JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM
|
|
- Philippa Simonsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM
2 ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
3 ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ò ÁÅŵ Ò¹ Ñ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ì͵º ÈÖÓ Ø Ø Ò Ö ÓÑ Ò ÐÙØØ Ò ÓÔ Ú ÓÖ Ò Ð Ñ ØÙ Ø Ø Ð Ú Ð Ò Ò Öº Î Ð Ö Ô ÔÖÓ Ø Ø Ö ÚÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Â Ò Ð Ù Òº ÄÝÒ Ý º ÙÒ ¾¼¼¾ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø
4 Ú
5 Ú ØÖ Ø Ì Ø ÒÚ Ø Ø Ø Ó ¹ ÓÔ ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÑÔ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ö ÐÛ Ý ÙÐ Ò º ÌÛÓ Ö ÒØ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ö Ü Ñ Ò Ñ Ô Ò Ò ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò º Ö ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÖ Ø Ö ÔÔÐ ÒÐÙ Ò Ö Ò ² ÓÙÒ Û Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ö Ò Ò ØÖ Ø Ò Ø Ë Ø Ò ÓØØÐ Ò ÙÖ Ø º ÅÓ Ø Ñ Ø Ó Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ö ÒØ Ú Ö ÒØ ÓÖ Ø ØÛÓ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ º È Ö ÓÖÑ Ò Ñ ÙÖ Û Ø Ö ÒØ Ø Ø Ò Ø Ò ÖÓÑ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÓÙÒ Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖ ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò Ú ÐÓÔ Ò ÒÚ Ø ¹ Ø º Ð Ó ØÛÓ Ö ÒØ ÓÙÒ Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ñ Ô Ò Ö Ü Ñ Ò º ÐÓ Ð Ö ÙÖ Ø Ù ØÓ Ò Ø Ø Ö ÓÙÒ Ò Ø ÑÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ö Ò ÐÐݺ ÓÖ Ö Ò ² ÓÙÒ Ò Û ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÓÒ Ù Ø ÓÖ ÔÖÙÒ Ò Ø Ö ØÖ º Ï Ø Ò Ö Ð Ó ¹ ÓÔ Ò Ø Ò Ø Ó ÒÓØ Ð ØÓ ÒÖ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÙØ ÓÖ ØÖ Ò ÙÐ Ò Ò Ø Ò Ø Ö ÙÐØ ÐÓÓ ÔÖÓÑ Ò º à ÝÛÓÖ Ó ÓÔ ÙÐ Ò Ò Ð ØÖ Ö ÐÛ Ý ÙÐ Ò ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò Ñ Ô Ò Ö Ò Ò ÓÙÒ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÓØØÐ Ò
6 Ú
7 Ú ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒ Ð Ò Ò ½ ½º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÇÚ Ö Ø ÓÚ Ö Ö ÔÔÓÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ÙÐ Ö Ò ¾º½ ÇÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ò Ý Ö Ñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾ Ê ÙÐØ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò º½ Ò Ö Ð ÂËË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ÑÔ Ð ÂËË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ º º º º º º º ½ º º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º à ÒØÐÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ò ÙÒ Ø Ú Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º ½
8 Ú ÁÒ ÓÐ º Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÀÓÚ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ö Ò Ò ÓÚ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÑÔÐ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ø Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º¾ Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË ¾ º½ ÒØع Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÖÒ Ò Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÖÐ Ò Ö Ú ËÌÊË º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö ¾ º½ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ ÃÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º¾ à ÒØ Ò ØØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ö Ò Ò Ú ÒØ Ò ØØ Ð º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ò Ø ÓÒ ÒÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ö Ò Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÒÚ Ò Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º¾º ÓÑ Ò Ò Ú ÓÖ ÐÐ ÒÙØ Ö º º º º º º º º º º º º ÓÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Å Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½
9 ÁÒ ÓÐ Ü º Ë Ø Ò ÓØØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÖ ÐÔÖÓ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º Ä Ò Ò ÐÔÖÓ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ê ÓÔØ Ñ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÄÓ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÙÐØ Ø Ö º½ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ú Ð Ò Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ø Ò Ø Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö ÐØ ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ô Ø ¹Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÀÙ ÓÑÑ Ð ÓÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ÑÑ ÒÐ Ò Ò Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ö º º º º º º º º º ÄÓ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½¼ Ä Ò Ò À Ò ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ Ë Ø Ò ÓØØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¾ Ä Ò Ò Ú º ÈÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÇÔ ÙÑÑ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ ½½ ÃÓÒ ÐÙ ÓÒ ½½ Ä ØØ Ö ØÙÖ ½¾½ ËÝÑ ÓÐÐ Ø ½¾
10 Ü ÁÒ ÓÐ
11 ½ Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒ Ð Ò Ò ÂÓ ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ Òº Á ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ØÖ Ø Ò ÓÒ Ö Ø ÒÚ Ò Ð ÔÐ ÒÐ Ò Ò ØÓ Ò Ô Ø ÖÒ Ò Ò Ø Ñ ÖÒ Ø Ô Ø Øº ½º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ù Ò ÔÙÒ Ø Ð ÇÐ Ú Ö Ó Ö Ö Åº ËÑ Ø ÀÝ Ö ÓÒ¹ ØÖ Òع Å Ø Ó ÓÖ Ø Ë Ò Ð ¹ÌÖ Ê ÐÛ ÝË ÙÐ Ò ½ Ò Ö Ú Ø ÙÒ Ö ÓÖ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ú Ð Ø ÓÑ ÙÖ Ø ÓÖ Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Øº Î Ò Ö Ù Ò Ø ØÖ Ø Ò ÒÚ Ò Ð Ö Ò ÑÐ ØÓ ÙÐ Ö Ò º ËÖÐ Ø Ò Ö Ú Ø ÙÒ Ö Ó Úغ ÓÖ Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò ÓÑØ ÐØ ÖØ Ð Òº ½º¾ ÇÚ Ö Ø ÓÚ Ö Ö ÔÔÓÖØ Ò Á Ô Ø Ð ¾ Ò Ö ØÓ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÓÚ ÒÒÚÒØ ÖØ Ð Ù¹ Ø Ö º Á Ô Ø Ð Ò Ö Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÒØÖ Ð Ø ÖÖ Ð Ö Ó Ö Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ó Ô Ø Ð ÓÖÑÙÐ Ö ØÓ ÙÐ ¹ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ Ø Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº
12 ¾ Ã Ô Ø Ð ½º ÁÒ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÓÑØ Ð Ö ÓÖ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö ØÓ Ñ ØÓ Ö Ø Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÑØ Ò ÙÖ Ø º Á ÓÖ Ò Ð ÖÑ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÒÝ ÓÙÒ Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÑØ ØÒÝØ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ð Ö Ò ØÖ Øº Á Ô Ø Ð ÔÖ ÒØ Ö ÓÔÒ Ö Ò Ò Ñ Ö ÙÐØ Ø Öº ËÓÑ Ø Ø¹ Ø ÒÝØØ Ðº º Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ö Ð ØØ Ö ØÙÖ Òº Ò Ð ÓÒ ÐÙ Ö Ô Ø Ð Ú Ö Ö ÓÔÒ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ØØ ÔÖÓ Øº Á Ô Ø Ð ÒØÖÓ Ù Ö Ò Ð ÝÑ ÓÐ Ö Ó Ú Ö Ð Ò ÚÒ Ö ÒÝØØ Ö Ø Ò Ö ÔÔÓÖØ Òº ÓÖ ÓÚ Ö Ù Ð Ò ÝÐ Ò Ð Ò ÓÚ Ö Ø ÓÚ Ö º Ø ÓÖÙ ØØ Ø Ð Ö Ò Ö Ò Ø Ñ ÖÙÒ Ð Ò Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÖÙÒ Ö ÖÐ Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÑØ ÒÝØØ Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ò ÓÛÒ¹ ÐÓ Ö ØØÔ»» Ö Ø Ò Ñ Øº» ÔÖÓ º
13 Ã Ô Ø Ð ¾ ÌÓ ÙÐ Ö Ò ÌÓ ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò Ñ Ø Ò Ö ÐÐ ÓÖÑ Ø Ð Ò Ö ÔÐ Ò ÓÖ Ø ÒØ Ð ØÓ Ö Ö Ö Ô ÑÑ ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò º  ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò Ò ØÖ Ù ÐÙ Ò Ò ÐØ ÔÓÖ ÓÑ Ø ÑÔ ÐÚ Ò Ö ÐÓ Ð ¹ Ò Ö Ó Ò Ö Ñ Ò Ö ØÖ Ö ØÖ Ò Ò Ö Ú º Ø ØÓ ÙÒ Ò Ô Ö Ò Ò Ò ÖÐ Ø Öº Ø Ö Ú Ð Ø Ð Ò Ð Ú ÓÑØ ÐØ ÓÑ Ú ÔÓÖº Ç Ø Ú Ð Ú ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ð Ñ Ò Ø Ø ÓÒº Î Ö ÔÐ Ò ÓÖ Ø Ò Ò Ú Ð ÚÓÖ Ú ÖØ ØÓ Ð Ò Ô Ø Ú ÖØ Ú Ø Ø ÔÙÒ Ø ÖÙÒ Ö Ú Ú Ð Ú ÔÓÖ ØÓ Ò Ð Ô Ö Ò Ò Òº ÒÒ ÔÐ ÒÐ Ò Ò Ö Ô ÓÖ Ò ÓÑ Ö Ð ÐÒ Ö Ö Ø ØÓ Ò º Ö Ö Ð Ø Ð ÓÑ Ö ÐØ ÔÐ ÒÐ Ò Ò ÓÑ Ø Ñ¹ Ô ÐÚ Ö Ø ÒØÖ ÐØ ÓÒØÖÓÐ ÒØ Ö ÓÖ Ø ÖÒ Ò Ò Ø ÚÓÖ Ñ Ò Ð Ò Ð Ö Ö Ø Ò Ó Ð Ö ÙØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÔ Ø Ø ÓÑ Ð ÓÖ Ò Ð Öº Ò ÖÐ ÔÐ Ò ØÓ ÙÐ Ö Ò Ð Ò Ð ¹ØÖ Ö ÐÛ Ý ÙÐ Ò ËÌÊ˵º À Ö ÒØ Ø ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò Ò ÓÖØ Ø Ö Ú ÔÓÖ Ö Ù ÓÖ¹ Ö Ò Øº Á ÒÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÒØ Ø Ø ØÖ Ò Ò Ò Ö ÓÔ ÐØ Ø ÒØ Ð ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Ö Ö Ö ÐØ ØÓÔ Ò Ð Öº ÀÚÓÖ ØÓ ÔÓÖ Ñ ÒØ Ö Ø Ö ÑÑ Ò Ò Ø Ú ÔÓÖº À Ö Ò ØÓ ÑÓ Ö Ò ØÓ Ô Ö Ò Ò Ò Ú Ø Ø Ò ÓÐ Ö Ò Ô Ú ÔÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ö ÓÖ º ÒØ ÐÐ Ø Ó ÔÐ Ö Ò Ò Ò Ð Ö Ó Ú ÔÓÖ Ø ÓÖ Ú Øº ÓÖ Ø ÙÒ ÓÐÐ ÓÒ Ö Ñ Ö ÙÒ Ò Ø ØÓ Ò Ò Ô Ú ÖØ
14 Ã Ô Ø Ð ¾º ÌÓ ÙÐ Ö Ò Ú ÔÓÖ Ñ ÒØ ½ Ñ ÒØ ¾ ÙÖ ¾º½ ÌÓ ÑÓ Ö Ò ØÓ Ú Ú ÔÓÖº ÔÓÖ Ñ Òغ Ò ÓÑÑ Ö Ø ØÓ Ð Ø Ð Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÓÔØ Ø Ñ Ø ÓÐ ÓÖ Ö Ø Ó Ú ÒØ Ò Ø Ð Ö Ö Ö Ò º Á ÙÖ ¾º½ ØÓ ØÓ Ö ÓÑÑ Ö Ö Ò Ú Ö Ø ÔÓÖ Ñ Òغ ÓÖ Ø Ô Ö Ò Ò Ò Ñ Ø Ò ØÓ Ö Ò Ô Ú ÔÓÖ Ø Ó Ú ÒØ Ø Ð Ø Ò Ø Ö ÖØ ÓÖ º ¾º½ ÇÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ËÓÑ ÒÚÒØ Ø Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ù Ò ÔÙÒ Ø Ð ÇÐ Ú Ö Ò Ö¹ Ö Åº ËÑ Ø ÀÝ Ö ÓÒ ØÖ Òع Å Ø Ó ÓÖ Ø Ë Ò Ð ¹ÌÖ Ê ÐÛ Ý Ë ÙÐ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ½ º À Ö Ð Ö Ò Ù Ý Ò Ò Ó Ù ÓÒ ÖØ Ð Ò Ö Ðº º Ö Ö Ø Ô ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ Ò Ò ÖØ Ð Ò ÓÖ ØØ Ö Ð ÇÐ Ú Ö Ö Ó Ö ÚÖ Ø Ú ÒÐ Ø Ø ÐÐ ÒÝØØ Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ö º ¾º½º½ Ò Ý Ö Ñ ØÓ Á ÖØ Ð Ò Ö Ú Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ó ÐÓ Ð Ò Ò º Ö Ú Ð Ò Ñ Ô ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ñ ØÓ Ö Ö ÐØ Ð Ö Ö Ð Ö Ò ÓÖØ ÒÒ Ñ Ò º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ý Ø ÓÔ ÓÑ Ò ÐÑ Ò Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò º ÆÖ Ò Ò Ò ÒÖ Ø Ð ØÖ Ø Ó Ð Ö ÙÒ Ø Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ú ÒÒ Ð Ò Ò Ú Ö Ø Ð Ò ÐÓ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ º
15 ¾º½ ÇÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÀÚ Ø ÐÝ ÐÓ Ð Ò Ò Ò Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÒÝØØ Ð Ò Ò ¹ ÚÖ Ò Ö ÓÑ ÒÝ ÚÖ ÖÒ º Ë ÐÚ Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ò Ú Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò Ó Ð Ö Ò ÐÚ Ð Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÖÙ ÐØ Ø Ð Ø ÓÑÑ ÖÙÒ Ø Ð Ò Ò ÖÙÑÑ Ø Ó ÐÓ Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ø Ð Ø ÙÒ Ö Ò ÓÐ Ø ÓÑ Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò Ò Ò Öº ËÓÑ Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò Ò Ú Ò ÒÙ ØÖ Ø ÖÙ Ø Ð ÝÒ Ð Ò ÐÓØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ØÙ ÐÐ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò º ¾º½º¾ Ê ÙÐØ Ø Ö Á ÖØ Ð Ò Ò Ø ¾ ÓÑØ Ð Ö Ý ÖÐ Ö ØÝÔ Ö ÑÙÐ Ø Ò Ð Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ò ÖÙÒ Ö Ø ØÓ ØÓ ÐØ Ð ÓÐ Ò Ú Ò Ø Ò ÑÔ ÐÚ Ú ØÖ Ò ÔÓÖØ ÖÐ Ø Ó Ó Ø Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ò ÚÖ ÐÓ Ö Ø Ò Ô Ö Ó ÓÖ ÑÔ Ð ÓÖ Ò Ð Ñ Ú Ð ÓÐ Ð º Ø Ö Ó Ö Ú Ø Ú Ð Ñ ØÓ Ö Ö Ö ÒÝØØ Ø ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ò Ð Ö Ö ÓÔ ÝРغ Ö Ö Ø Ð ÝÒ Ð Ò ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ø Ø Ò¹ Ð Ö ÒÒ ÖØ ÓÖ Ò Ð Ñ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ð Öº Ä Ð Ò Ö Ø Ø Ö Ò ÓÖÙ ØÒ Ò Ø Ö Ö Ú ÔÓÖ Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ ÔÓÖ Ñ ÒØ Ö Ò ÓÖÙ ØÒ Ò ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ØØ ÓÑØ Ð Ò Ø º¾µ ½ º ÒÒ Ú ÑÑ ÓÖÙ ØÒ Ò Ö Ó Ð Ò Ò Ø Ò Ö Ö Ö ÖÙ Ø Ø Ð Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ð Öº ½ ÑÖ Ø Ø Ú Ö Ø Ú Ú Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓØ Ø Ð Ò Ó Ñ ÒØ Ö Ö Ö ÐØ Ú ÔÓÖ ÑÑ Òº ÂÓ Ö Ñ ÒØ Ö Ò Ú Ò ØÖ Ò Ò Ö ÓÔ ÐØ Ó ÙÖØ Ö Ò ØÓ ØÓ ÑÑ Ö ØÒ Ò Ò ÑÐ Ô Ö ØÖ Ò Ò Ò Ø Ø Ø ØÓ Ð Ú ÒØ Ô Ø Ø ÓÖÖ Ø Ö ÓÖÐ Ø Ð ØÖ Ò Ò Ò Ñ Ò ÙÒ Ø Ø Ð Ø Ò Ñ Òغ
16 Ã Ô Ø Ð ¾º ÌÓ ÙÐ Ö Ò
17 Ã Ô Ø Ð ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÂÓ ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÂË˵ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ¹ ÐÝ Ò Ö Ö ÚÖ Ø Ò Ø Ò ÓÖ Ñ Ò ÓÔÑÖ ÓÑ º Ø ØÖ Ø ÓÑ Ø ÚÖ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ó ÐÚ Ø Ð ÝÒ Ð Ò ÑÔÐ Ò Ø Ò Ö Ú Ö ÙÑÙÐ Ø Ð Ø Ð ÓÔØ Ñ Ð Ø Øº À ÐÐ Ö Ñ ÙÖ Ø Ð Ò Ò Ñ ¹ ØÓ Ö Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ò Ð Ò Ò Ö ÑÑ Ú Ð Ø Ø ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Öº Ç Ø Ú Ð Ø Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ò ÚÖ Ñ Ö Ø Ú Ò ÙÖ Ø º Á Ø Ð Ò Ò Ö ÂËË Ó Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ö Ö Ö ÒÚ Ò Ø Ö Ú Ð Ò Ð Ò Ò Ñ ØÓ ÖÒ Ô Ø Ð º º½ Ò Ö Ð ÂËË Á Ò Ñ Ø Ò Ö ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ØÖ ÂËË Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ð Ò Ò Ø ÒØ Ð Ó Ô Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ñ Ò ÖÒ Ô Ø Øº ÂÓ Ò ÓÔ ØØ ÓÑ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ö ØÖ Ò Ö ÐÓÔ Ú Öº Ò Ñ Ò Ù Ö Ò Ö ÓÙÖ Ö Ð ÚÖ Ø Ð Ö Ô Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ
18 Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ù Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ò ÐØÓÔ Ú º ÈÖÓ Ð Ñ Ø ØÖ Ð Ø ÔÐ ÒÐ ÐÓÔ Ú ÖÒ ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ö ÓÙÖ ÖÒ Ø Ð Ò Ð º Å Ò ØÙ Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ö Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ô ÒÒ Ñ º Ø ¹ ÑÔ Ð Ö Ø ÙØ ØÓÖÚ ÚÓÖ Ø ÒØ Ð ÙÒ Ö ÓÑÑ Ö ÓÖ Ø Ò Ð º ÀÚ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ö Ð Ò ÑÔ ÐÚ Ö Ø Ø Ò Ò Ú ÙØÓÑ Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ö ÒØ Ò Ð Ö Ò Ó Ð Ø Ö Ò Ú Ð Ö¹ Ð Ö Ð º ÀÚ Ö ÙÒ Ú Ö Ö Ø Ð Ø Ó Ó Ú ÖØ Ö Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÐÓÔ Ú º Ê ÓÙÖ ÖÒ Ù Ö Ò ÙØÓÑ Ø Ò ÑØ Ô ÒØ ÖÒ ÓÖÖ ØÒ Ò ÖÒ Ö Ú Ö ÙÒ Ò Ø Ò Ò ÙÒ Ò Òº Á Ò ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÒÒ Ö ÔÐ ÒÐ Ò Ò Ò Ò Ø Ò ÐØ Ø Ð Ð Øº ËÓÑ Ö Ð ÚÐ Ö ÙÒ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ò ÖÒ Ò Ô ÓÖ Ò ØÐ Ø Ö ¹ Ð Ó Ø ÐÐ Ö ÐÓØ Ú Ô ÒØ Ò Ö ÓÔØ Ø Ú Ò ÓÑ Ø Òº Ò Ö Ø Ö Ö Ò ÓÚ ÖÓÖ Ò Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ò Ù Ò Ò Ó ÔÐ Ø Ö Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú º ÓÚ ÒÒÚÒØ Ö Öº Ø ÑÔ Ð ÖÔ Ö ØÖ ÐÝ Ò Ú ÖÝ Ò Ò Ý Ö Ó Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø ÒØÖ ÐØ Ø Ö º À Ö Ù Ö Ö ÓÙÖ ÖÒ Ú Ò Ò Ñ Ø Ø ÖÝ Ö ÙÒ Ò ÒÝØØ Ð Ö Ø ÖÒ Ø ÒØ Ð Ö ØÒ Ò Ö Ò Òº ÀÚ ÖØ Ö Ø Ö Ò Ø ÑØ Ø ¹ Ò Ø ÓÒ Ó ÐÓÔ Ú ÖÒ ØÖ ÐÝ ÖÝ Ú ÖØ Ö Ø Ð Ô Ö Ô Ú ÖØ Ðº ÅÓ Ø ÖÒÚÒØ ÑÔ Ð Ö Ö Ö Ò Ö Ø Ú Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ò º Î ÐÔ Ðº º Ö ÒÒ Ð Ö Ð Ò ÓÚ Ö Ð Ö ÖÒ Ö Ñ Ò Ø Ú Ð ØÖ Ò Ñ Ø ÓÑ ÑÙРغ º¾ Ë ÑÔ Ð ÂËË ÂËË Ò Ñ Ò ÖØ Ö ÚÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ó Ð Ò Ò Ö ÔÐ Ø ÓÖ ÐÐ ÖÒ Ò Ò Öº ÀÓÚ Ô ÖØ Ò Ø ÓÖ Ò Ô ÓÑÖ Ø ÓÒ ÒØÖ Ö Ö ÓÑ Ò ÖÐ ÖÙÔÔ Ú Ö ÒØ Ö Ð Ø ÑÔ Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò º ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ø Ö Ù ÐÙ Ò Ñ Ú Ö ÒØ Ö Ö Ó Ö Ø Ö Ú Ð Ø Ò Ð Ò ÂËË Ù ÐÙ Ò ÒÝØØ Ø Ð Ø ÓÑØ Ð ÑÔ Ð ÂË˺ Ë ÑÔ Ð ÂËË ØÖ Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ð Ò Ò Ø ÒØ Ð Ó J = {J 1,...,J n } Ô Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö M = {M 1,...,M m }º ÀÚ ÖØ Ó Ð Ò Ð Ô Ú Ö Ñ Ò Ò Ö Ð Ö Ö Ô ÓÖ Ø Ò ÐØ Ó º Ò Ð Ò Ò Ø Ó Ô Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒº ÈÖÓ Ð ¹ Ñ Ø ØÖ Ø Ø ÑÑ Ò Ö Ð ÚÓÖ Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ð Ô Ò ÐØ Ñ Ò Öº
19 º Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÑÔ Ð Ö Ò ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ö Ú Ø Ò ÚÒ Ø Ð Ö ÖÒ ÂËË Ò ÑÐ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÚÓÖ Ö Ð Ð Ú Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Öº ÀÚ ÖØ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ò Ð Ô Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ò Ø ÑØ Ö Ð Ó Ú Ö Ñ Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ø ÔÖÓ Ù Ø Ò Òº ÀÚ ÖØ Ó ØÖ Ò ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ö Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò ØÓÔ Ò Ñ Ò º ÀÚ ÖØ Ó Ò Ð Ô Ú Ö Ñ Ò Ò ØÓÔ Ò Ò º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ô ÝÒ ÒÖ Ò ÓÖ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ Ó Ö ÐÙØØ Øº ÀÚ Ö Ñ Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ø Ó Ò Ò Ó Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖÝ ÒÖ Ö Ø Ò Ö Ô ÝÒ Øº Ø ÒØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ö Ò ÒÝØØ Ð ÔÐ ÒÐ Ò Ò ÓÖ ÓÒØ Ò Ú º Ö ÓÔ Ö Ö Ñ Ø Ø Ð Ú Ð ÓÐ Ð ÐÐ Ö Ò ÖÙ º Ò Ð Ò Ò ØÖ Ò Ú Ð Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÓÖ Ú Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒº Ë ÐÚÓÑ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÖÒ Ö Ø Ð Ø ØÖ Ø ØØ ÒÓ Ø Ô Ð ¹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð ÓÚ Ô ÖØ Ò Ñ ØÓ ÖÒ Ö Ú Ø Ö Ò Ø Ò ÙÑ ¹ Ð ÖØ ÙÒÒ ÒÝØØ Ô Ñ Ö Ò Ö ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Öº Á Ö Ö Ø Ò ÑØ Ø Ú Ö Ø Ò Ð ÖÒ ÓÑ Ø Ú ÖØ Ó Ð Ø Ð Ñ Ò ÓÔ Ö Ø Ó¹ Ò Ö ÑØ Ø Ú ÖØ Ó Ò Ð Ò ØÓÔ Ò Ò Ô Ú Ö Ñ Ò º º Ò Ø ÓÒ Ö ÀÚ ÖØ Ó J i ØÖ Ò ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö {o i1,...,o im } ÑØ Ø Ú Ø Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ø Ø ÐÐ Ø Ú Ð Ò Ó Ø Ö Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ r i 0º Á Ñ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ö ÂËË Ö r i ÖÒ Ø Ø Ð ÚÖ Ò ¼ Ñ Ò ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò ØÖ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ñ Ö Ò Ö ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñº ÀÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò Ú Ø Ñ Ò M p Mº ÆÓØ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ø ÓÔ ØØ Ò Ñ Ò ÓÑ Ò ÑÒ Ò ÓÐ Ò Ø Ð Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ú ÖØ Ó º ÓÖ Ú Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ú Ø Ò Ò Ð Ò Ø p ij 0 Ú º Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò o ij ºÎ Ö Ð Ò S ij Ò Ú Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ ¹ Ø Ø ÓÖ Ú Ð Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ó C ij Ò Ú Ö ¹ ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø Øº Ò Ð Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖÝ ÐÙØØ Ò Ð Ò Ò Ò ØÓÔ p ij Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ô ÝÒ Ð Ú º C ij = S ij + p ij º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ò Ö Ø Ô ÝÒ ÒÖ Ò ÓÖÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ
20 ½¼ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ó o i(j 1) Ö ÐÙØØ Ø Ú º S ij S i(j 1) + p i(j 1) ÓÖ j 2 º½µ ËØ ÖØØ ÔÙÒ ØØ Ø ÓÖ Ò Ö Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ó o i1 Ö ÖÒ Ø Ó Ø Ø Ð Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø r i Ú º S i1 r i º À Ö Ð Ö Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ S ij Ö Ø Ô Ó Ø Ø Ð Ø Ø ÖØØ ¹ ÔÙÒ Ø ÑØ Ú Ö Ò ÓÖÙ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö S ij r i + l<j p il º¾µ Ö Ö Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø C i ÓÖ Ø Ó J i Ö ÒÖ Ò Ð Ò Ò Ó Ø Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÙØØ Øº ËÐ Ö C i = C im = S im + p im º µ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖÝ ÒÖ Ö Ø Ò Ö Ô ÝÒ Øº Ò Ñ Ò Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò Ú Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ò Ð ÙÒ Ò Ð ÒÒ Ò ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ó Ò [S ij ; C ij [º Ø ØÝ Ö Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl Ô ÑÑ Ñ Ò M p Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ø Ñ Ø Ú º Ø [ S ij ; C ij [ [ S kl ; C kl [= ÓÖ ÐÐ o ij,o kl M p º µ ÀÚ Ò Ð Ò Ò ÓÚ Ö ÓÐ Ö ÒÒ Ø Ò Ð Ö Ð Ò Ò Ò ¹ ÖÙ Ö Ó Ö Ø Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ø Ö ÒÚÓÐÚ Ö Ö ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº ØØ Ö Ò Ò Ø Ö ÒÚÒØ Ø Ò Ð Ö Ö ÖÓÚ Ö ÓÐ Ø ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö ÓÑØ Ð ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò º Î Ú ÒÚ Ò Ð Ö ÓÔ Ö Ö Ö Ñ Ò Ñ Ò Ð Ò d i ÓÖ Ú ÖØ Ó º ÒÒ Ð Ò Ð ÓÔ ØØ ÓÑ Ø Ó Ð ØÓÖ Ö Ú Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ñ Ò ÐÓØ ÓÑ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ò Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº È ÖÙÒ Ö Ò Ö Ø Ó Ø Ö Ò ÓÑ T i =(C i d i ) + º µ ÐØ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÓÑ ÒÓ Ò ÓÖ ÓÐ Ø Ð Ò ÚÒ Ð Ò º
21 º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½½ º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÂË˺ Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÝÔÔ Ø ÓÑØ ÐØ Ö Ñ Ô Òº À Ö Ò Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ¹ Ñ Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ ÐÙØÒ Ò Ø Ø Ó O makespan =max J i J (C i) º µ Ò Ò Ò Ù Ö Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ö Ò ØÓØ Ð Ø Ö Ò Ì̵ Ti º ÒÚ Ö Ø ÓÒ Ö ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò ÌÏ̵ Ú Ö ÑÙÐ ÓÖ Ø Ø Ð Ð Ò ÐØ Ó Ò ÔÖ ÓÖ Ø Ø w i > 0 Ö ÖÙ Ø Ð Ø Ú Ø Ó Ø ÓÖ Ò Ð O TWT = w i T i º µ J i J Î Ñ Ô Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ø ÐÙØØ Ó Ö Ö ØÝ Ò Ò ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ñ Ò ÌÏÌ Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ú ÖØ Ò¹ ÐØ Ó Ö Ö Ð º Å Ô Ò Ú Ð Ð ØÝÔ ÖÙ Ú Ð Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÚÓÖ ÐÐ Ó Ð ÚÖ ÐÙØØ Ö Ø ÑÐ ÔÖÓ Ù Ø Ö ÒÓ Ò ÒÝØØ ÚÖ º ØØ ÙÒÒ ÑÔ ÐÚ ÚÖ Ú Ö ÙÐØ Ø Ø Ò¹ ÐØ Ó Ð Ò ÑÑ Ò Ò º Á ÑÓ ØÒ Ò ÖØ Ð Ö ÌÏÌ Ö ÑÔ ÐÚ Ò ÒÝØØ Ú Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÚÓÖ Ú ÖØ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ð ÙÑ Ð ÖØ Ø Ö Ø Ö Ö Ð º ÇÚ ÒÒÚÒØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ð ÓÑ Ø Ò Ö ÓÑØ ÐØ Ð ØØ ¹ Ö ØÙÖ Ò Ð Ø Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ò Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ö Ø Ó ÚÓÖ Ó Ò ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ ¹ Ø Ö C i Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ö Ð Ú º Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ù ØÖÝ ¹ O(C 1,...,C n )º ÖÙ ÓÚ Ö Ð Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø Ö ÒÖ Ñ Ò Ø Ò Ò Ò ÐÙØÒ Ò Ø Ö Ø Ö Ú º Ø ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÐÙØÒ Ò Ø ÖÒ Úº C 1,...,C n Ó C 1,...,C n Ú Ð O(C 1,...,C n )>O(C 1,...,C n ) ÙÒ Ø Ø Ð Ð Ø Ö Ò Ñ Ò Ø Ø Ó J i ÓÖ Ú Ð Ø Ø Ð Ö Ø C i >C i º
22 ½¾ º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÂÓ ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò ÓÖ ÒØ Ö Ø Ý Ð Ö º Í ÓÚ Ö Ø Ú ÑÙÐ ÓÖ Ø Ú Ù Ð Ö Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ò ÑÑ Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ñ Ù Ò ÔÙÒ Ø Ò Ö º Á ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÒÝØØ Ø Ò Ð ÖÒ Ö ÐÚ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ÂËË ÝÒÓÒÝÑØ Ñ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Òº ÃÒÙ ÖÒ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó ÒØ ÖÒ Ö Ø¹ Ò Ò Ò Ú Ö Ò Ò ÝÖ Ö Ð ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò º Ò ÒØ o ij o kl Ò Ú Ö Ð Ø o ij Ù Ö Ö o kl º Ò Ñ Ò ¹ Ø Ø Ñ Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ô ÝÒ Ð ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö p ij Ú º S kl S ij + p ij º ÒÒ Ø ÖÖ Ð Ð Ö ÑÑ Ò Ò ÒØ Ò ÐÒ Ó Ö Ú o ij o kl º ËØ ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø S kl Ø ÑÑ Ú Ø ØÖ Ø Ò Ò ÒØ Ö Ó Ø Ð Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú º ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ö ÙÑ Ð ÖØ ÓÖÙ ÓÖ o ij º ËÓÑ Ð ÓÚ Ò Ø Ò Ð Ö Ð Ø S kl max (S ij + o ij o kl ) o ij o kl º µ ÓÖ Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ò ÙÐ ÑÔ Ò Ð Ø Ð Ø ÓÑ ÑÙÐ Ø ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ò Ò ÒØ Ö Ú º Ò ÖØ ÐÐ ÓÖÙ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö ÐÙØØ º Ö ÓÖ Ú Ð Ú ÒÒ Ö Ô¹ ÔÓÖØ Ö Ò S kl Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ú Ø Ö Ø ØØ ÙÐ Ø Ò Ø Ñ Ð Ø Ò ÓÚ Ò Ø Ò º Á ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö ÒÚ Ò S kl ÓÑ Ò Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò º ÀÚÓÖ Ò ÒÒ ÖÒ Ö Ò Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º ÁÒ Ø ÐØ Ø Ð ÒØ Ö Ö Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÚÒ Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ú ÖØ Ó Ú º Ø ÓÖ J i Ø Ð ÒØ ÖÒ o ij o i(j+1) Ñ ÐÒ Ò p ij ÓÖ j {1,...,n 1}º S i(j+1) ÓÔ Ø Ö ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ñ º µ Ó ÒØ Ö ÖÑ Ñ Ò ÑÙÑ ÚÖ Ò Ò Ú Ø º¾µº Ò Ð Ò Ò Ø Ò Ù ÐÙ Ò ÒØ Ö Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ ÓÑ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò º Ö Ø Ð Ò Ð ÒÙ S Ñ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ¼º ËØ ÖØØ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ú ÖØ Ò ÐØ Ó J i Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ø Ø Ð ÒØ Ö S o i1 Ñ ÐÒ Ò r i º ÙÖ º½ Ú Ö Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö Ó Ó ØÖ Ñ Ò Öº Ù Ò Ö Ø Ð Ø Ò ÒÙ ÓÖ Ö Ò Ò Ñ Ô Ò Ú Ð Ø Ö ÓÑØ ÐØ Ò Ø Ò Øº
23 º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ½ o 11 p 11 o 12 p 12 o 13 r 1 r 2 o 21 p 21 o 23 p 23 p 13 S r 3 o 31 p 31 o 22 p 22 V o 32 p 32 o 33 p 33 r 4 p 43 o 41 p 41 o 42 p 42 o 43 ÙÖ º½ ÁÒ Ø Ð Ð Ò Ò Ñ ÒÙ ÓÖ Ñ Ô Òº ÑÖ Ø Ø Ö Ñ Ö Ö Ò Ú Ð Ò Ñ Ò Ò Ú Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ðº º º½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Î Ö Ò Ò Ñ Ô Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÒÙ V Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ø Ð ÒÙ Ò Ú Ö Ò Ø Ð Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ú ÖØ Ó J i Ú º ÒØ ÖÒ o im V ÓÑ Ú Ø Ô ÙÖ º½º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú Ð ÚÖ Ð Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Vº Î ÖÙ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÌÏÌ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÒÙ V i ÓÖ Ú ÖØ Ó J i Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ø Ð Ú ÖØ Ó Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÖÒ o im V i º ÖÙ ÓÚ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó Ò Ð Ò Ú Ø Ø Ð Ò ÒØ S V i Ö Ð ÒÙ Ò Ø Ð Ú Ö ÒÙ Ñ ÐÒ Ò d i º ÃÒÙ Ò V i Ö Ð Ò ØÓÔ ØÓ Ò Ò ÒØ Ö Ó Ú º º µ Ð Ú Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ú Ö Ò Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ S Vi = max (S ij + o ij V i ) o ij V i = max(s im + p im, 0+d i ) = max(c i,d i ) = max(c i d i,0) + d i = T i + d i
24 ½ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ë Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ò º µº Ì Ö Ò T i Ø Ò ÐØ Ó Ö Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ú Ð Ò Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò V i Ö ØÖÙ Ø Ó Ø Ð Ò d i º Ø Ú Ö Ð Ò Ù ØÖÝ ÓÖ Ò ÑÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ O TWT = i w i (S Vi d i )= i w i S Vi i w i d i ÇÑ Ö ÚÒ Ò Ò Ø Ð Ö ÓÖ Ð Ø Ò Ø Ö ÓÖØ ÓÖ Ø ÙÒ Ö ØÖ Ø Ø ÙÒ Ö Ö Ø ÙÑØ Ò Ö Ð Ñ Ò Ñ Ö Ø d i Ö Ò ÓÒ Ø Òغ º º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò Ý Ð Ö ÚÓÖ Ö ÓÖ Ú Ö Ñ Ò Ò Ò Ú Ö Ö ÒÒ Ñ ÐÐ ÒÙ Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ñ ¹ Ò Òº ØØ Ö Ö ÓÔ ÝÐ Ð Ø Ò Ð º µ Ò ÑÐ Ø Ö Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ØÙ ÐÐ Ñ Ò º ÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ó ÙÒ º ÀÚ Ö ÑÔ ÐÚ Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ò ØÓ ÒØ Ö o gh o ij Ó o ij o kl Ú Ð ÒØ Ò o gh o kl ÙÒÒ Ø Ð ÐÐ Ö ÖÒ Ö Ò Ù Ò Ø Ò Ö Ô Ð Ò Ò Òº Á Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÒÚÒØ Ù Ö Ø Ð Ø ÓÑ ÑÙÐ Ø ÙÒ Ö Ò ÝÒ¹ Ø Ò Ø Ð º µ Ú Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú ÒØ ÖÒ Ö Ò ÚÖ Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ò Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò Ú Ð Ø ÖØØ ¹ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ú Ö Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒº Ò ØÖ Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ð Ú Ø Ò Ú Ò Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ú Ö Ò ÐØ Ñ Ò º Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ò Ó Ø ÚÖ ÖÙ Ö Ù Ò ÓÚ ÒÒÚÒØ Ö Ú ÓÑ ÒÚ ÒÒ Ñ ÐÐ ÒÙ Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ú Ö Ñ Ò Ö ÓÔ ÝРغ Ó Ò Ö Ø Ð Ò Ò Ð Ò Ò ÙÑ Ð ÖØ Ø Ð ÒØ Ö Ð Ø Ö Ú Ø ÓÔ ÝÐ Ù Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ö º ÙÖ º¾ Ú Ö Ø ÑÔ Ð Ô ØØ º À Ö Ö o 12,o 22 M p S 12 =1Ó C 12 =3 Ñ Ò S 22 =5º Ä Ò Ò Ò Ö ÖÙ Ö Ñ Ò Ö Ö Ò Ò Ú ÒÒ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ñ Ò Ò M p º o 12 Ö ÐÙØØ Ø Ö o 22 Ô ÝÒ C 12 <S 22 Ú Ð Ö Ó ÙÑ Ð ÖØ ÙÒÒ Ò ØØ Ò ÒØ o 12 o 22 Ù Ò ÐÚ Ð Ò Ò Ò ÔÚ Ö ÚÓÖÚ Ö Ú Ø ÓÑ Ò Ú Ö ÓÔ ÝРغ ÆÓØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Ò Ò E Ò ÑÒ Ø Ò ÒØ ÖÒ Ð ¹ Ò Ò Ò ÓÖØ Ø Ö ÒØ ÖÒ o ij o i(j+1) Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ
25 º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ½ ¼ o 21 o 22 S ½ V ¼ o 11 ½ o 12 ¾ ÙÖ º¾ Ò ÝÐ Ð Ò Ò ÐÚÓÑ Ö Ö ÒÚ o 12 o 22 º Ó Ø ØÒÚÒØ Ó Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Öº Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ò Ð º º º à ÒØÐÒ Ö ÄÒ Ò Ò ÒØ o ij o kl Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ø o kl Ø Ð Ø Ò Ú Ð p ij Ø Ò Ö Ø Ö Ô ÝÒ Ð o ij º ØØ ØÝ Ö Ø Ö Ñ Ò ØÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o gh o ij Ó o kl Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ñ ÒØ ÖÒ o gh o ij Ó o ij o kl Ú Ð Ö ÑÔÐ Ø Ø Ö Ò ÒØ o gh o kl Ö ØÝ Ö Ø o kl Ø Ð Ø Ò Ú Ð p gh +p ij Ø Ò Ö Ø Ö Ô ÝÒ Ð o gh º Ò Ò ÑÔÐ Ø ÒØ Ð Ò Ð Ý ÔÖ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ È µº ØØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º º o ij p gh p ij o gh p gh + p ij o kl ÙÖ º È Ñ ÐÐ Ñ o gh Ó o kl ÒÒ ÓÑÚ Ò Ø ØÖ ÒØ ÙÐ Ò Ò Ö Ð Ö Ø Ð Ø Ø ÓÖØ Ø Ø ¹ ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij o kl Ö Ú Ø Ú Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ Ú ÐØ Ö Ò Ò Ú º ÄÒ Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø ÓÑ
26 ½ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÙÑÑ Ò Ò Ò ÒØ Ö ÐÒ º Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ ÒÙ ÖÒ o ij Ó o kl Ø Ò L(o ij,o kl )º Ö Ò Ð Ò È Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o ij Ó o kl Ò ØÓÔ Ú Ö Ò Ò Ò Ò Ú o ij o kl Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ø ÒØ o ij o kl º ÄÒ Ò ÒÒ È Ö L(o ij,o kl )º Á Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ù ØÖÝ ÓÑ Ø ÓÖØ Ø ÑÙÐ ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ Ð ÒÙ Ò Ö Ú Ð Ø Ð Ø Ò ¼ Ó Ò ØÙ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú º S ij = L(S,o ij )º È ÖÙÒ Ö ÑØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ÒÚÒØ Ò Ø º º½ Ò Ú Ó Ù ØÖÝ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú º ÐÒ Öº Å Ô Ò Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ú Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò V Ó ØØ Ö Ú Ø Ú Ò ÐÒ Ø Ú L(S, V)º Ä Ð Ö ÌÏÌ Ú Ø Ú w i (L(S, V i ) d i ) i Ú º Ø Ú Ø ÙÑ Ò Ô Ö Ó ÚÓÖÑ Ú Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò V i ÓÚ Ö Ø Ö Ó Ø Ð Ò d i º Ä Ò ÙÑÑ Ò Ö ÐÐ ¹Ò Ø Ú Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ V i ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º º½ Ö d i Ô º ÒØ Ò S V i º º º Ò ÙÒ Ø Ú Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Á Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÒÝØØ Ø Ø Ð Ð Ò Ð Ø Ò Ò ÑÓ Ð Ò Ò Ö ÒÚÒØ º Á Ò Ò Ö ØÓ ØÝÔ Ö ÒØ Ö Ò ÑÐ ÓÒ Ù Ø Ú Ó ÙÒ Ø Ú º ÓÒ Ù Ø Ú Ö Ò ØÝÔ Ö Ö ÓÑØ ÐØ ÒÒ Ö ÔÔÓÖغ ÙÒ Ø Ú ÓÔØÖ Ö Ô Ö ØÓ Ú Ö Ò Ö ØÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Úº o ij o kl Ó o kl o ij º Ó ÐØ ÒØ Ö Ò Ú Ö Ø Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ð Ø Ð Ò ÓÒ Ù Ø Ú ÒØ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Á Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ö Ð ÙÒ Ø Ú ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ú ÖØ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò º À ÖÚ Ö Ø Ö Ö Ø Ñ Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò º Á ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Ö ØØ Ö Ú Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ð Ø Ö Ð Ò Ò Ú ÒÒ Ñ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò Ú Ò Ñ Ò º À ÖÚ ÙÒ Ö ØÖ Ø Ö Ú Ö Ø Ò ØØ ÓÒ Ù Ø Ú ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ
27 º Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ØÓ ½ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÚÓÖ Ö ÓÖÚ Ò Ø Ö Ö Ò È Ó ÐÐ Ö Ò Ú Ò¹ Ú ØÙ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò Ð Ø ÙÖ º¾º Ø ÒÒ Ø ÒÒ ÑÓ Ð Ö Ñ Ö Ú Ð Ò Ø Ø Ð ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÓÑ Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ò Ø º½º½º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ó ÙÒ Ò ØÖ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÖÑÐ Ø ÐÐÙ ØÖ Ö Ú Ö Öº Î Ð ÑÓ Ð Ö Ð Ò Ý Ð Ô ÐÚ Ð Ò Ò Ñ ØÓ ÖÒ º º Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ØÓ Î Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ð Ò Ò ÑØ Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ø ¹ ÓÑ Ö Ð Ù Ò ÔÙÒ Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÚÓÖØ Ð Ö Ù ÐÙ Ò Ø Ð ÒØ Ö Ò Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò º Ö ÖÒ Ð ÒØ Öº Ø ÙÒ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ö Ò ÓÒ Ø Ö Ö Ù ÓÚ Ö ÒØ ÖÒ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÒÓÖÑ ÐØ ÓÚ ÓÖ ÒØ Ö Ñ Ð¹ Ð Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÐÐ Ñ Ò Öº ÒÒ Ð ÒØ Ö Ö ÚÖ Ø ÒÝØØ Ø ØØ ÔÖÓ Øº ÆÖ Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÓÑØ Ð Ò ØØ Ð Ò ÒØ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø Ö ÓÖ ÑÔÐ Ø Ø Ö Ñ ÙÒ Ø Ð Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ S V Ó V i Ö Ø Ð ÓÑ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò º Ö Ñ Ò ØØ ÒØ Ö Ö ÒÒ Ò Ö Ö Òº ØØ Ú Ð Ò ÑÐ Ö Ø Ð Ò ÑÓ ØÖ Ò ÑÐ Ø Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÚÖ ÐÙØØ Ø Ö Ò Ò Ô ÝÒ º ÆÖ Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÒÚÒ ÚÖ Ó Ò Ö ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐ Ú ¹ Ö Ð Ñ Ò Ö Ñ Ñ Ò Ö Ò Ø ÔÐ Ø Ö ÒÚÒØ Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ Ú Ö Ð Ò ÚÖ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ÑØ Ð Ò Ò Ö Ö ÑØØ Ò Ú Ø Ø Ð Ý ÖÐ Ö ÒØ Ö Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò º Ð Ò Ò Ñ ØÓ ÖÒ ÓÑ Ó Ø Ø Ö Ö Ñ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ð Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÓÚ Ö Ú Ð ÖÙ Ö ÓÑ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ñ Ò Ó Ø Ø Ø Ø º ÍÒ ÖØ Ò ÒÝØØ Ó Ø ¹ Ò Ð ÖÒ ÐÐ Ò Ò Ó ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò ÓÖ Ò Ú Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÙÒ Ö ØÖ Ø Ö Ö Ø Ð ÓÑ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Öº
28 ½ º ÀÓÚ Ó Ð Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò S ij Ø Ò ÙÒ ÖØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÚ º ÀÓÚ Ø Ö Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ò Ø Ö Ö ÓÖÙ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ó Ð Ó ÓÖ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Øº ËÝÑÑ ØÖ Ù Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ú Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ò Ø Ö Ð Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØÒ Ò Ò ÔÖ Ò Ø ÓÒ ¹ Ò Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº À Ð Ò Ò ÖÙ Ø Ð Ø Ø ÑÑ Ø Ò Ø Ø ÔÙÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ÐÙØØ Ù Ò Ò ØÙ ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ¹ ÚÖ Ø Ö Ú º Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ C ij º ÒÒ ÖÒ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ò d ij º Ò ÐÓ Ø Ñ Ð Ò ÓÖ Ó Ð ÒÒ Ð Ò ÐØ ÓÔ ØØ ÓÑ Ø ÙÐØ Ñ Ø ÚØ Ö Ú Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò º Î Ñ Ô Ò Ö Ð Ò q ij Ø ÓÖØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ¹ ÐÙØÒ Ò Ó ÐÙØÒ Ò Ò Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Øº ÎÖ Ò S ij + p ij + q ij Ù Ö Ð Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ô Òº ØØ Ö Ú Ø ÙÖ º º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ð d ij = O makespan q ij º µ S ij q ij S o ij p ij V ÙÖ º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ð Ò Ø Ó Ð Ú Ñ Ô Òº Î ÌÏÌ Ò Ö Ò Ð ÓÖ Ú ÖØ Ó º ËÐ Ö Ð Ò qij k Ø ÓÖØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØÒ Ò Ó ÐÙØÒ Ò Ò J k º ØØ ÒØ ÖÚ Ð Ö ÙÒ Ò Ö Ø Ú Ö Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ò Ú Ö o ij Ø Ð Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô J k Ó Ð Ó ÒÙ Ò V k º Á ÑÓ Ø Ð ÒØ Ö qij k ÚÖ Ò º Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ø Ó ÐÙØÒ Ò C k Ö Ö ÓÖ S ij + p ij + qij k º À Ö Ð Ö Ø Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØÒ Ò Ù Ò Ø T k ÔÚ Ö Ö d k ij =max(d k,c k ) qij k º½¼µ
29 º ÀÓÚ Ó Ð ½ S ij q k ij S o ij p ij V k d k ÙÖ º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ð Ò Ø Ó Ð Ñ Øº Ó Ø J k Ú ÌÏ̺ ØØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º º Á Ö ÑÖ Ø Ú Ö Ò Ò Ú o ij V k Ú Ð ÚÖ Ò d k ij ÚÖ Ú º Ø Ø Ú Ð ÔÚ Ö ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ J k Ù Ò Ø ÚÓÖ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ù Ö º ÀÚ T k Ø Ö ÐÓØ ÓÖ Ø Ó Ú Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò Ö º Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ C ij Ù Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ÔÚ Ö Ö Ð Ò Ñ Ò ¹ Ø ÚÖ ÖÒ Ö Ñ Øº Ú ÖØ Ò ÐØ Ó d ij =min J k J (dk ij )= min (max(d k,c k ) qij k ) J k J º½½µ º º½ Ö Ò Ò ÓÚ Ó Ð ÀÓÚ Ó Ð Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ò Ö ÓÑ Ø Ò Ö ÖÒ Ö ÓÖ Ø Ò Ö Úº Ø Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò ÐÐ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ú Ø Ø Ð ÒØ Ö Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò º Ò Ö Ò Ô ÓÖ ÐÐ Ñ Ö Ò Ø Ú Ð ÚÖ Ö Ö ÓÖÚ Ò Ö Ò Ò Ú Ò Ð ¹ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÑØ ÚÓÖ Ñ Ø Ø Ñ Ò Ò Ö Ø ØØ Ø Ð Ö Ò Ò Òº Ò Ñ Ø Ö Ò ÚÖ ÖÒ Ô Ö Ú º ÐÒ Ø Ú Ö Òº Í ØÖÝ Ø ÐÒ Ø Ú Ö S ij = L(S,o ij ) Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ Ð ÒÙ Ó o ij º L(o ij, V) Ù Ö Ø Ñ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ Ô ÝÒ Ð o ij Ó ÐÙØÒ Ò Ò Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú º Ð Ò q ij = L(o ij, V) p ij º ØØ Ö Ó Ò Ú Ò Ú Ò ØØØ Ø ÖÒ Ö Ò Ò ÓÖ Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ò º ÙÖ º Ú Ö Ø ÑÔ Ð ÚÓÖ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö ÚÖ S ij Ú Ø ØÖ Ø Ò Ø Ò ÒØ Ö Ö ÐÐ Ö Ö Ò Øº À Ö Ø Ð Ö Ö o gh Ó o kl ÑÑ Ñ Ò M p º Ø Ø Ñ Ø ÓÖ S ij Ú º ÐÒ Ø Ú Ö L(S,o ij )=2º o gh Ó o kl Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø ÑÑ Ñ Ò Ò Ù Ö ÑØ Ú º Ø ÓÖ Ø Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò Ð Ú Ö ÖÙ Ö Ð
30 ¾¼ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò S ¼ ¼ o gh o kl ½ ¾ o ij ÙÖ º L(S,o ij ) Ö Ò Ø ÚÖ ÓÖ S ij º Ö Ò ØØ Ò ÒØ ÒØ Ò o gh o kl ÐÐ Ö o kl o gh º Í Ò Ø Ú Ð Ò Ú ÒØ Ò Ú Ò Ö Ú Ð Ò Ò Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø ÙÒÒ ÐÙØØ Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø Ó Ö Ø Ö Ú Ð o ij ÙÒÒ Ô ÝÒ º Ò Ö ÚÖ ÓÖ S ij ØØ Ø Ð Ð Ö Ð º º ÃÓÑÔÐ Ø Ø ÂËË Ö ØÖ Ø NP¹ Ö Ø Ù ÓÚ Ö ÐØ ÑÔÐ Ø Ð Ð ÚÓÖ ÒØ ÐÐ Ø Ñ ¹ Ò Ö Ó Ó Ö ½ ÐÐ Ö ¾ Ó ÚÓÖ Ö Ø ÐÐ ÖÐ Ö Ú Ø Ð ÐÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ú Ø Ò Ó ½¼ º ØØ Ð Ö Ñ Ú Ð Ñ Ô Ò ÓÑ ÌÏÌ ÓÑ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒº Ë ÐÚ Ô ÐØ Ð Ð Ø Ø Ò ÙÒ Ò Ñ Ò Ö Ñ Ò Ø Ð Ð NP¹ Ö Ø ½ º Á Ò Ø º Ú Ð Ú Ó ÓÑØ Ð Ò Ö Ð Ö Ø Ù Ú ØØ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ö Ò Ð Ø Úغ Ä Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÒÝØØ ÓÑ Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ø ÓÔÖ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñº º Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò À Ö Ð Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÂËË ÓÑ Ø Ñ Ü ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ð Ô Ð Ò Ò Ú º ÈÄ ÐÐ Ö Ø Ð Ú Ö Ò º Î Ò Ö Ø Ø ÑÑ Ö Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ú Ö Ò ÐØ Ñ ¹ Ò º Ö ÓÖ ÒØÖÓ Ù Ö ÓÖ Ú Ö Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl,i < k, Ô ÑÑ Ñ Ò M p Ú Ö Ð Ò x p ik {0,1} Ö Ö ÑÑ ØÝ Ò Ò ÓÑ Ò ÒØ Ö Ò Ñ ÐÐ Ñ o ij Ó o kl º Ø Ò Ð Ò i<k Ö Ö Ø Ö ÙÒ ÒÝØØ Ò Ú Ö Ð ÔÖº Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº
31 º Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò ¾½ M p M,o ij,o kl M p,i<k : { x p ¼ Ú ik = oij Ú Ð Ö o kl º½¾µ ½ Ú o kl Ú Ð Ö o ij x p ik = 0 Ú Ö Ö Ð Ø Ð ÒØ Ò o ij o kl Ó x p ik = 1 Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÑÓ ØØ Ö ØÒ Ò o kl o ij º ÑÖ Ø Ø Ö ÐÐ ÔÓØ ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ö ÙÒ ØÖ Ø Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ú Ð Ø Ö Ø Ð¹ ØÖ Ð Øº ÐÙØÒ Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ú Ð Ò Ú Ö Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ S ij ÐÐ Ö Ú Ú Ð ÒØ ÓÖ Ò Ò Ú Ö Ð ÖÒ x p ik º º º½ Ø Ò Ð Ö Ì Ð Ø Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ô ÝÒ Ð Ø Ó ÑØ Ö Ð Ò ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ð Ò Ø Ò Ð Ö S i1 r i J i J S ij S i(j 1) + p i(j 1) J i, 2 j m º½ µ À Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÐØ ÒØ ÖÒ Ö Ò Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ó º r i Ó p ij Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö Ð Ö Ò ØÙ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÓÒº Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÝÒ Ö Ò ÓÖ Ò Ö Ò ÓÐ Ø Ð x p ik Ö ÐÙØØ Øº Ø ØÝ Ö Ø Ò Ø ÚÖ Ò x p ik Ð Ò ØÓÔ Ò Ð Ò Ø Ò Ð Ö Ð M p M,o ij,o kl M p,i<k : S kl S ij + p ij S ij S kl + p kl Ú x p ik =0 Ú x p ik =1 º½ µ ÈÄ Ò Ò Ø Ö ÒÒ Ð ÒØ Ò¹ ÐÐ Ö¹ ÖÒ Ò Ò Ö Ð Ò ¹ Ö Ö Ú º Ð Ò ÓÑ Ö ÚÒ Ò S kl S ij + p ij hx p ik S ij S kl + p kl h (1 x p ik ) º½ µ ÚÓÖ h Ö Ò ØÓÖ ÓÒ Ø Òغ ÀÚ x p ik =0 Ú Ð Ø Ð Ò Ö Ø ÙÐ ¹ Ð Ú Ñ Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖØ Ó ÙÐ Ò Ú Ð Ð ÐØ ÚÖ Ò º Ì Ð Ú Ö Ò Ð Ö ÓÖ Ú Ö Ø ÙÐ ÓÖ x p ik =1º
32 ¾¾ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò h Ò ÑÔ ÐÚ ÚÖ h =max(r i )+ i i,j Ú Ð Ø Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ñ Ñ Ð ÚÖ S kl +p kl Ò Ð Ò Ò ÚÓÖ Ó Ò Ù Ö Ø Ò Òº Á Ò Ò Ð Ò Ò Ú Ð Ö Ð Ö Ú Ð ÙÒÒ ÓÔ Ø Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ò Ò Ú Ð ÐØ ÚÖ ÖÙ Öº ÈÖº Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ø Ö Ø Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ø Ð ÒÓ Ø Ó ÐÙØØ Ò Ö Ó ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º Ú Ð ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø ÓÑ ÑÙРغ Ö ÓÖ Ö S kl + p kl h ÐÐ ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò Öº p ij º º¾ Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Î Ö Ò Ò Ñ Ô Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ú Ö Ð Ò O makespan Ö Ù Ö Ø Ò Ø ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ø Ó O makespan C i = S im + p im ÓÖ ÐÐ J i J Î Ö Ò Ò ÌÏÌ ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ú Ú Ö Ð Ò T i Ö Ò Ú Ö Ø Ö Ò ÓÖ Ú ÖØ Ó O TWT = w i T i i Î Ø Ò w i Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº T i Ö ÖÒ Ø º ØÓ Ø ÖÖ Ð Ö T i 0 T i C i d i = S im + p im d i ÓÖ ÐÐ J i J º½ µ O TWT Ð Ñ Ò Ñ Ö Ó w i > 0 Ð Ú Ö T i Ò ØÓÔ Ò Ø Ö Ø ØÓ Ö Ö Ó Ò Ú Ö Ð Ø Ö Ò º Ò Ø ÓÒ Ò º µº Ò Ø Ò ÒÝØØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒÙ Ø Ñ ¹ Ò Ñ Ö O makespan ÐÐ Ö O TWT ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ø Ò Ð ÖÒ ÒÚÒØ Ò Ø º º½º
33 ¾ Ã Ô Ø Ð ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË ËÌÊË Ö Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ø Ð Ø Ú º Ò Ö Ô Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ Öº Î Ú Ð Ö ÓÖÑÙÐ Ö ËÌÊË ÓÑ Ø ÂË˹ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ø Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ð Ø Ú º Ò Ð Ò Ö Ñ ØÓ Ö Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ò ÂË˺ Á ÒÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ð Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ó Ø Ó Ú Ö Ö Ø Ð Ø ØÓ º Á ÒÒ ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ø ØÓ ÓÑ Ò ØÙÖ Ñ ÐÐ Ñ ÖÙØ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ú º Ø Ø Ø ØÖ ØÒ Ò Ø Ø ÑÑ Ñ Ø Ö Ð Ò Ö ÒÝØØ Ø Ð Ö Ð Ò Ò Ò ØÙÖº Ø ØÓ Ô Ø Ú Ø ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Ù Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ø p ij Ö Ò Ø ØÓ Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ô Ö ÔÓÖ Ñ ÒØ Øº Ø Ò Ð Ò º µ ÓÑ Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ò ÓÚ Ö¹ Ð ÔÔ Ö Ö Ø ØÓ ØÓ Ò ÓÐÐ Ö Ø ÖÚ Ø ÐÐ Ø Ò Ô Ø Ú Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ô ÑÑ Ø º Á Ð º½µ Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ô ÝÒ ÒÖ Ò ÓÖ Ò Ö Ô ÑÑ Ó Ö ÐÙØØ Øº ÒÒ Ø Ò Ð Ö Ö Ð Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ ÖÒ Ô Ö Ò Ö Ø Ö Ð Ø Ø Ò Ò ØÙÖ Ú Ð Ú Ñ Ò Ò Ø ÓÖØ ØØ Ö Ø Ú Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ò Ø Ò Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ô ØÖ Ò Ò Ò ½ º ÖÙ ÓÚ Ö Ö Ø Ö ÔÐ Ò Ò Ö Ô Ø Ö Ö Ò Ø Ø ØÓ ½ ÈÖ Ò Ô ÐØ ÙÒÒ ØÓ Ø Ó Ö Ø Ð Ø Ð Ø ÓÖ Ò Ñ Òغ ØØ Ú Ð Ó Ð Ö ÙÒÒ Ø Ð ÑÑ ÒÐ Ò Ø Ñ ÐÓØ Ø Ú ÒØ Ñ Ø Ö Ö Ñº
34 ¾ Ã Ô Ø Ð º ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË Ö ÓÑ Ø Ô Ö Ø ÔÓÖ Ñ Òغ Ö Ø ÒÖ Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ø Ð Ð Ø Ò ØÓ Ø ÓÖØ ØØ Ø Ð Ð Ò Ñ Òغ Á Ò Ø º¾ Ö ÒÚÒØ Ø Ø Ö Ö Ð Ø ÚØ ÙÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ú Ø Ò Ð¹ ÖÒ ÑÔ Ð ÂËË ÓÑ Ø Ú ÖØ Ó Ð Ø Ð Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ú ÖØ Ó Ð Ò Ð Ô Ú Ö Ñ Ò Ò ØÓÔ Ò Ò º ÖÒ Ø Ò Ð Ö Ú Ð Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ØÓ ÙÐ Ö Ò ØÝ Ø Ñ Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÖÒ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÖ ÐÓØ Ò Ð Ò ØÖ Ò Ò ÑØ Ø ØÓ Ò Ú Ö Ø Ð Ò ÑÑ ÖÙØ º ËÓÑ ÒÚÒØ Ú Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ó ÙÒ ØÖ Ø Ò Ô Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò º Ò ÓÔÐ Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ØÓ ÙÐ Ö Ò Ö ÌÏÌ Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ÖÒ ÓÖ ÐÐ ØÓ ÑÓ Ø ÓÖ ÑÔ Ð Ñ Ô Ò ÚÓÖ Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Ö Ò ÓÑ ØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ø Ø ØÓ Ù Ò Ò¹ ÝÒØ Ò Ø Ð ÚÖ Ò ÓÑ ØØ ÔÙÒ Øº ÌÓ Ò Ò Ø Ð Ð Ú Ø Ø Ö ÓÖ ÐÐ Ö Ø Ö Öº ÑÔ ÐÚ Ò Ô ¹ ÖØÓ Ø Ð Ð Ø ÖÖ Ú Ø Ò Ó ØÓ Ø Ó ÓÑ Ö Ð Ò ØÓÐ Ö Ö Ñ Ö ÓÖ Ò Ð Ò Ô Ö Öº Ä Ð Ò ØÓ Ñ Ñ Ò Ô Ö Ö ÐÐ Ö Ñ Ø Ó Ø Ð Ð Ö Ú Ø Ò ØÓ Ñ Ô Ö Ö ÐÐ Ö Ð Ø Ó º ÖÙÒ Ø Ò ØÙÖ Ò ÖÒ Ò Ö Ø Ú Ð Ú ØÒ Ò Ò ÔÖ ÓÖÑÓ ÒØÐ Ó Ø ÚÖ Ø ÔÓÐ Ø Ú Ð Ò Ö Ö Ò Ø Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÔØ ¹ Ñ Ö Ò º ÃÖ Ø Ö Ö ÓÖ Ú ØÒ Ò ØÓ Ú Ð Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ý ÖÐ Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖغ Á ¾½ Ö ÒÚÒØ Ø ÑÔ ÐØ Ö Ø Ö ÙÑ ÓÖ Ò Ö Ð ÂËË ÓÑ Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ ÒÖÑ Ö Ò Ø º º º½ ÒØع Ö Ñ ÙÖ º½ Ú Ö Ø ÒØع Ö Ñ ÓÚ Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÓ ØÓ Ó Ö ÔÓÖ Ñ ÒØ Öº ÀÚ ÖØ Ö Ø Ò Ð Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ú Ò Ö Ø Ö Ø Ð Ø ÔÓÖ Ñ Òغ Ì Ò Ö Ø ¹ Ò Ó Ö Ø Ò Ð ÖÒ Ú Ò ØÖ Ó Ö ÒØ Ò Ú Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ø Öع Ó ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ö S ij Ó C ij º À Ö Ð Ö Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ¹ Ð Ò Ø p ij Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ö Ø Ò Ð ÖÒ Ö º ÇÖ Ò Ø¹ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÑÐ ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò ÐÒ º ÅÖ ÖÒ Ò Ò Ú Ö ÓÔ Ð Ò Ò Ñ ÒØ Ö Ó ØÝ Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÑÖ Ö Ù Ö Ø ÔÓÖ Ñ Òغ
35 º½ ÒØع Ö Ñ ¾ o 11 o 24 M 1 o 12 o 23 M 2 o 22 M 3 o 13 o 21 o 14 M 4 r 1 r 2 C 12 S 13 ÙÖ º½ ÒØع Ö Ñ ÓÚ Ö Ð Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÓ ØÓ Ó Ö ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Öº M 1 o 11 o 24 M 2 o 12 o 23 M 3 o 22 o 13 M 4 o 21 o 14 ÙÖ º¾ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ò Ú Ø ÙÖ º½º
36 ¾ Ã Ô Ø Ð º ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË Ø ÔÐ Ð Ò Ö Ú Ö Ö Ø Ð ØÓ Ø Ý ÖÙØ Ó ØÓ Ø Ý ÔÐ Ö Ò Ø Ð Ø Ú Ø Ø ÔÙÒ Ø Ò Ð Ö Ø ¾ º ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ó Ø Ò Ú Ø ÓÑ Ö Ø Ò Ð Ö Ø Ú ÚÓÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË ÙÒ Ø ÐÐ Ö Ø Ö Ò Ö Ø ØÓ Ô Ø Ú Ø Ñ ÒØ Ò Òº Ø Ø Ð Ò Ò ÓÖ J 1 Ö Ú Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o 12 Ó o 13 Ú º Ô Ö Ó Ò Ö C 12 Ø Ð S 13 º Ø ØÝ Ö Ø ØÓ Ø ÓÐ Ö Ó Ú ÒØ Ö Ú ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ñ ÒØ ÖÒ M 2 Ó M 3 Ô Ø ÙÒÒ Ö Ò Ô M 3 Ø ØØ Ö ÓÔØ Ø o 22 º ÒÒ Ú ÒØ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÒØ o 22 o 13 Ö Òº Ö Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ö Ú Ø ÙÖ º¾º ÃÒÙ ÖÒ Ö Ö Ò Ø Ò Ø Ö ÑÑ ÒØÖÙÑ ÓÑ Ø Ð Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ð Ö ÙÖ º½º ÑÖ Ø Ø Ú ÖØ ÂË˹ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÐÙ ØÖ Ö Ú º Ø ÒØع Ö Ñº Å Ò ÓÖ Ò Ø¹ Ò Ú ËÌÊË Ö ÓÒØ ÒÙ ÖØ Ö Ò Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ð Ð Ö Ø Ó Ø ÔÐ Ð Ò Ö Ú Ð ÒÝØØ º Ä Ð Ø ÐÐ ÒÓÖÑ ÐØ Ò Ò ØÝ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÖÒ Ö Ð Ú º Ø Ñ Ò ÖÒ Ø Ò ¹ Ö ÐÐ Ø Ð Ð Ú Ð ÙÒÒ Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÓÖ Òº ØØ Ö Ø Ð Ð Ø Ú ËÌÊË ÚÓÖ ØÓ Ñ Ò Ö M i Ó M i+1 Ú Ö Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ø Ö ÓÔ Ø Ð Ò Ò Òº º¾ ÖÒ Ò Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÒÒ ÑÓ Ð ËÌÊË ÓÖÙ ØØ Ö Ø Ö Ö Ø Ú ÔÓÖ Ñ ÐÐ Ñ Ú ÖØ ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Ú º Ø Ø Ð Ò Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ù Ò Ú Ö Ú Ð ÙÒÒ ÓÔ Ð Ö ÐÓØ Ú ÓÔ ØØ Ð Ö ØÓÔ Ò Ð Öº ØØ Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ Ø ØÓ ØÓ Ò Ô Ö Ò Ò Òº Á ÓÚ ÒÒÚÒØ ÑÔ Ð Ô Ö Ö ØÓ Ò Ò¹ Ò Ò ÚÓÖ Ø ÔÐ Ð Ò Ö ÖÝ Ö Ò Ò Ò Ú º Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø S 13 Ô ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ M 2 Ó M 3 º À Ö Ö Ø ÐØ Ò Ú Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÓÖº Ä Ð ÒØ Ø ÐÐ Ú ÔÓÖ Ö Ô Ø Ø Ø Ð Ø Ú Ð ÖÐ Ø ÒØ Ð ØÓ Ó Ø ØÓ Ò Ò ÓÖÐ Ú ÔÓÖ Ø Ù Ò Ø Ò Ö Ð ÚÓÖ Ö Ò ÓÑÑ Øº Ù Ò Ö Ò Ñ Ø Ø Ð Ö Ò Ö Ò ÑÚº ÓÖ Ò Ð Ñ Ô ÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ò Ò Ú Ø Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ò Ð Ñ Ô Ö Ö ¹ Ó Ô Ø Ò Ò ÐÐ Ö Ñ ¹ Ó ÔÐ Ò Ò Ó º ØØ ÒØÝ Ö Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ñ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ú ÖÒ Ò Ö ÚÓÖ ØÖ Ò Ò ÖÒ ¾ Ö ØØ Ð Ò Ö ÒØÝ Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ø º ØØ Ö Ó Ò ÓÖÙ ØÒ Ò Ø Ú Ð Ò ØÖ Ø Ö Ð Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Öº
37 º ËÖÐ Ò Ö Ú ËÌÊË ¾ Ö ØÓÖ Ó Ø ÓÖ ÖÙ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ö Ò Ö Ò ÑÚº Ö Ð ÐÐ ÑÑ Ò¹ Ð Ò Ø Ñ ÐÚ ØÖ Ò ÔÓÖØØ Òº Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ø Ö Ñ ØÓ Ð Ò Ö Ô ØÚÖ Ù ØÖ Ð Ò Ó Ø Ð Ð ÓÑ ØØ Ñ ÒÒ ÒØ Ð Ø ÚÖ Ö Ð Ø º ËÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø ¾º½º¾ ÓÑØ Ð ½ Ø Ñ Ö Ò Ö ÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ð Ö ÓÖÑÖ º Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö ÒØ Ø ÓÑÑ Ö Ø Ð Ù ØÖÝ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ð Ö Ð Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ö ØÖ Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖغ Ë ÑÑ ÒÐ Ò Ò ÓÔÒ Ð Ò Ò ÚÖ Ö Ú Ö Ó Ø Ö Ö ÓÖ Ðº ÈÖ ÚÓÖ ÒÒ ÓÖ Ð Ð Ö Ö Ù Ð Öغ ØØ Ú Ð ÓÑØ ÐØ ÒÖÑ Ö Ò Ø º½¼º º ËÖÐ Ò Ö Ú ËÌÊË Å ÖÙÒ ËÌÊ˳ Ý ÓÖØÓÐ Ò Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÑ ÒÐ Ò Ø Ñ Ò Ö Ð ÂËË ÒÓ Ð ÖÐ Ò Ö ÓÑ Ñ Ò Ù ÒÝØØ Ú Ð Ò Ò º ÐÐ ØÓ Ú Ö Ñ ÐÐ Ñ ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò Ò ØÓ Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ö ØÒ Ò Ú º Ø ØÓ Ø Ö ØÒ Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú º Ò ÒÖ ÓÒ Ø Òغ ÀÚ ÖØ Ó ÒÝØØ Ö Ð Ñ Ò ÖÒ ÒØ Ò Ö Ð Ò M 1,M 2,...,M m ÐÐ Ö M m,m m 1,...,M 1 º À Ö Ð Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ø Ú ØÓ ØÓ Ö Ö Ú Ö Ò Ö ØÒ Ò Ð ØÓ Ò Ò Ú Ò Ú Ô Ö Ò Ò Ò Ô Ø ÐÐ Ö Ò Ø Ø ÔÙÒ Øº ÀÚ Ö ÑÓ Ö Ö ÑÑ Ú Ú Ö Ö Ò Ô Ø Ð Ò ÓÚ Ö Ð Ò Ú Ð Ø Ö Ò ÑÙÐ Ñ Ò Ò Ò Ú Ò º ËÔ ÐØ Ð Ð Ø ÚÓÖ ÐÐ ØÓ Ö Ö ÑÑ Ö ØÒ Ò Ð ÓÛ¹ ÓÔ¹ ¹ ÙÐ Ö Ò º Ö Ò Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÓÑ ÒÒ ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ó Ò Ö ÐØ Ú Ð ÓÖÑ ÒØÐ ÙÒÒ Ð ÙÖØ Ö Ú º Ô Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ Ö Ò Ú Ò Ö ÐÐ ÂËË¹Ñ ØÓ Öº ËÌÊË ØÖ ÓÛ¹ ÓÔ¹Ú Ö ÒØ Ò Ø Ø ÑÑ ÚÓÖ ÑÓ Ö Ò ØÓ Ð Ô Ö Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ø ÚÓÖ ØÓ Ð ÓÚ Ö Ð Ò Ò Òº Á ÔÖ Ú Ð Ñ Ò ÓÖÑÓ ÒØÐ Ó Ø ÓÔÐ Ú Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ú Ø ØÓ Ø Ô Ö Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ú º Ò Ð Ò Ø Ò p ij Ö ÒÓ ÒÐÙÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ñ Ñ ÒØ Ø ÐÒ º ÀÚ ØØ Ö ÓÒ Ú ÒØ Ú Ð Ñ Ò ÙÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ØÓ Ø ÓÑ Ò ÓÒ Ø Òغ Ø ÑÔ Ð Ö Ú Ø ÙÖ º½ ÚÓÖ p 1j >p 2l ÓÖ ÐÐ o 1j,o 2l Ô ÑÑ Ñ Ò º À Ö Ú Ð Ñ Ò
38 ¾ Ã Ô Ø Ð º ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË Ò Ö ÐØ ÙÒÒ Ø J 2 Ö ÙÖØ Ö Ò J 1 º È ÖÙÒ ØØ Ú Ð Ñ Ò ÑÙÐ Ú ÙÒÒ ÓÔ Ø ÐÐ ÒÓ Ð Ö Ð Ö ÑÔ ÐÚ ÓÖ ÚÓÖÒÖ ÙÖØ ØÓ Ð Ú ÐÓÚ Ø Ð Ø ÓÚ Ö Ð Ð Ò ÓÑÑ º Ò Ö Ö ÚÖ Ø ÓÚ ÖÚ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ØØ ÔÖÓ Ø Ù Ò Ø Ó Ö ÖØ Ø Ð ÒÓ Ò ÒÚ Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Öº ÒÚ Ò Ø Ñ ØÓ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ËÌÊË Ò Ð Ù Ò Ú Ö ÒÚ Ò Ø Ð Ð Ò Ò Ò Ö ÐÐ ÂË˹ÔÖÓ Ð Ñ Öº
39 ¾ Ã Ô Ø Ð Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Á ØØ Ô Ø Ð ÒÒ Ñ ÓÖ ÐÐ Ñ ØÓ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÂË˺ Ö Ø Óѹ Ø Ð Ð Ò Ò Ø Ð ÓÔØ Ñ Ð Ø Ø Ú º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ó ÖÒ Ø ÓÑØ Ð Ò ÙÖ Ø º Á ÓÖ Ò Ð Ñ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÒ Ñ Ò Ø º½ ØÓ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ø Ö ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ó ÒØ Ò ØØ Ð º Á Ò Ø º¾ Ò¹ ØÖÓ Ù Ö Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ö Ò ÖÙ Ø Ð Ø Ö ØÖ Øº ÖÒ Ø ÓÑØ Ð Ò Ø º ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ö Ò Ò ÓÙÒ ÓÖ Ó Ø¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ÖÙÒ Ö Ò ÒÝ Ñ ØÓ ÓÖ ÌÏ̺ Á Ò Ø º ÒÒ Ñ ÙÖ Ø Ò Ø Ò ÓØØÐ Ò Ó ÐÙØØ Ð Ø ÒÚÒ Ò Ø º Ò Ñ Ø ÓÖ Ø ÐÓ Ð Ò Ò Ôº º½ Ö Ò Ò Î Ð Ò Ò ÂËË Ú º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ø Ö Ñ Ò ÓÑ Ö Ð Ù Ò ¹ ÔÙÒ Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÚÓÖØ Ð Ö Ø Ð ÒØ Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ò Ò Ö ÖÙ Öº ÀÚ Ö Ò Ö Ò ØØ Ò ÒØ Ø ÑÑ Ö Ð Ò ØÓ ÒÚÓÐÚ ¹ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ù ÚÐ Ô Ñ Ò Ñ Ö Ú Ð¹ Ø Ú Ö ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ø Öº Á Ø Ð¹ Ò Ú Ð ØÓ ÓÖ ÐÐ Ð Ú ÒÒ Ñ Ø ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÑØ ÒØ Ò ØØ Ð º
40 ¼ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö º½º½ ÃÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÀÚ Ò ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ø ØÓ ÐÐ Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ù ¹ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò ÑØ Ø Ð Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º¾ ÓÑ Ò ÓÒ Øº ÃÓÒ Ø Ö Ò Ð Ú Ø Ø ÑÑ Ò Ö Ð ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Öº À ÖÚ Ù Ý ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ô ÒÖ Ò Ö Ø ÒÒ Ö Ð º Ä Ò Ò Ò ÓÒ Ø Ö ÖÚ ÙÒ ÓÒ Ú Ò Ö ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö ÓÖ ÓÑÑ Ö Ò Ö Ò Ñ Ð ÖØ Ð Ò Ò º Î Ø Ö Ø ÚØ Ø Ð Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ø Ø Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ø ÒÚÓÐÚ Ö ÓÒ Ø Ú Ð Ñ Ò Ð Ø ÖÝ ÔÐ Ò Ò Ö Ñ Ò Ø Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ö Ð Ø Ú º Ø Ð Ò Ò Ò Ö ÖÙ Öº ÒÒ ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ º½º ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ò ÒÝØØ Ð ÓÖ ØÑ Ö Ú Ø Ö Ñ Ò ÐÓØ ÒØÝ Ø Ú º ØÖ ÔÖ Öº ÚÖ Ö Ð Ú ÒØ Ð Ú Ð Ð Ú ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ò Ö ØØ Ô Ø Ðº Ø ÖÐ Ø ÓÒ Ð Ø Ö ØÙÖÒ Ö Ö Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Øº Ø Ø Ð Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÓÖ ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Ö Ö ØÙÖÒ Ö Ø Ô Ö ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ò Ð Ú Ö Ö Ö ÓÒ Ø Öº Ë ÐÚÓÑ Ò ÓÒ Ø ÓÑ ØØ Ö Ñ Ö Ò ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ø Ð ØÖ Ð Ø ÐÓØ Ø Ù ÚÐ ØÓ Ò Ò Ø ÐÐ Ö Ð Ö ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ú Ð Ú Ð Ð Ú ÙÒ Ö Ø Ð Ø ÒÓ Ð Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ÔÖÓ ÙÖ Òº Ö Ö Ö ÓÒ Ø Ö Ð Ò ¾µ Ö Ð Ò Ò Ò ÖÙ Öº ÀÚ Ò Ú Ø Ð Ö Ö Ò Ò Ø Ð Ø E best ÑÑ Ö Ú Ò Ó Ò Ö Ð Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò UB Ð Ò µº ÍÒ Ö ÐÐ ÓÑ ØÒ Ö Ö ØÙÖÒ Ö Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ÓÖ Ø Ò Ö Ø ØØ Ö Ò Ø Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ò ØÙ ÐÐ Ö Ò Eº ÀÚ Ö Ö ÑÓ Ò Ò ÓÒ Ø Ð Ò µ Ö Ò Ö Ú Ô Ö Ð Ò ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl º ØØ Ö Ú Ø ÓÔ Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ØÓ Ö Ò Ö ØÖ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ò¹ Ø ÖÒ o ij o kl ÐÐ Ö o kl o ij Ð Ò ½½µ Ú Ð Ø Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ð Ú Ø Ð Ú o ij Ú Ð Ö Úº Ø Ö o kl º Ø ÙÒ Ö ÓÑ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ø Ö Ò ¹ ØØ Ð ÒØ Ò Ø Ö Ñ Ò Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò ÚÖ Ð Ò ½ ÄÓÛ Ö ÓÙÒ Ú Ð Ð Ú ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ò Ø º µº Ö ØØ Ø Ð¹ Ð Ø Ð Ö Ò Ò ÓÙÒ Ö ÙÖ ÚØ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÓÖ Ø Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò E º
41 º½ Ö Ò Ò ½ Ö Ò Ò ÓÙÒ Eµ ½ c Ø ÖÐ Ø ÓÒ Ð Ø(E) ¾ c = Ò Ð Ø Ò O(E) < UB Ø Ò E best E UB O(E best ) Ò Ö ØÙÖÒ E Ð... ½¼ (o ij,o kl ) c ½½ B {E o ij o kl,e o kl o ij } ½¾ E min Ò Ð ½ ÓÖ E B Ó ½... ½ ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E ) < UB Ø Ò ½ E b Ö Ò Ò ÓÙÒ (E ) ½ O(E b ) <O(E min ) Ø Ò ½ E min E b ½ Ò ¾¼ Ò ¾½ ÐÓÓÔ ¾¾... ¾ Ö ØÙÖÒ E min ¾ Ò Ð ÓÖ ØÑ º½ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ú º ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò º
42 ¾ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ì Ð Ø Ö ØÙÖÒ Ö Ò ØÙ ÐÐ Ø Ð Ò Ò Ò ØÙ ÐÐ Ö Ò E min Ú Ð Ø Ú Ð Ð Ú ÒÝØØ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ò ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ö Óѹ Ø Ð Ò Ø º¾º Á ÒÒ ÓÖ Ò Ð Ò Ö O(Ò Ð) ÒÝØØ Ú Ö Ø Ú Ö Ò Ð Ò ½ µº ÃÓÖÖ Ø ÒÒ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ú Ð ÐØ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò º ØØ Ö Ñ ÙÑ Ð ÖØ Ò ÐÝ Ò Ö Ð Ö Ø Ö ÙÑ Òغ ØÖ Ø ØÓ Ô Ò Ò Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl Ô ÑÑ Ñ Ò Ø Ð Ø Ø ÔÙÒ Ø ÚÓÖ ÐÐ Ø Ð Ö ÓÒ Ø Ö Ö Ð Øº ÀÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ö Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ú Ó ÙÒ Ö Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÚÓÖ o ij ÓÑÑ Ö Ö o kl Ó Ú Ú Ö º ÀÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÑÓ ÓÚ ÖÐ Ô¹ Ô Ö Ö Ö Ð Ò ÙÑ Ð ÖØ Ú Øº Ä Ó Ø o ij ÓÑÑ Ö Ö o kl º ËÔ Ö ÑÐ Ø Ö ÒÙ ÓÑ Ø Ð Ö Ú Ð Ú Ò Ö Ð Ò Ò Ø Ð o ij ÓÑÑ Ø Ö o kl º o ij o kl r ij S kl S i(j+1) r k(l+1) o kl o ij r ij r kl r k(l+1) r i(j+1) ÙÖ º½ ØÓ ÑÙÐ Ö Ð Ö o ij Ó o kl ËÚ Ö Ø Ö Ò º È ÙÖ º½ Ú ØÓ ÑÙÐ Ö Ð Öº r ij Ó r kl Ò Ú Ö ÚÓÖÒÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ð Ø Ò ÝÒ ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ø Ð Ö ÔÐ ÒÐ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº r i(j+1) Ó r k(l+1) Ò Ú Ö ÚÓÖÒÖ Ø Ö Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ô Ø Ú Ó Ò Ô ÝÒ º Ø Ø ÚÖ Ò r k(l+1) Ö Ò ÑÑ ØÓ ØÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò r i(j+1) Ö Ø ÖÖ Ò ØÙ Ø ÓÒ ÚÓÖ o ij ÓÑÑ Ö Ø Ö o kl ºÎÐ Ö Ñ Ò Ø Ð o ij Ú Ð Ö Ø Ú Ð Ñ Ò ÙÒÒ ÓÔÒ ÑÑ ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ Ú o kl Ð Ú Ú Ð Ö Ø Ò ÑÐ Ú Ø Ð o ij Ú Ð Ó Ö Ø Ö Ú ÒØ Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø r k(l+1) + p ij
43 º½ Ö Ò Ò Ñ Ø Ú Ð o i(j+1) º Á Ò Ö ÚÒ ØÙ Ø ÓÒ Ú Ð Ø Ð Ð Ö Ú Ò Ö Ð Ò Ò Ø Ð o kl Ú Ð Ö Øº ÑÖ Ø o ij ÓÒ Ø Ö Ñ Ò Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ð Ú Ð Ö ÓÖ Ð Ø Ð Ú Ú Ð Ø Ò Ö Ò ÐÐ Ö ÓÖ Ø ÙÒ Ò Úغ ÓÒ Øº ØØ Ú ÐÐ Ò ÑÐ ÚÖ ÑÓ ØÖ Ñ Ø Ú Ð Ö ÓÒ Ø Ö ÖÓÒÓÐÓ Ö Ð Ó Ø Ú ÔºØº ØÖ Ø Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o ij Ó o kl º Ô Ø ¹Ö Ð Ö Ô Ø ¹Ö Ð Ö Ö ÙÖ Ø Ö Ö Ú Ø ØÖ Ø Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÐØ ÐÓ ÐØ Ð Ö ÓÒ Ø Ò Ù Ö Ò ÑÔ Ð Ö Ðº Ò Ð ÖÙ ÓÖ¹ Ò Ð Ñ Ö Ò ÙÖ Ø Ð Ò Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÚ Ò Ø Ð Ø Ù Ò Ý ¹ Ö Ø¹ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò º Á Ð ÓÖ ØÑ º½ Ð Ò ½ ÖÙ Ò Ô Ø ¹Ö Ð Ø Ð Ø Ø ÑÑ Ò Ö ¹ Ð ÚÓÖ ØÓ Ö Ò ÙÒ Ö º ÀÚ Ñ Ò ÚÐ Ö Ò Ö Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ò Ö Ø Ó ÒÒ Ú Ö ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ò ÒÝ ÚÖ ÖÒ Ú Ð Ò Ò Ò Ö Ò ÙÖØ Ö ÙÒÒ Ð Ú Ö Øº Ô Ø ¹Ö Ð Ö ÒÝØØ Ó ÐÓ Ð Ò Ò Ò ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º Æ ÓÐ Ø Ö ÓÑ ØØ Ö Ò ÑÐ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö ØÝÔ ÙÒ Ò ÓÐ Ö ÓÒ Ø Öº Ô Ø ¹Ö Ð ÖÒ ÖÙ Ö ÓÑ Ò ÙÖØ Ñ ØÓ Ø Ð Ø ÒÒ Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ô ÖÙÒ Ð Ò Ò Öº À Ö Ð Ö Ò Ö Ú Ð Ø Ù Ú Ð Ô Ø ¹Ö Ð Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÓÒ ¹ Ø Ö Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij Ó o kl º Ê Ð ÖÒ Ò Ú Ö Ø ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò ÓÖ Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø ÝÑÑ ¹ ØÖ º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ Ð Ú Ø ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò ÚÐ Ø Ð Ø Ð Ú Ú Ð Ø Ö Øº Ê Ð ÖÒ ÓÑØ Ð Ñ ÓÖ ÐÐ Ø Ò Ð Ö ÖÙÒ Ø ÓÑ Ö Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ Òº Æ ÚÒ ÚÒ Ò Ò Ö Ö Ö ÓÖ Ù ØÖÝ ÓÖ ÒÓ Ò ÖÐ ØÖ Ø ÓÒ Ô Óѹ Ö Øº Å Ò Ø Ú ÒØ Ø Åε C ij S kl Ö ÚÐ Ò Ð Ò Ò Ö Ö Ö Ø Ð ÓÖØ Ø Ú ÒØ Ø Ú ÒÒ Ñ ¹ Ò Ú º Ø ÚÓÖ Ø Ò Ó Ú ÒØ Ö Ô Ø Ò Ø ½ º ÀÚ o ij Ú Ð ½ ÒÒ Ö Ð Ö ÒÚ Ò Ø ½ ÚÓÖ Ò Ó Ø Ò ÓÖØ Ø ÔÖÓ Ò Ø Ñ º
44 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ø Ú Ð Ò ÐÙØØ Ø Ð Ø Ò C ij ÚÓÖ Ø Ö o kl Ò Ô ÝÒ º o kl Ö ÚÖ Ø Ð Ö Ò S kl Ú º Ú ÒØ Ø Ò Ð Ú Ö C ij S kl º Å Ò Ø Ú Ø Ú ÒØ Ø ÅÎε w i (C ij S kl ) Î Ø Ø Ù Ú ÅÎκ Å Ò Ø Ñ Ô Ò Åŵ S ij + p ij + p kl + q kl ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ö ÙÐØ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ñ Ô Ò Ö Ø Ô Ø ØÙ ÐÐ ÓÚ S ij Ó Ð q kj ÒÒ ÖÒ ÓÖ Ð Ö ÒÖÑ Ö Ò Ø º½º¾µº Ö Ø¹Ø Ð¹Ñ ÐÐ Ìŵ S ij ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ø Ö Ð Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ô Ò ÚÒ Ñ Ò Ú Ð Ö Øº Å Ò Ø Ò Ð Ò Ø Å µ p ij ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÖØ Ø Ò Ð Ò Ø Ú Ð Ö Øº º½º¾ à ÒØ Ò ØØ Ð Î Ø ØÖ Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ò Ò Ñ Ò Ú ÐÔ Ò ÑÔ Ð Ö Ò Ò Ø ÑÑ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú Ö Ð Ú Ò Ø Ò ÒØ Ñ ÐÐ Ñ Ñ Úº Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ö ØÒ Ò º ÀÚ Ò ØÓÔ Ò ÒØ Ò ØÓÔ Ò ØÓ Ö ØÒ Ò Ö Ñ Ö Ö Ò Ò Ö ÖÒ Ö Ö Ø ÖÖ ÐÐ Ö Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ÒØ Ò Ò ÑÓ ØØ Ö ØÒ Ò Ò ØØ º Ê ÙÐØ Ö Ö Ò ØØ Ð Ú Ð Ò Ò ÓÑ Ò Ò Ò ÒØ Ò Ø ÖÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ÓÖ Ø Ø Ò Ú Ð Ú Ò Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ù Ò Ø Ú Ð Ò Ö Ð ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ð º Ò Ò Ö ÖÒ LB ij ÓÖ Ñ Ô Ò Ò Ð Ò Ò ÚÓÖ Ö Ò ØØ Ò ÒØ o ij o kl Ö LB ij = S ij + p ij + p kl + q kl ØØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º¾º À Ö Ö Ñ Ö Ø O makespan LB ij Ø Ñ Ô Ò ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º º Ù Ö ÐÒ Ò Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ Ð ¹ Ó ÒÙ ÖÒ L(S, V)º LB kl Ö Ò Ö Ø ÝÑÑ ØÖ º Î ÌÏÌ ÒÝØØ S ij + p ij + p kl + q g kl ÓÑ Ò Ö ÖÒ ÓÖ ÐÙØÒ Ò ¹ Ø ÔÙÒ Ø Ø C g ÓÖ Ó Ø J g Ø Ö Ò ØØ Ð ÒØ Ò o ij o kl º ØØ Ö Ö Ø Ð Ð Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò LB ij = w g (S ij + p ij + p kl + q g kl d g) + J g J
45 º½ Ö Ò Ò S S ij o ij q kl p ij p o kl kl V ÙÖ º¾ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ LB ij Ú Ñ Ô Òº Ä ÒÙ UB Ø Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò º ÀÚ LB ij UB Ó LB kl UB Ú Ð Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò ÙÒÒ Ö ÙÐØ Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ó ØÖ Ø Ò Ö º ÀÚ LB ij < UB Ó LB kl UB Ú Ð Ò Ð Ò Ò Ò ÓÐ Ò ÒØ Ò o kl o ij Ö ÙÐØ Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ø Ð Ø º Î Ò Ð Ò Ñ Ø ØÖ Ø Ò Ð ØÖ Ø ÙÒ Ö Ò ØÙ ÐРй Ð Ò Ò ÚÓÖ o ij ÓÑÑ Ö Ö o kl Ú º Ú Ò Ò ØØ ÒØ Ò o ij o kl º ÓÖ Ú Ö Ñ Ò ØÖ Ø ÐÐ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ö ÓÖØ Ú º ÚÓÖ Ö Ò Ò Ú o ij o kl ÐÐ Ö o kl o ij º ÀÚÓÖ Ø Ö ÑÙÐ Ø Ò ØØ Ò ÒØ Ú º ÓÚ Ò Ø Ò º ÒÒ ÔÖÓ ÙÖ ÒØ ÐÒ Ö Ò Ò ØØ ÒÝ ÒØ Öº Å ØÓ Ò Ò ÒÚ Ò Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÙÑ Ð ÖØ Ø Ö Ö Ö Ò Ø Ò ÒØ Ð Ò ½ Ð ÓÖ ØÑ º½µº Ð Ð ÔÓØ ÒØ ÐÐ ÓÒ¹ Ø Ö Ö Ò ÖÓÒÓÐÓ Ó Ð Ò ØØ ØÖ ÒØ Ö Ú Ð Ø Ò Ù ÒÝØØ Ø Ð Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ö ÖÒ ÖÒ Ö Ò Ò Ö ÓÑØ ÐØ Ò Ø º µº Ð Ö Ö Ø Ð Ò Ö Ò ØÖ Øº Ä Ð Ò Ò ÒÝØØ ÓÖ Ò Ð Ñ Ø Ò ÓØØÐ Ò ÓÑ Ö ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º Å ØÓ Ò Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ñ Ö Ø Ú ÖÓÐÐ ÓÖ Ò Ð Ñ Ö Ò¹ Ò Ú Ð Ø Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ò Ø Ò Øº º½º Ö Ò Ò Ú ÒØ Ò ØØ Ð Á Ø Ð Ò Ö Ú Ò Ò Ò Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ø Ò ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ¹ ØÐ Ò Ò º Å ØÓ Ò Ö Ö Ö Ú Ø Ø Ö Ù Ò ÔÙÒ Ø ÒØ Ò ¹ ØØ Ð ÓÑ ÓÑØ ÐØ Ø Ò Øº Ä ÓÑ Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ö Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ð Ò ÒØ Úº Ò Ò Ó Ò Ò Ò Ö ØÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Å Ò
46 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ø Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÒÚÓÐÚ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ö Ø Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ð Ö ÙÐØ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Òº Å ØÓ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ù Ò ÔÙÒ Ø ÒØ Ò ØØ Ð º ÐÐ Ô Ö ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ú Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ó Ö Ò ØØ ÓÑ ÑÙÐ Ø ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ñº ÀÚ Ö Ò Ö Ñ Ø Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÚÓÖ Ú Ð LB ij ÓÑ LB kl Ö Ñ Ò Ö Ò UB Ö ØÖ Ö ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò ¹ Ø Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ú º Ø Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ð Ú ÓÔ ÐØ ØÓ Ö Ò ÚÓÖ Ö Ö Ò Ø Ò ÒØ Úº o ij o kl Ó o kl o ij º ÐÐ Ò Ö Ò Ô Ö o ij,o kl Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÖ Ò Ö ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò Ó Ö ÓÖ Ù Ö Ò Ø Ö Ø ÚÖ min(lb ij, LB kl ) Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò Òº Î ÚÐ Ö Ö ÓÖ Ø Ö Ò Ô Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ö Ø ÚÖ Ö º Á Ø Ð Ð Ð ÚÐ Ø Ñ Ø Ö Ø ÚÖ max(lb ij, LB kl )º Ð ÓÖ ØÑ ÈÖÓ ÙÖ Ò Ö Ö Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ º¾º Ö ÒÝØØ Ò ÒÐ Ø ÐÐ ¹ Ò Ò Ö R Ö Ø Ð Ø Ø ÖØ Ñ ÙÒ Ò ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò ÓÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ñ ØÝÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ð Ò ½µº Ë ÐÒ Ö Ö Ö Ð Ò Ò Ö ÒÐ Ø Ò Ù ÚÐ Ö Ú Ò Ñ Ò Ð Ú Ø Ò Ö ÖÒ Ð Ò µº ÀÚ ÒÒ Ð Ò Ò Ö Ò Ö Ò Ö ÖÒ Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò ÚÖ ÖÒ UBµ Ú Ð Ø ÑÑ Ð ÓÖ ÐÐ Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ò Ò Ö Ó Ö Ö ÖÑ ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÚÓÖ ÓÖ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ð Ò µº Á ÔÖ Ú Ð Ø ÐØ ÚÖ Ö Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ó ÓÖ R Ö ØÓÑ Ð Ò ¾µ Ù ÓÚ Ö Ø Ø ÓÖ Ø Ø Ð Ð ÚÓÖ ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ò Ø Ò ÓÖ ÒÓ Ò ØÖ Ø Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ò Ú Ø Ò Ò Ö ÖÒ Ö Ö Ø ÖÖ Ò Ð Ò Ò ÚÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ò º Î ØÖ Ø Ö ÒÙ Ú ÖØ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl Ô ÑÑ Ñ Ò Ð Ò ½ ¾ µ Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ö Ø ÑØ Ð Ò ½ µº Î Ö Ò Ö Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ØÓ ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ö Ò Ö ØÖ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð ÖØ Ò ÓÖ ÒØ Ö Ø ÒØ Ñ ÐÐ Ñ o ij Ó o kl Ð Ò ½ ½ µº ÒÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö ÒØ Ø Ø Ø Ð ÒØ Ò Ó ÒÝØØ ÓÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º ØØ Ú Ö Ò ÔÓØ ÒØ ÐØ Ö ÖÒ Ô
47 º½ Ö Ò Ò Ö Ò Ò ÓÙÒ Eµ ½ R {E} ¾ Û Ð R Ó E argminê R (ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (Ê)) R R \{E } ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E ) UB Ø Ò Ö ØÙÖÒ Ò E last Ò Ð Û Ð E E last Ó ½¼ E last E ½½ C ½¾ b ØÖÙ ½ ÓÖ M p M,o ij,o kl M p,o ij o kl Ó ½ (o ij o kl E o ij o kl E ) Ø Ò ½ b Ð ½ LB ij ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E {o ij o kl }) ½ LB kl ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E {o kl o ij }) ½ LB ij UB LB ij UB Ø Ò ½ ÓØÓ ¾ ¾¼ Ð LB ij UB Ø Ò ¾½ E E o kl o ij ¾¾ Ð LB kl UB Ø Ò ¾ E E o ij o kl ¾ Ð ¾ C C {(o ij,o kl )} ¾ Ò ¾ Ò ¾ ÐÓÓÔ ¾ b Ø Ò ¼... ½ Ò ¾ ÐÓÓÔ (o ij,o kl ) Ë Ð Ø Ò Ø (B) R R {E {o ij o kl },E {o kl o ij }} ÐÓÓÔ Ð ÓÖ ØÑ º¾ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ú ÒØ Ò ØØ Ð º
48 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ó ØÒ Ò Ò Ø ÖÖ Ö Ò Ò Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ô ÐØ Ö Ø Ø ÑÑ Ö Ö ÓÑ Ú Ö Ò Ò Ò ÑÔÐ Ò Ö ÖÒ Ú ÒØ Ò ØØ Ð º Ä Ð Ò ØØ ÒØ Ö Ú ÑÑ Ö Ø Ö Ö ÓÑ Ú ÒØ Ò ØØ Ð Ð Ò ¾¼ ¾ µº ÀÚ ÒØ Ö Ö ÙÐØ Ö Ö Ò Ð Ú Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ ÑÑ ÒØ ÖÒ ÓÑ ÒÚÒØ ÓÑ Ò Ø Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ð Ò ¾ µº ÆÖ Ö Ò Ò Ú Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò b = ØÖÙ Ð Ò ¾ µ Ö Ð Ò Ò Ò ÖÙ Öº Ø ÙÒ Ö ÓÑ Ò Ö Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ó ÑÑ Ú Ø Ð ØÖ ÔÖ Ö Ð Ò ¼ Ú Ö Ö Ø Ð Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ º½µº Ò Ð Ù ÚÐ Ô Ö ÒØ Ö Ö Ð Ö Ò Ô Ú º ÓÚ ÒÒÚÒØ Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ò µ Ó ØÓ ÒÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ð ÒÐ Ø Ò Ð Ò µº º¾ ÓÑ Ò Ò Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ö ÖÙÒ Ø ØÖ Ø Ú Ö Ð¹ Ð Ò Ò Ø Ò Ò º Ó Ö Ø Ø ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÒÙ Ö ØÖ Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ú Ò ÓÑ Ò Ò Ò Ù ÒÝØØ ÒÖ Ò Ò Ò Ò º ÒÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ò ½ º Á ØØ Ò Ø ÓÑØ Ð Ø ÒÝØ Ð Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ú º Ò Ñ Ø Ù ÒÝØØ Ð Ö Ôº ÆÖ Ú Ð Ö ÖÓÒÓÐÓ Ø ÑÑ Ö Ú ÓÑ Ö ÒÚÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ø Öع Ø ÔÙÒ Ø ÖÓÒÓÐÓ ÓÖ Òº Á Ò Ú Ò ÒÙ ØÖ Ø Ò Ú Ð ÓÔ Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÖØ Ò ÒÙØ Ó Ò Ö ÑØ ¾ º ¹Ø Ö Ö Ö Ö Ö Ø Ð ÓÖÐ Ø Ð Ò Ò ÔÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ ØÖ Ø ÖÓ Ó Ø Ð Ó Ð Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ö ÐÚ Ð Ò Ò Òº Î ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó Ò Ú ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ¹ Ø Ø ØÓ Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ÓÖ Ø Ø Ô Ò Ñ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ô Ú Ò Ö ÖÓ Ø Ð Ð ØÖ Øº ÈÖ Ò ÔÔ Ø Ö Ø Ú ØÓ Ö Ò Ö Ò ÒØ ÒÙØ Ú Ð Ö Ö ÑØ Ó ÚÖ Ò º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖØ Ò Ö Ö Ø Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ó Ð Ó Ø Ð ÓÙÒ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Ò Ö Ò ÝÖ ¾ Ø Ò Ð Ö ÓÔ ÙÒ Ø Ø Ð Ð Ð Ò Ó Ð Ù ØÖÝ ÓÖ ÒÓ Ò ÐÑ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ô ÓÑÖ Øº
49 º¾ ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ý Ð Ô Ò Ú Ö Ð Ò Ò º Ö ÓÖ Ú Ð Ò ÓÔØ ¹ Ñ Ð Ð Ò Ò Ú Ö ØÓ Ö Ò ÚÖ ÒØ Ñ Øº ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÑØ Òº Á Ø Ð Ò Ú Ð Ú ÓÔ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Q ÓÖ ÓÖØ Ò Ö Ø Ð Ó Ø¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Òº Ú Ø ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ E 1,E 2 º ÀÚ Q(E 1 ) >Q(E 2 ) Ú Ð ÑÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ò ÑÐ Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÚÖ Ú º O(E 1 ) >O(E 2 )º Å Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò E 1 ÓÑ Ò Ö E 2 Ó E 1 Ò Ð Ö Ö ØÖ Øº ØØ Ú Ð Ð Ú ÔÖ Ö Ø Ø Ð Ò º Ö Ø Ò Ö Ö Ú ÒÙØ Ò Ó Ö Ø Ö ÓÔ Ø ÐÐ Ö Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Qº º¾º½ Ò Ø ÓÒ ÒÙØ ÒØ Ø Ú Ò ÒÙ ØÖ Ø Ò ØÓÔ Ö ÙÒ Ø Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø (o ij,o kl )º Ä t =min(s ij,s kl )º ÆÙØ Ò N =(P, D, F) Ò Ö ÒÙ ÓÑ Ð Ö P ÑÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ö ÐÙØØ Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ú º C ij t D C ij t ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ö ÙÒ Ö Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ò t Ú º ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Ø S ij <t<c ij F ÒØ ÖÒ Ö Ò o ij o kl ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Ø C ij >t ÀÚ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÌÏÌ Ó d i >t ÓÖ ÒÓ Ø Ó Ò Ö t Ø ÐÐ ÒÙØ Ò Ú º N =(P, D, F, t)º ÓÖØ Ó Ö ÑØ ÖÚ Ö Ò Ò ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ù Ö ÖÓ Ø Ø Ú Ò Ö Úº ØÖ Ø ÖÓ Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ó Ö Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð Ø Ð º Ò Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ò Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖØ Ò Ð Ö Øº Ø Ö Ò ÑÐ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö ÔºØº Ö ÐÐ Ö Ò Ö Ð Ò Ò ÔÖÓ Ò Ð Ú Ö ÒÚÓÐÚ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ú Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ò Ò Ö º Ç Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø ÒÚÓÐÚ Ö Ö Ó Ò ØÓÔ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ñ S ij t Ú º Ò Ø ÓÒ Ò tº Ò Ò ÝÖ Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ú ÖØ Ó Ö Ú Ø Ö Ø Ø Ð ØÖ ¹ Ð Ø ÐÓØ Ø ØÖ Ø Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓ Ò Ô Ú ÖØ Ó Ö ÓÔ ÝÐ Ö Ø Ò Ð Òº
50 ¼ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ó Ò Ò Ø ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÐÐ ÒÙØ Ú Ð Ú ÑÑ Ð Ò Ò Úغ ÓÖØ Ø Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ö Ú ÌÏÌ Ó Ò Ö ÓÖØ Ò Ó tº ØØ Ò Ò Ú Ø ØÖ Ø Ø Ð Ú ¹ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÚÓÖ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö P Ö ÖÒ Ø ÑÑ Ò Ñ Ú ÒØÙ¹ ÐÐ Ø Ð Ö Ò ÒØ Ö Ö Ò Ñ Ò ÚÓÖ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ò Ö Ø Ø Ð ÚÖ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ú ÖØ Ó Ú Ö ÓÑ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÖØØ ÔÙÒ Øº ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ð ÚÖ ÒØ Ó Ð Ú ÑÑ Ð Ò Ò ÓÖØ Ø Ö ÓÖØ Ò Ö Ø Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº º¾º¾ Ö Ò Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Î ÓÑ Ö Ú Ö ÒÙ Ñ Ô Ò Ò Ð Ò Ò O makespan (E) = max i) J i J = max[ max i), max i)] J i P J i J \P = max i) J i J \P = t + max i t) J i J \P À Ö Ð Ö Ø ÐØ Ø ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ ÐÐ Ö Ú Q makespan (E) =t º½µ ÓÖ ÌÏÌ Ö Ø Ò Ò Ð Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Ø O TWT (E) = w i T i J i J = w i T i + J i P = w i T i + J i P J i J \P J i J \P w i T i w i t + J i J \P w i (T i t) ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ Ú Ð Ø ÙÑØ Ò Ú ÑÑ Ö ÙÐØ Øº ÂÚ º Ò Ø ÓÒ Ò D Ö C i t ØÓ Ð Ò Ò Ö Ò ÑÐ Ò Ó ÒØ Ò t Ö Ò ÓÐ Ø ÒÙØ Ò Ó ÖÑ Ò ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö ÐÐ Ö d i t ÓÖ ÐÐ Ó Ó ÖÑ d i <C i Ö Ó T i t Ò º
51 º¾ ÓÑ Ò Ò ½ ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÓÖØ Ú Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ð ÙÒ ÐÐ Ú ØÓ Ö Ø ÙÑØ Òº ÒÒ Ø ÖÖ Ð Ø Ò Q TWT Q TWT (E)= w i T i + w i t º¾µ J i P J i J \P ØÖ Ø ÒÙ ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö E 1,E 2 Ñ ÒØ ÒÙØ Ó Ð Ó ÑÑ Ö ÑØ º ÀÚ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò E 1 Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò O(E 1 ) Ú Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò E 2 Ú Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò O(E 2 )=O(E 1 ) Q(E 1 )+Q(E 2 ) º µ ØØ Ð Ö ÓÖ Ñ Ô Ò Ó ÌÏ̺ Î Ò Ð ÐÓØ ÖÙ Q ÓÑ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ð Ø Ö ØÖ Ø Ñ Ò Ú Ò Ó ÖÙ Ò Ø Ð Ø Ö Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò ¹ ÚÖ ÓÖ Ò ÐÐ Ò Ò Ù Ò ÔÐ Ø Ø Ð Òº º¾º ÑÔ Ð ÙÖ º Ú Ö ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ º Á ØØ ÑÔ Ð Ö o ij Ø Ð ÒÝØØ Ø Ñ Ò M j Ú º Ó Ò ÒÝØØ Ö Ñ Ò ÖÒ ÑÑ Ö ¹ Ð º Ð Ò ÓÖ Ó Ò Ö Ø Ø Ð Ø ÑÙÐ ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø d i = p ij Ó Ú Ø Ò w i Ö ½ ÓÖ ÐÐ Ó º ÓÖØ Ø Ö o 11 o 12 o 13 Ó o 21 Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÑÑ ØÓ Ð Ò Ò Öº ËÖÐ Ò ÒÚÒ Ø S 31 = p 11 + p 21 Ø Ð Ð º È Ð Ò Ô ÙÖ Ò Ú Ö Ö Ø Ð ÒØ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó Ö ÒØ ÖÒ Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ Ó Ò Ú Ø Ø Ò Ö Ø Ú Ø Ð Ú Ö Ú Ò Ö Ø Ö Ö Ú Ò ØÖ ÑÓ Ö º Ì Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o 22 Ó o 42 Ó Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ ÒÒ Ö t 1 = min(s 22,S 42 )º ÆÙØ Ò Ö Ð Ö Ú Ø Ú Ð Ò Ö Ø ÖÖ Ð Ö Ú º ÓÚ Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒº P : {o 11,o 12,o 13,o 21,o 31,o 32 } D : {(o 41 : C 41 t 2 )} F : {o 23 o 33 } Ë Ö Ñ Ò ÓÖØ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ P Ú Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ö Ú Ð ÙÒÒ Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ø Ø ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ò Ó Ø Ð Ú Ð Ú ÑÑ Ð Ò Ò º
52 t 1 µ ¾ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö J 1 o 11 o 12 o 13 J 2 o 21 o 22 o 23 J 3 o 31 o 32 o 33 J 4 o 41 o 42 o 43 ¼ t 1 µ t 2 J 1 o 11 o 12 o 13 J 2 o 21 o 22 o 23 J 3 o 31 o 32 o 33 J 4 o 41 o 42 o 43 ¼ t 2 ÙÖ º ÌÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ
53 º¾ ÓÑ Ò Ò ÒØ Ø Ú ÐÐ Ö Ö ÙÒ Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ú Ø µ E a Ó ÒÙ Ñ Ö Ð Ò Ò Ò Ú Ø µ E b º ÀÚ Ú Ð Ö ÓÖ ÌÏÌ Ó Ò Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò E a Ú Ð Ú ÙÑ Ð ÖØ ÙÒÒ Ö Ò Ð Ò Ò ÚÖ Ò E b º ÙÖ Ò Ø T 1 = p 21 E a Ñ Ò T 1 =0 E b º J 1 Ö Ø Ò Ø Ó Ö ÐÙØØ ÓÖØ Ò Ú º Ø Q(E) =w 1 T 1 º ÂÚ º º µ Ö Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÚÖ Ò E b Ð O(E b )=O(E a ) w 1 p 21 º E b ÓÑ Ò Ö Ö ÐØ E a º ÀÚ Ñ Ò Ð Ö ÓÖ Ñ Ô Ò Ö O(E b )=O(E a )º º¾º ÒÚ Ò Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ ØÑ º Ø Ö Ö ÚÓÖÐ ØØ Ò Ù ÒÝØØ Ú Ð Ò Ò Ú º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð Ö ÓÖ Ñ Ñ Ô Ò Ó ÌÏ̺ ØÈÖ ÒØ Ö ØÙÖÒ Ö Ö Ò ØÙ ÐÐ ÒÙØ N º knownp resents Ö Ò ¹ Ð Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò Ø ÒÙØ Ö Ó Ö Ø Ð Ö Ò ÚÖ Öº ÓÖ Ú Ö ÒÙØ Ð Ö Ò Ø Ð Ö ÙÒ Ò ÚÖ Q(E) ÑØ Ò Ø Ð Ò Ò Ò Ô¹ Ð Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ð Ú Ö Ö ÙÒ Ø Ò Ð Ò Ò ÓÖ Ò ÚÒ ÒÙØ Ú º Ú ØÖ Ø Ð Ú Ö Ø Ú º ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ð Ú ÙÒ Øº ÀÚ Ò Ò Ò Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ø ÒÙØ N Ð Ò µ ÓÖ Ø Ø Ù ÒÝØØ ØØ º Ò Ò Ø Ó Ò ØÙ ÐÐ ÚÖ Q ÑÑ ÒÐ Ò Ó Ö Ò ØÙ ÐÐ Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ö Ø ØÙ ÐÐ ØÖ Ð Ò ½½µº ÀÚ Ò Ò Ø Ö ÑÓ Ö Ð Ø Ñ Ò Ø Ð Ó Ø ÓÑ Ø Ð Ö Ó Ò Ò Ø ØÙ Ø ÓÒ ÚÖ Ø ÖØ Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ð Ò ½¾µ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ ÙÑ Ð ÖØ Ö Ò Ú º º µº Ö ÚÖ ¹ ÖÒ Q Ó ÖÑ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ÑÑ Ð Ò ½ µ Ö ØÙÖ¹ Ò Ö ÐÓØ Ò Ò Ø Ð Ò Ò Ð Ò ½ µº ÀÚ Ò Ö ÑÓ Ú Ö Ø ÚÖ Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ú Ø ÑÑ Ò ØØ ÓÖØ Ò Ö Ò Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Ö ÑØ Ò ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ò Ú º Å Ö ËÓÐÙØ ÓÒ Ð Ò ½ µº ÀÚ E prev = Ò Ð Ó Q(E) <Q prev Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò Ø Ð Ö Ñ Ø Ò ØÙ ÐÐ ÒÙØ Ñ Ò ØÖ Ø Ð Ú Ö Ø Ö Ò Ø Ð Ú ÙÒ¹ Ø Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò º Ø Ö Ó ÑÙÐ Ø Ø Ò ÒÝ Ó Ö Ð Ò Ò
54 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ò Ò ÓÙÒ Eµ ½ c Ø ÖÐ Ø ÓÒ Ð Ø(E) ¾ c = Ò Ð Ø Ò... Ð (o ij,o kl ) c t min(e ij,e kl ) N ØÈÖ ÒØ(E,t) N knownp resents Ø Ò (Q prev,e prev ) knownp resents[n ] ½¼ Q(E) >Q prev Ø Ò ½½ Ö ØÙÖÒ Ò Ð ½¾ Ð E prev Ò Ð Ø Ò ½ Q(E) =Q prev Ø Ò ½ Ö ØÙÖÒ E prev ½ Ð ½ O cur O(E prev ) Q prev + Q(E) ½ O cur <O(UB) Ø Ò ½ E best Å Ö ËÓÐÙØ ÓÒ (N,E,E prev ) ½ UB O(E best ) ¾¼ Ö ØÙÖÒ E best ¾½ Ò ¾¾ Ò ¾ Ò ¾ Ò ¾... Ð ÓÖ ØÑ º½ Ð Ò ½¼ ¾½µ ¾ knownp resents[n ] (Q(E),E min ) ¾ Ö ØÙÖÒ E min ¾ Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÖÙ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò º
ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø
Læs mereŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ
Læs mereq 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.
ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ
Læs meredeta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
Læs mereÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º
Læs mereËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
Læs mereFaggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320
*36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø
Læs mereË Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ
Læs mereÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø
ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ
Læs mere½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Læs merew j p j 1 w j / p / = 1
ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
Læs mereÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
Læs mereÈÐ ÒÐ Ò Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÙÐØÙÖ ÐØ Ú Ö ÒØ Ñ Ð ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö ØØ ÇØØ Ò ¼½½ ¾µ ÄÓÙ ÌÖ Ò Ö ½ µ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ê Ò Î ØÓÖ Î ÐÕÙ Î Ð ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÖع
Læs mereÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼
Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò
Læs mere¾
½ ¾ ÁÒ ÓÐ ½ ÆÓÑ Ò Ð ØÙÖ ¾ ØÖ Ø ÁÒ Ð Ò Ò ½½ º½ ÓÖÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÁÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ä Ú Ð Ò Ò º º
Læs mereÈ Ö Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Â Ò Ä ÙØ Ö Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ Ó Æ Ð ØÐ Ò Ö Ò Î Ð Ö ÖÒ Ä ÙÖ Ò ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐ ¾ ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º ÒÙ Ö ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÈÖÓ Ø Ø Ö Ö Ñ Ñ Ö Ö Ò ØÓÐ ÙÑ Ð ÖØ ÐÚ ÒÖ ÓÔØÖ¹ Ö Ô Ö ÖØ ÑÓ Ø Ö Ò Ú Ø º ÈÖÓ
Læs mereÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ËÓ ÃÓÚ Ð Ú Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖØ Ð Ö ØÓ Ô ÐØ Ø µ ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereLØSNING AF OPENSHOP OG FLO WSHOP PR OBLEMER Susanne Hjorth Tønder Rasm ussen L YNGBY 2001 EKSAMENSPR OJEKT NR. 00/00 IMM
Ä ËÆÁÆ ÇÈ ÆËÀÇÈ Ç ÄÇÏËÀÇÈ ÈÊÇ Ä Å Ê ËÙ ÒÒ À ÓÖØ Ì Ò Ö Ê ÑÙ Ò Ä Æ ¾¼¼½ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ¼¼»¼¼ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÙØØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò Ö ØÙ Ø ÓÖ ÓÔÒ¹ Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö
Læs mereÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
Læs mereV e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Læs mereÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ì ÓÖ Ö Ø Ù Ú Ð Ò ÔÐ Ð Û Ö Ý Ø Ñ Ö Ì ÓÖÝ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ö Ð Ð Û Ý Ø Ñ ÌÙ Ö Â Ò Ò Ì Ö Ð ÃÖ Ø Ò ÌÓÐ ØÖÙÔ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ñ Ò ÔÖÓ Øº ÈÖÓ Ø Ø Ö Ù Ö Ø Ú ÁÒ Ø ØÙØ
Læs mereEffektivisering af det industrielle byggeri
Effektivisering af det industrielle byggeri Kandidatspeciale Byggeri og anlægssektoren Byggeledelse Aalborg universitet Sonja Dissing Pedersen Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Civilingeniøruddannelsen
Læs mereÝ ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼
Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼ Ý ÓÖ ÄÁ ËØ Ò À Ò Ò ¾¼¼ ÁË Æ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ ËĹ Ó Ð Ò Ì ÓÖÚ Ð Ò Ú ¼ ½ ½ Ö Ö Ö ÓÖ ÓØÓ È Ø Ö º È Ø Ö Ò ÆÝ ÖÓ ÓØÓ Á»Ë Ô Ø
Læs mereÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ø ÒÖ Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÐØ Ø ÚÖ ØÖ
Ì Ø Ð Í Ö Ø Î Ð Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ò ØÓ Ð Ò Ñ Ò È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ý Ó Ã Ñ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ½º Ñ ¾¼¼ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ ÑÓ ½½º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò Å ÖØ Ò
Læs mereÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÐ ÔØÐ ½¼µ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ Ø
Læs mereαν x ν αν αν ϕ(x ν )
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Læs mereÇÚÖ Ø ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ½ ÁÒØÖÓ Ó ÒÖÐÐ ÖÖ ¾ Å ÑÐ Ð Ô Ø ØÑØ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÍÚÐ ØÐ ÙÒØ ÚÖÒ ¹ ØÙÔ ÃÒØ ÐÐÖ ÙÒØ ÚÖÒ Ê Ê ÒÓØ µ ÂÒ Ãº ÅÐ
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ
Læs mereZ[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÔÖ Ð ¾¼¼ Ð Ð Ø ÓÖÖ ÁÒ ÓÐ Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø È Å Ð Ò ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó
ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ ÓÙÐ Ú Ö Ëº Ö ÒØ È½¼ ½ ¼¼ ÁÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ð ÙÒ ØÖ º Ö Ö ØÓÔ
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½ Ñ ½½º Ñ ÖØ ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò È Ø Ö ÄÙÒ
Læs mere¾
Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ã Ò Ú Ò Í Ò Ú Ö Ø Ø ½½º ÙÒ ¾¼½¼ Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ø Ò ËÐ ØÓÖÒ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ð Ö Æ Ø Ð Ï Ð ¾ ÁÒ ÓÐ Ê ÙÑ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ½ ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ
Læs mereÑ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø ÁÒ
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø
Læs merexi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)
ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø
Læs mereÇÒØÓÐÓ Ø Ø Ò Ò ÆÐ ØÐ ÒÖ Ò È Ö Ö Ì ÓÑ À Ð Ö Ò Ò Ó Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ ÎÐ Ö ÌÖÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ Ô Ð ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º Ó ØÓÖ ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÁÒ Ø Å Ø Ö Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ö ÔÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ØØ Ñ¹ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º½ ÔØ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑ
Læs mere(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÙÒ ¾¼¼ 2 4¹Ð Ó¹ ÐÓ Ò º ½ º À Ö Ò Ò Ö Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ Öº Ò Ð ÐÐ ÖÙÔÔ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö À Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö Ö
Læs mereÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å
ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ÂÙÐ ÙØØÑ ÒÒ ÓÖ Ò Ò Ó ÙÑ Å ÒÞ ¾¼½ Ì
Læs mereÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ ËÝ Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÌÁÌ Ä ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÑÐ Ö Ì Å Å ÖÓ Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö ÈÊÇ ÃÌÈ ÊÁÇ ½º ÖÙ Ö ½º Ñ ¾¼¼½ ÈÊÇ ÃÌ ÊÍÈÈ ½¼ ÊÍÈÈ Å Ä ÅÅ Ê Å Ð Ë ÔÔ Ö Ò Ö Ò Â Ô Ö Ð Ù Ò Ð Ê Ò ÂÙ Ø Æ Ð Ò ÇÐ
Læs mereÒ Ð Þ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ò ÐÓ ÙÐ Óѹ ÐÙÐ ØÓÖ ÈÖÓ Ø ÔÐÓÑ Ò Ó Ù ÁÙÒ ¾¼¼¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÙÐ ÐÙÐ ØÓ Ö ÙÐØ Ø ÙØÓÑ Ø ÐÙÐ ØÓ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ò Ì Ñ Ó Ö ÊÓÑ Ò ÓÒ Ù ØÓÖ ÔÖÓ Ø ºÐº Ò º Å Ö Ò ÓÐ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÑ Ø Ò ÝÓÙ
Læs mereÇÚÖ Ø ½ ¾ ÑÔÐ À Ó ÚØ ÃÓÖÖÐØÓÒ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ Ô ½½µ ÅÒ Ø ÚÖØÖ ÑØÓ ÁÒÖÒ ÖÖ ÓÒ ÑÓÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÐÒÒ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÈÖØÓÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÃÓÖÖÐØÓÒ Ó ÖÖ ÓÒ Ê Ê
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÃÔØÐ ½½ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ
Læs mereAnalyse Numerique -- 2ieme Annee ENSEM -- Annee Version provisoire
ÇÔØ Ñ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò º Î Ò Ö ½ Ù ÐÐ Ø ¾¼¼ ÔÓÐÝÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ¾¼¼ ¾¼¼ г Ò Ò Ñ ÒØ ÕÙ ³ ÔÖÓ Ù Ô Ò ÒØ ÔÖ Ü Ò º Å ÒØÓ Ò ÕÙ ÙÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ñ Ø Ð³ ÓÒÒ ÙÖ Ö Ö ÕÙ Ø ÜØ Ó Ø ØÖ Ù ÙÜ ØÙ
Læs mereÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ ÖØ ÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ ÃÓÒØÒÙÖØ ÓÖÐÒÖ ¼ ÃÔØÐ ËØÔÖÚÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ Ó Ò Ó ØÓ ØÔÖÚÖ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÚÖÒ Ö ÃÔØÐ ¼ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒРʹÒÓØ ËØØ Ø Ú ÑÙ
ÃÙÖ Ù ¼¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ËÙÑÑÖÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¼» ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ
Læs mereγ : t I R γ(t) = P(t) S.
Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð
Læs mereφ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j
½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½ Å ÌÄ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ Ã ÖÒ Ð Å Ø Ó ÊÓ ÖØ Ë ØØ Ò Ö Ø Ó ÇØÓ Ö ¾¼ ¾¼½½ Ì Ø Ð Ö ÔÓÖØ ÓÒØ Ò ÓÑ ÓÔ ÙÐÐÝ ÐÔ ÙÐ ØÙ ÓÖ ÛÖ Ø Å Ì¹ Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÖÒ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÓ Ý Ö Ù Ö ÓÒØ Ò Ú ÖÝ ÓÓ ÓÑÔ
Læs mereÌ ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼
Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ Ø Ú Ð Ó ÓÑ ØÖÝ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ ØØÔ»» ºØ Ò ÓÒº º л Ø» ËÔÓÒ ÓÖ Ý ÙÖÓÔ
Læs mereÖ ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÀÝ ÓÐÓÖÐØ Ë ½ ÁËÆ ¾¹ ¹½¹ ÆÖº ÖÒ ËØÙ ÀÙÑÒØØ ÖÒ Ø Ñ ÓÔÖ Ö ÒÒ ÓÒ ØÖ Ñ Ò ÚÖÐÓÚÒ ÐÐÖ ØÖ Ñ ÚØÐÖ ÓÑ ÓÔÖÒ ÒÒØØ Ñ ÃÓÔÒÓÖ ÒØÖ
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereÁÑÔÐ Ø ÙܹÓÖÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÃÙÞÑ Ò Åº ÅĐÓÐÐ Ö Ëº ÌÙÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ
ÁÑÔÐØ ÙܹÓÖÖØ ØÖÒ ÔÓÖØ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒØ ÐÑÒØ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐÖ ÕÙØÓÒ º ÃÙÞÑÒ Åº ÅĐÓÐÐÖ Ëº ÌÙÖ ÁÒ ØØÙØ Ó ÔÔÐ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ ÖÑÒÝ ËØØ Ó Ø ÖØ ÖØ ÔÔÖÓ ØÓ ÙÔÛÒÒ³ ÆÓÒÐÒÖ Å¹Ì ÓÖÑÙÐØÓÒ ÍÒ ÐÑØÒ ØÖØÝ ÆÙÑÖÐ
Læs mereÐÖÒ Ó ØÐØÓÖÒ Ó«ÒØÐ ÒÐ ÖÝÔØÖÒ Ó ÒÖÒº ÆÓØÖ ØÐ ÙÖ Ù ÙÐ Óغ ¾¼¼¼ ÊÚÖØ ÙÖ Ù Ø ØÐ Ó ÝÐÒÐ ÔØ Ö ÃÒ ÒØ ÓÑ Ô¹ Ð Ô ÛÛÛºÑºÙºÒ ÑØÔµ ÂÓÒ Èº ÀÒ Ò ¹ÑÐ ÑØÔѺٺ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÖÙ ÍÒÚ Ö ØØ ÁÒÐÒÒ ÁÒÓÐ ÃÔØÐ ½º ËØÖ Ø ÐÐ Ú ÓÖ
Læs mereNogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Læs mereHigh-Z SN Search Team Supernova Cosmology Project. m-m (mag) =0.3, W L =0.7 W M =0.0 =1.0, W L = D(m-M) (mag)
Å ÏÒÓÛ ÓÒ Ö ÒÖÝ ÖÒ ÀÙØÖÖ Ï ØÖÒ Ê ÖÚ ÍÒÚÖ Øݵ ÄÖÓÒ ÂÑ ÊØÓÒ ¼¼½±µ ÄÙÑÒÓÙ ÅØØÖ ¼½±µ 00 11 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 ÖÝÓÒ ÅØØÖ ±µ 000000 111111 000000 111111 00000000 11111111
Læs mereÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒØÓÒ ÙÒÖ ÚÒ Ð ÐÝ ÒÒ ¹ Ó ÓÒØÖ ØÓÖÓÐ ËØÒ ÙÒÖ ËÔÐÒÐÒ Ú ØÐÓ ÁÒ ØØÙØ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ÁÃ͵ ¼º ÙÐ ¾¼¼½ ½ Ê ÙÑ ÒÖ ÖÒ ÑØÓÖ ØÐ ÑÒØÖÒ ØÒ ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒ¹ ØÓÒ ÇÊ ÔÔÐØÓÒÖ ÙÒÖ º Ö ÙÚÐ Ø ÓÑÔÐØ Çʹ Ý ØÑ ØÐ ÙÒÖ Ð
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004)
Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004) 1a n = rk + 2. m = 2k + 2(r 1)(k 1). Dijkstra: O(m log n) = O((2k + 2(r 1)(k 1))log(rk + 2)) = O(rk log(rk)). 1b 2 / 1 t 1 2 1 / 1 3 / 3 1 3 s 0 / 0 På grafen
Læs mereÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ë Ð Ý ÙÒ Ý ÂÓĐ Ð ÓÓ Ò Þ Ë Ò ÓÝ ÖÙ Ý Å Ý ¾¼¼½ ØÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ô ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ô ¹ ØÝ Û Ø
ÇÒ¹ÐÒ ÙÐÒ ÓÒ ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ ËÐÝ ÙÒ Ý ÂÓĐÐ ÓÓ Ò Þ ËÒÓÝ ÖÙ Ý ÅÝ ¾¼¼½ ØÖØ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ Ò ÖØÖÞ Ý Ô ÓÖ ÓÔÙØÒ Ô¹ ØÝ ÛØ Ø ÒØÖÔÖØØÓÒ ØØ Ó ÜÙØÒ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÛØ Ô ÓÖ Ø Ø ÙÒØ ÓÔÐØ Øµ ÙÒØ Ó ÜÙØÓÒº Ì ÓÒ¹ÐÒ
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ Ò ½ ¼ ¹½ ½µ Ö Ø Ð Ö Ö Ó ÐÓ Öº ÇÔ Ò Ø Ö Ø ³Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒ³ Ó ÓÖ Ö Ð ÓÓÐ Ð Ö ÐÓ º
Ð ÓÖ ØÙÖ ÅØÑØ ¹ÓÒÓÑ Ó ËØØ Ø ½º ÖÒ ÒÖº ÑÖ ¼¼ ÙÙ ØÙ ÅÓÖÒ ½¼¹½½µ ÖØ ÐÖÖ Ó ÐÓÖº ÇÔÒØ ÖØ ³ÑØÑØ ÒÙØÓÒ³ Ó ÓÖÖ Ð ÓÓÐ ÐÖ ÐÓº ÁÒÓÐ Ì Ö ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÙÐÐÖ
Læs mereÀ Ö¹ÇÖ Öµ ÍÒ Ø ÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Å ÙÖ Ó Ý Ð ¹Ê Ò ÓÒ ÖÓÙÞ Ã Ñ Ö Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð À Ö ÓØ¹Ï ØØ ÍÒ Ú Ö
ÀÖ¹ÇÖÖµ ÍÒ ØÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐØ Ù ØØÙØÓÒ ÅÙÖÓ ÝйÊÒÓÒ ÖÓÙÞ ÃÑÖÒ ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÓÑÔÙØÖ Ò ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÍÒÚÖ Ö Ð ÀÖÓعÏØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ö Ð º º Ö Ð ÒÙÖ ËÓØÐÒ Á ÒÓÚÒ Ø ÆØÖÐÒ ÇØÓÖ ¾¼¼¼ Ìг ÈÐÒ ½º ÏØ ÀÇÍ ¾º ÀÇÍ Ò ÜÔÐØ Ù
Læs mereSystem AND3 R1 R2 R3 R4 R5
ÖÒÒ ÚÒ Ö ÖÔÖØÓÒ ÒÐÒÖ ØÐ ØÖÓÙÐ ÓÓØÒ ÓÑÒÖ Ñ Ò Ð Ó Ò ÒÐÒÖ System AND1 AND2 AND3 K1 K2 K3 K4 K5 H1 H2 H3 H4 H5 R1 R2 R3 R4 R5 ÖÙÔÔ ¹ Ì ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö Ú ¾¾¼ ÐÓÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÐÒÒ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereÈÓÖØÐÓÔØÑÖÒ ÓÖ Ò ÖÐÖØÐÒ ÃÓÙÖÓ ÅÖÒ Ê ÑÙ Ò ¾¾µ ½¾º ÑÖØ ¾¼¼ ÎÐÖ ÈÖÓº ÂÒ ÐÙ Ò ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖÒ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÓÖÓÖ ØØ ÑÒ ÔÖÓØ Ö ÙÖØ ÓÑ ÐÙØÒÒ Ô ÑÒ ÙÒÒÐ ÓÑ ÚÐÒÒÖ Ñ ÖØÒÒ ØÒÐ Ò ÒÚÒØ ÑØÑØ Ú ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ Øغ
Læs mereHomepage: Literature: Work environment: library(rcmdr) Why R: 1 R-language. 1.1 Data
Ê ¹ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ÇÐ Ú Ö Ã Ö ÑÔ ½ º ÂÙÐ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Â Ò ¹¼ Â Ò Ñ Ð ÓÐ Ú Ö Ö ÑÔº ½ ½ Homepage: http://www.kirchkamp.de/ Literature: Î Ò Ð ËÑ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ê Î ÖÞ Ò Ë ÑÔÐ Ê ÖÒ ÛÓÖØ ÓÒÓÑ ØÖ Ò
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÑ ÐÐ Ø ¹ ÒÐÓ Ò Ë Ö Ð À Ö¹È Ð ËÓ Ñ Å ÞÙÑ Ö Ý ÆÓÚ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø È Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ò
Ø ÐÓÖØÑ ÓÖ ÓÑÔÙØÒ Ø ËÑÐÐ Ø ¹ÒÐÓ Ò ËÖÐ ÀÖ¹ÈÐ ËÓÑ ÅÞÙÑÖ Ý ÆÓÚÑÖ ¼ ¾¼¼ ØÖØ Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÒÒ ÓÖ ÚÒ Ò ÔÓÒØ Ø È Ò Ø ÔÐÒ Ò Ò ÒØÖ Ò Ø ÑÐÐ Ø ÖÐ ÒÐÓ Ò Ø Ð Ø ÔÓÒØ Ó È º Ï ÔÖ ÒØ ÖÒÓÑÞ ÐÓÖØÑ ØØ ÓÑÔÙØ Ò Ç Òµ ÜÔØ
Læs mereÇÒ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä ÞÐ Ó ÖÑ Ò Ò ØØ Ð ÃÓÚ Ý ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ø Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø ÖÐ Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú
ÇÒ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ä ÞÐÓ ÖÑÒ Ò ØØÐ ÃÓÚ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÒÚ ØØ ÚÖÓÙ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ º ØÖ ÙÑÑÖÞÒ Ø ÖÐÖ Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ ØØ ÓÖ ÚÒ ÐØØ Ò ÜÔÒ Ú ÑØÖÜ Å Å µ ØÒ ØÖ ÐÛÝ Ü Ø ÙØÐ Ø Ø ÓÖ Û Å µ ÒÙÑÖ Ý ØѺ ÀÖ ÑÒ
Læs mereÖØ ÚÖÒ ØÓÖØ ÓÑ Ø Ò ÐÐÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÒØ ÒÚÒØ ÜÑÔÐÖº ÅÒ ØÖØÒÒ ÑØ ÓÖ ÐÐ ËÝÒ ÔÙÒØÖ Ö ÚÐ ÒØÓÔ Ø Ø Ò ØÖØ ÚÐ Ø Ú ÚÖØ ÓÖÙÒØ Ñ ÙÖÒÐ ÎÒ ÐÖ ÔÙÐØÚ Î Ø ÓÑÑ ØÐ Ò Ä ÒÒ ËÔ
ØÒÒÒ ÓÑ ÃÐÓ ØÖÖÒØÖ Ìº ƺ ÌÐ ¾º ÆÓÚÑÖ ½¾ Á Ø Å Ò ÙÙ Ø ºº ÚÐØ ÀÒ³ ÖØÓÒ ÓÖ ØÖØ Ñ ËÐ Ø ØÒ ÓÒ ÙÐÒØ ÀÖº ÈÖÓ ÓÖ Äº ÇÔÔÖÑÒÒ Ó ÃÑÑÖÙÒÖ ÈÖÑÖ¹ÄÙØÒÒØ ÖÒØ ÓÑ ÓÖ Ð ØÐÐÖ Ö Ø Ò ÖØ ÒÒ ÓÖ Ð ÓÑ Ø ÒÐ Ô Ø ØÒ ÓÖ ÖÐ Ö ÓÖ ÃÚÒÖ
Læs mereÄ Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ê ÙÖ Ú ÌÖ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖعÄÙ Û ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ĐÓØÞ ÇÐ Å
ÄÑØ ÌÓÖÑ ÓÖ ÙØÓÐ Ó ÊÙÖ Ú ÌÖ ÖØØÓ ÞÙÖ ÖÐÙ ÓØÓÖÖ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ù ÈÝ Ö ÐÖعÄÙÛ ¹ÍÚÖ ØĐØ ÖÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖÐØ ÚÓ ĐÓØÞ ÇÐ ÅÙ ÓÙ Ñ ÖÙÖ ¼¼ ÈÖÓº Öº ÃÝ ÃĐÓ Ñ ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÄÙÖ ÊĐÙ ÓÖ ÈÖÓº Öº ÊÐÔ ÆÖ ØÙÑ Ö ÑĐÙÐ ÈÖĐÙÙ
Læs mereÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼ ÊÓ Ð Ø ¾¾ ¼ ¾¼ Ñ ÑÙÖÙº Û ÑÙºÖÙº à ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ ÁÅÍ Ø Ø ÒÖº»¾¼¼ Ö Ò ¼½¼¹¾¾ Á ØØ ÔÖÓØ
ÌÃËÌ ÆÊ ¾¼¼ ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ Ã ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÌÃËÌÊ Ö ÁÅÍ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎÊËÁÌÌËÆÌÊ ÇÊ ËÌÍÁÌ ÅÌÅÌÁÃ Ç ËÁà ËÅÌ ÊË ÍÆÃÌÁÇÆÊ Á ÍÆÊÎÁËÆÁÆ ÇÊËÃÆÁÆ Ç ÆÎÆÄËÊ ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼
Læs mereÃÔØÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ ØÐ ÔÖ ÓÒÒ Ô Ò ØÐÐØ ÐØ Ò Ò ÒÚÒÐ Óѹ Ö ÚÐ ÛÓÖ Ø¹ ÔÖ ÓÒÒ ÓÑ Ö Í³ Ù Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ô 8 ÈÖ ÓÒÒ Ö ÖÓÖ ÚÐØ ØÐ Ø ÚÖ
ÁÒÓÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ¾ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖÓÐÑÖÒ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä ÒÒ ¾º½ ÎÐ
Læs mereÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÖÑ Ð ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑ Ö ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ù Á Ñ Ò ÂÓÙ Ó ÎĐ Đ ÒĐ Ò Ò ØÖ Ø ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ö Ò ÓÚ Ö Ð
ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÖÑÐ ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑÖ ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐÒ ÚÐÙ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ù ÁÑ Ò ÂÓÙÓ ÎĐĐÒĐÒÒ ØÖØ ÁÒ Ó¹ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÚÖÐ ÖÒ ÓÚÖ ÐÐ Ù Ø Ò ÖÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÒ Ò ÕÙ ØÓÒº ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÀÒÒ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ ÚÖÝ ÑÓÐ ÒÓÛ ÛØ Ø
Læs mereÐ ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ê ÛÖ Ø Ò Ö Ø ÉÙ Ö Í Ò Î Û Ë Ö Ó Ò ½ Ï ÖÒ Ö ÆÙØØ ¾ Ò Ð Ü Ò Ö Ë Ö Ö Ò ½ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ö Ò º Ù º º Ð ¾ ÖÑ
ÐÓÖØÑ ÓÖ ÊÛÖØÒ ÖØ ÉÙÖ Í Ò ÎÛ ËÖ ÓÒ ½ ÏÖÒÖ ÆÙØØ ¾ Ò ÐÜÒÖ ËÖÖÒ ½ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ Ì ÀÖÛ ÍÒÚÖ ØÝ ÂÖÙ ÐÑ Á ÖÐ ÖÒ ºÙººÐ ¾ ÖÑÒ Ê Ö ÒØÖ ÓÖ ÖØ Ð ÁÒØÐÐÒ ÃÁ ÑÀµ ½¾ ËÖÖĐÙÒ ÖÑÒÝ ÏÖÒÖºÆÙØغ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ ú ͺ ÄÙÚÒ ÀÚÖÐ
Læs mereMatematiklærerdag 2008
Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit
Læs mereÍÖ Ò ÚÖÒ ÒÐÝ ØÐ ÑÑÒÐÒÒ Ò Ø ØÒ ¾º ØÖ ÖÙÔÔÖ Ó ÓÒÐÙÖ Ù Ö ÒÒº ÓÖ ØÑØ Ó ÓÒÒ ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐÒ Ò Ø ¹ ÒÚ ÓÖ ÓÑÒйÔØÒØÖÒ ÓÖÓÐ ØÐ ÝÒÓÐÓ¹ ÚÖ Ö Ö ØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÚÖÒ ÒÐ
Ø ØØØ ÖºØÜØ Á ØØÔ»» غÔÙÐغٺ»ÐØ» м»ÑÑÓÔÚºØÑе Ò ÓÔÖÐ ÓÚÖ ÑÐÒÖ Ô ÔØÒØÖ Ö Ö ÒÒÑØ Ò Ò ØÝÔÖ ÓÔÖØÓÒÖ µ ÒÖØ Ú Ö Ú ÓÔÐÝ ÒÒ ÓÑ ÔÖ ÓÒÒ ÐÖ Ö ÐÖµ ÑØ ÐÒÒ ÀÖÙÓÚÖ Ò Ø Ò Òصº Ò Ö Ö Ø Ø ÙÒÖ ÚÓÖÒ ÐÒÒ Ò Ø Ò ÒÖ Î Ó ÓÔÖØÓÒ
Læs mereÇÒ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý Ø Ñ Ë ÑÓÒ ÐÓ ÖÓ ² Ö Ö Ê Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ËØÖÙ Ð Ó ½¼ ¼ Î ÒÒ Ù ØÖ ØÖ Ø Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý
ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ ËÑÓÒ ÐÓÖÓ ² ÖÖ ÊÒ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ËØÖÙÐÓ ½ ÎÒÒ Ù ØÖ ØÖØ Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ Ö Ø ÝÒÑ Ó Ð¹ÖÚع ØÒ Ò ÑÐ Ó ÓÐÐ ÓÒÐ ÔÖØÐ Ò Ø ÖÑÛÓÖ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓÑ ÐÖ ØÓÖÝ
Læs mereÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹ ÓÖÑÙÐÖØ ÓÑ Ò ÝÒÑ ÐÒÖ ÑÓÐ Ö ØÒ Ï ÆÐ Ò ØØÒ ÖÚÖ Ö ÂÙÒ ¾¼¼¾ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø ÒÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹
Læs mereÅ¹Ã Ò Ú Ò Ë ÑÔÐ Ö ÐÔ Ø¹ÁÒ Ô Ò ÒØ Å¹ÁÒ Ü Ê Ð ÈÖÞÝÛ Ö ½ ËÞÝÑÓÒ Ö ÓÛ ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ð Ò ÖÓ Ë Ð Ò Ö ½ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ôغ Ì º ÍÒ Úº Ó Ä Ó Þ ÈÓÐ Ò º
Å¹Ã Ò ÚÒ ËÑÔÐÖ ÐÔعÁÒÔÒÒØ Å¹ÁÒÜ ÊÐ ÈÖÞÝÛÖ ½ ËÞÝÑÓÒ ÖÓÛ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò ÐÒÖÓ ËÐÒÖ ½ ÓÑÔÙØÖ ÒÒÖÒ Ôغ ̺ ÍÒÚº Ó ÄÓÞ ÈÓÐÒº ¾ Ôغ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚº Ó Ð Ðº Ú Êº ÖØÓÒ ËÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÏØÖÐÓÓ Òº ØÖغ
Læs mere½ ËÐ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÇÐ Ú Ö Ä ÙÖ ÒØ ÁÅĹ ÆÊË Å Ö ÐÐ ÇÐ Ú ÖºÄ ÙÖ ÒØÔÔ º Ù Ùº Ö ÄÓÖ ÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖ ÙÒ ÖÓÑ º Ø ØÖ Ø ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓ
½ ËÐÒ ÔÓÐÖÞ ØÚ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ÇÐÚÖ ÄÙÖÒØ ÁÅĹÆÊË ÅÖ ÐÐ ÇÐÚÖºÄÙÖÒØÔÔ ºÙ ÙºÖ ÄÓÖÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖÙÒÖÓÑ ºØ ØÖØ ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÓÑÔÙØÒ ÛØ Ø ØÚ Û ÒØÖÓÙ ÒÓØÓÒ Ó Ð ÔÖÓÓ¹ÒØ ÓÖ Ø ÔÓÐÖÞ ÖÑÒØ Ó ÐÒÖ ÐÓº Ï ÔÖÓÚ
Læs mereÄ Ð Ö Ô Ò ÝÒ Ñ Ä Ò Å Ø Ò ÓÖ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ò ÐÝ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ È Ý ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙ Ö¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ó ÙÑ ÚÓ
ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ ÒÐÝ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö Ò ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ò Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÈÝ ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÓÙÑ ÚÓÖÐØ ÚÓÒ ÄÙÖÒÞ Ï ÓØØ ÂÙÐ ½ ÈÙÐ Ï ÓØØ Äº ½µº ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereÓÖ Ò ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ Ô À Ò ÖÙ Ò ÍÒ Úº Ó Ð Ø Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ö Ö Ã ÐÐ Ö ÍÒ Úº Ó ÖÐ Ò Ò Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒ Úº Ó Ï Ö Û ÈÓÐ Ò Ë Ø Ò Ú Ò ËØÖ Ò ÍÒ Úº Ó Ñ
ÓÖÒ ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒÑÐ Ý ØÑ ÓÒ ÑÔ ÀÒ ÖÙÒ ÍÒÚº Ó ÐØ Ø ÆØÖÐÒ ÖÖ ÃÐÐÖ ÍÒÚº Ó ÖÐÒÒ Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒÚº Ó ÏÖ Û ÈÓÐÒ Ë ØÒ ÚÒ ËØÖÒ ÍÒÚº Ó Ñ ØÖÑ Ø ÆØÖÐÒ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÐÐ ÓÛ ØØ ØÖ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒÑÓÐ ÑÔ ¼ ¼ Û ÒÓÒ¹ÖÒÓÖÑÐÞÐ
Læs mereÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ Ò ÇÔÐ ØÐ ËÒØÐ ½½ ÐÙ
ËØÖØ ÊÙÐÖ ÖÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ËÔÐ ØÖÖØ ¼¼½ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ
Læs mereINSTITUT FÜR INFORMATIK
INSTITUT FÜR INFORMATIK ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ ÈØÙÖ ÄÒÙ ÇÐÚÖ ÅØÞ ÖØ ÆÖº ¼¼ ÖÙÖÝ ½ ¾¼¼ CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT KIEL ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÁÒÓÖÑØ Ö Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ ÇÐ Ù Ò ØÖº ¼ ß ¾¼ ÃÐ ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ
Læs mereÅ ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ð Ó ÖÓ Å Ò ÂÒÙÖ ¾¼¼¾ Ð ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø Ø ØÒ ¹ÒØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÌÁÌÄ Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ó ÖÓ Å Ò ÎÂÄÊ ËÖÒ ÄÙÒÝ¹Ö ØÒ Ò ÌÓÑ Ë ÈÊÁÇ ½º ÔØÑÖ
Læs mereÁÌ ÎÓÐ ÆÓ ÔÔ ß ¹»»¹ ËÛØ ² ØÐÒÖ ÏÝ Ê ØÖØ ØÚ ËÛÖÞ ÓÒÚÖ ØÖ ØÒ ØÚ ËÛÖÞ ÎÊÁÁÃÁ ËÌÌÀÁÇÍ Ò ÅÊÌÁÆ Â ÆÊ ØÖØ ÔÖØÒØ Ó ÅØØ Ò ËØØ Ø ÅÐÐ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÓÒØÖÐ É Ò À à РØØÓÙØÐÐ ÒÖØÐÐ ÊÒØÐÝ ÚÖÒØ Ó Ø ØÚ ËÛÖÞ Ëµ ÔÖÓÒØÓÒÖ Ø Ö
Læs mereÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁÄ ËÁÆË ÄÇÊ ÍÆÁÎÊËÁÌ ÊÊÁà ÂÊË Î ÈÓÒ Ã¹ ÄÇÊ ÌÐÜ ½ ½ ÆÅÊà ÌØÐ ËÙØØÐ ÌÑ ÈÖÓØ ÔÖÓ ÇÒ Ø ÚÓÒ ÃÖÑÒ ÕÙØÓÒ ÁÒØйÓÙÒÖÝ ÎÐÙ ÈÖÓÐÑ Ò ËØÐÞØÓÒ ÔÔÐ ÅØÑØÐ ÒÐÝ ÖÙÖÝ Ø ¹ ÂÙÒ ½Ø ÙØÓÖ ÀÒÖ Î Ö ØÒ Ò ÖÒ ÈÖ Ò ËÙÔÖÚ
Læs mereÖ Ñ Ø Ë Ò Ê ÓÒ Ö ÁÐ Ò Î Ö ÓÒØ ÒØ ½ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ½¾ È Ý Ð ÙÑÔØ ÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÑ Ø ËÒ ÊÓÒÖ ÁÐÒ ÎÖ ÓÒØÒØ ½ ÌÖÒ ÐØÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓÐÑ ½¾ ÈÝ Ð ÙÑÔØÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÖØ ÖÓÙÒ º º º º º º º
Læs mereÚÒÖØ ÃÖ Ý ØÑ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÍÖØ ÈÖÓØÖÙÔÔ ¹ ¹¼ ÐØÖÓÒ ¹ ÐØÖÓØÒ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Í ¾¼ º ¾¼¼ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÐØÖÓÒ ËÝ ØÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÌÁÌÄ ÚÒÖØ Ö Ý ØÑ ÌÅ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÈÊÇÂÃÌÈÊÁÇ ¾º Ô ¾¼¼ ¹ ¾¼º ¾¼¼ ÊÍÈÈ
Læs mereÀ ÐÝ ÙÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÒÚ ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÎ ÁÚ Ò ËÐ ÔÒ Ö Ý Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ä Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Ø Â Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ò Â ¾
ÀÐÝ ÙÖØ ËÝÑÑØÖÒÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÀÝÔÖÓÐ ËÎ ÁÚÒ ËÐÔÒÖ Ý ÙÙ Ø ¼ ¼¼ ØÖØ ÄØ Ñ Ò ÖÐ ÑØÖÜ ÛØÙÐÐ ÓÐÙÑÒ ÖÒÒ ÐØ Â Ò Ò ÓÒÐ ÑØÖÜ Ó Ò Â º ÌÝÔÖÓÐ ÒÙÐÖ ÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ ÀËε Ó Ø ÔÖ Âµ Ò Í Î Í ÓÖØÓÓÒÐ ÔÓ ØÚ ÒØÓÒÐ Ò Î Â¹ÓÖØÓÓÒÐ
Læs mereÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÃºÅºÂº ÓÒØÖ Ö ºÎº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Ý ÅºÅº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Þ º ºÂº ÀÙÖ Ò Ü ÂºÃº Ä Ò ØÖ Üß Êº Ê Ú Äº ËØÓÙ Ü Å Ö ¾¼¼ ØÖ
ÔÔÖÓÜÑÓÒ ÐÓÖÑ ÓÖ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ ÃÅÂ ÓÒÖÖ Î ÀÐÐÓÖ ÓÒ Ý ÅÅ ÀÐÐÓÖ ÓÒ Þ Â ÀÙÖÒ Ü ÂÃ ÄÒ Ö Üß Ê ÊÚ Ä ËÓÙ Ü ÅÖ ¼¼ Ö ÁÒ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ Ó Ñ Ñ ÚÒ ÓÖ Û ÓÐÐÓÒ Ó Ù ÐÐ ÑÐÐ ÙÓÐÐÓÒ Ó Ó Ð Ù ÓÖ ÔÖ Ó Ñ Ö Ò ÐÓÒ ÓÒÒ ÜÐÝ ÓÒ Ó ÛÓ Ñ Á
Læs mereAEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN
AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN 10. SEMESTER MORTEN GROTKJÆR HANSEN ÅÓÖØÒ ÖÓØÖ ÀÒ Ò ¾ ØØ
Læs mere(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L
ÅØÑØ ÓÖÒÒ Ö ØÖØÓÒ ÓÖ Ø ÓÐ ÓÑÑÖ ÓÐ Ó Ö Ö Ò ÓÖ Ö Ø Ò ØÐ Ù ÃÒÚÒ Ô Àº ÓÑÑÖ ÓÐÒ ËÖÒ ÐÖ ÃÍ ËÝÑÓÐ ÝÒÑ ÖÒ ÌÓØ ËÍ ÍÐ Ø ÓÑÒØÓÖ ÔÖÓÐÑÖ ÒÚÒÖ ØÐ ÑØÑØ ØÙÖÒ Ò Ø ÐÚÐ ËÓÑÑÖ ÓÐÒ ØÙÙѺ Ⱥº¹ ØÙÖÒ Ö Ó ÑØ ÚÐÓÑÒº Ö Ö Ø ÐØÖÝÖ
Læs mereÒØÒÒ Ù ÒÙÑ Ó Ò ÖÑÒØÙÖÒÒÖ Ó ÝÒÒ Ò ÒÒ Ó Ò ØØÖÙ Ô ÃÒØ ËÐÐÒ Ø ËÐÐ ÊØØÖ Ó ÏÒØÖÐ Ù ÚÖÙÐ Ö ÙÑÝÒÖ Ò Ó Ú Ò ØÖ ÐÐØ ØÐ ÚÐÓ º Ö Ø ØØ ÑÐÐ ÚÐÐÖ Ò Ò ÒÒ ÚÖ ÙÑÝÒÖÙÖ Ó
ÊÔÔ Ò Ö Ø ÒÖ Àº ÙÑÙÒ ÓÒ ÊÙÒÚ Ò ØÓÒÙÒ À ÐÒ ÁÒÒÒÙÖ ÀÙ Ø ÓÑ Ø ÃÙÔÑÒÒÒ Ò ÆØÙÖÐÖÒ ÑÒ Ð ØÖ Àº º Ö Ø Ó ÚÖ Ò ØÐÙ ØÐ ÒÒ ÐÙ Ð Ö Ú ÀÒÖ Ð Ó ÐÖ Ð Ò¹ ÑÖÙº ÀÒ ÚÖ Ó ÒÓØÙ Ñ Ð Ð Öº Ò ÒØÙÖ ÒÖÑØ ÖÖÖ Ö ØÙ ÚÖ ÝÖ Ø ÒÒ ÐÙÒ Ð
Læs mereÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ ÒÒ ÓÖ ÒÓÖÑØ Ó ÅØÑØ ÅÓÐÐÖÒ Åŵ
ÒÐÝ ËØØ Ø ÖÓÔ Ð ÖØÔØÒØÖ ÔÓØÒØÐ ¾¼¼ ÄÆ ÃËÅÆËÈÊÇÂÃÌ ÅÅ ÂÓ ÈÖ Ò Æʺ ½¼»¼ ÌÖÝØ ÅÅ ÌÍ ÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ
Læs mereÊ ÓÒ¹ ÅÓ Ð ØÖ Ø ÓÒ Â Ö ÑÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø º Ö Ð Ýº Ù Â Ñ Êº Ä ÖÙ Ð ÖÙ Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Â Ó Ê Ó Ö Ó Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Ù Ù Ø ¾¼¼ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖ Ö Ñ Ãº Ê Ñ
ÊÓÒ¹ ÅÓÐ ØÖØÓÒ ÂÖÑÝ ÓÒØ ÓÒØ ºÖÐݺ٠ÂÑ Êº ÄÖÙ ÐÖÙ ÑÖÓ ÓغÓÑ ÂÓ ÊÓ ÖÓÑÖÓ ÓغÓÑ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖÖÑ Ãº ÊÑÒ ÖÖÑÑÖÓ ÓغÓÑ ÅÖÓ ÓØ Ê Ö ÅÖÓ ÓØ ÓÖÔÓÖØÓÒ ÇÒ ÅÖÓ ÓØ ÏÝ ÊÑÓÒ Ï ¼¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ ÖºÑÖÓ
Læs mereà ÊÆ Ä Ê Å ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈ Ê ÌÇÊË Î ÁÌ ËÄ Î Î Ë Ä ØÖ Øº Ó Ö Ñ ÜÔ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ð À Ð ÖØ Ô Ö ÜÔÐ Ò Ò ÓÒØ ÜØ Û Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ò Û ÓÑ ØÖ Ô¹ Ô
ÃÊÆÄ ÊÅ ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈÊÌÇÊË ÎÁÌËÄÎ ÎËÄ ØÖغ Ó ÖÑ ÜÔÒ ÓÒ Ò ÔÖÐ ÀÐÖØ Ô Ö ÜÔÐÒ Ò ÓÒØÜØ ÛØ Ø ØÓÖÝ Ó Ô ÙÓÒÚÖ ÓÔÖØÓÖ º ÒÛ ÓÑØÖ Ô¹ ÔÖÓ ÓÙØÐÒ ÓÒÒØÒ ÓØ Ö º Ò ØÖØÚ Öѹ ÔÖÓÙÖ Ù Ø Û Ò ØÓ ÚÒ ÙÒØÓÒ ÒØ ÖÑ ÓÖ Ê Þ ÓÖ Ø ÜÔÒ
Læs mereÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼
ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ² ÃÑ Ò ÓÖÒ ÇÔÐ ËÒØÐ ½½ ½º ÙÚ ¾¼¼ ÌÖÝ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ØØ Ò ÔÖÓØ Ö ÙÖØ Ú ÐÓÖ ÍÒÚÖ
Læs mere