Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Transkript

1 Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939.

2 le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed. l. Defiitio af visse Fudametalbegreber 1.1. Statistiske Observatioer. Kedeteg De statistiske Regelmæssighed. Begrebere Kollektiv og Sadsylighed.. 2. Elemeter af Sadsylighedsregige Additio af Sadsyligheder Lige mulige Tilfælde. 2.~. rermutatioer og Kombiatioer Multiplikatio af Sadsyligheder Delig af et Kollektiv. Bayes' Regel. II. Fordeligsteori. (Edimetioale Fordeliger). ~. Sapsylighedsfordeliger. ~.l. Matematisk Note, s~lig om Summatiosteg a.l. ~.2. Aritmetiske Fordeliger... It.. Side ~.~. Geometriske Fordeliger. Begrebere Sadsylighedstæthed og Sadsylighedsitegral.. 17 ~.4. Forvetigsberegiger og Mometer ~.5. Beskrivelse af e Fordelig ved des Parametre Nogle vigtige Typer af Fordeligsfuktioer De Beroulliske Fordelig. Biomiallove Poisso's Fordelig ~. De Gaussiske Fordelig. 5. Lovee for de store Tal Beroullis Teorem. ~2 Sammehæge mellem de Biomielle Fordelig og Poissos Fordelig. Bayes' Teorem Tschebyschef's Teorem SampligProblemere SampligVariatioer ud fra et givet Kollektiv. Foreklet Fremstillig af Teorie for HypoteseprØvig..... y..l.prøve ("chisquare test") EstimerigsProblemere. l Il l~

3 l. I. GRUNDLAGET FOR DEN TEORETISKE STATISTIK. KOLlEKTIV OG SANDSYNLIGHED. l. D e f i i t i o a f v i s s e Fudametalb e g r e b e ro 1.1. Statistiske Observatioer. Kedeteg. Statistikkes Gestad er visse Typer af M a s s e i a g t t a g e l s e r i et Observatios f e l d t. E Masseiagttagelse er e Samlig ekeltobservatioer af e Egeskab hos ~mere specificerede s t a t i s t i s k e E h e d e r i Observatiosfeldtet. Ekeltobservatioere bestaar i at otere K e d e t e g for de iagttage Egeskaber hos hver Ehed. Nedestaaede Tabel giver ogle Eksempler til Illustratio af disse Begreber o I Observatiosfeldt i Iagttaget Egeskab Statistisk Ehed Kede~egI l. Studeter i Aarhus Alder de ekelte Studet,Atal Aar I 2. Daske Rekrutter 13. Skatteydoro i K.ø'behav Legemsh.ø'jdo Idtægt de ekelte Rekrut de ekelte Skatteyder cm. I Kr., 4. Damarks Hadolsflaade Drægtighed det ekelte Skib Br. Tos 5. Trafikke med Lytogoe Persobofordrig Aaret 19. Perso km. 6. Smørmarkedet i Pris paa dask Eglad Sl:l1.0'r de 15. i hver Maaed I sh.pr. 100 kg I 7. Aktier i A.O. Sælgoroterig I sidsto Dag i ugol... Kr.pr. Aktio ; I.._ '... Læg I,jrJrke til, at i o Rækko Tilfælde vil do statistiske Ehed VEBre et Tidspukt olier ot Tidsrum. Alle Egeskaber i disse Eksempler er k va t i t a t i v o, d.v.s. deres Kodoteg har umeriske Værdior. I Hoc1sætig hertil ka ma betragte kvalitative Egoskabor, f.eks. for de oveævte Tilfældo hoholdsvis. l. Hjorsted~ 2.;Øjemfarve, 3. Livsstillig o.s.v. Mago

4 kvjlitative Egeskaber ka dog kvatificeres ved at ma tilorder de forskellige Kedeteg visse Tal. I de statistiske Teori opererer vi ku med kvatitativt agive Kedeteg. Et Kedetegs Foradriger fra Forsøg til Forsøg beteger vi dots s t a t i s t i s k e Var i a t i o. De betragtede kvatitative Egeskab kaldes ofte e s t a t i s t i s k Var i a b e l. Det Omraado~ ide for hvilket et Kedeteg ka variere, beteger vi dots Var i a t i o s f e l d t. Et vigtigt Specialtilfælde er a l t e r a t i v e Observatioer, d.v.s. Observatioer, som ku ka vise to forskellige Kodeteg (f.eks. Pltt.t og Kroekast ) Ofte beæves det ee af de to Kedeteg e \IBegivehod it... B og tilordes Tallet l, medes det adet Kedeteg beæves ~ ikkeb og tilordes Tallet O. Adre statistiske Observatioer ka, ved Grupperig, paa forskellig Maade overføres til Tilfældet alterative Observatioer, ma behøvor blot at betege et af Kedetegee med "Bil og alle de øvrige med "ikkeb" 1.2. De stti.3tiske Rege~ssi~ed. Begrebere Kollektiv og Sadsy.lighed!.. Naar ma betrag~er e større Samlig Iagttagelser fra et Observatiosfeldt, faar ra ofte øje paa visse g e e m s i t 1 i g t k a r a k t e r i s t i s k e T r re k, som ikke ka ses i hver ekelt Observatio. Saada s t a t i s t i s k R e g e l m æ s s i g h e d er Erfarigslove, verificeret geem utallige Observatiosprocesser i Tides L,øb. Der er ok af kokrete Eksempler paa saada statistisk Regelmæssighed. Lad os f.eks. tæke paa Resultatet af at kaste Plat og Kroeo Ehver ved, at hvis ma bare kaster læge ok, saa faar ma Kroe omtret Halvdele af Gagee. Eller tag Forholdet mellem Atal af Dregefødsler og Pigefødsler. I e ekelt Familie ka der godt være udelukkede Piger, i e ade Familie udelukkode Drege, me hvis vi betragter et større Atal Familier (f.eks. 1000), vil vi faa omtret lige mage af hver, og betragter vi et meget stort Atal Familier (f.eks ), vil vi faa et edu mere præcist Udtryk for Forholdet, emlig at der er lidt flere Drege ed Piger (ca. 51 å 52% er Drege). Eller tag Trafikke med ~ogee. Ige ka vide, hvilke Herrer N.N. som kommer til at rejse fra Aarhus til. Aalborg de 1.December. Alligevol er det muligt for Statsbaere at afgøre skøsmæssigt paa Forhaad, hvor mage Voge de maa sætte id, for at alle skal komme med. Saadae Erfariger daer Grudlaget for de teoretiske Statistik, der dog forbeholder sig fftmere at præcisere A r t e af de Masseiagttagelser, som ka gøres til Gestad for e teoretisk Behadlig. Af Eksemplere ovefor ka vi faa e Ide om visse Betigelser, som ma maa kræve opfyldt. For det første er det klart, at ku saadae IvIasseiagttagelser kommer i Betragtig, hvor Række af de betragtede Type Observatioer ka tækes fortsat, med adre Ord, det maa dreje sig om Observatio af Begiveheder, der ka g e t a g e sig. Det som allerede e r sket, d.v.s. de Observatioer, ma raader over, er jo kedt. Det teoretiske Problem er, om ma ka fide ud af, hvad der vil ske ved ye eller adre Observatioer af det samme Bæome. Lad os tage Eksemplet med Drege og Pigefødsler. Det at ma et bestemt Aar har kostateret et Forhold paa 51%, er ikke i og for sig oget statistiskteoretisk Problem. Et saadat Problem er derimod Spørgsmaalet om, hvorvidt ma af de foreliggede Observatioer ka begrude e Hypotese om, at Tallet i A l m i d e l i g h e d er lidt over 5o~, d.v.s. at dette Fæome vil getage sig, eller om ma ka slutte oget fra Observatioer i e Gruppe af Befolkige om Forholdet i e ade Gruppo. Selvom det ikke er p r a k t i s k muligt at geemføre flere Observatioer, saa maa dette i hvert Fald VæTe t e o r e t i s k t re k e 1 i g t. 2.

5 Deræst vil vi forlage, at de statistiske Eheder, som er trukket id i Aalyse, er valgt u a f h æ g i g t a f V æ r d i e a f d e t K e d e t e g, som er uder Observatio. Derimod skal ma kue vælge et hvilket som helst a d e t Pricip for Udplukige af ObservatiosEhedere. Dette er idlysede f. Eks. ved Eksemplet med Plat og Kroekast. Ige vil fide paa at bedømme Gevistudsigtere ved at holde paa Kroe ud fra et Observatiosmateriale, hvor ma har udladt at otere e Række af de Kast, der uq:vtste Pls:!:;... Et. Materiale, som er fremkommet ved at otere hvert Kast, hvert 5. Kast, hvert lo. Kast o.s.v., ka derimod bruges, det har Erfar:1.ge vist os. Naar e Observatiosrække opfylder disse Krav, siger vi, at de er et Udvalg fra et tilhørede K o l l e k t i v, idet et Kollektiv defieres som Idbegrebet af alle teoretisk tækelige Observatioer af de betragtede Art. E iagttaget statistisk Regelmæssighed bliver da at opfatte som et Udslag af e vis Egeskab, der er karakteristisk for det tilhørede Kollektiv. For teoretiske Formaal viser det sig ofte frugtbart at operere med de Hypotese, at Kollektivet repræseterer et ubegræset Atal Observatioer. Det er dog i Almidelighed tilstrækkeligt at gøre de midre præcise Forudsætig, at Kollektivet repræseterer et Umeget større" AtalObservatiosmuligheder, ed vi raader over i Praksis. Paa dette Grudlag vil vi u give e eksakt Defiitio af Begrebet S a d s y l i g h e d. Vi betragter e Række Observatioer af de fora beskreve Art. Lad det Atal Gage, et Kedeteg A optræder i LØbet af Observatioer, VffTe AG Forholdet (l) A (/, : A kalder vi Als r e l a t i v e H y p P i g h e d i Observatioer. Vi tæker os Række af Observatioer fortsat videre i et tilhørede ubegræset Kollektiv. Det ka da hæde, aar vokser, at de relative Hyppighed ærmer sig mere og mere e fast Græse. Hvis dette er Tilfældet, skriver vi (2 ) Lim t 00 A PA og kalder Pil. S a d s y l i g h e d e f o r K e d e t e g e t A i d e t b e t r a k t e d e K o l l e k t i v. Ma ka ikke b e v i s e, at saadae Græser eksisterer; me utallige Erfariger bestyrker Atagelse af deres Eksistes, medes der paa de ade Side edu ikke er paavist oget Observatiosmateriale af de forudsatte Art, der staar i Strid med Atagelse. Vi opstiller simpelt he som Aksiom, at et Kollektiv forude de foraævte Krav skal opfylde de Betigelse, der er udtrykt ved (2). Dee Opfattelse af Sadsylighedsbegrebet er af temmelig y Dato. I de alt overvejede Del af de ældre Literatur om disse Spørgsmaal vil ma fide et adet Sadsylighedsbegreb, emlig de saakaldte a p r i o r i s k e Sadsylighed for e Begiveheds Idtræde. De aprioriske Sadsylighed bliver defieret som Forholdet mellem det Atal Tilfæ,lde, der er il gustigel! for e Begiveheds Idtræde, og Atallet af limulige ll Tilfælde, i d e t a l l e T i l f æ l d e f o r u d s æ t t e s l i g e m u l i g e. Ved Kast med e Terig er der f.eks. eet gustigt Tilfælde for II seks ll og ial t 6 mulige Tilfælde, de aprioriske Sadsylighed er altsaa lig 1/6. Det uholdbare i dee Defiitio ligger i TilfØjelse; 1I1ige mulige Tilfældeli Hvad ma meer hormed, ka æppo være adet ed: "Tilfælde mod samme SadsylighedII, altsaa staar Dofiitiosproblemet uløst.

6 Ma har for.. s'f;(gt at begrude do lige mulige Tilfælde ud fra MageIo paa Oplysiger om det modsatte. Vod Terigkast vil ma f.eks. sigei Der er ige Grud til at atage aar ma har mod o Urigtig ll Terig at gøre at oge af Sidere kommer hyppigero op ed adro, altsaa atager vi~ at alle seks Sider er lige mlige. Me ogsaa dette Ræsoemet er uholdbart, idet ma jo ikke paa Forhaad ka vide, om ma har med e Ilrigtig" Terig at gøre. For at afgøre dette bliver der i sidste Istas ikke ade Mulighed ed at gøre Forsøg. Koklusioe,af dette er, at der ikke gives oge apriorisk Sadsylighed og heller ige apriorisk Begrudelse for observeret statistisk Regelmæssighed, bortset fra de der ligger i vore tidligere Erfariger. Af eet eller flere Kollektiver med g i v e Sadsyligheder ka ma ved forskellige Observatioer sammestille adre Kollektiver og berege de tilhørede Sadsyligheder. Dette er Sadsyligheds r e g i g e s Opgave E l e m e t e r a f S a d s y l i g h e d s r e g x i g e. ) Ad~itio af Sadsyligheder. Lad Os betragte et variabelt Kedeteg x. Da ka vi i dets Variatiosfeldt afgræse et Omraade A, saaledes at ehver Observatio ete falder idefor eller udefor dette Omraade; med adre Ord, vi ka dae alterative Observatioer. Lad det Atal Iagttagelser, der i Forsøg falder idefor Å, være ~. Vi atager 9 at ( l ) Lim.,. 00 = (~ Sadsylighede for A i det betraktede Kollektiv) eksisterer. Hvis Reste af Omraadet kaldes B, vil da ogsaa (2 ) Lim., co = l P A eksistere, thi Lim., 00 B Lim., co A... l PA... PB d.v.s. vi har (3) PA... PB... l... Naar Observatioere e t e maa falde i A e l l e r i B, er Summe af de tilhørede Sadsyligheder altsaa lig l. Lad os u tæke os, at vi deler Variatiosfeltet i et edeligt Atal idbyrdes forskellige Omraader Al' A 2, A 3. Am, der hver for sig har sa~e Karakter som A ovefor. Lad I VÆTe det Atal Observatioer, som falder i Al,og 2 det Atal, der falder i A2 i Forsøg, I + 2 <. X) Se f.eks.; Richard v. IUso s. Wahrsche ilichkei tsrechug (Vor lesuge aus dem Gobiete der agewadte Mathematik. B.I. Leipzig ud Wie 1931.)

7 Vi atager~ at Sadsylighedere (4) Lim., a> og Lim ~oo :: eksisterer og er kedt. at e Observatio e t Atal Observatioer, der Da maa vi have (l + 2) = I ;. ~ for e h v e r, (5) Lim (l + ~ Lim I = + altsaa ogsaa.,. 00 ota> d. v. s. (6) Hv~d bliver Sadsylighede P{ l + 2) for, e falder i Al e l l e r i A2. Lad det ete fa lder i Al eller i A 2 være {l + 2). Lim ~ ~ a> (6) udtrykker Sadsylighedsregiges Additiossætig. Hvis Al og Å2 er to idbyrdes forskellige Omraader af et Kedetegs Variatiosfeldt, saa er Sadsylighede for, at e Observatio falder e' t e i Ål e l l e r i A2 lig S u m m e af Sadsylighede for de to Omraader. Ved saidle Betragtigsmaade verificerer ma let, at og p (l + 3) = PI + P3 ' P (l ) = PI + P2 + P3 o.s. v. P(l m) Pm l. Da e Sadsylighed pr. Defiitio er et ikke~egativt = 1.:;:: Tal, følger af (7), at vi maa have O < p. < l for ehver i, (i = 1,2.. m). :g:~sempel fra Dødelighedsstatistikke. Lad x være Kedeteget for et Idivids Alder (Atal fyldte Aar). x har erfarigsmæssigt et begræset Variatiosfeldt (f.eks. O til 100 Aar). Ved at betrakte de ekelte Aldersaar Ol, 12 o.s.v. faar vi delt x!s Variatiosfeldt i idbyrdes forskellige Omraader. Lad lo v~e et stort Atal yfødte og Ix de af' dem, som opaar at fylde x Aar. Atallet af dem, som dør i deres xte Aldersaar, er da d x = Ix... Ix + l. Vi sætter q (x) o.. = de erfarigsmæssigt bestemte Sadsylighed for e Oaarig for at dø i Aldere x til x + l, og de tilsvarede Sadsylighed for e vaarig, v! x, bliver... = Ix lx+1 Fra Stat. Aarbog 1938 Tab.23 heter vi følgede Oplysiger om disse Størrelser for Mæd Iv

8 .'. Tabel l Alder Overlevede D,Øde fra ee (Atal fyldte Fø'dse lsdag Aar) til de æste Dø'dssadsylighede for Oaarige x lx lix = lx lx+l qo(x) 6. O ,08147 l I!! I I I, I I I I t , , , v, , I, I I I, I, I I... Sadsylighede for e yfødt ))i"eg for at dø' i Aldere 20 til 21 Aar er altsaa qo(20) = 0, Sadsylighede for e yfø'dtfor at dø, før ha fylder 20 Aar, bliver 120 qo(o) + qo{l) Qo(19) :: l r;; = l 0,88423 :: 0,11577 Sadsylighede for e 1aarig for at dø' i Aldere 20 til 25 Aar bliver ql (2o) + ql (21) + ql (22) + ql (23)+ ql (24) = = 0,01253 Hvad bliver, a) Sadsylighede for e laarig for at dø i det 21. Aar? b) 20 før ~a fylder 25? c) 1~ opleve 25Aarsdage? d) Hvorfor er Sadsylighede for e Oaarig for at dø i det 21.Aar midre ed de tilsvarede Sadsylighed for e 20aarig? 2.2. Li~ mulige Tilfælde. Vi siger, at flere Tilfælde er l i g e m u l i g e, aar de har s a m m e S a cl s y l i g h e d for at blive iagttaget. Dee Egesl<:ab "1ige mulig ll bliv~r derfor e Erfar igssag. Vi siger f.eks, at e almidelig Terigs 6 Sider alle er lige mulige, aar vi erfarigsmæssigt ved, at i L.øDet af et stort Atal Kast kommer hver Side op omtret lige,age Gage. Ma lea ilds:e begrude dee Egeskab apriori. "rerige lmde j o være 11 falsle.!~a ka he lier ikke sige: alle Tilfælde er lige mulige, f o r d i vi har e i/rigtig il Terig, for det, at Terige er "rigtigil, betyder' ikl:e adet, ed at des Sider komr:lel" lige hyppigt op i et stort Atal Kast, hvilket vi al tsaa først maa udersøge. E ade Tig er, at Erfarige har l~t os e god Del om, hvorda e :rerig ret fysisk i k k e maa være, hvis des Sider skal vc::re lige mulige. lied adre Ord, vi ka t il e vis Grad paa

9 Forhaad elimiere ilsystematiske Fejlil Paa sam... me l'iaad.e, tvis vi har e Ur'e J::1ed sorte og hvide Kugler, der e liers, saa vidt vi ka bedømme det, er o8 9 saa ved vi erfarigsl'll.83ssigt~ at hver Kugle ved et stort Atal Trækiger (mod Tilbage lægig) komor ud omtret lige mage Gage. For at udgaa iisystematislæ Fojlli har vi edvidere lrort~ at det er af Betydig a t blade Kugh::re r11011em hver Trækig. Lykkespilsorfariger bar lært os visso geerolle Metoder, der hjælpor til at frembrige lige mulige Tilft:'Jldo. Dette Specialtilfælde Ol" af meget stor 3etydig i Statistikke, fordi det forekler hele Regeappm~atot. Hvis emlig allo Tilfælde or lige mulige, saa vil Sadsylighede for Gt ICGdetetjs Optr<.'3d.o VEJre Forholdet mellem Atal Tilfældo, dor GI' gustige for dette l\:edotog, og Atallet af alle de lige mulige Tilfælde.. F.Eles. Ol" dor ved Kast mod e Terig 3 gustige Tilfælde for et lige Tal og ialt 6 mulige Tilfælde. Er alle Teriges Sider lige mulige, bliver Sadsylighede for ot lige Tal lig 3/6 = 1/2. Eller har jeg 3 sorte og 5 hvide Kugler i e Ure, og regor jeg med, at hvol~ Ku;:;lo har lige stor Sadsylighed for at blive udtrukkot, or Sadsylighede for hvidt lig 5/8, Sadsylighode for sort lig 3/8. Ma maa altid V8.,"!'e skarpt opmærksom paa Grudlaget for at sætte alle Tilfælde lige muligo. Begrebet lilige mulige Tilfælde il faar særlig stor Botydig ved dets FOl~bic1elso med det vigtige Begreb. t i l f re 1 d i g t U d val g. Vi siger, at o statistisk Eh,ed, der trække s ud af e større Masse, er valgt tilfr31digt i ]irasse, aar Udtrækige foregaar paa e l1aade, som vi erfarigsmæssigt ved giver de ekelte Ehoder saurle Udtrækigshyppighed. Detto or jo bl.a. Pricippot ved LotteritrækigEJr. Ma maa aturligvis ik!w forveksle dette med, at de observeredo K e d e t o g ka have forskellig Sadsylighed. F.Eks. ved Trækiger (mod Tilbagelægig ) fra e UI'o r:1od 5 sorte og lo hvide Kuglor vil, hvis vi ka rege; mod lige mulige Tilfælde, de ekelte Kugle have Udtrækigssadsylighede 1/15, modes Kedeteget IIsort" har Sadsylighede 1/3.?!3. Permutatioer o,g Kombiatioer. Dette er l~latematisl\:e Hjælpemidler i de teoretiske Statistik. P e I' m u t a t i o s l [3 r e behadior svstoma tisk det Atal forskolligo rii:uligheder, eler er fol" at vælge m Elemeter bladt ;m Elemoter, de i d b y r d o s PlacoI'ig af de lu Elemoter i b o r e g e t. Lad os først betragte Tilfældot lu =, hvor alle Elemoter Ol" forskellige. 1;';: to Zl(;He'ter a.,.b ka vi daa J Paree: (a,b) og(b,a}, ialt 2. Lad der være givet 3 Elemeter (a,b,c). Heraf ka v~ d8.~ følt;5ede Tri1?lo:. (a,b,c), (a"c,bl (b)1a,c), (b,c~a), (c,a,b), c,o,a), lait b. Rar Vl Clvet 4 Elemetor (a,b,c,d), ka vi dae ialt 24 Evaclruplar (a,b,c,d), (a,c,b,d), o.s.v. Vi ka altsaa, aar m..., sl"'ive ri For 1 Elemet. l 1 Permutatio 2 Elemoter. 1' Pormutatioer ~ Produkter af Forme 12' :: 6 1.2' st:river vi (l) 1 2 3: o :;; ~ (~ kaldes ;l Fakultetli) med Kovetioe. O~ = l Atag s.o:::!i:rpotoso f at Atallet af Permutatioor af forskollige Elemeter Cl'" lig. Da ~m vi vise, at Atallet af Permutatioer af (+l) forskellige EIOlcter ur lig (+l)~ For af h vor af de! Permutatioer 8.a vi lme dae (1'1+1) ye Permutatioer ved at placere c.gt ye Elomet ete f01"a, iblad t o 1101" bag ved de oprideli,gc, [ilts~t[t

10 8. (2 ) ~ (+l) = (+l)! Me u bar vi paavist Regeles Gyldighed for = 2,3,4~ gælde ogsaa for == Tal. altsaa maa de 5.,6... og et hvilket som helst adet positivt helt Atag u, at jeg ku udtager m < Elemeter hver Gag ae; hver Gag order Rrek1.:ofø'lge af disse m Elemeter paa alle mulige Mader. For det f.ørste er dot klart, at l Elemet (m == l) ka udtages fra forskellige Elemeter paa ialt Maader, emlig hver af de give ElemBtcr, og det at udtage ll eller et større Atal er udelukket. Edvidere er det klart, at ma af forskellige Elemeter ka dae (... l) Par ved til hvert af de Elemeter at føje et af de øvrige ( l) Elemeter. Eks.; Givet Elemetere a,b,c,d ( 101 4). For m = 2 ka vi dali.e fø18ede Permutatioer. (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,c), (b.,d), (c,a), (o,b), (c,d), (d,a), (d,b), (d,o), ialt 12. Lad u i Almidelighed Atal Permutatioer af m Elemeter valgt bladt forskellige Elemeter V2v"r'e Vm. Vm ideholder al tsaa alle mulige forskellige Grupper af m Elemeter valgt bladt, samt for hver af disse Grupper alle mulige RækkefØlger af de m Elemeter. Hver af de Vm Permutatioer magler ( m) af de Elemeter. Ma ka altsaa af hver af de Vm Permutatioer dae ( m) ye ved at tilføje eet af de maglede Elemeter, d.v.s. (II/Ia ka ikke efter Tilfø'jelse ombytte Rr.Jkkefølge af de (m +1) Elemeter, thi e saada Ombytig fides allerede paa et aiet Sted). Nu havde vi Vl == m, altsaa V 2 == ( l), V 3 = ( l)( 2) o.s.v. og i Almideli~~ed (2 ) Vm :: ( l)( 2)..._ ( (ml)). Me dette ka skrives... ( TIl)! Dette er Atal Permutatioer af m Elemeter valgt bladt forskellige Elemeter. Vi har hidtil forudsat, at alle var forskellige. Da var Atal Permutatioer af Elemeter lig ~. AtaQ u, at k~ Elemeter er es. Da l{ Størrelser ka permuteres paa ky forskellige Haader, fremkommer d~r altsaa_for!}ver e;ivet Placerig af de (.. k) Elemeter k~ Permutatloer, veq at ae k ~lemeter bytter Plads. Er u de k Elemeter lige, bliver derfor Atal f o r s k e l l i g e Permutatioer ku (4 ) Er yderligere s adre Elemeter lige, faar vi ~ k'~ 8~ og i Almidelighed, hvis k, s, t o.s.v. Elemeter er idbyrdes lige, (6 ) ~ (k+stt+_._ ~ ). Atal forskollige Grupper paa m Elemeter, der ka daes af ~m forskellige Elometer b o. r t '9. 6 li fra: Fradrig af Elemeteres R re k k e f ø l g e i d e f o.r G r u p p e, kalder vi Atal K o m b i a t i o o I' (~}, (123se8. ii over mil). Da der er

11 m~ Permutatioer af m forsl~ellige Elemeter, faar vi Atal Kombiatioer ved at dividere Atal Permutatioer med m!~ altsaa fra Formel (3) ~ m~(m)~ Heraf ser ma ude videre, at vi har (8) Ma verificerer let følgede Rekursiosformler. (mp.) (l) ( \) _ (l~ (2\ \ ~ m \ml,' m m(ml m2's 9 :)?ksempler. a) b) Hvor mage Permutatioer er der af Tallee (1,3,7,4,5)? Og af Tallee (4,4,5,6,7,6)? Hvor mage forskellige tocifrede Tal ka daes i hvert af disse Tilfælde? E Ure ideholder sorte og hvide Kugler. Paa hvor mage forskellige Maader ka ma udtrække (med Tilbagelægig hver Gag) 4 sorte og 7 hvide Kugler? Multiplikatio af Sadsyligheder (llbaade og" Regle). Lad os betrakte to Kollektiver Klog K 2 " Vi observerer parvist Kedeteget A's Idtræde eller ikkeidtræde i Kollektivet Klog Kedeteget B's Idtræde olier ikkeidtræde i Kollektivet K 2 " Selvom A idtræder, behøver B ikke at idtræde, og omvedt. Vi spørger efter Sadsylighede for, at b a a d e A o g B idtræder samtidigt. Lad Sadsylighede for, at A, betraktot for sig, idtræder, ~e (l) :@A (A) (hvor (A) betyder: Fuktio af A). Lad edvidere Sadsylighode for, at B idtræder, a a r A a l l e r e d e e r i d t r a a d t, v~e (2 ) (hvor (A,B) betyder Fuw{tio af A og B, d.v.s. PB(A,B) er de af A betigede Sadsylighed for at faa B). (l) og (2) atages at være k e d t e, g i v o Størrelsor. Da or Sadsylighedo for, at b a a d e A o g B i d træder s a m t i d i g t (3) P AB Pli. (A) P B (A,B) Thi, lad A og B væte det Atal Gage, da he~holdsvist Kedetoget A og B er idtraadt i Iagttagelser. Lad edvidere 'B Vcære det Atal Gage, Kedetogot B er idtraadt b l a d t s a a d a e Iagttagelser, hvor A er idtraadt. Da er, defiitiosmæssigt, (4) Me PA(A) Lim ~, PB(A,B) = Lim lb PAB = Lim A "''"J;> co ~oo A' ~ID A I B Lim. ~eo A hvormed (3) er bevist.

12 Formel (3) Kedeteg. A og B er aar (6) Me u er og (8 ) er de g e e r e l l e Multiplikatiossætig for to De forekles i det specielle Tilfælde, da Kedetegee u a f h re g i g e. Dette er pr. Defiitio Tilfældet, I Lim.li ;:; ';;'oo lim,b.., = 00 Lim li ~ 00 A (uaset hvor stor A er) (aalogt med PA(A)) lo. Altsaa, paa Grud af (4) (9) PB(A,B) = PB(B) hvilket idsat i (3) giver (10) PAB ~ PA(A) PB(B) Dette er Multiplikatiossretige for u a f h re g i g e Begiveheder. Hvis Betigelse (6) i k k e er opfyldt, er de to Begiveheder a f h re g i g e af hiade. Vi maa da bruge Formel (3) paa Multiplikatios sætige. ~ksempel. Lad Klog KZ ~e de to Rækker, der er Resultatet af samtidige Kas~ med to rigt~gell Teriger, e sort og e hvid. At de er \Irigtige" l Teriger (d. v. s. at hver Side har Sadsylighede 1/6), tæker vi os erfarigsmæssigt godtgjort. Ligeledes vil erfarigsmæssigt Resultatet af de ee Terig ikke paavirke Resultatet af de ade. Da er iflg. (lo) Sadsylighede for e bestemt Kombiatio A,B (A = 1,2,3,4,5,6, B = 1,2,3,4,5,6) lig ( Il) P P P l l l AB = A B = 6" b = 3b Lad os betrakte Summe A + B i hvert Kast. De forskellige Muligheder ka sammestilles i følgede Skema (Tab.2) Tabel 2. Summe af Atal øje ved l Kast med 2 Teriger Hvid Terig l Sort Terig l 2 3 I A + B = / / 7 8 9/10 0a 8 11 /' 9 lo Il 12 Hvad bliver Sadsylighede for i eet Kast at faa tilsamme lo eller derover? Dette ka idtræde paa 6 forskellige Maader, der idbyrdes udelukker hveradre. Altsaa faar vi ved (11) og Additlossætige l b Hvis jeg betrakter to og to Kast, bliver (ved (lo» Sadsylighede for lo eller mere b a a d e i førsto o g i adet Kast lig med l l l b. b = 3b Sæt u, at jeg ku i det første af de to Kast medtager begge Teriger, medes jeg i adot Kast lader de sorto ligge over fra første Kast og ku kaster de hvide. Begge Gage summerer jeg Resultatet, hvorved altsaa de sorte Terigs Resultat i første Kast komraer til at idgaa i begge Summer. Hvad bli

13 ver u Sadsylighede for e Sum større eller lig lo saavel i første som i adet Kast? Sadsylighede for Summe lo eller mere i første Kast bliver som ovefor = 1/6. Me Sadsylighede for lo i adet Kast afhæger u af, om jeg allerede har faaet dette Resultat i første Kast. Thi, har jeg det, da maa (se Skemaaet) de sorte Terig have vist midst 4. I adet Kast bliver ded i saa Fald lru Tale om de Summor) hvor A = 4, 5 eller 6, d.v.s. vi har u ku 18 lige mulige Tilfælde, hvoraf 6 giver lo eller mere. De søgte Sadsylighed bliver altsaa (ved (3») l 6 l b m.. 18 ll Delig af et Kollektiv. Bayes' Rege~. Lad der v~e givet et Kollektiv K, hvor Kedeteget x atager Væædiere Al' A2 Am med de respektive Sadsyligheder (l) :: Lim ~co :J:., 2, s Pm := Lim '"!I co (2 ) W. + Pm = l Af Kollektivet K ka vi dae et yt Kolloktiv K' ved at udvælge ku,de Observatioer, der fremviser ete Al eller A 2 0 Dee Operatio kalder vi D e l i g af Kollektivet K. Hvad bliver i Kollektivet K I Sadsylighede pil for 1\1? Vi faar ::: Lim = =... ~oo D.v.s. ma faar Sadsylighede for Al i det ved Delig opstaaede Kollektiv K' ved at dividere de opridelige Sadsylighed for Al i K med SUlmle af Sadsylighedere for de Kedeteg, der overhovedet optræder i K'. Ligeledes faar vi i det Delkollektiv, der ku fremviser Al, A2 eller A3' 1 (4 ) p' = Lim.. l _ = Lim il _ 1 ~co ( 1 t ) ~oo ( ? ). Pl Pl + P2 + P3 og i Almidelighed Po p', = J, s J P 1 + P2..1r P j + + p S Af (2) og (5) fremgaar det, at vi maa have (6) p' j s ~ m Dee Regel tjeer til I,Øsig af fpf1gede Opgave, det Bayeske Problem (Thomas Bayes, d. 1761). Paa et Bord staar m Urer, hvoraf hver ideholder Brikker med Numree 1,2 k i et eller adet Bladigsforhold, (i e Ure ka der altsaa godt V83re flere Brikker med samme Nummer). Lad Pij VæTe Sadsylighede for at vælge Ure Nr. j og der trække e Brik med Nu~eret i. Disse (m k) Sadsyligheder tækes givet. De ka sammestilles i følgede Skema:

14 12. Ure Nr. l 2 U Io... 1 m PlI P12 Plm (7) P21 P 22 P2m Pil P i2 Pij Pim?tl P k2 P km Vi trækker i Blide fra e af Urere e Brikke og ser derpaa, at vi har trukket Brikke Nr. i. Hvad bliver herefter Sadsylighede for" at vi etop har trukket af Ure Nr. j? Da vi u har s e t, at Resultatet er Brikke Nr.i, maa alle adre Tilfælde udelukkes ed etop dem, hvis tilsvarede Sadsylighed fides i Liie Nr.i i (7). Vor Observatio fører altsaa til e Delig af det opridelige Kollektiv. Iflg. (5) bliver da Sadsylighede for, at vi har trukket af Ure Nr.j,( 8) pl. J = p.. ~.J +p.. ++p. ~J ~m Hvis ikke alle de øvrige Sadsyligheder i Skemaet er Nul, saa maa, da Summe over hele Skemaet er lig 1, Pil + Pi2+ +Pim < l) og altsaa P'j ). p. ~J (9) udtrykker bare, at vi ved mere e f t e r e Observatio ed paa Forhaad. P'j kaldes derfor ofte de aposterioriske Sadsylighed, Pij de aprioriske. Me der er ige b e g r e b s mæssig Forskel paa de to Sadsyligheder. E~sempe~. Lad os betragte to Urer, Nr.l med l sort og 1 hvid Kugle, Nr.2 med 3 sorte og 2 hvideo Atag at hver Ure, aar vi vælger i Blide, har Sadsylighede i for at blive truffet, og videre at hver ekelt Kugle i e Ure har samme Sadsylighed. Da faar vi følgede Skema (svarede til (7)), idet l beteger sort, 2 hvidt. PlI = l 1 P i l 2: 2: l2 = 5 2" P21 l l P22 2 l 2 2" 5" 2" PlI + P12 I P21 + P22.. l Vi trækker i Blide e Kugle' og ser, at de er sort. Hvad er herefter Sadsylighede for, at vi har trukket af Ure Nr.l? Ved (8) faar vi P.IL,... _ l 4' l z.l ::'J 'ir' +..i. Il.,. lo Sadsylighede for at have trukket af Ure Nr.2 bliver paa samme Maade p' 2 6 li

15 Da der ku er to Urer, maa vi have p! 1 + P '2 1. II. FORDELINGSTEORI. (Edimetioale Fordeliger). I det efterfølgede er det essetielt at skele mellem saadae Størrelser, der refererer sig til et Kollektiv, d.v.s. et uedeligt eller meget stort Atal Observatioer, og de aaloge Størrelser bereget i et begræset Udvalg, et tis a m p 1 e it af Observatioer. For at markere Forskelle vil vi, a a r s a m m e B o g s t a v e r b e y t t e s, betege de Størrelser, der refererer sig til et Kollektiv, med e Stjere (*) over vedkommede Bogstav. Disse Størrelser er altid at opfatte som K o s t a t e r, medes dette ikke gælder om de tilsvarede Størrelser ude Stjere. For Sadsyligheder og adre Begreber, der k u refererer sig til et Kollektiv, er særskilt Markerig overflødig. 3. S a d s y l i g h e d s f o r d e 1 i g e r ;5.1. Matematisk Note g særlig ~m?ummatiosteg 0.1. Surmatiosformler kommer stadig til Avedelse i det efterfølgede. Vi skal derfor kort omtale ogle Stadard Betegelser og Formler for saadae Operatioer. Med sædvalige Betegelser skriver vi + X :: ~ Xi ' i 1,2 (læses "Sum over Xi fra i lig 1 til U) E Sum er e Fuktio af de Græser, mellem hvilke der summeres. De er altsaa kostat, aar Græsere er Kostater. Sumratiosfodskriftes Betegelse er ligegyldig. Hvis k er e Kostat, uafhægig af i, har vi (2 ) og (4 ) \ k :: Dk. y d.v.s. Summe af E Summerig ka m (5) ti f j Xij e Sum 01' lig Summe af hvert Leds Sum. lie over 2 idbyrdes uafhægige Fodskrifter, saaledes xll + x Xlm 1 = X~l _I _X~2 : = +_ ~m \ (m og er :faste Tal), ly X l w 1 :tc2 + + X m )

16 Eller (6) Af (5 ) (7) som Specialtilfælde, aar m = ( xii + x 12 + ::: ~ '+ x x \. I x l + x 2 + ser vi ude videre, at ( ~:, x ij ) m ~... L' ) l lj ( ~ Xij ). + Xll + x2 + x ) 14. Videre har vi, aar i og j løber u a f h æ g i g t af hiade, (8) ::: idet f xl xl + xl x2; + xl x m 1 + x 2 xl + x2 x2 + 1 x2 X m +; x ~ ~ ; x;; = : : :; x: ( og m faste Tal) l X l (x l + x x m ) +x 2 (xl + x2 + + Xm) (Xl 1 x2 { + x ) (xl"; x x m ) Me mærk at '\ 2 (9) P xi i k k e e r l i g ) 2 (~ xi og (lo) '\ Li xiyi i Almidelighed i k k e e r l i g \" '\ l ~ xi Li Yi' l Forude disse Summatiosregler vil vi mide om følgode Hovedregler fra de olomotæte DiffB~etial og Itegralregig, som vi stadig faar Brug for. Hvis y = f (x) er o differetierbar Fuktio af J~, og X ::: v(z) er e differetierbar Fuktio af z, saa er (Il) dy::: f'(x) dx ::: f!(v(z» vl(z) dz) og (12 ) f(x) dx f(v(z») vl(z) dz ) (13 ) J x2 z2 f(x) dx ( f(v(z) )...,; VI (z) dz ) Xl zl 2.2. ~ri tmotiske Fordeliger. Lad X være et Kodeteg, der ka atage k forskellige Værodier Xl' x 2 xk ' ordet i stigede Rækkofølge, og lad ~. ::: ~ (i R 1,2 k) J. VæTG do relative Hyppighed, hvormed Xi (i = 1,2 k) optræder i

17 Observatioer. Tabelle (l) 15. kalder vi e li y p p i g h e d s f o r d e l i g. Fordelige kaldes diskotiuerlig Gller a r i t m e t i s k, aar, som her, x ku ka atage visse bestemte d i s k r e t e Værdier. Hvis i (2 ) Lim t' ;\i = Lim Pi (i.. ) 1,2 k) ~oo eksisterer, kaldes (3) x x1 9 x2 ' x k,.. l P = Pl' P2 ' P k ~ (t Pi ) S a d s y l i g h e d s f o r d e l i g e for x. Lad f.eks. ved Plat og Kroekast lioil betege Plat og II lil Kroe, og lad Sadsylighede for Kroe v~e i. Dette giver Sadsyligpedsfordelige (4 ) p Eller, ved Kast med e ilrigtig ll Terig, x l, 2, 3, 4, 5, 6 (5 ) l l l l l l P b" b, 6,6",6",6"' Eller, hvis x beteger Summe af Atal,cl je ved Kast med 2 Ifrigtige lt Teriger (se p.lo) (6) x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 q 9 lo, 11, 12 l l P = 36, 31>", %, %, 3i, 3'b, 3b,3b ~, ~, E aritmetisk Fordelig fremstilles grafisk ved at tage x som Abcisse, p som Ordiat. Vi faar da e Række diskret beliggede Ordiater. Fig. l, 2, 3 giver det grafiske Billede af Eksemplere (4), (5) og ( 6) ovefor. /, ' ~, l I 1 "21 '2 I Plat og Kroe Kast Kast med l T "r igtig ii l 1 1 l I b D b bl 6, I I i _.' I. J il 11 I o l l Fig.l Jig 2.! Terig

18 ... x Kast med to Urigtige" Teriger. Sadsylighedsfordelige Pi rt i 3 3b j 6 i ~1., I!!! I 36'!! I 1 3S.... _._.~._..... _.. l._... _... _L... '." o.' l I L lo Fig.3 l, o :.~'. '''... _... '.... " _... I Kast med 2 Urigtige" Teriger. Optælligskurve P(x). _r r.._.r I _..J I 16. o~ l_.l..._...l 1 ' x lo Fig.4 Lad x betege et vilkaarligt Pukt paa Abcisse, og lad xl' x2 xh være de Observatioer, der ligger t i l ve s t r e for x. Sadsylighede for e Observatio, der er m i d r e e l l e r h ø j s t l i g x, bliver da (ved Additiossætige) h (7) P(x) = ti Pi P{x) kaldes de k u m u l a t i v e F o r d e l i g, eller S u m f u k t i o e eller O p l l i g s r æ k k e for x. Ma ser ude videre, at (8) P(x) = l P{x) vil væte e Trappeformel ikke aftagede Kurve. Til Illustra~ tio er i Fig. 4 teget de til Fig. 3 svarede kumulative Fordelig.

19 23. Geometriske Fordeliger. Begrebere Sadsylighedstæthe~ 0E. Sadsylighedsitegral. Lad x v~e et Kedeteg, der ka atage e h v i l k e s o m h e l s t V æ r d i idefor et vist Variatiosfeldt, xl til xk (Eksempe l. Kedeteget II Alder") Lad P{x) væt"e Sadsylighede for Observatioer, der er midre eller fuøjst lig x. (Se 3.2). Betrakter vi et vilkaarligt Omraade ox, bliver Sadsylighede for, at e Observatio falder i dette Omraade lig (l) P(x + ox) P(x) De~~e Sadsylighed ka vi fremstille som Fladeidholdet af et Rektagel, hvis Grudliie er 6x. Se Fig Forholdet (2) P(x +bx tx P{x) x~f"l' 6x Fig.5. beteger de g e e m s i t l i g e S a d s y l i g h e d p r. E h e d af x. Nu ka det hæde, at aar 6x + o, saa gaar Forholdet (2) mod e fast Græse. I saa Fald skriver vi (3) Lim P(x + Ox).. P(x..l ::: dp(x) :: p{x) ox'~, o 6x dx og kalder p(x) Puktet gede Fuktio vi have S a d s y l i g h e d s t æ t h ed e i x. p(x) er altid positiv, da P(x) er e ikke aftaaf x. Ma ser, at dersom (3) skal eksistere, saa maa (4) Lim p(x + ox) P(x) = o OX~ o d.v.s. de absolutte Sadsylighed for et P u k t er lig o. I Fig.5 vil dette ytre sig ved, at Rektaglet skrumper samme til e Ordiat. 'Hvis (3) eksisterer for ethvert Pukt mellem xl og~, saa vil P(x} være e kotiuerlig Kurve over dette Iterval, og des l.afledede er Kurve p(x). Af (3) faas P(x) _ Ix xl p(z)dz d.v.s. O r d i a t e i de kumulative Fordelig { Optr3lligskurve} P(x) er lig A r e a l e t uder Kurve p(x) fra z = xl til z = x. p(x) kaldes e g e o m e t r i s k S a d s y Io i g h e d s f o r d e l i g. De agiver, hvor t æ t Observatioere samler sig i Nærhede af Puktet x. Heraf Betegelse Sadsylighedstæthed. p(x) er altsaa selv ige Sadsylighed, me ku Højde i det Rektagel p(x)"dx, der udtrykker Sadsylighede for at faa e Observatio Ldet uedeligt lille Iterval x til x + dx. Da pr. Defiitio ige Observatioer ka ligge udefor Variatiosfeldtet, maa vi have

20 (6) P(x) x = J p(z)dz xl Sammehæge mellem P(x) og p(x) er illustreret i Fig.6 l, 18. l. ~.,. P(x) ~ x Fig. 6. Kurve P(x) vil have si største Stigig der, hvor p(x) er Maksimum. I vort Eksempol har vi eot og ku eet Maksimum. E saada Fordelig kalder vi e t y P i s k Fordelig. I visse Tilfælde ka p(x) Kurve havo flero Maksima, eller slet itet. Ma vil se, at (5) ikke er adet ed e Geeraliserig af Addi tiossætige, ku har vi u et Sadsyligheds i t e g r a l i Stedet for e Sum. Sadsylighede for e t e l l a ~ x! b bliver i Almidelighed e (Additiossætige) r a d e t x i Itervallet b a b P(a,b) = ~ p(x)dx J p(x)dx =.I p(x)dx. Xl a 2.4. Forvetigsberogiger og Mometer. F o r ve t i g e paa et Kedeteg x, der har e aritmetisk Sadsylighedsfordelig, or defieret ved Summe k (l) E(x) = ~xi Pi, l p l + P Pk = l hvor E er Betegelse for de R e g e o p e r a t i o, dor er agivet paa højre Side i (l). (E er Forbogstavet i det egelske l'expoctatio", tyske "Erwartug" og iraske ItEsp6raco'.'~" _ Forvetige af x ar itet adet ed Græse for det aritmetiske Geemsit af x, aar Atal Observatioer bliver uodelig stort. Har vi emlig Observatioer, hvoraf I har vist Xl' ~ har vist x2 o.s.v_, saa or det aritmetisko Geemsit x defieret ved

21 _.....,.,...A ~" 19 ~ Obs. ~ Obs...._~.._.. ""'_...'... r.ø~,"'..~...., (2) i:: Xl';' xl+.. +x l + x 2 +x 2 + +x 2 +, w+ x k + x k x k Me Græse for dette Udtryk, aar ~ 00, er etop (3) E (x) = Lim i xl Pl + x2 P2 + +x k P k ~co k.. ~ ::: ri xi Pi x. d.v.s Forvetige paa x er det teoretiske Geemsit, f, af x. For Forvetigsberegiger gælder ogle simple Regeregler. For det første er det klart, at Sadsylighedere for de til x svarede V~ier af e Fuktio f(x) (f.eks. x 2 ) er de samme som for x selv. Derfor er Forvetige paa f(x) lig " Mrk. For e givet Fordelig er alle Forvetigsstørrelser k o s t a t e r. Følgede Specialtilfælde er s~lig vigtige (cfr. Sumformlere i 3.1.): k (5) f(x) = a x, a = Kostat; E(ax) = a ~XiPi = a E(x). l (6) f(x) = a x + b, a og b = Kostater ; k E(ax'" b) = afi Xi Pi + b~ Pi.. a E(x) + b, k Størrelse E(x E(x»2 = k 2 )01. (x!) p. r x ~ kalder vi V a r i a c e af x. Variace er altsaa Forvetige paa Kvadratet af x's Afvigelse fra det teoretiske Geemsit ~ = E(x). Kvadratrode af Var i a c e kaldes M i d d e 1 f e j 1 e, Spredige eller Stadardafvigelse" vi kalder de fr. Vi har altsaa x (8) Ved at udføre Kvadrerige i (7) og summere over hvert Led (se 3.1) faar vi følgede vigtige Formel *2 ~2 k 2 ~lf. 12 ~ (9) 6 x... E(x i) = f;. xipi 2 x tixipi + x 'ti Pi k 2 ~2 =' ~ Xi Pi i... E(x 2 ) _ [~(x)] 2 Mrk E(x 2 ) er i Almidelighed i k k e lig (E (x})2 Hvis a er e Kostat, ser ma ude videre, at 2 '~'*2 ()ax = a 2 ~x

22 20. d.v.s. StadardAfvigelse er proportioal med Maalestokke for x. Altsaa f.eks. StadardAfvigelse for x maalt i Kilogram er lig 1000 Gage StadardAfvigelse for x maalt i Tos. I Almidelighed er Variace for e Fuktio f(x) defieret ved Formle (lo) ~f(x)2 = E(f(x) E f(x»2 = E (f(x»2 (E f(x) )2 Naar Fordelige for x er g e o m e t r i s k, gaar de forastaaede Sumformler over i Itegralformler, hvor Pi er erstattet af Sadsylighedsdifferetialet p(x)dx. I Almidelighed lader vi da Itegralet løbe fra til + co, idet et evetuelt sævrere Variatiosfeldt for x ku ytrer sig deri, at p(x) = o udefor dette Feldt. Vi faar altsaa (3a) (7a) E(x) ~2 l5 x.. *2 (9a) ~)( E(x ~ ;00 x.j CD x ~).. J.. w.. p(x)dx, +CD ar> / (x.. jb 2 p(x)dx J x 2 p(x)dx J x.p(x)dx / p(x)dx = l +00 [ "'00 o.s.v. Disse Formler er vigtige uder de seere Beharrllig af teoretiske Fordeliger. For Sumudtryk, resp. Itegraludtryk af oveævte Type bruger ma Betegelse M o m e t e r. Dette er e Aalogi fra Mekaikke, hvor et Momet beteger Produktet af e Vægt og de Arm, de virker paa. Vi ka opfatte x eller f(x) som Arm og p som Vægt (se Fig.7). Naar ma taler om Mometet omkrig" et Tal xo, meer ma, at "Armes" Lægde er maal t ud fra xo, IO..... f.eks. Omdrejigspuktet i Fig.7. X " 2 Vi idfører (Il) P2.... Vi opererer med Mometer saavel for Sadsylighedsfordeliger som for Hyppighedsfordeliger i et begræset Atal Observatioer. De første Fig. 7. markerer vi som sædvalig med e Stjere IO følgede Betegelser, k = ti Xi Pi ; (lste Ordes Momet omkrig o) (12 ) og geerelt (13 ) ; (2de )... ) (14 ) (15 ) k 'l(t LI,'! "' (x i... iii:)p. i = O ;(lste Ordes Momet omkrig ;(2de.. ) ~) og geerelt (16) )

23 ' ". :..l. ;' Hvis x maa1es fra et vilkaarligt valgt Geemsit"), skriver vi )'(1 (17) M = ~ (xi... b)p i x l (18) M' :: og geerelt k ~, k 2 (xi... b) Pi xx ~ l 21. ljulpukt b (et "provisorisr: li! 't (19) M :: ~~:.~ h Mellem disse forskellige Ty~r af Mometer eksisterer e Række Idetiteter, som er af betydelig regetekisk Iteresse. S~ligt ~kes følgede Relatioer, som ma let verificerer ved Sumformlere i ~ f.. ~ b ~ (20 ) ~ :: x ~ ~ It (21) M :: xx ~x+ 2'6~ + )( 62 ~ '1'.,2 ~ 2 ~. ~ 2 (22 ) ~ Mxx.. (Mx) = ~x.. (~ ) I (22) er alle Led positive. Vi har derfor ~t. < «, (23 ) ~ Cl rr1xx = ~x og Lighede idtræder ku, aar ~. * :: 0, d.v.s. b :: x, * hvilket viser, ~ at adeordesmometet er midst for b = ~ De tilsvarede Mometer u d e Stjere~ket er de Mometer, vi faar, aar Pi overalt erstattes af de observerede relative Hyppigheder ~i i Observatioer. Ved g e o m e t r i s k e Fordeliger maa Surmatiosformlere ovefor erstattes af de tilsvarede Itegratiosformler med Sadsylighedsdifferetialet p(x)dx i Stedet for Pi. ': Beskrivelse af e Fordelig ved des Parametre. Det til Kedeteget x hørede Kollektiver fuldstædig beskrevet ved Sadsyligpedsfordelige for x. Dee udtrykker alle de Tig, som fra et statistisk Syspukt er af Iteresse ved Kollektivet. E Sammeligig af to eller flere Kollektiver sker derfor ved at sammelige F o r m e af deres Sadsylighedsfordeliger. DeD rejser sig da det Problem at fide o b j e k t i v e K r i t e r i e r for e saada Sammeligig. For dette Formaal søger ma at bestemme visse ta~ssige Udtryk, P a r a m e t r 6, der i kocetreret Form beskriver væsetlige Træk vod Fordelige. De vigtigste Spørgsmaal med Hesy til e Fordeligs Form er i Almidelighed Beliggehede af M a k s i m u m, Geemsit olier adre Middel~dier og Observatioeres K o c e t r a t i o omkrig disse. Deræst Spørgsmaa1et om Grade af S k æ v h e d (Magel paa symmetri) Vi har allerede i 3.4. omtalt to s~lig vigtige statistiske Parametre emlig G e e m s i t og S t a d a r d a f v i g e l s e. Side rørsteordesmometet omkrig Forvetige E(x) er lig O (Se 3.4 (14», ka vi passede kalde E(x) for T y g d e p u k t e t i Fordelige. Stadardafvigelse derimod er et S p r e d

24 , i i g s m a a l, de siger oget om, hvor ubred" Fordelige er. Ved aritmetiske Fordeliger lader disse to Parametre sig berege direkte ved de i 3.4 agive Formler. Ved geometriske Fordeliger derimod støder vi paa Problemet om umerisk Itegratio (bortset fra saadae ekle Tilfælde, hvor Fordelige er udtrykt ved e matematisk Fuktio af e saada Art, at Itegratioe ka udføres explicit). For praktiske Formaal er det ofte tilstrækkeligt at erstatte de kotiuerlige Fordeligskurve med et li i s t o g r a m, se Fig. 8. Et Histogram bestaar af e Række Rektagler med Grudliie lig Maaleehede for x og et Fladeidhold, der er lig Fladeidholdet af de kotiuerlige Kurve mellem de samme Aboissepukter. 22. '.!! ' G _I4r=Ci_..ll.~I.,,_J.,,_~Hll> I x Xl x Fig. 8. k De geometriske Fordelig ka da til~met betraktes som e aritmetisk Fordelig med Xi = Abcisse midt i hvert Rektagel og Pi : Fladoid ~ holdet af Rektaglet (: dets Højde). Hvis de ekvidistate Aboisser vælges med e a d e A f s t a d ed Maaleehede~ bliver aturligvis Rektagleres Fladoidhold i k k e det" salme som deres Højde. Hvis i Almidelighed Ekvidistaoe (Klassevide) vælges lig c Maaleeheder for x, bliver derfor Pi = o G a g e H ø j d e a f R e k t a g l e t. Et Histogram kostrueres bedst ud fra de kumulative Fordelig (Optælligskurve). Ma fremstiller dee grafisk, af~ker ekvidistate Abcisser og aflæser T i l v æ k s t e r e mellem disse. Se Fig.9. P(x).,','" "."./'! t; ",.. ~.;;,; o o Fig. 9. Ma ser, at et Histogram er de Fordeligskurve, som fremkommer, aar Tilvækste i P(x) betraktes som k o s t a t (d.v.s. P(x) retliiet) o v e r I t e r val l e t o. Forvetig og Stadardafvigelse er de Parametre, der kommer i Forgrude ved e teoretisk Fordelig. Ma ka imidlertid opstille e Række adre Parametre, der har ligede beskrivede Egeskaber. Vi skal æve ogle af de vigtigste. a) ]Æ e d i a e, d.v.s. de xværdi, som er saaledes, at Sadsylighede for atlfaa e større x er lig Sadsylighede for at faa e midre x =~. Ved e kotiuerlig Fordelig vil e Ordiat i Mediapuktet dele Arealet uder Kurve i to lige store Dele,

25 1 hver =~. Paa de k u m u 1 a t i v e Sadsylighedsfordelig aflæse s Mediae direkte som' de x V~13I'di" hvis Ordiat = b) T Y P e t all e t er de xværdi, hvis Sadsylighed resp. Sadsylighedstæthed er. Maksimum.. _..~ Ved geometriske Fordeliger ligger Typetallet (eller Typetallee) der, hvor Tagete til p(x) er vadret, d.v.s. der, hvor P(x) er stejlest. c) Det g e o m e t r i s k e Geemsit af x er lig Atilogaritme til det aritmetiske Geemsit af log x. d) Det harmoiske Geemsit er lig 1 divideret med det aritmetiske Geemsit af {. e) T a l v æ r d i a f v i g e l s e. Dette er et Spredigsmaal. Ma daer Geemsittet af Afvigelsere u d e H e ~ s y t i 1 F o r t e g, r~get ete fra det aritmetiske Geemsit eller fra Mediae. Agaaede Regetekik og praktisk Avedelse af disse og ligede Parametre hevises til elemetære Tekg::bøger i Statistik (se f.eks. Guar Jah. Statistikkes Tekik og Metode, Oslo 1230, pp.l Davis ad Nelso. Elemets of Statistics, 1935, PP.bbloo). FørsteOrdesMometet omkrig Geemsittet er altid = o. Hvis Fordelige er symmetrisk, er ogsaa alle højere Mometer o m G e e m s i t t e t af u 1 i g e Orde lig O, medes dette ikke er Tilfældet, aar Fordelige er s k æ v. Det er derfor e aturlig Take at bruge disse Mometer til at beskrive S k æ v h e d. Ma plejer hertil at avede tredieordesmometet ~xx omkrig Geemsittet. Hvis x multipliceres med e kostat Faktor a, saa vil ~xx blive multipliceret med Faktore a. 3 Det samme er Tilfældet med ~;. Hvis vi derfor betragter F o r h o 1 d e t (1) w mxxx ~; saa vil dette være uafhægigt af Maaleehede for x og ka derfor sammeliges fra ee Fordelig til e ade. (1) er et Maal for Skæv~edsgrade. (l) bliver = O, aar Fordelige er.symmetrlsk. ~ vad r a t e t paa (1) beteges i Almidelighed pij saaledes at (l) er lig V Fl '.) Alle de foraævte Parametre ka aturligvis paa helt aalog Maade bereges i e Fordelig af relative Hyppigheder ved et begræset Atal Observatioer. Da faar vi de tilsvarede Størrelser u d e Stjeremærket. I.,. """~" " '",""0 Det blotte Kedskab til visse umeriske V~dier for disse Parametre er imidlertid i og for sig temmelig tomme Oplysiger. De fulde Nytte af dem faar vi først, dersom vi er i Stad til at sige oget om følgede to Hovedspørgsmaal. For det rørste: Er det muligt at opstille teoretiske T y P e r af Fordeliger som M ø s t e r for e Sammeligig? Hvis det er Tilfældet, ka vi emlig berege de forskellige Parametre for disse teoretiske Fordeliger og bruge disse Parametre som Sammeligigsgrudlag. For det adet. Hvorledes vil de Parametre, der er bereget ved et begræset Atal Observatioer, forholde sig til de tilsvarede Parametre i Kollektivet? Alle Parametre i et Kollektiver Kostater,

26 mes derimod Parametree bereget i eet begræset Udvalg som Regel bliver mere eller midre forskellig fra Parametree bereget i et a d e t lige saa stort Udvalg fra det samme Kollektiv. Ka vi sige oget om StØrrelse og Arte af disse Variatioer? Dette er de fudametale Spørgsmaal, som vi skal behadle i de følgede Afsit N o g 1 e v i g t i g e T Y P e r a f F o r d e 1 i g s fuktioer. : l" ;""" Vi har set Eksempler paa statistiske Parametre til Beskrivelse af Fordeligslove. Disse siger o g e t om Fordeliges Form, me de siger ikke alt. De giver ikke oget Billede af hele Fordeliges Form. E fuldstædig BeskriveIso vilde vi have, hvis der mellem Kedetegets Størrelse og Hyppighede bestod e kedt fuktioel Sammehæg. Ved aritmetiske Fordeliger, hvor Kedeteget ku ka atage et edeligt Atal forskellige VæTdier, kude ma tæke sig at føje et Polyomium, hvis Kurve gik geem alle Observatiospukter. Dette vilde blive af ( l)te Grad. Me for det første vilde dette Udtryk for store blive meget lidt oplysede, og for det adet, og det er vigtigere, vilde vi dorved tage uødig meget Hesy til alle m,i d r e i t e r e s s a t e D e t a l j e r ved Fordelige. Det, som vilde have større Iteresse, var at faa et forholdsvis ekelt matematisk Udtryk, som beskrev do v re s e t I i g e T r æ k ved Fordelige. Ved geometriske (kotiuorlige) Fordeliger er e saada Foreklig gaske ødvedig, idet der her er et ubegræsot Atal Detaljer at tage Hesy til. Det viser sig u, at et stort Atal observerede Fordeliger har e Tedes til at ærme sig Forme for visse matematisk temmelig ekle Fuktioer. Vi ka ofte so dette direkte af de observerede Fordelig, og i det følgede skal vi ogsaa so, hvorledes ma ved at bygge paa visse simple Aksiomer agaaede Arte af Observatioere ka b e v i s e, at Fordelige, aar Atallot af Observatioor vokser over alle Græser, æ!'mer sig e vis matematisk Græseform. Forudsætiger.e for dette Resultat er, som vi skal se, meget geerelle, de ideholder ikke mæsetligt adet ed hvad sud Foruft siger os. Dette er aturligvis i k k e det samme som at bevise Gyldighede af de teoretiske Fordeliger i Praksis. Dette ka ku Erfarig gøre. Det, vi skal gøre i dee Paragraf, er at studere ret matematisk visse Fordeligsfuktioer. Vi skal seere se, h vor f o r etop d i s s e specielle Fordeligsfuktioer bliver af s~lig Iteresse. ",.". i'".. ' 4.1. De Beroulliske Fordelig. Biomiallove. Lad os betragte et Kollektiv K, hvor forskellige Kedeteg A, B, C ka optræde (f.eks. 1,2,3 o.s.v. ved Kast med ee Terig). Vi fæster Op~ksomhede specielt ved eet af Kedetegee, f.eks. B's Idtræde (B) eller ikkeidtræde (ikkeb), (for e Terig f.eks. B = 3, ikkeb = 1,2,4,5,6), d.v.s. vi betrakter a l t e r a t i ve Observatioer. Lad B have Sadsylighede p, ikkeb altsaa Sadsylighede l P = q. H vad b l i vel" S a d s y l i g h e d e f o r a t B i d t r æ d e r x G a g e i O b s e r vat i o e r, og altsaa ikkeb x Gage? Lad os først betrakte de forskellige mulige Resultater af Observatioer. Disse er

27 B ikkeb O Gage Gage l Gag l 2 Gage 2 t x,, x! Der er altsaa ialt +. l mulige Tilfælde. Me disse Tilfælde er i k k e l i g e m u l i g e. Iflg. 2.3, (7) ka ma jo emlig faa B x Gage paa (l) forskellige Maader; og ge, Sadsylighede (2 ) px. q ( x) (~) O 25 hver af disse har, ved Multiplikatiossæti Da de {5l)forskellige Maader idbyrdes udelukker hiade, faar vi, ved Additios sætige, (3) P x = O~) px. q... x, (x = 0,1,2 ). FX, (x = 0,1, ) er Ordiatere i de B e r o u l l i s k e S a d s y l i g h e d s f o r d e l i g (Jac.Beroulli, ). De ekelte Led i (3) for x = 0, 1,2 er, som ma vil se, itet adet ed Leddee i Udviklige af (q + p). Vi har jo emlig ~ l. ~ l.( 4) (q + p) : q + l ~ (l)! p' q + + l l) q. p,... p (3) kaldes derfor ogsaa ofte de B i o m i e l l e l i g. Da p + q = l, er ogsaa (q + p) = l, og altsaa Lx Px = "\:'" ( ') x x ~ x p q = l o F o r d e o hvilket blot udtrykker, at der ikke er adre Muligheder ed B og ikke... B. Hvis vi gør et meget stort Atal Observatioer af G r u p p e r p a a h v e r Observatioer ( et fast Tal), saa er altsaa Px Græse for de relative Hyppighed af saadae Grupper (paa Observatioe~, der giver Kedeteget B etop x Gage og altsaa Kedeteget ikkeb x Gage. Eksempler,. l) Hvad er Sadsylighede for at faa 6 to Gage i Løbet af lo Kast med e "rigtig lt Terig? Hvorledes skulde ma empirisk prøve, om de fude Sadsylighed stemmer? 2) Hvad er Sadsylighede for ved 15 Plat og Kroekast at faa Kroe 5 Gage? Midst 5 Gage? (Sadsylighede for Kroe atages = i) Sadsylighede for at faa e x, der er større ed eller ltg a; me midre ed eller G.ig b, :hvor O < a <: b <, bliver, ved Additiossætige, (6) ~ p = ~ x b )". () x 'p x q x L.x a