IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON"

Transkript

1 IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs atallet af elemeter udfaldsrummet U er edelgt (altså kke uedelgt) Sadsylghedsfuktoe P er e fukto der ofylder følgede krav: Dm ( P) U Vm P ;, altså u U : P( u) ( ) [ ] P( u) u U Sadsylghedsfuktoe fortæller os altså, hvor sadsylgt hvert ekelt udfald udfaldsrummet er Stokastsk varabel V reeterer: E stokastsk varabel er e fukto X (altså å trods af ordet kke e varabel), der ofylder følgede betgelser: Dm ( X ) U Vm( X ) R De stokastske varabel lægges altså så at sge oveå det stokastske forsøg og oversætter udfaldee tl reelle tal efter e ærmere fastlagt forskrft I det omfag v betragter edelge sadsylghedsfelter (og det gør v dette ar tl og med s 3), har de stokastske varable å dsse sadsylghedsfelter jf oveståede e edelg deftosmægde, dermed er dsse fuktoer ødvedgvs kke-kotuerte Dee egeskab beskrves også med ordet dskret Mere ræcst sger v, at e stokastsk varabel X er dskret, hvs Vm ( X ) er edelg eller tællelg Fra ordboge: dskret [dszkræot] adj -, -e [] (matematk, flosof) som består af dbyrdes adsklte størrelser DISONTINUERT c ONTINUERT d mægde af hele tal er dskret Poltkes Nudask Ordbog, SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

2 Eksemel: sl V har tdlgere set å et sl mellem e bak og e sller med kast af e møt og e terg med følgede regler for, hvad sllere skal gøre afhægghed af udfaldet: t møt s terg regel betal betal betal betal 3 betal betal 4 betal betal 5 modtag 5 modtag 5 6 modtag 5 modtag 5 Eller mere kortfattet formuleret: møt t s X terg ( u) Hvs v oterer et udfald å følgede måde ( s,4) skal det betyde at møte har vst s (altså symbolsde) og at terge har vst 4 Sadsylghedsfeltet ( U, P ) er her u : edelgt og symmetrsk og U P( u) Her gælder altså Vm ( X ) {,,5} og feks (( t, 3) ) X Før ma som sller eller bak kaster sg ud såda et sl, kue det jo være rart at vde, hvad ma såda geemsttet ka forvete at få ud af sllet Faktsk er det sørgsmål af dee tye, der har været e væsetlg klde tl, at sadsylghedsregg overhovedet er blevet udvkletv taler her om de stokastske varabels geemst (å tysk hedder det faktsk Erwartugswert) Symbolet for det E X Hvorda v bereger det, skal v se å seere Og det vl sge: u er ( ) Hvs ma forestller sg, at v geemfører sl og derved geemløber hvert af udfaldee, så hvert udfald otræder eto é gag, vl sllere vde: V vl altså med rmelghed kue sge, at sllere udfra e geemstsbetragtg 8 ka rege med at vde, 67 ét sl (og v må gå ud fra, at bake, hvs 3 de geemfører e såda beregg, kke har teresse at udbyde sllet) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

3 V bruger ( X ) E som symbol for dette geemst og v kue åbebart have bereget det å følgede alteratve (og drømmet, lettere uoverskuelge) måde: E ( X ) X + X + X (( t, ) ) P( ( t,) ) + X (( s,) ) P( ( s,) ) + X (( t,) ) P( ( t,) ) + X (( s,) ) P( ( s,) ) (( t, 3) ) P( ( t,3) ) + X (( s,3) ) P( ( s,3) ) + X (( t,4) ) P( ( t,4) ) + X (( s,4) ) P( ( s,4) ) (( t, 5) ) P( ( t,5) ) + X (( s,5) ) P( ( s,5) ) + X (( t,6) ) P( ( t,6) ) + X (( s,6) ) P( ( s,6) ) Mddelværd Med udgagsukt sl-eksemlet ovefor deferer v: MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel å et edelgt sadsylghedsfelt U, P ( ) Mddelværde af X beteges ( X ) bare µ V deferer: E ( X ) X ( u) P( u) u U E eller kort µ X eller Bemærk, at dette altså også gælder for kke-symmetrske, edelge U, P sadsylghedsfelter ( ) SÆTNING For X og Y, der er stokastske varable å et edelgt sadsylghedsfelt ( P ) for c R gælder: E ( c) c E( c X ) c E( X ) E ( X + Y ) E( X ) + E( Y ) U, og SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 3

4 c R skal dee sammehæg forstås som e kort skrvemåde for e stokastsk varabel Y, deferet ved følgede forskrft, u U : Y ( u) c Øvelse Bevs sætg Øvelse Betragt to let ædrede udgaver af sllet ovefor: terg ( u) møt t s Y Hvlke sammehæg er der mellem X og Y, hvor X er de stokastske varabel fra E Y eksemlet ovefor? Bereg ( ) terg ( u) møt t s Z Bereg E ( Z ) Hvorda ser det mo ud med e sllebaks lyst tl at udbyde de to let ædrede udgaver af sllet? Varas, sredg Med udgagsukt øvelse ovefor er det let at se, at mddelværde for e stokastsk varabel, des Erwartugswert, gver et bllede at stuatoe, me ku et ret overfladsk bllede, for to vdt forskellge stokastske varable ka have samme mddelværd Værdere af X lgger relatvt tæt å E ( X ) Z lgger relatvt lagt fra E ( Z ), mes værdere af SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 4

5 V kue altså øske os et mål for, hvor lagt fra mddelværde e stokastsk varabels værder lgger V deferer: X er e stokastsk varabel å et edelgt sadsylghedsfelt U, P ( ) VARIANS (TYS: VARIANZ ) DEFINITION Varase af X deferer v som: ( ) E( µ ) ) ( X ) E ( X E( X )) Var X Øvelse 3 SPREDNING, STANDARDAFVIGELSE (TYS: STANDARDABWEICHUNG ) DEFINITION Sredge af X deferer v som: σ ( X ) Var( X ) og v skrver de ofte kort å e af følgede måder: X ( ) σ σ σ X Var X σ som symbol I forlægelse heraf skrves ofte ( ) for varase Hvorår er varas og sredg for e stokastsk varabel store og hvorår er de små? SÆTNING X er e stokastsk varabel å et edelgt sadsylghedsfelt ( U, P ) De stokastske varabels varas ka alteratvt bereges ved: Var µ ( ) P( u) ( E( X )) ( X ( u) ) P( u) µ u U u U ( X ) E( X ) ( E( X )) E( X ) X ( u) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 5

6 Øvelse 4 Bevs sætg T: Brug deftoere af mddelværd og varas samt sætg Øvelse 5 Bereg varas og sredg for de stokastske varable X, Y og Z fra de tre forskellge udgaver af sllet ovefor SÆTNING 3 X er e stokastsk varabel å et edelgt sadsylghedsfelt ( U, P ) c R Der gælder: σ ( c) σ ( X + c) σ ( X ) σ ( c X ) c σ ( X ) Øvelse 6 Bevs sætg 3 Hvs v betragter beregge af ( X ) beregg oget uoverskuelg: E ( X ) E det ordelge sl å s, så var vores X (( t, ) ) P( ( t,) ) + X (( s,) ) P( ( s,) ) + X (( t,) ) P( ( t,) ) + X (( s,) ) P( ( s,) ) + X (( t, 3) ) P( ( t,3) ) + X (( s,3) ) P( ( s,3) ) + X (( t,4) ) P( ( t,4) ) + X (( s,4) ) P( ( s,4) ) + X t, 5 P t,5 + X s,5 P s,5 + X t,6 P t,6 + X s,6 P s,6 (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( )) Me v kue gøre det mere overskuelgt ved at samle de størrelser, hvor de stokastske varabel atager samme værd, altså: E ( X ) 4 ( ) + 4( ) + 4( 5) , SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 6

7 I forlægelse heraf gælder geerelt: SÆTNING 4 X er e stokastsk varabel å et edelgt sadsylghedsfelt ( U, P ) Lad Vm ( X ) {, } Der gælder så:,, E( X ) P( X ) ( ) P( X ) E( X ) Var( X ) ( µ ) P( X ) ( ) Bevs For,,, fastlægger v følgede hædelser, det vl sge delmægder af H u U X u udfaldsrummet U ved { ( ) } Hædelsere H, H,, H udgør da e klassedelg af U, det vl som bekedt sge, at H, H,, H er dsjukte, kke tomme hædelser udfaldsrummet U og U H H H For de ekelte,,, gælder åbebart: u H ( u) P( u) P( u) P( u) P( H ) X Hermed får v: E u H ( X ) X ( u) P( u) u U u H u H ( u) P( u) + X ( u) P( u) + + X ( u) P( u) X u H X P u H ( u) P( u) ( X ) u H Hermed er første del af sætge bevst SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 7

8 Øvelse 7 Bevs de to sdste dele af sætge, der vedrører Var ( X ) Stokastsk varabel, fordelgsfukto og sadsylghedsfordelg V ka bruge e stokastsk varabel tl at defere hædelser (delmægder) det U, P, som X er deferet å udfaldsrum U, der hører tl det sadsylghedsfelt ( ) For s, t R bruger v ( X t) P som e kort skrvemåde for P ({ u U X ( u) t }) Der gælder { u U X ( u) t } U ( U, P ) og dermed er dee mægde e hædelse Tlsvarede bemærkger gælder for P( X t) P( { u U X ( u) t }), P ( X < t) P( { u U X ( u) < t }), P( X t) P( { u U X ( u) t }), P ( X > t) P( { u U X ( u) > t }), P( s X t) P( { u U s X ( u) t }) osv, osv Secelt teresserer v os for og gver secelle ave tl P ( X t) og ( X t) P X er e stokastsk varabel, deferet å et U, P sadsylghedsfelt ( ) FORDELINGSFUNTION (TYS: WAHRSCHEINLICHEITSFUNTION) DEFINTION Fuktoe F ( t) P( X t) med Dm( F ) R og Vm ( F ) [,] kaldes fordelgsfuktoe for X For at uderstrege sammehæge skrver v ofte F X F X ( t) kaldes også de kumulerede sadsylghed for t Det ses umddelbart, at e fordelgsfukto ( t) følgede egeskaber: F X for e stokastsk varabel X har F er aldrg aftagede, lm ( ) X F X t t og lm ( t) F X t SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 8

9 X er e dskret stokastsk varabel, deferet å et edelgt U, P eller tællelgt sadsylghedsfelt ( ) SANDSYNLIGHEDSFORDELING, FREVENSFUNTION (TYS: WAHRSCHEINLICHEITSVERTEILUNG) DEFINTION Fuktoe ( t) P( X t) f med Dm( f ) R og Vm ( f ) [,] kaldes sadsylghedsfordelge eller frekvesfuktoe for X For at uderstrege sammehæge skrver v ofte f X Øvelse 8 Betragt det stokastske eksermet, der består at kaste e far møt 3 gage Lad X være de stokastske varabel, der tæller atallet af gage, møte vser tal -sde Teg samme koordatsystem e graf for F X og et stoledagram for f X Sammelg evt med GDS, s 65 for at se, hvorda TI-83 ka bruges tl at smulere et stort atal sl af tye e far møt kastes tre gage, atal tal-sde tælles Betragt det stokastske eksermet, der består at kaste e terg Lad Y være de stokastske varabel, der agver atallet af øje, som terge vser Teg samme koordatsystem e graf for F Y og et stoledagram for f Y Beskrv sammehæge mellem grafe for fordelgsfuktoe og stoledagrammet for sadsylghedsfordelge SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 9

10 Hyergeometrsk fordelg, stkrøve ude tlbagelægg Lad os først se å et eksemel Eksemel: ger og drege å et matematkhold På et matematkhold med 3 elever er der 4 ger og 9 drege Der skal tlfældgt (ved lodtrækg eller adet) sammesættes e (kke-ordet) grue, beståede af 5 elever alt 3 elever, heraf 4 9 d 5 Øvelse 9 De 4 ger er Aa, Berta, Chrste og Dors De 9 drege er Erk, Fdo, Gert, Has, Ib, Jes, laus, Ludwg og Mads (v ka forkorte deres ave tl A, B, C,, M) Hvorda ser det stokastske eksermet dee sammehæg? Hvorda udfaldsrummet? Gv et eksemel å et mulgt udfald! Er udfaldsrummet edelgt? Er det symmetrsk? Lad os se å e stokastsk varabel X, deferet så ( u) udvalget X agver atallet af ger Udfra rcet for beregg af hædelses-sadsylgheder edelge, symmetrske udfaldsrum ka v berege feks P ( X 3) atal udfald hædelse atal udfald U { X 3} 4,3 3,5 9, ,9 { 3} { X 3} er e kort skrvemåde for hædelse u U X ( u) Med e sadsylghed å ca,9 deholder grue altså eto 3 ger SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

11 V ka umddelbart geereralsere vores eksemel tl tye A alt N elemeter, heraf X : atal tye A bladt de N tye kke-a Sktse skal llustrere, at v ser å e mægde med N elemeter, hvoraf er af tye A Bladt de N elemeter udtager v et udvalg å elemeter og tæller ved hjæl af vores stokastske varabel X atallet af tye-a-elemeter bladt de udvalget V taler også om at v har udtaget e stkrøve å elemeter ude tlbagelægg Dermed meer v, at v har udtaget de elemeter ete å é gag eller é efter é, me ude at lægge de udtage tlbage buke de udtagg af det æste elemet stkrøve Et elemet ka altså højst otræde é gag stkrøve Hvs v vl betoe dette asekt, ka v otere det vores sktse: tye A alt N elemeter, heraf stkrøve ude tlbagelægg: X : atal tye A bladt de N tye kke-a For,,,3,, m, hvor m m( {, }), gælder derefter: P, N, ( X ) De stokastske varabel X sges at være hyergeometrsk fordelt og skrver kort: N, X ~ h (, N ), De hyergeometrske fordelg bestemmes altså af tre arametre; : atal elemeter stkrøve, : atal af tye-a-elemeter de samlede mægde og N : atal elemeter de samlede mægde De stokastske varabel X fra overvejelse med vores matematkhold å s er h 5, 4,3 altså fordelt X ~ ( ) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

12 SÆTNING 5: HYPERGEOMETRIS FORDELING Med e beskrvelse som ovefor gælder for e hyergeometrsk fordelt stokastsk h,, N, for,,,3,, m m m, : varabel X ~ ( ) P, N, ( X ) N,, hvor ({ }) Bevs Se ovefor V ka altså beskrve sadsylghedsfordelge for de hyergeometrsk fordelte h,, N : stokastske varabel X ~ ( ) f X ( t), t N N, t, for t,,,3,, m, hvor ellers m m ({, }) De tlhørede fordelgsfukto ka bereges ved ( t) P( X t) P( X t] ) P( X ) + P( X ) + P( X ) + + P( X ) m( {[ t], }) F X [, hvor, ESURS GAUSS TRAPPEFUNTION ( ) ] for < + og G [ Z G ( 9 ) 9, G (,7), G ( 3) 3, (,) ( ) G G er altså det største hele tal, der er mdre ed eller lg med SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

13 Heruder er der teget stoledagram for de hyergeometrske stokastske varabels sadsylghedsfordelg f X ( ) P( X ) og fordelgsfukto P X for,,,3,, m m m, : F X ( ) ( ), hvor ({ }) X~h(,, N), sere : P(X), sere : P(X<),, P,8,6,4,, P(X) P(X<) X ~ h (, N ), med arametree, 7, N Bemærk, at TI-83 har e række fordelger uder [d] [DISTR] [DISTR] De heruder aførte fordelg [geometdf(] er IE de her beskreve hyergeometrske fordelg For feks e stokastsk varabel X ~ ( 5, 4,3) h jf s ka v u 4,3 P X 3 allgevel bruge lommeregere Tl beregg af ( ) beytter v følgede ka/meu-sekves [4] [MATH] [PRB] [3:Cr] [3] [] [9] [MATH] [PRB] [3:Cr] [] [ ] [] [3] [MATH] [PRB] [3:Cr] [5] [] otato dslay: 4 Cr 3*9 Cr /3 Cr 5 resultat dslay: ,5 9, SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 3

14 Fortsat med udgagsukt eksemlet s, altså feks for e h 5, 4,3 gælder: stokastsk varabel X ~ ( ) Tl beregg af ( X 3) P P må v beytte os af omskrvge ( X 3) P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X 3) P( X ) 3 4, 3, 5 9,5 og følgede ka/meu-sekves [d] [LIST] [MATH] [5:sum] [d] [LIST] [OPS] [5:se] [4] [MATH] [PRB] [3:Cr] [ALPHA] [I] [] [9] [MATH] [PRB] [3:Cr] [ ( ] [5] [-] [ALPHA] [I] [ ) ] [ ] [] [3] [MATH] [PRB] [3:Cr] [5] [,] [ALPHA] [I] [,] [] [,] [3] [,] [] [ ) ] [ ) ] [] otato dslay: sum(se(4 Cr I*9 Cr (5-I)/3 Cr 5, I,, 3, )) resultat dslay: V har altså fudet P ( X 3), 993, det vl sge med e sadsylghed å ca,993 deholder grue altså 3 eller færre ger 3 SÆTNING 6: HYPERGEOMETRIS FORDELING, MIDDELVÆRDI For e hyergeometrsk fordelt stokastsk varabel X ~ h (, N ) E ( X ) N, gælder: I eksemlet med matematkholdet fra s gælder altså: 4 E ( X ) 5, 54 Læg mærke tl, at mddelværde (vores Erwartugswert ) 3 3 her atager e værd, som de stokastske varabel slet kke ka atage Hvs v laver mage forskellge gruer med 5 elever bladt de 3 å holdet, vl der geemst altså være,54 ger gruere Øvelse E for de stokastske varabel X fra beskrvelse af matematkholdet å s drekte ved hjæl af sætg 4 Bereg ( X ) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 4

15 Bevs V ser å stkrøve ude tlbagelægg som sktseret tye A alt N elemeter, heraf X : atal tye A bladt de N tye kke-a Lad os forestlle os de elemeter stkrøve stllet o å række For j,,3,, ser v så å ogle hjæle-stokastske varable X som v deferer ved X j hvs det j' te elemet stkrøve ellers er af tye A For dsse gælder jf sætg : E ( X ) P( X ) + P( X ) P( X ) j j j N j Læg mærke tl, at X X + X + + X X j j Ved hjæl af sætg får v så: E N N ( X ) E( X ) + E( X ) + + E( X ) E( X j ) j j Bemærkg For e stokastsk varabel X ~ h (,, N ) med E( X ) j og j N, hvor j fremkommer ved ormal afrudg af E ( X ), gælder kke ødvedgvs, at P ( X j) er de størst mulge værd af f X ( t) For X ~ h ( 3, 45,) gælder feks E ( X ) 3,5 4, me samtdgt P ( X 3 ),696 >,69 P( X 4) Referece: Hoel, Port, Stoe: Itroducto to Probalty Theory, Bosto oa, 97, s 9 SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 5

16 SÆTNING 7: HYPERGEOMETRIS FORDELING, VARIANS For e hyergeometrsk fordelt stokastsk varabel X ~ h (, N ) Var ( X ) N N N, gælder: Bevs Aføres kke her I eksemlet med matematkholdet fra s gælder altså: Var σ X Var X,7, ( X ) 5 5, 7 ( ) ( ) 847 Øvelse Bereg Var ( X ) og ( X ) σ for de stokastske varabel X fra beskrvelse af matematkholdet å s drekte ved hjæl af sætg 4 Referece: Hoel, Port, Stoe: Itroducto to Probalty Theory, Bosto oa, 97, s 98 Det der aførte bevs forudsætter dførsel af begrebet covaras af to stokastske varable SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 6

17 Bomalfordelg, stkrøve med tlbagelægg Lad os først se å et eksemel Eksemel: ger og drege å et matematkhold På et matematkhold med 3 elever er der 4 ger og 9 drege (det er det samme hold som beskrevet å s ) De 4 ger er som ævt Aa, Berta, Chrste og Dors De 9 drege er Erk, Fdo, Gert, Has, Ib, Jes, laus, Ludwg og Mads (v ka forkorte deres ave tl A, B, C,, M) Lærere er ldt glemsom og starter hver tme med at sørge e tlfældgt udvalgt elev, hvad holdet har arbejdet med de foregåede tme Lærere er faktsk ret glemsom, så valget falder helt tlfældgt å é af de 3 elever og altså også fuldstædg ude hesy tl, om de valgte elev også blev surgt om det samme de foregåede tme V ka altså sktsere de grudlæggede stuatoe således: alt 3 elever, heraf 4 9 d Hvs hver af elevere har samme sadsylghed for at blve surgt og v deferer e hædelse Q { A, B, C, D} (Q er altså de hædelse, at de adsurgte er e ge), 4 har v altså P( Q) Dee sadsylghed kalder v rmærsadsylghede 3 E af elevere Berta, der er holdets lgeberettgelsesasvarlge begyder at teressere sg for, hvem der sørges, og laver over e erode å tmer e lste over de adsurgte, det hu dog ku oterer, om lærere har stllet sørgsmålet tl e ge eller tl e dreg alt 3 elever, heraf 4 9 d oteres: eller d getages: gage X : atal bladt de V taler også om at v har udtaget e stkrøve å elemeter med tlbagelægg Dermed meer v, at v har udtaget de elemeter é efter é, og såda, at de udtage er lagt tlbage buke de udtagg af det æste elemet SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 7

18 stkrøve Et elemet ka altså ude vdere otræde mere ed é gag stkrøve Atallet af getagelser, her altså de, kalder v også lægde Dee formulerg kue v sktsere: alt 3 elever, heraf 4 9 d Bertas otat ka altså feks se såda ud: dd ddd dd dddd oteres: eller d getages: gage stkrøve med tlbagelægg: X : atal bladt de Sadsylghede for at otatet ser eto sådat ud (altså vser er og d er eto dee rækkefølge) må være: P ( Q) P( Q) ( P( Q) ) ( P( Q) ) P( Q) ( P( Q) ) P( Q) P( Q) ( P( Q) ) ( P( Q) ) P( Q) ( P( Q) ) P( Q) P( Q) ( P( Q) ) ( P( Q) ) ( P( Q) ) ( P( Q) ) ( P( Q) ) P( Q) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) , De rækkefølge, som Berta har oteret: dd ddd dd dddd deholder eto 9 er I alt fdes der, 9 forskellge mulge rækkefølger af 9 er og d er Hver af dsse forskellge rækkefølger må have samme sadsylghed, emlg de eto fude ,385 3 Der må altså gælde: P ( X 9), ,385, SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 8

19 V sger, at de stokastske varabel X er bomalfordelt med rmærsadsylghed 4 og lægde 3 V ka berege de fude sadsylghed drekte å TI-83 ved hjæl af følgede ka/meu-sekves [d] [DISTR] [DISTR] [: bomdf(] [] [] [,] [4] [ ] [] [3] [,] [9] [)] [] tl beregg af P ( X ), hvor X ~ ( ) b, er rækkefølge altså bomdf(,, ), altså lægde, rmærsadsylghed, værd af de stokastske varabel V ka umddelbart geeralsere vores eksemel tl tye A alt N elemeter, heraf oteres: A eller kke-a getages gage stkrøve med tlbagelægg: X : atal tye A bladt de N tye kke-a Sadsylghede for udtagge af ét elemet at få e tye A er P( A), N hvor A er de hædelse, at det udtage elemet er af tye A Dee sadsylghed kalder v rmærsadsylghede V taler også om at v har udtaget e stkrøve å elemeter med tlbagelægg Dermed meer v, at v har udtaget de elemeter é efter é, og såda, at de udtage er lagt tlbage buke de udtagg af det æste elemet stkrøve Et elemet ka altså ude vdere otræde mere ed é gag stkrøve Atallet af getagelser, her altså de, kalder v også lægde V behøver mdlertd kke at se å det som e udtagg af e stkrøve V ka også bare tæke å det som getagelser af det samme stokastske eksermet (feks kast med e terg), hvor v ser å om v får et resultat A eller resultatetet kke-a (feks at få e 6 er eller kke at få e 6 er) E såda getagelses-sere kaldes å tysk e Beroull-ette Prmæreksermetet, der getages e såda kæde, kaldes å tysk et Beroull-Eermet efter matematkere Jakob Beroull (654-75) Et Beroull-Eermet er kedeteget ved at have eto mulge udfald SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 9

20 De stokastske varabel X er så bomalfordelt med lægde og b, rmærsadsylghed : X ~ ( ) For,,,3,, gælder der P ( X ) ( ), SÆTNING 8: BINOMIALFORDELING Med e beskrvelse som ovefor gælder for e bomalfordelt stokastsk varabel b,, for,,,3,, : X ~ ( ) P ( X ) ( ), Med ka dette formuleres: N P ( X ), N N Bevs Se ovefor Øvelse E far møt kastes gage Hvad er sadsylghede for, at møte eto 4 gage vser tal? E terg kastes 9 gage Hvad er sadsylghede for, at møte eto 3 gage vser ete eller? Et medkamet, der atages at vrke å 3 af atetere, testes å ateter Hvad er sadsylghede for, at medkametet vrker å eto 67 af atetere? V ka altså beskrve sadsylghedsfordelge for de bomalfordelte stokastske b, : varabel X ~ ( ) f X ( t) ( ) t t, t for t,,,3,, ellers SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

21 De tlhørede fordelgsfukto ka bereges ved ( t) P( X t) P( X t] ) P( X ) + P( X ) + P( X ) + + P( X ) m( {[ t] }) F X [, hvor, Heruder er der teget stoledagram for de bomalfordelte stokastske varabels sadsylghedsfordelg f X ( ) P( X ) og fordelgsfukto F X ( ) P( X ) for,,,3,, X~b(, ), sere : P(X), sere : P(X<),, P,8,6,4,, X ~ ( ) b, med arametree og, 7 P(X) P(X<) For X ~ b ( ;,7) ka v som ævt berege sadsylgheder af tye P ( X 3) drekte å TI-83 ved hjæl af følgede ka/meu-sekves [d] [DISTR] [DISTR] [: bomdf(] [] [] [,] [] [] [7] [,] [3] [)] [] resultat dslay: 969 tl beregg af P ( X ), hvor X ~ ( ) b, er rækkefølge altså bomdf(,, ), altså lægde, rmærsadsylghed, værd af de stokastske varabel V ka for de samme stokastske varabel også berege P X 3 drekte: sadsylgheder af tye ( ) [d] [DISTR] [DISTR] [A: bomcdf(] [] [] [,] [] [] [7] [,] [3] [)] [] resultat dslay: arameterrækkefølge er de samme, eeste forskel er bomcdf stedet for bomdf SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

22 SÆTNING 9: BINOMIALFORDELING, MIDDELVÆRDI, VARIANS OG SPREDNING For e bomalfordelt stokastsk varabel X ~ ( ) ( X ) ( X ) ( ) ( X ) ( ) E Var σ b, gælder: Med ka dette formuleres: N E ( X ) N Var N N σ ( X ) N N ( X ) Hvs v ser å Bertas eksermet fra matematkholdets udervsg å s 5 har v altså: 4 8 E ( X ) 6, 538 Læg mærke tl, at mddelværde (vores 3 3 Erwartugswert ) her ge atager e værd, som de stokastske varabel slet kke ka atage Hvs Berta mage forskellge gage observerer forløbet over tmer, vl hu geemst altså regstrere 6,5 ger bladt de adsurgte Var ( X ) 4, σ ( X ) 4,64, BEVIS Ved hjæl af sætg 4 og sætg 8 får v E ( X ) P( X ), ( ) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s

23 SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 3 Lad os se å e fukto ( ) ( ) ( ) f + ( ), jf ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI, sætg 5 Der er tale om et olyomum med varabele og v ka dfferetere dette: ( ) ( ) ( ) ( ) + f, ' Secelt for har v altså dfferetalkvotete: ( ) ( ) ( ) f,, ' ( ) ( ) X E, det vl sge: ( ) ( ) X E X E Fra sætg har v: ( ) ( ) ( ) ( ) + X E X E X Var, µ σ µ σ Ser v ge å ( ) f og dffereterer edu egag, får v: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + f, ' ' Og secelt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f, ' ' ( ) ( ) ( ) ( ),,

24 ,, ( E( X ) E( X )) ( σ + µ µ ) ( ) ( ) det vl sge: ( ) ( σ + µ µ ) ( ) σ + µ µ σ σ ( ) σ Dermed gælder også: ( ) σ + Bemærkg For e stokastsk varabel X ~ b (, ) med E( X ) j og j N, hvor j fremkommer ved ormal afrudg af E ( X ), gælder kke ødvedgvs, at P ( X j) er de størst mulge værd af f X ( t) For X ~ b ( 3;,45 ) gælder feks E ( X ) 3,5 4, me samtdgt P ( X 3 ),433 >,4 P( X 4) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 4

25 Sammelgg: hyergeometrsk og bomalfordelg Lad os starte med at se å et eksemel med udtagg af e stkrøve Eksemel: artsbestemmelse af e flok hjorte 7 rådyr (Rehe) alt hjorte, heraf stkrøve: ude tlbagelægg: X : atal rådyr bladt de med tlbagelægg: Y : atal rådyr bladt de 3 dådyr (Damhrsche) V ka forestlle os e stkrøveudtagg ude tlbagelægg ( hjorte samles feks e fold å é gag) eller med tlbagelægg (de hjorte dfages é efter é, udersøges og sles så fr ge, før de æste dfages e hjort ka således dfages og otræde stkrøve mere ed e gag) Ude e ærmere beskrvelse, af om stkrøve udtages ude eller med tlbagelægg, ka v kke komme vdere Lad os derfor se å begge stuatoer X er de ovefor fastlagte stokastske varabel, deferet udfra e stkrøveudtagg ude tlbagelægg, og Y er de tlsvarede stokastske varabel, deferet udfra e stuato med tlbagelægg V har så med betegelsere fra s og s 7: (stkrøves størrelse), 7 (atal rådyr [tye A] de samlede oulato), N (de samlede oulatos størrelse) og dermed: X ~ h (,7, ) Y ~ b, 7, det rmærsadsylghede er 7 7 N SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 5

26 V ka u (feks) berege følgede størrelser: X, stkrøve ude tlbagelægg Y, stkrøve med tlbagelægg jf s 7 X ~ h (,7, ) Y ~ b, det jf sætg ved hjæl af sætg 5 7,7 P( X 7) 7,7, 3,3 7,7, ,73,8 ved hjæl af sætg 6 7 E ( X ) 7 ved hjæl af sætg Var X ,99 ( ) ved hjæl af deftoe s 5 σ X,99, ( ) 387 ved hjæl af sætg 8 P 7,7 7 3,7,3,668 ( Y 7) ved hjæl af sætg 9 7 E ( Y ) 7 ved hjæl af sætg Var Y,7,3, ( ) 7 ved hjæl af deftoe s 5 σ Y,, ( ) Hvs v udreger alle relevate sadsylgheder lgesom P ( X 7) og P ( Y 7) ovefor, det vl sge P ( X ) og P ( Y ) for,,,,, og dteger dsse sadsylgheder et stoledagram, ka v umddelbart sammelge fordelgere: SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 6

27 sslh for stkrøve med rådyr - Y med (sere ) og X ude (sere ) tlbagelægg,3,5 P,,5 Sere Sere,,5, hjorte, heraf 7 rådyr stkrøve å hjorte Det ses såvel af bereggere som af stoledagrammet ovefor, at forskelle mellem de to fordelger dette tlfælde er beskede Såda forholder det sg mdlertd kke altd De fælles arametre for de følgede sammelgg er (stkrøves størrelse), (atal rådyr [tye A] de samlede oulato), N (de samlede oulatos størrelse) og dermed (rmærsadsylghede for bomalfordelge) N sslh for stkrøve med rådyr - Y med (sere ) og X ude (sere ) tlbagelægg P,6,5,4,3,,, Sere Sere hjorte, heraf rådyr stkrøve å hjorte SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 7

28 Her ses væsetlg større afvgelser mellem de to fordelger Det er jo feks klart, at X (dteget som sere ) her slet kke ka atage værder, der er større ed, mes dette er mulgt for Y (her dteget som sere ) Sammelgg: hyergeometrsk og bomalfordelg geerelt Med de fælles arametre tye A alt N elemeter, heraf stkrøve: ude tlbagelægg: X : atal tye A bladt de med tlbagelægg: Y : atal tye A bladt de N tye kke-a ser v å stkrøver ude tlbagelægg med de hyergeometrsk fordelte stokastske varabel X ~ h (,, N ) og med tlbagelægg med de bomalfordelte stokastske varabel Y ~ b (, ) jf sktse I begge tlfælde agver de stokastske varable atallet af tye-a-elemeter stkrøve V ka så (med de samme hevsger som ovefor, s 3) stlle de to stokastske varable overfor hade X, stkrøve ude tlbagelægg X ~ h (,, N ) Y ~ b (, ) P E Y, stkrøve med tlbagelægg N, N, ( X ) P( Y ) N, N N N N, N N E Y N Var Y N N ( X ) ( ) Var ( X ) ( ) ( ) N N N σ ( X ) σ ( Y ) ( ) N N SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 8

29 Det ses umddelbart, at med fælles arametre gælder: E ( X ) E( Y ) N ( ) ( ) Var X Var Y og da >, N >, N < N Var( X ) Var( Y ) σ ( X ) σ ( Y ) V ka sammefatte: Med samme arametre har e hyergeometrsk fordelt stokastsk varabel samme mddelværd og mdre varas og sredg ed e bomalfordelt stokastsk varabel E hyergeometrsk fordelt stokastsk varabels værder lgger altså tættere omkrg mddelværde ed e bomalfordelt stokastsk varabel, forudsat selvfølgelg, at de to varable har samme arametre Derudover ka v lægge mærke tl, at, N P( X ), P( X ) for N, N N, N N N << N N N N Var( X ) V ka sammefatte stadg med samme arametre gælder: Var ( X ) Var( Y ) Hvs stkrøve er lge så stor som de samlede oulato, så må stkrøve ude tlbagelægg ødvedgvs deholde alle tye-a-elemeter fra de samlede oulato Hvs stkrøve et æste lge så stor som de samlede oulato, er varase for de hyergeometrsk fordelte stokastske varabel fra stkrøve ude tlbagelægg tæt å, svarede tl at dee stokastske varabels værder lgger meget tæt å des mddelværd Hvs omvedt stkrøve er meget mdre ed de samlede oulato, så er varase for de to stokastske varable fra stkrøve ude og stkrøve med tlbagelægg stort set es Sammeholdt med, at de to stokastske varables mddelværder altd er es, betyder det altså, at de to forskellge fordelger stort set SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 9

30 er es, hvs stkrøve er meget mdre ed de samlede oulato Dette svarer tl e umddelbar forståelse af de to stuatoer, for hvs stkrøve er meget llle forhold tl de samlede oulato, er det vel ret lgegyldgt, om v lægger de udtage elemeter tlbage eller ej SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 3

31 Posso-fordelg E sadsylghedsfordelg for e kke-kotuert (dskret) stokastsk varabel er e sadsylghedsfukto å et edelgt eller et uedelgt, me tællelgt sadsylghedsfelt og skal altså bare ofylde de tre betgelser jf s V ka altså vælge, at kostruere sådae fuktoer ude først at overveje, om de har oge raktsk avedelse Lad os se å e skare af fuktoer med arametere R+, deferet ved f ( )! e for,,,3, ellers Det ses umddelbart, at ( ) f! f! Edvdere gælder + ( ) e e e e e e det v tdlgere Eksoetal- og logartmefuktoer, s er stødt å ( ) e e ude dog at være gået ærmere d å dee måde at betragte! de aturlge eksoetalfukto Følgelg gælder også ( ) f De tre å s ævte betgelser er således ofyldt og v ka betragte f ( ) som e sadsylghedsfukto for e stokastsk varabel med heltallge, kke-egatve værder E såda stokastsk varabel ka v kalde e tæller-tye stokastsk varabel Dee fordelg kalder v e Posso-fordelg og v deferer: POISSON-FORDELING DEFINITION, E stokastsk varabel Z sges at være Posso-fordelt med arameter R + og v skrver Z ~ o ( ), hvs de har sadsylghedsfordelge f Z ( t) t e t! for t,,,3, ellers SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 3

32 Mage tæller-tye stokastske varable er er erfarg tlærmelsesvst Possofordelte Det gælder feks for stokastske varable, der tæller atallet af radoaktve hefald defor et tdsterval, atallet af telefookald tl e telefocetral, atallet af trykfejl å e bogsde, atallet af bakterekoloer å e etr-skål, atallet af dødsfald å grud af hestesark defor et kavalerregmet defor et tdsterval og meget adet For Posso-fordelte stokastske varable gælder følgede emme sætg: SÆTNING : POISSON-FORDELING For e stokastsk varabel Z, der er Posso-fordelt med arameter Z ~ o ( ), gælder følgede sadsylgheder: R+, P ( Z ) og: E ( Z ) Var ( Z ) σ ( Z )! e for,,,3, ellers Bevs 3 Udelades her De tlhørede fordelgsfukto ka bereges ved ( t) P( Z t) P( Z [ t] ) P( Z ) + P( Z ) + P( Z ) + + P( Z [ t] ) F Z Bemærk, at modsat hyergeometrsk eller bomalfordelte stokastske varable, har P ( Z ), hvor Z er e Posso-fordelt stokastsk varabel, altså værder større ed ul for et uedelgt, me dog tællelgt atal værder af 3 Referece: Hoel, Port, Stoe: Itroducto to Probalty Theory, Bosto oa, 97, s 84, s96 SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 3

33 Heruder er der teget stoledagram for de Posso-fordelte stokastske varabels sadsylghedsfordelg f Z ( ) P( Z ) og fordelgsfukto F Z ( ) P( Z ) for,,,3, Z~o(l), sere : P(X), sere : P(X<),, P,8,6,4 P(Z) P(X<),, Z ~ ( ) o med arametere 7 For Z ~ o ( 7) ka v berege sadsylgheder af tye ( Z 3) å TI-83 ved hjæl af følgede ka/meu-sekves [d] [DISTR] [DISTR] [B: ossodf(] [7] [,] [3] [)] [] resultat dslay: 5954 tl beregg af P ( Z ), hvor Z ~ ( ) P drekte o er rækkefølge altså ossodf(, ), altså arameter, værd af de stokastske varabel V ka for de samme stokastske varabel også berege P Z 3 drekte: sadsylgheder af tye ( ) [d] [DISTR] [DISTR] [C: ossocdf(] [7] [,] [3] [)] [] resultat dslay: arameterrækkefølge er de samme, eeste forskel er ossocdf stedet for ossodf SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 33

34 SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 34 Sammelgg: bomalfordelg og Posso-fordelg Der ekssterer e tæt forbdelse mellem Posso-fordelge og bomalfordelge Lad os se å e bomalfordelt stokastsk varabel Y ~ ( ) b,, hvor rmærsadsylghede er Der gælder så ( ) ( ) ( ) P Y!!!, ( )!!! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 3! ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! Lad os røve at udersøge, hvad der sker, hvs v lader V har ( ) for + for e ESURS: ESPONENTIALFUNTION Dee græseværd gælder ford e alteratv fremstllg af eksoetalfuktoe tager udgagsukt e + lm Dette gælder ford v ka se å e dffereskvotet:

35 SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s l l l ( ) l l + + da ( ) l ( ) for ' l da ( ) ' l v har altså + + for l l og dermed + for e ( ) for Med dsse tre græseværder har v u: ( ) ( ) P Y! for e e!! Dee græseværd gekeder v som Posso-fordelges sadsylghedsfukto Ved sammelgg med sætg har v altså fudet:

36 SÆTNING For stokastske varable Y ~ b (, ), hvor rmærsadsylghede er E( X ) og Z ~ o ( ) gælder: P ( Y ) P( Z ) for Forudsætge for vores argumetato er tlstrækkelgt, at for Faktsk er det Posso-fordelge med arameter E( X ) ka altså bruges som e god tlærmelse tl bomalfordelge, hvs bomalfordelges rmærsadsylghed er llle og des lægde er stor Tlærmelse er faktsk gaske god, hvs er llle Eksemel Erfarge vser, at e større roducet af mobltelefoer fremstller telefoer, hvoraf % er defekte Telefoere akkes m-cotaere med 5 telefoer E m-cotaer skal bruges som gave forbdelse med et større bryllu Frmaet øsker at fde sadsylghede for, at cotaere kke deholder oge defekte telefoer V ka se å e stokastsk varabel Y, der agver atallet af defekte telefoer cotaere De vl være bomalfordelt Y ~ ( 5;,) b V har altså 5 og, 5 5 ( Y ), (,),98, 645 P 5, V kue stedet tlærme med e Posso-fordelt stokastsk varabel med arameter 5, 5 o 5 :, det vl sge med e Z ~ ( ) SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 36

37 5 5 5 P ( Z ) e e, 6738! V må gå ud fra, at frmaet fder dee sadsylghed alt for llle tl, at det tør bruge m-cotaere som gave ude først at have kvaltetskotrolleret telefoere e ekstra gag V ka berege de fude sadsylghed for Posso-fordelge drekte å TI-83 ved hjæl af følgede ka/meu-sekves [d] [DISTR] [DISTR] [B: ossodf(] [5] [,] [] [)] [] tl beregg af P ( Z ), hvor Z ~ ( ) o er rækkefølge altså ossodf(, ), altså arameter, værd af de stokastske varabel Mulghede for at tlærme bomalfordelge med e Possofordelg, hvs bomalfordelges rmærsadsylghed er llle og des lægde er stor, er mdlertd af begræset raktsk betydg, da beregge af bomalfordelges sadsylgheder er relatv ekel SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 37

38 Sammelgg: bomalfordelg, hyergeometrsk fordelg og Possofordelg V ka grafsk sammelge bomalfordelge, de hyergeometrske fordelg og Possofordelge Y~b(, ), X~h(,, N), Z~o(l), hvor /N og le(y),5,4,3 P,,, P(Y) P(X) P(Z) her teget for,,, N,, l - betgelsere er ofyldte, stor lghed Y~b(, ), X~h(,, N), Z~o(l), hvor /N og le(y),,5 P,,5, P(Y) P(X) P(Z) her teget for 3,,4, N, 4, l - betgelsere er kke ofyldte, store forskelle SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 38

39 Ovefor er det gjort ved for de stokastske varable Y ~ b (, ), X ~ h (, N ) Z ~ o ( ) at berege P ( Y ), P ( X ) og P ( Z ) for,,,,, og og dtege dsse sadsylgheder et stoledagram For at sammelgge skal gve meg, må v forudsætte, at arametree er tlsvarede, det vl sge at og N E Y ( ) V ved at tlærmelsere er gode, hvs << N (bomalfordelg og hyergeometrsk fordelg) og hvs er stor og llle (bomalfordelg og Posso-fordelg) De to stoledagrammer llustrerer dette SPREDNING FORDELINGER b mat (JL) 4 s 39

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen?

Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen? Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Hvorfor - stkprøvevarase? Lad os sge, at e fabrk producerer e bestemt type halogepærer. Det vser sg, at levetde for e såda elpære varerer efter e ormalfordelg. Nogle

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Binomialfordelingen: april 09 GJ

Binomialfordelingen: april 09 GJ Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005 Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Simpel Lineær Regression - repetition

Simpel Lineær Regression - repetition Smpel Leær Regresso - repetto Spørgsmål: Afhæger leært af?. Model: β + β + ε ε d N(0, σ 0 ) Sstematsk kompoet + Stokastsk kompoet Estmato - repetto Vha. Mdste Kvadraters Metode fder v regressosle hvor

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer.

Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer. TATITIK krftlg evaluerg, 3. semester, fredag de 4. jauar 3 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløsge forsyes med av og CR-r. OGAVE Et batter har e levetd tmer med de tlkyttede tæthedsfukto f (

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvattatve metoder Iferes de leære regressosmodel 9. marts 007 Opsamlg vedr. feres e leær regressosmodel uder Gauss-Markov atagelser (W.4-5) Eksempel med flere restrktoer (F-test) Lagrage

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som

Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som Statstk 1, torsdag de 15. marts Leρr regressosaalyse, afst 5.2.1 ffl Problemstllg ffl Data Model Estmato og test Dages program: Hvad ka v? 1 V ka sammelge grupper af observatoer, hvor data hver gruppe

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Variansanalyse. på normalfordelte observationer af Jens Friis

Variansanalyse. på normalfordelte observationer af Jens Friis Varasaalyse på ormalfordelte observatoer af Jes Frs Esdg varasaalyse Model eelt ormalfordelt observatosræe Lad X, X, X er dbyrdes uafhægge N(μ, σ ) - fordelt stoastse varable Det tlhørede observatossæt

Læs mere

Supplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik

Supplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik Supplemet tl sadsylghedsregg og matematsk statstk 1. Bevs for lgg (4b) 22.4 ( 23.3) 8. (7.) udgave. Teorem 3 (4): Atallet af forskellge kombatoer med k elemeter, der ka daes ud af forskellge elemeter,

Læs mere

Kontrol af udledninger ved produktion af ørred til havbrugsfisk

Kontrol af udledninger ved produktion af ørred til havbrugsfisk Kotrol af udledger ved produto af ørred tl havbrugsfs Notat fra DCE - Natoalt Ceter for Mljø og Eerg Dato: 19. december 013 Rettet: 4. jauar 014 og de 8. marts 014 Søre Er Larse 1 & Lars M. Svedse 1 Isttut

Læs mere

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Brugen af R 2 i gymnasiet

Brugen af R 2 i gymnasiet Bruge af R gymaset Per Bruu Brockhoff, DTU Compute, Erst Hase, KU Matematk og Claus Thor Ekstrøm, KU Bostatstk Der lader tl at være e vs forvrrg bladt og ueghed mellem forskellge faggrupper omkrg R værde,

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

1.0 FORSIKRINGSFORMER

1.0 FORSIKRINGSFORMER eam Lv forskrgsakteselskab Bereggsgrudlaget sgrp217 tl præmeberegg for gruppeforskrg e-am Lv forskrgsakteselskab 1. FORIKRINGFORMER 1.1 Oblgatorske ordger Alle gruppeforskrgsordger teget på dette grudlag

Læs mere

Pension PO1 PO2 FO1 FO2 GRL 7) Arbejds markeds pension 5) ATPbidrag

Pension PO1 PO2 FO1 FO2 GRL 7) Arbejds markeds pension 5) ATPbidrag Løbehadlgsoversgt De 4 koloer 'opsamlg tl løatk' vser, hvorda lødele/-feltet dgår løatkkere. Neder oversgte fder du e forklarg tl opsamlge af de ævte ILtyper Lødele/-feltet ka bruges eidkom med/: pegegvede

Læs mere

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval.

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval. H:\excerc\geodstat.doc, sdste ædrg: ov. 5, 3.. 3. Geodætsk statstk og mdste kvadraters metode. 3.. Statstske grudbegreber. 3.. Fordelger. Fordelge af getage observatoer (målger ka beskrves ved hælp af

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 1

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Kombatoroter 0, Krste Roselde Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger. I otere troduceres

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags. Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

1 Indeksberegninger. 1.1 Indeksberegningers formål og brug. 1.2 Typer af indeks

1 Indeksberegninger. 1.1 Indeksberegningers formål og brug. 1.2 Typer af indeks 7 Ideksberegger. Ideksbereggers formål og brug Damarks Sasks deks bruges l a gve e ekel og brugbar mål for udvklge værder, rser eller mægder over d. Hvs ma har e alrække over aal fødsler sde 9 ka ma dae

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer

1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer Løsg og mdste kadraters løsger af leære lggssystemer Def. Lære lggssystemer Et leært lggssystem er et system af m lgger ubekedte, hor dsse ka skres som: a a... a b 2 2... a a... a b m m2 2 m m Dsse systemer

Læs mere

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2 Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger I otere troduceres helt grudlæggede måder

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2006I, Økonometri 1

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2006I, Økonometri 1 Rettevejledg tl Økoomsk Kaddateksame 6I, Økoometr Vurdergsgrudlaget er selve opgavebesvarelse og blaget. Programmer og data, som er afleveret på dskette/cd, bedømmes som såda kke, me er avedt f.eks. tl

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne

Læs mere

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler

Læs mere

Projekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN

Projekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Regressions modeller Hvad regresserer vi på og hvorfor? Anders Stockmarr Axelborg statistikgruppe 6/

Regressions modeller Hvad regresserer vi på og hvorfor? Anders Stockmarr Axelborg statistikgruppe 6/ Regressos modeller Hvad regresserer v på og hvorfor? Aders Sockmarr Aelborg saskgruppe 6/ 0 Geerel Regresso Y f( ) ε f er e UKENDT fuko der beskrver relaoe mellem de uafhægge varabel og de afhægge varabel

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

SUPPLEMENT til Anvendt statistik

SUPPLEMENT til Anvendt statistik SUPPLEMET tl Avedt statstk IDHOLD A BEVISER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE 3A χ - FORDELIE 3 3B t - FORDELIGE 6 3C F - FORDELIGE 7 4A DEFIITIOER OG EKSEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ESTIMATORER 9 4B BEVISER

Læs mere

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2 Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger I otere troduceres helt grudlæggede måder

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Morten Frydenberg Biostatistik version dato:

Morten Frydenberg Biostatistik version dato: Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -4- Bostatstk uge mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Resume: Hvad har v været gennem ndtl nu Lneær (normal) regresson en kontnuert forklarende varabel

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Løsningsformel til Tredjegradsligningen

Løsningsformel til Tredjegradsligningen Løsgsformel tl Tredjegrdslgge Ole Wtt-Hse 8 966 Løsgsformel for tredjegrdslgge olyomer f tredje grd Formålet er t forsøge t fde røddere et tredjegrdsolyomm:. Hor koeffcetere er reelle tl og er forskellg

Læs mere

Statistik 9. gang 1 REGRESSIONSANALYSE. Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model)

Statistik 9. gang 1 REGRESSIONSANALYSE. Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) Statstk 9. gag REGRESSIONSANALYSE Korrelato kotrol af model Regresso tlpasg af model Statstk 9. gag KORRELATIONS ANALYSE. Grad af fælles varato mellem X og Y. Område og fordelg af sample data 3. Optræde

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2 Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere