Calculus II Project. Calculus II Projekt. ( to ) ( til )

Transkript

1 Calculus II Project Calculus II Projekt ( to ) ( til ) You have to solve the project questions on your own, i. e. you are not allowed to do it together in groups and you will not receive any help of the teaching staff. Submit a.pdf file via Blackboard (scanned.pdf from paper in a clear handwriting is accepted). Name the file with your CPR number, for example pdf. Your name and CPR number and exercise group (if applicable) as well as the actual page number and the total number of pages must appear on each page. Submission must take place in the time window, no later submissions will be accepted. Du skal løse projektets spørgsmål på egen hånd, dvs. du må ikke arbejde med dette i grupper, og du vil ikke modtage nogen hjælp fra instruktorer eller lektor. Upload en pdf via Blackboard (scannet pdf fra papir i en klar håndskrift er accepteret). Navngiv filen med dit CPR-nummer, for eksempel pdf. Dit navn og CPR nummer og gruppenummer (hvis relevant) samt det faktiske sidetal og det samlede antal sider skal vises på hver side. Aflevering skal ske inden for tidsrammen (se ovenfor). Senere afleveringer vil ikke blive accepteret. 1. (Chapter 12.) Let D be the set of all points (x, y) in R 2 distinct from (, ). Consider the function f : D R defined by f(x, y) := 2xy x 2 + y 2. Find equations of the tangent plane and normal line to the graph of f at the point (1, 2). Lad D være mængden af alle punkter (x, y) i R 2, der ikke er lig med (, ). Overvej funktionen f : D R, defineret ved f(x, y) := 2xy x 2 + y 2. Find ligninger for tangentplan og normallinien til grafen for f i punktet (1, 2). 2. (Chapter 12.) Suppose that the function f : R 2 R has continuous first partial derivatives, and consider the function g : R 3 R defined by g(x, y, t) := f(y f(x, t), f(y, t)). Determine all first order partial derivatives of g. Antag, at funktionen f : R 2 R har kontinuerte første partielle afledede, og overvej funktionen g : R 3 R, defineret ved g(x, y, t) := f(y f(x, t), f(y, t)). 1

2 Find alle første ordens partielle afledede af g. Hint: Chain rule. Perhaps you would like to introduce auxilary functions for the arguments of the outer f in order to avoid nested fs; for example, set u(x, y, t) := y f(x, t) and v(x, y, t) := f(y, t); do not forget to finally go back to terms of f. If you use variable names in the notion of partial derivatives (like f x), do not mix them up with the arguments of the function! Tip: Kæde-regel. Måske vil du gerne introducere hjælpefunktioner for argumenter til det første f, for at undgå indlejret fs. For eksempel, sæt u(x, y, t) := y f(x, t) og v(x, y, t) := f(y, t); glem ikke at gå tilbage til udtrykket for f. Hvis du bruger variable navne for at udtrykke partielle afledede (for eksempel f x), så sørg for ikke at blande dem med argumenter for funktionen. 3. (Chapter 13.) Consider the function f : R 3 R defined by f(x, y, z) := x + y 2 z and determine its maximum and minimum values subject to the constraints y 2 + z 2 = 2 and z = x. Overvej funktionen f : R 3 R, defineret ved f(x, y, z) := x + y 2 z, og find dens maksimum og minimum værdier under de betingelser at y 2 + z 2 = 2 og z = x. Hint: The pedestrian way is to apply the Lagrange Multiplier Method. However, you may want to substitute the constraints in a more direct fashion. Is this a real three variable problem? Tip: Du kan her bruge Lagrange Multiplier metode. Men måske vil du gerne indarbejde betingelserne på en mere direkte måde. Er det virkelig et tre variable problem? 4. (Chapter 13.) Let D be the set of all points (x, y) in R 2 such that x >, y >, and x + y < 6. Consider the function f : D R defined by f(x, y) := yx 2 (4 x y). Determine all points in D where f has a local maximum value and all points in D where f has a local minimum value. Lad D være mængden af alle punkter (x, y) i R 2 hvor x >, y >, og x+y < 6. Overvej funktionen f : D R, defineret ved f(x, y) := yx 2 (4 x y). Find alle punkter i D hvor f har en lokal maksimum værdi, og alle punkter i D hvor f har en lokal minimum værdi. Hint: It may well be that f does not have local maxima or local minima on D, since D is an open domain. The actual boundary lines of D do not belong to D, and f is not defined there. 2

3 Tip: Det kan godt være, at f ikke har lokale maksima eller lokale minima på D, da D er et åbent område. De faktiske grænser for D hører ikke til D, og f er ikke defineret udenfor D. 5. (Chapter 14.) Let a < b be real numbers and suppose that f : [a, b] R is continuous on [a, b] and nonnegative (that is, f(z) for all z with a z b). Show that D b 1 dv = π a f 2 (z) dz, where D is the set of all points (x, y, z) in R 3 for which a z b and x2 + y 2 f(z) holds. Lad a < b være reelle tal, og antag f : [a, b] R er kontinuert i [a, b] og ikkenegativ (dvs. f(z) for alle z hvor a z b). Vis, at Z Z Z D 1 dv = π Z b a f 2 (z) dz, hvor D er mængden af alle punkter (x, y, z) i R 3 hvor a z b og p x 2 + y 2 f(z). Hint: Change of variables in the triple integral to cylinder coordinates. Tip: Ændring af variable i det tredobbelte integral til cylinder koordinater. 6. (Chapter 14.) Consider the transformation f : R 2 R 2 defined by f(x, y) := (y 5, x 3 ). (a) Find the Jacobi matrix of f and its determinant. (b) Let D be the set of points (x, y) in R 2 for which x 1 and y 1. Find a function g : R 2 R for which 1 1 h(x, y) dx dy = 1 1 h(y 5, x 3 ) g(x, y) dx dy is true for all functions h : D R integrable over D. Overvej transformationen f : R 2 R 2, defineret ved f(x, y) := (y 5, x 3 ). (a) Find Jacobi matrixen for f og dens determinant. (b) Lad D være mængden af punkter (x, y) i R 2 hvor x 1 og y 1. Find en funktion g : R 2 R hvor h(x, y) dx dy = h(y 5, x 3 ) g(x, y) dx dy gælder for alle funktioner h : D R som er integrable i D. 3

4 Hint: For the second part you may use (without proof) that f is a one-to-one transformation mapping D onto itself, so that the door is open for Theorem Tip: Til den anden del, kan du bruge (uden bevis), at f er en en-til-en transformation fra D til D, således du kan bruge Sætning (Chapter 15.) Determine the field lines of the vector field f : R 3 R 3 defined by ( ) x f(x, y, z) := (1 + z 2 )(x 2 + y 2 ), y (1 + z 2 )(x 2 + y 2 ),. Bestem feltlinierne for vektorfeltet f : R 3 R 3 defineret ved «x f(x, y, z) := (1 + z 2 )(x 2 + y 2 ), y (1 + z 2 )(x 2 + y 2 ),. 8. (Chapter 15.) Consider the curve in R 2 whose polar coordinates are parameterized by the function f : [, 2π] R 2, f(t) := (1 + cos t, t). (a) Sketch the curve in the cartesian plane (the usual xy-plane ). (b) Find the length of the curve in the cartesian plane. Overvej kurven i R 2, hvis polære koordinater er parameteriseret af funktionen f : [, 2π] R 2, f(t) := (1 + cos t, t). (a) Skitsér kurven i det kartesiske plan ( normalt xy-plan ). (b) Find længden af kurven i det kartesiske plan. Hint: For the second part, first write r(t) := 1 + cos t for brevity (and to avoid too many confusing sin and cos terms). Lookup the function g : R 2 R 2 that maps polar coordinates to cartesian coordinates. Determine the tangent vector (D(g f))(t) of the curve at time t (in cartesian coordinates) by applying the chain rule. Determine the length of the vector (D(g f))(t), as usual, by taking the squareroot of the sum of the squares of its two components. (If you don t know why this is relevant, lookup how to determine the length of a parameterized curve.) That calculation starts ugly, but a lot of terms cancel out: Only (r(t)) 2 and (r (t)) 2 survive for the squareroot. Take a break at this point. Use now that r(t) = 1 + cos t. If everything went fine, you now should integrate p 2(1 + cos t) in order to find the length. Perhaps you want to use the law 1 + cos t = 2 cos 2 (t/2) from the back of the cover page of our textbook (but be careful when taking squareroots out of squares). The result is a small integer (and, of course, not by your picture in the first part). Tip: Til den anden del, skriv først r(t) := 1 + cos t for at undgå alt for mange forvirrende sin og cos udtryk. Slå funktionen g : R 2 R 2 som transformerer polære koordinater til kartesiske koordinater op. Find tangent vektoren (D(g f))(t) af kurven i 4

5 t (kartesiske koordinater), ved anvendelse af kæde-reglen. Find længden af vektoren (D(g f))(t) som sædvanlig ved at tage kvadratroden af summen af kvadraterne af de to komponter. (Hvis du ikke ved hvorfor det er relevant, slå op, hvordan man bestemmer længden af en parametriseret kurve.) Denne beregning starter grimt, men kun (r(t)) 2 og (r (t)) 2 overlever under kvadratroden. Tag en pause på dette tidspunkt. Brug nu, at r(t) = 1 + cos t. Hvis alt gik fint, skal du nu integrere p 2(1 + cos t) for at finde længden. Måske vil du gerne bruge loven 1+cos t = 2 cos 2 (t/2) fra bagsiden af forsiden af vores lærebog (men vær forsigtig, hvis du tager kvadratrod af kvadrater). Resultatet er et lille heltal (og selvfølgelig ikke vha din skitse i den første del). 5