Antal timer Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k"

Transkript

1 Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det kan være alt muligt forskelligt, så som vejrdata, sportsresultater, varepriser, lønninger, arbejdsløshed, læsefærdigheder, tidsforbrug på internettet, osv. osv. I dette kapitel bliver du introduceret til de mest grundlæggende begreber og diagrammer indenfor statistik. 5.1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Vi skal nu se på et eksempel. I en undersøgelse har man spurgt 52 eleverne i to gymnasieklasser, hvor mange timer om ugen de bruger på profiler og chat på internettet (Facebook, Twitter, MSN osv.). Svarene ser du i skemaet herunder. Antal timer Køn k m k m m k m k m k k k m k k k k k k m k k k m m m k m k m m m k m k k m k k k k m m m m m k m k m k k Tabel 5.1 Vi vil betegne det samlede observationssæt med X. Du skal nu se forskellige statistiske måder at behandle disse data på. 139

2 5 Statistik 5.2 Ugrupperede observationer Vi vil i første omgang se bort fra kønsfordelingen og kun se på, hvor mange elever der bruger x antal timer om ugen. Tæller vi sammen, hvor mange elever der har brugt 0 timer, 1 time, 2 timer osv., får vi følgende ugrupperede observationssæt. Antal timer Antal elever Tabel 5.2 Vi vil nu se på frekvensen af de enkelte observationer, dvs. hvor mange procent af eleverne der bruger 0 timer, hvor mange procent der bruger 1 time osv. Frekvenserne beregnes således 2 3 = % = % 4 = % osv. 52 Tallene er samlet i tabel 5.3 her under. Den kumulerede frekvens er summen af frekvenserne ned gennem tabellen. F.eks. betyder den kumulerede frekvens 63% ud for 7 timer, at der er 63% af eleverne der bruger 7 timer eller mindre. 140 Observation (antal timer) Hyppighed (antal elever) Frekvens (brøk) Frekvens (procent) Kumuleret frekvens % 4% % 10% % 17% % 19% % 35% % 52% % 63% % 73% % 77% % 83% % 88% % 90% % 94% % 98% % 100% Tabel 5.3 Vi kan afbilde vores data i et såkaldt stolpediagram. Stolpediagrammet for vores data vil vise antallet af brugte timer på 1. aksen og antal elever og/eller frekvensen på 2. aksen. Du kan se diagrammet herunder. Bemærk, at det ikke gør nogen forskel, om du afbilder hyppighed eller frekvens på 2. aksen.

3 5.2 Ugrupperede observationer Det første, vi vil beregne for vores datasæt, er middelværdien (kaldes også middeltallet eller gennemsnittet). Som nævnt i afsnit 5.1 betegnes vores observationssæt med X. Middelværdien betegnes da E(X). Der er tre måder at beregne middelværdien på. Den første måde er at lægge alle tallene fra tabel 5.1 sammen og dividere med antal elever dvs. 52. Vi får da E(X) = = = 7.4 Eleverne i de to klasser bruger altså i gennemsnit 7.4 timer om ugen, dvs. ca. 1 time om dagen. Den anden måde at beregne middelværdien på er at gange tallene i de to rækker i tabel 5.2 med hinanden, lægge disse sammen og dividere med 52. Dvs. E(X) = = = 7.4 Den tredje måde er at gange tallene i anden og tredje søjle i tabel 5.3 med hinanden og lægge disse sammen. Dvs. E(X) = = 7.4 Vi skal nu se på nogle flere statistiske begreber Definition Medianen for et observationssæt er den mindste observation hvis kumulerede frekvens er 50% eller derover. Første kvartil (eller nedre kvartil) for et observationssæt er den mindste observation, hvis kumulerede frekvens er 25% eller derover. Tredje kvartil (eller øvre kvartil) for et observationssæt er den mindste observation, hvis kumulerede frekvens er 75% eller derover. Tilsammen kaldes førstekvartil, medianen og trejde kvartil for observationssættets kvartilsæt. 141

4 5 Statistik For vores data betyder det, at medianen er 6 (det mindste antal timer med en kumuleret frekvens på over 50% - i dette tilfælde 53%), 1. kvartil er 5 (35%), og 3. kvartil er 9 (77%). Kvartilsættet er da (5, 6, 9). Kvartilsættet kan sammen med observationssættets mindste værdi (som her er 0 timer) og sættets størsteværdi (som her er 21 timer) vises i et såkaldt boksdiagram. Du kan se boksdiagrammet for vores data herunder. Den vandrette linie går fra observationssættets mindste værdi til den største værdi. Boksen begynder ved 1. kvartil og slutter ved 3. kvartil. Medianen er angivet inde i boksen. Forskellen mellem observationssættets største værdi og mindste værdi kaldes variationsbredden. I vores tilfælde er den 21-0 = 21. Vi kan nu prøve at kigge på vores data igen, men denne gang fordele dem på køn. Vi får da følgende to observationssæt vist på figur 5.4 og 5.5. Observation (antal timer) Hyppighed (antal elever) Piger Frekvens (procent) Kumuleret frekvens 2 1 3% 3% 3 1 3% 7% 4 1 3% 10% % 24% % 41% % 52% % 62% 9 2 7% 70% % 76% % 83% % 86% % 90% % 97% % 100% Tabel 5.4 I tabel 5.4 kan du se, at kvartilsættet for piger er (6, 8, 10) og i tabel 5.5 kan du se, at kvartilsættet for drenge er (3, 6, 7). Dette er afbildet i de to boksdiagrammer herunder. 142

5 5.2 Ugrupperede observationer Observation (antal timer) Hyppighed (antal elever) Drenge Frekvens (procent) Kumuleret frekvens 0 2 9% 9% 2 2 9% 17% % 30% % 48% % 65% % 78% 8 2 9% 87% % 91% % 96% % 100% Tabel 5.5 Dette viser meget tydeligt, at der er en væsentlig forskel på piger og drenges tidsforbrug på nettet i disse to klasser. Men her skal man være meget opmærksom på, at datamængden er alt for lille til, at man kan drage en generel konklusion om, at der er denne kønsforskel. Dette er en af de store farer ved statistik hvis man ikke passer på og hvis man ikke behandler data korrekt eller hvis man har for lidt data kan man hurtigt drage nogen helt forkerte konklusioner. Det næste, vi skal kigge på, er fraktiler. Fraktil betyder brøkdel. Begrebet kan bedst forklares ud fra vores data i tabel 5.3. En p-fraktil angiver det mindste antal timer, som bruges af mindst p% af eleverne. Hmm, vi må vist hellere se på et par eksempler. For at bestemme 15%-fraktilen skal du kigge i tabel 5.3. I søjlen med kumuleret frekvens kan du se, at den første kumulerede frekvens, der er 15% eller derover, finder du ved 3 timer. Altså er 15%-fraktilen 3. Du kan også se, at den første kumulerede frekvens, der er 80% eller derover, finder du ved 10 timer. Altså er 80%-fraktilen 10. Vær opmærksom på, at middelværdien for et observationssæt ikke siger noget som helst om sammensætningen af data i sættet. To datasæt kan have nøjagtig samme middelværdi men fordelingen af data kan være vidt forskellig. Dette illustreres af følgende eksempel. 143

6 5 Statistik Eksempel Ved en matematikprøve er der givet følgende karakterer i to forskellige klasser. A-klassen: B-klassen: Middelværdierne for de to klasser er (du skal selv foretage beregningen) A-klassen: 91 = 7.0 B-klassen: = 7.0 Altså er gennemsnittet for de to klasser nøjagtig ens. Men lad os se på kvartilsættet og tegne boksdiagrammer for de to klasser. Indtegn data for de to klasser i hver sin tabel og beregn frekvenserne og de kumulerede frekvensen. Bestem derefter kvartilsættene for hver af de to observationssæt. Du skulle da kunne tegne følgende boksdiagrammer. Heraf kan du tydeligt se, at selv om de to datasæt har præcis samme middelværdi, er fordelingen af tallene vidt forskellig. Ovenstående eksempel viser med al tydelighed, at det er nødvendigt med nogle størrelser, som kan fortælle noget om spredningen i vores observationer. Det fører os videre til begreberne varians og spredning Definition Lad et observationssæt være givet ved X = x 1, x 2, x 3,..., x n de tilsvarende frekvenser være f 1, f 2, f 3,..., f n. Lad middelværdien være m. Observationssættets varians defineres ved n Var(X) = f i (m x i ) 2 i=1 Observationssættets spredning defineres ved σ (X) = Var(X) { } og lad = f 1 (m x 1 ) 2 + f 2 (m x 2 ) f n (m x n ) 2 Spredningen er et mål for, hvor spredt observationerne ligger i forhold til middelværdien. Dvs. jo større σ (X) er, jo mere spredt ligger observationerne og omvendt. Værdien af spredningen kan ikke direkte aflæses på nogen figur det er kun størrelsen af tallet, der giver en vis information om, hvor spredte tallene ligger. 144

7 5.2 Ugrupperede observationer Eksempel Lad os beregne varians og spredning for vores datasæt fra tidligere. Middelværdien har vi tidligere beregnet til 7.4. Så ud fra tabel 5.3 får vi Var(X ) = (7.4 0) (7.4 2) (7.4 21) 2 = 20.3 σ (X ) = Var(X ) = 20.3 = 4.5 Som du kan se er det meget besværligt at beregne variansen (og dermed spredningen). Nedenstående sætning kan gøre det lidt lettere Sætning Variansen for et observationssæt X kan beregnes således Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 hvor E(X) er middelværdien og E(X 2 ) er middelværdien af kvadraterne på alle data i observationsættet. Bevis: Lad et observationssæt være givet ved X = x 1, x 2, x 3,..., x n tilsvarende frekvenser være f 1, f 2, f 3,..., f n. Ifølge sætning er variansen da (husk at m er middelværdien) n Var(X) = f i (m x i ) 2 i=1 { } og lad de = f 1 (m x 1 ) 2 + f 2 (m x 2 ) f n (m x n ) 2 Da = f 1 (m 2 2m x 1 + x 2 1 ) + f 2 (m 2 2m x 2 + x 2 2 ) f n (m 2 2m x n + x 2 n ) = m 2 ( f 1 + f f n ) 2m ( f 1 x 1 + f 2 x f n x n ) + f 1 x f 2 x f n x n f 1 + f f n = 1 og f 1 x 1 + f 2 x f n x n = m får vi nu = m 2 1 2m (m) + f 1 x f 2 x f n x n = m 2 2m 2 + f 1 x f 2 x f n x n = f 1 x f 2 x f n x n 2 m 2 = E(X 2 ) E(X) 2 Q.E.D. Bemærk, at formlerne for varians og spredning i dette afsnit gælder for et fuldstædigt observationssæt (modsat udsnit/stikprøve som behandles i afsnit 5.4). For at bruge sætning til at beregne variansen er det en fordel, at lave en tabel med de relevante tal i. For vores observationssæt fra tidligere kan du se tallene i tabellen herunder. 145

8 5 Statistik 146 Antal timer x i Frekvens f i Bidrag til E(X) x i f i Kvadrat x i 2 Bidrag til E(X 2 ) x i2 f i = = = = = = E(X) = E(X 2 ) = Herved fås variansen og spredningen til Tabel 5.6 Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = = σ (X) = Var(X) = = 4.5 Denne værdi er forholdsvis stor, hvilket passer glimrende med det faktum, at vores data ligger meget spredt i forhold til middelværdien (sammenlign med vores stolpediagram tidligere i dette afsnit sammenlign også med eksempel og se, at vi selvfølgelig fik sam- me resultat der). Som du nok har fået indtryk af, er statiske beregninger meget tidskrævende at udføre med håndkraft selv med den lille mængde data, vi havde i vores observationssæt. Hvis der er tale om tusindvis af data, bliver det selvfølgelig helt galt. Heldigvis findes der masser af hjælpemidler til rådighed. Både lommeregnere og forskellige matematikprogrammer eller regneark kan udføre beregningerne for os. Så behøver vi kun at indtaste data fra vores observationssæt. Lad os slutte dette afsnit af med at se på sammenhængen mellem spredningen og fordelingen af observationer. Herunder ser du stolpediagrammerne for tre forskellige datasæt. De har alle nøjagtig samme middelværdi, men data er fordelt forskelligt. Spredningen for de tre datasæt er også angivet, og det ses, at der er en tydelig sammenhæng mellem størrelsen af spredningen σ (X) og den faktiske fordeling af data i stolpediagram-met. Læg også mærke til, at spredningen σ (X) ikke kun afhænger af variationsbredden men også af hvor mange data, der ligger langt væk fra middelværdien. De størrelser du har lært om i dette afsnit (middelværdi, median, kvartiler osv.) kaldes statistiske diskriptorer.

9 5.2 Ugrupperede observationer E(X) = 90 σ(x) = E(X) = 90 σ(x) = E(X) = 90 σ(x) = Øvelse Bestem ud fra tabel %-fraktilen, 60%-fraktilen og 90%-fraktilen. Bestem derefter de samme fraktiler i tabel 5.4 og Øvelse Et observationssæt har mindsteværdien 10 og størsteværdien 22. Kvartilsættet er (12, 14, 17). Tegn boksdiagrammet og angiv variationsbredden Øvelse Bestem kvartilsættet og beregn middelværdien for følgende observationssæt. Observation Frekvens Grupperede observationer I det foregående afsnit så vi på ugrupperede observationer. Vi vil nu gruppere vores observationssæt fra tabel 5.3 og gruppere dem i intervallerne af 3 timers længde, dvs. [0;3], ]3;6], ]6;9] osv. Dvs. vi tæller sammen, hvor mange elever der bruger mellem 0 og 3 timer pr. uge, hvor mange der bruger fra 3 til 6 timer osv.. Vi får da følgende nye tabel. Observationsinterval (antal timer) Intervalhyppighed (antal elever) Intervalfrekvens (brøk) Intervalfrekvens (procent) Kumuleret intervalfrekvens [0;3] % 17% ]3;6] % 52% ]6;9] % 77% ]9;12] % 88% ]12;15] % 94% ]15;18] % 94% ]18;21] % 100% Tabel

10 5 Statistik Vi kan afbilde disse data i et såkaldt histogram. Et histogram minder meget om et stolpediagram, men viser i stedet de anvendte intervaller. Histogrammet for vores data fra tabel 5.7 kan du se herunder. Bemærk, at det ikke gør nogen forskel, om du afbilder intervalhyppighed eller intervalfrekvens på 2. aksen. I vores eksempel er alle intervallerne lige lange. Det er ikke noget krav. Men hvis intervallerne ikke er lige lange, skal du være opmærksom på, at det er arealet af rektanglet, der angiver mængden af observationer i intervallet. Hvis vi f.eks. slår de 3 sidste intervaller sammen til et interval ]12;21], kommer histogrammet til at se sådan ud. Middelværdien for et grupperet observationssæt beregnes ved at anvende interval-midtpunkterne og gange disse med intervalfrekvenserne. Middelværdien for vores observationssæt i tabel 5.7 er da E(X) = = 7.2 Som du kan se, giver denne beregning ikke helt samme middelværdi, som vi fik i afsnit 5.2. Det skyldes, at dette er en tilnærmet middelværdi, da vi har antaget, at alle observatio- 148

11 5.3 Grupperede observationer ner er jævnt fordelt i hvert interval (så vi kan bruge intervalmidtpunktet i beregningen), hvilket jo ikke nødvendigvis er tilfældet. Men for grupperede observationer er dette det bedste vi kan gøre for at beregne middelværdien. Den kumulerede intervalfrekvens kan afbildes i en sumkurve. Du skal afsætte de kumulerede intervalfrekvenser for hvert interval ved det højre intervalendepunkt. Vores observationssæt fra tabel 5.7 giver følgende sumkurve. Median, kvartiler og fraktiler kan bestemmes ved aflæsning på sumkurven. På figuren herunder kan du se, hvordan du aflæser kvartilsættet. Kvartilsættet er (3.7, 5.8, 8.7). Igen får vi ikke helt samme kvartilsæt som i afsnit 5.2, hvilket vi heller ikke kan forvente, når vores data er grupperede. Fraktiler aflæses på tilsvarende måde, hvilket du kan se på figuren herunder. Som du kan se er 15%-fraktilen 2.5 og 80%-fraktilen 9.6. Endnu engang som forventet ikke helt samme værdier som i afsnit

12 5 Statistik Varians og spredning beregner du også på samme måde som for et ugrupperet observationssæt. Dvs. at du anvender sætning og bruger ligesom ved beregning af middelværdien intervalmidtpunkterne. For vores grupperede observationssæt kan du da lave følgende skema. 150 Observationsinterval (antal timer) Intervalmidtpunkt m i Intervalfrekvens f i Bidrag til E(X) m i f i [0;3] = 0.26 Kvadrat Bidrag til E(X 2 ) 2 m i x i2 f i = ]3;6] = = ]6;9] ]9;12] ]12;15] ]15;18] ]18;21] E(X) = E(X 2 ) = Herved fås variansen og spredningen til Tabel 5.8 Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = = Som du kan se, passer disse værdier ganske godt med de værdier vi fik i afsnit 5.2. σ (X) = Var(X) = = 4.6

13 5.3 Grupperede observationer Øvelse Her ser du et grupperet observationssæt. Interval Antal a) Tegn et histogram for observationssættet. b) Tegn den tilhørende sumkurve. c) Bestem kvartilsættet. d) Angiv det interval hvori de 30% største observationer ligger Øvelse Herunder ser du et histogram for et grupperet observationssæt a) Beregn middelværdien. b) Tegn sumkurven. c) Bestem kvartilsættet. d) Beregn spredningen Øvelse Herunder ser du en sumkurve for et grupperet observationssæt a) Angiv kvartilsættet. b) Beregn middelværdien c) Tegn histogrammet for observationssættet. 151

14 5 Statistik 5.4 Stikprøver I de foregående afsnit har vi set på fuldstændige observationssæt. Hvis du kun har et udsnit eller en stikprøve af et observationssæt, ser formlerne for varians og spredning lidt anderledes ud Sætning For en stikprøve, med n forskellige observationer og middelværdi x, er variansen givet ved Var S (X) = 1 n (x i x ) 2 = 1 n 1 n 1 og spredningen i=1 n i=1 X S = { x 1, x 2,..., x n } (x 2 i ) n (x) 2 S(X) = Var S (X) Hvis nogle af observationerne er ens, samler du disse, tæller dem op og angiver hyppigheden (jvf. afsnit 5.2) Sætning { } med tilhø- For en stikprøve, med k observationer X S = x 1, x 2,..., x k rende hyppighederne h 1,h 2,...,h k og middelværdi x, er variansen givet ved Var S (X) = 1 k h i (x i x ) 2 = 1 k 1 k 1 og spredningen i=1 k i=1 (h i x 2 i ) k (x) 2 S(X) = Var S (X) Men husk, at formlerne i dette afsnit kun gælder for stikprøver. 152

15 Regression 6 Mange gange kan man komme ud for, at man har nogle målinger, som man indtegner i et koordinatsystem, hvor man så kan se, at der tilsyneladende en eller anden sammenhæng mellem disse tal. Altså at der må findes en funktion, som kan beskrive denne sammenhæng - en såkaldt matematisk model. Men hvilken type model er der tale om? Er det en lineær sammenhæng, en eksponentiel sammenhæng, en potens sammenhæng eller noget helt fjerde. Og hvad er så regneforskriften for den funktion, som bedst beskriver de givne data, dvs. hvilken regneforskrift giver en graf der, ligger tættest muligt på samtlige punkter? Beregning af denne funktion kaldes regression. Dette er ikke simpelt at regne ud. Man vil derfor altid bruge et matematisk værktøj til at foretage beregningerne (lommeregner, matematikprogram, regneark). Det, der er vigtigt for dig, er, at du lærer at vurdere, hvilken form for sammenhæng der er mellem de data, du har, og at se på hvor godt den regneforskrift du får beregnet, passer med dine data. Vi vil i de følgende afsnit se på lineære, eksponentielle og potens sammenhænge. 6.1 Lineær regression På figuren herunder er indtegnet punkterne A(2, 1), B(5, 2), C(6, 3), D(7. 4) og E(9, 5). Som du kan se, ligger disse punkter næsten på en ret linie. Den linie, der er indtegnet, har ligningen y = 0.75 x Men er det den linie, der ligger så tæt som muligt på alle punkterne? Ville y = 0.72 x eller y = 0.77 x være bedre? 153

16 6 Regression Til at afgøre hvilken ret linie der bedst passer til punkterne, benytter man typisk en metode, der hedder mindste kvadraters metode. Den går ud på, at man kigger på den lodrette afstand mellem linien og hvert enkelt punkt. Se figuren herunder. Summen af kvadraterne af disse afstande kaldes kvadratsummen D. D = d d d d 4 2 Den linie, som giver den mindste kvadratsum, er den bedst mulige linie, og denne kaldes regressionslinien. Som nævnt tidligere anvender man matematiske værktøjer til at foretage denne beregning af regressionsliniens ligning. Normalt giver det anvendte matematiske værktøj også en størrelse, der fortæller noget om, hvor godt den beregnede linie passer med punkterne. Dette kan f.eks. være i form af en korrelationskoefficient r. Hvis r = 1 er hældningskoefficienten positiv, og samtlige punkter ligger på linien. Hvis 0 < r < 1 er hældningskoefficienten positiv. Jo tættere r er på 1 jo tættere ligger punkterne på den beregnede linie. Hvis r = 0 (eller tæt på nul) er sammenhængen mellem punkterne ikke lineær. Hvis -1 < r < 0 er hældningskoefficienten negativ. Jo tættere r er på -1 jo tættere ligger punkterne på den beregnede linie. Hvis r = -1 er hældningskoefficienten negativ, og samtlige punkter ligger på linien. I praksis gør du det, at du indtaster dine punkter og beder om at få beregnet regressionslinien. Hvordan, du helt præcist gør, afhænger selvfølgelig af hvilket matematisk værktøj, du anvender. Men under alle omstændigheder giver værktøjet dig enten hele regneforskriften y = a x + b eller værdierne af a og b Øvelse Ved en undersøgelse har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Bestem regneforskriften for den linie, som passer bedst muligt med punkterne. x y

17 6.2 Eksponentiel regression 6.2 Eksponentiel regression Hvis det formodes, at der er en eksponentiel sammenhæng mellem punkterne, anvendes eksponentiel regression. Fremgangsmåden er den samme som før. Du anvender et matematisk værktøj og indtaster punkterne og vælger at få beregnet regneforskriften for den eksponentialfunktion y = b a x, der passer bedst muligt med punkterne. Alt efter hvilket værktøj du anvender, får du enten hele regneforskriften eller værdierne af a og b. Korrelationkoefficienten fortæller på samme måde som før, hvor godt den beregnede graf passer med punkterne. For at afgøre om der er en eksponentiel sammenhæng mellem punkterne kan du evt. først indtegne punkterne i et enkelt-logaritmisk koordinatsystem. Hvis punkterne i dette koordinatsystem er tæt på at ligge på en ret linie, vil der være en eksponentiel sammenhæng mellem punkterne Eksempel Her ser du en sammenhæng mellem størrelserne x og y, og nedenunder er de indtegnet som punkter i et almindelig retvinklet koordinatsystem. En beregning giver, at eksponentialfunktionen y = x er den, der bedst passer med punkterne. Korrelationsfaktoren er r = Grafen for funktionen er også indtegnet i koordinatsystemet. x y Øvelse Ved nogle målinger har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Bestem regneforskriften for den eksponentialfunktion, som passer bedst muligt med punkterne. x y

18 6 Regression 6.3 Potens regression Hvis det formodes, at der er en potens sammenhæng mellem punkterne, anvendes potens regression. Fremgangsmåden er den samme som før. Du anvender et matematisk værktøj, indtaster punkterne og vælger at få beregnet regneforskriften for den potensfunktion y = b x a, der passer bedst muligt med punkterne. Alt efter hvilket værktøj du anvender, får du enten hele regneforskriften eller værdierne af a og b. Korrelationkoefficienten fortæller på samme måde som før, hvor godt den beregnede graf passer med punkterne. For at afgøre om der er en potens sammenhæng mellem punkterne, kan du evt. først indtegne punkterne i et dobbelt-logaritmisk koordinatsystem. Hvis punkterne i dette koordinatsystem er tæt på at ligge på en ret linie, vil der være en eksponentiel sammenhæng mellem punkterne Eksempel Her ser du en sammenhæng mellem størrelserne x og y, og nedenunder er de indtegnet som punkter i et almindelig retvinklet koordinatsystem. En beregning giver, at potensfunktionen y = 0.3 x 0.5 er den, der bedst passer med punkterne. Korrelationsfaktoren er r = Grafen for funktionen er også indtegnet i koordinatsystemet. x y Øvelse Ved nogle målinger har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Bestem regneforskriften for den potensfunktion, som passer bedst muligt med punkterne. x y Øvelse Ved nogle målinger har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Undersøg ved regression, hvilken af de tre modeller der bedst beskriver disse målinger. x y

19 Opgaver 5 Statistik 5.1 Herunder ser du stolpediagrammet for et observationssæt. Bestem kvartilsættet. 5.2 Ved en undersøgelse blev 33 unge spurgt om, hvor mange gange de havde dyrket sport den sidste måned. Man fik følgende svar. 9, 8 7, 6, 7, 7, 8, 3, 4, 7, 9, 8, 3, 4, 4, 7, 10, 3, 4, 4, 6, 9, 7, 3, 4, 10, 4, 6, 7, 8, a) Lav ud fra disse data en tabel mage til den i figur 5.3. b) Hvor mange procent af de unge har højst dyrket sport 4 gange? c) Tegn et stolpediagram. d) Angiv kvartilsættet og tegn et boksdiagram. e) Beregn middelværdi, varians og spredning. 5.3 Indenfor sportsverdenen taler man tit om begrebet hjemmebanefordel altså at det er nemmere at vinde på hjemmebane end på udebane. For at undersøge om det er en skrøne, eller om der er en reel fordel ved at spille på hjemmebane, har man undersøgt resultaterne af en lang række fodboldkampe og observeret hvor mange hjemmekampe de enkelte hold havde vundet i en sæson. Resultaterne af undersøgelsen ses i tabellen herunder. Vundne kampe Frekvens i % Tegn et stolpediagram og bestem på grundlag af de kumulerede frekvenser kvartilsættet. Beregn middelværdi og spredning. 157

20 Opgaver 5.4 Figurerne herunder viser stolpediagrammer for 6 forskellige observationssæt. Prøv ud fra din intuition for hvad spredningen er, at angive hvilket observationssæt, der har den mindste spredning, den næstmindste spredning osv. op til den med den største spredning. 5.5 To hold har været til en prøve. Der kunne opnås højst 20 point i prøven. Resultat af prøven er illustreret i nedenstående boksdiagrammer. Angiv de 5 diskriptorer der kan aflæses på hver figur og beskriv med dine egne ord forskellen på de to hold. 5.6 Fra et motionsløb har man undersøgt deltagernes løbetider. Resultatet ser du på figuren herunder. a) Hvor mange personer gennemførte løbet? b) Beregn middelværdien for løbetiderne. c) Bestem kvartilsættet. 158

21 5 Statistik 5.7 I en forbrugerundersøgelse har man set på udsalgsprisen af en bestemt vare i 50 forretninger. Resultaterne ses i herunder. Lav på grundlag af en passende gruppering en statistisk undersøgelse af materialet Regression 6.1 Indtegn punkterne A(-1, -2), B(1, -1), C(2, 2), D(4, 3) og E(6, 4) i et almindeligt retvinklet koordinatsystem. Bestem derefter regessionslinien og indtegn den i samme koordinatsystem. 6.2 Bestem for hver af de to figurer herunder regressionslinien for punkterne. 6.3 I et forsøg har man dyrket en bakteriekultur på en glasplade. Tabellen herunder viser mængden af bakterier for hver time. Tid i timer Mængde i mg a) Bestem regneforskriften for den bedste linie gennem punkterne. b) Bestem regneforskriften for den bedste eksponentialfunktion gennem punkterne. c) Hvilken model passer bedst? d) Efter 20 timer var der mg bakterier. Passer det med modellen? 159

22 Opgaver 6.4 I et forsøg har man fået følgende sammenhæng mellem x og y. Bestem den bedste eksponentielle model for disse værdier. x y Hvis en dykker opholder sig i længere tid i en vis dybde, skal han, for at undgå dykkersyge, stige langsomt op til overfladen igen. Der er en bestemt sammenhæng mellem dybden under havoverfladen og den tid, dykkeren kan opholde sig i denne dybde uden at få dykkersyge. Sammenhængen fremgår af tabellen herunder. Dybde meter Tid minutter a) Benyt potensregression til at bestemme en model for denne sammenhæng. b) Hvor lang tid kan en dykker opholde sig i 35 meters dybde? c) Hvor dybt kan en dykker dykke ned, hvis han kan må blive i denne dybde i 20 minutter? 6.6 I et forsøg har man undersøgt sammenhængen mellem personers maksimale puls og deres alder. Nogle af resultaterne ses i tabellen herunder. Alder år Puls a) Benyt lineær regression til at bestemme en model for denne sammenhæng. b) Hvad er da den maksimale puls for en 25-årig.? c) Hvilken alder svarer til en maksimal puls på 145? 6.7 Tyngdekraften påvirker et 1 kg lod med en kraft, der afhænger af afstanden til jordens centrum. Sammenhængen mellem afstanden r og kraften F ses i tabellen herunder. r F Bestem vha. regression en forskrift for den funktion, der bedst beskriver sammenhængen mellem r og F. 6.8 Trykket over jordoverfladen falder, jo højere man kommer op. I tabellen herunder ser du sammenhængen. Højde km Tryk pascal Bestem vha. regression regneforskriften for den funktion der bedst beskriver denne sammenhæng. Mount Everest er ca meter højst. Benyt modellen til at bestemme lufttrykket på toppen af Mount Everest. 160

23 6 Regression 6.9 Hvilken af de tre matematiske modeller passer bedst med disse data? x y

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

En lille introduktion til WordMat og statistik.

En lille introduktion til WordMat og statistik. En lille introduktion til WordMat og statistik. WordMat er et gratis program som kan arbejde sammen med word 2007 og 2010. Man kan downloade programmet fra nettet. Se hvordan på linket: http://www.youtube.com/watch?v=rqsn8aakb-a

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Hvidovre-Amager Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Rukiye

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Trine Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 1q mah

Undervisningsbeskrivelse for: 1q mah Undervisningsbeskrivelse for: 1q mah Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: Herning HF og VUC (657248) Hold: 1q Termin: Juni2014 Uddannelse: HF Lærer(e): Gitte Alstrup Jensen (GI) Forløbsoversigt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 1s mah

Undervisningsbeskrivelse for: 1s mah Undervisningsbeskrivelse for: 1s mah Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: Herning HF og VUC (657248) Hold: 1s Termin: Juni2014 Uddannelse: HF Lærer(e): Gitte Alstrup Jensen (GI) Forløbsoversigt

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 2 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 2 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Susanne Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Dorthe Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Mads Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Kenneth Berg k710hhxa1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-juni, 2013 Institution VUC Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C HUNI 2HF TmaCK13j

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2015/2016 Institution Frederiksberg HF Kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Sebastian

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014/15

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014/2015 Institution Frederiksberg HF Kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Sebastian

Læs mere

Eksamensspørgsmål 4emacff1

Eksamensspørgsmål 4emacff1 Eksamensspørgsmål 4emacff1 1. Funktioner, Lineære funktioner Gør rede for den lineære funktion y ax b. Forklar herunder betydningen af a og b, og kom ind på det grafiske forløb af en lineær funktion. Kom

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold ZBC Ringsted Hhx Matematik C Stig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution VestegnenHFVUC Rødovre-afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 VUCHA Hf-2 og Hf-Enkeltfag Matematik-C Anders

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2016-2017 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2016 Institution Vestegnen hf og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Nicolai

Læs mere

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet Rentesregning 1 Forklar begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen), og opstil/omskriv denne så du kan bestemme 1 af størrelserne, ud fra de 3 andre. Giv eksempler,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Januar 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Statistik - supplerende eksempler

Statistik - supplerende eksempler - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommertermin, skoleår 15-16 Institution HF &VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf-2

Læs mere

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 1. Procent og rente Forklar hvordan man udregner procentvis ændringer i forskellige tidsrum og giv et konkret eksempel herpå. Forklar gerne med et eksempel,

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Dec-Jan 2017 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe MATEMATIK C Peter Ove Jørgensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012/2013

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det.

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Emne: procent og rente: 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet

Læs mere