om grænseværdier, t: f f k k f ' for Og dermed er første del f sætningen vist. k f d k f d, og vi nvender integrtionsprøven til dette. Vi viser nemlig, t højresiden er en stmfunktion til k f (hvilket venstresiden jo pr. definition Vi vil nu vise k f. ' er), ved t differentiere den og se, t vi får Den netop viste sætning ' k f d k f d k f Hermed er det ønskede vist. Bemærk, hvordn Infinitesimlregningens Fundmentlsætning (Integrtionsprøven) gør mnge eviser inden for integrlregning ret nemme, d mn lot nvender den tilsvrende regel fr differentilregning. Til sidst vises k f d k f d. Vi udnytter den netop viste sætning, der siger, t hvis F er en stmfunktion til f, så er k Fen stmfunktion til k f. For hermed kn vi egynde med venstresiden og regne os frem til højresiden: k f d k F k F k F k F F k F k f d Eksempel 49: Vi ser på nogle udregninger, der nvender sætningen ' 3 ' 35 5 d 7 cos d cos d sin 7sin d e d e d e c e c e c 5 4 d 4 d

12 Sumfunktion og differensfunktion Sætning : Ld f og g være differentile (evt. lot kontinuerte for integrlerne). Så gælder: f g ' f ' g ' f g d f d g d f g d f d g d Dette er sætningerne om ledvis differentition og integrtion. Læg godt mærke til dem. Når du skl differentiere eller integrere et funktionsudtryk, tger du ltså simpelthen hvert led for sig. Bevis : Vi ntger, t funktionerne f og g er differentile. Dermed gælder for ethvert, der tilhører egge funktioners definitionsmængder (og dermed også sumfunktionens Dm): f f g g f ' for og g ' for Vi vil gerne vise, t sumfunktionen er differentiel i og estemme dens differentilkvotient i : f g f g f g f g f f g g Vores Sætning om grænseværdier fortæller os så, t d egge ovenstående led hr en grænseværdi for, så hr summen f leddene det også, og summens grænseværdi er summen f grænseværdierne, dvs. f f g g f ' g ' for Og hermed er det ønskede vist eller på ltin quod ert demonstrndum (q.e.d.) Hvilket vr det, der skulle evises. Ledvis integrtion: Vi nvender integrtionsprøven og den netop viste sætning om ledvis differentition, dvs. vi differentierer højresiden og viser, t vi får venstresidens integrnd: Ledvis differentition f d g d ' f d ' g d ' f g f g For t vise sætningen for de estemte integrler, lder vi F og G være stmfunktionerne til f og g og udnytter så, t vi netop hr vist, t en stmfunktion til sumfunktionen f ger summen f stmfunktionerne til f og g: f g d F G F G F G F F G G F G f d g d Øvelse 6: Vi hr kun vist Sætning for sumfunktionen. Så nu skl du nturligvis selv evise den for differensfunktionen.

13 Eksempel 5: Vi estemmer følgende differentilkvotienter og integrler: f f e 3cos ' e 3sin ' g g 5 t p t t 3e h h d 7 c t t p t dt tdt 3e dt t 3e 3e 3e 3e Produktfunktion og prtiel integrtion Sætning 3: Ld f og g være differentile funktioner. D gælder (Produktreglen): f g' f ' g f g ' Ld f være kontinuert, og ld F være en stmfunktion til f, og ld g være differentiel med kontinuert fledet g '. D gælder (Prtiel integrtion): ' f g d F g F g d ' f g d F g F g d Reglen for differentition f et produkt lyder ltså: Den første differentieret gnget den nden uforndret plus den første uforndret gnget den nden differentieret. Eller som en eller nden hr døt den, Frisørreglen: To piger går ind til en frisør. Først klippes den første, mens den nden venter, og gefter venter den første, mens den nden klippes. Eksempel 5: Vi differentierer nedenstående funktioner med produktreglen. Når du læser eksemplet, skl du inde i hovedet tænke Den første differentieret, så du får en rytme ind i sætningen: 3 3 sin ' 3 sin cos ln ' ln ln ln d cos cos cos sin sin d d e d e e e 3

14 Bemærk, hvd produktreglen fortæller os. Når vi finder f g', er det væksthstigheden det pågældende sted for produktfunktionen, vi finder. Og vores højreside fortæller os, t væksthstigheden for funktionen g skl vægtes med funktionsværdien for f det pågældende sted og omvendt. Og det giver mening, d enhver ændring i g s funktionsværdi skl gnges op med f s funktionsværdi, når mn skl se på ændringen f produktfunktionens værdier. Hvis f.eks. f, vil en ændring f g s funktionsværdi på i området omkring give en ændring f f g ' s funktionsværdi på i smme område. Det kn illustreres geometrisk (se figuren nedenfor). Funktionsværdierne for f og g udgør redden og længden i det grønne rektngel, og produktfunktionens værdi er relet f det grønne rektngel. Hvis der lægges en tilvækst på dg til g (ngivet som et differentil) og en tilvækst på df til f, så ser vi på figuren, t tilvæksten for produktfunktionen liver g df f dg df dg svrende til relerne f de tre mindste rektngler. Men når der er tle om meget små ændringer, vil det violette rektngel være så lille, t mn kn se ort fr det. Dette er nturligvis en upræcis formulering, og vi skl nu evise sætningen rigtigt, men ovenstående figur kn muligvis hjælpe mere på forståelsen f reglen end selve det korrekte evis. Bevis 3 (del ): Vi ntger, t funktionerne f og g er differentile. Dermed gælder for ethvert, der tilhører egge funktioners definitionsmængder (og dermed også produktfunktionens Dm): f f g g f ' for og g ' for Vi vil nu undersøge, om produktfunktionens differenskvotient for hr en grænseværdi. Undervejs i udledningen tilføjes leddene f g f g i tælleren. D leddene er ens, men med modstte fortegn, giver de tilsmmen, og er det neutrle element ved ddition og kn ltså lægges til enhver størrelse uden t ændre den. Så det er i hvert fld lovligt. Men emærk også i udregningen, hvorfor det er smrt: f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f f g g g f f ' g f g ' for Til sidst konkluderer vi, t differenskvotienten hr en grænseværdi for, dvs. t produktfunktionen er differentiel i med den ngivne differentilkvotient. Det følger f Sætning om grænseværdier, d vi kender grænseværdierne for f og g s differenskvotienter, og d g g for, fordi g er kontinuert (d g er ntget t være differentiel). 4

15 Bemærk det fsluttende rgument, hvor det udnyttes, t g er kontinuert. Det er nærliggende lot t g g for, for det ser så oplgt ud, men husk på, t dette kun konkludere gælder for kontinuerte funktioner (det er fktisk selve definitionen på kontinuitet). Bevis 3 (del ): Vi vil nu vise integrldelene f Sætning 3. Først ser vi på etingelserne. Pointen er, t vi skl være sikre på, t integrnderne eksisterer og er integrle. Tjek, t du kn se, hvorfor vores forudsætninger sikrer dette. Vi indleder eviset med t omskrive de to sætninger ved t smle leddene med integrltegn på den ene side og nvende Sætning til t sætte integrnderne smmen under ét integrltegn: f g d F g F g ' d f g F g ' d F g f g d F g F g ' d f g F g ' d F g Vi kn ltså evise egge sætninger på én gng ved t vise, t F g er en stmfunktion til integrnden, og det gør vi ved hjælp f integrtionsprøven og vores netop viste produktregel for differentition: F g ' F ' g F g ' f g F g ' Bemærk nvnet prtiel (delvis) integrtion. Det hænger måske ikke så overrskende - smmen med sætningens indhold. For se på højresiden i udsgnet. Her er to led, hvorf det ene er et integrl. Dvs. når mn integrerer et produkt, får mn en integreret del, men smtidig også et nyt integrl. Umiddelrt kunne det jo dermed lyde som en urugelig sætning. Men pointen er, t mn i nogle tilfælde kn opnå, t integrnden F g ' er nemmere t rejde videre med end den oprindelige integrnd f g. Det kn ske, hvis g er simplere end g, eller F er simplere end f, eller generelt hvis produktet f F og g er simplere end produktet f f og g. Sommetider kn mn fktisk også få noget ud f t nvende reglen, uden t noget f ovenstående er opfyldt. Og det er her, t den gmle tlemåde Differentition er et håndværk, integrtion er en kunst kommer på nen. For med vores metoder vil vi kunne differentiere lle smmensætninger f vores stndrdfunktioner, men ikke nødvendigvis integrere dem. Nogle smmensætninger kn simpelthen ikke løses nlytisk, og ndre skl mn være meget snedig og få gode ideer for t integrere. Udover prtiel integrtion skl vi lære om integrtion ved sustitution. Med disse to metoder ved hånden vr der tidligere mtemtikere, der vr specilister i t estemme integrler (og mn lvede teller og hele øger lene med integrler). Vi kommer (desværre) mest til t ruge Mple til udregningerne, men vi skl lligevel lære t nvende metoderne på nogle oplgte tilfælde. Eksempel 5: Vi vil estemme sin d. Vi emærker, t liver simplere ved differentition, og smtidig liver sin ikke vnskelige ved integrtion. Vi kn derfor forsøge os med prtiel integrtion, hvor vi ehndler som funktionen g og sin som funktionen f : sin d cos cos d cos cos d cos sin c Bemærk pointen: Ved den prtielle integrtion får vi et integrl, vi godt kn udregne. 5

16 Eksempel 53: Vi vil estemme Vi emærker, t 3 ln d. ln liver simplere, når den differentieres, så den ehndler vi som g. Og emærk, hvordn integrnden som helhed liver simplere: ln d ln d ln d ln 3 ln 3 ln ln 3 3 9ln Vi ser nu på et eksempel, hvor mn nvender prtiel integrtion to gnge: Eksempel 54: Vi vil estemme 5 e d. Vi emærker, t polynomier går en grd ned, når de differentieres, og derfor kn vi evæge os mod en konstnt ved t ehndle polynomiet som g: 5e 5e 5e e 5e e e d 5e e c e 5 5 e d 5e d e d e d e c Ld os endelig se på et specielt tilfælde, der kn give en idé om, hvorfor integrtion er en kunst. I næste eksempel evæger vi os nemlig ud d en vej, der tilsyneldende ikke fører til noget, men så Eksempel 55: Vi vil estemme sin d. Hvis vi vil nvende prtiel integrtion på dette integrl (men hvem kn dog få den tåelige idé!), er der ikke så meget t rfle om. Vi må sætte den ene den nden til g: cos sin cos cos d sin sin sin cos sin cos cos sin til f og d d d Nu ser vi ud til t være gået i stå, for vi kn se, t vi ikke hr opnået ndet end t få ændret sinus til cosinus, og det er to sider f smme sg. Men så husker vi på grundreltionen (den er ofte god t huske på!), dvs. vi sætter cos sin sin cos sin sin cos sin sin : d d d d Vi smider nu integrlet med sinus over på venstresiden og får: sin sin cos sin d d c sin cos sin d c d c sin cos sin 6

17 Kvotientfunktion Sætning 4: Ld f og g være differentile funktioner og g. D gælder (Kvotientreglen): f g ' ' g f ' g f g Bevis 4: Vi ntger, t funktionerne f og g er differentile. Dermed gælder for ethvert, der tilhører egge funktioners definitionsmængder (og dermed også kvotientfunktionens Dm): f f g g f ' for og g ' for Vi vil så undersøge, om kvotientfunktionens differenskvotient for hr en grænseværdi for. Beviset minder om eviset for produktfunktionen, d vi tilføjer to led, der tilsmmen svrer til, men derudover er der lidt flere eregninger, d vi skl sætte på fælles røkstreg: f f f f f g f g g g g g g g g g f g f g g g f g f g f g f g g g f f g f g g g g f f f g g g g g f f ' g ' for g g Bemærk igen, t g g for, fordi g er kontinuert (d g er differentiel). Dvs. vores differenskvotient hr en grænseværdi for og er dermed differentiel. Og denne grænseværdi er differentilkvotienten i. Når mn sætter udtrykket på fælles røkstreg, får mn udtrykket på den form, det er ngivet i sætningen. Som det fremgår f eviset (og lmindelige røkregneregler), kunne mn også skrive sætningen f f ' f g ' som ', men når mn vælger formuleringen ngivet i Sætning 4, g g g skyldes det, t den nok er nemmere t huske. For emærk, t tælleren er identisk med produktreglen, ortset fr minustegnet mellem leddene! (hvilket nok skulle kunne huskes med reglen, t plus hører til gnge og minus til division). Oftest er det nævneren, der volder prolemer. Bemærk, t det er funktionsværdien, der kvdreres (og ikke den fledede funktions værdi). 7

18 Kvotientreglen er ikke så nem t illustrere geometrisk som produktreglen og heller ikke så nem t forstå intuitivt. Men her kommer et forsøg seret på omskrivningen (se figuren nedenfor): ' g' f f g ' g g g f Vi lder f s funktionsværdi være repræsenteret ved relet f det lå rektngel. g's funktionsværdi svrer til længden f den lå side. Så svrer kvotientfunktionens værdi til længden f den grønne side. Tilvæksten df vil så være relet f det stiplede. f område, og vores søgte tilvækst d er længden f den røde side. Denne længde findes ved t g tge relet f det røde område og dividere med længden f den lå side. Hvis vi siger df, hr vi tget relet f hele det stiplede område og divideret med længden f den g lå side. Men det er for meget. Vi trækker derfor f dg g fr svrende til relet f det ornge g område delt med længden f den lå side. Den skrpsindige læser hr så opdget, t vi hr overset det lille grå område i øverste, højre hjørne. Men dette er igen et område, hvis rel er et produkt f to differentiler derfor smides dette idrg væk. Ld os se nogle eksempler på nvendelse f kvotientreglen: f d og dg, og g Eksempel 56: Eksempel 57: sin ' sin ' sin cos sin cos sin ' d ln ln d ln ln ln Eksempel 58: t cos d t t t e sin te cos te sin t cos t t t dt e e sin Hvis vi i Eksempel 56 hvde omskrevet sin, kunne vi hve nvendt produktreglen i stedet for kvotientreglen. Det ville selvfølgelig hve givet smme resultt (tjek selv!). til 8

19 Smmenst funktion Sætning 5: Ld f og g være differentile funktioner (for det enkelte sted skl det gælde, t g er differentiel i f g g f g, og f er differentiel i g ). Så gælder: Differentition f smmenst funktion (Kædereglen) d g ' ' ' eller d f g d g d f g eller df dg df d d d d dg Ld g være differentiel og f kontinuert med stmfunktion F. Så gælder: Integrtion ved integrtionsvrielskift (eller Integrtion ved sustitution ) ' ' f g g d f g d g F g c g g f g g d f g d g F g F g F g Kig godt på de tre forskellige skrivemåder for sætningen om differentition f smmenst funktion og tjek, t du kn se, t der står det smme. Vi ved fr vores ehndling f smmenstte funktioner, t g er den indre funktion, mens f er den ydre funktion. Og sætningen siger så, t: Mn differentierer en smmenst funktion ved først t differentiere den indre funktion og derefter differentiere den ydre funktion MED HENSYN TIL DEN INDRE FUNKTION. Med formuleringen med hensyn til menes, t du skl etrgte selve funktionsudtrykket for den indre funktion som differentitionsvriel. Husk, t mn skelner den indre funktion fr den ydre funktion ved t tænke på, hvordn mn ville grie situtionen n, hvis mn skulle udregne en funktionsværdi i hånden eller på en gmmeldgs lommeregner. Den indre funktion er det udtryk, mn først ville udregne værdien f, hvorefter mn ville sætte den netop fundne værdi ind i den ydre funktion: Eksempel 59: Vi vil differentiere : sin Vi identificerer f. som den indre funktion og sin som den ydre og får: Eksempel 6: Vi vil differentiere Her er det f : sin. sin, der er den indre funktion, for først skl vi udregne sinusværdien til rgumentet, og derefter skl denne værdi kvdreres (dvs. Vi får derfor: er den ydre funktion). 9

20 Eksempel 6: Vi vil differentiere f : ln 3 7 Vi genkender 3 7. som den indre funktion og f ' 3 ln som den ydre. Bemærk skrivemåden df dg df. Differentilkvotienterne er jo IKKE røker, dvs. vi kn ikke d d dg ehndle df og dg som tællere og d og dg som nævnere. Men skrivemåden gør det nemt t huske reglen, for mn kn forestille sig følgende VISUELLE opertion: Og fktisk gælder reglen som vi skl se, når vi eviser den også for smmensætning f flere funktioner. Fktisk lige så mnge, det skulle være: df dh dg df eller df dj di dh dg df eller dk dg dt ds dp df dw dk d d dh dg d d dj di dh dg dl dl dg dt ds dp df dw Tjek, t du forstår systemet. Pointen er, t mn differentierer indefr, og når mn evæger sig udd, differentierer mn hele tiden med hensyn til det, der ligger længere inde. Eksempel 6: Vi differentierer nu funktioner smmenst f mere end to funktioner. I hvert tilfælde nvendes frverne rød (inderste), lå (næstinderste), violet (tredje inderste) og ornge (fjerde inderste) om funktionerne og deres fledede. Bemærk specielt, hvordn der differentieres med hensyn til den del, der ligger længere inde: e 5 e sin e sin ln 4 4 cos4 f : cos f ' g : ln g ' h : 3 sin e cos 3 sin cos 3 3 sin e cos cs o h ' 3 cos sin e cos e Bemærk, hvordn mn på det violette niveu i g også skl nvende ledvis differentition, og hvordn mn i h udover differentition f smmenst funktion også skl nvende ledvis differentition og produktreglen. Du skl ltså lægge mærke til, t når du kominerer reglerne, kn du differentiere selv komplicerede funktionsudtryk. Vi skl nu evise Sætning 5, og her vil vi endnu engng enytte, t når g er differentiel og dermed også kontinuert i, så gælder: for og dermed også, og f i g. g g Det skl vi ruge, fordi vi skl rejde med g i g g for

21 Bevis 5: Vi hr forudst, t g er differentiel i g g, og f er differentiel i g f g g f g df g g g d g I vores sitution er g en funktion f, så vi hr g g g, hr vi i g ' for og for g g g for. Dvs. vi hr:, dvs.:, og d g er kontinuert f g f g df g g g d g for Og hermed er vi klr til t gennemføre eviset, for vi skl nu rgumentere for, t differenskvotienten for den smmenstte funktion f ghr en grænseværdi for smt estemme denne grænseværdi. Vi opstiller derfor først differenskvotienten og forlænger derefter røken med g g f g f g f g f g g g f g f g, d det giver os to røker, vi kn rejde med: g d f g d g g d g d Vi hr igen udnyttet vores Sætning om grænseværdier, hvor vi kn multiplicere grænseværdierne. for Integrtionsdelen f sætningen vises ret hurtigt ved hjælp f integrtionsprøven og vores netop viste regel for differentition f smmenst funktion. For vi skl kun vise to ting: ) At når vi differentierer F g hvor integrtionsvrilen er, dvs. f g g '. d F g d g d F g g ' F ' g g ' f g d d d g ) At når vi differentierer med hensyn til g, får vi integrnden i integrlet med integrtionsvrilen d F g d g g, dvs. F ' g f g c med hensyn til, får vi integrnden i det integrl, f g. Bemærk, t mn med plceringen f mærket fortæller, hvd mn differentierer med hensyn til. ' F 'g etyder, t mn differentierer med hensyn til F g, hvor mærket er plceret for enden, etyder, t mn differentierer med hensyn til. g.

22 Bevis 5 (revisited): I Bevis 5 kn mn gøre pointen omkring skiftet fr til med -nottion. For d f er differentiel i g, hr mn: g g mere tydeligt d f g f g d f g : g g g g Dvs. her fortælles det, hvordn mn får differenskvotienten vilkårlig tæt på grænseværdien (differentilkvotienten) ved t ringe g s funktionsværdi tilps tæt på g. Men vi skl se på grænseovergngen, dvs. vi hr rug for t kunne forinde tilvækster i g-værdier med tilvækster i -værdier. Og her udnyttes, t g er kontinuert i, dvs. mn hr: : g g Og hermed er forindelsen på plds, for nu kn vi vise, t f g f g d f g for g g d g For når fjenden kommer med sit, og vi i første omgng kn finde vores, så kn vi sætte og finde et rugrt. For så hr vi opnået, t når, så vil g g, og dermed vil g g f g f g d d f g. g Mn kn illustrere indholdet f kædereglen på følgende måde: Vi hr en smmenst funktion f g h. Dvs. et rgument indsættes i h (se giver h. ) og Denne værdi indsættes i g (se ) og giver værdien g h indsættes i f (se giver, der ) og f g h. En tilvækst giver (se ) en funktionstilvækst h, der pg. grfens krumning liver lidt større end ). Men pg. g-grfens krumning fører h til en mindre g (se ). Og d f er ftgende, fører den positive g til en negtiv f (se ). Almindelige røkregneregler giver os: f h g f h g

23 Hvis vi lder være et differentil, dvs. d, skl de ndre tilvækster også erstttes f differentiler, og så hr vi kædereglen: df dh dg df d d dh dg Som nævnt er dette ikke et gyldigt evis (det mngler en grænseovergng), men det er godt til t illustrere pointen med kædereglen, dvs. hvorfor mn skl gnge med funktionerne differentieret med hensyn til de indre funktioner. Det er jo ikke kun funktionsværdierne, der hele tiden indsættes i den funktion, der ligger et trin længere ude. Det er også tilvæksterne, og dermed opstår lle de forskellige differens- og differentilkvotienter. Vi skl nu se nogle eksempler på nvendelsen f Integrtion ved integrtionsvrielskift, der normlt er kendt under nvnet Integrtion ved sustitution. Det normle nvn skyldes den måde, mn normlt nvender sætningen på i prksis, men som ikke ses i sætningens ordlyd. Sætningen siger, t vi kn ruge reglen, hvis vi skl integrere produktet f en smmenst funktion og dens indre funktions fledede funktion. Umiddelrt kn det virke som en lidet nvendelig sætning, men skinnet edrger. Det er nok vores stærkeste våen i forhold til t estemme komplicerede integrler. Eksempel 63: Vi ønsker t estemme sin cos e d. Vi opdger, t integrnden estår f en smmenst funktion den indre funktions fledede funktion sin ' cos. sin e, der gnges smmen med sin cos e d (metode : Sustitution): Ved denne metode skl mn sustituere den indre funktion i den smmenstte funktion med t og gøre følgende (se den violette oks): t sin Bemærk, t vi i sidste skridt foretger den ulovlige hndling t opsplitte dt vores differentilkvotient. Dette er ulempen ved denne metode. cos d Men kig nu på vores integrl. Vi kn få fjernet lle er ved t ersttte dt cos d med udtryk indeholdende t. Vi får så: sin cos e e e e t t sin d dt c c Vi sustituerer ltså først den indre funktion f med t for t kunne integrere udtrykket, og når integrtionen er foretget, sustituerer vi tilge til funktionen f. sin cos e d (metode : Integrtion ved integrtionsvrielskift): Denne metode er egentlig identisk med den nden metode, d mn skl genkende den indre funktion, men den følger direkte vores sætning og er derfor mtemtisk korrekt. Pointen er, t når integrtionsvrilen udskiftes med (se sætningen). Dermed får mn: sin, skl mn smtidig fjerne cos e e sin e sin sin sin d d c Der kommer ltså ingen t er ind undervejs, men emærk, t det er det smme, der foregår, d mn enten ersttter cos d med dt eller d sin. sin ' 3

24 Eksempel 64: Vi ønsker t estemme det estemte integrl cos sin e d. Det er smme integrnd som i Eksempel 63, så vi skl lve smme sustitution. Men forskellen er nu, t hvis mn indfører t, skl grænserne også psse til disse t-værdier. Metode : Vi sustituerer t sin dt cos d dt cos d : t sin : t sin Metode : Vi sustituerer t sin dt cos d dt cos d sin med t og udregner nye grænser (se den violette oks): sin med t, men eholder grænserne for og gør så re opmærksom på, t grænserne hører til : Bemærk, t det kun er de steder, hvor der også indgår et t, og hvor der ltså kunne være tvivl om grænserne, t det direkte ngives, t grænserne hører til. Metode 3: Der indføres ikke noget t, men integrtionsvrilen skiftes: sin sin sin sin sin sin cos e d e d sin e e e e e e sin Du hr nu set to metoder til uestemte integrler og tre til de estemte. Prøv i strten lle metoder f og find dem, der psser dig edst. Det er hurtigst t rejde med integrtionsvrielskift, men det er også mere strkt end integrtion ved sustitution, og mn skl hve styr på t få erstttet den fledede funktion rigtigt. Nu følger lidt flere eksempler, hvor der nvendes forskellige metoder. 4 6 Eksempel 65: Vi vil estemme d. Det emærkes, t vi hr en smmenst funktion, 35 hvor er den ydre funktion, og 35er den indre. D 3 5 ' 3 ser det måske ved første øjekst ikke ud til t psse med tælleren, men hvis mn fktoriserer, psser det: t 3 5 dt 3 d dt 3 d : t : t Når vi nu ændrer integrtionsvrilen til t, skl du emærke, t vi også skl indsætte de grænser, der psser til t: cos sin e d e t dt e t e e e sin t t sin cos e d e dt e e sin sin e e e e e - Vi integrerer ved sustitution. Bemærk, t vores integrtion skifter retning, så vi pludselig hr det største tl som nedre grænse: d d dt ln t t ln 3 ln 9 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 4

25 Eksempel 66: Vi vil estemme 5 ln 7 7 cos 7 d en smmenst funktion, og d 7 ' ln ln 7 7 cos 7 5 cos sin 7. Vi genkender 7 som den indre funktion i, får vi ved integrtionsvrielskift: d d c 5 Eksempel 67: Vi vil estemme 6 3 ln d. Vi identificerer indre funktion i en smmenst funktion, og d ' som den, får mn: ln d 3 ln d 3 ln d 5 3 ln 33ln 3 3 3ln ln 3 9ln 3 I næste eksempel er det ikke så oplgt, hvilken sustitution mn skl vælge. Men dermed kn du også få en idé om, hvorfor integrtion er en kunst: Eksempel 68: Vi vil estemme t cos dt sin d dt sin d sin 3 d. Vi vælger måske lidt overrskende t sætte t til: Vi lver nogle omskrivninger og nvender grundreltionen: 3 sin sin sin sin cos 3 3 cos cos d d d t dt t dt t t c c 3 3 Differentition f omvendt funktion Vi kn udnytte vores kendsk til differentition f en smmenst funktion til t estemme en smmenhæng mellem fledede funktioner for en funktion og dens omvendte funktion. For vi ved, t en funktion f og dens omvendte funktion giver en identitetsfunktion: D vi ved, t ', hr vi ltså: f er krkteriseret ved, t smmensætningen f dem f f d f f d f d f f d f d d d d f d f f D mn også hr f f, gælder sætningen også ved omytning f f og d f f : Sætning 6: For en funktion f og dens omvendte funktion d f df d d f gælder: og d d f f d f f f df 5

26 Eksempel 69: Vi fprøver sætningen på den nturlige eksponentilfunktion og ln, hvor vi kender de fledede funktioner. I første omgng ntger vi, t vi ikke kender den fledede funktion f ln, men ønsker t estemme den: d ln ln ln d d e e d ln Hvis vi modst ntger, t vi kender den fledede funktion f ln: d e e d d ln e e d Eksempel 7: Vi ser på endnu et eksempel, hvor vi llerede kender svrene, nemlig kvdrtrodsfunktionen og kvdrtfunktionen, der er hinndens omvendte funktioner. Vi ntger først, t vi ved, t ' : Hvis vi ntger, t vi kender d d d d ', får vi: d d d d Ld os nu ruge sætningen på funktioner, vi ikke kender den fledede f, nemlig de omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner. Dm sin,, men funktionen er ikke differentiel i intervlendepunkterne (lodret tngent), så vi indskrænker os til, (se figuren til højre). Sætning 6 giver os så: d Når Dm for sin d og dermed giver d sin sin cos sin d sin sin er indskrænket til cos sin også nvender grundreltionen: d,, er Vm,, positive værdier. Vi kn derfor lve følgende omskrivninger, hvor vi sin d cos sin cossin sin sin e 6

27 Med rccos indskrænker vi igen Dm til, og får dermed indskrænket værdimængden til, (se figuren på forrige side). Dermed giver d sin cos positive værdier, og vi får: cos d d cos cos sin cos d cos sin cos sin cos coscos Til sidst ser vi på rctn. Her skl vi ikke indskrænke Dm, og Vm,. Vi ved, t Sætning 6 giver så: Vi hr ltså vist: cos sin sin tn ' tn cos cos cos d. tn d d tn tn tn tn d tn sin ' cos ' tn ' Ovenstående udtryk er selvfølgelig seret på, t vi hr fået evist udtrykkene for de fledede funktioner f de trigonometriske funktioner. Det sker i næste kpitel, hvor vi skl udlede udtryk for fledede funktioner f lle vores stndrdfunktionstyper (dvs. skemet på side 9). 7

28 AFLEDEDE FUNKTIONER Mn må ikke lve cirkelslutninger i mtemtik, dvs. mn må ikke ruge A til t evise B og efterfølgende evise A ved t ruge B. Det er derfor meget vigtigt t emærke, t vi i udledningen f regnereglerne ikke hr enyttet en eneste konkret fledet funktion i eviserne ortset fr i eviset for differentition f omvendte funktioner, hvor vi udnyttede, t '. Vi må derfor gerne enytte vores regneregler, når vi nu skl estemme fledede funktioner for vores stndrdfunktioner ortset ltså fr f :, som vi derfor eviser nu uden t nvende regnereglerne for differentition. Identitetsfunktioner Vi skl for f : undersøge, om differenskvotienten for hr en grænseværdi for, og i så fld estemme denne. Vi egynder derfor med t opskrive differenskvotienten: f f for D differenskvotienten er, hr den grænseværdien for. Konstntfunktioner Vi skl for f : k, hvor k er en konstnt, undersøge, om differenskvotienten for hr en grænseværdi for, og i så fld estemme denne. Vi egynder derfor med t opskrive differenskvotienten: f f k k for D differenskvotienten er, hr den grænseværdien for. Vi ved ltså nu, t en konstntfunktion differentieret giver (nulfunktionen). Men kn vi også slutte modst? Dvs. hvis vi hr en funktion, der differentieret giver nulfunktionen, er det så (nødvendigvis) en konstntfunktion? Svret er J (med et hvis ), og det kn også virke så indlysende, t mn nemt kn overse, t der er noget t evise (for hvis tngenthældningen er overlt, må funktionen d være konstnt!). Men infinitesimlregning indeholder mnge overrskelser, og snedige mtemtikere kn tit finde på specielle funktioner, der modeviser noget, der virker indlysende (vi skl se sådn et eksempel senere), så vi er fktisk nødt til t gennemføre et evis. Det liver dog ikke helt gennemført, d vi skl udnytte en f nedenstående sætninger, som vi ikke eviser. Sætning 7 (uden evis): Middelværdisætningen. Ld funktionen f være kontinuert i, og differentiel i,. Så findes et sted c,, hvor: f ' c f f Rolles sætning (speciltilfælde): Hvis f f, findes et sted c, f ' c, hvor: 8

29 Middelværdisætningen siger, t unset hvilke to punkter på en glt grf, mn udvælger og tegner en seknt igennem, vil der mellem disse to steder findes (mindst) et sted, hvor tngenthældningen er den smme som sekntens hældning. Eller udtrykt med væksthstigheder: I ethvert intervl vil der være et sted, hvor væksthstigheden er lig den gennemsnitlige væksthstighed i intervllet. Rolles sætning siger, t der mellem to steder med ens y-værdier vil være et sted med vndret tngent. Vi nvendte Middelværdisætningen i eviset for Infinitesimlregningens Fundmentlsætning. Find selv ud f hvor. Vi kn nu evise, t en funktion, der differentieret giver nulfunktionen, er en konstntfunktion. Vi skl dog være opmærksomme på, t dette kun gælder, når vi rejder med intervller (dvs. der må ikke være huller i definitionsmængden). F.eks. opfylder funktionen for f : for t den differentieret giver nulfunktionen (med egrænset Dm) uden selv t være en konstntfunktion, men det skyldes jo netop, t den er stykkevis konstnt. Vi viser derfor: Vi ser på en kontinuert funktion f : I, der er differentiel i det indre f intervllet I, og som ikke er en konstntfunktion. Dermed må der findes, I, hvor f f f f, og middelværdisætningen fortæller os så, t der findes et c, f ' c, og dermed er den fledede funktion ikke nulfunktionen. Vi hr dermed vist følgende meget vigtige sætning:. Hermed er, hvor Sætning 8: Ld funktionen f : I, hvor I er et intervl, være kontinuert i I og differentiel i det indre f I. Så gælder: f ': f : k ; k er en konstnt Eller Den fledede funktion f f er nulfunktionen, netop hvis f er en konstntfunktion. Du kommer til t nvende denne sætning en hel del gnge, d mnge eviser eller rgumenter går ud på, t mn viser, t den fledede f en funktion er nulfunktionen, hvorefter mn kn konkludere, t den pågældende funktion er en konstntfunktion. Af vores definition på egreet stmfunktion (Definition 6) følger direkte første del f følgende sætning, så vi ehøver kun t vise nden del: Sætning 9: Ld f være kontinuert og F en stmfunktion til f. Så gælder: ) Enhver funktion på formenf k, hvor k er en konstnt, er også en stmfunktion til f. ) Smtlige stmfunktioner til f er på formen F k. Bevis 9 ): Vi ntger, t F og G egge er stmfunktioner til f. Dvs. F ' f og ' G f. Vi trækker de to ligninger fr hinnden og udnytter sætningen om ledvis differentition: F ' G ' f f F G ' F G k F G k Ledvis diff. Sætning8 Dvs. to stmfunktioner fviger kun fr hinnden med en konstnt. 9

30 Bemærk, t vi med Sætning 9 hr vist, hvorfor vi i vores uestemte integrler ltid tilføjer en konstnt c. Vi hr nu set, t vi dermed får ngivet smtlige stmfunktioner til en given funktion. Vi hr smtidig fået en ntydning f, hvorfor der i forindelse med fuldstændige løsninger til differentilligninger optræder konstnter. Disse konstnter fremkommer, når vi på et tidspunkt på vores vej mod en løsning skl slippe f med vores fledede funktioner. Både i forindelse med differentilligninger og stmfunktioner er vi ofte ikke interesserede i smtlige løsninger/stmfunktioner, men kun en gnske estemt, som regel ngivet ved et punkt, dens grf skl gå igennem. Eksempel 7: Vi søger til funktionen f : 4 3 den stmfunktion F, hvis grf går gennem punktet P 3,7. Vi estemmer først smtlige stmfunktioner: 3 Fc f d 4 3d 3 c D grfen for den søgte stmfunktion F skl gå gennem P, skl der gælde F : 3 Dermed er forskriften for den søgte stmfunktion: 3 F c c c Eksponentilfunktioner og logritmefunktioner Vi hr i Eksempel 69 set, hvordn vi med kendsk til enten e ' eller ln ' kn estemme den nden. Dvs. vi hr kun rug for t vise én f ovenstående to differentilkvotienter. Vi hr først indført eksponentilfunktioner og derefter indført logritmefunktioner som de omvendte funktioner til eksponentilfunktioner (en indfldsvinkel vi kn tkke Leonhrd Euler for). Derfor vil vi først vise e ' og udlede de ndre resultter ud fr den. Men gefter skl vi også prøve t se, hvordn mn kunne grie det n med udgngspunkt i logritmefunktioner. Vores udgngspunkt er nu, t den nturlige eksponentilfunktion e er den eksponentilfunktion, hvis grf i punktet P, hr en tngent med hældningen. Dette udgngspunkt fortæller os ikke, t e, , og heller ikke t n e for n, men det er én lndt flere måder t definere e på, og ndre mulige n definitioner kn så udledes ud fr denne (ligesom definitionen f som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens dimeter hverken direkte giver os cifrene i eller oplyser os om lle de ndre smmenhænge, hvor dukker op). Med det ngivne udgngspunkt skl vi nu udlede en hel række differentilkvotienter: 3

31 Bevis: D grfen for e i punktet, hr en tngent med hældningen, ved vi, t differenskvotienten for hr en grænseværdi for, og t denne grænseværdi er, dvs.: e e e for Ld os nu se, hvd vi kn sige om differenskvotienten for : e e y e e e e e e e e e for Vi konkluderer ltså, t vores differenskvotient hr en grænseværdi for, fordi vi får e omskrevet den til et produkt f to funktioner e og, der egge hr en grænseværdi for, og ifølge Sætning er vores søgte grænseværdi så produktet f de to grænseværdier. ln : Vi hr hermed vist e ' e, og ifølge Eksempel 69 ltså også ln ' : Vi enytter kædereglen til t evise ' ln. Først foretger vi dog en omskrivning f ved hjælp f vores logritmedefinition og den 5. potensregneregel (den røde del): ln ln ' e ' e ' d ln d e ln ln ln ln e ln e ln d d ln log : Vi kn nu åde evise log omvendt funktion) og vælges det sidste: log ' e ud fr (reglen for differentition f ln (differentition f konstnt gnget med en funktion). Her Vi ved fr Funktioner del Sætning, t log log log til og til e, hr vi ln log e log. D log e log ' log e ln ' log e ln ' log e, så hvis vi sætter er en konstnt, hr vi: log e I det følgende skitseres en nden indfldsvinkel til ovenstående. Hensigten med dette er t vise, hvordn det ikke ltid inden for mtemtik ligger fst, hvd der skl være definitioner, og hvd der skl være sætninger. I disse noter er Infinitesimlregningens Fundmentlsætning en sætning, mens det i de fleste ndre gymnsieøger er en definition, og inden for emnet Vektorgeometri defineres i disse noter prikprodukt og krydsprodukt på en måde, der oftest er sætninger. Der kn være forskellige fordele og ulemper ved de forskellige indfldsvinkler, men det vigtigste er selvfølgelig, t det hele hænger smmen. 3

32 Mn kn definere den nturlige logritmefunktion som: ln dt t Ifølge Definition 6 er ln ltså den stmfunktion til, der svrer til og k. Det etyder, t ln, og t ln ngiver relet f punktmængden, der fgrænses f grfen for, førsteksen og linjerne med ligningerne og (se figuren til højre). Eulers tl e kn så defineres som det tl, hvor ln e. k De ndre logritmefunktioner svrer til stmfunktionerne log dt, hvor e k. t Men hvordn kn mn re sådn hævde (som mn gør med en definition), t logritmefunktionerne svrer til disse stmfunktioner? Det kn mn pg. følgende egensk, der kn udledes ved hjælp f indskudsreglen og integrtion ved integrtionsvrielskift: pq k p k pq k q k log p q d d d log log log p p d p p q p Vi ser ltså, t disse stmfunktioner opfylder den regneregel, som vi tidligere hr udledt for logritmefunktioner. Vi viste disse regneregler for logritmefunktioner, men mn kn også gå den modstte vej og sige, t den eneste monotone funktion f :, der opfylder denne regneregel og hr f er log. Mn kn også sige, t denne regneregel repræsenterer den krkteristiske egensk for en logritmefunktion. Hvis mn hr nvendt denne indfldsvinkel, kn mn vise, t de omvendte funktioner til logritmefunktioner viser sig t være funktioner, der opfylder vores potensregneregler, dvs. eksponentilfunktioner, og vi kn udlede differentilkvotienten e ' ud fr ln '. Potensfunktioner Vi kn estemme differentilkvotienterne for potensfunktioner ved først t omskrive dem ved hjælp f definitionen på den nturlige logritme og efterfølgende nvende kædereglen: Bevis: d e ' e ' e ' e e d d ln ln d ln ln ln ln ln Kvdrtrodsfunktionen og reciprokfunktionen er speciltilfælde f denne regel (og vi hr desuden også vist dem ved tretrinsreglen i Eksempel 9 og Eksempel ). 3

33 Trigonometriske funktioner Vi egynder med t vise sin ' cos, hvorefter differentilkvotienterne for cosinus- og tngensfunktionerne kn vises ved vores regneregler. I eviset enytter vi en f de såkldte logritmiske formler for trigonometriske funktioner (se evt. oversigten gi i Geometri og Trigonometri del ), som vi eviser smmen med dditionsformlerne i forindelse med u v u v Vektorgeometri. Den siger: sin u sin v cos sin. Bevis: Vi ser på s f : sin og opskriver differenskvotienten for, hvorefter vi omskriver denne ved hjælp f ovenstående logritmiske formel: sin sin f f cos sin cos sin sin cos D for, og d cos er kontinuert, hr vi: cos cos for Spørgsmålet er derfor, om udtrykket sin hr en grænseværdi for. sin For t gøre det nemmere med nottionen ser vi på, om hr en grænseværdi for. Egentlig kender vi llerede svret, for i Funktioner del Sætning 6 hr vi sgt, t for små værdier f er sin, dvs. vi kn regne ud, t udtrykket vil hve grænseværdien. Men det er jo ikke noget ordentlig evis, så et sådnt kommer her: Vi ser på et udsnit f enhedscirklen, hvor vi hr ngivet en lille vinkel i rdiner (det ornge stykke på den venstre figur). det røde linjestykke, og sin er længden f tn er længden f det lå stykke, der er en del f tngenten til cirklen i retningspunktet. For t indse, t længden f dette stykke svrer til tn, kn mn rotere stykkerne med vinklen med uret omkring origo (se den midterste figur). På figuren til højre er illustreret, t der gælder: sin tn, og d det er positive tl, gælder følgende (emærk, hvd der sker med ulighedstegnene, og tænk over hvorfor): 33

34 sin sin sin sin sin sin cos sin tn sin cos Det er nemt t fgøre, hvd der sker med cos, når, for cosinusfunktionen er kontinuert og hr funktionsværdien i, og dermed gælder cos for. Dvs. vores udtryk sin, og dermed gælder er klemt inde mellem to udtryk, der egge hr grænseværdien for sin for. Vi kender nu grænseværdierne for egge fktorer i vores oprindelige differenskvotient dermed fortæller vores Sætning om grænseværdier os, t differenskvotienten hr en grænseværdi, der er produktet f de to grænseværdier, dvs.: Vi hr ltså vist sin ' cos Vi ønsker nu t estemme s cos cos for. cos omskrive udtrykket, inden vi differentierer med kædereglen: s, og ' og udnytter en overgngsformel for komplementvinkler til t d d sin d d cos ' sin ' cos sin sin Vi estemmer den fledede funktion f tngensfunktionen ved hjælp f kvotientreglen: Stmfunktioner Vi hr nu fundet differentilkvotienter for smtlige f vores stndrdfunktioner. Men vi hr ikke set på stmfunktionerne. Disses funktionsudtryk kn evises ved hjælp f integrtionsprøven, dvs. ved t differentiere dem og vise, t mn får det oprindelige funktionsudtryk. Øvelse 7: Vis, t lle stmfunktionerne i vores oversigt (side 9) er rigtige. 34

35 Der er en enkelt stmfunktion, der kræver lidt ekstr forklring. Vi hr vist, t ln ', men der gælder d ln c. Så spørgsmålet er, hvor numerisktegnet kommer fr? Forklringen skl findes i definitionsmængderne. Når vi ser på funktionen ln, er den defineret for positive tl, og dens differentilkvotient er derfor også kun defineret for positive tl, dvs. selvom funktionen som udgngspunkt er defineret for lle tl ortset fr, vil den, når den er fremkommet som den fledede funktion f Men når udgngspunktet er funktionen rgument, og så ville ln ln, kun være defineret for positive tl., er det som sgt kun, der ikke er tilldt som ikke kunne være en stmfunktion, for den er ikke defineret for negtive værdier. Numerisktegnet sikrer, t ln er defineret for lle reelle tl ortset fr. Vi mngler dog stdig t vise, t udsgnet holder for negtive -værdier. Det gøres med integrtionsprøven, hvor vi differentierer højresiden i d ln c og tjekker, t vi får integrnden på venstresiden. Vi udnytter først definitionen på numerisk værdi: c c c Ld : d d ln ln ' ln ' ln ' ' d d Vi hr ltså ved hjælp f kædereglen vist, t udsgnet også holder for negtive -værdier. Specielle funktioner : Dette er en speciel funktion. Den er en slgs lnding f en potensfunktion og en eksponentilfunktion, men den er jo ingen f delene, d vores vriel åde optræder som rod og eksponent, og derfor kn vi hverken nvende reglerne for potenser eller eksponentilfunktioner, når den skl differentieres. Men vi kn udnytte et lille trick, vi efterhånden hr set en del gnge, nemlig omskrivning ved hjælp f definitionen på ln. Det giver os et udtryk, hvor vi kn udnytte kædereglen: ln ln ln ' e ' e ' ln e ln ln d ln d e d d ln sin : Dette eksempel er lot tget med for t vise, t mn kn ruge smme fremgngsmåde som ovenfor: sin sin ln ln sin ln sin d ln sin d e ' e ' e ' d d ln sin sin sin ln cos e ln cos ln sin sin 35

36 Middelværdi Vi hr llerede nvendt differentilregningens middelværdisætning (Sætning 7). Der findes også en middelværdisætning inden for integrlregning (som vi heller ikke eviser). Den er seret på følgende definition: Definition 8: Ld funktionen f være kontinuert i intervllet,, så er middelværdien f for f i intervllet, givet ved: f f d Definitionen er seret på, t det rektngel, der i intervllet, tegnes med højden f, hr smme rel som punktmængden (eller punktmængderne) mellem grfen for f og førsteksen i intervllet (regnet med fortegn) se figurerne nedenfor, hvor middelværdien for g er negtiv, d punktmængderne under grfen smlet set hr større reler end dem over. Integrlregningens middelværdisætning siger så (smmenlign med figurerne ovenfor): Sætning (Integrlregningens middelværdisætning): Ld funktionen f være kontinuert i intervllet,. Så findes et c,, hvor: f c f d Sætningen siger ltså, t der i intervllet er mindst ét sted, hvor funktionen ntger sin middelværdi i intervllet. På figurerne ovenfor ses det, t det sker to steder for sin og tre steder for åde f og g. Riemnn-integrle funktioner Det er hele tiden levet pointeret, t vi rejder med kontinuerte funktioner, når der indgår stmfunktioner, fordi vi hr evist, t lle kontinuerte funktioner er integrle. Men gælder det også modst, t hvis en funktion er integrel, så er den også kontinuert? Her er svret Nej. Som vores Definition 4 siger, er det fgørende kriterium, om middelsummen konvergerer, når, og det gør den f.eks. for de ikke-kontinuerte trppedigrmmer, vi skl rejde med inden for sttistik. Vores Definition 4 siges t definere de såkldt Riemnn-integrle funktioner. 36

37 FUNKTIONSUNDERSØGELSE OG OPTIMERING I Funktioner del introduceredes egreerne voksende, ftgende, konstnt og monoton. Og vi ræsonnerede os frem til sætningen: Sætning : Ld f være en funktion og I et intervl, hvori f er defineret. Hvis f ikke er konstnt i et eneste delintervl f I, gælder der: f er (strengt) voksende i I f er (strengt) ftgende i I I : f ' I : f ' Det lev dengng pointeret, t hvis f skl være strengt voksende eller ftgende, må grfen for f ikke på noget tidspunkt være vndret, men der må gerne være en vndret tngent i enkelte punkter! Vi kunne ikke komme videre dengng, d vi ikke hvde lært t differentiere funktioner, men det hr vi nu, og derfor kn vi tge ft på funktionsundersøgelser. En fuldstændig funktionsundersøgelse estår f: ) Bestemmelse f nulpunkter for funktionen. ) Bestemmelse f steder eller intervller, hvor funktionen ikke er defineret (hvis det ikke llerede er ngivet smmen med funktionsforskriften). 3) Bestemmelse f funktionens monotoniforhold (dvs. opdeling f hele funktionens definitionsmængde i intervller, hvor funktionen er voksende eller ftgende). 4) Bestemmelse f lokle og glole ekstrem (mksim og minim). 5) Bestemmelse f vendetngenter. 6) Bestemmelse f symptoter. 7) Bestemmelse f værdimængden. Tidligere vr en fuld funktionsundersøgelse en stndrdopgve i gymnsiet, d mn ikke hvde en computer (eller grfregner), der kunne tegne grfer, og hvor funktionsundersøgelsen så l.. lev rugt til t kunne skitsere grfens udseende. Punkterne ) og ) hr ikke noget med differentilregning t gøre og er llerede ehndlet under emnet Funktioner. I det nuværende gymnsium er det hovedsgeligt punkterne 3), 4) og 5), vi eskæftiger os med, d de ofte er knyttet til prktisk nvendelse, hvilket vi skl se, når vi kommer til optimering. Vi egynder med t se på punkt 3): Monotoniforhold Vi hr i Funktioner del defineret egreerne voksende og ftgende, men når mn skl vise, t en funktion er voksende eller ftgende, eller opdele i intervller, hvor den er det ene eller det ndet, skl mn ldrig nvende definitionerne. Mn skl ltid nvende Sætning. Dvs. Når du skl undersøge, om en funktion er monoton, skl du kigge på fortegnet for den fledede funktion. Det skyldes, t det oftest er mindst lige så nemt t fgøre fortegnet for en funktion som t skulle rgumentere for, hvd der sker med funktionsværdierne, når rgumenterne øges. 37

38 Eksempel 7: Vi vil undersøge, om funktionen f : +e er voksende, ftgende eller ingen f delene. Vi skl lige til t nvende definitionerne på voksende og ftgende og rode os ud i en lng, snørklet, sproglig forklring, men så husker vi, t vi ldrig må enytte definitionerne og ltid skl nvende Sætning. Så vi differentierer med kædereglen: d f ' e d e d +e e d d d e e e Til sidst kn vi se, t udtrykket er positivt, d nævneren er et kvdrt og ltså ikke negtivt, og d tælleren er en eksponentilfunktion, og eksponentilfunktioner giver positive værdier unset, hvilket rgument, der sættes ind. D den fledede funktion er positiv for lle -værdier, er f en voksende funktion. Mn kn også nogle gnge se på en differentilligning, om løsningerne til den er voksende eller ftgende. Eksempel 73: Vi ser på differentilligningen dy e y d. Vi lder f være en løsning til differentilligningen. Kn vi sige noget om, hvorvidt f er voksende eller ftgende? J, det kn vi godt. For vi ved, t e y for lle y-værdier, og d et kvdrt ikke kn live negtivt, er højresiden negtiv for lle ndre -værdier end, hvor den er. dy Dermed er og kun for d, dvs. f er en ftgende funktion. Hvis en funktion hverken er voksende eller ftgende, vil der ofte være nogle lokle ekstremumssteder, som vi tidligere hr været inde på, men som vi nu er klr til t definere og rejde videre med: Definition 9: Ld f : A, og ld A. Der gælder så: kldes et loklt mksimumssted for f, hvis der findes en omegn f f A. I så fld kldes mksimumsværdi, mens punktet, om, så f for et loklt mksimum eller en lokl f kldes et loklt mksimumspunkt. kldes et loklt minimumssted for f, hvis der findes en omegn f f A. I så fld kldes minimumsværdi, mens punktet, om, så f for et loklt minimum eller en lokl f kldes et loklt minimumspunkt. Lokle mksimumssteder og minimumssteder kldes under ét for lokle ekstremumssteder, og tilsvrende tles om lokle ekstrem, lokle ekstremumsværdier og lokle ekstremumspunkter. 38

39 Definition : Ld f : A, og ld A. Der gælder så: kldes et glolt mksimumssted for f, hvis f f A. I så fld kldes glole mksimum eller den glole mksimumsværdi, mens punktet, mksimumspunkt. f for det f kldes et glolt kldes et glolt minimumssted for f, hvis f f A. I så fld kldes glole minimum eller den glole minimumsværdi, mens punktet, minimumspunkt. f for det f kldes et glolt Smleetegnelserne er igen glole ekstremumssteder, glole ekstrem, Definition : Ld f : A, og ld A og f være (mindst to gnge) differentiel i. Så gælder: Hvis er et loklt ekstremumssted for den fledede funktion grfen for f t hve en vendetngent i. f ', siges Bemærk ud fr definitionerne, t et glolt ekstremumssted også er et loklt ekstremumssted. Mn kn læse flere mere eller mindre væsentlige ting i disse definitioner. F.eks. kn mn se, t en konstntfunktion estår f punkter, der lle åde er glole mksimumspunkter, glole minimumspunkter og punkter med vendetngent. Men en sådn funktionstype er dyt uinteressnt i forindelse med funktionsundersøgelse og optimering. Vi er kun interesserede i funktioner, hvor der sker noget. Definitionerne er derfor kun vigtige, når vi skl hve fklret tvivlsspørgsmål, som f.eks. Kn et punkt på A s rnd være et loklt ekstremumssted? (svret er J ) eller Hr lle funktioner et glolt mksimum? (svret er Nej ). Normlt får du kun rug for den forståelse, du kn få i det følgende, hvor egreerne og nogle centrle pointer gennemgås med hjælp fr konkrete grfer: Der er tre lokle ekstremumssteder på figuren til højre. Dvs. det er steder, hvor funktionsværdierne i et tilps lille intervl omkring stedet enten ikke er større (mksimum) eller ikke er mindre (minimum). Se f.eks. på det lokle mksimumssted -, hvor funktionsværdien er. Mn kn åde helt ude til venstre og helt ude til højre finde steder, med højere funktionsværdier end, men lige omkring stedet -, er der ingen steder med højere funktionsværdier. Og det er selve pointen med ordet loklt. I dette tilfælde siger vi: f hr loklt mksimum i - med værdien (eller, er loklt mksimumspunkt for f ) f hr loklt minimum i -5 med værdien - og glolt minimum i 4 med værdien -6. f hr ikke noget glolt mksimum. 39

40 Bemærk ltså: Vi ruger ordet sted om -værdier (eller generelt: Om scissen) Vi ruger ordet værdi eller ingenting, dvs. mksimum/minimum, om y-værdien (ordinten) Vi ruger ikke overrskende ordet punkt om punkter y, Hvis du ltså liver edt om t finde et loklt minimum, er det en funktionsværdi (en y-værdi), du skl ngive som svr, og hvis du skl finde et glolt mksimumssted, skl du svre med en - værdi. Ofte vil det dog dreje sig om fysiske størrelser, og så skl mn re være opmærksom på, om der spørges efter f.eks. den rdius, der giver det største rumfng (dvs. scissen), eller om selve det største rumfng (ordinten). Der kn godt være mere end ét glolt mksimumssted (eller minimumssted), for det skl re være et sted, hvor funktionsværdien ikke er mindre end nogen nden funktionsværdi (Bemærk, der står IKKE, t den skl være større). På figuren til højre er der to glole mksimumssteder, nemlig 6og 5. Men der kn højst være én glol mksimumsværdi. På figuren er den 6. Punktet, 7 er loklt minimumspunkt for f. Vi hr set, hvordn fortegnet for den fledede funktion fgør, om funktionen er voksende eller ftgende i et intervl (se figuren til højre). Når vi skl finde lokle ekstremumssteder, skl vi først finde de steder, hvor den fledede funktion er. For differentile funktioner (som vi ltid rejder med), er det de eneste steder, hvor der kn være et loklt ekstremumssted. For hvis den fledede funktion f.eks. er positiv i, vil funktionsværdierne lige til venstre for f, og være mindre end funktionsværdierne til højre vil være større (og modst hvis den fledede er negtiv). Og dermed vil f være mindre end nogle og større end ndre funktionsværdier i enhver omegn om. På figuren er der tre steder, hvor den fledede funktion ntger værdien nul, dvs. hvor der er vndrette tngenter. I er der loklt mksimum, hvilket ses ved, t den fledede funktion er positiv til venstre for nulpunktet og negtiv til højre. I er der loklt minimum, kendetegnet ved, t den fledede funktion er negtiv til venstre for nulpunktet og positiv til højre for. I c er der hverken loklt mksimum eller minimum, selvom der er en vndret tngent. Her er den fledede funktion positiv på egge sider f nulpunktet. Men dermed må nulpunktet jo være et loklt minimumssted for den fledede funktion og ltså et sted med vendetngent for grfen. D tngenten også er vndret, klder vi den for en vndret vendetngent. Vi kn hermed konkludere: 4

41 Monotoniforhold: f er voksende i intervllerne, og, og ftgende i intervllet, Lokle ekstremumssteder: f hr loklt mksimum i og loklt minimum i. Vndrette vendetngenter: f hr vndret vendetngent i c. Bemærk specielt, t f er strengt voksende i hele intervllet,, for den fledede funktion må gerne være enkelte steder i intervllet. Vi er ltså kommet frem til følgende oversigt:. I de følgende to eksempler ser vi på, hvordn mn nvender ovennævnte i en funktionsnlyse: Eksempel 74: Vi ser på funktionen 3 f : og ønsker åde t estemme monotoniforhold og lokle ekstremumssteder og lokle ekstrem. Vi skl ruge den fledede funktion f f til dette, så den estemmes som det første: f ' Vi estemmer nulpunkter for den fledede funktion ved t fktorisere og nvende nulreglen: f ' Vi hr hermed fundet de to steder, hvor den fledede funktion ntger værdien. Og her kommer så en væsentlig pointe: Den fledede funktion er kontinuert og kn derfor kun skifte fortegn steder, hvor den ikke er defineret (som f.eks. gør i ), eller ved t pssere et nulpunkt. Eller med ndre ord: D den fledede funktion er defineret for lle reelle tl, ved vi, t den hr smme fortegn overlt i intervllet, 4, og den hr smme fortegn overlt i 4,3, og endelig hr den smme fortegn overlt i 3,. Vi kn derfor estemme den fledede funktions fortegn i ovenstående tre intervller ved lot t estemme fortegnet et vilkårligt sted i intervllet (og i prksis vælger mn selvfølgelig de tl i intervllerne, der giver de nemmeste udregninger): 4

42 D vi også skl estemme de lokle ekstrem, udregner vi funktionsværdier de to steder, hvor den fledede funktion hr nulpunkter: f f Vi kn så konstruere et såkldt fortegnsskem (for den fledede funktion): Og vi konkluderer så: f er voksende i intervllerne, 4og 3, og ftgende i intervllet 4,3 f hr loklt mksimum i -4 og loklt minimum - i 3.. Bemærk, t nvnet fortegnsskem henviser til fortegnet for den fledede funktion. Et fortegnsskem er en hjælp til t dnne sig et overlik over funktionen. Det skl se ud som vist i eksemplet ovenfor, ortset fr t de lå tl ofte kn udeldes, d de kun er relevnte, hvis mn skl estemme lokle ekstremumsværdier. Der er helt klre regler for, hvd der skl stå i et fortegnsskem. Så læs nedenstående eskrivelse grundigt og tænk over indholdet (den hyppigst forekommende fejl er, t mn også på -ksen ngiver de tre vilkårlige tl, der lev nvendt til t estemme fortegnene i intervllerne): Bemærk, t et fortegnsskem IKKE er en konklusion, dvs. det må ikke fleveres som et fcit. Mn skl ltså efterfølgende med ord ngive monotoniforhold eller lokle ekstremumssteder. Vi ser på endnu et eksempel. Og denne gng et, hvor funktionen ikke er defineret overlt på tlksen, og hvor vi får rug for Mple: 4

43 ln Eksempel 75: Vi ser på f : 7, Dm f \ 3 3 Definitionsmængden følger f, t logritmefunktioner kun er defineret for positive tl, og t nævneren i røken er, når 3. Vi ønsker t estemme monotoniforhold og lokle ekstremumssteder, og udregningerne foretges i Mple: Dvs. t: f er ftgende i intervllet f hr loklt minimum i,5338. ;,5338 og voksende i intervllerne,5338;3 og 3, Bemærk, t hvis mn hvde overset stedet 3, hvor f ikke er defineret, vr mn kommet til t slå de to intervller, hvor f er voksende, smmen til ét. Tegn grfen i Mple og se, hvorfor dette ville være en fejl. Anvendelse f differentilregning i forindelse med prler d Hvis mn hr prolemer med t huske toppunktsformlen for prler T,, kn mn 4 ltid nvende differentilregning til t finde toppunktet. For toppunktet er jo et loklt (og glolt) ekstremumspunkt, og derfor kn vi estemme førstekoordinten ved t finde nulpunktet for den fledede funktion: f c f ' f ' Når førstekoordinten er fundet, kn mn finde ndenkoordinten ved t indsætte i funktionsforskriften: 43

44 Eksempel 76: Vi vil estemme toppunktet for prlen ngivet ved ligningen y 3 7. Det gør ikke nogen forskel, om prlen er ngivet ved en ligning eller en funktionsforskrift. I egge tilfælde differentieres polynomiet: 3 7 ' 4 3 Udtrykkes sættes lig for t estemme nulpunkter for den fledede funktion: Denne værdi indsættes i ligningen for t finde y-værdien: y Dvs. toppunktet er: T, 4 8 Vi kn desuden nu vise, hvd vi påstod i forindelse med prler, nemlig t -værdien i f c kn flæses som hældningen for tngenten i for den pågældende prel: f ' f ' En sjov og nok også overrskende funktion Vi hr set på fire forskellige situtioner i forindelse med et nulpunkt for den fledede funktion (loklt mksimum, loklt minimum og to slgs vndrette vendetngenter). Og umiddelrt vil mn nok tro, t det er de eneste fire muligheder for en differentiel og ikke konstnt funktion, d der jo ikke er flere måder t plcere + og på i fortegnsskemet. Men der er fktisk endnu en mulighed: Se på funktionen f givet ved forskriften: for f sin for Den er defineret for lle reelle tl, for det nederste udtryk er defineret for lle tl ortset fr, og her hr mn tildelt funktionen værdien. Og det er netop stedet, vi er interesserede i. Er f differentiel her (f er tydeligvis differentiel lle ndre steder)? Vi kn kun finde ud f dette ved t opskrive differenskvotienten for og se, om den hr en grænseværdi for : sin y f f f f sin D sin,, vil differenskvotienten være klemt inde mellem og (unset om er negtiv eller positiv), og d åde og for, hr differenskvotienten en grænseværdi for, og den er. Dvs. f er differentiel i med differentilkvotienten (der er vndret tngent). Og nu kommer så det overrskende: 44

45 For når vi prøver t estemme fortegnene for den fledede funktion på hver side f, går det glt. f ' ' sin sin ' sin cos sin cos Vi lægger en (meget lille) udprikket omegn om,, og ser i første omgng på de positive - værdier i denne. D er meget lille, kn vi se ort fr første led i udtrykket for den fledede funktion, dvs. vi kigger kun på cos, når vi skl estemme fortegnet for den fledede funktion. Vi ser på -værdier med. Her gælder. Dvs. med de -værdier, vi hr til rådighed, kn vi som rgument i vores cosinusfunktion vælge smtlige tl større end. Og d cosinusfunktionen skifter fortegn, hver gng rgumentet øges med, vil cosinusfunktionen skifte fortegn uendelig mnge gnge inden i den omegn, vi hr vlgt (og det gælder på egge sider f ). Og emærk, t dette gælder unset omegnens størrelse. Dvs. vi kn ikke fstsætte fortegnene for den fledede funktion i nogen udprikket omegn om, og dette er ltså den femte mulighed. Hvis du tegner grfen for funktionen i Mple eller Geoger og prøver t zoome ind, kn du se, hvordn grfen svinger hurtigere og hurtigere, jo tættere mn kommer på. Værdimængder Når mn skl estemme værdimængder for funktioner, skl mn kigge på: ) Lokle ekstremumspunkter. ) Funktionens opførsel omkring intervller eller punkter, hvor funktionen ikke er defineret. 3) Diskontinuitetspunkter. 4) Funktionens opførsel for og. Punkt ) giver sig selv, og punkt ) så vi i Eksempel 75. Punkt 3) følger f, t funktionen jo kn springe værdier over i diskontinuitetspunkter, og punkt 4) følger f, t det kn være fgørende for værdimængden, om funktionsværdierne vokser ud over lle grænser eller nærmer sig en grænseværdi. I det følgende eksempel skl du forestille dig, t mn hr lvet en funktionsnlyse og er kommet frem til de pågældende resultter: Eksempel 77: Nedenstående gælder om funktionen f, der er differentiel i lle punkter i sin definitionsmængde: Ud fr dette skl vi estemme værdimængden. Vi emærker, hvd der sker omkring. I intervllet ],9] ntger f lle værdier fr -3 til. Spørgsmålet er så, om værdierne kommer under -3? Her skl vi udover de to lokle minimumssteder -5 og 9 se på, hvd der sker for, for d f er ftgende efter, kn der ske noget her. Men vi får oplyst, t f for, dvs. vi kommer ikke under -3. Altså er Vm f 3,. f 9 for f for f for 45

46 Fortegnsskemer ud fr differentilligninger I nogle tilfælde kn mn ud fr differentilligninger estemme et fortegnsskem for de fledede f de funktioner, der er løsninger til differentilligningen, og dermed få viden om nogle egensker ved funktionerne: dy y. Hvis du løser den i Mple, d kn du se, t det er nogle temmelig komplicerede funktioner, der er løsninger (de er i hvert fld lnge). Men vi kn se på differentilligningen, t d y, Eksempel 78: Vi ser på differentilligningen vil fortegnet for differentilkvotienten være det smme som fortegnet for polynomiet på højresiden. Og det kn fktoriseres til. Grfen for polynomiet er en prel med enene pegende opd (positiv -værdi), og fktoriseringen fortæller os, t nulpunkterne er - og. Så vi får: Dvs. f er voksende i intervllerne, og, og ftgende i,. Vi ser på grfen til højre, der er grfen for en prtikulær løsning, t det stemmer. Om t tegne skitser og grfer I forindelse med funktionsundersøgelser og optimering skl mn sommetider tegne en grf. Her stilles smme krv som ltid til grfer, dvs. mn skl ikke regne med t få point for re t skrive plot. Og disse krv er så vigtige, t de her indrmmes som sætning og ngives med låt: Når mn skl tegne en grf for en funktion, hvor mn kender forskriften, gælder følgende krv: Hvis definitionsmængden er et intervl, skl plottets grænser svre præcis til intervllets, dvs. hvis,365 Dm, skrives der plot f,..365,.... Hvis definitionsmængden er egrænset i en retning (f.eks. ), er det her grfen skl egynde, dvs. der må ikke forekomme negtive -værdier på grfen. Mn skl kunne se hele grfen i et intervl og som udgngspunkt også ltid -ksen, dvs. med f.eks. plot f,..365, y.. skl y-vinduet fstsættes. Alt væsentligt skl kunne ses på grfen, og med væsentligt menes: Smtlige nulpunkter (med mindre der er uendelig mnge). Smtlige lokle ekstremumspunkter (med mindre der er uendelig mnge). Smtlige vendetngenter (med mindre der er uendelig mnge). 46

47 Vendetngenter Lokle ekstremumssteder er interessnte, fordi de som vi så i fsnittet om værdimængder er lndt de steder, vi skl kigge, hvis vi vil finde en funktions største og mindste værdier. Vendetngenter er interessnte, fordi stederne med vendetngenter pr. definition er steder med lokle ekstrem for den fledede funktion, dvs. det er lndt de steder, mn skl kigge, hvis mn skl finde den fledede funktions største og mindste værdier. Og d den fledede funktion ngiver væksthstigheder, hr vi ltså: Steder med vendetngent er de steder, hvor væksthstigheden er loklt størst eller mindst. Vendetngenters hældninger ngiver de lokle ekstremumsværdier for væksthstigheden. Du kn estemme steder med vendetngent ved t ehndle den fledede funktion f ', som vi hr ehndlet f ved hjælp f et fortegnsskem. Det skl i så fld re være fortegn og nulpunkter for den nden fledede (se nedenstående fortegnsskem): Men vi skl snrt lære et hurtigere lterntiv til fortegnsskemer, og derfor gør vi ikke mere ud f ovenstående og går i stedet i gng med t se på, hvordn mn grfisk genkender vendetngenter. Vi ser på grfen for en funktion f (se den røde kurve på figuren til højre). Der er 5 steder, hvor der er vendetngent, og dem skl vi finde. Du er llerede i stnd til t finde de fire steder, hvor der er vndret tngent (lokle ekstremumssteder og steder med vndret vendetngent). De er ngivet med er på figuren til højre, hvor vi nu også hr indtegnet grfen for den fledede funktion med låt. Bemærk, hvordn den røde grf for f hr vndret tngent netop de 4 steder, hvor den lå grf for f ' hr nulpunkter. Når vi skl finde steder med vendetngent, skl vi kigge efter steder med vndret tngent for den lå fledede funktion. De er mrkeret med er på figuren. Vi hr (selvfølgelig) de to vndrette vendetngenter, så og, men der er også tre nye steder

48 På figuren til højre er de fem vendetngenter tegnet. Det krkteristiske ved disse tngenter er, t grfen løer på forskellige sider f tngenten lige før og lige efter røringspunktet. Husk, t tngenthældningen svrer til væksthstigheden: I er væksthstigheden, og det er den loklt mksimle væksthstighed, d væksthstighederne omkring er negtive. I er der loklt minimum for væksthstigheden, for væksthstighederne i området er lle negtive, og dette er den numerisk største væksthstighed i området. I 3 er der loklt mksimum for væksthstigheden, for i området er lle væksthstigheder positive, og i 3 findes den (numerisk) største væksthstighed. Tjek, t du kn se, t der i 4 er loklt minimum og i 5 loklt mksimum for væksthstigheden. På figuren til højre er nu også med grønt tilføjet grfen for den nden fledede funktion f ''. Vi ser her, t d stederne med vendetngent for grfen for f er de lokle ekstremumssteder for den fledede funktion f ', så vil det være stederne, hvor den nden fledede f '' hr nulpunkter (se den grønne grf). Og vi emærker også en nden ting: De to steder, hvor f hr lokle ekstrem (tidligere mrkeret med og 4), hr den nden fledede f '' IKKE nulpunkter. Dvs. vi hr her en ny metode til t skelne lokle ekstremumssteder fr steder med vndret vendetngent, hvor vi ikke hr rug for t kigge på fortegnet for f ' i intervllerne mellem nulpunkterne, men lene kn kigge på værdierne for f ' og f '' de pågældende steder. Dvs. t fortegnet for fortegnet for f ' omkring. f '' (herunder om værdien er ) i selve kn ersttte undersøgelsen f 3 Eksempel 79: Vi ønsker t estemme det sted, hvor grfen for f : 5 7 hr vendetngent (vi skl senere vise, hvorfor vi ved, t der er netop ét sted). 48

49 Anlyse med højere ordens fledede Behndlingen f vendetngenter hr vist, t vi kn ruge mere end lot den fledede f en funktion til t sige noget om funktionens opførsel. Vi skl nu se, hvordn mn kn nvende højere ordens fledede, når mn undersøger en funktion, og vi kommer frem til en metode, der er mere strkt, men også nemmere, hurtigere og mere generelt nvendelig end fortegnsskemer. Vi ser på grfen for smme funktion f som tidligere (se figuren til højre), og vi hr igen indtegnet grferne for første og nden fledede f f. Denne gng ser vi på de fire steder, hvor den fledede hr nulpunkt (dvs. grfen for f hr vndret tngent). : Sted med vndret vendetngent. : Loklt minimumssted. : 3 Sted med vndret vendetngent. : 4 Loklt mksimumssted. Det er som nævnt de fire nulpunkter for den fledede funktion, så vi skl kigge på den nden flededes værdi det pågældende sted for t kende forskel på stederne. Ved et loklt minimum er funktionen ftgende til venstre for stedet og voksende til højre for. : Derfor er den fledede funktion negtiv til venstre for stedet og positiv til højre for (se den lå grf). Men hermed må, dvs. på, t f ' og f ''. f ' være voksende i en tilps lille omegn om Vi kn ltså kende et loklt minimumssted f ''. : 4 Ved et loklt mksimum er funktionen voksende til venstre for stedet og ftgende til højre for. Derfor er den fledede funktion positiv til venstre for stedet og negtiv til højre for (se den lå grf). Men hermed må, dvs. 4 på, t f ' og '' f ' være ftgende i en tilps lille omegn om 4 Vi kn ltså kende et loklt mksimumssted f ''. f. og 3: Vi hr llerede set, t d vendetngenter findes ved lokle ekstremumssteder for den fledede funktion, hr den nden fledede nulpunkter disse steder. Vi kn ltså kende steder med vndrette vendetngenter på, t f ' og (hvilket dog ikke er helt nok, hvilket vi snrt vender tilge til). f '' Men der er jo forskel på den vndrette vendetngenter i og 3. For den første findes i et intervl, hvor f er ftgende, mens f er voksende i det intervl, hvor den nden findes. Dette kn fsløres med værdien f den tredje fledede. For se på den grønne grf på figuren. Her ses det, t t 3 f '' er ftgende i en tilps lille omegn om, og dermed er f. 3 3 f. Tilsvrende ses, Vi skl nu se nogle eksempler på nvendelsen f højere ordens fledede til funktionsundersøgelse. Bemærk, t mn med fortegnsskemer enytter monotoniforholdene til t estemme de lokle ekstremumssteder, mens mn med højere-ordens-fledede-metoden først estemmer de lokle ekstremumssteder og efterfølgende ud fr disse kn ngive monotoniforholdene. 49

50 Eksempel 8: Vi ønsker t estemme monotoniforholdene for funktionen f givet ved forskriften 4 f Vi hr nu set, hvordn mn med f ', f ''og f ''' er i stnd til t identificere lokle ekstremumssteder og vndrette vendetngenter, smt t skelne de to slgs vndrette vendetngenter fr hinnden. Men der er lige en enkelt gren i vores nlyse, som vi ikke hr fulgt. Hvd hvis f f f ' '' '''? Denne gren viser sig t indeholde rigtig mnge ekstr forgreninger, men her kommer en vigtig pointe, som du skl tge med dig: Du kn ikke konkludere noget om et sted ved hjælp f de fledede funktioners værdier, så længe du ikke hr fået en værdi forskellig fr. Hvis mn ldrig får ndet end nul, er funktionen enten konstnt eller ekstremt fld i en omegn omkring punktet. Eller med ndre ord: Fortsæt ltid med højere ordens fledede, indtil du hr fået en værdi, der ikke er. Pointen illustreres ved nogle eksempler: Vi ser på funktionerne 4 5 og : For f viser det lokle minimumssted sig først i fortegnet for den fjerde fledede, og den vndrette vendetngent for grfen for g viser sig først i værdien f den femte fledede. 5

51 Mn kn løst sige, t jo fldere et stykke er, jo flere fledede giver. For værdien f en fledet funktion fortæller, hvordn den foregående fledede er ved t ændre sig. Bemærk også, t det hr etydning hvilket nummer fledede, der som den første fviger fr. Uden evis kn det nævnes, t hvis det er en fledet f ulige orden over (dvs f, f, f,... ), er der vndret vendetngent, mens der er loklt ekstremumspunkt, hvis det er en fledet f lige orden (dvs. 4 6 f, f, f,... ). Dette illustreres med følgende eksempel: Eksempel 8: Der gælder præcis det smme, når mn vil fsløre ikke-vndrette vendetngenter, hvor vi dog tger udgngspunkt i steder, hvor vores første fledede IKKE er (der er ikke vndret tngent), men den nden fledede er. Her skl vi huske på, t en vendetngent svrer til et loklt ekstremumssted for den fledede funktion. Vi hr lige fået t vide, t lokle ekstremumssteder for funktioner fslører sig ved fledede f lige orden, og dermed må lokle ekstremumssteder for den fledede funktion fsløre sig ved ulige orden. Dvs. vi er så heldige, t vi kn formulere følgende tommelfingerregel: Både vndrette og ikke-vndrette vendetngenter viser sig ved, t den mindste højere ordens fledede over, der ikke er, er f ulige orden. Eksempel 8: Vi ser på nedenstående funktion med grfen ngivet til højre: Vi smler de væsentligste overvejelser fr dette fsnit i følgende simple oversigt, der ltså ikke indeholder lle særtilfælde, men som sndsynligvis dækker nok: 5

52 Oversigt over nvendelse f fledede f højere orden Vi ser på en funktion f, der er mindst tre gnge differentiel: f ' f '' f hr loklt mksimum i f ' f '' f hr loklt minimum i f ' f '' f ''' Grfen for f hr vndret vendetngent i f ' f '' f ''' Grfen for f hr vendetngent i En nden sjov og nok lige så overrskende funktion Vi hr set, t jo fldere en funktions grf er i, jo højere skl mn op i ordnerne f fledede funktioner, før de ikke giver i. Men fktisk kn en grf være for fld i. Se f.eks. nedenstående funktion: for f e for Den er uendelig mnge gnge differentiel i, og lle fledede funktioner ntger her værdien. Tredjegrdspolynomier Vi kn nu se på en egensk ved tredjegrdspolynomier, som lev nævnt i Eksempel 79. Et tredjegrdspolynomium p kn generelt ngives ved forskriften: 3 p 3 3 Vi estemmer første, nden og tredje fledede f polynomiet: p ' 3 3 p '' 6 p ''' ; Vi er interesserede i t kunne sige noget om vendetngenter. Den første fledede er et ndengrdspolynomium, og det kn hve, eller rødder, så vi ved ikke, om der findes steder, hvor den første fledede er, men det er heller ikke vigtigt, for det ville kun hve etydning for, om vores søgte vendetngent ville være vndret eller ikke-vndret. Den nden fledede er et førstegrdspolynomium, hvor grfen er en ret linje, og d 3, er det en skrå ret linje, der derfor hr netop ét nulpunkt. Dvs. der findes netop ét nulpunkt for den nden fledede funktion. D den tredje fledede ikke er nul ( 3 ) nogen steder og dermed heller ikke i nulpunktet for den nden fledede funktion, kn vi i vores oversigt se, t vi hr opfyldt etingelserne for en vendetngent, dvs. vi kn konkludere: Sætning : Grfen for et tredjegrdspolynomium hr netop én vendetngent. Den fjerde fledede og hrmonisk svingning Vi hr endnu ikke for lvor fået rugt den fjerde fledede til noget. Men det råder vi od på nu, for den kn fktisk ruges til noget i prksis. Hvis vi hr en evægelse eskrevet ved stedfunktionen st, ved vi, t hstigheden v er givet ved s ' t, og ccelertionen er givet ved t v' t s '' t. v t 5

53 Hvis vi skl finde det sted, hvor hstigheden er størst eller mindst, vil vi søge de steder, hvor ccelertionen er, dvs. steder hvor er et loklt mksimums- eller minimumssted ved fortegnet på s'' t, og hvis t er sådn et sted, vil vi undersøge, om det 3 s t. Men hvis vi skl finde det sted, hvor ccelertionen er størst eller mindst, vil vi søge de steder, 3 hvor s t, og hvis t er sådn et sted, vi vil så med fortegnet for s t fgøre, om det er et loklt mksimums- eller minimumssted. Og det kn ofte være en vigtig undersøgelse, for ccelertionen er proportionl med krften (Newtons. lov), og derfor vil vi på den måde kunne finde de tider og steder, hvor krftpåvirkningen er størst eller mindst. Eksempel 83: Et lod hængende i en fjeder svinger op og ned, og dets stedfunktion er givet ved s : t 4sin t. 3,7 Vi måler tiden t i sekunder og strækningen s i meter (positiv retning er opd), og nulpunktet for strækningen er ligevægtspositionen, dvs. positionen, d loddet vr i hvile. Vi ser kun på én periode, dvs. tidsrummet,3.7. Vi ønsker t estemme det sted, hvor loddet hr den højeste hstighed, smt den højeste hstighed, og vi ønsker t estemme det sted, hvor loddet hr den højeste ccelertion, smt størrelsen f denne ccelertion. 4 D vi nu hr styr på nvendelsen f de fledede funktioner, kn vi tge ft på en f de vigtigste ting, som funktionsundersøgelser kn nvendes til i prksis, nemlig optimering. 53

54 Optimering Mn kn med noget, der vist nærmest er en tutologi, sige, t optimering hndler om t finde den optimle løsning på et prolem. Det optimle kn være mnge forskellige ting. Det kn være den korteste rute, den hurtigste rute, det størst mulige rumfng med givet overflderel, det mindste overflderel med givet rumfng, den største fortjeneste, det mindste forrug, Fælles for lle disse ting er, t de drejer sig om lokle eller glole ekstrem for funktioner. Det hr vi llerede styr på med vores metode seret på højere ordens fledede. Det nye, som optimering ringer på nen, er, t mn som udgngspunkt selv skl nlysere sig frem til de funktionsudtryk, mn skl rejde videre med. Vi ser på nogle eksempler: Eksempel 84: Vi skl ygge en ksse uden låg f et stykke pp. Alle længdemål ngives i cm. Ppstykket måler 3, og vi klipper 4 kvdrtiske hjørner f, så vi kn folde den resterende del f ppstykket til en ksse. Vores opgve er t få en ksse, der kn rumme mest muligt. Dvs. hvordn skl hjørnerne klippes, så rumfnget liver størst muligt? Ovenfor er tegnet en skitse f situtionen. Vi kn se, t redden f kssen liver, fordi vi klipper stykker med sidelængden fr de, og tilsvrende liver længden 3. Vi kn smtidig se, t der skl gælde 5, for hvis ikke er over, kn mn ikke folde en ksse, og det kn mn heller ikke, hvis ikke er mindre end 5, d vi ellers ikke hr nogen redde på kssen. Højden f kssen liver, når vi folder stykkerne op. Vi er derfor nu i stnd til t ngive rumfnget som funktion f, dvs. vi kn finde forskriften for den funktion, som vi skl rejde videre med: V hl V 3 ; 5 ksse Bemærk: Grfen SKAL tegnes i præcis det rigtige intervl (definitionsmængden). Konklusionen SKAL ngives med ord og enheder, der psser til den konkrete opgve. 54

55 Eksempel 85: Med hvilke mål skl en cylinderformet dåse med åde und og låg lves, når den skl indeholde 4 cm 3 og hve mindst muligt overflderel? Dette er en stndrdoptimeringsopgve, hvor der indgår to størrelser, der skl opstilles funktionsudtryk for, nemlig rumfnget og overflderelet. Du skl i disse tilfælde opskrive formlerne for egge størrelser. Når r er cylinderens rdius, h dens højde, V dens rumfng og A dens overflderel, hr mn: V r h A Aund Alåg Acylinderflden r r r h r rh Vores prolem er nu, t vores overflderel fhænger f to størrelser r og h. Men det er her, vores etingelse med de 4 cm 3 kommer ind i illedet. Vi regner lle længder i cm og udnytter nu, t rumfnget skl være 4. Det giver os en smmenhæng mellem h og r: 4 4 r h h r Når vi nu indsætter h i udtrykket for A, opnår vi, t A udelukkende liver en funktion f r, og så kn vi nvende vores viden om funktionsundersøgelser: 4 8 Ar r r r ; r r r Hvis grfen for A skl tegnes, kn mn ikke få hele grfen med, for definitionsmængden er uegrænset til højre. Men der skl gælde følgende: Førsteksen skl egynde ved, d r >. Mn skl kunne se grfens forlø og det centrle punkt (det lokle minimumspunkt). 55

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er

Læs mere

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression

FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

ANALYSE 1, 2015, Uge 2

ANALYSE 1, 2015, Uge 2 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometri

Elementær Matematik. Trigonometri Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8

Læs mere

Grundlæggende funktioner

Grundlæggende funktioner Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2 Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes

Læs mere

Implicit differentiation Med eksempler

Implicit differentiation Med eksempler Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3 Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Kap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning.

Kap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning. - 94 - Kp. 3: Logritme-, eksponentil- og potensfunktioner. Differentil- og integrlregning. 3.. Differentition f logritmefunktioner. Sætning 3... ) Enhver logritmefunktion er differentibel ) Den nturlige

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet

Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere