INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43

Transkript

1

2

3 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for massivt materiale...8 A.4 Elasticitetsmodul for porøst materiale...5 B Forsøg med massiv og porøs konsol... B. Dataopsamling... B. Databehandling...3 B.3 Resultater...6 DEL II ANALYISKE MODELLER...3 C Simpel bjælkemodel...33 C. værsnitsdata...33 C. Virkelige snitkræfter...34 C.3 Virkelige tøjninger...35 C.4 Virtuelle snitkræfter...35 C.5 Virtuelle Kræfters Princip...36 C.6 Udbøjning...37 C.7 Kontrol af udbøjning...37 C.8 Spændinger...38 D Airys spændingsfunktion...4 DEL III NUMERISKE MODELLER...43 E Bestemmelse af materialeparametre ved beregninger...45 E. Elasticitetsmodul og Poissons forhold...45 E. Forskydningsmodul...48 F Elementmetodeteori...5 G H F. Potentiel energi...5 F. Variation af potentiel energi...53 F.3 Konvergens af potentiel energi...55 F.4 Konvergens af lastens arbejede...56 CS- og LS-elementopbygning...57 G. Opbygning af CS-elementer...57 G. Opstilling af materialestivhedsmatricen...64 G.3 Opbygning af LS-model...66 G.4 Lastfordeling på knuder...70 G.5 Spændinger i konsol beregnet ud fra CS- og LS-model...73 Eliminering af indre frihedsgrader...75

4 Indholdsfortegnelse H. Potentiel energi...75 H. Adskillelse af indre og ydre frihedsgrader...76 H.3 Variation med hensyn til indre frihedsgrader...77 H.4 Potentiel energi som funktion af ydre frihedsgrader...78 H.5 Bestemmelse af indre frihedsgraders flytninger...80 I opologioptimering...8 I. Oprindelig målfunktion...8 I. Sidebetingelser...8 I.3 Endelig målfunktion...8 I.4 Optimeringsbetingelse...83 I.5 Oprindelig følsomhed...83 I.6 Filtreret følsomhed...83 I.7 Opdateringsrutine...85 J Singularitet af spændinger...87 J. Problematik...87 J. Afhængigheder...88 J.3 Spændingsvariation...88 J.4 Singularitet for konsol...89

5 Del I Forsøg

6

7 A Elastiske konstanter Del I Forsøg A ELASISKE KONSANER Her er gennemgået databehandlingen til forsøgene, udført til bestemmelse af elastiske konstanter for aluminiumsmaterialet. Princippet for dataopsamlingen i forsøgene er beskrevet generelt for alle forsøgene, mens databehandlingen på de enkelte forsøg er beskrevet for hver af de forskellige forsøg. A. DAAOPSAMLING Under forsøgene er der løbende opsamlet data om kraft, tøjning og flytning. Dataene bliver lagret i datafiler til videre bearbejdelse, og der vil i de enkelte forsøgsafsnit blive henvist til mapper på den vedlagte cd-rom, de respektive data kan findes. Den påførte kraft i forsøgene registreres som et analogt spændingsfald, konverteres til digitalt signal og opsamles i Volt, 0 V = 5 kn. øjninger er registreret vha. strain gauges. Disse registrerer en ændring i modstand, som konverteres til et digitalt signal. Outputtet fra strain gauge målingerne er [μm/m]. Flytninger er målt med flytningsmålere, og outputtet på disse data er [mm] Alle data er opsamlet med en frekvens på 5 Hz. A. BRUDSYRKEMÅLING PÅ MASSIV ALUMINIUMSEMNE I det følgende er databehandlingen til brudforsøget på aluminium beskrevet. Forsøgsbeskrivelsen af trækbrudforsøget kan findes i hovedrapport afsnit.. I databehandlingen vil der først blive gennemgået principperne for databehandlingen og de anvendte formler, dernæst følger optegning af grafer og beregning af dertilhørende resultater. Dokumentation på data og databehandling findes på den vedlagte cd-rom i følgende mapper: Elastiske konstanter forsøg\brudforsøg - Elastiske konstanter forsøg \Brudforsøg 3 A.. Databehandling De målte trækkræfter og flytninger på forsøgsemnerne afbildes med flytningen som ordinat, ved materialets arbejdskurve fremkommer. Dog kan arbejdskurven ikke bruges til at fastlægge elasticitetsmodulen, da dette kræver, at ordinaten angiver den relative flytning i aksialretningen, det vil sige 5

8 Del I Forsøg A Elastiske konstanter tøjningen. il det aktuelle formål er den faktiske flytning som ordinat dog tilstrækkelig til at konstatere, når materialet overgår til flydning. Ud fra arbejdskurven aflæses kraften ved begyndende flydning, F, arbejdskurven overgår fra lineær til krum. Kraften ved brud, F u, aflæses som maksimalværdien af F på arbejdskurven. De tilhørende flyde- og brudspændinger beregnes herefter ved (A.), idet emnerne kun udsættes for normalkraft. Fy Fu f y, fu A A (A.) f y er flydespænding [MPa] F y er normalkraft ved flydning [N] f u er brudspænding [MPa] F u er normalkraft ved brud [N] A er tværsnitsarealet [mm ] I figur, figur og figur 3 er vist de fremkomne arbejdskurver for hver af de tre belastningsramper. Desuden er angivet de aflæste værdier for flyde- og brudkræfter med tilhørende beregnede spændinger. Præcisionen af disse aflæsninger er ikke afgørende, idet formålet med trækbrudforsøget som nævnt kun tjener som kontrol for gyldigheden af andre undersøgelser i projektet. Bemærk, at figur og figur 3 kun er udtryk for materialets arbejdskurve til og med brudpunktet. Herefter fortsætter kurven, da måleudstyret fortsat er aktivt efter brud, men ud fra et materialeanalytisk synspunkt er kurven uinteressant efter brudstadiet. y Forsøg : Forsøgsemne belastet til flydning. Under forsøget blev der gennemført en belastningsrampe med en flytning på 0 4 mm over 00 sekunder. 0 8 F [kn] u [mm] Figur : Arbejdskurve for delforsøg. Følgende værdier er aflæst på figur : 6

9 A Elastiske konstanter Del I Forsøg F = 8400 N y f y 8400 N = 49,9 mm = 7MPa Forsøg : Forsøgsemne belastet til brud. Under forsøget blev der gennemført en belastningsrampe med en flytning på 0 0mm over 400 sekunder. 0 8 F [kn] u [mm] Figur : Arbejdskurve for delforsøg. Følgende værdier er aflæst på figur : F = 0650 N u f u 0650 N = 49,9mm = 6 MPa Forsøg 3: Forsøgsemne belastet til brud. Under forsøget blev der gennemført en belastningsrampe med en flytning på 0 5mm over 400 sekunder. 7

10 Del I Forsøg A Elastiske konstanter 0 8 F [kn] u [mm] Figur 3: Arbejdskurve for delforsøg 3. Følgende værdier er aflæst på figur 3: F = 8900 N y f y 8900 N = 49,9 mm = 8MPa F = 0700 N u f u 0700 N = 49,9mm = 7 MPa A.3 ELASICIESMODUL OG POISSONS FORHOLD FOR MASSIV MAERIALE Dette er databehandlingen tilhørende forsøget til bestemmelse af elasticitetsmodul og Poissons forhold for det massive aluminiumsmateriale. Forsøgsbeskrivelsen til forsøget kan findes i hovedrapport afsnit.. I databehandlingen vil der først blive gennemgået principperne for databehandlingen og de anvendte formler, dernæst følger optegning af grafer og beregning af resultater. Dokumentation på data og databehandling findes på den vedlagte cd-rom i følgende mapper: Elastiske konstanter forsøg \Elastiske konstanter massiv forsøg Elastiske konstanter forsøg \Elastiske konstanter massiv forsøg Elastiske konstanter forsøg \Elastiske konstanter massiv forsøg 3 8

11 A Elastiske konstanter Del I Forsøg A.3. Databehandling Ud fra data på kraften findes spændingen i tværsnittet af forsøgsemnet ved (A.). Da tøjningen i længderetningen måles, kan arbejdskurven for materialet optegnes. E er afbildet som hældningen på arbejdskurven, og udregnes for de enkelte målinger som σ E = (A.) ε længde Fra (A.) optegnes E som funktion af ε længde. Ud fra denne graf sorteres dårlige data fra for at få en mere præcis værdi for E. De dårlige data omfatter de målte værdier for de små spændinger og tøjninger i starten og slutningen af belastningsrampen, det vil sige. ved den initielle belastning og den afsluttende aflastning af emnet. For disse målinger er der fundet store udsving for E. Poissons forhold ν findes som forholdet mellem tværkontraktionen ε tvær og længdetøjningen ε længde. Denne udregnes også for de enkelte målinger som ν ε tvær = (A.3) ε længde Ud fra (A.3) optegnes en graf med ν som funktion af ε længde. Dernæst udregnes middelværdien for både E og ν som x er middelværdien x er de uafhængige observationer n er antal observationer [eknisk Ståbi 004, p 4] x x + x + x n... = n (A.4) For at kunne vurdere fejlen på de beregnede middelværdier beregnes spredningen s ved [eknisk Ståbi 004, p 4] s = ( x x) + ( x + x) +...( x x) n n (A.5) For at få den procentvise fejl beregnes variationskoefficienten δ ved [eknisk Ståbi 004, p 4] s δ = (A.6) x I det følgende er ovenstående databehandling gennemført for de enkelte forsøg. Det skal bemærkes at de dårlige data er frasorteret i figurerne. 9

12 Del I Forsøg A Elastiske konstanter Forsøg : Forsøgsemne 3 - belastning på langs af valseretningen Forsøget er gennemført med en belastningsrampe med kræfter på N og N på 00 s. σ [MPa] ε længde [-] x 0-3 Figur 4: Arbejdskurve for forsøg. 7.0 x 04 7 E [MPa] ε længde [-] x 0-3 Figur 5: E som funktion af ε længde for forsøg. 0

13 A Elastiske konstanter Del I Forsøg ν [-] ε længde [-] x 0-3 Figur 6: v som funktion af ε længde for forsøg. Forsøg : Forsøgsemne 4 - belastning på langs af valseretningen Forsøget er gennemført med en belastningsrampe med kræfter på N på 00 s. 5 0 σ [MPa] ε længde [-] 4 x 0-4 Figur 7: Arbejdskurve for forsøg.

14 Del I Forsøg A Elastiske konstanter 6.85 x E [MPa] ε længde [-] x 0-4 Figur 8: E som funktion af ε længde for forsøg ν [-] ε længde [-] x 0-4 Figur 9: v som funktion af ε længde for forsøg. Forsøg 3: Forsøgsemne 5 - belastning på tværs af valseretningen Forsøget er gennemført med en belastningsrampe med kræfter på N og N på 00 s.

15 A Elastiske konstanter Del I Forsøg σ [MPa] ε længde [-] x 0-3 Figur 0: Arbejdskurve for forsøg x E [MPa] ε længde [-] x 0-3 Figur : E som funktion af ε længde for forsøg 3. 3

16 Del I Forsøg A Elastiske konstanter ν [-] ε længde [-] x 0-3 Figur : v som funktion af ε længde for forsøg 3. For alle de ovenstående figurer er de dårlige data sorteret fra. Arbejdskurverne på figur 4, figur 7, figur 0 viser at materialet opfører sig lineært elastisk. Det at arbejdskurverne forbliver rette linier under hele forløbet indikerer, at forsøgsemnerne ikke er blevet belastet til flydning. Graferne for E på figur 5, figur 8, figur viser at E varierer en lille smule for de enkelte målinger. Variationen er dog ikke stor efter de dårlige data er sorteret fra, og det vurderes derfor rimeligt at regne E for værende en konstant, beregnet som middelværdien af de enkelte målinger. Det kan ses at målingerne på E har lidt lavere værdier under afbelastning, hvilket skyldes fænomenet hysterese. Dette fænomen er behandlet under diskussion af forsøgsresultater i hovedrapport afsnit..4. Graferne for ν på figur 6, figur 9 og figur viser at også denne værdi varierer en lille smule for de enkelte målinger. Variationen på denne er minimal efter at de dårlige data er frasorteret, så også her vurderes det rimelig at regne den for værende en konstant værdi, udregnet som middelværdien af de enkelte målinger. abel viser middelværdien for E for de enkelte forsøg, samt en spredning og en variationskoefficient. Spredningen og variationskoefficienten for E viser at usikkerheden ved at regne E som konstant er minimal. abel : Middelværdier for E, samt spredning og variationskoefficient. Forsøg E [MPa] s [MPa] δ [-] abel viser middelværdien for υ for de enkelte forsøg, samt en spredning og en variationskoefficient. Også her viser spredningen og variationskoefficienten, at usikkerheden ved at regne υ som konstant er minimal. 4

17 A Elastiske konstanter Del I Forsøg abel : Middelværdier for υ, samt spredning og variationskoefficient. Forsøg υ [-] s [-] δ [-] A.4 ELASICIESMODUL FOR PORØS MAERIALE Dette er databehandlingen tilhørende forsøget til bestemmelse af et ækvivalent elasticitetsmodul for det porøse aluminiumsmateriale. Forsøgsbeskrivelsen til forsøget kan findes i hovedrapport afsnit.3. I databehandlingen vil der først blive gennemgået principperne for databehandlingen og de anvendte formler, dernæst følger optegning af grafer og beregning af resultater. Dokumentation på data og databehandling findes på den vedlagte cd-rom i følgende mapper: Elastiske konstanter forsøg \Elasticitetsmodul porøs forsøg Elastiske konstanter forsøg \Elasticitetsmodul porøs forsøg Elastiske konstanter forsøg \Elasticitetsmodul porøs forsøg 3 A.4. Databehandling For den påførte belastningsrampe udregnes en ækvivalent spænding ved (A.), tværsnitsarealet er indsat, som var materialet massivt. øjningen kan bestemmes ud fra flytningsmåleren, som måler et gennemsnit for længdetøjningerne mellem to målepunkter. øjningen kan bestemmes som L 0 L ε ΔL L L 0 længde = = (A.7) L0 L0 er afstanden mellem de to målepunkter i udeformeret tilstand er afstanden mellem de to målepunkter i deformeret tilstand Da der er målt en sammenhæng mellem belastning og tøjninger, kan en ækvivalent arbejdskurve optegnes for det porøse materiale. Elasticitetsmodulen for de enkelte målinger udregnes ved (A.), og E optegnes som funktion af ε længde. Ud fra denne graf sorteres dårlige data fra for at få en mere præcis værdi for E. Da de målte værdier ved aflastningen gav højere værdier for E end ved belastning, er der her valgt at se bort fra disse data. Dette er gjort ud fra betragtningen om, at målingerne ved aflastning burde have de samme eller lavere værdier for stivheden på grund af hysterese. Der må altså være fejl på målingerne ved aflastning af forsøgsemnet. Data for små tøjninger er ligeledes sorteret fra, da målingerne her viser store udsving. Det ækvivalente elasticitetsmodul findes som middelværdien af de beregnede hældninger på den ækvivalente arbejdskurve. Middelværdien udregnes som (A.4), spredningen udregnes som (A.5), og variationskoefficienten udregnes som (A.6). I det følgende er ovenstående databehandling gennemført for de enkelte forsøg. Det skal bemærkes at de dårlige data er frasorteret i figurerne. 5

18 Del I Forsøg A Elastiske konstanter Forsøg : Forsøgsemne 6 Forsøget er gennemført med en belastningsrampe med kræfter på N og N på 00 s. 0 8 σ [MPa] ε længde [-] 4 x 0-4 Figur 3: Arbejdskurve for forsøg. 3 x E [MPa] Figur 4: ε længde [-] x 0-4 E ækv som funktion af ε længde for forsøg. Forsøg : Forsøgsemne 6 Forsøget er gennemført med en belastningsrampe med kræfter på N og N på 00 s. 6

19 A Elastiske konstanter Del I Forsøg 5 0 σ [MPa] ε længde [-] 6 8 x 0-4 Figur 5: Arbejdskurve for forsøg. 3 x E [MPa].9.85 Figur 6: ε længde [-] x 0-4 E ækv som funktion af ε længde for forsøg. Forsøg 3: Forsøgsemne 6 Forsøget er gennemført med en belastningsrampe med kræfter på N og N på 00 s. 7

20 Del I Forsøg A Elastiske konstanter σ [MPa] ε længde [-] 0.8. x 0-3 Figur 7: Arbejdskurve for forsøg x 04.9 E [MPa] ε længde [-] x 0-3 Figur 8: E ækv som funktion af ε længde for forsøg 3. Arbejdskurverne på figur 3, figur 5 og figur 7 viser, at det porøse materiale opfører sig lineært elastisk. Det at arbejdskurverne forbliver rette linier under hele forløbet indikerer, at forsøgsemnerne ikke er blevet belastet til flydning. Graferne for E på figur 4, figur 6 og figur 8 viser at E ækv varierer en lille smule for de enkelte målinger. Variationen er dog ikke stor efter de dårlige data er sorteret fra, og det vurderes derfor rimeligt at regne E ækv for værende en konstant, beregnet som middelværdien af de enkelte målinger. abel 3 viser middelværdien for E ækv for de enkelte forsøg, samt en spredning og en variationskoefficient. Spredningen og variationskoefficienten for E ækv viser at usikkerheden ved at regne E ækv som konstant er minimal. 8

21 A Elastiske konstanter Del I Forsøg abel 3: Middelværdier for E ækv, samt spredningen s og variationskoefficienten δ. Forsøg E [MPa] s [MPa] δ [-]

22

23 B Forsøg med massiv og porøs konsol Del I Forsøg B FORSØG MED MASSIV OG PORØS KONSOL B. DAAOPSAMLING Under forsøgene er der løbende opsamlet data om kraft, tøjning og flytning. Dataene bliver lagret i datafiler til videre bearbejdelse. Der videre behandling af dataene er udført i MatLab og er vedlagt på cd-rom i følgende mapper: Forsøg\Massiv Forsøg\Porøs Den påførte kraft registreres som et analogt spændingsfald, og konverteres til digital signal og opsamles i volt. For at montere konsollen var en forbelastning nødvendig. Denne får dog ingen indflydelse på resultaterne af kraft, tøjninger og nedbøjninger, da disse alle blev nulstillet efter forbelastningen var påført. øjninger er registreret vha. strain gauges. Der er i forsøget anvendt tre enkeltgauges med en gaugefaktor kg=.5 og fire rosettegauges med en gaugefaktor på kg=.. Gauge - anvendes til at registrere tøjninger til brug til sammenligning med de numeriske og analytiske undersøgelser, og gauge 8 0 anvendes til at kontrol. På figur 9 ses placeringen af flytnings- og tøjningsmålere for det massive forsøg. For den massive og porøse konsol er der syv understøtningspositioner. For hver understøtningsposition gennemføres et delforsøg, forsøgsemnet henholdsvis belastes og aflastes, mens data opsamles. il sidst kan de endelige resultater findes ved at superponere resultaterne fra de 7 delforsøg. Dette er tilladt, så længe spændingerne holdes inden for det lineære elastiske område, og så længe deformationerne er små.

24 Del I Forsøg B Forsøg med massiv og porøs konsol Forside Bagside Figur 9: Placering af flytningsmålere og strain gauges. al i cirkler refererer til strain gauges, og tal i firkanter refererer til flytningsmålere. Mål i mm. Alle gauges er monteret på halvbroer, som vist på figur 0, men da der kun er brug for en kvartbro, er der placeret en konstant modstand på den ene af de aktive modstande i Wheatstone broen. Dermed er ε 3 = 0, og den bliver til en kvartbro. Figur 0: Wheatstone bro med to aktive modstande (halvbro). Outputtet V 0 konverteres fra et analog signal til digital signal, og omregnes til en tøjning inden lagring i data-filen. Sammenhængen mellem tøjning og ændring i spændingsfald for halvbroen er givet ved K g Δ V0 = ( ε ε3) Ve (B.) 4

25 B Forsøg med massiv og porøs konsol Del I Forsøg Δ V 0 er ændringen i spændingsfaldet over 4 [V] K g er gaugefaktoren for strain gaugen [-] V e er et konstant spændingsfald fra 3 [V] ε, ε 3 er målte tøjninger [-] [Hansen 998] Idetε 3 = 0, isoleres ε i (B.) til: K ε = 4 g Ve ΔV 0 (B.) Flytninger er registreret ved hjælp af induktive flytningsmålere af fabrikat HF Jensen, og data opsamles som ændring i spændingsfald og konverteres til en flytning, idet der er en lineær sammenhæng mellem ændring i spændingsfald og flytning. Flytningsmålerne kan måle i intervallet ± mm [Hansen 998, notat 6]. B. DAABEHANDLING I det følgende er håndteringen af dataene beskrevet. I datafilerne er registreret sammenhørende værdier af tid, kraft, flytninger og tøjninger. iden vil ikke blive beskrevet i det følgende, da denne ikke har nogen relevans. Der er ikke skelnet mellem det massive og det porøse forsøgsemne. B.. Kraft Som beskrevet tidligere bliver den påførte kraft lagret i datafilerne som en ændring i spænding i Volt. Sammenhængen mellem ændring i spændingsfald ΔU og kraft F er angivet i (B.3). 6kN F =ΔU (B.3) 0 V B.. Flytninger Flytningerne er registreret i de 8 flytningsmålere for hvert af de 7 delforsøg. Ved at betragte delforsøg, understøtningerne står i position for den massive konsol, ses det jf. figur, at belastnings- og aflastningskurven ikke er sammenfaldende som forventet. 3

26 Del I Forsøg B Forsøg med massiv og porøs konsol 5 4 Kraft [kn] Flytning [mm] Figur : Belastnings- og aflastningskurve for flytningsmåler for placering. Dette skyldes fænomenet hysterese, der sker dissipation af tøjningsenergien i form af afgivelse af varme. Da dette energitab ikke ønskes medtaget, vælges der at se bort fra aflastningskurven for både det massive og det porøse forsøgsemne, og dermed vil kun belastningskurven indgå i den endelige beregning af flytningen. Flytningsmålerne er upræcise, og det er derfor nødvendigt at kalibrere disse for at opnå en så præcis flytning som muligt. På figur ses kalibreringsgrafen for flytningsmåler. Kalibreringen er udført for hver af de anvendte flytningsmålere ved at benytte et måleapparat med større præcision end flytningsmålerne. Sammenhørende værdier af de målte værdier og de eksakte værdier er fundet, og ved hjælp af regression er der bestemt en lineær sammenhæng. Denne er efterfølgende brugt til at korrigere de målte værdier, og dermed er en bedre nøjagtighed opnået. Kalibrerede flytninger [mm] Målte flytninger [mm] Figur : Lineær kalibreringskurve for flytningsmåler samt kalibreringspunkter. Som det ses på figur 9, sidder de 8 flytningsmålere parvis to og to. Ved databehandlingen kunne det konstateres, at de parvise flytningsmålere ikke har vist den samme flytning efter korrigeringen, hvilket ses på figur 3, flytningsmåler og 5 er plottet for delforsøg med understøtninger i position. 4

27 B Forsøg med massiv og porøs konsol Del I Forsøg 5 4 Kraft [kn] Flytning [mm] Figur 3: Belastningskurve for flytningsmåler og 5 for delforsøg. Dette kan skyldes, at forsøgsemnet ikke har stået helt lodret, og derfor er det valgt at beregne den resulterende flytning som et gennemsnit af de parvise flytningsmålere. På figur 3 ses det, at hverken kurverne for flytningsmåler og 5 ligger på en ret linie som forventet. Grunden til dette er målingsunøjagtigheder, hvilket medfører, at der ikke er linearitet. For at kunne superponere alle delforsøg og i øvrigt kompensere for de nævnte måleunøjagtigheder, er der udført lineær regression på måleresultaterne for flytningerne. Hermed haves flytningsgrafer for de 4 målepunkter for hvert af de 7 delforsøg. B..3 øjninger For at måle tøjninger blev der monteret 4 rosette gauges hvis placering ses på figur 9, for den massive konsol. På figur 4 ses det, at der som for tøjningskurverne også optræder hysterese, for der igen kun betragtes belastningskurven. Belastnings- og aflastningskurve mht. tøjning 5 4 Kraft [kn] øjning [μm/m] Figur 4: øjningskurve for gauge. Denne ligger heller ikke på en ret linie som forventet, for der ligeledes foretages en lineær regression, og dermed haves tøjningsgrafer for alle gauges for hvert af de 7 delforsøg. 5

28 Del I Forsøg B Forsøg med massiv og porøs konsol B.3 RESULAER For at opnå de samlede flytninger og tøjninger for konsollen, benyttes superpositionsprincippet, resultaterne fra de syv belastningspositioner adderes. I det følgende vil resultaterne for den massive og dernæst den porøse konsol blive angivet. Der vil for den massive konsol blive angivet flytninger og tøjningerne for en fladelast på 4.5 MPa. For den porøse konsol vil der blive angivet de fire flytninger for en fladelast på.5 MPa. Ved at vælge fladelasten til ovenstående for henholdsvis den massive og porøse konsol, er der sikret at denne ikke flyder. B.3. Massiv konsol For en fladelast på 4.5 MPa bliver de samlede flytninger og tøjninger angivet i det følgende, flytningerne ses i tabel 4. abel 4:Flytninger for den massive konsol. Placering af flytningsmålere er angivet på figur 9. Flytningsmåler og 5 og 6 3 og 7 4 og 8 Samlede flytning [mm] Da flytningerne ønskes beskrevet for konsollen, korrigeres de således, at flytningen ved indspændingen er u = 0. Det antages her, at ændringen i flytning fra fastholdelsen til flytningsmåler -5 er Δu 0, og dermed kan flytningerne angivet i tabel 5 med hensyn til x findes. abel 5: Flytninger mht. x. Koordinatsystem som figur 5. x [mm] u [mm] På figur 5 ses placeringen af de fire rosettegauges samt det globale koordinatsystem. I det følgende vil tøjningerne for rosette gauges blive transformeret til det globale koordinatsystem, efter spændingerne vil blive beregnet. x x A(3.5, 7.5) B(70.4,.4) D(79.6, 5.4) C(6.5, 7.3) Figur 5: Placering af rosette gauges (A, B, C og D).Koordinater i mm. øjninger målt i rosettegauges for konsollen er angivet i tabel 6, gauge nummer refererer til figur 9. abel 6: øjninger for den massive konsol. 6

29 B Forsøg med massiv og porøs konsol Del I Forsøg Nr μm øjning m Nr μm øjning m øjningerne målt i rosettegauges ønskes angivet for ε, ε og ε i det globale koordinatsystem der ses på figur 5. il dette benyttes transformationsformlerne angivet ved (B.4). i β ε = ε cos β + ε sin β + ε sin β cos β (B.4) i i i i i er hhv. gauge, og 3 for rosettegaugen er vinklen mellem den enkelte strain gauge og det globale koordinatsystem [Hansen 998] Ud fra figur 6 ses geometrien af de fire rosettegauges. x β C 3 β B β A 3.3 x Figur 6: Geometri af rosettegauges. Ved indsættelse af værdier i formel (B.4) fås følgende tøjninger: abel 7: øjninger i det globale koordinatsystem. m m m ε [ ] ε [ ] ε [ ] m m A 3.907e e e-5 B 4.e e e-5 C e e-5.60e-4 D e-4.647e-5.848e-4 m B.3. Spændinger For at beregne spændingerne i konsollen benyttes Hookes lov, der er givet ved følgende: [ D ] er materialets stivhedsmatrice { σ } er spændingerne for henholdsvis σ, σ og σ { ε } er tøjningerne for henholdsvis ε, ε og ε Materialet stivhed regnes ved { σ} = [ D] { ε} (B.5) 7

30 Del I Forsøg B Forsøg med massiv og porøs konsol ν 0 [ ] E D = ν 0 ν ν 0 0 E er elasticitetsmodulen beregnet i afsnit A.3 ν er Poissons forhold beregnet i afsnit A.3 (B.6) Ved indsættelse af tøjningerne i (B.5) fås følgende spændinger der ses i tabel 8. abel 8: Spændinger i den massive konsol for en fladelast på 4.5 MPa. Rosettegauge ε [MPa] ε [MPa] ε [MPa] A B C D B.3.3 Effektive spændinger Der er i dette projekt foruden σ, σ og σ spændinger anvendt effektive Von Mises spændinger. De effektive spændinger er defineret til følgende σ e er de effektive spændinger s ij er spændingsdeviatoren [Byskov 00, p07-08] σ = s ss 3 e ij ij = σ σ δ ij ij 3 kk ij (B.7) Udtrykket i (B.7) kan omskrives til følgende udtryk ved udnyttelse af regneregler for indeksnotation σ = σ + σ + 3σ σ σ (B.8) e I udtrykket i (B.8) er alle indgangsværdier af σ angivet i tabel 8. De effektive Von Mises spændinger anvendes til at kontrollere at der ikke sker flydning idet idet Von Mises flydekriterium er givet ved σ y er flydespændingen σ = σ (B.9) e y Indsættes værdierne fra tabel 8 i formel (B.8) fås følgende værdier for den effektive spænding. 8

31 B Forsøg med massiv og porøs konsol Del I Forsøg abel 9: Effektive spændinger for massiv konsol. Rosettegauge σ [ MPa] A 9.5 B 3.0 C 5.6 D 7.0 e B.3.4 Porøs konsol For en fladelast på.5 MPa bliver de samlede flytninger som angivet i tabel 0. abel 0: Flytninger for porøs konsol. Flytningsmåler og 5 og 6 3 og 7 4 og 8 Samlede flytning [mm] Det er igen interessant at kende flytningerne på den porøse konsol mht. x -aksen, og de er fundet på samme måde som for den massive konsol og kan ses i tabel. abel : Flytninger i x-retning med koordinatsystem som i figur 5. x u

32

33 Del II Analytiske modeller

34

35 C Simpel bjælkemodel Del II Analytiske modeller C SIMPEL BJÆLKEMODEL I dette bilag er der foretaget en bestemmelse af udbøjningen og spændingen for bjælkemodellen, som er præsenteret i hovedrapport afsnit 5. og vist på figur 7. Bjælken er påvirket af en jævnt fordelt linielast p. p x, w x Figur 7: Bjælkemodel med varierende tværsnit påvirket af en jævnt fordelt linielast p. Udbøjningen er beregnet for både en Bernouli-Euler og en imoshenko-bjælke efter Virtuelle Kræfters Princip på følgende fremgangsmåde: værsnitsdata defineres Virkelige snitkræfter bestemmes Virkelige tøjninger bestemmes vha. konstitutive betingelser Virtuel krafttilstand indføres og virtuelle snitkræfter bestemmes Virtuelle Kræfters Princip opstilles Udbøjningen fås ved at løse arbejdsligningen Herefter er spændingerne beregnet for en Bernouli-Euler-bjælke ved hjælp af Naviers og Grashofs formel. Alle beregningerne er vedlagt på cd-rom som bjælke.mws. C. VÆRSNISDAA Højden varierer lineært med bjælkeaksen på følgende måde h L L x h( x) =, 0 x L (C.) er bjælkens tværsnitshøjde [m] er bjælkens længde [m] Inertimomentet om bjælkeaksen for det rektangulære tværsnit med konstant tykkelse og varierende højde bliver 33

36 Del II Analytiske modeller C Simpel bjælkemodel I ( x ) ( ( )) 3 = t h x, 0 x L L x = t 4 I er inertimomentet om bjælkeaksen for et rektangulært tværsnit [ m ] t er bjælkens tykkelse [m] [eknisk Ståbi 004, p34] 3 (C.) Det effektive areal for et rektangulært tværsnit er 5 Ae ( x) = t h( x) 6 5 L x = t 6 A e er det effektive areal for et rektangulært tværsnit [ m ] [Byskov 00, p37] (C.3) C. VIRKELIGE SNIKRÆFER For at bestemme snitkræfterne betragtes et bjælkeudsnit i afstanden ( L x ) fra bjælkespidsen, som vist på figur 8. Normalkraften er ikke vist, fordi den er lig nul når bjælken kun er påvirket af lodrette kræfter. p M V x x L x L Figur 8: Bjælkeudsnit med forskydningskraften V, momentet M, og den ydre linielast p. Snitkræfterne bestemmes ud fra henholdsvis lodret ligevægt og momentligevægt V M p ( ) = ( ) V x p L x M x p L x ( ) = ( ) er den indre forskydningskraft [N] er det indre moment [Nm] N er den ydre linielast m,0 x L (C.4) 34

37 C Simpel bjælkemodel Del II Analytiske modeller C.3 VIRKELIGE ØJNINGER Materialet antages at være lineært elastisk, for de konstitutive feltbetingelser kan indføres ved Hookes lov ( ) = e ( ) γ ( ) ( ) = ( ) κ ( ) V x GA x x M x EI x x G er forskydningsmodulen [Pa] γ er forskydningstøjningen [-] E er elastitetsmodulen [Pa] κ er krumningstøjningen [-] [Byskov 00, p36],0 x L (C.5) Der er set bort fra aksialtøjningen, idet bjælken ikke har normalkræfter. Ved omskrivning af (C.5) fås følgende forskrift for krumningstøjningen for både imoshenko-bjælken og Bernoulli-Eulerbjælken M x κ ( x ) = EI x ( ) ( ) ( x ) 6 p L = L x Et 48 p = L x Et ( ) 3 (C.6) For imoshenko-bjælken fås endvidere den konstante forskydningstøjning V x γ ( x ) = GA ( ) e ( x ) p( L x ) 6 = L x 5Gt p = 5Gt (C.7) C.4 VIRUELLE SNIKRÆFER Der indføres en virtuel krafttilstand, bjælken i stedet for sin virkelige belastning påføres en virtuel opadrettet enkeltkraft, som vist på figur 9. Den virtuelle kraft er placeret i en vilkårlig afstand a fra understøtningen i intervallet 0 a< L. Herved kan udbøjningen i angrebspunktet bestemmes. 35

38 Del II Analytiske modeller C Simpel bjælkemodel δ p a L Figur 9: Virtuel krafttilstand med en opadrettet enkeltkraft δp placeret i en vilkårlig afstand a fra understøtningen. De virtuelle snitkræfter af dette system kan bestemmes ved at betragte et bjælkeudsnit i afstanden ( L x ) fra bjælkespidsen, som vist på figur 30. δ M δv δ P a x x L x Figur 30: Bjælkeudsnit med den virtuelle forskydningskraft δv, det virtuelle moment δm, og den ydre virtuelle enkeltkraft δp. De virtuelle snitkræfter fås ved henholdsvis lodret ligevægt og momentligevægt δv δm δp ( ) δv x ( ) δ M x δ P = 0 δ P a = 0 ( x ) er den indre virtuelle forskydningskraft [N] er det indre virtuelle moment [Nm] er den ydre virtuelle enkeltkraft [N] 0 x < a a< x L 0 x < a a x L (C.8) C.5 VIRUELLE KRÆFERS PRINCIP De virtuelle kræfters princip med virkelige tøjninger og de virtuelle snitkræfter formuleres således L L L ( ) δ = κ( ) δ ( ) + γ ( ) δ ( ) + ε( ) δ ( ) (C.9) wa P x M x dx x V x dx x N x dx w er den opadrettede udbøjning [m] δn er den indre virtuelle normalkraft [Nm] ε er den virkelige aksialtøjning [-] 36

39 C Simpel bjælkemodel Del II Analytiske modeller [Byskov 00, p30] Da aksialtøjningen er lig nul, bliver det tilhørende virtuelle indre arbejde lig nul. Da de virtuelle snitkræfter er lig nul til højre for den virtuelle enkeltkraft jf. (C.8), bliver de øvre grænser for integralerne lig a. Arbejdsligningen (C.9) reduceres derfor til a ( ) δ = κ( ) δ ( ) + γ ( ) δ ( ) wa P x M x dx x V x dx 0 0 a (C.0) C.6 UDBØJNING Ved indsættelse af (C.6) og (C.8) i (C.0), integration og variabel substitution a = x fås udbøjningen w(x ) for Bernoulli-Euler-bjælken, idet sidste led i (C.0) udelades w BE BE 48 p L x w( x) = x + ( L x) ln, 0 x < L Et L er den opadrettede udbøjning for Bernoulli-Euler-bjælken [m] (C.) Udbøjningen i bjælkespidsen fås som grænseværdien af (C.) når x L BE ( ) = lim w( x ) w L x L 48 pl = Et BE (C.) På tilsvarende vis indsættes (C.6)-(C.8) i (C.0) for imoshenko-bjælken, hvis løsning kan skrives som summen af udbøjningen hidrørende fra Bernoulli-Euler-bjælken (C.) og et forskydningsbidrag w S S BE p,0 ( ) ( ) w x = w x + x x < L 5Gt forskydningsbidrag er den opadrettede udbøjning for imoshenko-bjælken [m] (C.3) Spidsudbøjningen for imoshenko-bjælken fås som grænseværdien af (C.3) når x L S ( ) = lim w( x ) w L x L 48 pl pl = + Et 5Gt S ( + ) pl 0G E = 5 EGt (C.4) C.7 KONROL AF UDBØJNING Ved indsættelse af de virtuelle snitkræfter i virtuelle kræfters pincip fås et flytningsfelt, der opfylder de kinematiske felt- og randbetingelser. I det følgende afsnit eftervises dette for løsningen af Ber- 37

40 Del II Analytiske modeller C Simpel bjælkemodel noulli-euler-bjælken. De kinematiske randbetingelser kan indses af det statiske system på figur 7, indspændingen forhindrer udbøjning og vinkeldrejning w ( ) ( ) dw x = = (C.5) dx x = 0 Ved indsættelse af løsningen (C.) i randbetingelserne (C.5), ses at løsningen giver hverken udbøjning eller vinkeldrejning i understøtningen w BE BE 48 p L L 0 = Lln = 0 = = 0 ( ) L 48 p ln dw ( x ) Et L dx Et x = 0 ok ok (C.6) Bjælkens kinematiske feltbetingelse er [Byskov 00, p30] ( ) d w x dx ( x ) = κ (C.7) Ved differentiation af (C.) to gange fås L 48 p ln ( ) 48 p = dx dx E t = E t L x BE d w x d L x ( ) (C.8) Ved sammenligning med (C.6), ses at løsningen ligeledes opfylder den kinematiske feltbetingelse. C.8 SPÆNDINGER Spændingerne er beregnet for Bernoulli-Euler-bjælken. Normalspændingen findes ved hjælp af Naviers formel for ren bøjning: ( ) ( ) M x σ = x (C.9) I x σ er normalspændingen i x -retningen [Pa] [Byskov 005, p48] Ved indsættelse af forskrifterne for inertimomentet (C.) og bøjningsmomentet (C.4) i (C.9) fås normalspændingen til 48 p σ = x ( ) L x t (C.0) Forskydningsspændingen findes ved hjælp af Grashofs formel: 38

41 C Simpel bjælkemodel Del II Analytiske modeller ( ) u ( ) I ( x ) t σ = V x S x (C.) S u σ er forskydningsspændingen i x -retningen [Pa] er det statiske moment omkring bjælkeaksen af et delareal af tværsnittet, forskyd- 3 ningsspændingen ønskes bestemt [ m ] [Byskov 005, p63] Det statiske moment af et delareal for et rektangulært tværsnit er givet ved [Byskov 005, p63] ( ) h x Su = t x (C.) Ved indsættelse af (C.), (C.4) og (C.) i (C.) fås forskydningsspændingen til ( + ) ( + ) ( L x ) t 3p 4x L x 4x L x σ = (C.3) For en plan, ret bjælke kan den effektive spænding findes ved hjælp af normal- og forskydningsspændingen. σeff = σ + 3σ (C.4) σ eff er den effektive spænding [Pa] Forskriften for de effektive spændinger er udledt i bilag G, blot er σ = 0. Ved indsættelse af spændingernes forskrifter (C.0) og (C.3) i (C.4) fås σ eff 3 p x ( 4x + L x ) ( 4x + L x ) = ( L x) t L x (C.5) 39

42

43 D Airys spændingsfunktion Del II Analytiske modeller D AIRYS SPÆNDINGSFUNKION Fra hovedrapport afsnit 5. haves Airys spændingsfunktion for konsollen på følgende form. Φ ( r, θ ) r σ ( cos( α) + cos( θ) cos( θ) cos( α) ) = 4 αsin( α) + cos( α) r σ ( αsin ( α) + θsin ( α) sin ( α) sin ( θ) ) 4 αsin( α) + cos( α) (D.) Spændingsfunktionen kan reduceres væsentligt ved at udnytte følgende trigonometriske sammenhænge sin a = cos a sin a = sin a cos a cos cos a = a cos a = sin a (D.) Herved reduceres (D.) til Φ ( r, θ ) ( sin ( ) cos( ) ( cos( ))) r σ α + θ α = 4 αsin( α) + cos( α) (( ) sin ( ) sin ( ) cos( ) sin ( ) cos( )) r σ α + θ α α α θ θ 4 αsin( α) + cos( α) ( sin ( ) cos( ) sin ( )) r σ α + θ α = 4 αsin( α) + cos( α) (( ) 4sin ( ) cos( ) 4sin ( ) cos( ) sin ( ) cos( )) r σ α + θ α α α α θ θ 4 αsin( α) + cos( α) (D.3) ( sin ( ) ( cos( ))) r σ α + θ = 4 αsin( α) + cos( α) (( ) 4sin ( ) cos( ) 4sin ( ) cos( ) sin ( ) cos( )) r σ α + θ α α α α θ θ 4 αsin( α) + cos( α) 4

44 Del II Analytiske modeller D Airys spændingsfunktion ( sin ( ) cos ( )) r σ α θ = 4α sin( α) cos( α) sin ( α) (( ) 4sin ( ) cos( ) 4sin ( ) cos( ) sin ( ) cos( )) r σ α + θ α α α α θ θ 4 α sin( α) cos( α) sin ( α) ( 4sin ( ) cos( ) tan ( ) cos ( )) r σ α α α θ = 8 α sin ( α) cos( α) sin ( α) (( ) 4sin ( ) cos( ) 4sin ( ) cos( ) sin ( ) cos( )) r σ α + θ α α α α θ θ 8 α sin( α) cos( α) sin ( α) ( ) r σ 4sin ( α) cos( α) tan ( α) cos ( θ) α + θ sin ( θ) cos( θ) = 8 α sin ( α) cos( α) sin ( α) = ( ) r σ cos( α) α θ + sin ( θ) cos( θ) tan ( α) cos ( θ) α cos( α) sin( α) Der indføres en konstant cos( α ) C = α cos( α) sin( α) (D.4) Herved kan spændingsfunktionen endeligt omskrives til en simplere form ( r, θ) C r σ ( α θ sin( θ) cos( θ) cos ( θ) tan( α) ) Φ = + (D.5) 4

45 Del III Numeriske modeller

46

47 E Bestemmelse af materialeparametre ved beregninger Del III Numeriske modeller E BESEMMELSE AF MAERIALEPARAMERE VED BEREGNINGER E. ELASICIESMODUL OG POISSONS FORHOLD E.. Udskrivning af spændingsrelation I det følgende betragtes relationen mellem lokale og globale spændinger givet ved (E.). [Jensen 006, note 6] lokal ij σ S ik k j σ = n x ds V (E.) For at illustrere anvendelsen af (E.) tages der udgangspunkt i figur 3, som viser de enkelte spændingskomposanter σ ij på RVE samt enhedsnormalvektorerne n på de to ydre flader givet ved n vandret n lodret = 0 0 = for den vandrette rand for den lodrette rand 45

48 Del III Numeriske modeller E Bestemmelse af materialeparametre ved beregninger σ n lodret σ σ a σ x n vandret x a Figur 3: Spændingskomposanter, tøjningstilstand og normalvektorer på udsnit af RVE. Stiplet omrids angiver udeformeret tilstand. I det følgende gennemgås i detaljer, dan den globale spændingskomposant σ bestemmes. Da problemet regnes plant, skal indeksnotationen i (E.) kun evalueres for to dimensioner. Udtrykket skal gennemløbes for både den vandrette og den lodrette rand. Udskrevet generelt for σ på en rand bliver (E.) σ σ σ n x ds = lok n x lok ds + V S S (E.) Her er n og n hhv. x - og x -komposanten i den enhedsnormalvektor, som tilhører den betragtede rand. For den lodrette rand er komposanterne af enhedsnormalen hhv. n = og n = 0. Derfor forsvinder andet led for denne rand. Da x -koordinaten er konstant a på den lodrette rand varierer denne således ikke i summationen. Da problemet modelleres vha. elementmetoden er det en diskret summation af knudekræfter der udføres i modsætning til en egentlig integration. σ-bidraget fra den lodrette rand bliver således a σ = σ lok adx V 0 ilsvarende er der kun ét bidrag fra den vandrette rand, idet dennes første komposant i normalenhedsvektoren er 0, for kun andet led i (E.) er forskellig fra nul. I dette tilfælde er stedkoordinaten x ikke konstant, men varierer fra 0 til a, for dette bidrag ser således ud 46

49 E Bestemmelse af materialeparametre ved beregninger Del III Numeriske modeller a σ = σ lok x dx V 0 For σ gennemføres samme operation, for de samlede udtryk for σ og σ kommer til at se ud som følger a a a a lok lok σ = x dx x dx a dx x dx V σ + σ = 0 0 V σ + σ 0 0 a a a a lok lok σ = σ x dx + σ x dx = σ x dx + σ a dx V V E.. Konvergensundersøgelse af spændingsrelation Figur 3 og figur 33 viser resultatet af en konvergensundersøgelse af værdierne for σ og σ som funktion af antallet af CS-elementer. Som det ses, opnås tilnærmelsesvis stationære værdier ved anvendelse af elementer. MPa Antal elementer Figur 3: Konvergensundersøgelse af σ for stigende antal CS-elementer MPa Antal elementer Figur 33: Konvergensundersøgelse af σ for stigende antal CS-elementer. 47

50 Del III Numeriske modeller E Bestemmelse af materialeparametre ved beregninger Det vælges således at regne med følgende værdier for n = bliver således σ = 3895MPa σ = 747MPa E. FORSKYDNINGSMODUL E.. ransformation af forskydningsspændinger I dette afsnit omregnes spændingerne i det drejede koordinatsystem til forskydningsspændinger i det oprindelige koordinatsystem. Figur 34 viser spændingerne udregnet ved elementmetoden ' ' ' ( σ, σ, σ ) og de spændinger der ønskes fundet vha. transformationsformlerne ( σ, σ, σ ). ' σ ' x ' σ ' σ ' σ ' σ ' σ ' σ σ σ ' σ σ σ { n } { m} θ σ σ σ σ Figur 34: Udsnit af RVE til bestemmelse af forskydningsspændinger. Retningsvektorerne { } n og { } m kan skrives som ' x n sin( θ ) {} n = n = cos( θ ) m cos( θ ) { m} = m = sin( θ ) (E.3) ' ransformationsformlerne benyttes til at beskrive sammenhængen mellem spændingerne σ αβ i det drejede koordinatsystem, og spændingerne σ αβ i det oprindelige koordinatsystem. ransformationsformlerne er givet ved (E.4) og udskrevet for de enkelte spændingskomposanter. 48

51 E Bestemmelse af materialeparametre ved beregninger Del III Numeriske modeller σ ' = σ nn αβ α β σ = σ n + σ n + σ nn ' σ ' = σ mm αβ α β σ = σ m + σ m + σ mm ' (E.4) [Jensen 006, Note 4] σ = σ = σ ' ' nm αβ α β σ = σ nm + σ nm + σ nm + σ nm ' 3 ligninger med 3 ubekendte løses, og giver følgende løsninger til spændingerne udtrykt ved de oprindelige koordinater. Beregninger vedlagt på cd-rom som ransformationsformler.mw σ = cos( θ)sin( θσ ) + cos ( θσ ) + σ cos ( θσ ) ' ' ' ' σ = cos( θ)sin( θσ ) + cos ( θσ ) + σ cos ( θσ ) ' ' ' ' σ = cos( θ)sin( θ)( σ σ ) + cos ( θ) σ σ ' ' ' ' Det er kun forskydningsspændingen σ der anvendes til bestemmelse af forskydningsmodulen. Derfor er det kun den der behandles i det følgende. σ omskrives vha. følgende trigonometriske funktioner. sin( θ) = sin( θ)cos( θ) sin( θ ) = cos( θ )sin( θ ) (E.5) cos ( θ) ( cos( θ)) = + (E.6) Indføres de trigonometriske funktioner (E.5) og (E.6) i udtrykket for forskydningsspændingen fås ' ' ' ' σ = sin( θ )( σ σ ) + ( + cos( θ )) σ σ = sin( θ )( σ σ ) + σ + cos( θ ) σ σ sin( )( ' ' ' = θ σ σ ) + cos( θ ) σ ' ' ' ' ' (E.7) 49

52

53 F Elementmetodeteori Del III Numeriske modeller F ELEMENMEODEEORI I dette bilag foretages en gennemgang af teorien bag elementmetoden. Der tages udgangspunkt i forskriften for potentiel energi, og det vises dan der ved brug af variationsprincippet kan opstilles en matrixligning, som kan anvendes i elementmetoden. Gennemgangen bliver foretaget ud fra en opstilling af den potentielle energi for konsollen i dette projekt. F. POENIEL ENERGI Den potentielle energi beskriver den samlede energi i et system i form af tøjningsenergi, samt potentiel energi fra volumenkræfterne og kræfterne langs randen af legemet. Den potentielle energi for kinematisk linearitet og lineær elasticitet er opstillet generelt i følgende udtryk (F.) Π P ( ui ) = D ijklεε V kldv q V iuidv τ S iuids Π P er den potentielle energi u er flytningsfeltet for legemet D er en 4. ordens tensor, der beskriver den konstitutive relation mellem tøjning og spænding ε er tøjningstensoren V er volumenet af det udeformerede legeme q er volumenkræfter τ er kræfter på randen af volumenet S er arealet af randen [Byskov 00, p90] Det første led på højresiden af (F.) beskriver tøjningsenergien, det midterste led den potentielle energi fra volumenkræfterne, mens det sidste led beskriver den potentielle energi fra kræfterne langs randen af legemet. Π P er en funktion af u i, da den kan opstilles ud fra at vilkårligt flytningsfelt beskrevet ved u i. I dette projekt ses der bort fra volumenkræfter som for eksempel egenlasten, da denne har lille variation gennem legemet. Dermed kan de i stedet påføres den ydre rand som en fladelast. Dermed bliver den potentielle energi i dette tilfælde 5

54 Del III Numeriske modeller F Elementmetodeteori (F.) Π ( u ) = D εε dv τ uds P i V ijkl ij kl S i i F.. Notation af D ijkl For at den potentielle energi kan opstilles på matrixform er det nødvendigt, at notationen af den 4. ordens tensor D ijkl opstilles på matrixform. Dette gøres ved at samle den. ordens tensor ε i en vektor. Dette medfører, at relationen mellem D ijkl og ε ij kan noteres ved følgende [Byskov 00, p93] D εε D εε ijkl ij kl ij i j D ij kaldes materialets stivhedsmatrice. F.. Opstilling af flytningsfelt Den potentielle energi kan opstilles for et vilkårligt valg af flytningsfelt, så længe det overholder de kinematiske betingelser. For dette projekt omhandlende et plant tilfælde er de kinematiske betingelser, at der er kontinuitet i flytningerne i x og x -aksens retninger. Flytningsfeltet i (F.) kan beskrives ved at indføre elementer med knudepunkter med tilhørende frihedsgrader som styrer flytningsfeltet. Hermed kan flytningsfeltet beskrives ved en relation mellem flytningerne i frihedsgraderne og det totale flytningsfelt som opstillet i det følgende {} u = [ N]{ V} (F.3) u er flytningsfeltet i x og x -aksens retninger V er flytningerne i frihedsgraderne N er en flytningsinterpolationsmatrice som knytter relationen mellem frihedsgrader og flytningsfelt sammen [Byskov 00, p37] Det skal bemærkes, at de indførte frihedsgrader kan betragtes som koefficienter til et funktionsudtryk, hvis værdier indtil videre kan vælges frit, da (F.) gælder for et vilkårligt valg af flytningsfelt, som overholder de kinematiske betingelser. F..3 Opstilling af tøjningsfelt øjningstensoren i (F.) kan ligeledes beskrives ved de førnævnte frihedsgrader, da tøjningerne i en skive afhænger lineært af flytningerne. Sammenhængen mellem tøjning og flytning udtrykkes ved følgende sammenhæng {} ε = [ B]{ V} (F.4) B er tøjningsinterpolationsmatricen [Byskov 00, 37] F..4 Opstilling af last Kraften på randen af legemet i (F.) omskrives til ækvivalente punktlaster virkende i frihedsgraderne, hvilket giver følgende relation 5

55 F Elementmetodeteori Del III Numeriske modeller τ iuds i = { V} { f} (F.5) S f er den ækvivalente kraftvektor virkende i frihedsgraderne [Byskov 00, p37] Bemærk at frihedsgradsvektoren er transponeret således at matrixdimensionerne i matrixproduktet stadig stemmer overens. F..5 Potentiel energi på matrixform Ved indsættelse af (F.4) og (F.5) i (F.) kan den potentielle energi nu opstilles på matrixform ved følgende ( ) Π ({ V}) = [ D][ B]{ V} [ B]{ V} da { V} { f} P A ( ) = [ B]{ V} [ D] [ B]{ V} da { V} { f} A = { V} [ B] [ D][ B]{ V} da { V} { f} A = { V} [ B] [ D][ B] da{ V} { V} { f} A = { V} [ K]{ V} { V} { f} [K] er konstruktionens stivhedsmatrice defineret ved [ K] = [ B] [ D][ B] da, idet tykkelsen er indeholdt i [D] [Byskov 00, p373] Ved omskrivningerne i (F.6) er anvendt, at den transponerede af et matrixprodukt er lig de enkelte matricer transponeret og i omvendt rækkefølge. Ligeledes er det anvendt at materialets stivhedsmatrix er symmetrisk, da D ijkl = D klij for lineær elastisk materiale [Byskov 00, p60]. Dette medfører at [ D ] = [D]. Volumenintegralet er blevet ændret til et fladeintegral, da der i dette projekt behandles et plant tilfælde. Den potentielle energi er nu en funktion af frihedsgraderne. A (F.6) F. VARIAION AF POENIEL ENERGI il at bestemme de korrekte koefficienter i flytningsfeltet beskrevet ved frihedsgraderne kan princippet om stationær potentiel energi benyttes som angivet i (F.7). Princippet går ud på at variere den potentielle energi ved variation af koefficienterne i det estimerede flytningsfelt således, at den mindste potentielle energi opnås. Princippet udnytter, at den potentielle energi er stationær, når variationen er nul. Dette giver det bedste flytningsfelt indenfor den valgte funktionsform. Princippet om stationær potentiel energi kan defineres ved følgende δπ P α ε δα Π P ( α + εδα) δπ P ( α) = = 0 ε ε= 0 er variationen af den potentielle energi er et felt, eksempelvis et flytningsfelt er amplituden af en lille afvigelse fra den potentielle energi er formen af en lille variation fra den potentielle energi (F.7) 53

56 Del III Numeriske modeller F Elementmetodeteori [Byskov 00, p57] Udtrykket i (F.7) anvendes i det følgende, feltet α substitueres med flytningsfeltet beskrevet ved {V}. Det skal bemærkes, at der er igennem hele gennemgangen er anvendt stivhedsmatricer og frihedsgrader på konstruktionsniveau. De anvendte principper gælder ikke på elementniveau, idet variation af frihedsgrader skal ske globalt for at sikre konstruktionens sammenhæng. Anvendes (F.6) til at opstille den potentielle energi for flytningen V + ε δv i stedet for V, fås følgende δ ( δ ) ( δ ) ( δ ) Π ({ V} + ε { V}) = { V} + ε{ V} [ K] { V} + ε{ V} { V} + ε{ V} { f} P = { V} [ K]{ V} + { V} [ K] ε{ δv} + ε{ δv} [ K]{ V} + ε δ δ ε δ { V} [ K]{ V} { V} { f} { V} { f} ( δ ) ε ε δ = { V} [ K]{ V} + { V} [ K]{ V} + { V} [ K]{ V} { V} [ K]{ V} { V} { f} ε{ δv} { f} + ε δ δ ( δ ) ε = { V} [ K]{ V} + [ K]{ V} { V} + ε{ δv} [ K]{ V} + ε δ δ ε δ { V} [ K]{ V} { V} { f} { V} { f} = { V} [ K]{ V} + ε{ δv} [ K]{ V} + ε{ δv} [ K]{ V} + ε δ δ ε δ { V} [ K]{ V} { V} { f} { V} { f} = { V} [ K]{ V} + ε{ δv} [ K]{ V} + { δv ε }[ K]{ δv} { V}{ f} { δv}{ f} ε (F.8) I (F.8) er det udnyttet, at ε er en skalar, som således kan flyttes frit rundt i leddet. Der er ligeledes anvendt, at hvert led i udtrykket for potentiel energi er en skalar, da den potentielle energi er en skalar. Dermed er et leds transponerede lig ledet inden transponering, hvilket er anvendt til omskrivning af leddet V K δv = ( V K δv ) { } [ ] ε{ } ε { } [ ]{ }. Den afledte af den potentielle energi i (F.8) med hensyn til ε bliver således Π P ({ V} + ε{ δv} ) = { δv} [ K]{ V} + ε{ δv} [ K]{ δv} { δv} { f} ε (F.9) Ved nu at anvende definitionen af princippet om stationær potentiel energi i (F.7), ε i udtrykket i (F.9) sættes lig nul fås følgende δπ ( V) = { δv} [ K]{ V} { δv} { f} = 0 P ( ) { δv} [ K]{ V} { f} = 0 (F.0) Princippet om stationær potentiel energi skal gælde for alle variationer af {V}, hvilket medfører følgende matrixligning 54