Black Swan Teori og praktisk anvendelse i investeringsstrategi

Transkript

1 Department of Business Studies Kandidatafhandling Msc. in Finance Forfattere: Henrik Giørtz Tveterås Ulrich Østergaard Vejleder: David Skovmand Black Swan Teori og praktisk anvendelse i investeringsstrategi 28. juli 2009

2 English summary The financial markets have changed radically through the last decades and especially within the last few years. This has caused a need for changing or modifying the existing financial models, CAPM, VaR etc. One of the proponents of criticizing the financial models is Nassim Taleb. Taleb s main point of criticism is that the existing financial models use standard deviation as a measure of risk. He argues that because the standard deviation depends on the normal distribution, the models do not capture the extreme events that we especially have seen in the fall 2008 and is therefore not a good proxy for the future risk. Due to the chance of extreme events happening he introduces the term Black Swans as a symbol of unforeseen events with a huge impact on the financial markets. These Black Swans are not currently incorporated into the financial models and are therefore not taken account of in the pricing of options for example. All this indicates that it might be possible to outperform the market by using options to hedge against the negative Black Swans and at the same time benefit from the positive Black Swans. The main purpose of this thesis is to examine whether it is possible to generate excess return with the assumption that the financial markets do not act as the theory dictates. This will be examined by checking whether a portfolio containing deep out-of-the-money options can outperform a well-diversified market portfolio with the knowledge of Black Swans. With this knowledge the optimal composition of a portfolio will be examined and the optimal option strategy will be found. Additionally, the effect of the return distribution on the options price setting will be tested. Finally it will be examined how the full risk can be described in a portfolio containing options. First, Nassim Taleb s investment strategy was applied to see if it was possible to generate excess return. Before examining the performance of the portfolios it was necessary to study the points of criticism as reason for making the investment strategy. First of all it was shown that the market return (S&P 500) was not normally distributed. As indicated above this means that the regular financial models are based on false assumptions. Furthermore, the most commonly used option pricing model, Black-Scholes, prices options incorrectly. To check whether other option pricing methods were more valid, a GARCH-test was performed. It was found that the GARCH-in-mean model produces return distributions more equivalent to the real world return distribution. A comparison of the two option pricing methods indicated that

3 Black-Scholes undervalued out-of-the-money options compared to a GARCH-in-mean model. The GARCH-in-mean though is neither a complete option pricing model because the Black Swans is hard to incorporate in a model. This idea is used in Nassim Taleb s investment strategy and thereby is another incentive for using deep out-of-themoney options in your investment strategy. This result was compared to other similar papers which gave the same conclusion. Deep out-of-the-money options seem to be underpriced and furthermore the underpricing seems to be increase as time to maturity increases. Afterwards, it was examined whether Nassim Taleb s investment strategy could create excess return in the period This was done by creating a strategy based on the three parameters out-of-the-money strikeprice, time to maturity and percentage change in the underlying before selling the option. This examination did not give any clear-cut indicator of which parameters in the option strategy that generated the best return. The optimal call strategy was to buy call options 5% out-of-the-money, 1 month to maturity and sell back in case of a 5% change in the underlying. The optimal put strategy was on the other hand to buy put options 15% out-of-the-money, 3 month to maturity and sell back in case of a 10% change in the underlying. The option strategies were combined with an investment in a risk free asset and hereby three portfolios were created. The options strategy in portfolio I was to buy a strangle position with a predetermined spread around the at-the-money price and a fixed time to maturity. Therefore the optimal call option was combined with put options bought 5% out-of-themoney, 1 month to maturity and sell back in case of a 5% change in the underlying which was the optimal composition with 1 month to maturity and sell back in case of a 5% change in the underlying. In portfolio II there was no predetermined spread. In this portfolio, the two optimal put and call strategies where combined. Both these portfolio gave a performance lower than the market return in the period. Alternatively, a third portfolio was created. In portfolio III the option strategies were combined with an investment in the market (S&P 500) instead of the risk free investment. Other than that only put options were purchased to hedge against negative Black Swan and let the market benefit from the positive Black Swans. This portfolio performed slightly worse than the market. To evaluate the performance further the portfolios where incorporated into CAPM. To get a more accurate measure of performance we adjusted the CAPM to account for the skewness and excess kurtosis in the portfolio s return distributions. This

4 adjustment does not fully capture the skewness and excess kurtosis but provides a better overall performance measure. The positive skewness is highly valued by investors but this skewness cannot be measured in existing models, even the adjusted CAPM. The general underperformance of the portfolios is partly because of the skewness and kurtosis but if it was possible to buy options on other assets than only the S&P 500 index it would probably result in an increased performance because more Black Swans could be captured. The thesis is divided into 4 parts. Fundamentally, the thesis is based on the ideas and thoughts of Nassim Taleb and part I will initially introduce Nassim Taleb and his ideas. Part I will furthermore address the theoretical pricing of options and alternative pricing methods. Additionally CAPM will be introduced. Part II will primarily focus on the data processing and the creation of the option model. In addition the optimal composition of the option strategy will be evaluated. In part III the performance evaluation of the options strategies will be described. Besides that alternative option strategies will be tested. Finally CAPM will be used to evaluate whether the portfolios can create excess return. Part IV will conclude the thesis and put the results of the thesis in perspective.

5 Indholdsfortegnelse 1 Indledning Problemformulering Datamateriale Afgrænsning Dataprogrammer Struktur i opgaven... 5 Del I - Teori 2 Nassim Taleb og Black Swans Grundlæggende ideer og tankegang Nassim Talebs investeringsstrategi Black Swans i datasættet Teori om optionsprisfastsættelse Black-Scholes Praktisk optionsprisfastsættelse Fordeling af afkast Test af normalfordeling Volatility smile Effekt af manglende normalfordeling Alternative modeller til optionsprisfastsættelse Test af GARCH Beskrivelse af simulation Resultat af Monte Carlo-simulation Sammenligning med andre forfattere Capital Asset Pricing Model Porteføljeteori og Capital Market Line CAPM og Security Market Line Delkonklusion Perspektivering til praksis Del II - Praktisk undersøgelse 6 Databehandling Investeringsstrategi Parametervalg Valg af data Markedsafkast og risikofri rente Modellens opbygning Programmering af model i VBA... 52

6 Programmering af optionstabel Programmering af model Problematik omkring optionsstrategien Modellens begrænsninger Alternativ test af modellen Beskrivelse af output Udregning af afkast Beskrivelse af afkast Afkastenes fordeling Følsomhedsanalyse Optimal parametersammensætning Tendenser i outputtet Delkonklusion...73 Del III - Performancemåling 9 Beskrivelse af porteføljerne Portefølje I og II Alternative porteføljer Capital Asset Pricing Model Korrektion af CAPM Porteføljernes afkastfordeling Antagelser i CAPM Udledning af korrektion Praktisk porteføljeteori Performancemåling af porteføljerne Delkonklusion...93 Del IV - Konklusion 12 Konklusion Perspektivering Litteraturliste Primær litteratur Sekundær litteratur Indholdsfortegnelse over bilag...105

7 Oversigt over figurer Figur 1 Udviklingen i Dow Jones Figur 2 Afkastfordeling på S&P 500 inkl. dividender Figur 3 Implicit volatilitet for call-optioner Figur 4 Volatiliteten på S&P 500-indekset fra Figur 5 Forskel i prisfastsættelse mellem Black-Scholes og GARCH-in-mean (α=0,0825 og β=0,9119) Figur 6 Forskel i prisfastsættelse mellem Black-Scholes og GARCH-in-mean (α=0,28 og β=0,71) Figur 7 Fejlprisfastsætning for forskellige strikekurser for call-optioner Figur 8 Risk-return diagram Figur 9 Korrelation mellem to aktiver Figur 10 β-return diagram Figur 11 Udvikling S&P 500 med købte optioner Figur 12 Illustration af optionsstrategi Figur 13 Kodernes udvælgelsesproces Figur 14 Handelsvolumen for put-optioner Figur 15 Afkastfordeling af optionsstrategien call Figur 16 Optionsstrategiers afkast over perioden Figur 17 Udvikling i de sammensatte porteføljer samt to alternative investeringsmuligheder Figur 18 Udviklingen i portefølje III overfor S&P 500-indekset Figur 19 Afkastfordeling af porteføljer med og uden optioner Figur 20 Capital Market Line med de kreerede porteføljer Figur 21 Security Market Line med de kreerede porteføljer... 92

8 Oversigt over tabeller Tabel 1 Resultat af AR-GARCH test Tabel 2 GARCH-in-mean simulerede værdier Tabel 3 Beskrivende statistik for afkastfordelinger Tabel 4 Opstilling af modellens variable Tabel 5 Eksempel på optionstabellen Tabel 6 Udsnit af outputtet i modellen Tabel 7 Årlige afkast på call-options porteføljerne Tabel 8 Årlige afkast på put-option porteføljerne Tabel 9 Korrelationskoefficienter... 91

9 1 Indledning De finansielle markeder har ændret sig meget gennem tiden, og specielt det seneste år har man oplevet store ændringer i den finansielle verden. Det har givet anledning til en dybere revurdering af, om verden nu engang ser ud, som alle finansielle teorier og eksperter har beskrevet den indtil nu. Risiko er et begreb, der stort set altid spiller en rolle i beskrivelsen af et aktiv. En investor vil altid spørge sig selv, hvilket afkast vedkommende kan få i forhold til den risiko, der er forbundet med aktivet. Men hvordan defineres denne risiko egentlig? Oftest bruges volatiliteten eller standardafvigelsen, men beskriver dette mål egentlig den fuldstændige risiko? Desuden har historien vist, at den standardafvigelse, som beskriver et aktiv historisk, ikke nødvendigvis vil afspejle fremtiden. Risikoen ved et aktiv kan være en langt mere kompleks størrelse end blot at beskrive standardafvigelsen, og det har de hypervolatile markeder i slutningen af 2008 i særdeleshed vist. Et yderligere problem ved de normale finansielle teorier er den sandsynlighedsfordeling, de bruger. Normalfordelingen, som vidt og bredt er brugt til at beskrive markederne, har ofte været stærkt kritiseret, og med de enorme svingninger der er oplevet i eksempelvis aktiemarkederne, er kritikken blot taget til i styrke. En af kritikerne er Nassim Taleb, som ikke mener normalfordelingen tager højde for de ekstreme events, der netop er set i finansmarkederne under finanskrisen. Det bør derfor endnu en gang vurderes, om de finansielle teorier, som bygger på denne fordeling, rent faktisk beskriver virkeligheden, som den er. Endnu vigtigere bør det undersøges, hvorvidt denne viden om en forkert fordeling kan bruges til at skabe et overnormalt afkast i de markeder, vi ser i dag. Optioner er et af de finansielle instrumenter, som bliver anvendt mere og mere for at sikre mod denne usikkerhed. De er blevet meget populære til afdække risiko, men optionerne kan muligvis også udgøre en gunstig investering i sig selv. 1.1 Problemformulering Denne opgave vil forsøge at undersøge, hvorvidt det er muligt at skabe et overnormalt afkast ud fra en antagelse om, at de finansielle markeder ikke opfører sig, som teorien ellers tilsiger. Den berømte trader Nassim Taleb er blandt de største kritikere af de normale finansielle teorier, og opgaven vil derfor bruge Taleb s 1

10 indgangsvinkel til at forsøge at skabe et overnormalt afkast. Dette leder frem til opgavens hovedspørgsmål: Kan en portefølje indeholdende deep-out-of-the-money optioner outperforme en veldiversificeret markedsportefølje grundet Black Swans? Følgende underspørgsmål vil forsøge at afdække emnet, hvorved der er det bedste grundlag for at besvare hovedspørgsmålet. - Hvilken effekt har fordelingen af det underliggendes afkast på optionsprisfastsættelsen? - Hvad er en Black Swan, og hvordan kan disse påvirke en investeringsstrategi? - Hvordan sammensættes en optionsportefølje optimalt ud fra viden om Black Swans? - Hvordan beskrives den fulde risiko i en portefølje med optioner, og hvordan påvirker det performancemålingen af en sådan portefølje? 1.2 Datamateriale I dette afsnit præsenteres datamaterialet, der danner grundlag for de senere empiriske studier. Det datamateriale, der er anvendt i opgaven, er blevet kritisk behandlet og gennemgået. Optionspriserne for S&P 500-indekset i perioden er anskaffet fra Market Data Express, som er en database med optionsdata fra alle amerikanske aktier og indeks. Market Data Express samarbejder med Chicago Board Options Exchange, som er den amerikanske optionsbørs. Dataene anses derfor som værende valide. Rådataen fra Market Data Express var alle optioner på S&P 500, hvilket vil sige europæiske optioner, mini-optioner, leap-optioner og quarterly optioner, og det vil blive forklaret senere, hvorledes der er sorteret og udvalgt i dette datasæt. Udover optionspriser har det været nødvendigt med en række priser på andre aktiver til porteføljedannelse. S&P 500-indekset er valgt som markedsindeks, og 2

11 udviklingen i dette indeks er fundet ved hjælp af Datastream. Det har desuden været nødvendigt at finde udviklingen i indekset korrigeret for dividender, og her har Bloomberg brugbare serier. Endelig er der fundet historiske aktiepriser for enkelte aktier og en ti-årig amerikansk statsobligation, og her er yahoo.finance.com anvendt. Aktiekurser er faktuelle priser, og ingen af de nævnte kilder giver derfor anledning til indledende kildekritik. 1.3 Afgrænsning Opgaven vil først og fremmest afgrænses til et bestemt marked. Da Nassim Taleb primært har opereret på det amerikanske marked, vil denne opgave ligeledes afgrænses til kun at foretage investeringer på det amerikanske marked. Den finansielle verden er i dag utrolig global, og Taleb har derfor også udvidet sine investeringer til andre markeder for at diversificere sig, men det ville kræve et langt større datasæt for denne opgave, og for simplificering er der derfor valgt udelukkende at undersøge det amerikanske marked. Dette kan naturligvis få indflydelse på resultaterne, da denne opgave derfor ikke kan opnå samme diversificering som Taleb og andre investorer. Herudover vil datamaterialet udgøre en stor del af afgrænsningen. Optionspriser er det primære datasæt, og det har ikke været muligt at få optionspriser på mere end ét underliggende aktiv. Taleb bruger i sin investeringsstrategi optioner på enkelte aktier, råvarer som eksempelvis guld og olie, valuta og en række andre aktiver. Det giver naturligvis en væsentlig begrænsning i opgaven og for opgavens investeringsmuligheder, at det kun er muligt at købe optioner på det amerikanske indeks, S&P 500. Denne begrænsning vil dog blive beskrevet og diskuteret meget dybere senere i opgaven. En yderligere afgrænsning, som datasættet giver, er tidshorisonten for opgaven. Det har kun været muligt at få optionspriser tilbage til 1. januar Samtidig er det relevant for opgaven, at tidshorisonten ikke er for lang, da en del af den grundlæggende tankegang bag opgaven er, at de finansielle markeder ændrer karakter over tiden. Perioden siden 1995 vurderes derfor til at have den rette længde til en opgave af denne karakter. Samtidig har det været nødvendigt at sætte en skæringsdato for sluttidspunktet af datasættet. For at arbejde med en fast periode er det valgt, at 31. december 2008 er sidste handelsdato i datasættet. Perioden 1/ / vil 3

12 derfor ligeledes være tidsperioden for samtlige øvrige aktiver, der vil blive behandlet i opgaven. Opgaven vil ikke medregne eller tage højde for transaktionsomkostninger. Disse omkostninger vil naturligvis være yderst relevante ved at holde en dynamisk portefølje, som kræver mange handler og vil derfor bidrage med positiv bias. Investeringsstrategien er dog i forvejen præget af meget negativ bias, primært grundet den begrænsede investeringsmulighed til indeksoptioner. Det samlede resultat af disse modsatrettede effekter kan dog ikke konkluderes, men vil blive diskuteret sidst i opgaven. Optionsprisfastsættelse er naturligvis en helt central del af opgaven, men den praktiske brug af optioner i porteføljer er alligevel det primære område. Derfor vil opgaven heller ikke koncentreres fuldt ud om at finde alternative optionsprisfastsættelsesmetoder, da dette vil være et studie i sig selv. Opgaven afgrænses derfor til kun at fokusere på ganske få alternative modeller, og herudover sammenligne med øvrige forfatteres resultater for at finde konklusioner, der kan bruges til den praktiske del af opgaven. Vurderingen af den praktiske del er naturligvis et afgørende punkt i opgaven. Der findes utrolig mange måder at vurdere forskellige porteføljers performance, men den mest brugte er Markowitz generelle porteføljeteori og endvidere CAPM. Det er derfor også valgt at vurdere denne opgaves aktiver og porteføljer gennem CAPM, til trods for stærk kritik fra blandt andre Nassim Taleb, hvilket er en problemstilling, der vil blive diskuteret senere. Det er valgt hovedsageligt at koncentrere performancemålingen omkring denne model, da det som sagt er den mest velkendte porteføljeteori, og da den vurderer et enkelt aktiv eller en enkelt porteføljes performance. 1.4 Dataprogrammer Det er valgt primært at arbejde i Microsoft Excel, da dette er det eneste program, der reelt kan gå ind og udvælge bestemte værdier fra en tabel. Dette gøres gennem programmeringen bag Excel, Visual Basic for Application (VBA). Det vil således være muligt at programmere, hvorledes optionerne i porteføljen skal udvælges og desuden følge prisudviklingen i optionerne uden at skulle finde priserne manuelt. Brugervenligheden er altså klart størst i Excel, men funktionaliteten begrænses desværre 4

13 af, at programmet har svært ved at arbejde med meget store datamængder. Det er dog vurderet, at eksempelvis SAS ikke på samme måde vil kunne programmeres til at foretage optionsudvælgelsen, og derfor arbejdes der primært i Excel. Excel vil ligeledes blive brugt til samtlige grafiske præsentationer og tabeller, da programmet her udviser den største brugervenlighed og det bedste layout. Til statistiske undersøgelser vil Excel dog ikke kunne foretage ligeså grundige tests som andre rene statistikprogrammer, og det er derfor valgt at bruge SAS til øvrige statistiske tests. I forhold til Excel kan SAS programmeres til at foretage mere brugerdefinerede tests, og samtidig lider programmet ikke under reduceret funktionalitet ved arbejde med store datamængder. 1.5 Struktur i opgaven Opgaven vil blive delt op i fire dele. Grundlæggende er hele opgaven baseret på Nassim Talebs ideer og tankegang, og del I vil derfor indledes med en præsentation af Taleb. Her vil ideerne bag hans investeringsstrategier og hans kritikpunkter af andre finansielle teorier ligeledes blive gennemgået. Dette vil føre til, at opgaven gennemgående vil have fokus på Talebs ideer og hans tankegang bag Black Swans. Herefter vil del I endvidere beskæftige sig med den teoretiske optionsprisfastsættelse. Som nævnt i afgrænsningen vil dette afsnit ikke være det dominerende i opgaven, men problemerne omkring eksisterende prisfastsættelsesmetoder vil blive gennemgået. Her vil faktiske data for S&P 500 blive inddraget i undersøgelsen for at vurdere, om de eksisterende teorier hænger sammen med virkeligheden. Yderligere vil der blive fokuseret på at finde alternative prisfastsættelsesmodeller for at finde ud af, om de mest normale modeller under- eller overprisfastsætter optioner. Disse resultater vil danne grundlaget for den praktiske undersøgelse af brugen af deep out-of-the-money (fremover OTM) optioner. Endeligt vil del I præsentere grundlaget for performancemålingen, CAPM. Del II vil omhandle selve databehandlingen. Selve datasættet vil blive beskrevet i detaljer, og estimering af samtlige variable, der skal bruges i den praktiske undersøgelse, vil ligeledes blive præsenteret. For at forstå hvorledes den opbyggede model i VBA fungerer, vil denne blive beskrevet relativt detaljeret. Resultaterne fra modellen vil blive evalueret gennem en følsomhedsanalyse af de forskellige variable, 5

14 der bliver brugt i undersøgelsen. Dette vil endelig føre til en vurdering af den optimale strategi, hvorved optionerne købes. Del III vil behandle performancemålingen af modellen. Indledningsvis vil porteføljernes generelle performance blive beskrevet. Herunder vil der være sammenligning af udviklingen i porteføljerne med markedsafkastet. Desuden vil det blive undersøgt, hvorvidt det er muligt at danne andre porteføljer, der optimerer brugen af optionerne yderligere, end måden hvorpå Taleb bruger dem. Endelig vil del III gennem CAPM vurdere, hvorvidt disse porteføljer kan skabe et overnormalt afkast. Del IV vil endeligt konkludere på opgaven og perspektivere resultaterne til den praktiske finansielle verden. 6

15 Del I - Teori 7

16 2 Nassim Taleb og Black Swans I dette afsnit vil der først komme en introduktion af Nassim Taleb og en gennemgang af hans grundlæggende tanker og anvendeligheden ved Black Swans. Derefter en gennemgang af hvordan Nassim Talebs ideer og tankegang bliver anvendt i hans investeringsstrategi. 2.1 Grundlæggende ideer og tankegang 1 Forfatter til bogen The Black Swan Nassim Nicholas Taleb er tidligere derivathandler for flere store investerings banker på Wall Street. Efter flere år i den finansielle verden debuterede han som forfatter med lærebogen Dynamic Hedging (1997). Udover lærebøger har Nassim Taleb ligeledes skrevet mere filosofiske bøger omkring risiko og tilfældigheder, bl.a. Fooled by Randomness (2004) og The Black Swan (2007). Nassim Taleb kalder sig selv for en skeptisk empiriker og mener selv, at hans hobby er at drille folk, der tager dem selv og kvaliteten af deres arbejde for seriøst, og dem som ikke har modet til at svare: Jeg ved det ikke. (Taleb, Nassim N.) I 1998 grundlagde han hedgefonden Empirica LLC, som han byggede på en investeringsstrategi baseret på optioner. Den var udviklet til at beskytte investorer mod ekstreme fald i markedet, idet investorerne maksimalt kunne tabe 13% om året. Empirica LLC lukkede i 2004 efter kun 6 år. Årsagen hertil skal findes i, at fonden spillede på store fald i markedet. Disse fald forekom kun i tiden efter IT-boblen, hvor Empirica LLC havde et årligt afkast på over 60%, mens den gennemsnitlige hedgefond kun havde et årligt afkast på 5%.(Patterson, S 2007) I den resterende periode underperformede fonden de øvrige hedgefonde, og investorerne blev utålmodige og trak deres kapital tilbage. I dag er Nassim Taleb rådgiver for hedgefonden Universa Investments LP, hvis investeringsstrategi ligeledes er baseret på sikring mod ekstreme events. Selve begrebet Black Swan stammer fra antagelsen om, at alle svaner er hvide. I den sammenhæng var en sort svane en metafor for ting, der ikke kunne eksistere. I det 17. århundrede opdagede man dog sorte svaner i Australien, og derved ændredes metaforen til at have betydningen af, at noget, der anses for værende umuligt, rent faktisk kan forekomme. Derudover defineres det som værende uforudsete events, der har stor konsekvens og indtager en stor rolle i historien. Det er denne metafor, som 1 Hele afsnittet bygger på Nassim Talebs The Black Swan (2007). 2 I afsnittet Capital Asset Pricing Model. 8

17 Nassim Taleb bruger i bogen The Black Swan. I bogen beskrives begrebet som en outlier, en hændelse som ligger udenfor opfattelsen af, hvad der er almindeligt. Af historiske Black Swans kan der nævnes flere eksempler: Opfindelsen af hjulet og computeren, Googles succes og terrorangrebet 11. september Det mest åbenlyse eksempel på en Black Swan er dog Black Monday. Ifølge Nassim Taleb selv tjente han 97% af alt, hvad han har tjent i hele sin tid som trader, da Black Monday indtraf den 19. oktober 1987.(Baker, S. 2008) På den handelsdag faldt Dow Jones indekset med næsten 23%. Perioden op til krakket på markederne over hele verdenen var præget af meget stigende markeder. Dog er der ikke fundet en entydig direkte årsag til det pludselige kursfald. Tendensen i markedet på dette tidspunkt var, at selskaber opkøbte og fusionerede med konkurrerende selskaber eller skabte nye produktområder. Filosofien var at selskaberne ville vokse eksponentielt blot ved kontinuerlige opkøb af andre virksomheder.(koning, J. 2005) Figur 1 Udviklingen i Dow Jones Kilde: samt egen tilvirkning. Udviklingen kan ses i Excel-arket Dow Jones på vedlagte CD-rom. Til forskel fra Black Thursday i 1929 blev Black Monday ikke efterfulgt af flere års recession, men var en enkeltstående hændelse.(koning, J. 2005) Som det kan 9

18 ses ud af grafen var perioden lige efter Black Monday præget af stor volatilitet, hvor der umiddelbart efter indtræffelsen af den negative Black Swan ligeledes var store positive udsving. Nassim Taleb mener derimod ikke, at den nuværende finanskrise kan betragtes som en Black Swan, idet der er flere faktorer, der har kunnet antyde, at der var noget stort undervejs. I bogen, som er udgivet i maj 2007, skriver han, at på grund af den øgede globalisering og sammenslutningen af banker indenfor den finansielle sektor, er alle banker nu interrelateret. Dermed mener han, at hvis én bank kommer i problemer, kommer alle banker i problemer. Derudover nævner han ligeledes, at risikoen i det offentligt støttede Fannie May i 2006 var så stor, at han sammenlignede det med at sidde på en tønde fyldt med dynamit. Nassim Taleb mener derfor ikke, at finanskrisen kan karakteriseres som en Black Swan, da det ikke var en uforudset hændelse. Nassim Taleb beskriver i bogen, at folk forventer, at alle svaner er hvide, fordi det er, hvad forventningen fortæller dem. Derfor er Black Swans per definition overraskelser. På trods af dette vil folk efterfølgende prøve at forklare disse events, og dermed prøve at få dem til at se mere forudsigelige ud. Nassim Taleb beskriver ligeledes, at Black Swans også afhænger af mængden af information. Som eksempel bruger han en kalkuns opfedning gennem flere måneder. I denne tid tror kalkunen, at landmanden er yderst interesseret i dens velfærd, men når dagen kommer, hvor kalkunen skal slagtes, indtræffer en Black Swan. Det har dog aldrig været en Black Swan for landmanden, at kalkunen skulle slagtes. Dermed er det mængden af informationen tilgængelig for de forskellige parter, der ligeledes er afgørende for, hvorvidt det er en Black Swan eller ej. Et andet vigtigt element i bogen er, at man ikke skal prøve at forudsige Black Swans, da de som før omtalt per definition er uforudsete hændelser. I stedet for at forudsige dem skal man i stedet forebygge de negative. Derudover er det vigtigt også at være beredt på at drage fordel, når de positive Black Swans forekommer. Disse aspekter kan overføres direkte til den finansielle verden, hvor de mest gængse modeller såsom Black-Scholes modellen, Value-at-Risk-modellen (VaRmodellen) og mange flere alle antager, at afkastene er normalfordelte. Outliers tilskrives altså meget lave sandsynligheder, og derfor vil Black Swans ikke være medregnet i modellerne, og validiteten af disse modeller mindskes. 10

19 Standardafvigelse bruges ofte som et enkeltstående risikomål, men Taleb mener langt fra, at dette giver et korrekt billede af risikoen, hvilket vil blive beskrevet senere 2. Dette kritikpunkt af standardafvigelse fører også til en generel kritik af flere anerkendte finansielle modeller som eksempelvis VaR-modellen. VaR er et simpelt risikomål, der ofte er anvendt i praksis af finansielle virksomheder til opgørelse af markedsrisici. VaR er helt generelt et udtryk for det potentielle tab i et aktivs værdi over en given periode med en given sandsynlighed under normale markedsbetingelser.(nocera, J. 2009) Det er præcist det, at den måler risikoen ud fra et normalt marked, der er problemet, da Taleb netop mener, at den største risiko ikke findes i et normalt marked. Formelt kan det skrives således: 3 VaR = MV σ MV T Z α Som det fremgår af ovenstående formel, er risikomålet en funktion af standardafvigelsen, og er derfor nærmere et udtryk for usikkerhed end et udtryk for risiko. Derudover er VaR-målet afhængig af en fordelingsantagelse, der kan tage højde for ekstreme tilfælde. I den almindelige form anvender VaR-modellen en normalfordeling, hvilket ofte ikke er tilfældet for finansielle aktiver, og som også vil blive behandlet senere i opgaven. Et andet problem med VaR-modellen er, at den ofte er udregnet på korte tidshorisonter med den antagelse, at dagen i morgen ligner dagen i dag. Den historiske VaR måler den potentielle risiko et par år frem i tiden, men kun med et par år som benchmark. Hvis man havde anvendt årene til at beregne den historiske VaR, som benchmark til hvad der ville ske i , rammer man toppen af bolig-boblen. Dette er derfor ikke en god indikator for, hvad der rent faktisk skete.(nocera, J. 2009) Det er ikke kun VaR-modellen, Nassim Taleb kritiserer. Andre meget anvendte modeller og værktøjer såsom Capital Asset Pricing Model (CAPM) og Sharpe-ratio bliver også kritiseret. Talebs generelle kritik af moderne porteføljeteori bunder i statistikken bag teorien. I statistik anvendes store tals lov; hvis stikprøvestørrelsen er stor, kan en enkelt observation ikke ændre markant på stikprøven. Dette er meget rammende i mange tilfælde, men loven er baseret på fordelinger, som ikke altid holder i den virkelige verden.(webb, A. 2008) Statistikken er ofte baseret på 2 I afsnittet Capital Asset Pricing Model. 3 Komponenterne i VaR er markedsværdi (MV), standardafvigelse (σ MV ), tidshorisonten (T) og en fordelingsantagelse (Z α ). 11

20 spil, som ikke ligner den virkelige verden. I en normalfordelt verden har en almindelig terning værdierne 1 til 6, men i virkelighedens finansielle verden burde værdierne være ganske anderledes. Grundet tilstedeværelsen af de helt ekstreme tilfælde burde terningen i stedet have værdierne 1 til 5 og så en helt ekstrem værdi. Derfor tager statistikken bag den moderne porteføljeteori ikke højde for de ekstreme tilfælde. Den bruger standardafvigelse til at beskrive risiko, hvor den største risiko derimod kommer fra enkelte observationer.(webb, A. 2008) Denne kritik af flere moderne finansielle modeller og redskaber er det dog ikke alle, der er enige med Nassim Taleb i. Det primære kritikpunkt kommer bl.a. fra Robert Engle, en tidligere Nobel-pris modtager, som ikke mener, at Nassim Taleb tager højde for anvendelsen af Extreme Value Theory i praksis, som ofte anvendes til at bedømme risikoen i forsikringsverdenen men også i finansverdenen.(patterson, S. 2007) Det er en teori, der prøver at få det bedst mulige ud af den begrænsede information, der er omkring ekstreme observationer i de ønskede fordelinger.(aragones, J. et al 2000) Desuden bliver Nassim Taleb kritiseret for at have en arrogant og sløset indstilling til tingene.(callahan, G. 2007) Ifølge Callahan (2007) tager Nassim Taleb munden for fuld og drager forhastede konklusioner på områder, han ikke har indsigt i. Derudover kommer Nassim Taleb ikke med nye modeller eller korrektioner til de nuværende, som derved kan anvendes i praksis. Han kritiserer på et grundlag, hvor han ikke selv kan komme med alternativer. Dette hænger naturligvis sammen med, at man aldrig vil kunne estimere det ukendte, da det per definition er ukendt. Derudover kan det siges, at det eneste, der er konstant i den finansielle verden, er forandring. Yderligere kritik af modeller og teorier sker løbende igennem opgaven. 2.2 Nassim Talebs investeringsstrategi For at kunne tage højde for Black Swans er det nødvendigt at have inkorporeret dem i en investeringsstrategi. Det er ikke muligt at forudsige dem, men det er derimod muligt at sikre sig mod de negative udfald og samtidig drage fordel af de positive Black Swans. I bogen introducerer Nassim Taleb en investeringsstrategi, der netop opfylder dette. Det er den samme strategi, som han selv anvendte i Empirica LLC. Det går i alt sin enkelthed ud på at investere 85-90% i meget sikre finansielle instrumenter, såsom statsobligationer, og de resterende procenter skal derudover investeres i ekstremt spekulative finansielle instrumenter. På den måde sikrer man, at 12

21 man ikke taber mere end den sikre kerne plus afkastet fra den risikofrie investering det år på trods af et markeds kollaps. De spekulative investeringer er små væddemål på, at der sker store ændringer i netop dét aktiv. Derfor er det vigtigt at have flere forskellige små væddemål, så de ikke er koncentreret omkring en specifik sektor eller lignende.(baker, S. 2008) Til forskel fra Nassim Talebs investeringsstrategi begrænser opgavens optionsstrategi sig til kun at købe optioner i S&P 500. Det vil sige, at der ikke kan spilles på andre enkelte aktiers eller commodities Black Swans. Sandsynligheden for, at en Black Swan på enkelte aktiver indtræffer, er naturligvis højere, da eksempelvis en enkelt akties Black Swan ikke har stor effekt i et bredt indeks som S&P 500. Det er en begrænsning i opgavens investeringsstrategi, hvori der kunne ligge store indtjeningsmuligheder, hvis investeringsstrategien skulle udføres i praksis. 2.3 Black Swans i datasættet I perioden , som datasættet i opgaven omhandler, har der været flere Black Swans. For at blive karakteriseret som en Black Swan skal hændelsen være uforudset og have stor indflydelse, men denne betydning begrænser sig dog ikke til den finansielle verden. En Black Swan er desuden ikke betinget af at have en negativ effekt. Af positive Black Swans kan således nævnes Googles pludselige enorme succes. Efter lanceringen i 1998 er det kun gået en vej for Google. Her skal indflydelsen af en Black Swan ikke måles i penge, men snarere i popularitet og indflydelse i informationssøgning. Der har i perioden dog været flere negative Black Swans. Her tænkes blandt andre på IT-boblen, terrorangrebet den 11. september 2001 og tsunamien i Sydøstasien. Af Black Swans, der har haft indflydelse på de finansielle markeder, er IT-boblen og terrorangrebet 9/11 de mest iøjnefaldende. Det forventes derfor, at perioden efter IT-boblen vil generere store afkast i Nassim Talebs investeringsstrategi. Perioden var præget af stor usikkerhed, og markedet faldt indenfor 3 måneder med over 15%. Derved giver det store muligheder for gevinster i optionsporteføljen. Terrorangrebet var uforudset, og indflydelsen på verdenen efter hændelsen har været meget stor, både på de finansielle markeder og lige så meget i den politiske verden og er derfor et klassisk eksempel på en Black Swan. De amerikanske markeder var lukket i en uge efter angrebet, og herefter faldt markedet 10% indenfor 14 dage. Det forventes ligeledes her, at optionsstrategien ud fra Nassim Talebs teori kan give de helt store gevinster. 13

22 Det er som tidligere omtalt ikke et kriterium for en Black Swan, at den skal have en effekt i den finansielle verden. Dette var blandt andet tilfældet med tsunamien i Sydøstasien, som ikke medførte store fald i markedet, men derimod havde den en stor effekt på andre områder. Antallet af Black Swans er begrænset i opgavens periode, men dette hænger også sammen med, at der i en periode på 15 år ikke kan forventes at være særlig mange hændelser, der kommer helt uventet, og som efterfølgende har en stor indflydelse på verdenen. 3 Teori om optionsprisfastsættelse Optionsprisfastsættelsen vil have afgørende betydning for den senere investeringsstrategi. Det vil derfor være væsentligt at undersøge manglerne ved de eksisterende prisfastsættelsesmetoder, og derved undersøge om der er et teoretisk grundlag for at bruge Talebs ideer i praksis. 3.1 Black-Scholes I starten af 70 erne udviklede Fisher Black og Myron Scholes i samarbejde med Robert Merton en revolutionerende metode til at prisfastsætte optioner. Ideen bag deres opdagelse var, at optionsprisen og aktieprisen er perfekt korreleret over meget korte tidsintervaller, idet de består af den samme ukendte faktor nemlig aktieprisen. Ved at konstruere en replikerende portefølje for optionen bestående af det underliggende og den risikofrie rente, kunne denne ukendte faktor afskaffes, og porteføljen kan prisfastsættes ud fra den risikofrie rente. Ved denne antagelse simplificeres udledelsen af optionsprisen, da det antages, at vi bevæger os i en risikoneutral verden. Denne tankegang leder frem til Black-Scholes partial differential equation (PDE), som kan løses, og derved udledes prisen af en europæisk calloption.(hull, J. 2006, s ) For at prisen på optionen kan udledes, skal PDE først og fremmest opfylde de åbenlyse kriterier: C(0,t) = 0 for alle t C(S,t) S når S C(S,T) = max(s-k,0) 14

23 Det nederste kriterium er et simpelt udtryk for optionens værdi ved udløb, mens optionens værdi på ethvert andet tidspunkt er væsentligt mere kompleks. Denne værdi kan udtrykkes: e rt E max (S T K, 0) Ved hjælp af ovennævnte antagelser og Black-Scholes PDE kan det vises, at værdien af en europæisk call-option er: c = e rt S 0 N d 1 e rt KN(d 2 ) 4 Værdien af en europæisk put-option kan heraf udledes ud fra put-call pariteten og vil derfor se således ud: p = e rt KN d 2 S 0 e rt N( d 1 ) For at forstå udtrykkene for optionernes værdi nærmere, er det nødvendigt at dykke dybere ned i de enkelte leds betydning. Det er enklest at kigge på call-optionen først, da put-optionen som sagt blot er en videreudvikling via put-call pariteten. Det første led af formlen angiver en tilbagediskontering med den risikofrie rente, og udtrykket i den kantede parentes angiver heraf værdien af optionen på tidspunkt T. Det første udtryk i den kantede parentes i call-optionen er den forventede nutidsværdi af S T, såfremt optionen ender i pengene. Udtrykket N(d 2 ) er sandsynligheden for, at optionen vil blive udnyttet i den risiko-neutrale verden, hvilket ganges med strikekursen.(hull, J. 2006, s. 296) Udover antagelsen om, at vi bevæger os i en risiko-neutral verden, bygger udledelsen på en række andre antagelser. 5 Størst kritik har forudsætningen, om at det underliggendes pris følger en geometrisk brownsk bevægelse (GBM) 6, modtaget. Uden at gå nærmere i detaljer omkring den geometriske brownske bevægelse består den af et drift-led, som angiver det forventede afkast og et volatilitetsled, som består af volatiliteten og en wiener-proces. Wienerprocessen trækker fejlled fra en normalfordeling, og heraf vil hele antagelsen om, at det underliggendes pris følger en GBM medføre, at det underliggendes afkast også skal følge en normalfordeling.(hull, J. 4 d 1 = ln S 0 K + r+δ2 2 T δ T, d 2 = d 1 δ T. 5 Alle forudsætninger for Black-Scholes kan ses i bilag 1 (Forudsætninger for Black-Scholes) I bilaget ses ligeledes effekter på optionsprisen ved ændring i de forskellige variable. 6 Geometrisk Brownsk Bevægelse: ds = μsdt + σsdw. 15

24 2006) Et andet væsentligt punkt omkring afkastenes fordeling er tidsvarierende varians. Black-Scholes antager, at variansen af det underliggende er konstant gennem optionens løbetid, men dette virker til at være langt fra den virkelige verden. Forholdet omkring afkastenes (manglende) normalfordeling og den tidsvarierende varians er de kritikpunkter, som vil blive analyseret dybere i det følgende. 3.2 Praktisk optionsprisfastsættelse Black-Scholes optionsmodellen er naturligvis kun på det teoretiske plan, men sammenhængen med virkeligheden er absolut til stede. Ved plain vanilla index optioner, som denne opgave behandler, vil prisfastsættelsen hænge nøje sammen med Black-Scholes. Når optionen bliver udstedt, sætter optionsdealeren prisen ud fra en teoretisk formel. Her vil det ofte være Black-Scholes, der danner grundlaget for prisfastsættelsen, men i tillæg korrigerer den enkelte dealer for forventningerne til prisen. Den initiale pris vil herefter blive handlet i markedet, og så vil det naturligvis være udbud og efterspørgsel, der regulerer prisen op og ned. Til trods for kritikpunkterne af Black-Scholes har modellen altså stadig afgørende indflydelse på optionspriserne i dag Fordeling af afkast Foregående afsnit indledte kritikken af Black-Scholes modellen og specielt problemet omkring fordelingen af det underliggendes afkast. Det er derfor nødvendigt at undersøge om disse afkast reelt følger en normalfordeling, som både Black-Scholes og en lang række andre finansielle og økonometriske modeller antager. Afkastene, der vil blive undersøgt, er naturligvis de daglige afkast fra S&P 500, da det er disse afkast, opgaven hovedsageligt vil dreje sig om. Herudover må det anses som mere sandsynligt, at et indeks afkast følger en normalfordeling, end tilfældet er for en enkelt akties afkast. Et indeks vil repræsentere en lang række aktier, og et indeks kan således betragtes som en større stikprøve end en enkelt aktie, da eventuel bias højst sandsynligt vil være elimineret i indeksets afkast. Normalfordelte afkast vil derfor være mere sandsynlige for indekset jævnfør den centrale grænseværdisætning, og såfremt en normalfordeling kan afvises for S&P 500, må det derfor være plausibelt, at det er de færreste enkelte aktiers afkast, der følger en normalfordeling. 7 Efter interview med Benjamin Falkeborg, derivathandler i Danske Bank. 16

25 3.3.1 Test af normalfordeling For at undersøge om afkastet fra S&P 500 følger en normalfordeling undersøges det daglige afkast fra indekset i perioden Denne periode er samme periode, som senere vil blive undersøgt via optionsstrategien, og denne strategis afkast bygger på, at antagelsen om normalfordeling ikke er opfyldt i lige nøjagtig denne periode. Samtidig kan der argumenteres for, at daglige priser gennem 14 år, ca observationer, vil udgøre en tilstrækkelig stor stikprøve til, at der kan foretages en retvisende konklusion på fordelingen. Endelig ændres markedsforholdene hele tiden, så en stikprøve bestående af månedlige observationer gennem eksempelvis 100 år ikke nødvendigvis vil afspejle de aktuelle afkast i det nuværende marked. Nassim Taleb siger netop, at markedet har ændret sig radikalt siden Black Monday i 1987, og heraf vil det være mere naturligt at undersøge dagligt afkast i et mere rettidigt marked. Som sagt, ændres markedet hele tiden, og specielt indenfor det sidste år er der sket voldsomme ændringer. Dette kan der ikke korrigeres for, og derfor vil det for opgavens relevans være mest naturligt at undersøge fordelingen af afkast over samme tidsperiode, som der senere bruges til optionsporteføljen. For at undersøge afkastenes fordeling vil der blive brugt logaritmiske afkast frem for simple afkast. De logaritmiske afkast har en række egenskaber, der gør, at de er bedre til statistiske tests. For det første optræder logaritmiske afkast som kontinuerte afkast, hvilket gør det nemmere at bruge i stokastiske tidsserier og dermed også i langt de fleste finansielle modeller. Dette forøger desuden sandsynligheden for stationaritet i afkastene, hvorved de statistiske tests bliver mere retvisende. Endelig vil simple diskrete afkast ofte være præget af negativ skævhed, men ved transformeringen til logaritmiske afkast vil denne skævhed ofte blive rettet op. Dette skyldes det faktum, at afkastberegningen nu foretages kontinuerligt. Dermed konstateres det også, at der er en lille forskel mellem diskrete og kontinuerte afkast, men denne forskel vil stort set være ubetydelig over korte tidsperioder. Over længere tidsperioder vil denne forskel dog betyde, at logaritmiske afkast giver en negativ afvigelse i forhold til den reelle udvikling. Dette vil der blive kommenteret yderligere på senere i opgaven. Indledningsvis undersøges afkastene grafisk, og her er det relativt enkelt at se, at der er en del flere observationer i midten end en normalfordeling tilsiger. Desuden er der en ikke ubetydelig mængde observationer langt ude i halerne. Det er disse observationer, der er centrale for opgaven, da de udgør Nassim Taleb s Black Swans, 17

26 hvilket vil blive analyseret meget nærmere senere. I første omgang tyder både de tykke haler og den høje centrering på, at der er en stor excess kurtosis og derfor en tvivlsom normalitet. Der kan ikke umiddelbart observeres nogen skævhed. Figur 2 Afkastfordeling på S&P 500 inkl. dividender Kilde: Egne beregninger ud fra udviklingen på S&P 500 inkl. dividender i perioden Udregningerne kan ses i Excel-arket S&P 500 på vedlagte CD-rom. Note: Det er de daglige log-normale afkast, der er beregnet. Ved udregning af skævhed og kurtosis er det ligeledes tydeligt, at kurtosis er det store problem for normaliteten. En værdi på 12,2 angiver som forventet en stor excess kurtosis, og Nassim Taleb har derfor med al sandsynlighed ret i sine antagelser om, at der er langt flere ekstreme tilfælde i de finansielle markeder end en normalfordeling tilsiger. Desuden viser testen, at der er en lille negativ skævhed, som stort set altid er tilfældet i aktieafkast. 8 Endelig testes normaliteten via en Jarque Bera-test (JB), som groft sagt tager forskellen på den faktiske fordeling og en reel normalfordeling. Jo større afvigelse fra 0 vil derfor naturligvis modsige normalitet, og der testes derfor med nulhypotesen om, at JB-værdien er 0. Testen viser en JB-værdi på , og normalitet kan derfor med stor sikkerhed afvises. 8 Hele testen kan ses i bilag 2 (Eksempel på SAS koder til test af normalitet og resultater). 18

27 3.4 Volatility smile Som beskrevet ovenfor kan det diskuteres, hvorvidt Black-Scholes modellens antagelser holder i virkeligheden. I Black-Scholes modellen antages det, at der for alle strikekurser er konstant volatilitet, men i praksis ses det derimod, at volatiliteten varierer over samme strikekurs. Dette kaldes et volatilitetssmil. Alt afhængig af det underliggende aktiv kan dette smil være mere eller mindre symmetrisk. Smilet i den implicitte volatilitet kan være et resultat af markedets tro på, at udviklingen i de fremtidige afkast ikke er normalfordelte. Dette hænger godt sammen med ovenstående omkring afkastenes fordeling og flere empiriske studier.(sundkvist, K. 2001) Et eksempel på et volatilitetssmil kan ses i nedenstående figur 3. Her er der udregnet implicitte volatiliteter på S&P 500 optioner med forskellige strikekurser. Figur 3 Implicit volatilitet for call-optioner 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, ,5 måneders løbetid 5,5 måneders løbetid Kilde: Egne beregninger ud fra S&P 500-indeksets bevægelser. Udregningerne kan ses i Excel-arket Implicit volatilitet på vedlagte CD-rom. Note: Den implicitte volatilitet er udregnet fra den første handelsdag i 2007 (3/1-07), hvor alle strikekurser på handelsdagen er beregnet. Til udregnelse er Solver-funktionen i Excel anvendt. ATM-kursen ligger på ca på handelsdagen. Her ses det tydeligt, at der er en klar variation i den implicitte volatilitet på optionerne. Før krakket i oktober 1987 var mønstret symmetrisk rundt om ATM-kursen, hvor ITM 9 - og OTM-optioner havde højere volatiliteter.(dumas, B. et al 1996, s. 9-10) Som ovenstående figur også viser, er mønstret nu nærmere et smørret grin eller smirk. 9 ITM er en forkortelse for in-the-money. 19

28 Eksistensen af volatilitetssmilet påviser, at Black-Scholes ikke er fuldkommen. Ovenstående stemmer også godt overens med den negative skævhed, der blev observeret i datasættet i ovenstående afsnit og empiriske studier.(theodossiou, P. & Trigeorgis, L. 2003, s. 19) Generelt vil lavpunktet i strukturen være på ATM-kursen, men der er en naturlig bias i markederne for at skrive OTM-calls for at øge afkast. Derfor korrigerer markedet for dette ved at flytte lavpunktet til højre for ATM-kursen for at kompensere for denne strategi. Hvis markedspriserne på optionerne stemte overens med Black-Scholes ville smilet være en vandret linje, grundet forudsætningen om konstant volatilitet over strikekurser. Da dette reelt aldrig observeres, kan det konkluderes, at markedet ikke er enigt i, at Black-Scholes modellen beskriver virkeligheden korrekt.(hull, J. 2006, s. 376ff) Effekterne på optionsprisfastsættelsen af den manglende normalfordeling kan ses i nedenstående afsnit. I figur 3 ses det samtidig, at den implicitte volatilitets struktur bliver påvirket af tiden til udløb. Her ses det, at jo længere der er til udløb, jo fladere bliver kurven. Dette er også blevet empirisk undersøgt af blandt andet Rubinstein (1994), og dermed kan det også siges, at jo kortere tid til udløb jo stejlere et smirk. Det vil igen betyde, at der umiddelbart vil være mere markante underprisfastsættelser ved køb af OTM-optioner med kort tid til udløb. Denne påstand vil blive testet i et senere afsnit. Grunden til, at volatilitetssmilet for den lange løbetid flader ud ved ITM-optioner og ikke buer op ved OTM-optioner som i den kortere løbetid, skal findes i illikviditeten af deep ITM- og OTM-optioner. Likviditeten for disse optioner er lav og vil blive behandlet senere i opgaven. 3.5 Effekt af manglende normalfordeling Som det netop er vist, er der hverken normalitet i det underliggendes afkast eller konstant volatilitet over de forskellige strikekurser. Black-Scholes optionsmodel vil derfor højst sandsynligt under- eller overprisfastsætte optioner som følge af disse forudsætningsbrud. Geske og Torous behandlede dette emne i 1991 og opsummerede herved, hvad Black-Scholes og en række andre økonomer også selv havde af kritikpunkter ved deres prisfastsættelsesmetode. Modellen antager, at aktieafkastet (eller det underliggendes afkast) trækkes fra en normalfordeling, G, hvilket derfor kan udtrykkes: G ~ N(μ, σ 2 ) 20