Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset

Transkript

1 Hvad er matematik? ISBN Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i et stort atal uafhægige spil spiller på, at de samme hædelse idtræffer, så vil has chace for at vide samlet set være lig med sadsylighede for hædelse. Som eksempel på de store tals lov betragter vi et spil roulette. På e roulette i et dask kasio er der 37 felter i alt 8 røde og 8 sorte samt et 0, som hverke er rødt eller sort (ormalt grøt). De røde og sorte felter er ummererede fra til 36. Kugle ka altså have på 37 forskellige felter, dvs. der er i alt 37 forskellige udfald. Hvis roulette er korrekt kostrueret og korrekt opstillet, vil alle 37 tal have lige stor sadsylighed for at forekomme. Over lag tid og mage spil vil vi derfor forvete, at tallet 0 kommer ud ca. hver 37 te gag, tallet ca. hver 37 te gag osv. I et stort atal spil bør atallet af gage, kugle lader på fx tallet 7, derfor være 37 af det samlede atal spil. Det ka ma da også iagttage i praksis. Hvis ma over e lag afte på et kasio tæller op, hvor ofte tallet 7 kommer ud, så vil ma opdage, at atallet af spil, hvor kugle haver på tallet 7, set i forhold til det samlede atal spil de afte, faktisk lader ret tæt på , ,07. Ser vi fx på 0000 spil, så vil atallet af gage, hvor kugle haver på 7 være: I stedet for at gå på kasio ka vi aturligvis også simulere et spil roulette i et værktøjsprogram selvom det måske ikke er helt så festligt! Øvelse Simulerig af et Roulettespil a) Opret i dit regeark e liste over de 37 mulige udfald i et roulettespil, dvs. {0,,,, 36}. b) Opret e liste over de 37 gevister i et roulettespil, hvor vi satser på feltet med e idsats på kr., dvs. {0, 36, 0,, 0}, idet e gevist giver idsatse tilbage gaget med 36. c) Opret e liste med 000 tilfældige udfald af spillet (fx med brug af e radomfuktio) svarede til at du spiller roulette 000 gage og afbild udfaldee i et histogram. Teg også de vadrette lije fx ( ) 000 / 37 i histogrammet. Getag simulerige. Koklusio? d) Udreg de samlede gevist for de 000 spil. Koklusio? e) Hvis du har mod på det så udfør e opsamlig af geviste for 000 spil og getag simulerige 000 gage, så du får opsamlet gevistere i 000 getagelser af 000 spil. Du ka hete e aimatio af opsamlige, som TI-spire fil, her. Hvad bliver geemsitsgeviste for de 000 getagelser? Før e hardcore-spiller gider spille et bestemt spil, skal der være e fair chace for at vide. Et helt fair spil defieres som et spil, hvor de geemsitlige gevist pr. spil i det lage løb ( uedeligt mage spil) etop matcher spilleres idsats pr. spil. Et sådat spil ville ige udbyde. 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

2 Hvad er matematik? ISBN Eksempel: Roulettespil På e roulette får ma pegee 36 gage tilbage, hvis ma spiller på fx tallet 7. I det lage løb vider ma altså 36 kr. på 37 af spillee og igetig i reste af spillee. Hvis vi ser på 000 spil med e idsats på kr. pr. spil giver det e forvetet gevist på i alt: ,97 kr. 37 Hvis vi så trækker idsatse fra, så vil vores forvetede gevist efter de 000 spil være: 97, ,0 kr. Dvs. der er tale om et tab på 7,0 kr.! Altså er roulette spillet ikke helt fair, fordi ma taber ca.,7% af si idsats i de lage løb. Problemet ved roulette er jo, at ma ku får 36 kr. ige, selv om der 37 felter, og chace for at vide er og ikke Casio. geviste står altså ikke mål med idsatse. Ellers var der jo heller ige grud til at bestyre et Øvelse På de amerikaske udgave af roulette idgår også feltet 00, som har samme status som 0. Hvad er de forvetede gevist for 000 spil på dee type roulette med e idsats på kr. pr. spil? Eksempel: Ka ma spræge bake? Hvad u hvis roulette ikke er helt rigtig idstillet? Hvis ma fx over e hel dag i et kasio oterer alle udfald og observerer e vis skævhed i udfaldee, så ka det jo være fordi, roulette ikke er helt afbalaceret. Atag fx, at tallet 7 forekommer e smule oftere ed alle adre tal på roulette i løbet af dage, således at sadsylighede for 7 er 0,09 i stedet for 0,07, som vi så ovefor. E så lille forskel vil ku gaske få spillere (og asatte) opdage, me det er ret afgørede for e spiller, der satser højt! Hvis e spiller i stedet for kr. fx satser 00kr. pr spil over 000 spil, så vil ha ifølge de store tals lov vide 9 gage i stedt for 7 gage og tabe 97 gage. Has gevist for hvert af de vude spil vil være kr, dvs. has samlede gevist over de 000 spil vil være: kr. Dvs. ha får et solidt overskud på sie mage spil. Valgte ha i stedet at satse 000 kr. pr. spil, ville ha opå et samlet overskud på kr., hvilket må siges at være e ret stor sum pege! Me skal ma spræge bake, så skal der e væsetlig højere idsats til, og da ma jo også skal spille rigtig mage spil, så er det ku de færreste, der ka være med. Og hvad u hvis ma gætter forkert hvis observatioere af roulettes opførsel de ee dag er forskellig fra roulettes opførsel de æste dag? Eller de bytter rudt på roulettere? Så ka ma ede med meget store tab! 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

3 Hvad er matematik? ISBN De matematiske forvetigsværdi til et spil Ved de matematiske forvetigsværdi for e tilfældigt varierede størrelse kyttet til et spil forstås: De geemsitlige værdi af størrelse set over uedeligt mage spil (dvs. i det lage løb). De matematiske forvetigsværdi beteges med E (for det egelske ord expected value). Hvis vi kalder sadsylighede for at vide i et bestemt spil, så er det e kosekves af de store tals lov, at de matematiske forvetigsværdi for udbyttet, der jo varierer tilfældigt fra spil til spil, er givet ved: E(udbytte) p gevist idsats vider p vider For roulette ovefor bliver de matematiske forvetigsværdi for udbyttet derfor: E(udbytte pr. spil) 36 kr. kr. kr. 0,07 kr. I e 37 de del af spillee vider vi emlig 36 kr., i reste af spillee vider vi igetig, me hver gag betaler vi kr. for at deltage. Da sadsylighede for at vide hver gag er de samme, og da geviste for hvert spil også er de samme, så ka vi berege det forvetede egative overskud på 000 spil til: Forvetet udbytte på 000 spil 0,07000 kr. 7 kr. Øvelse 3 a) Hvad er sadsylighede for at kugle rammer et sort felt? b) Hvis vi satser 0 kr. på sort, hvad er så de matematiske forvetigsværdi for udbyttet af spillet, idet et sort felt giver idsatse dobbelt tilbage? c) Atag u, at vi spiller 000 spil, hvor vi satser 0 kr. på sort. Hvad er så de matematiske forvetigsværdi for udbyttet af disse 000 spil? Øvelse 4 På et dask kasio ser roulettebordet ud som på billedet. a) Overvej, hvilke adre muligheder, det giver for at spille ed de allerede ævte. b) Overvej, hvad sadsylighede for at vide i disse spil. c) Fid ud af hvad gevistere er for hvert af disse spil. Bereg derefter det forvetede udbytte for hvert af disse spil. Ovefor har vi set på meget simple spil, hvor geviste er kyttet til ét bestemt udfald af spillet. Me der er også spil, hvor der er forskellige gevister kyttet til forskellige udfald. Det gælder fx lotterier. 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

4 Hvad er matematik? ISBN Eksempel: KLasselotteriet I Klasselotteriet er der hver måed lodder med i lodtrækige. Gevistplae fremgår af tabelle. Det koster 44 kr. at købe et ekelt lod. Når vi skal fide det forvetede udbytte går vi derfor frem på følgede måde: E(udbytte) De forvetede gevist udreges således: I to ud af lodder vider du millio 7 hudrede tuside kr. Det giver e geemsitlig gevist pr. lod på 7.73 kr. Således fortsættes udregige geem alle de forskellige gevisttyper og de samlede geemsitlige gevist fides som summe af de ekelte bidrag. De samlede geemsitlige gevist pr lod er derfor 5.55 kr. Atal Gevist lodder kr kr kr kr kr kr kr kr kr kr. I almidelighed udreges det forvetede udbytte pr. spil derfor ved hjælp af formle: E(udbytte) p gevist idsats gevist hvor vi altså udreger summe af alle de forvetede gevister for de forskelige gevisttyper og til slut trækker idsatse fra. 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

5 Hvad er matematik? ISBN St. Petersborg Paradokset Et klassisk problem ide for sadsylighedsregig er det såkaldte St. Petersborg problem: E spiller kaster e møt, og bake går med til at betale kr. til spillere, hvis spillere får kroe i første kast, 4 kroer, hvis spillere først får kroe i adet kast osv., således at geviste bliver fordoblet, hver gag udfaldet kroe lader vete på sig. Spørgsmålet er så: Hvad vil være e rimelig idsats for spillere i dette spil? Ret matematisk spørger vi, hvad er de matematiske forvetigs værdi for geviste i dette spil? Og på de baggrud, hvad er så e rimelig idsats for e spiller i dette spil? Spillet optræder første gag i sadsylighedsregiges historie i 738. Diskussioe udsprag af e korrespodace mellem de schweiziske matematiker Nicolas Beroulli ( ) i Basel og de fraske matematiker Pierre Rémod de Motmort (678-79) i Paris. Seere kom også brevveksliger med Gabriel Cramer(704-75) og Daiel Beroulli (770-78) til, og i 738 blev problemet edeligt løst. Brødree Momort: Pierre var ophavsmad til e tidlig versio af St. Petersborg problemet. Beroullifamilie fra Schweiz: Ige ade familie har produceret så mage berømte matematikere. Nicolaus Beroulli, der korrespoderede med Momort om problemer i hasardspil. Daiell Beroulli, der edeligt løste St. Petersborg Paradokset i 738. Motmort havde i 708 skrevet boge med title Essay d'aalysere sur les jeux de fare, som Nicolas Beroulli var meget iteresseret i, heruder specielt Motmorts Problem 5 på side 40, der beskriver St. Petersburg Spillet i e meget tidlig versio. Brevvekslige begyder allerede i 73, hvor Nicolas Beroulli stiller e række spørgsmål til Motmort. 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

6 Hvad er matematik? ISBN Vi vil u udersøge problemet med et simpelt tælletræ. Med et tælletræ ka ma tælle sig frem til sadsylighede for et givet udfald af spillet. I hvert yt kast er der mulighed for plat eller kroe med samme sadsylighed. Hvis det bliver kroe stopper spillet. Ellers fortsætter det. Ethvert af de mulige udfald eder altså med e kroe i sidste kast og for at fide sadsylighede skal vi gage de ekelte sadsyligheder på veje geem træet samme. Sadsylighede for at få kroe i 3. kast er således kast 4. kast 3. kast... / / / /. kast Sadsylighed = /3 Gevist = 3 kr. Sadsylighed = /6 Gevist = 6 kr. / /. kast Sadsylighed = /8 Gevist = 8 kr. / / Sadsylighed = /4 Gevist = 4 kr. / / Sadsylighed = / Gevist = kr. PLAT KRONE Forestiller vi os u, at spillere får plat i de første for dette udfald være: kast efterfulgt at kroe i det te kast, så vil sadsylighede..., hvor er et positivt helt tal. Ser vi u på gevistere, som fordobles, hver gag vi udgår at kaste kroe, vil udviklige være følgede: Kroe i kast r. Sadsylighed Gevist i kr Ser vi på de grafiske repræsetatio, så fremgår det måske edu mere klart, at sadsylighedere ret hurtigt bliver meget små, svarede til at gevistere ret hurtigt bliver meget store: 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

7 Hvad er matematik? ISBN Hvis vi så udreger de forvetede gevist til spillet, så får vi følgede regestykke: Dee række af -taller fortsætter jo i det uedelige, og ved at lægge tilstrækkeligt mage -taller samme, så ka ma opå et tal, der er større ed ethvert adet tal. Det er jo i sig selv idlysede, og derfor er de matematiske forvetig til geviste for spillet e geemsitlig gevist pr. spil på uedeligt mage kroer. Me så er e fair pris for dette spil e uedelig stor idsats! Me det betyder jo paradoksalt ok samtidigt, at ligegyldigt hvor stor e idsats spillere tilbyder bake at spille for, så vil bake mee, det er for lidt! Med e forvetig om uedelig rigdom hvad skal da idsatse være? Og ka et sådat spil overhovedet være fair? Giver det fx reelt oge meig at udrege forvetigsværdie: E p vider gevist idsats -? Lad os starte med at fastslå at det ikke som såda er de uedeligt mage muligheder for at afslutte spillet, der er problemet. Fx ka vi emt kotrollere at summe af sadsylighedere er, såda som vi må forvete det: Det fremgår fx af e figurbetragtig, hvor vi bliver ved med at halvere et lijestykke med lægde. Summe af lijestykkere vil da etop svare til hele lijestykket, hvilket etop er de oveståede uedelige sum: Hvis vi u ædrede St. Petersborg spillet til at Bake betalte e kroe mere, for hver gag udfaldet kroe lod vete på sig, dvs. kroe, hvis spillet slutter efter første kast, kroer, hvis spillet slutter efter adet kast, 3 kroer, hvis spillet slutter efter tredje kast osv. Øvelse 5 a) Opstil et tælletræ som det oveståede og fide såvel sadsyligheder som gevister for hver af de mulige udfald af spillet: Kroe efter første kast, kroe efter adet kast, kroe efter tredje kast osv. b) Overfør tælletræet til et regeark og giv et skø over de forvetede gevist, idet du iddrager fx op til 0 kast, op til 5 kast, op til 50 kast i dit skø. c) Hvad er e fair idsats i dette spil? 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

8 Hvad er matematik? ISBN Et beslægtet spørgsmål til de forvetede gevist kue u være at fide det forvetede atal kast. I halvdele af spillee afsluttes spillet efter det første kast. I e fjerdedel af spillee afsluttes det efter adet kast. I e ottededel af spillee afsluttes spillet efter det tredje kast osv. Det forvetede atal kast er derfor givet ved ? Fra de foregåede øvelse skulle du have e god foremmelse for hvad summe er, me hvorda fider ma de? Uedelige summer af dee type var etop oget ma legede med bladt de samme matematikere, som diskuterede spillee så lideskabeligt. Her er et typisk trick de kue bruge til at udrege summe med: De to kvarte skrives edeuder hiade, de tre ottededele skrives edeuder hiade osv. De første række giver som vi lige har set. I de ade række magler så de giver ku I de tredje række magler ydermere 4, så de giver ku 4 osv. De samlede rækker er altså , me det er etop +, dvs.. De forvetede gevist er altså ku kr., hvorfor e fair idsats i dette tilfælde etop er kr. Me ka det virkelig betale sig at spille e uedelig stor idsats på et spil af St. Petersborg type, hvor de forvetede gevist er uedeligt stor? Nej, det ka det aturligvis ikke! Uaset hvilket beløb, spillere vider, vil det være e begræset sum pege medmidre spillet fortsætter for evigt ved, at spillere bliver ved med at slå plat, og i dette tilfælde vider e uedelig sum pege, som ha dog er ødt til at vete uedeligt lag tid på at få! Så det er altså dumt at betale e uedelig stor idsats for at spille! Af oveståede følger også, at lige meget hvor stor e edelig idsats, ma vælger at gå id i spillet med, så vil de altid være midre ed de gevist, ma ka forvete at opå! Spilleres chace for at få e stor gevist er selvfølgelig meget lille, me for ogle er geviste måske så stor, at det kompeserer for de lille chace, der er for succes. Betragter vi spillet som et praktisk problem, så er de summer, der idgår begræset af to faktorer, som de matematiske model slet ikke tager i betragtig: De største gevist, som bake ret faktisk ka betale Hvor lag tid der er til rådighed til at spille spillet - højst e meeskelig levetid. Desude foralediger problemet ogle mere filosofiske overvejelser: Hvor rimelig er de matematiske forvetigsværdi til geviste for spillet, år spilleperiode er lagt lægere ed oge spiller ret faktisk vil kue spille i? Risikovurderig er meget mere uaceret ed de ree matematiske beregig af spillets forvetede gevist, og uacere i e såda vurderig er særdeles vigtige år geviste (eller tabet) er meget stor, og sadsylighede for gevist er meget lille. 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

9 Hvad er matematik? ISBN Øvelse 6 a) Opret i dit regeark e liste med de to udfald: {0 for Plat og for Kroe } b) Opret e liste med huderede tilfældige møtkast trukket fra udfaldee eller tuside osv. I praksis er vi ødt til at afskære spillet til et edeligt atal gage år vi simulerer på det i et regeark. c) Opret e liste hvor celle r. er summe af alle møtkast fra r. til r.. Overvej at atallet af uller i dee liste etop giver det atal platter, der slås før de første kroe! d) Du ka u fide ud af hvor mage kast det faktiske spil brugte ved at lægge til atallet af platter i starte. e) Geemfør e simulerig af spillet 000 gage, idet du opsamler atallet af kast i hvert ekelt spil. Teg et histogram over atallet af kast i de 000 simuleriger. Hvad er det geemsitlige atal gage der kastes med møte? f) Samme spørgsmål for geviste! Du ka her hete e aimatio af St. Petersborg spillet, som TI-spire fil. Aalyse af St. Petersborg spillet med loft over bake Hvis ma bliver tilbudt e fifty-fifty chace for at vide kr., så er chace rimeligvis kr. værd, svarede til halvdele af de kr. E idsats på kr. vil være overkommelig for de fleste ma bliver ikke ruieret, og ma er sikker på at bake faktisk ka betale geviste, hvis ma vider. E idsats på flere millioer ville ruiere de fleste og sadsyligvis også spræge bake i tilfælde af gevist! Vi vil se på hvad spillet er værd for spillere, år vi tager hesy til, hvad bake ret faktisk ka betale. Bake har jo ikke uedeligt mage pege, og vi vil derfor atage, at bake har edeligt mage pege, emlig m kr. Ser vi u ige på de matematiske forvetig til spillet, så sker der det, at hvis spillere først kaster kroe i et seere spil ed det m te spil, så vil geviste ikke lægere kue fordobles, fordi bake jo ikke har flere pege ed de m kr., som er geviste ved kroe i det m te kast. De forvetede gevist ka da bereges ved: m m m m m m m m3 m m m... m m m3... m gage m gage m gage m Det sidste lighedsteg fremkommer af, at vi jo ved, at L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk

10 Hvad er matematik? ISBN På dee måde bliver spillets værdi ikke uedeligt mage pege, me i stedet etop over forskellige scearier for bakes midler (bakes edelige mægde af pege) får vi: m kr. Opstiller vi e tabel m Bakes midler i kr Spillets værdi for spillere = 0 m m 0 Bakes midler i kr. 04 Spillets værdi for spillere = m , Dvs. i dee situatio er svaret på det idledede spørgsmål, at det i almidelighed ved spil mellem veer vil være ret risikabelt at satse mere ed kr. på i dette spil, fordi es veer ok kue betale geviste på 04 kr., me æppe ville være villig til at betale e gevist på æste 5000 kr. eller mere. Me forestiller vi os, at vi møder e professioel gambler, som ok ville være midst kr. værd, så ville e idsats på 7 kr. ok være passede. E idsats på omkrig 30 kr. er spillet mildest talt ikke værd i oge sammehæg, fordi hvilket Casio ville kue udbetale e gevist på over mia. kr.? 07 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk