Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende"

Transkript

1 Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste matematikfaglige opgaver i Epsilo og ogle udersøgelser. Svarmulighedere til de fagdidaktiske opgaver er så brede, at vi har udladt at foreslå besvarelser hertil. Hvis du magler oget i besvarelsere eller opdager fejl, foreslår vi, at du koordierer dette med dit matematikhold og lader jeres lærer sede iformatioere til e af forfattere.. Børs talbegreber og regeoperatioer omkrig de første skoleår Ige forslag til besvarelser.. Matematiske teorier for aturlige tal Opgave = 8 + e(). Hvis vi beytter regel i defiitioe, får vi = 8 + e() = e(8 + ). Så magler vi at bestemme 8 +. Som ovefor ka vi omskrive 8 + = 8 + e() = e(8 + ), og problemet er u at fide 8 +, me 8 + = e(8) = 9, og vi får derfor 8 + = e(8 + ) = e(9) = 0. Og derefter = e(8 + ) = e(0) =.

2 Opgave 5 I. Vi viser først, at kommutativitete er opfyldt for additio af, altså at der for alle aturlige tal a gælder: a + = + a Dette vises pr. iduktio, altså fra e ede af (formelt uder avedelse af aksiom 5). ) Det gælder for a =, thi + = +, da der står det samme på hver side ) Lad os u atage, at det gælder for e givet tal a, altså at a + = + a. Dette kalder vi vores iduktiosatagelse. Vi vil så vise, at det også gælder for efterfølgere e(a) til a. Vi vil altså vise, at e(a) + = + e(a). (Obs. Vi beviser det for afveksliges skyld på e lidt ade måde ed i hitet i tekste). e(a) + = pr. defiitio. af + e(e(a)) = ige pr. defiitio. af + e(a + ) På de ade side har vi: + e(a) = pr. defiitio. e( + a) = pr. iduktiosatagelse e(a + ) Vi har u vist det øskede, emlig kort skrevet, at e(a) + = + e(a), da begge er lig med e(a + ). Alt i alt har vi vist, at a + = + a, gælder for tallet, og at dee kommutative egeskab edarves fra et givet a til efterfølgere e(a). Det følger herefter af Peaos aksiom 5, iduktiosaksiomet, at egeskabe gælder for alle a. Det gælder derfor, at additio af til a er kommutativ: a + = + a.

3 3 II. Vi lader u a være et vilkårligt, me fastholdt aturligt tal, og lader b være det variable tal, og vil ved et tilsvarede iduktiosbevis efter b bevise, at der altid gælder, at a + b = b + a. ) Vi har etop vist, at dee egeskab gælder for b =. ) Vi atager u, at det for et eller adet b gælder, at a + b = b + a (iduktiosatagelse). Og vi skal bevise, at e(b) også har egeskabe, altså a + e(b) = e(b) + a. a + e(b) = ifølge defiitio. e(a + b) og e(b) + a = ifølge defiitio. (b + ) + a = da + er associativ jf. sætig b + ( + a) = da vi lige har vist, at + er kommutativ ved additio af b + (a + ) = ifølge defiitio. b + e(a) = ifølge defiitio. e(b + a) = ifølge iduktiosatagelse e(a + b) Da højre og vestre side giver det samme, har vi u bevist, at a + e(b) = e(b)+ a. Hermed har vi vist, at a + b = b + a er sadt for b =, og at dee kommutative egeskab edarves fra et b til efterfølgere e(b). Ifølge iduktiosaksiomet (Peaos femte aksiom) gælder det derfor for alle aturlige tal b, at a + b = b + a. Og a var fra starte af et vilkårligt aturligt tal, så det gælder altså geerelt for ethvert valg af såvel a som b.

4 4 Opgave 8 Ma ka bede de studerede om at sætte sig ed og lade være med at sidde flere på hver stol. Hermed etableres e ijektiv afbildig fra mægde af studerede til mægde af stole. Hvis der så viser sig at være ubesatte stole, så er afbildige klart ikke surjektiv, og ifølge vores defiitio på færre ed (defiitio 5) er der færre studerede ed stole. Hvis vi skal afgøre det, før de studerede komme id i lokalet og stadig vil være tro mod vores defiitio 5, så kue vi lave følgede afbildig fra mægde af stole til mægde af studerede. Vi ummererer stolee fortløbede fra og opad. Ligeledes med de studerede. Fuktioe kytter så stole med ummer til de studerede med ummer, stole med ummer til de studerede med ummer osv. Vi ka hurtigt afgøre, hvilke vej dee afbildig ikke vil være surjektiv. Det er altså blot e dybere måde at avede tællemetode på. De mægde, der optælles til det største tal i tælleremse, har også flest elemeter. Lad f være afbildige, der til ethvert primtal p i [300,400] kytter tallet p. Da dette tal er lige er det sammesat. Dee klart ijektive afbildig rammer dog ikke alle sammesatte tal, idet 400 ikke rammes. Når der således fides e ijektiv, me ikke surjektiv afbildig fra mægde af primtal til mægde af sammesatte tal, så er der pr. defiitio 5 tale om, at der er færre primtal ed der er sammesatte tal. (Primtallee mellem 300 og 400 er: 307, 3, 33, 37, 33, 337, 347, , 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397. Der er altså 6 sådae primtal. Dermed er der 84 sammesatte tal i itervallet, altså er det rigtigt, hvad vi skriver). Taflet klarer vi emt, hvis vi ka se, at der er e dessertgaffel ved hver kuvert, og der også er et portvisglas ved hver kuvert. Hermed etableres e bijektio fra mægde af dessertgafler til mægde af kuverter og herfra til mægde af portvisglas. De sammesatte fuktio bliver e fuktio fra mægde af dessertgafler til mægde af portvisglas. (Læsere bedes bære over med, at vi således problematiserer det helt elemetære, me det er missioe med dette kapitel). Opgave 6 3 Kald resultatet af 6 3 for a. Da gælder i følge defiitioe, at a + 3 = 6. a er altså det tal, vi skal lægge 3 til for at få 6. Prøver vi efter ved at skyde på ogle tal eller ved at tælle, fider vi, at a = 3. Hvis vi går helt ed til defiitioere, ka vi berege som e() + 3 = e( + 3) = e(5) = 6. 6 : 3 Kald resultatet af 6 : 3 for a. Da gælder i følge defiitioe, at a 3 = 6. a er altså det tal, vi skal gage 3 med for at få 6. Prøver vi lidt efter, fider vi hurtigt, at a =. Hvis vi går helt ed i defiitioe er 3 = e() 3 = = = 6, og altså skal vi gage 3 med for at få 6. (a + b) b = a. For at vise dette skal vi ifølge defiitioe vise, at (a + b) = a + b, hvilket er sadt. ( a b) : b = a. For at vise dette skal vi ifølge defiitioe vise, at ( a b) = a b, hvilket er sadt.

5 5 Opgave ( a : b) : c = a : ( b c) Kalder vi ( a : b) : c for z, fortæller defiitio 8., at ( a : b) = z c. Bruges defiitio 8. edu egag fås, at a = z c b. Multiplikatio er associativ og kommutativ, så vi ka tillade os i stedet at skrive a = z ( c b) = z ( b c), hvilket pr. defiitio af divisio (8.) betyder, at a : ( b c) = z. Derfor er ( a : b) : c = a : ( b c), idet de begge er lig z. a : ( b : c) = ( a : b) c Som i boges bevis for de aaloge regel med vil vi her gage på begge sider af lighedsteget med (b : c). Vestreside bliver så a : ( b : c) ( b : c) = a. Højreside er dermed ( a : b) c ( b : c) = ( a : b) ( b : c) c = ( a : b) b = a, og da de begge er lig a, er de opridelige lighed også sad. Opgave 5,,,,, 3,,, 3, 4,... så er ummer 8 på liste. Hvorår kommer vi til 7 e brøk med sum af tæller og æver på 38? 0 Dee brøk vil efter systematikke ovefor være de 7. brøk i opskrivige af brøker med tæller + æver = 38. Vi magler blot at fide ud af, hvor mage brøker vi har skrevet, ide dem med tæller + æver = 38 dukker op. Der er brøk med tæller + æver = Der er brøker med tæller + æver = 3 Der er 3 brøker med tæller + æver = 4... Der er 36 brøker med tæller + æver = 37. Derfor har vi skrevet = brøker, ide vi går i gag med dem, hvor tæller + æver = er derfor ummer = på liste, hvis det ikke var, fordi vi vil udgå at tælle 0 brøker, der agiver samme ratioale tal med to gage. Så koklusioe er, at vi år frem til brøke 7 seest, år vi har talt brøker op. 0

6 6 3. Positiossystemer og regealgoritmer Opgave a = = Opgave Opgave

7 7 Opgave Som ma ka se i to-tabelle i base V er lige tal repræseteret både med ulige og lige slutciffer. Det er derfor ikke emt at afgøre om går op i et tal opskrevet i base V. 5 X = 0 V, og det er derfor emt at afgøre, om det går op i et tal skrevet i base V. det sker etop, år tallet slutter på Elevers opfattelse af og regig med flercifrede tal Til dette kapitel er der ikke forslag til opgave besvarelser.

8 8 5. Talteori Opgave 3 Det ser ud som om x π(x) stiger med ca.,3 hver gag. Derfor er det bedste bud, at 0 3 = 8,9 så π(0 3 ) π(0 3 ) 0 3 : 8, På hjemmeside ka ma fide det præcise atal Opgave 7 Hvis x er de alder Diophat opåede, ka oplysigere oversættes til Bardom 6 x Ugdom x Vokse og ugift 7 x Gift og barløs 5 Idtil søe dør x Herefter lever ha i yderligere 4 år. x = 6 x + x + 7 x + x x = 5 8 x x = 9 x = 84 Opgave 0 ) Der er 3 4 = divisorer. ) De 8 divisorer er p 0 q 0 r 0, p q 0 r 0, p 0 q r 0, p 0 q 0 r, p q r 0, p q 0 r, p 0 q r og p q r. 3) Divisorer i p er, p, p,..., p, p dvs. i alt + divisorer. 4) Overlades til læsere. x y z 5) Fra pukt 4 ved vi, at p q... r har ( x + )( y + )... ( z + ) divisorer år p, q,..., r er primtal. ( x + )( y + )... ( z + ) ka ku give hvis alle faktorer på ær é er og de sidste er. Derfor må det eftersøgte tal være et primtal opløftet i 0 potes. 0 = 5 og der er således ikke plads til større primtal opløftet i 0 potes. Det eftersøgte tal er derfor 5.

9 9 6. Talmøstre og figurrækker Opgave 4 Summe af de første aturlige tal S( ). Da S( + ) = ( ) + + ( + ) = S( ) + + har vi e rekursiv formel for talfølge S( + ) = S( ) + +. Opgave postulerer, at vi ka fide S( ) = ( + ), og vi skal bevise dette pr. iduktio. I. Første skridt er at vise, at formle er korrekt, år =. S () = ( + ) =, hvilket er summe af det første aturlige tal. II. Vi atager u, at formle gælder for tallet, altså at vi ka berege summe af de første aturlige tal som S( ) = ( + ), og så skal vi bevise, at formle også gælder for ummer +. Hvis vi sætter + id i formle, får vi S( + ) = ( + )( + + ) = 3 ( = + )( + ) Vi skal altså ud fra S( ) = ( + ) prøve at bevise S( + ) + +. Det eeste, vi ved med sikkerhed, er, at vi ka berege S( + ) ud fra sammehæge S( + ) = S( ) + +. Da vi har ataget, at S = + ka vi berege S( + ) til S( + ) = S( ) + + = ( + ) + + = + + = + Så det lykkedes os at bevise 3 = ( ) ( ), S( + ) = + +. Det sidste udtryk er det samme som formle gav, og der er derfor overesstemmelse mellem det formle fortæller og de rekursive sammehæg, og iduktiosbeviset er fuldført, idet vi u ka avede iduktiosaksiomet, Peaos 5. aksiom.

10 0 Vi giver edu et iduktiosbevis for e af formlere fra opgave 3 Vi fadt for dobbelttrappe, at D( ) = D( ) + 4 +, eller samme formel udtrykt for ummer + : D( + ) = D( ) + 4( + ) +. Vi har også agivet, at vi tror, at vi ka berege D( ) ud fra formle D( ) = + 3, me dette er edu ikke bevist. Vi vil u ved hjælp af et iduktiosbevis påvise, at der faktisk gælder aturlige tal. D( ) = + 3 for alle I. For at beytte iduktiosbeviset, skal vi sikre os, at formle passer for =. D () = + 3 = 4, hvilket er det korrekte atal tædstikker. II. Vi atager derfor, at formle er korrekt for ummer, altså at vi ka berege atal tædstikker i de te figur ved D( ) = + 3. Vi skal u bevise, at formle også er korrekt for figur ummer +. Vi vil først lige fide ud af, hvorda de formel egetlig ser ud for D( + ). Sætter vi + id i formle, får vi D( + ) = ( + ) + 3( + ) = ( ) 3( ) = Vi skal u bevise at D( ) = + 3 medfører, at D ( + ) = Det eeste vi med sikkerhed ved er, at D( + ) = D( ) + 4( + ) +. Vi ka berege D( + ), idet vi på højre side idsætter D( + ) = D( ) + 4( + ) + = 3 4( ) = D( ) = + 3. Vi får så altså præcis det øskede, det samme som formle giver, år vi idsætter +. Vi ka u ud fra iduktiosaksiomet slutte, at formle tal. D( ) = + 3 gælder for alle aturlige Opgave 5 I opgave er de rekursive sammehæg, at L() = L( ) +, og vi ka sige, at L(0) = 0. For at berege L(5) ka vi derfor berege j. 5 j=

11 Opgave 7 Fra opgave har vi. Trekattal: T ( ) = T ( ) + og T(0) = 0, vi ka derfor berege Firkattal: F( ) F( ) T ( ) = j. j= = + og F(0) = 0, vi ka derfor berege F( ) = ( j ) Sekskattal: S( ) S( ) 4 3. = + og S(0) = 0, vi ka derfor berege S( ) = ( 4 j 3) k-kattal: K( ) = K( ) + ( k ) ( k 3) og K(0) = 0, vi ka derfor berege j= ( ) K( ) = ( k ) j ( k 3) Fra opgave 3 har vi j=. Trekatere : T ( ) = T ( ) + 3. T(0) = 0 passer id i systemet, vi ka derfor berege T ( ) = 3 j. j= Firkatere : F( ) = F( ) + +. F(0) = 0 passer ikke id i systemet, vi er derfor ødt til at stoppe optrævlige et skridt tidligere og berege. F( ) = F() + ( j ) = 4 + ( j ) j= j= Dobbelttrappe : D( ) = D( ) D(0) = 0 passer ikke id i systemet, vi er derfor ødt til at stoppe optrævlige et skridt tidligere og berege. D( ) = D() + (4 j + ) = 4 + (4 j + ) j= j= Sekskatere : T ( ) = T ( ) + 4. T(0) = 0 passer ikke id i systemet, vi er derfor ødt til at stoppe optrævlige et skridt tidligere og berege T ( ) = T () + 4 = + 4. j= j= j=

12 Opgave 0 Hvis atallet af måder ma ka lave e sti med domiobrikker kaldes D() har vi D() = D() = D() = D(3) = 3 = D() + D() D(4) = 5 = D() + D(3)

13 3 D(5) = 8 = D(3) + D(4) D(6) = D(4) + D(5) Der gælder altså geerelt D() = D( ) + D( ), hvilket er samme rekursive sammehæg som for Fiboacci-tallee. Der fides også e formel for D(), me de er (lige som for Fiboacci-tallee) ikke helt em at fide: D( ) = 5 + +

14 4 9. Variable Opgave 3 A = B + 3 B B + = ( C + ) eller C = Regearket ka se således ud, hvor B's alder er fri. Og vi fider løsige Vi ka også skrive det ret algebraisk op og klare det ved ligigsløsig B = ( C + ) = C + A = B + 3 = C = C + 5 Idsættes dette i A + B + C = 8 får ma: C + (C + ) + (C + 5) = 5C + 7 = 5C = 5 C = 3 hvilket hurtigt løser problemet.

15 5 Opgave 5 ) Lad os sige, at det tager dem tide x. Da det samme arbejde skal udføres er: 4x = 7(6 dage 4 timer) = 4 dage + 8 timer og x altså lig med 0½ dag + 7 timer, hvilket med e 8 timers arbejdsdag giver dage og 3 timer. ) De ee maskie arbejder med e hastighed af oplag pr. 4 dage ( v = ) og de ade maskie 4 arbejder med e hastighed af oplag pr. 8 dage, ( v = ). Hvis de arbejder i d dage er produktioe givet ved d +. Maskiere skal til samme producere et oplag, så der skal gælde: d + = d = d = 7,875 8 Hvis e arbejdsdag er 8 timer skal maskiere arbejde i 7 dage og 3 timer. 3) Hvis vi kalder det atal læs, A kørte de tre første dage, for a, og det atal læs B hhv. C har kørt for b hhv. c, har vi: b = a + 6 c = a + 3 Det samlede atal kørsler er da: a + a a + 3 = 4 3a + 9 = 4 a = 74 De tre har kørt hhv. 74, 80 og 87 læs. 4) B og C har e timelø på t kr. A har så e timelø på,5 t. De skal derfor dele beløbet så A får e adel på,5 t 8 og B og C hver får e adel på t 7,5. Værdie af t er ude betydig, så hvis vi kalder B s adel for b skal A have,5 8 7,5 b Da også C får b udbetalt bliver de samlede udbetalte lø:,5 8 7,5 b + b + b = 564, 5 3, b = 564,5 b = 76 c = 76 a =

16 6 5) 45, , + x 4, 4 = 450 4, 4 x = 3 x = 30 6) Salgsprise skal være 4,50 ikl % fortjeeste. Prise før fortjeeste skal derfor være 3,375 kr./kg. Bladige består af 44 kr. til 3,60 kr./kg og x kg til 3 kr./kg. Der skal derfor gælde 44 3, 60 + x 3 = (44 + x) 3,375 58, 4 + 3x = , 375x 3, 4 = 0,375x x = 86, 4 Ha skal bruge 86,4 kg af kaffe til 3 kr./kg. (Hvis du ikke kue lide de tilbagegåede procetregig i starte af opgave kue de være udgået ved at idrege fortjeeste i selve ligige. Prøv det.)

17 7 Opgave 7 Pyramidestubbes rumfag er 3 h ( G g G g ) er G og g es. Formle bliver da ( ) ( ) + +. Hvis der i virkelighede er tale om et prisme h G + G + G G = h G + G + G = h G, 3 3 hvilket etop er formle for prismets rumfag. Udersøgelse 3 Hvis s er sækige i prise målt i kr., ka ma beskrive atallet af passagerer som s. Billetprise er 8 s s 8 s. Der fides ige. De samlede idtjeig er derfor ( )( ) mage måder at bestemme maksimum for dee fuktio på. De optimale løsig ligger ved e s- værdi på 9 eller ca.,75 kroer. Realistisk set må ma ok rude prise ed med et helt atal kroer fx kroer. 0. Geometri i de første skoleår Der er ige besvarelsesforslag til dette kapitel.

18 8. Flytiger, eksperimetelt og teoretisk Opgave A s m (T) s k (T) C B m k s (T) A C B m k s m (s (T)) s (s k (T)) s (s m (T)) A s m (s k (T)) C B m k

19 9 A s k (s m (T)) C B m k s s s s er e drejig på 80 grader om de to lijers skærigspukt k s er e parallelforskydig. m k m sk er e parallelforskydig med samme lægde me modsat retig af sm s. k Opgave 6 Der er ikke tale om e spejlig her og heller ikke e parallelforskydig. Me der ka heller ikke være tale om e drejig, da omløbsretige i trekate er aderledes i billedtrekate ed i de opridelige. Der er altså tale om e y slags flytig. Flytige er e såkaldt glidespejlig. A parallelforskydes først mod højre, hvorefter de spejles over i B. Opgave 0 ) Ifølge sætig gælder der, at e refleksio er e isometri. Ifølge sætig gælder der: Hvis f og g er to isometrier, så er de sammesatte f g også e isometri. Derfor er såvel sm sl som s sm sl isometrier. ) Da trekate A C B på figur i kapitel er lig de opridelige trekat, vil både A og B ligge lige lagt fra C og C. A og B ligger altså på midtormale til C og C og flyttes derfor ikke ved spejlig i lije.

20 0 Opgave De tre lijer går geem samme pukt: f = s s j sk bliver til e ormal spejlig. Betragt f = s ( s j sk ). Her er s j sk e drejig om lijeres skærigspukt, og de ka derfor erstattes af spejlig i to adre lijer, bare de har samme vikel mellem sig og samme skærigspukt. Vi ka derfor vælge e lije q så s j sk = s sq j k j q På dee måde bliver flytige til f = s ( s s ) = s ( s s ) = ( s s ) s = s, altså blot e spejlig i é lije, som hævdet. j k q q q

21 Opgave 4 ) Det er i begge tilfælde e parallelforskydig, der fører A over i C. Altså g f og f parallelforskydige lags diagoale fra A til C. Lad f være drejige s j s, g drejige s sk og d drejige s k s. Karakteriser flytigere f g og f d g er begge = j k = j k f g s s s s s s e drejig på 80 grader om B. f d = s s s s er e parallelforskydig mod vestre med det dobbelte af AD. j k Dette ka idses ved at fide, hvorda et par pukter flyttes eller ved at rege mere algebraisk på de idgåede spejliger, fx ka s s erstattes med s s, hvorefter vi ka berege: f d s s s s = j k til s j l k l s, der ses at være de påståede parallelforskydig.

22 . Symmetrier og møstre i verde og i geometrie Opgave 3 ) D D 6 D C D D Idet vi observerer, at stjere i sig selv har større symmetri emlig D 5. Det taoistiske symbol har e drejig på 80 grader, så selv om farvere ikke kommer på plads, ka ma med god ret sige, at symmetrigruppe er C. ) Læsere skal selv eksperimetere her, så vi har lavet to fejl i de følgede figurer. C 4 C D D 3

23 3 Se evetuelt Her ka du bare trykke på de øskede symmetrigruppe og få god tekisk støtte til at lave ege rosetter. D Opgave Se evetuelt her (alle adresser er lokaliseret d. 6/6 008)

24 4 Opgave 0 ) Såda 6 prismer laver et tæt budt, år de lægges samme på de lage led. Budtere bliver til prismer over e regulær sekskat. Såda tre budter ka lægges tæt samme, og flere ka føjes til, så rummet udfyldes. ) Prøver ma efter, vil ma fide, at det for de skæve prismers vedkommede er bedst, hvis det vikelrette tværsit er e ligesidet trekat. 3) Ja, hvis der på gulvet er e tæt fliselægig med fliser, der er cm høje, så ka ma jo bare lægge gulvet 0 gage og dermed få et 0 cm højt udsit af rummet fyldt med prismer, og dette ka getages for de æste 0 cm, osv. Prismere beståede af 0 fliser ka fylde rummet. 4) Tre skæve pyramider ka fx dae e kasse.

25 5 3. De elemetære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytigsregig Opgave Firkater. Hvis e firkat har e drejig på 80 grader som e symmetri, betyder det, at de modståede sider bliver parallelle og lige store, da de føres over i hiade ved dee drejig. Figure er altså er parallelogram. I et skævt parallelogram er der ikke yderligere symmetrier, så symmetrigruppe idskræker sig til C. Hvis parallelogrammet har alle fire sider lige store me stadig skæve vikler bliver det e rombe. Hvis parallelogrammet ku har de modståede side lige store me rette vikler bliver det et ikke-kvadrattisk rektagel. I begge tilfælde bliver symmetrigruppe D. A B C Begge figurer ka karakteriseres ved to tal. Rektaglet ved sidelægdere og rombe ved e vikel og sidelægde (eller ved de to diagoaler). Hvis både vikler og sider bliver lige store, er det tale om et kvadrat, og symmetrigruppe øges til D 4. Kvadratet er som bekedt karakteriseret ved si sidelægde.

26 6 Vi magler at bevise, at der skal tre stykker til at karakterisere et parallelogram. Hvis vi ku har givet sidere, altså lavet et parallelogram af to gage to lister slået samme med fire søm i hjørere er det som bekedt lidt slattet og ka klappes helt samme, så der skal også e af viklere med for at karakterisere et specifikt parallelogram, i alt tre stykker. Trekater De ligesidede trekat har symmetrigruppe D 3 og ligebeede trekater (med to forskellige sidelægder) har symmetrigruppe D. Det er klart, vi ka øjes med sidelægde for at karakterisere e specifik ligesidet trekat, mes begge sidelægdere skal med i de trekat, der ku er ligebeet. E vilkårlig trekat er ifølge de første kogruessætig fastlagt ud fra sie tre sider, så ma ka øjes med tre stykker til at fastlægge ehver trekat, me det er u ikke lige meget hvilke tre stykker ma vælger. Her er et eksempel på tre stykker, der ikke slår til at karakterisere e trekat ude symmetri etydigt: b = cm a = cm <A = C b a A B B' Der er to trekater, emlig ABC og AB C, der opfylder kravee. Vi påstår i boge, at e trekat ikke ka have symmetrigruppe D. Hvorda ka vi bevise det? Jo, for symmetrigruppe D ideholder e rotatio på 80 grader. Og hvis e rotatio på 80 grader fører e trekat over i sig selv, så vil e af trekates sider herved føres over i e ade af sidere, som ødvedigvis ville blive parallel med de første. Me disse to sider vil mødes i et hjøre, hvor topvikle så ville blive på 0 grader. Der ville altså være tale om e sammeklappet trekat, og de er ikke i ormal geometri at rege for e trekat (me hvis de var, så er det sadt ok at symmetrigruppe er D ).

27 7 Opgave 5 Hvis lijere og j er parallelle, bliver s s j og s j s parallelforskydiger vikelret på lijere, me i hver si retig. Dog er der e udtagelse, hvis lijere ligger ove i hiade, idet sammesætige så er de idetiske flytig. De to flytiger ka derfor ku være es hvis og j er sammefaldede. Hvis lijere ikke er parallelle, er s s j og s j s drejiger om lijeres skærigspukt med hhv. + og det dobbelte af vikle mellem lijere. Hvis drejigere er på 80 grader, er s s j og s j s idetiske og ellers ikke. Koklusioe er, at s s j og s j s er es, år lijere er sammefaldede, eller år lijere er vikelrette.

28 8 Opgave 7 a b = a + b, da er 3 = 3 + = 8 og (3 ) 5 = 8 5 = = Associativitet: ( a b)* c = ( a b) + c = ( a + b) + c = 4a + b + c a ( b c) = a + ( b c) = a + b + c kompositioe er derfor ikke associativ. Kommutativitet: Da 3 = 3 + = 8 og 3 = + 3 = 7 er kompositioe heller ikke kommutativ. a # b = a + b + Kommutativitet: b # a = b + a + = a + b + = a # b, da alm. + er kommutativ. Associativitet: ( a # b) # c = ( a # b) + c + = a + b + + c + = a + b + c + a #( b # c) = a + ( b # c) + = a + b + c + + = a + b + c + Da de to udregiger giver det samme, er kompositioe associativ. Neutralt elemet: a #( ) = a + ( ) + = a ( ) # a = + a + = a - er derfor eutralt. Iverst elemet: Hvis b er iverst til a, skal der gælde: a # b = a + b + = b = a Det iverse til a er derfor -a -, som vi også ka se af de følgede udregig: a #( a ) = a + ( a ) + = ( a ) # a = a + + =

29 9 Opgave Gruppe er kommutativ, da der er symmetri lags diagoale. D 3 er ikke kommutativ, så der ka ikke være tale om de samme gruppe. Derimod er det strukturelt set de samme gruppe som ( C6, ), hvilket ka ses, hvis ma lader svare til e drejig på 60 grader, til e drejig på 0 grader, 3 til 80 grader osv. 4. Eksperimetelle udersøgelser af former i rummet Her er ige forslag til besvarelser, da opgavere i de grad er e opfordrig til selv at udersøge.

30 30 5. Geometri i yere tid Opgave E mulighed er A D C B Opgave 4 Hvis A og B er de eeste kudepukter, der har ulige vales, ka vi tilføje e kat til grafe, som forbider A med B. Derved får alle kudepukter lige vales, og vi ka lave e rudtur i grafe, der starter og slutter i A, og som går ad alle kater. Ved at skifte rudt på de rækkefølge vi går ad katere, ka vi sikre os, at de sidste kat i rudture er de ekstra kat mellem A og B. Ture rudt i grafe ude dee kat vil derfor være e tur rudt ad alle kater fra A til B. Opgave 7 Ved at til tilføje e y kat, der starter i et eksisterede pukt og eder i et yt pukt, øges både P og K med é. Me da de idgår med modsat forteg i formle for Eulertallet, vil ædrigere ophæve hiade. Tilføjes e kat der forbider to pukter kommer de ødvedigvis til at dele et område (e flade) op i to, så i dee situatio forøges F og P begge med, hvilket udliges i Eulertallet, der forbliver på.

31 3 6. Databehadlig Opgave 3 Det ka være praktisk at have data tilgægelige i e elektroisk udgave for emmere at kue eksperimetere med dem. Dag Dag Dag I magel af e bedre idé prøver vi at lave et søjlediagram over tallee de første dag: Her falder det i øjee, at der er et gaske regulært skift mellem korte og lage søjler, som om e lag vetetid efterfølges af e kortere. Måske skulle vi så prøve at opdele materialet i de kortere og de lage hver for sig, altså vælge hver ade. Vi fortsætter med at gøre det for de første dag, så vi ka bruge de to æste dage til at afprøve de idsigt, vi tror at have vudet ud fra e aalyse af førstedages materiale. Hver ade / korte: Hver ade /lage: Vi ka karakterisere hver talserie ved hjælp af fx miimum, kvartilsæt og maksimum for at se, om det afslører oget iteressat (i et regeark ka det klares i e hådevedig med fuktioe kvartil): deskriptor miimum edre kvartil media øvre kvartil maksimum hjælpetal korte lage Vi observerer, at de lage og de korte vetetider er klart adskilte. Og vi kue ok forvete at de korte også i fremtide ville ligge i 50 ere, mes de lage ville ligge i 80 ere, måske med ekelte afvigelser. Fortsæt selv beskrivelse og udersøgelse.

32 3 Opgave 6 ) Det ka godt være at svømmeveste er e god sikkerhed mod drukig, me argumetet holder ikke, hvilket afsløres, hvis ma skriver oget adet i stedet for svømmeveste, fx havde hat på : I det forløbe år drukede 35 persoer ved bådulykker. Ku fem af dem havde hat på; ige af de adre bar hat. Bærer de selv hat, år de er ude at sejle? Me det mest kritiske spørgmål er: Hvor mage folk til søs bærer egetlig svømmevest? Hvis ku 3% bærer svømmevest og e stikprøve på 35 falder i vadet og druker, så ville vi selv ved virkigsløse svømmeveste ku forvete, at e ekelt af disse havde svømmevest på. Når der u var 5 af de 35, der havde svømmevest på, så syes det at tyde på, at svømmevestee får folk til lettere at falde over bord og druke. De er altså direkte farlige. Overvej, hvor stor e procetdel af befolkige der ormal skal bære svømmeveste til søs, før argumetet i aoce ka siges at holde? ) De sigede død i mieralvad På grafe ka ma se, at hvis alle folk i e mellemstor by på hver dag drikker 0 liter mieralvad fra Perrier, så vil atallet af kræftilfælde ide for de æste 40 år stige med i bye. Hertil kommer forureige fra de lastbiler der hver dag skal brige de ødvedige ½ millioer flasker id til bye. Regerige overvejer at edsætte det størst tilladelige idtag til 5 liter pr. dag, hvilket ca. vil halvere risikoe og i al fald lette på trafikke.

33 33 7. Sadsyligheder i skoles ygste klasser Opgave 3 E teoretisk fortolkig er, at der er gevist, hvis møtes cetrum befider sig ide for et midre kvadrat. s Hvis det store kvadrat har sidelægde s har det midre kvadrat sidelægde s d, hvor d er møtes diameter. Det teoretiske bud på sadsylighede er forholdet mellem de to arealer, altså ( s d) s E to-kroe har e diameter på,45 cm. Hvis vi skal fide de teoretiske gitterstørrelse, der giver sadsylighed på 50% skal vi løse ligige: ( s, 45) s = 0,5.

34 34 Opgave 6 Med tilbagelægig er chacetræet og det reducerede chacetræ, hvor. kugle er rød er De samlede sadsylighed i det uivers, hvor. kugle er rød er 5 5 ( ) ( ) = røde fides ku ét sted med sadsylighed på = Sadsylighede for at få 3 røde, år de. kugle er rød, er 5 5 =

35 35 Opgave 9 Summe af to teriger giver forskellige udfald. Ved hjælp af chacetræ eller adre repræsetatioer ka ma fide sadsylighedere Som spiller har me derfor = 3 chace for at vide i hvert spil. Ved hjælp af et chacetræ ka ma bestemme sadsylighede for 0,, eller 3 gevister i 3 spil. 0 0,963 0,4444 0, 3 0,0370

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere