Nicolas Bourbaki Dan Saattrup Nielsen
|
|
- Elisabeth Bendtsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1
2 Blokkens matematiker 13 Nicolas Bourbaki Dan Saattrup Nielsen I blokkens matematiker tager vi et kig på matematikere, hvis navne måske er dukket op hist og her, men personen bag navnet nok ikke er så kendt blandt mange. Lidt hyggelæsning! Nicolas Bourbaki er en matematiker, som nogle måske har hørt om. Han har skrevet bøger om (blandt andet) algebra, topologi, mængdelære, kommutativ algebra, Lie teori og spektralteori. Han har derudover opfundet en god sjat af vores matematiske sprog, som f.eks. surjektiv, injektiv, bijektiv og symbolet. Det lyder jo som en forbløffende alsidig person! Hvis du tænker at det må være for godt til at være sandt, så har du ret - for Nicolas Bourbaki har aldrig eksisteret. Nicolas Bourbaki er i stedet et alias for en dengang hemmelig gruppe af franske matematikere. Hvorfor var gruppen hemmelig? Hvem bestod den af? Lad os prøve at dykke ned i år 1934 på Café A. Capoulade i Paris, hvor ni færdiguddannede matematikere, alle under 30 år, holdte deres første møde. Otte ud af de ni matematikere kom fra l École Normale Supérieure (ENS), som var et universitet blandt Grandes Écoles, der var en elitær samling af de bedste universiteter i Frankrig. På ENS var fagene opdelt i videnskaberne og humaniora, hvor der kun blev optaget hhv. 30 og 20 studerende årligt. Her studerede man i tre år, hvor det tredje år var dedikeret til at forberede en på at være lærer. Altså underviste de fleste af vores ni matematikere, og i løbet af deres undervisning var de blevet enige om, at litteraturen indenfor matematisk analyse i Frankrig var håbløs, og at de gerne ville skrive et bedre alternativ. De kaldte dem selv for Komitéen for Skrivningen af et Værk om Analyse. 24. årgang, nr. 1
3 14 Nicolas Bourbaki Bourbakis første kongres, juli 1935 På mødet blev det foreslået at omfanget af deres værk maksimalt skulle være på sider og at de første bøger skulle være færdige indenfor et halvt år. De startede med at planlægge det præcise indhold i bøgerne, som de var enige om skulle være så moderne som muligt, men det første møde var, forståeligt nok, ikke langt nok til at diskutere dette til ende. De fortsatte med at mødes hver anden uge på selvsamme café i et halvt års tid, hvorefter de skiftede til at holde kongresser. På dette tidspunkt havde der allerede været flere nyankomne og flere, som var smuttet. For at være konsistente, besluttede de sig at give gruppen et fælles navn, der skulle være eneste forfatter på deres fremtidige bøger. Det navn var Bourbaki. De fandt hurtigt ud af, at deres projekt var mere omfattende end hvad de først havde forventet. De havde jo den her idé med, at det skulle være så moderne som muligt, men samtidig så tilgængeligt som muligt. Den skulle være læselig af forskere, lærere, fysikere og ingeniører. Det forudsatte jo, at al baggrundsviden skulle være dækket! De lagde derfor, meget optimistisk, ud med mængdelæren. Mængdelæren var jo fundamentet for al matematik, deriblandt analyse, så det var jo helt umuligt ikke også at Famøs Dec 2014
4 Dan Saattrup Nielsen 15 skulle dække det. Men de strukturer man arbejder i i analysen måtte jo også være dækket, før man kunne begynde på analysen - dette krævede pludselig bøger om de forskellige algebraiske strukturer samt topologi. De forventede nu pludselig at deres værk ville fylde ca sider - allerede en tredobling af hvad de først havde snakket om! Grothendieck, skaberen af moderne algebraisk geometri, var også medlem af Bourbaki De fortsatte med at holde tre kongresser om året, som varede en uges tid med 7-8 timers dagligt arbejde, hvor de gjorde status på deres skriveproces samt diskuterede hvad der manglede. Det lyder umiddelbart meget sobert og professionelt, men tonen var nok det modsatte af hvad man ville forvente til en sådan kongres. Imens de skrevne kapitler blev fremlagt, haglede det ned med højtråbende tilsvininger og vittigheder, der gjorde at gruppen blev kaldt for en flok sindssyge!. Dette medførte også hyppige udskiftninger i gruppen. Dog kunne enhver ikke bare blive medlem af denne lukkede klub. Man blev inviteret til en kongres som guinea pig, kastet ind i de højtråbende diskussioner. Hvis man ikke aktivt deltog i disse, og blot sad stille, var man ikke velkommen. Derudover forlod folk også ofte gruppen, når de fik for meget af det vilde fællesskab, eller hvis de blev for gamle - det var nemlig en regel i gruppen, at du skulle forlade den, når du fyldte 50 år. 24. årgang, nr. 1
5 16 Nicolas Bourbaki Hvis du var en af de heldige, der blev optaget i fællesskabet, måtte ingen udefrakommende nogensinde få det at vide. Selv hvor og hvornår deres kongresser blev holdt skulle ingen vide, der ikke var indlemmet i den lukkede klub. Laurent Schwartz, en tidligere Bourbakirekrut udtalte blandt andet at Når jeg blev spurgt om jeg var medlem af Bourbaki sagde jeg altid nej. Hvis jeg ikke var medlem, talte jeg sandt, og hvis jeg var medlem, skulle jeg sige nej alligevel. Grunden til alt dette hemmelighedskræmmeri var en politisk en af slagsen, for de gik ind for fællesskabet som en samlet enhed, og de enkelte medlemmer skulle derfor ikke fremhæves. Det var altid set som et fælles projekt. Bourbakis bog om mængdelære Noget af et projekt var det også. Selvom det var en kaotisk gruppe, der var i gang med at udføre noget der virker som tæt på umuligt, var det alligevel utrolig produktivt. Enhvert kapitel var ikke godkendt, før alle i gruppen var enige om det. Alligevel sprang de endnu engang deres sidetalsestimat, og de nåede op på over 7000 sider! Man skulle tro at et værk indenfor analyse godt kunne dækkes på under 7000 sider, men dette fundamentale mål Famøs Dec 2014
6 Dan Saattrup Nielsen 17 blev ikke opnået. Langt nåede de dog, og på deres vej bidrog de med op til flere dengang standardbøger indenfor flere forskellige matematiske discipliner. De må også have mærket hvilket indtryk deres værk ville give, da de opkaldte den efter Euklids Elementer: Éléments de Mathématique. Litteratur [1] Mashaal, Maurice. Bourbaki - A Secret Society of Mathematicians. American Mathematical Society, årgang, nr. 1
7 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer over et åbent problem. Formodning 1 Midterbinomialkoefficienten ( 2n n ) er altid delelig med 4 eller 9 for n 4 bortset fra n = 64 og n = 256. I deres rusnaivitet så det ud til at være et sødt lille problem, som man hurtigt kunne løse. Et lille krydderi til julestemningen. Snart kunne de dog konstatere at dette ikke var tilfældet, men undervejs i arbejdet med formodningen dukkede sjov matematik frem. Dette er historien om deres rejse. Rejsen indebærer flere hyggelige vandringer i talteoriens og kombinatorikkens snedækkede landskaber, som efter forfatternes anbefaling bør nydes foran en åben pejs. Indledende julekagebagning Notation 2 For a, p N og p > 1 skriver vi 4 p k a, hvis k er det største heltal således at p k a. Notation 3 Lad a, b N være givet med b > 1. Da betegner (a) b tallet a skrevet i base b, og a b betegne at a er skrevet i base b. I det følgende vil vi lege lidt med menter. Disse skal opfattes, som man lærte det, da man var en lille pebernødsgnaskende folkeskoleelev. Eksempelvis vil der komme to menter, når man lægger 1 til Hvor N naturligvis ikke indeholder 0. Famøs Dec 2014
8 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 19 Sætning 4 (Kummers sætning) Der gælder p k ( m+n) m, hvis og kun hvis der er netop k menter i additionen (n) p + (m) p = (n + m) p. Bevis. Beviset og matematikken bag er rigtig fin, og kan for eksempel findes i [1]. Alternativt kan den entusiastiske læser se sætningen som en opbyggelig opgave. Eksempel 5 Hvis vi betragter ( 16 8 ), så er 8 skrevet i base 3 givet ved 22 3 = (8) 3, og i additionen (8) 3 + (8) 3 = = = (16) 3 sker der 2 menter. Det vil sige at 3 2 ( 16 8 ). Russerne så, at Kummers sætning straks indskrænker det oprindelige problem til et spørgsmål om at vise, at der ikke findes k > 2 så 9 ( 2 k+1 ) 2 bortset fra k = 6, 8. Dette overlades ligeledes k til læseren som en (noget nemmere) opgave. På trods af reduktionen af problemet var det dog stadig for hård en julenød for de unge russer, der i stedet betragtede følgende funktion: Definition 6 For alle a N defineres { ( )} 2 k+1 T 9 (a) = # 0 k < a 9 2 k. Denne nye funktion kunne altså tælle antallet af modeksempler til Formodning 1 mindre end 2 a. Et øvre estimat af funktionen blev derfor vore heltes mål. Ved hjælp af Kummers sætning kan en gæv rus benytte fordelingen af cifre i (2 k ) 3 for et generelt k til at sige noget om antallet af gange 3 deler ( 2 k+1 ) 2. Det vil da vise sig at de sidste t cifre af k (2 k ) 3 er periodiske med hensyn til k med periode 2 3 t 1. Da hver 24. årgang, nr. 1
9 20 Meditation over Midterbinomialkoefficienten periode desuden kommer til at indeholde alle mulige kombinationer af t cifre i base 3, hvor det sidste ciffer enten er 1 eller 2, fås et stærkt redskab. Dette var det første russerne satte sig ud for at vise. Definition 7 Eulers phi-funktion ϕ : N N er defineret som ϕ(n) = #{1 a < n gcd(a, n) = 1}. Sætning 8 (Euler-Fermat) For alle indbyrdes primiske tal a, b N gælder a ϕ(b) 1 (mod b). Bevis. Se [1, s. 133]. Lemma 9 For k 0 gælder 3 k k 1. Bevis. Beviset føres ved induktion. For k = 0 og k = 1 får vi henholdsvis = 3 og = 63, hvilket er sandt. Antag nu at 3 k k 1. for et vilkårligt k > 0. Benyt nu følgende faktorisering: ( ) ( ( 2 2 3k+1 1 = 2 2 3k k) ) k + 1. Vi bemærker nu, at 2 3k ( 2 3) 3 k 1 ( 1) 3k 1 1 (mod 9), Famøs Dec 2014
10 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 21 hvorved vi har ( 2 2 3k) k + 1 ( 1) 4 + ( 1) (mod 9). Dermed gælder 3 får vi 3 k+2 ( 2 2 3k) k + 1, og da 3 k k 1, så ( ) ( ( 2 2 3k k) ) k + 1 = 2 2 3k+1 1. Definition 10 Lad a, b 1 være indbyrdes primiske positive heltal. Da defineres ordenen ord a (b) til at være det mindste positive heltal t så b t 1 (mod a). I julelys og måneskin kan det ses, at b r 1 (mod a) hvis og kun hvis ord a (b) r. Lemma 11 Lad k 0 og 0 < s < 2 3 k. Da gælder 2 s 1 (mod 3 k+1 ). Bevis. Lad t := ord 3 k+1(2). Vi viser nu, at t = 2 3 k. Vi har allerede t 2 3 k, idet t ϕ(3 k+1 ) = 2 3 k jævnfør Sætning 8. Antag nu for modstrid, at t < 2 3 k. Da må der enten gælde t 3 k eller t 2 3 k 1. Da vi har 2 3k 2 (mod 3), så er den første mulighed udelukket. Yderligere følger det af Lemma 9, at 3 k 2 2 3k 1 1, og derfor må der gælde 2 2 3k 1 1 (mod 3 k+1 ), 24. årgang, nr. 1
11 22 Meditation over Midterbinomialkoefficienten så t 2 3 k 1. Dette er i modstrid med antagelsen, og derfor gælder ord 3 k+1(2) = 2 3 k. Denne appetitvækkende julegodte viser altså, at 2 3 k 1 er den minimale periode for de k sidste cifre af (2 k ) 3 : Sætning 12 Lad k, l være givet, så 0 k < l < 2 3 t. Da gælder 2 k 2 l (mod 3 t+1 ). Det vil sige, at de t + 1 sidste cifre af (2 k ) 3 og (2 l ) 3 er forskellige. Bevis. Antag for modstrid at 2 k 2 l (mod 3 t+1 ). Så gælder 3 t+1 2 l 2 k = 2 k (2 l k 1), men dette er i modstrid med Lemma 11, da det medfører 3 t+1 2 k l 1 for 0 < l k < 2 3 t. Sætning 13 For vilkårligt k N 0 får man samtlige følger af k +1 cifre med 1 eller 2 på den sidste plads og 0, 1 eller 2 på de andre, når man betragter de sidste k + 1 cifre af (2 n ) 3 for n så 0 n < 2 3 k. Bevis. De mulige følger på ovenstående form kan vælges på 2 3 k måder. Videre ses det, at da det sidste ciffer af (2 n ) 3 altid vil være enten 1 eller 2, så er de sidste k + 1 cifre altid på denne form. Til sidst følger det af Sætning 12 at alle disse sekvenser af de første k + 1 cifre af (2 n ) 3 er forskellige, og da der er 2 3 k af disse, følger sætningen. Densitet af trinære julegodter Med juletræet forsvarligt pyntet med en præcis beskrivelse af opførelsen af de sidste cifre i (2 k ) 3 og med en passende mængde Famøs Dec 2014
12 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 23 småkager ved hånden, begyndte udpakningen af julegaverne; et estimat af funktionen T 9 var indenfor rækkevidde. Sætning 14 Lad t 0. Da gælder T 9 (2 3 t ) 2 t 1 (t + 4) Bevis. Det følger af Kummers sætning, at 9 ikke deler ( 2 k+1 ) 2 hvis k og kun hvis additionen (2 k ) 3 + (2 k ) 3 = (2 k+1 ) 3 indebærer færre end to menter. For hvert eneste 2-tal i (2 k ) 3 forekommer der en mente i additionen, og altså vil 9 dele ( 2 k+1 ) 2 hvis der er to eller k flere 2-taller i (2 k ) 3. 5 Ved Sætning 13 vil de sidste t + 1 cifre af (2 k ) 3 antage alle kombinationer, hvor det sidste ciffer er 1 eller 2 og de andre er 0, 1 eller 2, når 0 k < 2 3 t. Vi vil tælle, hvor mange af disse kombinationer som indeholder færre end to 2-taller. Der er to tilfælde: Ingen 2-taller: Der er 2 t kombinationer af de sidste t + 1 cifre, så de ikke indeholder nogen 2-taller, da det sidste ciffer må være 1 og de andre enten er 0 eller 1. Netop ét 2-tal: Antallet af måder, hvorpå de sidste t+1 cifre kan indeholde præcis ét 2-tal kan findes på følgende måde. Hvis det sidste ciffer er et 2-tal, så er der 2 t forskellige måder de resterende cifre kan fordeles. Hvis det sidste ciffer er 1, så må et af de t cifre være et 2-tal, og de resterende kan antage værdierne 0 eller 1 på 2 t 1 måder. Dermed er der 2 t +t2 t 1 kombinationer, som opfylder dette. 5 Læseren, der endnu ikke er påvirket af juleøl, vil her bemærke, at man kan opnå bedre resultater ved også at kigge på menter fra et-taller. Det vil vi i denne fremstilling afholde os fra. 24. årgang, nr. 1
13 24 Meditation over Midterbinomialkoefficienten Det vil sige, at der ialt maksimalt er 2 t +2 t +t2 t 1 = 2 t 1 (t+4) tal 0 k < 2 3 t således at (2 k ) 3 giver mindre end to menter, når den lægges til sig selv i base 3. Dermed fås det ønskede estimat. Med denne gave godt udpakket kan vi nu få et generelt estimat: Sætning 15 For et vilkårligt a N gælder T 9 (a) a log 3 (2) (log 3 (a) + 5). Bevis. Lad t være givet, så 2 3 t a < 2 3 t+1. Da har vi t log 3 (a) log 3 (2). Da T 9 oplagt er en voksende funktion, så kan vi vurdere 6 T 9 (a) ved Sætning 14: ( T 9 (a) T t+1) 2 t (t + 5) 2 log 3 (a) log 3 (2) (log 3 (a) log 3 (2) + 5) 2 log 3 (a) (log 3 (a) + 5) = a log 3 (2) (log 3 (a) + 5). Russerne kunne nu bruge dette estimat til at sige noget om, hvor ofte Formodning 1 fejler. Eller med andre ord: densiteten af de bløde pakker blandt midterbinomialkoefficienterne. 6 Igen vil den opmærksomme læser bemærke, at vi for overskuelighedens skyld smider mere væk end julemanden i Bamses Julerejse. Famøs Dec 2014
14 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 25 Definition 16 Densiteten af en mængde A N defineres som grænsen #(A {1, 2,, a}) ρ(a) = lim. a a Korollar 17 Lad R N være mængden af naturlige tal k, som opfylder 9 ( 2 k+1 2 k ). Da er ρ(r) = 0. Bevis. Vi ser at T 9(a) a er ρ(r) def = lim a T 9 (a) a = 0. log 3 (a)+5 a 1 log 3 (2), og da log lim 3 (a) + 5 a a 1 log 3 (2) = 0, Juletræets grønne top Nu kunne den pejsedøsige læser fristes til at tro at juleeventyret slutter her, men russerne fortsatte ufortrødent. Definition 18 For ulige m N lader vi: { T m (a) = # 0 s < a m ( )} 2 s+1 Denne funktion var lidt sværere at knække, men efter lang tids terningekasten skaffede russerne sig følgende julegave i matematikkens store pakkeleg: Sætning 19 Lad m > 1 være ulige og lad p være det største primtal, der deler m. Da gælder T m (a) = o (a log p ( p+1 )+ɛ) 2 for ethvert ɛ > 0. 2 s 24. årgang, nr. 1
15 26 Meditation over Midterbinomialkoefficienten Denne sætning blev vist, da juletiden var ved at gå på hæld og russerne lå og lavede sneengle på de salige idrætsstuderendes tilsneede spydkastmark. Her åbenbarede Herrens (eller Erdős eller læserens yndlingsmatematikers) engle sig for dem, og de så, at man for vilkårligt α N og primtal p kunne udvælge indekser i cifrene af (α k ) p så samtlige mulige følger af cifre fremkommer ved disse indekser. 7 Dette kunne russerne bruge. De styrtede ind til den nærmeste tavle og med samme teknik som i tilfældet α = 2 lykkedes det dem at sikre resultatet. Glade og tilfredse løb de ned til kagesøster og varm kakao. Det var nu blevet en rigtig jul. Litteratur [1] R. L. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Interesserede læsere er meget velkomne til at kontakte forfatterne. Famøs Dec 2014
16 Blokkens præmieopgave 27 Hvad viser klokken? præmieopgave, 24. årgang nr. 2 Så er præmieopgaven tilbage igen! Som sædvanlig lyder præmien på et gavekort på 100 kr til GAMES. Betragt et ur, hvor vi ser bort fra mekanikken og antager, at time og minutviser går på kontinuert vis. Hvor mange forskellige klokkeslæt findes der, hvor man kan ombytte time og minutviser og stadig vise noget gyldigt? For eksempel får vi ikke et gyldigt klokkeslæt, når vi ombytter time- og minutviser kl. 05 : 00, da timeviseren ikke kan stå på præcist 12, når klokken er 25 over. Vinderen udtrækkes fra mængden af de besvarelser, som er mere eller mindre overbevisningsdygtige. Farvel til ekstraopgaven Mange tak til de flittige korrespondenter (særligt shoutout til Sune og Thor), der var med til at besvare Blokkens Ekstraopgave. Takket være jeres færdigtexede besvarelser havde vi en artikel at se frem til i hver blok. Dog er vores portrættegner optaget, og ingen af de resterende redaktionsmedlemmer har mod på at tegne Sune de første to potrætter var så flotte, at tredje gang kun kan blive en skuffelse. Vi siger derfor farvel til ekstraopgaven for denne gang årgang, nr. 1
17 FAMØS Famøs Dec 2014 Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Illustrationer: Jing (Question Marc) Deadline for næste nummer: 1. marts 2015 Indlæg modtages gerne og bedes sendt til gerne i L A TEX og gerne baseret på skabelonen som kan hentes på hjemmesiden. Famøs er et internt fagblad. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. Fagbladet Famøs c/o Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken København Ø Oplag: 300 stk. Tryk: Frydenberg A/S ISSN: årgang, nr. 1, Dec 2014
Meditation over Midterbinomialkoefficienten
18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 24. årgang, nr. 1, Dec Grundet besparelser på KU udebliver forsiden i denne udgave.
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 24. årgang, nr. 1, Dec 2014 Grundet besparelser på KU udebliver forsiden i denne udgave. Redaktion Nilin Abrahamsen, Sebastian Peek, Jonathan
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereDet er svært at komme på ældste trin. Der er mange helt nye ord, fx provokation og oplevelsesfase.
Overgang fra mellemtrin til ældste trin samtale med 6. kl. Det er svært at komme på ældste trin. Der er mange helt nye ord, fx provokation og oplevelsesfase. Det er en meget anderledes arbejdsform, men
Læs mereSvar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4)
Leg med trekanter 19 Præmieopgave og svar på sidste bloks abestreger! Jingyu She Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) I sidste præmieopgave blev læseren bedt om at finde sandsynligheden for,
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereGuds engle -1. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning minutter
Guds engle -1 Mål: At give børnene et bibelsk syn på engle. Læs bilaget Info igennem, så du kan besvare børnenes spørgsmål. Tekst: Lukas 1, 5-25 (Zakarias ser en engel). Visualisering: Pynt rummet med
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereSpørgsmål og svar om inddragelse af pårørende
Spørgsmål og svar om inddragelse af pårørende I Hej Sundhedsvæsen har vi arbejdet på at understøtte, at de pårørende inddrages i større omfang, når et familiemedlem eller en nær ven indlægges på sygehus.
Læs mereAf Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs mereS: Mest for min egen. Jeg går i hvert fald i skole for min egen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Notater fra pilotinterview med Sofus 8. Klasse Introduktion af Eva.
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereSyddjurs Friskoles Ugebrev 45
Syddjurs Friskoles Ugebrev 45 2017 Ugebrevet udkommer normalt i weekenden Indlæg sendes senest fredage kl. 20.00 til syddjursfriskolenyhedsbrev@hotmail.com KALENDER: 9. - 10. november: Pædagogiske dage.
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereSelvevaluering Bifrost 2016 Matematik 2. klasse
Undervisningsplan 1 Faglige mål 2 Indholdsfortegnelse 3 To eksempler på en lukket opgave den samme opgave løst af to forskellige børn 4 5 To eksempel på en åben opgave den samme opgave løst af to forskellige
Læs mereGuide: Få en god jul i skilsmissefamilien
Guide: Få en god jul i skilsmissefamilien Sådan får du som skilsmisseramt den bedste jul med eller uden dine børn. Denne guide er lavet i samarbejde med www.skilsmisseraad.dk Danmarks største online samling
Læs mereStore Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet
Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store
Læs mereresultaterne og sammenholde dem med hinanden.
! "#$%!& ' ( ( ' Hvordan har du fattet interesse for at undervise dine kollegaer i dansk som 2. sprog? Det er meget tilfældighedernes spil. Det startede med, at Lise Thorn bad mig om at tage på et kursus,
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereDukketeater til juleprogram.
Dukketeater til juleprogram. Dukketeater 1: (Der er brug for to dukker, en frisk og glad drengedukke (dukke 1), der er spændt på at det er jul og en lidt fornuftig pigedukke (dukke 2), der ikke kommet
Læs mereJulen nærmer sig! Klik her
Julen nærmer sig! Klik her < Mit navn er Jack Stump. Jeg er blevet ringet op af skoleleder Boris Loftager. Han vil igen have mig til at kigge på en gammel sag. Nej, nu må han da snart holde op. Jeg fandt
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mere3. december Jeg skal i skole
3. december Jeg skal i skole 3. DECEMBER Her er Sallinge Brugs, hvor min bedste kammerat, Per boede. - Kan du nu skynde dig, siger mor, da jeg med sne på min jakke stormer ind i køkkenet. - Du skulle ikke
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereDen store tyv og nogle andre
Den store tyv og nogle andre Kamilla vidste godt, hvordan tyve så ud. De var snavsede og havde skæg og var uhyggelige og mystiske, det sagde alle, der havde forstand på sådan noget. Kamilla havde hørt,
Læs mereSvanemærket Printet i Danmark 2011. ISBN: 1. udgave, 1. oplag 978-87-993288-1-9 (paperback) 978-87-993288-2-6 (PDF e-bog)
Copyright 2011 Dortea Berg-Jensen Forsidefoto: Mette Berg-Jensen Omslag: Sitara Bruns Tilrettelægning og fotos: Dortea Berg-Jensen Coverillustrationer: Sven Aage Berg Bogen er sat med New Baskerville Tryk:
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik
Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,
Læs mereArtikel, klippet fra.. isaac. ..nyt. nr. 1 2015. ISAAC nyt 2015 1
Artikel, klippet fra.. isaac..nyt nr. 1 2015 Brugersamling.. v/emmy Kjelmann Første brugersamling for ASK-brugere I dagene 6. - 8. november 2014 var 14 brugere af alternativt kommunikationsudstyr (ASK-brugere)
Læs mereLæs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre
Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville
Læs mereUDSKRIFT AF HJEMME IGEN! BIOLOG-FAMILIEN HAMZIC. For 15 år siden boede jeg med min familie i Herzegovina i byen Trebinje.
UDSKRIFT AF HJEMME IGEN! BIOLOG-FAMILIEN HAMZIC For 15 år siden boede jeg med min familie i Herzegovina i byen Trebinje. Det er tæt på Adriaterhavet nær Dubrovnik. Jeg har en kone og to drenge, som var
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereIndhold. Model for en dag vol. 2. Julegaveværksted. Det Blå Marked. Juledekorationer. Madbix med gæstekok. Nissebowling. Lucia.
Dag Dato Aktivitet Personale Tirs 4. nov Model for en dag vol. 2 To, Ki, Ja, Tr, Ti Tors 6. nov Butterflymøde Ki, Ja, Ca, Tirs Tors 11. nov 13. nov Svanesang Julegaveværksted Drengerøvsaften FIFA på PlayStation
Læs mereEventyret om det skæve slot
24 Eventyret om det skæve slot Tema I Børnekulturhus Ama r er et eventyr om, hvordan det lykkedes at bygge landets første børnekulturhus opført fra grunden på baggrund af hårdt arbejde fra en ildsjæl og
Læs mere1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i?
1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i? 3: Hvis du har deltaget i mindre end halvdelen af kursusgangene bedes du venligst begrunde hvorfor har deltaget
Læs mereFormandsberetning Aalborg IMU 2010
Formandsberetning Aalborg IMU 2010 Denne formandsberetning er opdelt i to dele. Første del vil handle om året der er gået, hvad der er sket af interessante ting i Aalborg IMU, lidt om mine tanker og oplevelser
Læs mereJuvelernes evaluering af fokuspunktet : Inklusion med fokus på venskaber
Juvelernes evaluering af fokuspunktet 2014-2015: Inklusion med fokus på venskaber Bent Madsen, som er chefkonsulent for Centret for inklusion, nævner, at inklusion er en menneskeret. Spørgsmålet for os
Læs mereAlle de væsener. De der med 2 ben traskede rundt på jorden. Det var Jordtraskerne, det hed de, fordi de traskede på jorden.
1 Sådan går der mange mange år. 1 Alle de væsener En gang for mange mange år siden blev skabt et væsen uden ben. Den måtte være i vandet, ellers kunne den ikke komme rundt. Så blev skabt en med 2 ben,
Læs mereEvaluering af matematik 2. klasse
Evaluering af matematik 2. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVi havde allerede boet på modtagelsen i tre år. Hver uge var der nogen, der tog af sted. De fik udleveret deres mapper i porten sammen med kortet,
Vi havde allerede boet på modtagelsen i tre år. Hver uge var der nogen, der tog af sted. De fik udleveret deres mapper i porten sammen med kortet, der anviste vejen. Siden så vi dem aldrig mere. 8 9 Dagen
Læs mereEr det virkelig så vigtigt? spurgte han lidt efter. Hvis ikke Paven får lov at bo hos os, flytter jeg ikke med, sagde hun. Der var en tør, men
Kapitel 1 Min mor bor ikke hos min far. Julie tænkte det, allerede før hun slog øjnene op. Det var det første, hun huskede, det første hun kom i tanker om. Alt andet hang sammen med dette ene hendes mor
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereUS AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab
US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab Navn på universitet i udlandet: Institut d Etudes Politique Paris (Sciences Po) Land: Frankrig Periode: Fra: Januar 2013 Til: Maj
Læs mereSpirens store ønske. - en tegnet fortælling om spirer. Martin Frøsig & Miriam Sasha Sommer Forlaget Friske Spirer
Spirens store ønske - en tegnet fortælling om spirer Martin Frøsig & Miriam Sasha Sommer Forlaget Friske Spirer Spirens store Ønske Forlaget Friske Spirer info @ friskespirer.dk www.forlagetfriskespirer.dk
Læs mereInterview med drengene
Interview med drengene Interviewer: Julie = J og Michelle = M. Interviewpersoner: Christian = C og Lasse = L. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 J: Hvad er det I
Læs mereSussie leger i parken og møder sin hemmelige beundrer.
Forførelse i parken Sussie leger i parken og møder sin hemmelige beundrer. Sussie Langdon var ti år gammel. Hun havde blondt hår med naturlige krøller som bølgede, når hun bevægede sig. Dertil store ovale
Læs mereJesus Guds gave til dig - 2
Jesus Guds gave til dig - 2 Vældig Gud Mål: Fortæl børnene, at Jesus er Guds gave til os. Han er ikke kun en lille baby, han er også en vældig Gud. Tekst: Englen besøger Maria. Luk. 1, 26-38 Visualisering:
Læs mereVEJLEDNING. Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors
VEJLEDNING Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors Velkommen I denne vejledning kan du se, hvad du skal gøre for at undervise i Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereTilsynsrapport for Furesø Privatskole. Skoleåret 2011/2012
Tilsynserklæring 21. Tilsynserklæringen, der skal være skrevet på dansk, skal mindst indeholde følgende oplysninger: 1) Skolens navn og skolekode. 2) Navn på den eller de tilsynsførende. 3) Dato for tilsynsbesøg
Læs mereVid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst.
Kald 4: Hvad er dit behov lige nu. Nu er det tid til at ligge ønskerne lidt væk. Vid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst. Men i dag skal vi tale om dit behov.
Læs mereOpgaver, hvor børnene skal finde tegn (her kun punktum og komma), sætninger og ord i en tekst.
Opgaver, hvor børnene skal finde tegn (her kun punktum og komma), sætninger og ord i en tekst. Indhold: 10 nummererede opgaver, der gradvist bliver sværere og sværere. Børnene kan se rækkefølgen i det
Læs mere2. Spm1. Er det en fordel med et preformuleret(?) specialeprojekt? Og i givet fald hvorfor? Eller er det bedst selv at være med?
Udkast til referat af fokusgruppeinterview angående temaet det gode specialeforløb. Tirsdag d 24.03.09, Det biovidenskabelige fakultet. Deltagere: Interviewer/ordfører: Jakob Lundgren Willesen Medinterviewer/logbogsholder:
Læs mereJo mere vi er sammen
Jo mere vi er sammen 1992 Resumé: Vi forlod sidste år prokuristen i en tilstand af frydefuld nabokærlighed, der blev vakt til live af et par grinende barneøjne, efter at han havde fået det meste af en
Læs mereTre måder at lyve på
Tre måder at lyve på Skrevet af Ghita Makowska Rasmussen Sted: Café Blomsten i Nyhavn Personer: Et forhold fra fortiden Tid: ns fødselsdag 1 Scene En mand ankommer på en café. Tjekker. Går igen. Kommer
Læs meredem fra hinanden. Henning kan godt li regning, men det er måske fordi, han ikke kan læse så godt endnu. Han siger også, at hans far siger, at det er
Jeg skal i skole - Kan du nu skynde dig, siger mor, da jeg med sne på min jakke stormer ind i køkkenet. - Du skulle ikke ha taget med Rasmus Mælkekusk, nu kommer du for sent i skole. Og se hvor du drypper
Læs mereUS AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Fransk Sprog, Litteratur og Kultur
US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Fransk Sprog, Litteratur og Kultur Navn på universitet i udlandet: Université Paris Ouest Nanterre la Défense Land: Frankrig Periode: Fra:04.02.13
Læs mereKapitel 1. Noget om årets gang
Kapitel 1 Noget om årets gang 1 4. Mennesker og måneder VOXPOP Er der en måned, du særlig godt kan lide, eller er der en, du ikke bryder dig om? Nina Ja... Jeg kan rigtig godt lide september. Efterårsmånederne
Læs mereIMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner
Evalueringsrapport Matematik & Datalogi 2. juni 2011 Kontaktpersoner Christian Kudahl - chkud08@student.sdu.dk Maria Buhl Hansen - marih09@student.sdu.dk Indhold Indhold 2 1 Indledning 4 1.1 Matematik-økonomi.......................
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDenne dagbog tilhører Max
Denne dagbog tilhører Max Den lille bog, du står med nu, tilhører en dreng. Han hedder Max og er 8 år gammel. Dagbogen handler om Max og hans familie. Max er flyttet tilbage til København med sin mor efter
Læs mereOpgave 1. Modul 4 Lytte, Opgave 1. Eksempel: Hvor mange voksne skal man minimum rejse for at få rabat? 1. Hvor høje skal kvinderne være?
Modul 4 Lytte, Opgave 1 Navn: Kursistnr.: Opgave 1 Eksempel: Hvor mange voksne skal man minimum rejse for at få rabat? 15 2 3 1 X 1. Hvor høje skal kvinderne være? 160-180 165-190 160-170 165-180 2. Hvad
Læs mereJeg kender Jesus -1. Jesus kender mig
Jeg kender Jesus -1 Jesus kender mig Mål: Børnene får at vide, at Jesus kender og elsker dem, uanset hvem de er, og han ved hvad de laver. Tekst: Mark. 2, 13-17 (Levi kaldes til discipel). Visualisering:
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereIngenting Første udkast. Benjamin Dahlerup ONLINE KOPI FRA BENJAMINDAHLERUP.COM. En historie om økonomi og kærlighed
Ingenting Første udkast Af Benjamin Dahlerup ONLINE KOPI FRA BENJAMINDAHLERUP.COM En historie om økonomi og kærlighed Benjamin Dahlerup (C) 2014 Dette manuskript må ikke produceres uden forudgående aftale
Læs mereIndivider er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme
Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,
Læs mereFælles info. Nyhedsbrev SFO Fritterhøjen uge 41 2013. Efterårsferie!
Fælles info Efterårsferie! Vi har åbent i efterårsferien fra kl. 06.30 til 16.00. Bemærk venligst at vi lukker 1 time tidligere end til daglig! Tilmelding ikke nødvendig (se forklaring om dette i de sidste
Læs mereSyv veje til kærligheden
Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereInd- og udmeldte børn. Personalet: nye børn og forældre og ønsker jer en god tid på fritidshjemmet.
Vi byder velkommen til nye børn og forældre og ønsker jer en god tid på fritidshjemmet. Formålet med Arilds Tidende er blandt andet at holde jer orienteret om fritidshjemmets og bestyrelsens arbejde. Alle
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereGud taler til mennesker -1
Gud taler til mennesker -1 Gud taler til børn Mål: Børnene opdager, at Gud taler til mennesker og deler sine hemmeligheder med dem, der søger ham, ærer ham og holder sig tæt til ham. Børnene får forståelse
Læs mere