JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "JOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM"

Transkript

1 ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM

2 ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ

3 ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ò ÁÅŵ Ò¹ Ñ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ì͵º ÈÖÓ Ø Ø Ò Ö ÓÑ Ò ÐÙØØ Ò ÓÔ Ú ÓÖ Ò Ð Ñ ØÙ Ø Ø Ð Ú Ð Ò Ò Öº Î Ð Ö Ô ÔÖÓ Ø Ø Ö ÚÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Â Ò Ð Ù Òº ÄÝÒ Ý º ÙÒ ¾¼¼¾ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø

4 Ú

5 Ú ØÖ Ø Ì Ø ÒÚ Ø Ø Ø Ó ¹ ÓÔ ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÑÔ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ö ÐÛ Ý ÙÐ Ò º ÌÛÓ Ö ÒØ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ö Ü Ñ Ò Ñ Ô Ò Ò ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò º Ö ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÖ Ø Ö ÔÔÐ ÒÐÙ Ò Ö Ò ² ÓÙÒ Û Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ö Ò Ò ØÖ Ø Ò Ø Ë Ø Ò ÓØØÐ Ò ÙÖ Ø º ÅÓ Ø Ñ Ø Ó Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ö ÒØ Ú Ö ÒØ ÓÖ Ø ØÛÓ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ º È Ö ÓÖÑ Ò Ñ ÙÖ Û Ø Ö ÒØ Ø Ø Ò Ø Ò ÖÓÑ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÓÙÒ Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖ ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò Ú ÐÓÔ Ò ÒÚ Ø ¹ Ø º Ð Ó ØÛÓ Ö ÒØ ÓÙÒ Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ñ Ô Ò Ö Ü Ñ Ò º ÐÓ Ð Ö ÙÖ Ø Ù ØÓ Ò Ø Ø Ö ÓÙÒ Ò Ø ÑÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ö Ò ÐÐݺ ÓÖ Ö Ò ² ÓÙÒ Ò Û ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÓÒ Ù Ø ÓÖ ÔÖÙÒ Ò Ø Ö ØÖ º Ï Ø Ò Ö Ð Ó ¹ ÓÔ Ò Ø Ò Ø Ó ÒÓØ Ð ØÓ ÒÖ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÙØ ÓÖ ØÖ Ò ÙÐ Ò Ò Ø Ò Ø Ö ÙÐØ ÐÓÓ ÔÖÓÑ Ò º à ÝÛÓÖ Ó ÓÔ ÙÐ Ò Ò Ð ØÖ Ö ÐÛ Ý ÙÐ Ò ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò Ñ Ô Ò Ö Ò Ò ÓÙÒ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÓØØÐ Ò

6 Ú

7 Ú ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒ Ð Ò Ò ½ ½º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÇÚ Ö Ø ÓÚ Ö Ö ÔÔÓÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ÙÐ Ö Ò ¾º½ ÇÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ò Ý Ö Ñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾ Ê ÙÐØ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò º½ Ò Ö Ð ÂËË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ÑÔ Ð ÂËË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ º º º º º º º ½ º º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º à ÒØÐÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ò ÙÒ Ø Ú Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º ½

8 Ú ÁÒ ÓÐ º Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÀÓÚ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ö Ò Ò ÓÚ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÑÔÐ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ø Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º¾ Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË ¾ º½ ÒØع Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÖÒ Ò Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÖÐ Ò Ö Ú ËÌÊË º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö ¾ º½ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ ÃÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º¾ à ÒØ Ò ØØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ö Ò Ò Ú ÒØ Ò ØØ Ð º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ò Ø ÓÒ ÒÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ö Ò Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÒÚ Ò Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º¾º ÓÑ Ò Ò Ú ÓÖ ÐÐ ÒÙØ Ö º º º º º º º º º º º º ÓÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Å Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½

9 ÁÒ ÓÐ Ü º Ë Ø Ò ÓØØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÖ ÐÔÖÓ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º Ä Ò Ò ÐÔÖÓ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ê ÓÔØ Ñ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÄÓ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÙÐØ Ø Ö º½ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ú Ð Ò Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ø Ò Ø Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö ÐØ ÓÑ Ö ÙÐØ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ô Ø ¹Ö Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÀÙ ÓÑÑ Ð ÓÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ÑÑ ÒÐ Ò Ò Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ö º º º º º º º º º ÄÓ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½¼ Ä Ò Ò À Ò ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ Ë Ø Ò ÓØØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¾ Ä Ò Ò Ú º ÈÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÇÔ ÙÑÑ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ ½½ ÃÓÒ ÐÙ ÓÒ ½½ Ä ØØ Ö ØÙÖ ½¾½ ËÝÑ ÓÐÐ Ø ½¾

10 Ü ÁÒ ÓÐ

11 ½ Ã Ô Ø Ð ½ ÁÒ Ð Ò Ò ÂÓ ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ Òº Á ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ØÖ Ø Ò ÓÒ Ö Ø ÒÚ Ò Ð ÔÐ ÒÐ Ò Ò ØÓ Ò Ô Ø ÖÒ Ò Ò Ø Ñ ÖÒ Ø Ô Ø Øº ½º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ù Ò ÔÙÒ Ø Ð ÇÐ Ú Ö Ó Ö Ö Åº ËÑ Ø ÀÝ Ö ÓÒ¹ ØÖ Òع Å Ø Ó ÓÖ Ø Ë Ò Ð ¹ÌÖ Ê ÐÛ ÝË ÙÐ Ò ½ Ò Ö Ú Ø ÙÒ Ö ÓÖ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ú Ð Ø ÓÑ ÙÖ Ø ÓÖ Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Øº Î Ò Ö Ù Ò Ø ØÖ Ø Ò ÒÚ Ò Ð Ö Ò ÑÐ ØÓ ÙÐ Ö Ò º ËÖÐ Ø Ò Ö Ú Ø ÙÒ Ö Ó Úغ ÓÖ Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò ÓÑØ ÐØ ÖØ Ð Òº ½º¾ ÇÚ Ö Ø ÓÚ Ö Ö ÔÔÓÖØ Ò Á Ô Ø Ð ¾ Ò Ö ØÓ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÓÚ ÒÒÚÒØ ÖØ Ð Ù¹ Ø Ö º Á Ô Ø Ð Ò Ö Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÒØÖ Ð Ø ÖÖ Ð Ö Ó Ö Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ó Ô Ø Ð ÓÖÑÙÐ Ö ØÓ ÙÐ ¹ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ Ø Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº

12 ¾ Ã Ô Ø Ð ½º ÁÒ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÓÑØ Ð Ö ÓÖ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö ØÓ Ñ ØÓ Ö Ø Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÑØ Ò ÙÖ Ø º Á ÓÖ Ò Ð ÖÑ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÒÝ ÓÙÒ Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÑØ ØÒÝØ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ð Ö Ò ØÖ Øº Á Ô Ø Ð ÔÖ ÒØ Ö ÓÔÒ Ö Ò Ò Ñ Ö ÙÐØ Ø Öº ËÓÑ Ø Ø¹ Ø ÒÝØØ Ðº º Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ö Ð ØØ Ö ØÙÖ Òº Ò Ð ÓÒ ÐÙ Ö Ô Ø Ð Ú Ö Ö ÓÔÒ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ØØ ÔÖÓ Øº Á Ô Ø Ð ÒØÖÓ Ù Ö Ò Ð ÝÑ ÓÐ Ö Ó Ú Ö Ð Ò ÚÒ Ö ÒÝØØ Ö Ø Ò Ö ÔÔÓÖØ Òº ÓÖ ÓÚ Ö Ù Ð Ò ÝÐ Ò Ð Ò ÓÚ Ö Ø ÓÚ Ö º Ø ÓÖÙ ØØ Ø Ð Ö Ò Ö Ò Ø Ñ ÖÙÒ Ð Ò Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÖÙÒ Ö ÖÐ Ø Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÑØ ÒÝØØ Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ò ÓÛÒ¹ ÐÓ Ö ØØÔ»» Ö Ø Ò Ñ Øº» ÔÖÓ º

13 Ã Ô Ø Ð ¾ ÌÓ ÙÐ Ö Ò ÌÓ ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò Ñ Ø Ò Ö ÐÐ ÓÖÑ Ø Ð Ò Ö ÔÐ Ò ÓÖ Ø ÒØ Ð ØÓ Ö Ö Ö Ô ÑÑ ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò º  ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò Ò ØÖ Ù ÐÙ Ò Ò ÐØ ÔÓÖ ÓÑ Ø ÑÔ ÐÚ Ò Ö ÐÓ Ð ¹ Ò Ö Ó Ò Ö Ñ Ò Ö ØÖ Ö ØÖ Ò Ò Ö Ú º Ø ØÓ ÙÒ Ò Ô Ö Ò Ò Ò ÖÐ Ø Öº Ø Ö Ú Ð Ø Ð Ò Ð Ú ÓÑØ ÐØ ÓÑ Ú ÔÓÖº Ç Ø Ú Ð Ú ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ð Ñ Ò Ø Ø ÓÒº Î Ö ÔÐ Ò ÓÖ Ø Ò Ò Ú Ð ÚÓÖ Ú ÖØ ØÓ Ð Ò Ô Ø Ú ÖØ Ú Ø Ø ÔÙÒ Ø ÖÙÒ Ö Ú Ú Ð Ú ÔÓÖ ØÓ Ò Ð Ô Ö Ò Ò Òº ÒÒ ÔÐ ÒÐ Ò Ò Ö Ô ÓÖ Ò ÓÑ Ö Ð ÐÒ Ö Ö Ø ØÓ Ò º Ö Ö Ð Ø Ð ÓÑ Ö ÐØ ÔÐ ÒÐ Ò Ò ÓÑ Ø Ñ¹ Ô ÐÚ Ö Ø ÒØÖ ÐØ ÓÒØÖÓÐ ÒØ Ö ÓÖ Ø ÖÒ Ò Ò Ø ÚÓÖ Ñ Ò Ð Ò Ð Ö Ö Ø Ò Ó Ð Ö ÙØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÔ Ø Ø ÓÑ Ð ÓÖ Ò Ð Öº Ò ÖÐ ÔÐ Ò ØÓ ÙÐ Ö Ò Ð Ò Ð ¹ØÖ Ö ÐÛ Ý ÙÐ Ò ËÌÊ˵º À Ö ÒØ Ø ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò Ò ÓÖØ Ø Ö Ú ÔÓÖ Ö Ù ÓÖ¹ Ö Ò Øº Á ÒÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÒØ Ø Ø ØÖ Ò Ò Ò Ö ÓÔ ÐØ Ø ÒØ Ð ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Ö Ö Ö ÐØ ØÓÔ Ò Ð Öº ÀÚÓÖ ØÓ ÔÓÖ Ñ ÒØ Ö Ø Ö ÑÑ Ò Ò Ø Ú ÔÓÖº À Ö Ò ØÓ ÑÓ Ö Ò ØÓ Ô Ö Ò Ò Ò Ú Ø Ø Ò ÓÐ Ö Ò Ô Ú ÔÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ö ÓÖ º ÒØ ÐÐ Ø Ó ÔÐ Ö Ò Ò Ò Ð Ö Ó Ú ÔÓÖ Ø ÓÖ Ú Øº ÓÖ Ø ÙÒ ÓÐÐ ÓÒ Ö Ñ Ö ÙÒ Ò Ø ØÓ Ò Ò Ô Ú ÖØ

14 Ã Ô Ø Ð ¾º ÌÓ ÙÐ Ö Ò Ú ÔÓÖ Ñ ÒØ ½ Ñ ÒØ ¾ ÙÖ ¾º½ ÌÓ ÑÓ Ö Ò ØÓ Ú Ú ÔÓÖº ÔÓÖ Ñ Òغ Ò ÓÑÑ Ö Ø ØÓ Ð Ø Ð Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÓÔØ Ø Ñ Ø ÓÐ ÓÖ Ö Ø Ó Ú ÒØ Ò Ø Ð Ö Ö Ö Ò º Á ÙÖ ¾º½ ØÓ ØÓ Ö ÓÑÑ Ö Ö Ò Ú Ö Ø ÔÓÖ Ñ Òغ ÓÖ Ø Ô Ö Ò Ò Ò Ñ Ø Ò ØÓ Ö Ò Ô Ú ÔÓÖ Ø Ó Ú ÒØ Ø Ð Ø Ò Ø Ö ÖØ ÓÖ º ¾º½ ÇÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ËÓÑ ÒÚÒØ Ø Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ù Ò ÔÙÒ Ø Ð ÇÐ Ú Ö Ò Ö¹ Ö Åº ËÑ Ø ÀÝ Ö ÓÒ ØÖ Òع Å Ø Ó ÓÖ Ø Ë Ò Ð ¹ÌÖ Ê ÐÛ Ý Ë ÙÐ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ½ º À Ö Ð Ö Ò Ù Ý Ò Ò Ó Ù ÓÒ ÖØ Ð Ò Ö Ðº º Ö Ö Ø Ô ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ Ò Ò ÖØ Ð Ò ÓÖ ØØ Ö Ð ÇÐ Ú Ö Ö Ó Ö ÚÖ Ø Ú ÒÐ Ø Ø ÐÐ ÒÝØØ Ø Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ö º ¾º½º½ Ò Ý Ö Ñ ØÓ Á ÖØ Ð Ò Ö Ú Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ó ÐÓ Ð Ò Ò º Ö Ú Ð Ò Ñ Ô ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ñ ØÓ Ö Ö ÐØ Ð Ö Ö Ð Ö Ò ÓÖØ ÒÒ Ñ Ò º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ý Ø ÓÔ ÓÑ Ò ÐÑ Ò Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò º ÆÖ Ò Ò Ò ÒÖ Ø Ð ØÖ Ø Ó Ð Ö ÙÒ Ø Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ú ÒÒ Ð Ò Ò Ú Ö Ø Ð Ò ÐÓ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ º

15 ¾º½ ÇÑØ Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÀÚ Ø ÐÝ ÐÓ Ð Ò Ò Ò Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÒÝØØ Ð Ò Ò ¹ ÚÖ Ò Ö ÓÑ ÒÝ ÚÖ ÖÒ º Ë ÐÚ Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ò Ú Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò Ó Ð Ö Ò ÐÚ Ð Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÖÙ ÐØ Ø Ð Ø ÓÑÑ ÖÙÒ Ø Ð Ò Ò ÖÙÑÑ Ø Ó ÐÓ Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ø Ð Ø ÙÒ Ö Ò ÓÐ Ø ÓÑ Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò Ò Ò Öº ËÓÑ Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò Ò Ú Ò ÒÙ ØÖ Ø ÖÙ Ø Ð ÝÒ Ð Ò ÐÓØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ØÙ ÐÐ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò º ¾º½º¾ Ê ÙÐØ Ø Ö Á ÖØ Ð Ò Ò Ø ¾ ÓÑØ Ð Ö Ý ÖÐ Ö ØÝÔ Ö ÑÙÐ Ø Ò Ð Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ò ÖÙÒ Ö Ø ØÓ ØÓ ÐØ Ð ÓÐ Ò Ú Ò Ø Ò ÑÔ ÐÚ Ú ØÖ Ò ÔÓÖØ ÖÐ Ø Ó Ó Ø Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ò ÚÖ ÐÓ Ö Ø Ò Ô Ö Ó ÓÖ ÑÔ Ð ÓÖ Ò Ð Ñ Ú Ð ÓÐ Ð º Ø Ö Ó Ö Ú Ø Ú Ð Ñ ØÓ Ö Ö Ö ÒÝØØ Ø ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ò Ð Ö Ö ÓÔ ÝРغ Ö Ö Ø Ð ÝÒ Ð Ò ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ø Ø Ò¹ Ð Ö ÒÒ ÖØ ÓÖ Ò Ð Ñ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ð Öº Ä Ð Ò Ö Ø Ø Ö Ò ÓÖÙ ØÒ Ò Ø Ö Ö Ú ÔÓÖ Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ ÔÓÖ Ñ ÒØ Ö Ò ÓÖÙ ØÒ Ò ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ØØ ÓÑØ Ð Ò Ø º¾µ ½ º ÒÒ Ú ÑÑ ÓÖÙ ØÒ Ò Ö Ó Ð Ò Ò Ø Ò Ö Ö Ö ÖÙ Ø Ø Ð Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ð Öº ½ ÑÖ Ø Ø Ú Ö Ø Ú Ú Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓØ Ø Ð Ò Ó Ñ ÒØ Ö Ö Ö ÐØ Ú ÔÓÖ ÑÑ Òº ÂÓ Ö Ñ ÒØ Ö Ò Ú Ò ØÖ Ò Ò Ö ÓÔ ÐØ Ó ÙÖØ Ö Ò ØÓ ØÓ ÑÑ Ö ØÒ Ò Ò ÑÐ Ô Ö ØÖ Ò Ò Ò Ø Ø Ø ØÓ Ð Ú ÒØ Ô Ø Ø ÓÖÖ Ø Ö ÓÖÐ Ø Ð ØÖ Ò Ò Ò Ñ Ò ÙÒ Ø Ø Ð Ø Ò Ñ Òغ

16 Ã Ô Ø Ð ¾º ÌÓ ÙÐ Ö Ò

17 Ã Ô Ø Ð ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÂÓ ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÂË˵ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ¹ ÐÝ Ò Ö Ö ÚÖ Ø Ò Ø Ò ÓÖ Ñ Ò ÓÔÑÖ ÓÑ º Ø ØÖ Ø ÓÑ Ø ÚÖ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ó ÐÚ Ø Ð ÝÒ Ð Ò ÑÔÐ Ò Ø Ò Ö Ú Ö ÙÑÙÐ Ø Ð Ø Ð ÓÔØ Ñ Ð Ø Øº À ÐÐ Ö Ñ ÙÖ Ø Ð Ò Ò Ñ ¹ ØÓ Ö Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ò Ð Ò Ò Ö ÑÑ Ú Ð Ø Ø ÓÑ Ñ Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Öº Ç Ø Ú Ð Ø Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ò ÚÖ Ñ Ö Ø Ú Ò ÙÖ Ø º Á Ø Ð Ò Ò Ö ÂËË Ó Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ö Ö Ö ÒÚ Ò Ø Ö Ú Ð Ò Ð Ò Ò Ñ ØÓ ÖÒ Ô Ø Ð º º½ Ò Ö Ð ÂËË Á Ò Ñ Ø Ò Ö ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ØÖ ÂËË Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ð Ò Ò Ø ÒØ Ð Ó Ô Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ñ Ò ÖÒ Ô Ø Øº ÂÓ Ò ÓÔ ØØ ÓÑ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ö ØÖ Ò Ö ÐÓÔ Ú Öº Ò Ñ Ò Ù Ö Ò Ö ÓÙÖ Ö Ð ÚÖ Ø Ð Ö Ô Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ

18 Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ù Ö Ð Ò Ò Ú Ò Ò ÐØÓÔ Ú º ÈÖÓ Ð Ñ Ø ØÖ Ð Ø ÔÐ ÒÐ ÐÓÔ Ú ÖÒ ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ö ÓÙÖ ÖÒ Ø Ð Ò Ð º Å Ò ØÙ Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ö Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ô ÒÒ Ñ º Ø ¹ ÑÔ Ð Ö Ø ÙØ ØÓÖÚ ÚÓÖ Ø ÒØ Ð ÙÒ Ö ÓÑÑ Ö ÓÖ Ø Ò Ð º ÀÚ Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ö Ò Ö Ö Ð Ò ÑÔ ÐÚ Ö Ø Ø Ò Ò Ú ÙØÓÑ Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ö ÒØ Ò Ð Ö Ò Ó Ð Ø Ö Ò Ú Ð Ö¹ Ð Ö Ð º ÀÚ Ö ÙÒ Ú Ö Ö Ø Ð Ø Ó Ó Ú ÖØ Ö Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÐÓÔ Ú º Ê ÓÙÖ ÖÒ Ù Ö Ò ÙØÓÑ Ø Ò ÑØ Ô ÒØ ÖÒ ÓÖÖ ØÒ Ò ÖÒ Ö Ú Ö ÙÒ Ò Ø Ò Ò ÙÒ Ò Òº Á Ò ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÒÒ Ö ÔÐ ÒÐ Ò Ò Ò Ò Ø Ò ÐØ Ø Ð Ð Øº ËÓÑ Ö Ð ÚÐ Ö ÙÒ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ò ÖÒ Ò Ô ÓÖ Ò ØÐ Ø Ö ¹ Ð Ó Ø ÐÐ Ö ÐÓØ Ú Ô ÒØ Ò Ö ÓÔØ Ø Ú Ò ÓÑ Ø Òº Ò Ö Ø Ö Ö Ò ÓÚ ÖÓÖ Ò Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ò Ù Ò Ò Ó ÔÐ Ø Ö Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú º ÓÚ ÒÒÚÒØ Ö Öº Ø ÑÔ Ð ÖÔ Ö ØÖ ÐÝ Ò Ú ÖÝ Ò Ò Ý Ö Ó Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø ÒØÖ ÐØ Ø Ö º À Ö Ù Ö Ö ÓÙÖ ÖÒ Ú Ò Ò Ñ Ø Ø ÖÝ Ö ÙÒ Ò ÒÝØØ Ð Ö Ø ÖÒ Ø ÒØ Ð Ö ØÒ Ò Ö Ò Òº ÀÚ ÖØ Ö Ø Ö Ò Ø ÑØ Ø ¹ Ò Ø ÓÒ Ó ÐÓÔ Ú ÖÒ ØÖ ÐÝ ÖÝ Ú ÖØ Ö Ø Ð Ô Ö Ô Ú ÖØ Ðº ÅÓ Ø ÖÒÚÒØ ÑÔ Ð Ö Ö Ö Ò Ö Ø Ú Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ò º Î ÐÔ Ðº º Ö ÒÒ Ð Ö Ð Ò ÓÚ Ö Ð Ö ÖÒ Ö Ñ Ò Ø Ú Ð ØÖ Ò Ñ Ø ÓÑ ÑÙРغ º¾ Ë ÑÔ Ð ÂËË ÂËË Ò Ñ Ò ÖØ Ö ÚÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ó Ð Ò Ò Ö ÔÐ Ø ÓÖ ÐÐ ÖÒ Ò Ò Öº ÀÓÚ Ô ÖØ Ò Ø ÓÖ Ò Ô ÓÑÖ Ø ÓÒ ÒØÖ Ö Ö ÓÑ Ò ÖÐ ÖÙÔÔ Ú Ö ÒØ Ö Ð Ø ÑÔ Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò º ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ø Ö Ù ÐÙ Ò Ñ Ú Ö ÒØ Ö Ö Ó Ö Ø Ö Ú Ð Ø Ò Ð Ò ÂËË Ù ÐÙ Ò ÒÝØØ Ø Ð Ø ÓÑØ Ð ÑÔ Ð ÂË˺ Ë ÑÔ Ð ÂËË ØÖ Ø ÔÐ ÒÐ Ò Ð Ò Ò Ø ÒØ Ð Ó J = {J 1,...,J n } Ô Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö M = {M 1,...,M m }º ÀÚ ÖØ Ó Ð Ò Ð Ô Ú Ö Ñ Ò Ò Ö Ð Ö Ö Ô ÓÖ Ø Ò ÐØ Ó º Ò Ð Ò Ò Ø Ó Ô Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒº ÈÖÓ Ð ¹ Ñ Ø ØÖ Ø Ø ÑÑ Ò Ö Ð ÚÓÖ Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ð Ô Ò ÐØ Ñ Ò Öº

19 º Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÑÔ Ð Ö Ò ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ö Ú Ø Ò ÚÒ Ø Ð Ö ÖÒ ÂËË Ò ÑÐ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÚÓÖ Ö Ð Ð Ú Ò Ö ÔÖÓ Ù Ø Öº ÀÚ ÖØ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ò Ð Ô Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ò Ø ÑØ Ö Ð Ó Ú Ö Ñ Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ø ÔÖÓ Ù Ø Ò Òº ÀÚ ÖØ Ó ØÖ Ò ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ö Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò ØÓÔ Ò Ñ Ò º ÀÚ ÖØ Ó Ò Ð Ô Ú Ö Ñ Ò Ò ØÓÔ Ò Ò º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ô ÝÒ ÒÖ Ò ÓÖ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ Ó Ö ÐÙØØ Øº ÀÚ Ö Ñ Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ø Ó Ò Ò Ó Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖÝ ÒÖ Ö Ø Ò Ö Ô ÝÒ Øº Ø ÒØ Ø ÐÐ Ñ Ò Ö Ò ÒÝØØ Ð ÔÐ ÒÐ Ò Ò ÓÖ ÓÒØ Ò Ú º Ö ÓÔ Ö Ö Ñ Ø Ø Ð Ú Ð ÓÐ Ð ÐÐ Ö Ò ÖÙ º Ò Ð Ò Ò ØÖ Ò Ú Ð Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÓÖ Ú Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒº Ë ÐÚÓÑ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÖÒ Ö Ø Ð Ø ØÖ Ø ØØ ÒÓ Ø Ô Ð ¹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð ÓÚ Ô ÖØ Ò Ñ ØÓ ÖÒ Ö Ú Ø Ö Ò Ø Ò ÙÑ ¹ Ð ÖØ ÙÒÒ ÒÝØØ Ô Ñ Ö Ò Ö ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Öº Á Ö Ö Ø Ò ÑØ Ø Ú Ö Ø Ò Ð ÖÒ ÓÑ Ø Ú ÖØ Ó Ð Ø Ð Ñ Ò ÓÔ Ö Ø Ó¹ Ò Ö ÑØ Ø Ú ÖØ Ó Ò Ð Ò ØÓÔ Ò Ò Ô Ú Ö Ñ Ò º º Ò Ø ÓÒ Ö ÀÚ ÖØ Ó J i ØÖ Ò ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö {o i1,...,o im } ÑØ Ø Ú Ø Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ø Ø ÐÐ Ø Ú Ð Ò Ó Ø Ö Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ r i 0º Á Ñ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ö ÂËË Ö r i ÖÒ Ø Ø Ð ÚÖ Ò ¼ Ñ Ò ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò ØÖ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ñ Ö Ò Ö ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñº ÀÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò Ú Ø Ñ Ò M p Mº ÆÓØ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ø ÓÔ ØØ Ò Ñ Ò ÓÑ Ò ÑÒ Ò ÓÐ Ò Ø Ð Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ú ÖØ Ó º ÓÖ Ú Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ú Ø Ò Ò Ð Ò Ø p ij 0 Ú º Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò o ij ºÎ Ö Ð Ò S ij Ò Ú Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ ¹ Ø Ø ÓÖ Ú Ð Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ó C ij Ò Ú Ö ¹ ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø Øº Ò Ð Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖÝ ÐÙØØ Ò Ð Ò Ò Ò ØÓÔ p ij Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ô ÝÒ Ð Ú º C ij = S ij + p ij º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ò Ö Ø Ô ÝÒ ÒÖ Ò ÓÖÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ

20 ½¼ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ó o i(j 1) Ö ÐÙØØ Ø Ú º S ij S i(j 1) + p i(j 1) ÓÖ j 2 º½µ ËØ ÖØØ ÔÙÒ ØØ Ø ÓÖ Ò Ö Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ó o i1 Ö ÖÒ Ø Ó Ø Ø Ð Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø r i Ú º S i1 r i º À Ö Ð Ö Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ S ij Ö Ø Ô Ó Ø Ø Ð Ø Ø ÖØØ ¹ ÔÙÒ Ø ÑØ Ú Ö Ò ÓÖÙ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö S ij r i + l<j p il º¾µ Ö Ö Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø C i ÓÖ Ø Ó J i Ö ÒÖ Ò Ð Ò Ò Ó Ø Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÙØØ Øº ËÐ Ö C i = C im = S im + p im º µ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖÝ ÒÖ Ö Ø Ò Ö Ô ÝÒ Øº Ò Ñ Ò Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò Ú Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ò Ð ÙÒ Ò Ð ÒÒ Ò ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ó Ò [S ij ; C ij [º Ø ØÝ Ö Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl Ô ÑÑ Ñ Ò M p Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ø Ñ Ø Ú º Ø [ S ij ; C ij [ [ S kl ; C kl [= ÓÖ ÐÐ o ij,o kl M p º µ ÀÚ Ò Ð Ò Ò ÓÚ Ö ÓÐ Ö ÒÒ Ø Ò Ð Ö Ð Ò Ò Ò ¹ ÖÙ Ö Ó Ö Ø Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ø Ö ÒÚÓÐÚ Ö Ö ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº ØØ Ö Ò Ò Ø Ö ÒÚÒØ Ø Ò Ð Ö Ö ÖÓÚ Ö ÓÐ Ø ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö ÓÑØ Ð ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò º Î Ú ÒÚ Ò Ð Ö ÓÔ Ö Ö Ö Ñ Ò Ñ Ò Ð Ò d i ÓÖ Ú ÖØ Ó º ÒÒ Ð Ò Ð ÓÔ ØØ ÓÑ Ø Ó Ð ØÓÖ Ö Ú Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ñ Ò ÐÓØ ÓÑ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ò Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº È ÖÙÒ Ö Ò Ö Ø Ó Ø Ö Ò ÓÑ T i =(C i d i ) + º µ ÐØ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÓÑ ÒÓ Ò ÓÖ ÓÐ Ø Ð Ò ÚÒ Ð Ò º

21 º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö ½½ º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÂË˺ Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÝÔÔ Ø ÓÑØ ÐØ Ö Ñ Ô Òº À Ö Ò Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ¹ Ñ Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ ÐÙØÒ Ò Ø Ø Ó O makespan =max J i J (C i) º µ Ò Ò Ò Ù Ö Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ö Ò ØÓØ Ð Ø Ö Ò Ì̵ Ti º ÒÚ Ö Ø ÓÒ Ö ØÓØ Ð Û Ø Ø Ö Ò ÌÏ̵ Ú Ö ÑÙÐ ÓÖ Ø Ø Ð Ð Ò ÐØ Ó Ò ÔÖ ÓÖ Ø Ø w i > 0 Ö ÖÙ Ø Ð Ø Ú Ø Ó Ø ÓÖ Ò Ð O TWT = w i T i º µ J i J Î Ñ Ô Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ø ÐÙØØ Ó Ö Ö ØÝ Ò Ò ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ñ Ò ÌÏÌ Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ú ÖØ Ò¹ ÐØ Ó Ö Ö Ð º Å Ô Ò Ú Ð Ð ØÝÔ ÖÙ Ú Ð Ò Ò ÓÔ Ú Ö ÚÓÖ ÐÐ Ó Ð ÚÖ ÐÙØØ Ö Ø ÑÐ ÔÖÓ Ù Ø Ö ÒÓ Ò ÒÝØØ ÚÖ º ØØ ÙÒÒ ÑÔ ÐÚ ÚÖ Ú Ö ÙÐØ Ø Ø Ò¹ ÐØ Ó Ð Ò ÑÑ Ò Ò º Á ÑÓ ØÒ Ò ÖØ Ð Ö ÌÏÌ Ö ÑÔ ÐÚ Ò ÒÝØØ Ú Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÚÓÖ Ú ÖØ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ð ÙÑ Ð ÖØ Ø Ö Ø Ö Ö Ð º ÇÚ ÒÒÚÒØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ð ÓÑ Ø Ò Ö ÓÑØ ÐØ Ð ØØ ¹ Ö ØÙÖ Ò Ð Ø Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ò Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ö Ø Ó ÚÓÖ Ó Ò ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ ¹ Ø Ö C i Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ú Ö Ð Ú º Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ù ØÖÝ ¹ O(C 1,...,C n )º ÖÙ ÓÚ Ö Ð Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø Ö ÒÖ Ñ Ò Ø Ò Ò Ò ÐÙØÒ Ò Ø Ö Ø Ö Ú º Ø ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÐÙØÒ Ò Ø ÖÒ Úº C 1,...,C n Ó C 1,...,C n Ú Ð O(C 1,...,C n )>O(C 1,...,C n ) ÙÒ Ø Ø Ð Ð Ø Ö Ò Ñ Ò Ø Ø Ó J i ÓÖ Ú Ð Ø Ø Ð Ö Ø C i >C i º

22 ½¾ º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÂÓ ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò ÓÖ ÒØ Ö Ø Ý Ð Ö º Í ÓÚ Ö Ø Ú ÑÙÐ ÓÖ Ø Ú Ù Ð Ö Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ò ÑÑ Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ñ Ù Ò ÔÙÒ Ø Ò Ö º Á ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÒÝØØ Ø Ò Ð ÖÒ Ö ÐÚ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò ÂËË ÝÒÓÒÝÑØ Ñ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Òº ÃÒÙ ÖÒ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó ÒØ ÖÒ Ö Ø¹ Ò Ò Ò Ú Ö Ò Ò ÝÖ Ö Ð ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò º Ò ÒØ o ij o kl Ò Ú Ö Ð Ø o ij Ù Ö Ö o kl º Ò Ñ Ò ¹ Ø Ø Ñ Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ô ÝÒ Ð ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö p ij Ú º S kl S ij + p ij º ÒÒ Ø ÖÖ Ð Ð Ö ÑÑ Ò Ò ÒØ Ò ÐÒ Ó Ö Ú o ij o kl º ËØ ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø S kl Ø ÑÑ Ú Ø ØÖ Ø Ò Ò ÒØ Ö Ó Ø Ð Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú º ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ö ÙÑ Ð ÖØ ÓÖÙ ÓÖ o ij º ËÓÑ Ð ÓÚ Ò Ø Ò Ð Ö Ð Ø S kl max (S ij + o ij o kl ) o ij o kl º µ ÓÖ Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ò ÙÐ ÑÔ Ò Ð Ø Ð Ø ÓÑ ÑÙÐ Ø ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ò Ò ÒØ Ö Ú º Ò ÖØ ÐÐ ÓÖÙ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö ÐÙØØ º Ö ÓÖ Ú Ð Ú ÒÒ Ö Ô¹ ÔÓÖØ Ö Ò S kl Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ú Ø Ö Ø ØØ ÙÐ Ø Ò Ø Ñ Ð Ø Ò ÓÚ Ò Ø Ò º Á ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö ÒÚ Ò S kl ÓÑ Ò Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò º ÀÚÓÖ Ò ÒÒ ÖÒ Ö Ò Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º ÁÒ Ø ÐØ Ø Ð ÒØ Ö Ö Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÚÒ Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ú ÖØ Ó Ú º Ø ÓÖ J i Ø Ð ÒØ ÖÒ o ij o i(j+1) Ñ ÐÒ Ò p ij ÓÖ j {1,...,n 1}º S i(j+1) ÓÔ Ø Ö ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ñ º µ Ó ÒØ Ö ÖÑ Ñ Ò ÑÙÑ ÚÖ Ò Ò Ú Ø º¾µº Ò Ð Ò Ò Ø Ò Ù ÐÙ Ò ÒØ Ö Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ ÓÑ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò º Ö Ø Ð Ò Ð ÒÙ S Ñ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ¼º ËØ ÖØØ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ú ÖØ Ò ÐØ Ó J i Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ø Ø Ð ÒØ Ö S o i1 Ñ ÐÒ Ò r i º ÙÖ º½ Ú Ö Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö Ó Ó ØÖ Ñ Ò Öº Ù Ò Ö Ø Ð Ø Ò ÒÙ ÓÖ Ö Ò Ò Ñ Ô Ò Ú Ð Ø Ö ÓÑØ ÐØ Ò Ø Ò Øº

23 º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ½ o 11 p 11 o 12 p 12 o 13 r 1 r 2 o 21 p 21 o 23 p 23 p 13 S r 3 o 31 p 31 o 22 p 22 V o 32 p 32 o 33 p 33 r 4 p 43 o 41 p 41 o 42 p 42 o 43 ÙÖ º½ ÁÒ Ø Ð Ð Ò Ò Ñ ÒÙ ÓÖ Ñ Ô Òº ÑÖ Ø Ø Ö Ñ Ö Ö Ò Ú Ð Ò Ñ Ò Ò Ú Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ðº º º½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Î Ö Ò Ò Ñ Ô Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÒÙ V Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ø Ð ÒÙ Ò Ú Ö Ò Ø Ð Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ú ÖØ Ó J i Ú º ÒØ ÖÒ o im V ÓÑ Ú Ø Ô ÙÖ º½º Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú Ð ÚÖ Ð Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Vº Î ÖÙ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÌÏÌ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÒÙ V i ÓÖ Ú ÖØ Ó J i Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ø Ð Ú ÖØ Ó Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÖÒ o im V i º ÖÙ ÓÚ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó Ò Ð Ò Ú Ø Ø Ð Ò ÒØ S V i Ö Ð ÒÙ Ò Ø Ð Ú Ö ÒÙ Ñ ÐÒ Ò d i º ÃÒÙ Ò V i Ö Ð Ò ØÓÔ ØÓ Ò Ò ÒØ Ö Ó Ú º º µ Ð Ú Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ú Ö Ò Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ S Vi = max (S ij + o ij V i ) o ij V i = max(s im + p im, 0+d i ) = max(c i,d i ) = max(c i d i,0) + d i = T i + d i

24 ½ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò Ë Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ò º µº Ì Ö Ò T i Ø Ò ÐØ Ó Ö Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ú Ð Ò Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò V i Ö ØÖÙ Ø Ó Ø Ð Ò d i º Ø Ú Ö Ð Ò Ù ØÖÝ ÓÖ Ò ÑÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ O TWT = i w i (S Vi d i )= i w i S Vi i w i d i ÇÑ Ö ÚÒ Ò Ò Ø Ð Ö ÓÖ Ð Ø Ò Ø Ö ÓÖØ ÓÖ Ø ÙÒ Ö ØÖ Ø Ø ÙÒ Ö Ö Ø ÙÑØ Ò Ö Ð Ñ Ò Ñ Ö Ø d i Ö Ò ÓÒ Ø Òغ º º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò Ý Ð Ö ÚÓÖ Ö ÓÖ Ú Ö Ñ Ò Ò Ò Ú Ö Ö ÒÒ Ñ ÐÐ ÒÙ Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ñ ¹ Ò Òº ØØ Ö Ö ÓÔ ÝÐ Ð Ø Ò Ð º µ Ò ÑÐ Ø Ö Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ØÙ ÐÐ Ñ Ò º ÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ó ÙÒ º ÀÚ Ö ÑÔ ÐÚ Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ò ØÓ ÒØ Ö o gh o ij Ó o ij o kl Ú Ð ÒØ Ò o gh o kl ÙÒÒ Ø Ð ÐÐ Ö ÖÒ Ö Ò Ù Ò Ø Ò Ö Ô Ð Ò Ò Òº Á Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÒÚÒØ Ù Ö Ø Ð Ø ÓÑ ÑÙÐ Ø ÙÒ Ö Ò ÝÒ¹ Ø Ò Ø Ð º µ Ú Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú ÒØ ÖÒ Ö Ò ÚÖ Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ò Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò Ú Ð Ø ÖØØ ¹ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ú Ö Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒº Ò ØÖ Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ð Ú Ø Ò Ú Ò Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ú Ö Ò ÐØ Ñ Ò º Ò Ú Ò Ð Ò Ò Ò Ó Ø ÚÖ ÖÙ Ö Ù Ò ÓÚ ÒÒÚÒØ Ö Ú ÓÑ ÒÚ ÒÒ Ñ ÐÐ ÒÙ Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ú Ö Ñ Ò Ö ÓÔ ÝРغ Ó Ò Ö Ø Ð Ò Ò Ð Ò Ò ÙÑ Ð ÖØ Ø Ð ÒØ Ö Ð Ø Ö Ú Ø ÓÔ ÝÐ Ù Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ö º ÙÖ º¾ Ú Ö Ø ÑÔ Ð Ô ØØ º À Ö Ö o 12,o 22 M p S 12 =1Ó C 12 =3 Ñ Ò S 22 =5º Ä Ò Ò Ò Ö ÖÙ Ö Ñ Ò Ö Ö Ò Ò Ú ÒÒ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ñ Ò Ò M p º o 12 Ö ÐÙØØ Ø Ö o 22 Ô ÝÒ C 12 <S 22 Ú Ð Ö Ó ÙÑ Ð ÖØ ÙÒÒ Ò ØØ Ò ÒØ o 12 o 22 Ù Ò ÐÚ Ð Ò Ò Ò ÔÚ Ö ÚÓÖÚ Ö Ú Ø ÓÑ Ò Ú Ö ÓÔ ÝРغ ÆÓØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Ò Ò E Ò ÑÒ Ø Ò ÒØ ÖÒ Ð ¹ Ò Ò Ò ÓÖØ Ø Ö ÒØ ÖÒ o ij o i(j+1) Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ

25 º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ½ ¼ o 21 o 22 S ½ V ¼ o 11 ½ o 12 ¾ ÙÖ º¾ Ò ÝÐ Ð Ò Ò ÐÚÓÑ Ö Ö ÒÚ o 12 o 22 º Ó Ø ØÒÚÒØ Ó Ò Ö ÐÐ Ð Ò Ò Öº Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ò Ð º º º à ÒØÐÒ Ö ÄÒ Ò Ò ÒØ o ij o kl Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ø o kl Ø Ð Ø Ò Ú Ð p ij Ø Ò Ö Ø Ö Ô ÝÒ Ð o ij º ØØ ØÝ Ö Ø Ö Ñ Ò ØÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o gh o ij Ó o kl Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ñ ÒØ ÖÒ o gh o ij Ó o ij o kl Ú Ð Ö ÑÔÐ Ø Ø Ö Ò ÒØ o gh o kl Ö ØÝ Ö Ø o kl Ø Ð Ø Ò Ú Ð p gh +p ij Ø Ò Ö Ø Ö Ô ÝÒ Ð o gh º Ò Ò ÑÔÐ Ø ÒØ Ð Ò Ð Ý ÔÖ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ È µº ØØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º º o ij p gh p ij o gh p gh + p ij o kl ÙÖ º È Ñ ÐÐ Ñ o gh Ó o kl ÒÒ ÓÑÚ Ò Ø ØÖ ÒØ ÙÐ Ò Ò Ö Ð Ö Ø Ð Ø Ø ÓÖØ Ø Ø ¹ ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij o kl Ö Ú Ø Ú Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ Ú ÐØ Ö Ò Ò Ú º ÄÒ Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø ÓÑ

26 ½ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò ÙÑÑ Ò Ò Ò ÒØ Ö ÐÒ º Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ ÒÙ ÖÒ o ij Ó o kl Ø Ò L(o ij,o kl )º Ö Ò Ð Ò È Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o ij Ó o kl Ò ØÓÔ Ú Ö Ò Ò Ò Ò Ú o ij o kl Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ø ÒØ o ij o kl º ÄÒ Ò ÒÒ È Ö L(o ij,o kl )º Á Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ù ØÖÝ ÓÑ Ø ÓÖØ Ø ÑÙÐ ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ Ð ÒÙ Ò Ö Ú Ð Ø Ð Ø Ò ¼ Ó Ò ØÙ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú º S ij = L(S,o ij )º È ÖÙÒ Ö ÑØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ ÒÚÒØ Ò Ø º º½ Ò Ú Ó Ù ØÖÝ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú º ÐÒ Öº Å Ô Ò Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ú Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò V Ó ØØ Ö Ú Ø Ú Ò ÐÒ Ø Ú L(S, V)º Ä Ð Ö ÌÏÌ Ú Ø Ú w i (L(S, V i ) d i ) i Ú º Ø Ú Ø ÙÑ Ò Ô Ö Ó ÚÓÖÑ Ú Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò V i ÓÚ Ö Ø Ö Ó Ø Ð Ò d i º Ä Ò ÙÑÑ Ò Ö ÐÐ ¹Ò Ø Ú Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ V i ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º º½ Ö d i Ô º ÒØ Ò S V i º º º Ò ÙÒ Ø Ú Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Á Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò ÒÝØØ Ø Ø Ð Ð Ò Ð Ø Ò Ò ÑÓ Ð Ò Ò Ö ÒÚÒØ º Á Ò Ò Ö ØÓ ØÝÔ Ö ÒØ Ö Ò ÑÐ ÓÒ Ù Ø Ú Ó ÙÒ Ø Ú º ÓÒ Ù Ø Ú Ö Ò ØÝÔ Ö Ö ÓÑØ ÐØ ÒÒ Ö ÔÔÓÖغ ÙÒ Ø Ú ÓÔØÖ Ö Ô Ö ØÓ Ú Ö Ò Ö ØÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Úº o ij o kl Ó o kl o ij º Ó ÐØ ÒØ Ö Ò Ú Ö Ø Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ð Ø Ð Ò ÓÒ Ù Ø Ú ÒØ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Á Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ö Ö Ð ÙÒ Ø Ú ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ú ÖØ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò º À ÖÚ Ö Ø Ö Ö Ø Ñ Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò º Á ÒÒ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Ö ØØ Ö Ú Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ð Ø Ö Ð Ò Ò Ú ÒÒ Ñ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø Ò Ú Ò Ñ Ò º À ÖÚ ÙÒ Ö ØÖ Ø Ö Ú Ö Ø Ò ØØ ÓÒ Ù Ø Ú ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ

27 º Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ØÓ ½ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÚÓÖ Ö ÓÖÚ Ò Ø Ö Ö Ò È Ó ÐÐ Ö Ò Ú Ò¹ Ú ØÙ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò Ð Ø ÙÖ º¾º Ø ÒÒ Ø ÒÒ ÑÓ Ð Ö Ñ Ö Ú Ð Ò Ø Ø Ð ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÓÑ Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ò Ø º½º½º Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ó ÙÒ Ò ØÖ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÖÑÐ Ø ÐÐÙ ØÖ Ö Ú Ö Öº Î Ð ÑÓ Ð Ö Ð Ò Ý Ð Ô ÐÚ Ð Ò Ò Ñ ØÓ ÖÒ º º Ò Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ØÓ Î Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ð Ò Ò ÑØ Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ø ¹ ÓÑ Ö Ð Ù Ò ÔÙÒ Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÚÓÖØ Ð Ö Ù ÐÙ Ò Ø Ð ÒØ Ö Ò Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò º Ö ÖÒ Ð ÒØ Öº Ø ÙÒ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ö Ò ÓÒ Ø Ö Ö Ù ÓÚ Ö ÒØ ÖÒ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÒÓÖÑ ÐØ ÓÚ ÓÖ ÒØ Ö Ñ Ð¹ Ð Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÐÐ Ñ Ò Öº ÒÒ Ð ÒØ Ö Ö ÚÖ Ø ÒÝØØ Ø ØØ ÔÖÓ Øº ÆÖ Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÓÑØ Ð Ò ØØ Ð Ò ÒØ Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø Ö ÓÖ ÑÔÐ Ø Ø Ö Ñ ÙÒ Ø Ð Ô Ù Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ S V Ó V i Ö Ø Ð ÓÑ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò º Ö Ñ Ò ØØ ÒØ Ö Ö ÒÒ Ò Ö Ö Òº ØØ Ú Ð Ò ÑÐ Ö Ø Ð Ò ÑÓ ØÖ Ò ÑÐ Ø Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÚÖ ÐÙØØ Ø Ö Ò Ò Ô ÝÒ º ÆÖ Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÒÚÒ ÚÖ Ó Ò Ö ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐ Ú ¹ Ö Ð Ñ Ò Ö Ñ Ñ Ò Ö Ò Ø ÔÐ Ø Ö ÒÚÒØ Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ Ú Ö Ð Ò ÚÖ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ÑØ Ð Ò Ò Ö Ö ÑØØ Ò Ú Ø Ø Ð Ý ÖÐ Ö ÒØ Ö Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò º Ð Ò Ò Ñ ØÓ ÖÒ ÓÑ Ó Ø Ø Ö Ö Ñ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ð Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÓÚ Ö Ú Ð ÖÙ Ö ÓÑ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ñ Ò Ó Ø Ø Ø Ø º ÍÒ ÖØ Ò ÒÝØØ Ó Ø ¹ Ò Ð ÖÒ ÐÐ Ò Ò Ó ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò ÓÖ Ò Ú Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÙÒ Ö ØÖ Ø Ö Ö Ø Ð ÓÑ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Öº

28 ½ º ÀÓÚ Ó Ð Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò S ij Ø Ò ÙÒ ÖØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÚ º ÀÓÚ Ø Ö Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ò Ø Ö Ö ÓÖÙ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ó Ð Ó ÓÖ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Øº ËÝÑÑ ØÖ Ù Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ú Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ø Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ò Ø Ö Ð Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØÒ Ò Ò ÔÖ Ò Ø ÓÒ ¹ Ò Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº À Ð Ò Ò ÖÙ Ø Ð Ø Ø ÑÑ Ø Ò Ø Ø ÔÙÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ÐÙØØ Ù Ò Ò ØÙ ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ¹ ÚÖ Ø Ö Ú º Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ C ij º ÒÒ ÖÒ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ò d ij º Ò ÐÓ Ø Ñ Ð Ò ÓÖ Ó Ð ÒÒ Ð Ò ÐØ ÓÔ ØØ ÓÑ Ø ÙÐØ Ñ Ø ÚØ Ö Ú Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò º Î Ñ Ô Ò Ö Ð Ò q ij Ø ÓÖØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ¹ ÐÙØÒ Ò Ó ÐÙØÒ Ò Ò Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Øº ÎÖ Ò S ij + p ij + q ij Ù Ö Ð Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ô Òº ØØ Ö Ú Ø ÙÖ º º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ð d ij = O makespan q ij º µ S ij q ij S o ij p ij V ÙÖ º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ð Ò Ø Ó Ð Ú Ñ Ô Òº Î ÌÏÌ Ò Ö Ò Ð ÓÖ Ú ÖØ Ó º ËÐ Ö Ð Ò qij k Ø ÓÖØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØÒ Ò Ó ÐÙØÒ Ò Ò J k º ØØ ÒØ ÖÚ Ð Ö ÙÒ Ò Ö Ø Ú Ö Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ò Ú Ö o ij Ø Ð Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô J k Ó Ð Ó ÒÙ Ò V k º Á ÑÓ Ø Ð ÒØ Ö qij k ÚÖ Ò º Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ø Ó ÐÙØÒ Ò C k Ö Ö ÓÖ S ij + p ij + qij k º À Ö Ð Ö Ø Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙØÒ Ò Ù Ò Ø T k ÔÚ Ö Ö d k ij =max(d k,c k ) qij k º½¼µ

29 º ÀÓÚ Ó Ð ½ S ij q k ij S o ij p ij V k d k ÙÖ º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ò Ð Ò Ø Ó Ð Ñ Øº Ó Ø J k Ú ÌÏ̺ ØØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º º Á Ö ÑÖ Ø Ú Ö Ò Ò Ú o ij V k Ú Ð ÚÖ Ò d k ij ÚÖ Ú º Ø Ø Ú Ð ÔÚ Ö ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ J k Ù Ò Ø ÚÓÖ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ù Ö º ÀÚ T k Ø Ö ÐÓØ ÓÖ Ø Ó Ú Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò Ö º Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ C ij Ù Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ÔÚ Ö Ö Ð Ò Ñ Ò ¹ Ø ÚÖ ÖÒ Ö Ñ Øº Ú ÖØ Ò ÐØ Ó d ij =min J k J (dk ij )= min (max(d k,c k ) qij k ) J k J º½½µ º º½ Ö Ò Ò ÓÚ Ó Ð ÀÓÚ Ó Ð Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ò Ö ÓÑ Ø Ò Ö ÖÒ Ö ÓÖ Ø Ò Ö Úº Ø Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò ÐÐ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ú Ø Ø Ð ÒØ Ö Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò º Ò Ö Ò Ô ÓÖ ÐÐ Ñ Ö Ò Ø Ú Ð ÚÖ Ö Ö ÓÖÚ Ò Ö Ò Ò Ú Ò Ð ¹ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÑØ ÚÓÖ Ñ Ø Ø Ñ Ò Ò Ö Ø ØØ Ø Ð Ö Ò Ò Òº Ò Ñ Ø Ö Ò ÚÖ ÖÒ Ô Ö Ú º ÐÒ Ø Ú Ö Òº Í ØÖÝ Ø ÐÒ Ø Ú Ö S ij = L(S,o ij ) Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ Ð ÒÙ Ó o ij º L(o ij, V) Ù Ö Ø Ñ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÐÐ Ñ Ô ÝÒ Ð o ij Ó ÐÙØÒ Ò Ò Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú º Ð Ò q ij = L(o ij, V) p ij º ØØ Ö Ó Ò Ú Ò Ú Ò ØØØ Ø ÖÒ Ö Ò Ò ÓÖ Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ò º ÙÖ º Ú Ö Ø ÑÔ Ð ÚÓÖ Ñ Ò Ò Ò Ò Ö ÚÖ S ij Ú Ø ØÖ Ø Ò Ø Ò ÒØ Ö Ö ÐÐ Ö Ö Ò Øº À Ö Ø Ð Ö Ö o gh Ó o kl ÑÑ Ñ Ò M p º Ø Ø Ñ Ø ÓÖ S ij Ú º ÐÒ Ø Ú Ö L(S,o ij )=2º o gh Ó o kl Ö Ø Ð ÒÝØØ Ø ÑÑ Ñ Ò Ò Ù Ö ÑØ Ú º Ø ÓÖ Ø Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò Ð Ú Ö ÖÙ Ö Ð

30 ¾¼ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò S ¼ ¼ o gh o kl ½ ¾ o ij ÙÖ º L(S,o ij ) Ö Ò Ø ÚÖ ÓÖ S ij º Ö Ò ØØ Ò ÒØ ÒØ Ò o gh o kl ÐÐ Ö o kl o gh º Í Ò Ø Ú Ð Ò Ú ÒØ Ò Ú Ò Ö Ú Ð Ò Ò Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø ÙÒÒ ÐÙØØ Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø Ó Ö Ø Ö Ú Ð o ij ÙÒÒ Ô ÝÒ º Ò Ö ÚÖ ÓÖ S ij ØØ Ø Ð Ð Ö Ð º º ÃÓÑÔÐ Ø Ø ÂËË Ö ØÖ Ø NP¹ Ö Ø Ù ÓÚ Ö ÐØ ÑÔÐ Ø Ð Ð ÚÓÖ ÒØ ÐÐ Ø Ñ ¹ Ò Ö Ó Ó Ö ½ ÐÐ Ö ¾ Ó ÚÓÖ Ö Ø ÐÐ ÖÐ Ö Ú Ø Ð ÐÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ú Ø Ò Ó ½¼ º ØØ Ð Ö Ñ Ú Ð Ñ Ô Ò ÓÑ ÌÏÌ ÓÑ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒº Ë ÐÚ Ô ÐØ Ð Ð Ø Ø Ò ÙÒ Ò Ñ Ò Ö Ñ Ò Ø Ð Ð NP¹ Ö Ø ½ º Á Ò Ø º Ú Ð Ú Ó ÓÑØ Ð Ò Ö Ð Ö Ø Ù Ú ØØ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ö Ò Ð Ø Úغ Ä Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÒÝØØ ÓÑ Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ø ÓÔÖ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñº º Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò À Ö Ð Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÂËË ÓÑ Ø Ñ Ü ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ð Ô Ð Ò Ò Ú º ÈÄ ÐÐ Ö Ø Ð Ú Ö Ò º Î Ò Ö Ø Ø ÑÑ Ö Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ú Ö Ò ÐØ Ñ ¹ Ò º Ö ÓÖ ÒØÖÓ Ù Ö ÓÖ Ú Ö Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl,i < k, Ô ÑÑ Ñ Ò M p Ú Ö Ð Ò x p ik {0,1} Ö Ö ÑÑ ØÝ Ò Ò ÓÑ Ò ÒØ Ö Ò Ñ ÐÐ Ñ o ij Ó o kl º Ø Ò Ð Ò i<k Ö Ö Ø Ö ÙÒ ÒÝØØ Ò Ú Ö Ð ÔÖº Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº

31 º Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò ¾½ M p M,o ij,o kl M p,i<k : { x p ¼ Ú ik = oij Ú Ð Ö o kl º½¾µ ½ Ú o kl Ú Ð Ö o ij x p ik = 0 Ú Ö Ö Ð Ø Ð ÒØ Ò o ij o kl Ó x p ik = 1 Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÑÓ ØØ Ö ØÒ Ò o kl o ij º ÑÖ Ø Ø Ö ÐÐ ÔÓØ ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ö ÙÒ ØÖ Ø Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ú Ð Ø Ö Ø Ð¹ ØÖ Ð Øº ÐÙØÒ Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ú Ð Ò Ú Ö Ò ÐØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ S ij ÐÐ Ö Ú Ú Ð ÒØ ÓÖ Ò Ò Ú Ö Ð ÖÒ x p ik º º º½ Ø Ò Ð Ö Ì Ð Ø Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ô ÝÒ Ð Ø Ó ÑØ Ö Ð Ò ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú Ð Ò Ø Ò Ð Ö S i1 r i J i J S ij S i(j 1) + p i(j 1) J i, 2 j m º½ µ À Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÐØ ÒØ ÖÒ Ö Ò Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ó º r i Ó p ij Ö ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö Ð Ö Ò ØÙ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÓÒº Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÝÒ Ö Ò ÓÖ Ò Ö Ò ÓÐ Ø Ð x p ik Ö ÐÙØØ Øº Ø ØÝ Ö Ø Ò Ø ÚÖ Ò x p ik Ð Ò ØÓÔ Ò Ð Ò Ø Ò Ð Ö Ð M p M,o ij,o kl M p,i<k : S kl S ij + p ij S ij S kl + p kl Ú x p ik =0 Ú x p ik =1 º½ µ ÈÄ Ò Ò Ø Ö ÒÒ Ð ÒØ Ò¹ ÐÐ Ö¹ ÖÒ Ò Ò Ö Ð Ò ¹ Ö Ö Ú º Ð Ò ÓÑ Ö ÚÒ Ò S kl S ij + p ij hx p ik S ij S kl + p kl h (1 x p ik ) º½ µ ÚÓÖ h Ö Ò ØÓÖ ÓÒ Ø Òغ ÀÚ x p ik =0 Ú Ð Ø Ð Ò Ö Ø ÙÐ ¹ Ð Ú Ñ Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖØ Ó ÙÐ Ò Ú Ð Ð ÐØ ÚÖ Ò º Ì Ð Ú Ö Ò Ð Ö ÓÖ Ú Ö Ø ÙÐ ÓÖ x p ik =1º

32 ¾¾ Ã Ô Ø Ð º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð Ó ¹ ÓÔ¹ ÙÐ Ö Ò h Ò ÑÔ ÐÚ ÚÖ h =max(r i )+ i i,j Ú Ð Ø Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ñ Ñ Ð ÚÖ S kl +p kl Ò Ð Ò Ò ÚÓÖ Ó Ò Ù Ö Ø Ò Òº Á Ò Ò Ð Ò Ò Ú Ð Ö Ð Ö Ú Ð ÙÒÒ ÓÔ Ø Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ò Ò Ú Ð ÐØ ÚÖ ÖÙ Öº ÈÖº Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ö ÙÐÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ð Ø Ö Ø Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ø Ð ÒÓ Ø Ó ÐÙØØ Ò Ö Ó ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º Ú Ð ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø ÓÑ ÑÙРغ Ö ÓÖ Ö S kl + p kl h ÐÐ ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò Öº p ij º º¾ Ç Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Î Ö Ò Ò Ñ Ô Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ú Ö Ð Ò O makespan Ö Ù Ö Ø Ò Ø ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø ÓÖ Ø Ó O makespan C i = S im + p im ÓÖ ÐÐ J i J Î Ö Ò Ò ÌÏÌ ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ú Ú Ö Ð Ò T i Ö Ò Ú Ö Ø Ö Ò ÓÖ Ú ÖØ Ó O TWT = w i T i i Î Ø Ò w i Ö ÓÒ Ø ÒØ Öº T i Ö ÖÒ Ø º ØÓ Ø ÖÖ Ð Ö T i 0 T i C i d i = S im + p im d i ÓÖ ÐÐ J i J º½ µ O TWT Ð Ñ Ò Ñ Ö Ó w i > 0 Ð Ú Ö T i Ò ØÓÔ Ò Ø Ö Ø ØÓ Ö Ö Ó Ò Ú Ö Ð Ø Ö Ò º Ò Ø ÓÒ Ò º µº Ò Ø Ò ÒÝØØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒÙ Ø Ñ ¹ Ò Ñ Ö O makespan ÐÐ Ö O TWT ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ø Ò Ð ÖÒ ÒÚÒØ Ò Ø º º½º

33 ¾ Ã Ô Ø Ð ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË ËÌÊË Ö Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ø Ð Ø Ú º Ò Ö Ô Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ Öº Î Ú Ð Ö ÓÖÑÙÐ Ö ËÌÊË ÓÑ Ø ÂË˹ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ø Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ð Ø Ú º Ò Ð Ò Ö Ñ ØÓ Ö Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ò ÂË˺ Á ÒÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ð Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ó Ø Ó Ú Ö Ö Ø Ð Ø ØÓ º Á ÒÒ ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ø ØÓ ÓÑ Ò ØÙÖ Ñ ÐÐ Ñ ÖÙØ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ú º Ø Ø Ø ØÖ ØÒ Ò Ø Ø ÑÑ Ñ Ø Ö Ð Ò Ö ÒÝØØ Ø Ð Ö Ð Ò Ò Ò ØÙÖº Ø ØÓ Ô Ø Ú Ø ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Ù Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ø p ij Ö Ò Ø ØÓ Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ô Ö ÔÓÖ Ñ ÒØ Øº Ø Ò Ð Ò º µ ÓÑ Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ò ÓÚ Ö¹ Ð ÔÔ Ö Ö Ø ØÓ ØÓ Ò ÓÐÐ Ö Ø ÖÚ Ø ÐÐ Ø Ò Ô Ø Ú Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ô ÑÑ Ø º Á Ð º½µ Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ô ÝÒ ÒÖ Ò ÓÖ Ò Ö Ô ÑÑ Ó Ö ÐÙØØ Øº ÒÒ Ø Ò Ð Ö Ö Ð Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ ÖÒ Ô Ö Ò Ö Ø Ö Ð Ø Ø Ò Ò ØÙÖ Ú Ð Ú Ñ Ò Ò Ø ÓÖØ ØØ Ö Ø Ú Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ø Ð Ò Ø Ò Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ô ØÖ Ò Ò Ò ½ º ÖÙ ÓÚ Ö Ö Ø Ö ÔÐ Ò Ò Ö Ô Ø Ö Ö Ò Ø Ø ØÓ ½ ÈÖ Ò Ô ÐØ ÙÒÒ ØÓ Ø Ó Ö Ø Ð Ø Ð Ø ÓÖ Ò Ñ Òغ ØØ Ú Ð Ó Ð Ö ÙÒÒ Ø Ð ÑÑ ÒÐ Ò Ø Ñ ÐÓØ Ø Ú ÒØ Ñ Ø Ö Ö Ñº

34 ¾ Ã Ô Ø Ð º ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË Ö ÓÑ Ø Ô Ö Ø ÔÓÖ Ñ Òغ Ö Ø ÒÖ Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ø Ð Ð Ø Ò ØÓ Ø ÓÖØ ØØ Ø Ð Ð Ò Ñ Òغ Á Ò Ø º¾ Ö ÒÚÒØ Ø Ø Ö Ö Ð Ø ÚØ ÙÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ú Ø Ò Ð¹ ÖÒ ÑÔ Ð ÂËË ÓÑ Ø Ú ÖØ Ó Ð Ø Ð Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ú ÖØ Ó Ð Ò Ð Ô Ú Ö Ñ Ò Ò ØÓÔ Ò Ò º ÖÒ Ø Ò Ð Ö Ú Ð Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ØÓ ÙÐ Ö Ò ØÝ Ø Ñ Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÖÒ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÖ ÐÓØ Ò Ð Ò ØÖ Ò Ò ÑØ Ø ØÓ Ò Ú Ö Ø Ð Ò ÑÑ ÖÙØ º ËÓÑ ÒÚÒØ Ú Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ó ÙÒ ØÖ Ø Ò Ô Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò º Ò ÓÔÐ Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ØÓ ÙÐ Ö Ò Ö ÌÏÌ Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ÖÒ ÓÖ ÐÐ ØÓ ÑÓ Ø ÓÖ ÑÔ Ð Ñ Ô Ò ÚÓÖ Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Ö Ò ÓÑ ØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ø Ø ØÓ Ù Ò Ò¹ ÝÒØ Ò Ø Ð ÚÖ Ò ÓÑ ØØ ÔÙÒ Øº ÌÓ Ò Ò Ø Ð Ð Ú Ø Ø Ö ÓÖ ÐÐ Ö Ø Ö Öº ÑÔ ÐÚ Ò Ô ¹ ÖØÓ Ø Ð Ð Ø ÖÖ Ú Ø Ò Ó ØÓ Ø Ó ÓÑ Ö Ð Ò ØÓÐ Ö Ö Ñ Ö ÓÖ Ò Ð Ò Ô Ö Öº Ä Ð Ò ØÓ Ñ Ñ Ò Ô Ö Ö ÐÐ Ö Ñ Ø Ó Ø Ð Ð Ö Ú Ø Ò ØÓ Ñ Ô Ö Ö ÐÐ Ö Ð Ø Ó º ÖÙÒ Ø Ò ØÙÖ Ò ÖÒ Ò Ö Ø Ú Ð Ú ØÒ Ò Ò ÔÖ ÓÖÑÓ ÒØÐ Ó Ø ÚÖ Ø ÔÓÐ Ø Ú Ð Ò Ö Ö Ò Ø Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÔØ ¹ Ñ Ö Ò º ÃÖ Ø Ö Ö ÓÖ Ú ØÒ Ò ØÓ Ú Ð Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ý ÖÐ Ö ÒÒ Ö ÔÔÓÖغ Á ¾½ Ö ÒÚÒØ Ø ÑÔ ÐØ Ö Ø Ö ÙÑ ÓÖ Ò Ö Ð ÂËË ÓÑ Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ ÒÖÑ Ö Ò Ø º º º½ ÒØع Ö Ñ ÙÖ º½ Ú Ö Ø ÒØع Ö Ñ ÓÚ Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÓ ØÓ Ó Ö ÔÓÖ Ñ ÒØ Öº ÀÚ ÖØ Ö Ø Ò Ð Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ú Ò Ö Ø Ö Ø Ð Ø ÔÓÖ Ñ Òغ Ì Ò Ö Ø ¹ Ò Ó Ö Ø Ò Ð ÖÒ Ú Ò ØÖ Ó Ö ÒØ Ò Ú Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ø Öع Ó ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø Ö S ij Ó C ij º À Ö Ð Ö Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ¹ Ð Ò Ø p ij Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ö Ø Ò Ð ÖÒ Ö º ÇÖ Ò Ø¹ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÑÐ ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò ÐÒ º ÅÖ ÖÒ Ò Ò Ú Ö ÓÔ Ð Ò Ò Ñ ÒØ Ö Ó ØÝ Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÑÖ Ö Ù Ö Ø ÔÓÖ Ñ Òغ

35 º½ ÒØع Ö Ñ ¾ o 11 o 24 M 1 o 12 o 23 M 2 o 22 M 3 o 13 o 21 o 14 M 4 r 1 r 2 C 12 S 13 ÙÖ º½ ÒØع Ö Ñ ÓÚ Ö Ð Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ØÓ ØÓ Ó Ö ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Öº M 1 o 11 o 24 M 2 o 12 o 23 M 3 o 22 o 13 M 4 o 21 o 14 ÙÖ º¾ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ò Ú Ø ÙÖ º½º

36 ¾ Ã Ô Ø Ð º ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË Ø ÔÐ Ð Ò Ö Ú Ö Ö Ø Ð ØÓ Ø Ý ÖÙØ Ó ØÓ Ø Ý ÔÐ Ö Ò Ø Ð Ø Ú Ø Ø ÔÙÒ Ø Ò Ð Ö Ø ¾ º ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ó Ø Ò Ú Ø ÓÑ Ö Ø Ò Ð Ö Ø Ú ÚÓÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË ÙÒ Ø ÐÐ Ö Ø Ö Ò Ö Ø ØÓ Ô Ø Ú Ø Ñ ÒØ Ò Òº Ø Ø Ð Ò Ò ÓÖ J 1 Ö Ú Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o 12 Ó o 13 Ú º Ô Ö Ó Ò Ö C 12 Ø Ð S 13 º Ø ØÝ Ö Ø ØÓ Ø ÓÐ Ö Ó Ú ÒØ Ö Ú ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ñ ÒØ ÖÒ M 2 Ó M 3 Ô Ø ÙÒÒ Ö Ò Ô M 3 Ø ØØ Ö ÓÔØ Ø o 22 º ÒÒ Ú ÒØ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÒØ o 22 o 13 Ö Òº Ö Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ö Ú Ø ÙÖ º¾º ÃÒÙ ÖÒ Ö Ö Ò Ø Ò Ø Ö ÑÑ ÒØÖÙÑ ÓÑ Ø Ð Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ð Ö ÙÖ º½º ÑÖ Ø Ø Ú ÖØ ÂË˹ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÐÙ ØÖ Ö Ú º Ø ÒØع Ö Ñº Å Ò ÓÖ Ò Ø¹ Ò Ú ËÌÊË Ö ÓÒØ ÒÙ ÖØ Ö Ò Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ð Ð Ö Ø Ó Ø ÔÐ Ð Ò Ö Ú Ð ÒÝØØ º Ä Ð Ø ÐÐ ÒÓÖÑ ÐØ Ò Ò ØÝ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò ÖÒ Ö Ð Ú º Ø Ñ Ò ÖÒ Ø Ò ¹ Ö ÐÐ Ø Ð Ð Ú Ð ÙÒÒ Ò Ø Ò Ø Ð Ð ÓÖ Òº ØØ Ö Ø Ð Ð Ø Ú ËÌÊË ÚÓÖ ØÓ Ñ Ò Ö M i Ó M i+1 Ú Ö Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ø Ö ÓÔ Ø Ð Ò Ò Òº º¾ ÖÒ Ò Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÒÒ ÑÓ Ð ËÌÊË ÓÖÙ ØØ Ö Ø Ö Ö Ø Ú ÔÓÖ Ñ ÐÐ Ñ Ú ÖØ ÔÓÖ¹ Ñ ÒØ Ú º Ø Ø Ð Ò Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ù Ò Ú Ö Ú Ð ÙÒÒ ÓÔ Ð Ö ÐÓØ Ú ÓÔ ØØ Ð Ö ØÓÔ Ò Ð Öº ØØ Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ Ø ØÓ ØÓ Ò Ô Ö Ò Ò Òº Á ÓÚ ÒÒÚÒØ ÑÔ Ð Ô Ö Ö ØÓ Ò Ò¹ Ò Ò ÚÓÖ Ø ÔÐ Ð Ò Ö ÖÝ Ö Ò Ò Ò Ú º Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø S 13 Ô ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ M 2 Ó M 3 º À Ö Ö Ø ÐØ Ò Ú Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÓÖº Ä Ð ÒØ Ø ÐÐ Ú ÔÓÖ Ö Ô Ø Ø Ø Ð Ø Ú Ð ÖÐ Ø ÒØ Ð ØÓ Ó Ø ØÓ Ò Ò ÓÖÐ Ú ÔÓÖ Ø Ù Ò Ø Ò Ö Ð ÚÓÖ Ö Ò ÓÑÑ Øº Ù Ò Ö Ò Ñ Ø Ø Ð Ö Ò Ö Ò ÑÚº ÓÖ Ò Ð Ñ Ô ÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ò Ò Ò Ú Ø Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ò Ð Ñ Ô Ö Ö ¹ Ó Ô Ø Ò Ò ÐÐ Ö Ñ ¹ Ó ÔÐ Ò Ò Ó º ØØ ÒØÝ Ö Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ñ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ú ÖÒ Ò Ö ÚÓÖ ØÖ Ò Ò ÖÒ ¾ Ö ØØ Ð Ò Ö ÒØÝ Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ø º ØØ Ö Ó Ò ÓÖÙ ØÒ Ò Ø Ú Ð Ò ØÖ Ø Ö Ð Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø Öº

37 º ËÖÐ Ò Ö Ú ËÌÊË ¾ Ö ØÓÖ Ó Ø ÓÖ ÖÙ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ö Ò Ö Ò ÑÚº Ö Ð ÐÐ ÑÑ Ò¹ Ð Ò Ø Ñ ÐÚ ØÖ Ò ÔÓÖØØ Òº Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ø Ö Ñ ØÓ Ð Ò Ö Ô ØÚÖ Ù ØÖ Ð Ò Ó Ø Ð Ð ÓÑ ØØ Ñ ÒÒ ÒØ Ð Ø ÚÖ Ö Ð Ø º ËÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø ¾º½º¾ ÓÑØ Ð ½ Ø Ñ Ö Ò Ö ÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ð Ö ÓÖÑÖ º Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö ÒØ Ø ÓÑÑ Ö Ø Ð Ù ØÖÝ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ð Ö Ð Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ö ØÖ Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖغ Ë ÑÑ ÒÐ Ò Ò ÓÔÒ Ð Ò Ò ÚÖ Ö Ú Ö Ó Ø Ö Ö ÓÖ Ðº ÈÖ ÚÓÖ ÒÒ ÓÖ Ð Ð Ö Ö Ù Ð Öغ ØØ Ú Ð ÓÑØ ÐØ ÒÖÑ Ö Ò Ø º½¼º º ËÖÐ Ò Ö Ú ËÌÊË Å ÖÙÒ ËÌÊ˳ Ý ÓÖØÓÐ Ò Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÑ ÒÐ Ò Ø Ñ Ò Ö Ð ÂËË ÒÓ Ð ÖÐ Ò Ö ÓÑ Ñ Ò Ù ÒÝØØ Ú Ð Ò Ò º ÐÐ ØÓ Ú Ö Ñ ÐÐ Ñ ÖÒ Ò ØÖ Ò Ò Ò ØÓ Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ö ØÒ Ò Ú º Ø ØÓ Ø Ö ØÒ Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú º Ò ÒÖ ÓÒ Ø Òغ ÀÚ ÖØ Ó ÒÝØØ Ö Ð Ñ Ò ÖÒ ÒØ Ò Ö Ð Ò M 1,M 2,...,M m ÐÐ Ö M m,m m 1,...,M 1 º À Ö Ð Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ø Ú ØÓ ØÓ Ö Ö Ú Ö Ò Ö ØÒ Ò Ð ØÓ Ò Ò Ú Ò Ú Ô Ö Ò Ò Ò Ô Ø ÐÐ Ö Ò Ø Ø ÔÙÒ Øº ÀÚ Ö ÑÓ Ö Ö ÑÑ Ú Ú Ö Ö Ò Ô Ø Ð Ò ÓÚ Ö Ð Ò Ú Ð Ø Ö Ò ÑÙÐ Ñ Ò Ò Ò Ú Ò º ËÔ ÐØ Ð Ð Ø ÚÓÖ ÐÐ ØÓ Ö Ö ÑÑ Ö ØÒ Ò Ð ÓÛ¹ ÓÔ¹ ¹ ÙÐ Ö Ò º Ö Ò Ò Ð Ð ØØ Ö ØÙÖ ÓÑ ÒÒ ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ó Ò Ö ÐØ Ú Ð ÓÖÑ ÒØÐ ÙÒÒ Ð ÙÖØ Ö Ú º Ô Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ Ö Ò Ú Ò Ö ÐÐ ÂËË¹Ñ ØÓ Öº ËÌÊË ØÖ ÓÛ¹ ÓÔ¹Ú Ö ÒØ Ò Ø Ø ÑÑ ÚÓÖ ÑÓ Ö Ò ØÓ Ð Ô Ö Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Ø ÚÓÖ ØÓ Ð ÓÚ Ö Ð Ò Ò Òº Á ÔÖ Ú Ð Ñ Ò ÓÖÑÓ ÒØÐ Ó Ø ÓÔÐ Ú Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ú Ø ØÓ Ø Ô Ö Ø ÔÓÖ Ñ ÒØ Ú º Ò Ð Ò Ø Ò p ij Ö ÒÓ ÒÐÙÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð Ñ Ñ ÒØ Ø ÐÒ º ÀÚ ØØ Ö ÓÒ Ú ÒØ Ú Ð Ñ Ò ÙÒÒ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ØÓ Ø ÓÑ Ò ÓÒ Ø Òغ Ø ÑÔ Ð Ö Ú Ø ÙÖ º½ ÚÓÖ p 1j >p 2l ÓÖ ÐÐ o 1j,o 2l Ô ÑÑ Ñ Ò º À Ö Ú Ð Ñ Ò

38 ¾ Ã Ô Ø Ð º ÂË˹ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ËÌÊË Ò Ö ÐØ ÙÒÒ Ø J 2 Ö ÙÖØ Ö Ò J 1 º È ÖÙÒ ØØ Ú Ð Ñ Ò ÑÙÐ Ú ÙÒÒ ÓÔ Ø ÐÐ ÒÓ Ð Ö Ð Ö ÑÔ ÐÚ ÓÖ ÚÓÖÒÖ ÙÖØ ØÓ Ð Ú ÐÓÚ Ø Ð Ø ÓÚ Ö Ð Ð Ò ÓÑÑ º Ò Ö Ö ÚÖ Ø ÓÚ ÖÚ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ØØ ÔÖÓ Ø Ù Ò Ø Ó Ö ÖØ Ø Ð ÒÓ Ò ÒÚ Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Öº ÒÚ Ò Ø Ñ ØÓ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ËÌÊË Ò Ð Ù Ò Ú Ö ÒÚ Ò Ø Ð Ð Ò Ò Ò Ö ÐÐ ÂË˹ÔÖÓ Ð Ñ Öº

39 ¾ Ã Ô Ø Ð Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Á ØØ Ô Ø Ð ÒÒ Ñ ÓÖ ÐÐ Ñ ØÓ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÂË˺ Ö Ø Óѹ Ø Ð Ð Ò Ò Ø Ð ÓÔØ Ñ Ð Ø Ø Ú º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ó ÖÒ Ø ÓÑØ Ð Ò ÙÖ Ø º Á ÓÖ Ò Ð Ñ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒÒ Ñ Ò Ø º½ ØÓ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ø Ö ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ó ÒØ Ò ØØ Ð º Á Ò Ø º¾ Ò¹ ØÖÓ Ù Ö Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ö Ò ÖÙ Ø Ð Ø Ö ØÖ Øº ÖÒ Ø ÓÑØ Ð Ò Ø º ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ö Ò Ò ÓÙÒ ÓÖ Ó Ø¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ÖÙÒ Ö Ò ÒÝ Ñ ØÓ ÓÖ ÌÏ̺ Á Ò Ø º ÒÒ Ñ ÙÖ Ø Ò Ø Ò ÓØØÐ Ò Ó ÐÙØØ Ð Ø ÒÚÒ Ò Ø º Ò Ñ Ø ÓÖ Ø ÐÓ Ð Ò Ò Ôº º½ Ö Ò Ò Î Ð Ò Ò ÂËË Ú º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ø Ö Ñ Ò ÓÑ Ö Ð Ù Ò ¹ ÔÙÒ Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò ÚÓÖØ Ð Ö Ø Ð ÒØ Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ò Ò Ö ÖÙ Öº ÀÚ Ö Ò Ö Ò ØØ Ò ÒØ Ø ÑÑ Ö Ð Ò ØÓ ÒÚÓÐÚ ¹ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ù ÚÐ Ô Ñ Ò Ñ Ö Ú Ð¹ Ø Ú Ö ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ø Öº Á Ø Ð¹ Ò Ú Ð ØÓ ÓÖ ÐÐ Ð Ú ÒÒ Ñ Ø ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÑØ ÒØ Ò ØØ Ð º

40 ¼ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö º½º½ ÃÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÀÚ Ò ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ø ØÓ ÐÐ Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ù ¹ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò ÑØ Ø Ð Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º¾ ÓÑ Ò ÓÒ Øº ÃÓÒ Ø Ö Ò Ð Ú Ø Ø ÑÑ Ò Ö Ð ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Öº À ÖÚ Ù Ý ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ô ÒÖ Ò Ö Ø ÒÒ Ö Ð º Ä Ò Ò Ò ÓÒ Ø Ö ÖÚ ÙÒ ÓÒ Ú Ò Ö ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö ÓÖ ÓÑÑ Ö Ò Ö Ò Ñ Ð ÖØ Ð Ò Ò º Î Ø Ö Ø ÚØ Ø Ð Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ø Ø Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ø ÒÚÓÐÚ Ö ÓÒ Ø Ú Ð Ñ Ò Ð Ø ÖÝ ÔÐ Ò Ò Ö Ñ Ò Ø Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ö Ð Ø Ú º Ø Ð Ò Ò Ò Ö ÖÙ Öº ÒÒ ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ º½º ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ò ÒÝØØ Ð ÓÖ ØÑ Ö Ú Ø Ö Ñ Ò ÐÓØ ÒØÝ Ø Ú º ØÖ ÔÖ Öº ÚÖ Ö Ð Ú ÒØ Ð Ú Ð Ð Ú ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ò Ö ØØ Ô Ø Ðº Ø ÖÐ Ø ÓÒ Ð Ø Ö ØÙÖÒ Ö Ö Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Øº Ø Ø Ð Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÓÖ ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Ö Ö ØÙÖÒ Ö Ø Ô Ö ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ò Ð Ú Ö Ö Ö ÓÒ Ø Öº Ë ÐÚÓÑ Ò ÓÒ Ø ÓÑ ØØ Ö Ñ Ö Ò ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ø Ð ØÖ Ð Ø ÐÓØ Ø Ù ÚÐ ØÓ Ò Ò Ø ÐÐ Ö Ð Ö ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ú Ð Ú Ð Ð Ú ÙÒ Ö Ø Ð Ø ÒÓ Ð Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ÔÖÓ ÙÖ Òº Ö Ö Ö ÓÒ Ø Ö Ð Ò ¾µ Ö Ð Ò Ò Ò ÖÙ Öº ÀÚ Ò Ú Ø Ð Ö Ö Ò Ò Ø Ð Ø E best ÑÑ Ö Ú Ò Ó Ò Ö Ð Ò ÚÖ ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò UB Ð Ò µº ÍÒ Ö ÐÐ ÓÑ ØÒ Ö Ö ØÙÖÒ Ö Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ÓÖ Ø Ò Ö Ø ØØ Ö Ò Ø Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ò ØÙ ÐÐ Ö Ò Eº ÀÚ Ö Ö ÑÓ Ò Ò ÓÒ Ø Ð Ò µ Ö Ò Ö Ú Ô Ö Ð Ò ÒÚÓÐÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl º ØØ Ö Ú Ø ÓÔ Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ØÓ Ö Ò Ö ØÖ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ò¹ Ø ÖÒ o ij o kl ÐÐ Ö o kl o ij Ð Ò ½½µ Ú Ð Ø Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ð Ú Ø Ð Ú o ij Ú Ð Ö Úº Ø Ö o kl º Ø ÙÒ Ö ÓÑ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ø Ö Ò ¹ ØØ Ð ÒØ Ò Ø Ö Ñ Ò Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò ÚÖ Ð Ò ½ ÄÓÛ Ö ÓÙÒ Ú Ð Ð Ú ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ò Ø º µº Ö ØØ Ø Ð¹ Ð Ø Ð Ö Ò Ò ÓÙÒ Ö ÙÖ ÚØ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÓÖ Ø Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò E º

41 º½ Ö Ò Ò ½ Ö Ò Ò ÓÙÒ Eµ ½ c Ø ÖÐ Ø ÓÒ Ð Ø(E) ¾ c = Ò Ð Ø Ò O(E) < UB Ø Ò E best E UB O(E best ) Ò Ö ØÙÖÒ E Ð... ½¼ (o ij,o kl ) c ½½ B {E o ij o kl,e o kl o ij } ½¾ E min Ò Ð ½ ÓÖ E B Ó ½... ½ ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E ) < UB Ø Ò ½ E b Ö Ò Ò ÓÙÒ (E ) ½ O(E b ) <O(E min ) Ø Ò ½ E min E b ½ Ò ¾¼ Ò ¾½ ÐÓÓÔ ¾¾... ¾ Ö ØÙÖÒ E min ¾ Ò Ð ÓÖ ØÑ º½ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ú º ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò º

42 ¾ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ì Ð Ø Ö ØÙÖÒ Ö Ò ØÙ ÐÐ Ø Ð Ò Ò Ò ØÙ ÐÐ Ö Ò E min Ú Ð Ø Ú Ð Ð Ú ÒÝØØ Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ò ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ö Óѹ Ø Ð Ò Ø º¾º Á ÒÒ ÓÖ Ò Ð Ò Ö O(Ò Ð) ÒÝØØ Ú Ö Ø Ú Ö Ò Ð Ò ½ µº ÃÓÖÖ Ø ÒÒ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ú Ð ÐØ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò º ØØ Ö Ñ ÙÑ Ð ÖØ Ò ÐÝ Ò Ö Ð Ö Ø Ö ÙÑ Òغ ØÖ Ø ØÓ Ô Ò Ò Ò Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl Ô ÑÑ Ñ Ò Ø Ð Ø Ø ÔÙÒ Ø ÚÓÖ ÐÐ Ø Ð Ö ÓÒ Ø Ö Ö Ð Øº ÀÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ö Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ú Ó ÙÒ Ö Ö ØÙ Ø ÓÒ Ò ÚÓÖ o ij ÓÑÑ Ö Ö o kl Ó Ú Ú Ö º ÀÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÑÓ ÓÚ ÖÐ Ô¹ Ô Ö Ö Ö Ð Ò ÙÑ Ð ÖØ Ú Øº Ä Ó Ø o ij ÓÑÑ Ö Ö o kl º ËÔ Ö ÑÐ Ø Ö ÒÙ ÓÑ Ø Ð Ö Ú Ð Ú Ò Ö Ð Ò Ò Ø Ð o ij ÓÑÑ Ø Ö o kl º o ij o kl r ij S kl S i(j+1) r k(l+1) o kl o ij r ij r kl r k(l+1) r i(j+1) ÙÖ º½ ØÓ ÑÙÐ Ö Ð Ö o ij Ó o kl ËÚ Ö Ø Ö Ò º È ÙÖ º½ Ú ØÓ ÑÙÐ Ö Ð Öº r ij Ó r kl Ò Ú Ö ÚÓÖÒÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ð Ø Ò ÝÒ ÙÒ Ö Ò ÝÒØ Ò Ø Ð Ø Ð Ö ÔÐ ÒÐ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº r i(j+1) Ó r k(l+1) Ò Ú Ö ÚÓÖÒÖ Ø Ö Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ô Ø Ú Ó Ò Ô ÝÒ º Ø Ø ÚÖ Ò r k(l+1) Ö Ò ÑÑ ØÓ ØÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò r i(j+1) Ö Ø ÖÖ Ò ØÙ Ø ÓÒ ÚÓÖ o ij ÓÑÑ Ö Ø Ö o kl ºÎÐ Ö Ñ Ò Ø Ð o ij Ú Ð Ö Ø Ú Ð Ñ Ò ÙÒÒ ÓÔÒ ÑÑ ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ Ú o kl Ð Ú Ú Ð Ö Ø Ò ÑÐ Ú Ø Ð o ij Ú Ð Ó Ö Ø Ö Ú ÒØ Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ø r k(l+1) + p ij

43 º½ Ö Ò Ò Ñ Ø Ú Ð o i(j+1) º Á Ò Ö ÚÒ ØÙ Ø ÓÒ Ú Ð Ø Ð Ð Ö Ú Ò Ö Ð Ò Ò Ø Ð o kl Ú Ð Ö Øº ÑÖ Ø o ij ÓÒ Ø Ö Ñ Ò Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ó Ð Ú Ð Ö ÓÖ Ð Ø Ð Ú Ú Ð Ø Ò Ö Ò ÐÐ Ö ÓÖ Ø ÙÒ Ò Úغ ÓÒ Øº ØØ Ú ÐÐ Ò ÑÐ ÚÖ ÑÓ ØÖ Ñ Ø Ú Ð Ö ÓÒ Ø Ö ÖÓÒÓÐÓ Ö Ð Ó Ø Ú ÔºØº ØÖ Ø Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o ij Ó o kl º Ô Ø ¹Ö Ð Ö Ô Ø ¹Ö Ð Ö Ö ÙÖ Ø Ö Ö Ú Ø ØÖ Ø Ò Ú Ò ÓÒ Ø ÐØ ÐÓ ÐØ Ð Ö ÓÒ Ø Ò Ù Ö Ò ÑÔ Ð Ö Ðº Ò Ð ÖÙ ÓÖ¹ Ò Ð Ñ Ö Ò ÙÖ Ø Ð Ò Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÚ Ò Ø Ð Ø Ù Ò Ý ¹ Ö Ø¹ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ò Ò º Á Ð ÓÖ ØÑ º½ Ð Ò ½ ÖÙ Ò Ô Ø ¹Ö Ð Ø Ð Ø Ø ÑÑ Ò Ö ¹ Ð ÚÓÖ ØÓ Ö Ò ÙÒ Ö º ÀÚ Ñ Ò ÚÐ Ö Ò Ö Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ò Ö Ø Ó ÒÒ Ú Ö ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ò ÒÝ ÚÖ ÖÒ Ú Ð Ò Ò Ò Ö Ò ÙÖØ Ö ÙÒÒ Ð Ú Ö Øº Ô Ø ¹Ö Ð Ö ÒÝØØ Ó ÐÓ Ð Ò Ò Ò ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º Æ ÓÐ Ø Ö ÓÑ ØØ Ö Ò ÑÐ ¹ ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ö Ö ØÝÔ ÙÒ Ò ÓÐ Ö ÓÒ Ø Öº Ô Ø ¹Ö Ð ÖÒ ÖÙ Ö ÓÑ Ò ÙÖØ Ñ ØÓ Ø Ð Ø ÒÒ Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ô ÖÙÒ Ð Ò Ò Öº À Ö Ð Ö Ò Ö Ú Ð Ø Ù Ú Ð Ô Ø ¹Ö Ð Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÓÒ ¹ Ø Ö Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij Ó o kl º Ê Ð ÖÒ Ò Ú Ö Ø ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò ÓÖ Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ o ij Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø ÝÑÑ ¹ ØÖ º Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ Ð Ú Ø ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ò ÚÐ Ø Ð Ø Ð Ú Ú Ð Ø Ö Øº Ê Ð ÖÒ ÓÑØ Ð Ñ ÓÖ ÐÐ Ø Ò Ð Ö ÖÙÒ Ø ÓÑ Ö Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ Òº Æ ÚÒ ÚÒ Ò Ò Ö Ö Ö ÓÖ Ù ØÖÝ ÓÖ ÒÓ Ò ÖÐ ØÖ Ø ÓÒ Ô Óѹ Ö Øº Å Ò Ø Ú ÒØ Ø Åε C ij S kl Ö ÚÐ Ò Ð Ò Ò Ö Ö Ö Ø Ð ÓÖØ Ø Ú ÒØ Ø Ú ÒÒ Ñ ¹ Ò Ú º Ø ÚÓÖ Ø Ò Ó Ú ÒØ Ö Ô Ø Ò Ø ½ º ÀÚ o ij Ú Ð ½ ÒÒ Ö Ð Ö ÒÚ Ò Ø ½ ÚÓÖ Ò Ó Ø Ò ÓÖØ Ø ÔÖÓ Ò Ø Ñ º

44 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ø Ú Ð Ò ÐÙØØ Ø Ð Ø Ò C ij ÚÓÖ Ø Ö o kl Ò Ô ÝÒ º o kl Ö ÚÖ Ø Ð Ö Ò S kl Ú º Ú ÒØ Ø Ò Ð Ú Ö C ij S kl º Å Ò Ø Ú Ø Ú ÒØ Ø ÅÎε w i (C ij S kl ) Î Ø Ø Ù Ú ÅÎκ Å Ò Ø Ñ Ô Ò Åŵ S ij + p ij + p kl + q kl ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ö ÙÐØ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ñ Ô Ò Ö Ø Ô Ø ØÙ ÐÐ ÓÚ S ij Ó Ð q kj ÒÒ ÖÒ ÓÖ Ð Ö ÒÖÑ Ö Ò Ø º½º¾µº Ö Ø¹Ø Ð¹Ñ ÐÐ Ìŵ S ij ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ø Ö Ð Ö Ø Ð Ò Ð Ò Ô Ò ÚÒ Ñ Ò Ú Ð Ö Øº Å Ò Ø Ò Ð Ò Ø Å µ p ij ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÖØ Ø Ò Ð Ò Ø Ú Ð Ö Øº º½º¾ à ÒØ Ò ØØ Ð Î Ø ØÖ Ø ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ò Ò Ñ Ò Ú ÐÔ Ò ÑÔ Ð Ö Ò Ò Ø ÑÑ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ú Ö Ð Ú Ò Ø Ò ÒØ Ñ ÐÐ Ñ Ñ Úº Ò Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ö ØÒ Ò º ÀÚ Ò ØÓÔ Ò ÒØ Ò ØÓÔ Ò ØÓ Ö ØÒ Ò Ö Ñ Ö Ö Ò Ò Ö ÖÒ Ö Ö Ø ÖÖ ÐÐ Ö Ð Ò Ø Ð Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ÒØ Ò Ò ÑÓ ØØ Ö ØÒ Ò Ò ØØ º Ê ÙÐØ Ö Ö Ò ØØ Ð Ú Ð Ò Ò ÓÑ Ò Ò Ò ÒØ Ò Ø ÖÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ÓÖ Ø Ø Ò Ú Ð Ú Ò Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ù Ò Ø Ú Ð Ò Ö Ð ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ð º Ò Ò Ö ÖÒ LB ij ÓÖ Ñ Ô Ò Ò Ð Ò Ò ÚÓÖ Ö Ò ØØ Ò ÒØ o ij o kl Ö LB ij = S ij + p ij + p kl + q kl ØØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º¾º À Ö Ö Ñ Ö Ø O makespan LB ij Ø Ñ Ô Ò ÓÑ ÒÚÒØ Ò Ø º º Ù Ö ÐÒ Ò Ò ÐÒ Ø Ú Ñ ÐÐ Ñ Ð ¹ Ó ÒÙ ÖÒ L(S, V)º LB kl Ö Ò Ö Ø ÝÑÑ ØÖ º Î ÌÏÌ ÒÝØØ S ij + p ij + p kl + q g kl ÓÑ Ò Ö ÖÒ ÓÖ ÐÙØÒ Ò ¹ Ø ÔÙÒ Ø Ø C g ÓÖ Ó Ø J g Ø Ö Ò ØØ Ð ÒØ Ò o ij o kl º ØØ Ö Ö Ø Ð Ð Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò LB ij = w g (S ij + p ij + p kl + q g kl d g) + J g J

45 º½ Ö Ò Ò S S ij o ij q kl p ij p o kl kl V ÙÖ º¾ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ LB ij Ú Ñ Ô Òº Ä ÒÙ UB Ø Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò º ÀÚ LB ij UB Ó LB kl UB Ú Ð Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò ÙÒÒ Ö ÙÐØ Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ó ØÖ Ø Ò Ö º ÀÚ LB ij < UB Ó LB kl UB Ú Ð Ò Ð Ò Ò Ò ÓÐ Ò ÒØ Ò o kl o ij Ö ÙÐØ Ö Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò Ø Ð Ø º Î Ò Ð Ò Ñ Ø ØÖ Ø Ò Ð ØÖ Ø ÙÒ Ö Ò ØÙ ÐРй Ð Ò Ò ÚÓÖ o ij ÓÑÑ Ö Ö o kl Ú º Ú Ò Ò ØØ ÒØ Ò o ij o kl º ÓÖ Ú Ö Ñ Ò ØÖ Ø ÐÐ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ö ÓÖØ Ú º ÚÓÖ Ö Ò Ò Ú o ij o kl ÐÐ Ö o kl o ij º ÀÚÓÖ Ø Ö ÑÙÐ Ø Ò ØØ Ò ÒØ Ú º ÓÚ Ò Ø Ò º ÒÒ ÔÖÓ ÙÖ ÒØ ÐÒ Ö Ò Ò ØØ ÒÝ ÒØ Öº Å ØÓ Ò Ò ÒÚ Ò Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò ÙÑ Ð ÖØ Ø Ö Ö Ö Ò Ø Ò ÒØ Ð Ò ½ Ð ÓÖ ØÑ º½µº Ð Ð ÔÓØ ÒØ ÐÐ ÓÒ¹ Ø Ö Ö Ò ÖÓÒÓÐÓ Ó Ð Ò ØØ ØÖ ÒØ Ö Ú Ð Ø Ò Ù ÒÝØØ Ø Ð Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ö ÖÒ ÖÒ Ö Ò Ò Ö ÓÑØ ÐØ Ò Ø º µº Ð Ö Ö Ø Ð Ò Ö Ò ØÖ Øº Ä Ð Ò Ò ÒÝØØ ÓÖ Ò Ð Ñ Ø Ò ÓØØÐ Ò ÓÑ Ö ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º Å ØÓ Ò Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ñ Ö Ø Ú ÖÓÐÐ ÓÖ Ò Ð Ñ Ö Ò¹ Ò Ú Ð Ø Ú Ð Ð Ú ÓÑØ ÐØ Ò Ø Ò Øº º½º Ö Ò Ò Ú ÒØ Ò ØØ Ð Á Ø Ð Ò Ö Ú Ò Ò Ò Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ø Ò ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ¹ ØÐ Ò Ò º Å ØÓ Ò Ö Ö Ö Ú Ø Ø Ö Ù Ò ÔÙÒ Ø ÒØ Ò ¹ ØØ Ð ÓÑ ÓÑØ ÐØ Ø Ò Øº Ä ÓÑ Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ö Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ð Ò ÒØ Úº Ò Ò Ó Ò Ò Ò Ö ØÒ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Öº Å Ò

46 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ø Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÒÚÓÐÚ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ö Ø Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ú Ð Ö ÙÐØ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Òº Å ØÓ Ò Ø Ö ÓÑ ÒÚÒØ Ù Ò ÔÙÒ Ø ÒØ Ò ØØ Ð º ÐÐ Ô Ö ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ú Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ó Ö Ò ØØ ÓÑ ÑÙÐ Ø ÒØ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ñº ÀÚ Ö Ò Ö Ñ Ø Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÚÓÖ Ú Ð LB ij ÓÑ LB kl Ö Ñ Ò Ö Ò UB Ö ØÖ Ö ØÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ò ¹ Ø Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ú º Ø Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ð Ú ÓÔ ÐØ ØÓ Ö Ò ÚÓÖ Ö Ö Ò Ø Ò ÒØ Úº o ij o kl Ó o kl o ij º ÐÐ Ò Ö Ò Ô Ö o ij,o kl Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÖ Ò Ö ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ò Ó Ö ÓÖ Ù Ö Ò Ø Ö Ø ÚÖ min(lb ij, LB kl ) Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ØÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ò Òº Î ÚÐ Ö Ö ÓÖ Ø Ö Ò Ô Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ö Ø ÚÖ Ö º Á Ø Ð Ð Ð ÚÐ Ø Ñ Ø Ö Ø ÚÖ max(lb ij, LB kl )º Ð ÓÖ ØÑ ÈÖÓ ÙÖ Ò Ö Ö Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ º¾º Ö ÒÝØØ Ò ÒÐ Ø ÐÐ ¹ Ò Ò Ö R Ö Ø Ð Ø Ø ÖØ Ñ ÙÒ Ò ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò ÓÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ñ ØÝÔ Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ò Ò Ð Ò ½µº Ë ÐÒ Ö Ö Ö Ð Ò Ò Ö ÒÐ Ø Ò Ù ÚÐ Ö Ú Ò Ñ Ò Ð Ú Ø Ò Ö ÖÒ Ð Ò µº ÀÚ ÒÒ Ð Ò Ò Ö Ò Ö Ò Ö ÖÒ Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø Ú Ò ÚÖ ÖÒ UBµ Ú Ð Ø ÑÑ Ð ÓÖ ÐÐ Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ò Ò Ö Ó Ö Ö ÖÑ ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÚÓÖ ÓÖ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ð Ò µº Á ÔÖ Ú Ð Ø ÐØ ÚÖ Ö Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ó ÓÖ R Ö ØÓÑ Ð Ò ¾µ Ù ÓÚ Ö Ø Ø ÓÖ Ø Ø Ð Ð ÚÓÖ ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ò Ø Ò ÓÖ ÒÓ Ò ØÖ Ø Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ò Ú Ø Ò Ò Ö ÖÒ Ö Ö Ø ÖÖ Ò Ð Ò Ò ÚÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ò º Î ØÖ Ø Ö ÒÙ Ú ÖØ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö o ij,o kl Ô ÑÑ Ñ Ò Ð Ò ½ ¾ µ Ú Ö Ð ÐÐ Ö Ö Ø ÑØ Ð Ò ½ µº Î Ö Ò Ö Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò ØÓ ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ö Ò Ö ØÖ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð ÖØ Ò ÓÖ ÒØ Ö Ø ÒØ Ñ ÐÐ Ñ o ij Ó o kl Ð Ò ½ ½ µº ÒÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö ÒØ Ø Ø Ø Ð ÒØ Ò Ó ÒÝØØ ÓÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑØ ÐØ Ò Ø º º ØØ Ú Ö Ò ÔÓØ ÒØ ÐØ Ö ÖÒ Ô

47 º½ Ö Ò Ò Ö Ò Ò ÓÙÒ Eµ ½ R {E} ¾ Û Ð R Ó E argminê R (ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (Ê)) R R \{E } ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E ) UB Ø Ò Ö ØÙÖÒ Ò E last Ò Ð Û Ð E E last Ó ½¼ E last E ½½ C ½¾ b ØÖÙ ½ ÓÖ M p M,o ij,o kl M p,o ij o kl Ó ½ (o ij o kl E o ij o kl E ) Ø Ò ½ b Ð ½ LB ij ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E {o ij o kl }) ½ LB kl ÄÓÛ Ö ÓÙÒ (E {o kl o ij }) ½ LB ij UB LB ij UB Ø Ò ½ ÓØÓ ¾ ¾¼ Ð LB ij UB Ø Ò ¾½ E E o kl o ij ¾¾ Ð LB kl UB Ø Ò ¾ E E o ij o kl ¾ Ð ¾ C C {(o ij,o kl )} ¾ Ò ¾ Ò ¾ ÐÓÓÔ ¾ b Ø Ò ¼... ½ Ò ¾ ÐÓÓÔ (o ij,o kl ) Ë Ð Ø Ò Ø (B) R R {E {o ij o kl },E {o kl o ij }} ÐÓÓÔ Ð ÓÖ ØÑ º¾ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ú ÒØ Ò ØØ Ð º

48 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ó ØÒ Ò Ò Ø ÖÖ Ö Ò Ò Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ô ÐØ Ö Ø Ø ÑÑ Ö Ö ÓÑ Ú Ö Ò Ò Ò ÑÔÐ Ò Ö ÖÒ Ú ÒØ Ò ØØ Ð º Ä Ð Ò ØØ ÒØ Ö Ú ÑÑ Ö Ø Ö Ö ÓÑ Ú ÒØ Ò ØØ Ð Ð Ò ¾¼ ¾ µº ÀÚ ÒØ Ö Ö ÙÐØ Ö Ö Ò Ð Ú Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ ÑÑ ÒØ ÖÒ ÓÑ ÒÚÒØ ÓÑ Ò Ø Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ð Ò ¾ µº ÆÖ Ö Ò Ò Ú Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ Ô Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ Ñ Ò b = ØÖÙ Ð Ò ¾ µ Ö Ð Ò Ò Ò ÖÙ Öº Ø ÙÒ Ö ÓÑ Ò Ö Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ó ÑÑ Ú Ø Ð ØÖ ÔÖ Ö Ð Ò ¼ Ú Ö Ö Ø Ð Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ º½µº Ò Ð Ù ÚÐ Ô Ö ÒØ Ö Ö Ð Ö Ò Ô Ú º ÓÚ ÒÒÚÒØ Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ò µ Ó ØÓ ÒÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ð ÒÐ Ø Ò Ð Ò µº º¾ ÓÑ Ò Ò Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ö ÖÙÒ Ø ØÖ Ø Ú Ö Ð¹ Ð Ò Ò Ø Ò Ò º Ó Ö Ø Ø ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÒÙ Ö ØÖ Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ú Ò ÓÑ Ò Ò Ò Ù ÒÝØØ ÒÖ Ò Ò Ò Ò º ÒÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ò ½ º Á ØØ Ò Ø ÓÑØ Ð Ø ÒÝØ Ð Ø ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ú º Ò Ñ Ø Ù ÒÝØØ Ð Ö Ôº ÆÖ Ú Ð Ö ÖÓÒÓÐÓ Ø ÑÑ Ö Ú ÓÑ Ö ÒÚÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ø Öع Ø ÔÙÒ Ø ÖÓÒÓÐÓ ÓÖ Òº Á Ò Ú Ò ÒÙ ØÖ Ø Ò Ú Ð ÓÔ Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò ØÖ Ð Ò ÓÖØ Ò ÒÙØ Ó Ò Ö ÑØ ¾ º ¹Ø Ö Ö Ö Ö Ö Ø Ð ÓÖÐ Ø Ð Ò Ò ÔÖÓ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹ ØÖ Ø ÖÓ Ó Ø Ð Ó Ð Ø Ð Ø ÔÙÒ Ø Ö ÐÚ Ð Ò Ò Òº Î ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò Ö Ö Ó Ò Ú ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ¹ Ø Ø ØÓ Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ÓÖ Ø Ø Ô Ò Ñ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ô Ú Ò Ö ÖÓ Ø Ð Ð ØÖ Øº ÈÖ Ò ÔÔ Ø Ö Ø Ú ØÓ Ö Ò Ö Ò ÒØ ÒÙØ Ú Ð Ö Ö ÑØ Ó ÚÖ Ò º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖØ Ò Ö Ö Ø Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ó Ð Ó Ø Ð ÓÙÒ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Ò Ö Ò ÝÖ ¾ Ø Ò Ð Ö ÓÔ ÙÒ Ø Ø Ð Ð Ð Ò Ó Ð Ù ØÖÝ ÓÖ ÒÓ Ò ÐÑ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ô ÓÑÖ Øº

49 º¾ ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ý Ð Ô Ò Ú Ö Ð Ò Ò º Ö ÓÖ Ú Ð Ò ÓÔØ ¹ Ñ Ð Ð Ò Ò Ú Ö ØÓ Ö Ò ÚÖ ÒØ Ñ Øº ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÑØ Òº Á Ø Ð Ò Ú Ð Ú ÓÔ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Q ÓÖ ÓÖØ Ò Ö Ø Ð Ó Ø¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Òº Ú Ø ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ E 1,E 2 º ÀÚ Q(E 1 ) >Q(E 2 ) Ú Ð ÑÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ò ÑÐ Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÚÖ Ú º O(E 1 ) >O(E 2 )º Å Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò E 1 ÓÑ Ò Ö E 2 Ó E 1 Ò Ð Ö Ö ØÖ Øº ØØ Ú Ð Ð Ú ÔÖ Ö Ø Ø Ð Ò º Ö Ø Ò Ö Ö Ú ÒÙØ Ò Ó Ö Ø Ö ÓÔ Ø ÐÐ Ö Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Qº º¾º½ Ò Ø ÓÒ ÒÙØ ÒØ Ø Ú Ò ÒÙ ØÖ Ø Ò ØÓÔ Ö ÙÒ Ø Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø (o ij,o kl )º Ä t =min(s ij,s kl )º ÆÙØ Ò N =(P, D, F) Ò Ö ÒÙ ÓÑ Ð Ö P ÑÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ö ÐÙØØ Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ú º C ij t D C ij t ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö Ö ÙÒ Ö Ú Ð Ò Ø Ð Ø Ò t Ú º ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Ø S ij <t<c ij F ÒØ ÖÒ Ö Ò o ij o kl ÓÖ Ú Ð Ø Ð Ö Ø C ij >t ÀÚ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÌÏÌ Ó d i >t ÓÖ ÒÓ Ø Ó Ò Ö t Ø ÐÐ ÒÙØ Ò Ú º N =(P, D, F, t)º ÓÖØ Ó Ö ÑØ ÖÚ Ö Ò Ò ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ù Ö ÖÓ Ø Ø Ú Ò Ö Úº ØÖ Ø ÖÓ Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ó Ö Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ð Ø Ð º Ò Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ò Ø Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖØ Ò Ð Ö Øº Ø Ö Ò ÑÐ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ö ÔºØº Ö ÐÐ Ö Ò Ö Ð Ò Ò ÔÖÓ Ò Ð Ú Ö ÒÚÓÐÚ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ú Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ò Ò Ö º Ç Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ø ÒÚÓÐÚ Ö Ö Ó Ò ØÓÔ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ñ S ij t Ú º Ò Ø ÓÒ Ò tº Ò Ò ÝÖ Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ô Ú ÖØ Ó Ö Ú Ø Ö Ø Ø Ð ØÖ ¹ Ð Ø ÐÓØ Ø ØÖ Ø Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓ Ò Ô Ú ÖØ Ó Ö ÓÔ ÝÐ Ö Ø Ò Ð Òº

50 ¼ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ó Ò Ò Ø ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÐÐ ÒÙØ Ú Ð Ú ÑÑ Ð Ò Ò Úغ ÓÖØ Ø Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ö Ú ÌÏÌ Ó Ò Ö ÓÖØ Ò Ó tº ØØ Ò Ò Ú Ø ØÖ Ø Ø Ð Ú ¹ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÚÓÖ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö P Ö ÖÒ Ø ÑÑ Ò Ñ Ú ÒØÙ¹ ÐÐ Ø Ð Ö Ò ÒØ Ö Ö Ò Ñ Ò ÚÓÖ Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ Ò Ö Ø Ø Ð ÚÖ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ú ÖØ Ó Ú Ö ÓÑ Ò Ò Ö ÖÒ ÓÖ ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÖØØ ÔÙÒ Øº ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ð ÚÖ ÒØ Ó Ð Ú ÑÑ Ð Ò Ò ÓÖØ Ø Ö ÓÖØ Ò Ö Ø Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº º¾º¾ Ö Ò Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Î ÓÑ Ö Ú Ö ÒÙ Ñ Ô Ò Ò Ð Ò Ò O makespan (E) = max i) J i J = max[ max i), max i)] J i P J i J \P = max i) J i J \P = t + max i t) J i J \P À Ö Ð Ö Ø ÐØ Ø ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ ÐÐ Ö Ú Q makespan (E) =t º½µ ÓÖ ÌÏÌ Ö Ø Ò Ò Ð Ñ Ö ÓÑÔÐ Ö Ø O TWT (E) = w i T i J i J = w i T i + J i P = w i T i + J i P J i J \P J i J \P w i T i w i t + J i J \P w i (T i t) ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ Ú Ð Ø ÙÑØ Ò Ú ÑÑ Ö ÙÐØ Øº ÂÚ º Ò Ø ÓÒ Ò D Ö C i t ØÓ Ð Ò Ò Ö Ò ÑÐ Ò Ó ÒØ Ò t Ö Ò ÓÐ Ø ÒÙØ Ò Ó ÖÑ Ò ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö ÐÐ Ö d i t ÓÖ ÐÐ Ó Ó ÖÑ d i <C i Ö Ó T i t Ò º

51 º¾ ÓÑ Ò Ò ½ ÓÖ ØÓ Ð Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÓÖØ Ú Ð Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ð ÙÒ ÐÐ Ú ØÓ Ö Ø ÙÑØ Òº ÒÒ Ø ÖÖ Ð Ø Ò Q TWT Q TWT (E)= w i T i + w i t º¾µ J i P J i J \P ØÖ Ø ÒÙ ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö E 1,E 2 Ñ ÒØ ÒÙØ Ó Ð Ó ÑÑ Ö ÑØ º ÀÚ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò E 1 Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò O(E 1 ) Ú Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò E 2 Ú Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò O(E 2 )=O(E 1 ) Q(E 1 )+Q(E 2 ) º µ ØØ Ð Ö ÓÖ Ñ Ô Ò Ó ÌÏ̺ Î Ò Ð ÐÓØ ÖÙ Q ÓÑ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ð Ø Ö ØÖ Ø Ñ Ò Ú Ò Ó ÖÙ Ò Ø Ð Ø Ö Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò ¹ ÚÖ ÓÖ Ò ÐÐ Ò Ò Ù Ò ÔÐ Ø Ø Ð Òº º¾º ÑÔ Ð ÙÖ º Ú Ö ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ º Á ØØ ÑÔ Ð Ö o ij Ø Ð ÒÝØØ Ø Ñ Ò M j Ú º Ó Ò ÒÝØØ Ö Ñ Ò ÖÒ ÑÑ Ö ¹ Ð º Ð Ò ÓÖ Ó Ò Ö Ø Ø Ð Ø ÑÙÐ ÐÙØÒ Ò Ø ÔÙÒ Ø d i = p ij Ó Ú Ø Ò w i Ö ½ ÓÖ ÐÐ Ó º ÓÖØ Ø Ö o 11 o 12 o 13 Ó o 21 Ö Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø ÖÒ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÑÑ ØÓ Ð Ò Ò Öº ËÖÐ Ò ÒÚÒ Ø S 31 = p 11 + p 21 Ø Ð Ð º È Ð Ò Ô ÙÖ Ò Ú Ö Ö Ø Ð ÒØ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó Ö ÒØ ÖÒ Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ Ó Ò Ú Ø Ø Ò Ö Ø Ú Ø Ð Ú Ö Ú Ò Ö Ø Ö Ö Ú Ò ØÖ ÑÓ Ö º Ì Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ o 22 Ó o 42 Ó Ø ÔÙÒ Ø Ø ÓÖ ÒÒ Ö t 1 = min(s 22,S 42 )º ÆÙØ Ò Ö Ð Ö Ú Ø Ú Ð Ò Ö Ø ÖÖ Ð Ö Ú º ÓÚ Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒº P : {o 11,o 12,o 13,o 21,o 31,o 32 } D : {(o 41 : C 41 t 2 )} F : {o 23 o 33 } Ë Ö Ñ Ò ÓÖØ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ P Ú Ø ÖØØ ÔÙÒ Ø Ö Ú Ð ÙÒÒ Ò Ö ÒÒ Ö Ò Ø Ø ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ò Ó Ø Ð Ú Ð Ú ÑÑ Ð Ò Ò º

52 t 1 µ ¾ Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö J 1 o 11 o 12 o 13 J 2 o 21 o 22 o 23 J 3 o 31 o 32 o 33 J 4 o 41 o 42 o 43 ¼ t 1 µ t 2 J 1 o 11 o 12 o 13 J 2 o 21 o 22 o 23 J 3 o 31 o 32 o 33 J 4 o 41 o 42 o 43 ¼ t 2 ÙÖ º ÌÓ ÐÐ Ò Ò Ö Ñ ÑÑ ÒÙØ

53 º¾ ÓÑ Ò Ò ÒØ Ø Ú ÐÐ Ö Ö ÙÒ Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ú Ø µ E a Ó ÒÙ Ñ Ö Ð Ò Ò Ò Ú Ø µ E b º ÀÚ Ú Ð Ö ÓÖ ÌÏÌ Ó Ò Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð Ð Ò Ò E a Ú Ð Ú ÙÑ Ð ÖØ ÙÒÒ Ö Ò Ð Ò Ò ÚÖ Ò E b º ÙÖ Ò Ø T 1 = p 21 E a Ñ Ò T 1 =0 E b º J 1 Ö Ø Ò Ø Ó Ö ÐÙØØ ÓÖØ Ò Ú º Ø Q(E) =w 1 T 1 º ÂÚ º º µ Ö Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÚÖ Ò E b Ð O(E b )=O(E a ) w 1 p 21 º E b ÓÑ Ò Ö Ö ÐØ E a º ÀÚ Ñ Ò Ð Ö ÓÖ Ñ Ô Ò Ö O(E b )=O(E a )º º¾º ÒÚ Ò Ð Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ Ð ÓÖ ØÑ º Ø Ö Ö ÚÓÖÐ ØØ Ò Ù ÒÝØØ Ú Ð Ò Ò Ú º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð Ö ÓÖ Ñ Ñ Ô Ò Ó ÌÏ̺ ØÈÖ ÒØ Ö ØÙÖÒ Ö Ö Ò ØÙ ÐÐ ÒÙØ N º knownp resents Ö Ò ¹ Ð Ò Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò Ø ÒÙØ Ö Ó Ö Ø Ð Ö Ò ÚÖ Öº ÓÖ Ú Ö ÒÙØ Ð Ö Ò Ø Ð Ö ÙÒ Ò ÚÖ Q(E) ÑØ Ò Ø Ð Ò Ò Ò Ô¹ Ð Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ð Ú Ö Ö ÙÒ Ø Ò Ð Ò Ò ÓÖ Ò ÚÒ ÒÙØ Ú º Ú ØÖ Ø Ð Ú Ö Ø Ú º ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ð Ú ÙÒ Øº ÀÚ Ò Ò Ò Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ø ÒÙØ N Ð Ò µ ÓÖ Ø Ø Ù ÒÝØØ ØØ º Ò Ò Ø Ó Ò ØÙ ÐÐ ÚÖ Q ÑÑ ÒÐ Ò Ó Ö Ò ØÙ ÐÐ Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ö Ø ØÙ ÐÐ ØÖ Ð Ò ½½µº ÀÚ Ò Ò Ø Ö ÑÓ Ö Ð Ø Ñ Ò Ø Ð Ó Ø ÓÑ Ø Ð Ö Ó Ò Ò Ø ØÙ Ø ÓÒ ÚÖ Ø ÖØ Ø Ð Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò Ð Ò ½¾µ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ ÙÑ Ð ÖØ Ö Ò Ú º º µº Ö ÚÖ ¹ ÖÒ Q Ó ÖÑ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ò Ò ÑÑ Ð Ò ½ µ Ö ØÙÖ¹ Ò Ö ÐÓØ Ò Ò Ø Ð Ò Ò Ð Ò ½ µº ÀÚ Ò Ö ÑÓ Ú Ö Ø ÚÖ Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÖ Ú Ø ÑÑ Ò ØØ ÓÖØ Ò Ö Ò Ø Ð Ò ØÙ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Ö ÑØ Ò ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ò Ú º Å Ö ËÓÐÙØ ÓÒ Ð Ò ½ µº ÀÚ E prev = Ò Ð Ó Q(E) <Q prev Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò Ø Ð Ö Ñ Ø Ò ØÙ ÐÐ ÒÙØ Ñ Ò ØÖ Ø Ð Ú Ö Ø Ö Ò Ø Ð Ú ÙÒ¹ Ø Ò ÖÙ Ö Ð Ò Ò º Ø Ö Ó ÑÙÐ Ø Ø Ò ÒÝ Ó Ö Ð Ò Ò

54 Ã Ô Ø Ð º Ä Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ö Ò Ò ÓÙÒ Eµ ½ c Ø ÖÐ Ø ÓÒ Ð Ø(E) ¾ c = Ò Ð Ø Ò... Ð (o ij,o kl ) c t min(e ij,e kl ) N ØÈÖ ÒØ(E,t) N knownp resents Ø Ò (Q prev,e prev ) knownp resents[n ] ½¼ Q(E) >Q prev Ø Ò ½½ Ö ØÙÖÒ Ò Ð ½¾ Ð E prev Ò Ð Ø Ò ½ Q(E) =Q prev Ø Ò ½ Ö ØÙÖÒ E prev ½ Ð ½ O cur O(E prev ) Q prev + Q(E) ½ O cur <O(UB) Ø Ò ½ E best Å Ö ËÓÐÙØ ÓÒ (N,E,E prev ) ½ UB O(E best ) ¾¼ Ö ØÙÖÒ E best ¾½ Ò ¾¾ Ò ¾ Ò ¾ Ò ¾... Ð ÓÖ ØÑ º½ Ð Ò ½¼ ¾½µ ¾ knownp resents[n ] (Q(E),E min ) ¾ Ö ØÙÖÒ E min ¾ Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÖÙ ÓÑ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ú ÖÓÒÓÐÓ ÓÒ ØÐ Ò Ò º

ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ

ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø

Læs mere

ŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ

Læs mere

q 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.

q 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X. ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ

Læs mere

deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j

deta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ

Læs mere

ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º

Læs mere

ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ

ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò

Læs mere

Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320

Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320 *36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø

Læs mere

Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ

Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ

Læs mere

ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø

ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ

Læs mere

½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ

½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ

Læs mere

w j p j 1 w j / p / = 1

w j p j 1 w j / p / = 1 ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Læs mere

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù

Læs mere

ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ

ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ

Læs mere

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å

Læs mere

ÈÐ ÒÐ Ò Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÙÐØÙÖ ÐØ Ú Ö ÒØ Ñ Ð ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö ØØ ÇØØ Ò ¼½½ ¾µ ÄÓÙ ÌÖ Ò Ö ½ µ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ê Ò Î ØÓÖ Î ÐÕÙ Î Ð ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÖع

Læs mere

ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼

ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò

Læs mere

¾

¾ ½ ¾ ÁÒ ÓÐ ½ ÆÓÑ Ò Ð ØÙÖ ¾ ØÖ Ø ÁÒ Ð Ò Ò ½½ º½ ÓÖÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÁÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ä Ú Ð Ò Ò º º

Læs mere

È Ö Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Â Ò Ä ÙØ Ö Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ Ó Æ Ð ØÐ Ò Ö Ò Î Ð Ö ÖÒ Ä ÙÖ Ò ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐ ¾ ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º ÒÙ Ö ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÈÖÓ Ø Ø Ö Ö Ñ Ñ Ö Ö Ò ØÓÐ ÙÑ Ð ÖØ ÐÚ ÒÖ ÓÔØÖ¹ Ö Ô Ö ÖØ ÑÓ Ø Ö Ò Ú Ø º ÈÖÓ

Læs mere

ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½

ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ

Læs mere

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ËÓ ÃÓÚ Ð Ú Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖØ Ð Ö ØÓ Ô ÐØ Ø µ ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º

Læs mere

ÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð

ÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ

Læs mere

LØSNING AF OPENSHOP OG FLO WSHOP PR OBLEMER Susanne Hjorth Tønder Rasm ussen L YNGBY 2001 EKSAMENSPR OJEKT NR. 00/00 IMM

LØSNING AF OPENSHOP OG FLO WSHOP PR OBLEMER Susanne Hjorth Tønder Rasm ussen L YNGBY 2001 EKSAMENSPR OJEKT NR. 00/00 IMM Ä ËÆÁÆ ÇÈ ÆËÀÇÈ Ç ÄÇÏËÀÇÈ ÈÊÇ Ä Å Ê ËÙ ÒÒ À ÓÖØ Ì Ò Ö Ê ÑÙ Ò Ä Æ ¾¼¼½ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ¼¼»¼¼ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÙØØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò Ö ØÙ Ø ÓÖ ÓÔÒ¹ Ò Ú Ò Ò Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö

Læs mere

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ

Læs mere

V e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e

V e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò

Læs mere

ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ

ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ Ì ÓÖ Ö Ø Ù Ú Ð Ò ÔÐ Ð Û Ö Ý Ø Ñ Ö Ì ÓÖÝ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ö Ð Ð Û Ý Ø Ñ ÌÙ Ö Â Ò Ò Ì Ö Ð ÃÖ Ø Ò ÌÓÐ ØÖÙÔ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ø Ñ Ò ÔÖÓ Øº ÈÖÓ Ø Ø Ö Ù Ö Ø Ú ÁÒ Ø ØÙØ

Læs mere

Effektivisering af det industrielle byggeri

Effektivisering af det industrielle byggeri Effektivisering af det industrielle byggeri Kandidatspeciale Byggeri og anlægssektoren Byggeledelse Aalborg universitet Sonja Dissing Pedersen Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet Civilingeniøruddannelsen

Læs mere

Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼

Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼ Ý ÓÖ ÄÁ ½º Í Ú ËØ Ò À Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÖÙÒ Ú Ò Ó Å Ð Ø ÓÚ Ò Ð ÙÐØ Ø Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾¼¼ Ý ÓÖ ÄÁ ËØ Ò À Ò Ò ¾¼¼ ÁË Æ ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ ËĹ Ó Ð Ò Ì ÓÖÚ Ð Ò Ú ¼ ½ ½ Ö Ö Ö ÓÖ ÓØÓ È Ø Ö º È Ø Ö Ò ÆÝ ÖÓ ÓØÓ Á»Ë Ô Ø

Læs mere

ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ø ÒÖ Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÐØ Ø ÚÖ ØÖ

ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ú Ø ÒÖ Ø Ö Ò Ú Ò Ø ÓÖ ÐØ Ø ÚÖ ØÖ Ì Ø Ð Í Ö Ø Î Ð Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ú Ö Ò ØÓ Ð Ò Ñ Ò È Ø Ö ÌÓÙ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ý Ó Ã Ñ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ½º Ñ ¾¼¼ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ù Ö Ø ÓÑ Ø ÐÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ö Ö ØØ Ø ÑÓ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ð Ñ Ò º Â Ú Ð ÖÒ Ø Ñ Ò Ú Ð Ö

Læs mere

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ ÑÓ ½½º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò Å ÖØ Ò

Læs mere

ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾

ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÐ ÔØÐ ½¼µ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ Ø

Læs mere

αν x ν αν αν ϕ(x ν )

αν x ν αν αν ϕ(x ν ) Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò

Læs mere

ÇÚÖ Ø ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ½ ÁÒØÖÓ Ó ÒÖÐÐ ÖÖ ¾ Å ÑÐ Ð Ô Ø ØÑØ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÍÚÐ ØÐ ÙÒØ ÚÖÒ ¹ ØÙÔ ÃÒØ ÐÐÖ ÙÒØ ÚÖÒ Ê Ê ÒÓØ µ ÂÒ Ãº ÅÐ

ÇÚÖ Ø ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ½ ÁÒØÖÓ Ó ÒÖÐÐ ÖÖ ¾ Å ÑÐ Ð Ô Ø ØÑØ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÍÚÐ ØÐ ÙÒØ ÚÖÒ ¹ ØÙÔ ÃÒØ ÐÐÖ ÙÒØ ÚÖÒ Ê Ê ÒÓØ µ ÂÒ Ãº ÅÐ ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÇÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ

Læs mere

Z[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).

Z[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β). Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÔÖ Ð ¾¼¼ Ð Ð Ø ÓÖÖ ÁÒ ÓÐ Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø È Å Ð Ò ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º

Læs mere

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ

Læs mere

ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó

ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ Ó ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÙÖ Ö ØÓÔ Ð Ò Ö Ò Â Ò¹ Ö ÒÓ Ù ÓÙÖ Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Í ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ ÆÊË ÈÐ ³ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ ÕÙ ÓÙÐ Ú Ö Ëº Ö ÒØ È½¼ ½ ¼¼ ÁÐÐ Ö Ö Ò Ñ Ð ÙÒ ØÖ º Ö Ö ØÓÔ

Læs mere

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½ Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½½º Ö Ò ÒÖº Ñ ÖØ ½ Ñ ½½º Ñ ÖØ ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ê ÑÙ ÓÖÙÔ À Ò Ò Ò Ú ºµ Ê Ò Â Ò Ò È Ø Ö ÄÙÒ

Læs mere

¾

¾ Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ã Ò Ú Ò Í Ò Ú Ö Ø Ø ½½º ÙÒ ¾¼½¼ Ù Ð Ó ¹ Ù Ð ÓÑ ØÖ Ö Ø Ò ËÐ ØÓÖÒ ÐÓÖÔÖÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ð Ö Æ Ø Ð Ï Ð ¾ ÁÒ ÓÐ Ê ÙÑ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ Ù Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ö ½ ¾ Ù Ð Ö Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÓÑ ØÖ ¾º½ Å ØÖ ÖÙÑ

Læs mere

Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø ÁÒ

Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø ÁÒ Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º¾ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ È Ø Ö ÄÙÒ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ö Ì ÖÒÕÙ Ø

Læs mere

xi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)

xi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1) ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø

Læs mere

ÇÒØÓÐÓ Ø Ø Ò Ò ÆÐ ØÐ ÒÖ Ò È Ö Ö Ì ÓÑ À Ð Ö Ò Ò Ó Ê ÑÙ ÃÒ ÔÔ ÎÐ Ö ÌÖÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ Ô Ð ÊÓ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒØ Ö º Ó ØÓÖ ¾¼¼¼ Ê ÙÑ ÁÒ Ø Å Ø Ö Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ö ÔÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ØØ Ñ¹ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ

Læs mere

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½ Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½¾º Ö Ò ÒÖº ½ ÔØ Ñ Ö ½ Ñ ½¾º½ ÔØ Ñ Ö ½ º Ð ÓÖ ØÙ Ö¹ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ ¹ Ó ËØ Ø Ø ØÙ Ö Ò Ú Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Øº Ê Ø ÓÒ ÖÙÔÔ À ÒÖ Ö Ø Ò ÖÓÚ Ò Ú ºµ Ò Ö Ó Æ Ð Ò Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÒÙÑÑ

Læs mere

(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L

(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ÓÖ ÐÐ x, y, z L Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÙÒ ¾¼¼ 2 4¹Ð Ó¹ ÐÓ Ò º ½ º À Ö Ò Ò Ö Ø ÚÖ Ø Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÒÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô ÙÐ Ø ÓÒ Öº Ò Ð ÐÐ ÖÙÔÔ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö À Ö Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö Ö

Læs mere

ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å

ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÆÙÐ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ËØÖÙØÙÖ ËØÙ Ò Ø ËÔ Ð Ò Ì Ñ Ð Ê ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ÂÙÐ ÙØØÑ ÒÒ ÓÖ Ò Ò Ó ÙÑ Å ÒÞ ¾¼½ Ì

Læs mere

ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ð ØÖÓÒ ËÝ Ø Ñ Ö Ð ÓÖ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÌÁÌ Ä ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÑÐ Ö Ì Å Å ÖÓ Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ö ÈÊÇ ÃÌÈ ÊÁÇ ½º ÖÙ Ö ½º Ñ ¾¼¼½ ÈÊÇ ÃÌ ÊÍÈÈ ½¼ ÊÍÈÈ Å Ä ÅÅ Ê Å Ð Ë ÔÔ Ö Ò Ö Ò Â Ô Ö Ð Ù Ò Ð Ê Ò ÂÙ Ø Æ Ð Ò ÇÐ

Læs mere

Ò Ð Þ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ò ÐÓ ÙÐ Óѹ ÐÙÐ ØÓÖ ÈÖÓ Ø ÔÐÓÑ Ò Ó Ù ÁÙÒ ¾¼¼¼ Ô ÖØ Ñ ÒØÙÐ ÐÙÐ ØÓ Ö ÙÐØ Ø ÙØÓÑ Ø ÐÙÐ ØÓ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ò Ì Ñ Ó Ö ÊÓÑ Ò ÓÒ Ù ØÓÖ ÔÖÓ Ø ºÐº Ò º Å Ö Ò ÓÐ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÑ Ø Ò ÝÓÙ

Læs mere

ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÑÔÐ À Ó ÚØ ÃÓÖÖÐØÓÒ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ Ô ½½µ ÅÒ Ø ÚÖØÖ ÑØÓ ÁÒÖÒ ÖÖ ÓÒ ÑÓÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÐÒÒ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÈÖØÓÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÃÓÖÖÐØÓÒ Ó ÖÖ ÓÒ Ê Ê

ÇÚÖ Ø ½ ¾ ÑÔÐ À Ó ÚØ ÃÓÖÖÐØÓÒ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ Ô ½½µ ÅÒ Ø ÚÖØÖ ÑØÓ ÁÒÖÒ ÖÖ ÓÒ ÑÓÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÖÒ Ó ÐÒÒ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÈÖØÓÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ ÐÒÒ ÃÓÖÖÐØÓÒ Ó ÖÖ ÓÒ Ê Ê ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÃÔØÐ ½½ ÊÖ ÓÒ ÒÐÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ½½ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ

Læs mere

Analyse Numerique -- 2ieme Annee ENSEM -- Annee Version provisoire

Analyse Numerique -- 2ieme Annee ENSEM -- Annee Version provisoire ÇÔØ Ñ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò º Î Ò Ö ½ Ù ÐÐ Ø ¾¼¼ ÔÓÐÝÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ ¾¼¼ ¾¼¼ г Ò Ò Ñ ÒØ ÕÙ ³ ÔÖÓ Ù Ô Ò ÒØ ÔÖ Ü Ò º Å ÒØÓ Ò ÕÙ ÙÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð³ ÒÒ ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ñ Ø Ð³ ÓÒÒ ÙÖ Ö Ö ÕÙ Ø ÜØ Ó Ø ØÖ Ù ÙÜ ØÙ

Læs mere

ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ ÖØ ÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ ÃÓÒØÒÙÖØ ÓÖÐÒÖ ¼ ÃÔØÐ ËØÔÖÚÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ Ó Ò Ó ØÓ ØÔÖÚÖ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÚÖÒ Ö ÃÔØÐ ¼ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒРʹÒÓØ ËØØ Ø Ú ÑÙ

ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ ÖØ ÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ ÃÓÒØÒÙÖØ ÓÖÐÒÖ ¼ ÃÔØÐ ËØÔÖÚÓÖÐÒÖ ÃÔØÐ Ó Ò Ó ØÓ ØÔÖÚÖ ÃÔØÐ ÁÒÖÒ ÓÖ ÚÖÒ Ö ÃÔØÐ ¼ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒРʹÒÓØ ËØØ Ø Ú ÑÙ ÃÙÖ Ù ¼¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ËÙÑÑÖÝ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¼» ÇÚÖ Ø ÃÔØÐ ËÑÔÐ Ö Ó ÒÐØÐ ÃÔØÐ

Læs mere

γ : t I R γ(t) = P(t) S.

γ : t I R γ(t) = P(t) S. Ï ÙÒ Á ¹ Ö ÒØ ÐØÓÔÓÐÓ ÁÒ Ò ÖÙ ÑØ Þ Ò Ò ÔÙÒØ Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÓÖ Ð Ò Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ó Ø Òº Ð Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò Ú Ò ÔÙÒØ ØÓØ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Û ÓÚ Ö Ò Ð ÖÚ Ð Ö Ô Ø Ú Ð Ò Ú ØÓÖÚ Ð º ÁÒº º ¾ Ú Ò Û Ò ÚÓÓÖ Ð Ú Ò Ò Ð

Læs mere

φ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j

φ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½ Å ÌÄ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ Ã ÖÒ Ð Å Ø Ó ÊÓ ÖØ Ë ØØ Ò Ö Ø Ó ÇØÓ Ö ¾¼ ¾¼½½ Ì Ø Ð Ö ÔÓÖØ ÓÒØ Ò ÓÑ ÓÔ ÙÐÐÝ ÐÔ ÙÐ ØÙ ÓÖ ÛÖ Ø Å Ì¹ Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÖÒ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÓ Ý Ö Ù Ö ÓÒØ Ò Ú ÖÝ ÓÓ ÓÑÔ

Læs mere

Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼

Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ ËÌÁÎ Ä Ç ÇÅ ÌÊ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ Ì ÃÐ ¹ ÖĐÙÒ ÙÑ Ø Ú Ð Ó ÓÑ ØÖÝ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò Ò Ú Ë Ó Ð Ð Á Ö Ð ÔÖ Ð ß½ ¾¼¼¼ ØØÔ»» ºØ Ò ÓÒº º л Ø» ËÔÓÒ ÓÖ Ý ÙÖÓÔ

Læs mere

Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ Ö ÙÒÚÖ ØØ Ú ÓÒ ØÐ Ý ÓÐÒØÖ ÓÒ ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÓÐ ÏÓÐ ÂÓÒ Ò ÀÝ ÓÐÓÖÐØ Ë ½ ÁËÆ ¾¹ ¹½¹ ÆÖº ÖÒ ËØÙ ÀÙÑÒØØ ÖÒ Ø Ñ ÓÔÖ Ö ÒÒ ÓÒ ØÖ Ñ Ò ÚÖÐÓÚÒ ÐÐÖ ØÖ Ñ ÚØÐÖ ÓÑ ÓÔÖÒ ÒÒØØ Ñ ÃÓÔÒÓÖ ÒØÖ

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag     susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer

Læs mere

ÁÑÔÐ Ø ÙܹÓÖÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÃÙÞÑ Ò Åº ÅĐÓÐÐ Ö Ëº ÌÙÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ

ÁÑÔÐ Ø ÙܹÓÖÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÃÙÞÑ Ò Åº ÅĐÓÐÐ Ö Ëº ÌÙÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ ÁÑÔÐØ ÙܹÓÖÖØ ØÖÒ ÔÓÖØ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒØ ÐÑÒØ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÔÖ Ð ÙÐÖ ÕÙØÓÒ º ÃÙÞÑÒ Åº ÅĐÓÐÐÖ Ëº ÌÙÖ ÁÒ ØØÙØ Ó ÔÔÐ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÓÖØÑÙÒ ÖÑÒÝ ËØØ Ó Ø ÖØ ÖØ ÔÔÖÓ ØÓ ÙÔÛÒÒ³ ÆÓÒÐÒÖ Å¹Ì ÓÖÑÙÐØÓÒ ÍÒ ÐÑØÒ ØÖØÝ ÆÙÑÖÐ

Læs mere

ÐÖÒ Ó ØÐØÓÖÒ Ó«ÒØÐ ÒÐ ÖÝÔØÖÒ Ó ÒÖÒº ÆÓØÖ ØÐ ÙÖ Ù ÙÐ Óغ ¾¼¼¼ ÊÚÖØ ÙÖ Ù Ø ØÐ Ó ÝÐÒÐ ÔØ Ö ÃÒ ÒØ ÓÑ Ô¹ Ð Ô ÛÛÛºÑºÙºÒ ÑØÔµ ÂÓÒ Èº ÀÒ Ò ¹ÑÐ ÑØÔѺٺ ÅØÑØ ÁÒ ØØÙØ ÖÙ ÍÒÚ Ö ØØ ÁÒÐÒÒ ÁÒÓÐ ÃÔØÐ ½º ËØÖ Ø ÐÐ Ú ÓÖ

Læs mere

Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest

Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje

Læs mere

High-Z SN Search Team Supernova Cosmology Project. m-m (mag) =0.3, W L =0.7 W M =0.0 =1.0, W L = D(m-M) (mag)

High-Z SN Search Team Supernova Cosmology Project. m-m (mag) =0.3, W L =0.7 W M =0.0 =1.0, W L = D(m-M) (mag) Å ÏÒÓÛ ÓÒ Ö ÒÖÝ ÖÒ ÀÙØÖÖ Ï ØÖÒ Ê ÖÚ ÍÒÚÖ Øݵ ÄÖÓÒ ÂÑ ÊØÓÒ ¼¼½±µ ÄÙÑÒÓÙ ÅØØÖ ¼½±µ 00 11 00 11 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 ÖÝÓÒ ÅØØÖ ±µ 000000 111111 000000 111111 00000000 11111111

Læs mere

ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒØÓÒ ÙÒÖ ÚÒ Ð ÐÝ ÒÒ ¹ Ó ÓÒØÖ ØÓÖÓÐ ËØÒ ÙÒÖ ËÔÐÒÐÒ Ú ØÐÓ ÁÒ ØØÙØ ÃÒÚÒ ÍÒÚÖ ØØ ÁÃ͵ ¼º ÙÐ ¾¼¼½ ½ Ê ÙÑ ÒÖ ÖÒ ÑØÓÖ ØÐ ÑÒØÖÒ ØÒ ÇÔØÐ ÖØÖ ÊÓÒ¹ ØÓÒ ÇÊ ÔÔÐØÓÒÖ ÙÒÖ º Ö ÙÚÐ Ø ÓÑÔÐØ Çʹ Ý ØÑ ØÐ ÙÒÖ Ð

Læs mere

Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004)

Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004) Algoritmer og Datastrukturer 2 (Sommer 2004) 1a n = rk + 2. m = 2k + 2(r 1)(k 1). Dijkstra: O(m log n) = O((2k + 2(r 1)(k 1))log(rk + 2)) = O(rk log(rk)). 1b 2 / 1 t 1 2 1 / 1 3 / 3 1 3 s 0 / 0 På grafen

Læs mere

ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ë Ð Ý ÙÒ Ý ÂÓĐ Ð ÓÓ Ò Þ Ë Ò ÓÝ ÖÙ Ý Å Ý ¾¼¼½ ØÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ô ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ô ¹ ØÝ Û Ø

ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ë Ð Ý ÙÒ Ý ÂÓĐ Ð ÓÓ Ò Þ Ë Ò ÓÝ ÖÙ Ý Å Ý ¾¼¼½ ØÖ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ô ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ô ¹ ØÝ Û Ø ÇÒ¹ÐÒ ÙÐÒ ÓÒ ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ ËÐÝ ÙÒ Ý ÂÓĐÐ ÓÓ Ò Þ ËÒÓÝ ÖÙ Ý ÅÝ ¾¼¼½ ØÖØ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÙÒÓÖ ÙÐØÔÖÓ ÓÖ Ò ÖØÖÞ Ý Ô ÓÖ ÓÔÙØÒ Ô¹ ØÝ ÛØ Ø ÒØÖÔÖØØÓÒ ØØ Ó ÜÙØÒ ÓÒ ÔÖÓ ÓÖ ÛØ Ô ÓÖ Ø Ø ÙÒØ ÓÔÐØ Øµ ÙÒØ Ó ÜÙØÓÒº Ì ÓÒ¹ÐÒ

Læs mere

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ Ò ½ ¼ ¹½ ½µ Ö Ø Ð Ö Ö Ó ÐÓ Öº ÇÔ Ò Ø Ö Ø ³Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒ³ Ó ÓÖ Ö Ð ÓÓÐ Ð Ö ÐÓ º

Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ Ò ½ ¼ ¹½ ½µ Ö Ø Ð Ö Ö Ó ÐÓ Öº ÇÔ Ò Ø Ö Ø ³Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒ³ Ó ÓÖ Ö Ð ÓÓÐ Ð Ö ÐÓ º Ð ÓÖ ØÙÖ ÅØÑØ ¹ÓÒÓÑ Ó ËØØ Ø ½º ÖÒ ÒÖº ÑÖ ¼¼ ÙÙ ØÙ ÅÓÖÒ ½¼¹½½µ ÖØ ÐÖÖ Ó ÐÓÖº ÇÔÒØ ÖØ ³ÑØÑØ ÒÙØÓÒ³ Ó ÓÖÖ Ð ÓÓÐ ÐÖ ÐÓº ÁÒÓÐ Ì Ö ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÙÐÐÖ

Læs mere

À Ö¹ÇÖ Öµ ÍÒ Ø ÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Å ÙÖ Ó Ý Ð ¹Ê Ò ÓÒ ÖÓÙÞ Ã Ñ Ö Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð À Ö ÓØ¹Ï ØØ ÍÒ Ú Ö

À Ö¹ÇÖ Öµ ÍÒ Ø ÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Å ÙÖ Ó Ý Ð ¹Ê Ò ÓÒ ÖÓÙÞ Ã Ñ Ö Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð À Ö ÓØ¹Ï ØØ ÍÒ Ú Ö ÀÖ¹ÇÖÖµ ÍÒ ØÓÒ Ú ¹ ØÝÐ Ó ÜÔÐØ Ù ØØÙØÓÒ ÅÙÖÓ ÝйÊÒÓÒ ÖÓÙÞ ÃÑÖÒ ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÓÑÔÙØÖ Ò ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÍÒÚÖ Ö Ð ÀÖÓعÏØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ö Ð º º Ö Ð ÒÙÖ ËÓØÐÒ Á ÒÓÚÒ Ø ÆØÖÐÒ ÇØÓÖ ¾¼¼¼ Ìг ÈÐÒ ½º ÏØ ÀÇÍ ¾º ÀÇÍ Ò ÜÔÐØ Ù

Læs mere

System AND3 R1 R2 R3 R4 R5

System AND3 R1 R2 R3 R4 R5 ÖÒÒ ÚÒ Ö ÖÔÖØÓÒ ÒÐÒÖ ØÐ ØÖÓÙÐ ÓÓØÒ ÓÑÒÖ Ñ Ò Ð Ó Ò ÒÐÒÖ System AND1 AND2 AND3 K1 K2 K3 K4 K5 H1 H2 H3 H4 H5 R1 R2 R3 R4 R5 ÖÙÔÔ ¹ Ì ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö Ú ¾¾¼ ÐÓÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÐÒÒ ÓÖ ØÐÓ ÖÖ Ö

Læs mere

Estimation og konfidensintervaller

Estimation og konfidensintervaller Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,

Læs mere

ÈÓÖØÐÓÔØÑÖÒ ÓÖ Ò ÖÐÖØÐÒ ÃÓÙÖÓ ÅÖÒ Ê ÑÙ Ò ¾¾µ ½¾º ÑÖØ ¾¼¼ ÎÐÖ ÈÖÓº ÂÒ ÐÙ Ò ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖÒ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÓÖÓÖ ØØ ÑÒ ÔÖÓØ Ö ÙÖØ ÓÑ ÐÙØÒÒ Ô ÑÒ ÙÒÒÐ ÓÑ ÚÐÒÒÖ Ñ ÖØÒÒ ØÒÐ Ò ÒÚÒØ ÑØÑØ Ú ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ Øغ

Læs mere

Homepage: Literature: Work environment: library(rcmdr) Why R: 1 R-language. 1.1 Data

Homepage:   Literature: Work environment: library(rcmdr) Why R: 1 R-language. 1.1 Data Ê ¹ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ÇÐ Ú Ö Ã Ö ÑÔ ½ º ÂÙÐ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Â Ò ¹¼ Â Ò Ñ Ð ÓÐ Ú Ö Ö ÑÔº ½ ½ Homepage: http://www.kirchkamp.de/ Literature: Î Ò Ð ËÑ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ê Î ÖÞ Ò Ë ÑÔÐ Ê ÖÒ ÛÓÖØ ÓÒÓÑ ØÖ Ò

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag    susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller

Læs mere

Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÑ ÐÐ Ø ¹ ÒÐÓ Ò Ë Ö Ð À Ö¹È Ð ËÓ Ñ Å ÞÙÑ Ö Ý ÆÓÚ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø È Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ò

Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ËÑ ÐÐ Ø ¹ ÒÐÓ Ò Ë Ö Ð À Ö¹È Ð ËÓ Ñ Å ÞÙÑ Ö Ý ÆÓÚ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÖ Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø È Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ò Ø ÐÓÖØÑ ÓÖ ÓÑÔÙØÒ Ø ËÑÐÐ Ø ¹ÒÐÓ Ò ËÖÐ ÀÖ¹ÈÐ ËÓÑ ÅÞÙÑÖ Ý ÆÓÚÑÖ ¼ ¾¼¼ ØÖØ Ï ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÒÒ ÓÖ ÚÒ Ò ÔÓÒØ Ø È Ò Ø ÔÐÒ Ò Ò ÒØÖ Ò Ø ÑÐÐ Ø ÖÐ ÒÐÓ Ò Ø Ð Ø ÔÓÒØ Ó È º Ï ÔÖ ÒØ ÖÒÓÑÞ ÐÓÖØÑ ØØ ÓÑÔÙØ Ò Ç Òµ ÜÔØ

Læs mere

ÇÒ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä ÞÐ Ó ÖÑ Ò Ò ØØ Ð ÃÓÚ Ý ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ø Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø ÖÐ Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú

ÇÒ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä ÞÐ Ó ÖÑ Ò Ò ØØ Ð ÃÓÚ Ý ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ø Ö ÙÑÑ Ö Þ Ò Ø ÖÐ Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú ÇÒ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ä ÞÐÓ ÖÑÒ Ò ØØÐ ÃÓÚ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÒÚ ØØ ÚÖÓÙ ÒÙÑÖ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÙØÓÒ º ØÖ ÙÑÑÖÞÒ Ø ÖÐÖ Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ ØØ ÓÖ ÚÒ ÐØØ Ò ÜÔÒ Ú ÑØÖÜ Å Å µ ØÒ ØÖ ÐÛÝ Ü Ø ÙØÐ Ø Ø ÓÖ Û Å µ ÒÙÑÖ Ý ØѺ ÀÖ ÑÒ

Læs mere

ÖØ ÚÖÒ ØÓÖØ ÓÑ Ø Ò ÐÐÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÒØ ÒÚÒØ ÜÑÔÐÖº ÅÒ ØÖØÒÒ ÑØ ÓÖ ÐÐ ËÝÒ ÔÙÒØÖ Ö ÚÐ ÒØÓÔ Ø Ø Ò ØÖØ ÚÐ Ø Ú ÚÖØ ÓÖÙÒØ Ñ ÙÖÒÐ ÎÒ ÐÖ ÔÙÐØÚ Î Ø ÓÑÑ ØÐ Ò Ä ÒÒ ËÔ

ÖØ ÚÖÒ ØÓÖØ ÓÑ Ø Ò ÐÐÖ ÖÒ ÓÑ Ø ÒØ ÒÚÒØ ÜÑÔÐÖº ÅÒ ØÖØÒÒ ÑØ ÓÖ ÐÐ ËÝÒ ÔÙÒØÖ Ö ÚÐ ÒØÓÔ Ø Ø Ò ØÖØ ÚÐ Ø Ú ÚÖØ ÓÖÙÒØ Ñ ÙÖÒÐ ÎÒ ÐÖ ÔÙÐØÚ Î Ø ÓÑÑ ØÐ Ò Ä ÒÒ ËÔ ØÒÒÒ ÓÑ ÃÐÓ ØÖÖÒØÖ Ìº ƺ ÌÐ ¾º ÆÓÚÑÖ ½¾ Á Ø Å Ò ÙÙ Ø ºº ÚÐØ ÀÒ³ ÖØÓÒ ÓÖ ØÖØ Ñ ËÐ Ø ØÒ ÓÒ ÙÐÒØ ÀÖº ÈÖÓ ÓÖ Äº ÇÔÔÖÑÒÒ Ó ÃÑÑÖÙÒÖ ÈÖÑÖ¹ÄÙØÒÒØ ÖÒØ ÓÑ ÓÖ Ð ØÐÐÖ Ö Ø Ò ÖØ ÒÒ ÓÖ Ð ÓÑ Ø ÒÐ Ô Ø ØÒ ÓÖ ÖÐ Ö ÓÖ ÃÚÒÖ

Læs mere

Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ê ÙÖ Ú ÌÖ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖعÄÙ Û ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ĐÓØÞ ÇÐ Å

Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ê ÙÖ Ú ÌÖ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö Ð ÖعÄÙ Û ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö ÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ĐÓØÞ ÇÐ Å ÄÑØ ÌÓÖÑ ÓÖ ÙØÓÐ Ó ÊÙÖ Ú ÌÖ ÖØØÓ ÞÙÖ ÖÐÙ ÓØÓÖÖ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ù ÈÝ Ö ÐÖعÄÙÛ ¹ÍÚÖ ØĐØ ÖÙÖ Ñ Ö Ù ÚÓÖÐØ ÚÓ ĐÓØÞ ÇÐ ÅÙ ÓÙ Ñ ÖÙÖ ¼¼ ÈÖÓº Öº ÃÝ ÃĐÓ Ñ ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÄÙÖ ÊĐÙ ÓÖ ÈÖÓº Öº ÊÐÔ ÆÖ ØÙÑ Ö ÑĐÙÐ ÈÖĐÙÙ

Læs mere

ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼ ÊÓ Ð Ø ¾¾ ¼ ¾¼ Ñ ÑÙÖÙº Û ÑÙºÖÙº à ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ ÁÅÍ Ø Ø ÒÖº»¾¼¼ Ö Ò ¼½¼¹¾¾ Á ØØ ÔÖÓØ

ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼ ÊÓ Ð Ø ¾¾ ¼ ¾¼ Ñ ÑÙÖÙº Û ÑÙºÖÙº à ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ ÁÅÍ Ø Ø ÒÖº»¾¼¼ Ö Ò ¼½¼¹¾¾ Á ØØ ÔÖÓØ ÌÃËÌ ÆÊ ¾¼¼ ÊÙØÔÐÒÐÒÒ ¹Ó ÒØÚÖ Ã ÔÖ º Ö ØÒ Ò Ó ÂÒ Öº ÄÖ Ò ÌÃËÌÊ Ö ÁÅÍ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÊÇËÃÁÄ ÍÆÁÎÊËÁÌÌËÆÌÊ ÇÊ ËÌÍÁÌ ÅÌÅÌÁÃ Ç ËÁà ËÅÌ ÊË ÍÆÃÌÁÇÆÊ Á ÍÆÊÎÁËÆÁÆ ÇÊËÃÆÁÆ Ç ÆÎÆÄËÊ ÁÅÍ ÊÓ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÒØÖ ÈÓ ØÓ ¾¼ ù¼¼¼

Læs mere

ÃÔØÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ ØÐ ÔÖ ÓÒÒ Ô Ò ØÐÐØ ÐØ Ò Ò ÒÚÒÐ Óѹ Ö ÚÐ ÛÓÖ Ø¹ ÔÖ ÓÒÒ ÓÑ Ö Í³ Ù Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ô 8 ÈÖ ÓÒÒ Ö ÖÓÖ ÚÐØ ØÐ Ø ÚÖ

ÃÔØÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ Ö Ö ÓÖ ÐÐ ÖÚ ØÐ ÔÖ ÓÒÒ Ô Ò ØÐÐØ ÐØ Ò Ò ÒÚÒÐ Óѹ Ö ÚÐ ÛÓÖ Ø¹ ÔÖ ÓÒÒ ÓÑ Ö Í³ Ù Ø ÓÑ Ö Ò ÔÖ ÓÒ Ô 8 ÈÖ ÓÒÒ Ö ÖÓÖ ÚÐØ ØÐ Ø ÚÖ ÁÒÓÐ ½ ÃÖÚ ÔØÓÒ ¾ ½º½ ÃÖÚ ÔØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖÓÐÑÖÒ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä ÒÒ ¾º½ ÎÐ

Læs mere

ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÖÑ Ð ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑ Ö ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ù Á Ñ Ò ÂÓÙ Ó ÎĐ Đ ÒĐ Ò Ò ØÖ Ø ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ö Ò ÓÚ Ö Ð

ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÖÑ Ð ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑ Ö ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ù Á Ñ Ò ÂÓÙ Ó ÎĐ Đ ÒĐ Ò Ò ØÖ Ø ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ú Ö Ð Ö Ò ÓÚ Ö Ð ÆÓØÖ Ñ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÖÑÐ ÄÓ ÎÓÐÙÑ ¼ ÆÙÑÖ ¼ ¾¼½¾ ÓÓÐÒ ÚÐÙ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ù ÁÑ Ò ÂÓÙÓ ÎĐĐÒĐÒÒ ØÖØ ÁÒ Ó¹ÐÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÚÖÐ ÖÒ ÓÚÖ ÐÐ Ù Ø Ò ÖÐØÓÒ Ó Ø ÓÑÒ Ò ÕÙ ØÓÒº ÁÒ Ó¹ ÐÐ ÀÒÒ ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ ÚÖÝ ÑÓÐ ÒÓÛ ÛØ Ø

Læs mere

Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ê ÛÖ Ø Ò Ö Ø ÉÙ Ö Í Ò Î Û Ë Ö Ó Ò ½ Ï ÖÒ Ö ÆÙØØ ¾ Ò Ð Ü Ò Ö Ë Ö Ö Ò ½ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ö Ò º Ù º º Ð ¾ ÖÑ

Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ê ÛÖ Ø Ò Ö Ø ÉÙ Ö Í Ò Î Û Ë Ö Ó Ò ½ Ï ÖÒ Ö ÆÙØØ ¾ Ò Ð Ü Ò Ö Ë Ö Ö Ò ½ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ö Ò º Ù º º Ð ¾ ÖÑ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÊÛÖØÒ ÖØ ÉÙÖ Í Ò ÎÛ ËÖ ÓÒ ½ ÏÖÒÖ ÆÙØØ ¾ Ò ÐÜÒÖ ËÖÖÒ ½ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ Ì ÀÖÛ ÍÒÚÖ ØÝ ÂÖÙ ÐÑ Á ÖÐ ÖÒ ºÙººÐ ¾ ÖÑÒ Ê Ö ÒØÖ ÓÖ ÖØ Ð ÁÒØÐÐÒ ÃÁ ÑÀµ ½¾ ËÖÖĐÙÒ ÖÑÒÝ ÏÖÒÖºÆÙØغ ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ôغ ú ͺ ÄÙÚÒ ÀÚÖÐ

Læs mere

Matematiklærerdag 2008

Matematiklærerdag 2008 Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit

Læs mere

ÍÖ Ò ÚÖÒ ÒÐÝ ØÐ ÑÑÒÐÒÒ Ò Ø ØÒ ¾º ØÖ ÖÙÔÔÖ Ó ÓÒÐÙÖ Ù Ö ÒÒº ÓÖ ØÑØ Ó ÓÒÒ ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐÒ Ò Ø ¹ ÒÚ ÓÖ ÓÑÒйÔØÒØÖÒ ÓÖÓÐ ØÐ ÝÒÓÐÓ¹ ÚÖ Ö Ö ØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÚÖÒ ÒÐ

ÍÖ Ò ÚÖÒ ÒÐÝ ØÐ ÑÑÒÐÒÒ Ò Ø ØÒ ¾º ØÖ ÖÙÔÔÖ Ó ÓÒÐÙÖ Ù Ö ÒÒº ÓÖ ØÑØ Ó ÓÒÒ ÖÒ Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐÒ Ò Ø ¹ ÒÚ ÓÖ ÓÑÒйÔØÒØÖÒ ÓÖÓÐ ØÐ ÝÒÓÐÓ¹ ÚÖ Ö Ö ØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÚÖÒ ÒÐ Ø ØØØ ÖºØÜØ Á ØØÔ»» غÔÙÐغٺ»ÐØ» м»ÑÑÓÔÚºØÑе Ò ÓÔÖÐ ÓÚÖ ÑÐÒÖ Ô ÔØÒØÖ Ö Ö ÒÒÑØ Ò Ò ØÝÔÖ ÓÔÖØÓÒÖ µ ÒÖØ Ú Ö Ú ÓÔÐÝ ÒÒ ÓÑ ÔÖ ÓÒÒ ÐÖ Ö ÐÖµ ÑØ ÐÒÒ ÀÖÙÓÚÖ Ò Ø Ò Òصº Ò Ö Ö Ø Ø ÙÒÖ ÚÓÖÒ ÐÒÒ Ò Ø Ò ÒÖ Î Ó ÓÔÖØÓÒ

Læs mere

ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý Ø Ñ Ë ÑÓÒ ÐÓ ÖÓ ² Ö Ö Ê Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ËØÖÙ Ð Ó ½¼ ¼ Î ÒÒ Ù ØÖ ØÖ Ø Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý

ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý Ø Ñ Ë ÑÓÒ ÐÓ ÖÓ ² Ö Ö Ê Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ËØÖÙ Ð Ó ½¼ ¼ Î ÒÒ Ù ØÖ ØÖ Ø Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ÇÒ Ð Ð ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ ËÑÓÒ ÐÓÖÓ ² ÖÖ ÊÒ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÅØÑØ Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ËØÖÙÐÓ ½ ÎÒÒ Ù ØÖ ØÖØ Ì ÆÓÖ ØÖĐÓѹÎÐ ÓÚ Ý ØÑ Ö Ø ÝÒÑ Ó Ð¹ÖÚع ØÒ Ò ÑÐ Ó ÓÐÐ ÓÒÐ ÔÖØÐ Ò Ø ÖÑÛÓÖ Ó Ø ÆÓÖ ØÖĐÓÑ ÐÖ ØÓÖÝ

Læs mere

ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹ ÓÖÑÙÐÖØ ÓÑ Ò ÝÒÑ ÐÒÖ ÑÓÐ Ö ØÒ Ï ÆÐ Ò ØØÒ ÖÚÖ Ö ÂÙÒ ¾¼¼¾ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø ÒÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Ø ÌÒ ¹ÆØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÑÒ ÅÒÑÐÑÓÐ ¹

Læs mere

Å¹Ã Ò Ú Ò Ë ÑÔÐ Ö ÐÔ Ø¹ÁÒ Ô Ò ÒØ Å¹ÁÒ Ü Ê Ð ÈÖÞÝÛ Ö ½ ËÞÝÑÓÒ Ö ÓÛ ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ð Ò ÖÓ Ë Ð Ò Ö ½ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ôغ Ì º ÍÒ Úº Ó Ä Ó Þ ÈÓÐ Ò º

Å¹Ã Ò Ú Ò Ë ÑÔÐ Ö ÐÔ Ø¹ÁÒ Ô Ò ÒØ Å¹ÁÒ Ü Ê Ð ÈÖÞÝÛ Ö ½ ËÞÝÑÓÒ Ö ÓÛ ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ð Ò ÖÓ Ë Ð Ò Ö ½ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ôغ Ì º ÍÒ Úº Ó Ä Ó Þ ÈÓÐ Ò º Å¹Ã Ò ÚÒ ËÑÔÐÖ ÐÔعÁÒÔÒÒØ Å¹ÁÒÜ ÊÐ ÈÖÞÝÛÖ ½ ËÞÝÑÓÒ ÖÓÛ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò ÐÒÖÓ ËÐÒÖ ½ ÓÑÔÙØÖ ÒÒÖÒ Ôغ ̺ ÍÒÚº Ó ÄÓÞ ÈÓÐÒº ¾ Ôغ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚº Ó Ð Ðº Ú Êº ÖØÓÒ ËÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÏØÖÐÓÓ Òº ØÖغ

Læs mere

½ ËÐ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÇÐ Ú Ö Ä ÙÖ ÒØ ÁÅĹ ÆÊË Å Ö ÐÐ ÇÐ Ú ÖºÄ ÙÖ ÒØÔÔ º Ù Ùº Ö ÄÓÖ ÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖ ÙÒ ÖÓÑ º Ø ØÖ Ø ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓ

½ ËÐ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÇÐ Ú Ö Ä ÙÖ ÒØ ÁÅĹ ÆÊË Å Ö ÐÐ ÇÐ Ú ÖºÄ ÙÖ ÒØÔÔ º Ù Ùº Ö ÄÓÖ ÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖ ÙÒ ÖÓÑ º Ø ØÖ Ø ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓ ½ ËÐÒ ÔÓÐÖÞ ØÚ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ÇÐÚÖ ÄÙÖÒØ ÁÅĹÆÊË ÅÖ ÐÐ ÇÐÚÖºÄÙÖÒØÔÔ ºÙ ÙºÖ ÄÓÖÒÞÓ ÌÓÖØÓÖ ÐÓ ÊÓÑ ÁÁÁ ØÓÖØÓÖÙÒÖÓÑ ºØ ØÖØ ÌÓ ØØ Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÓÑÔÙØÒ ÛØ Ø ØÚ Û ÒØÖÓÙ ÒÓØÓÒ Ó Ð ÔÖÓÓ¹ÒØ ÓÖ Ø ÔÓÐÖÞ ÖÑÒØ Ó ÐÒÖ ÐÓº Ï ÔÖÓÚ

Læs mere

Ä Ð Ö Ô Ò ÝÒ Ñ Ä Ò Å Ø Ò ÓÖ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ò ÐÝ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ È Ý ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙ Ö¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ó ÙÑ ÚÓ

Ä Ð Ö Ô Ò ÝÒ Ñ Ä Ò Å Ø Ò ÓÖ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ë Ò Ò ÐÝ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ È Ý ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙ Ö¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ó ÙÑ ÚÓ ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ ÒÐÝ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö Ò ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ò Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÈÝ ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÊÙÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÓÙÑ ÚÓÖÐØ ÚÓÒ ÄÙÖÒÞ Ï ÓØØ ÂÙÐ ½ ÈÙÐ Ï ÓØØ Äº ½µº ÄÐ ÖÔ Ò ÝÒÑ ÄÒ ÅØÒ ÓÖ ÊÓÒØÓÒ Ò ËÒ

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

ÓÖ Ò ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ Ô À Ò ÖÙ Ò ÍÒ Úº Ó Ð Ø Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ö Ö Ã ÐÐ Ö ÍÒ Úº Ó ÖÐ Ò Ò Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒ Úº Ó Ï Ö Û ÈÓÐ Ò Ë Ø Ò Ú Ò ËØÖ Ò ÍÒ Úº Ó Ñ

ÓÖ Ò ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒ Ñ Ð Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ Ô À Ò ÖÙ Ò ÍÒ Úº Ó Ð Ø Ø Æ Ø ÖÐ Ò Ö Ö Ã ÐÐ Ö ÍÒ Úº Ó ÖÐ Ò Ò Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒ Úº Ó Ï Ö Û ÈÓÐ Ò Ë Ø Ò Ú Ò ËØÖ Ò ÍÒ Úº Ó Ñ ÓÖÒ ÒØÓÖ Ø Ò ÝÒÑÐ Ý ØÑ ÓÒ ÑÔ ÀÒ ÖÙÒ ÍÒÚº Ó ÐØ Ø ÆØÖÐÒ ÖÖ ÃÐÐÖ ÍÒÚº Ó ÖÐÒÒ Ê ÌÓÑ Þ ÆÓÛ ÍÒÚº Ó ÏÖ Û ÈÓÐÒ Ë ØÒ ÚÒ ËØÖÒ ÍÒÚº Ó Ñ ØÖÑ Ø ÆØÖÐÒ Ý ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÐÐ ÓÛ ØØ ØÖ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÙÒÑÓÐ ÑÔ ¼ ¼ Û ÒÓÒ¹ÖÒÓÖÑÐÞÐ

Læs mere

ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ Ò ÇÔÐ ØÐ ËÒØÐ ½½ ÐÙ

ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ Ò ÇÔÐ ØÐ ËÒØÐ ½½ ÐÙ ËØÖØ ÊÙÐÖ ÖÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ËÔÐ ØÖÖØ ¼¼½ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÚÒ Ö ÌØÐ ËØÖØ ÖÙÐÖ ÖÖ ÈÖÓØÔÖÓ ½º ÔØÑÖ ØÐ ½º ÑÖ ¼¼½ ÈÖÓØÖÙÔÔ ÅØ ¹½¼ ÖÙÔÔÑÐÑÑÖ ÂÓ ÈØÖ ÌÓÑ Ò ÎÐÖ Ä ÃÖ ÂÖÒ

Læs mere

INSTITUT FÜR INFORMATIK

INSTITUT FÜR INFORMATIK INSTITUT FÜR INFORMATIK ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ ÈØÙÖ ÄÒÙ ÇÐÚÖ ÅØÞ ÖØ ÆÖº ¼¼ ÖÙÖÝ ½ ¾¼¼ CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT KIEL ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÁÒÓÖÑØ Ö Ö ØÒ¹ÐÖØ ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÞÙ ÃÐ ÇÐ Ù Ò ØÖº ¼ ß ¾¼ ÃÐ ÃÐÒ ÌÓÖÑ ÓÖ ÊÙÐÖ

Læs mere

Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ð Ó ÖÓ Å Ò ÂÒÙÖ ¾¼¼¾ Ð ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÅØÑØ ÖÖ Ö Î ¾¾¼ ÐÓÖ Ø Ø ØÒ ¹ÒØÙÖÚÒ Ð ÙÐØØ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÑØÑØ ÌÁÌÄ Å ÓÙ Ô ÝÒÑ ÅÓÐÐÖ Ó ÖÓ Å Ò ÎÂÄÊ ËÖÒ ÄÙÒÝ¹Ö ØÒ Ò ÌÓÑ Ë ÈÊÁÇ ½º ÔØÑÖ

Læs mere

ÁÌ ÎÓÐ ÆÓ ÔÔ ß ¹»»¹ ËÛØ ² ØÐÒÖ ÏÝ Ê ØÖØ ØÚ ËÛÖÞ ÓÒÚÖ ØÖ ØÒ ØÚ ËÛÖÞ ÎÊÁÁÃÁ ËÌÌÀÁÇÍ Ò ÅÊÌÁÆ Â ÆÊ ØÖØ ÔÖØÒØ Ó ÅØØ Ò ËØØ Ø ÅÐÐ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÓÒØÖÐ É Ò À à РØØÓÙØÐÐ ÒÖØÐÐ ÊÒØÐÝ ÚÖÒØ Ó Ø ØÚ ËÛÖÞ Ëµ ÔÖÓÒØÓÒÖ Ø Ö

Læs mere

ÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁÄ ËÁÆË ÄÇÊ ÍÆÁÎÊËÁÌ ÊÊÁà ÂÊË Î ÈÓÒ Ã¹ ÄÇÊ ÌÐÜ ½ ½ ÆÅÊà ÌØÐ ËÙØØÐ ÌÑ ÈÖÓØ ÔÖÓ ÇÒ Ø ÚÓÒ ÃÖÑÒ ÕÙØÓÒ ÁÒØйÓÙÒÖÝ ÎÐÙ ÈÖÓÐÑ Ò ËØÐÞØÓÒ ÔÔÐ ÅØÑØÐ ÒÐÝ ÖÙÖÝ Ø ¹ ÂÙÒ ½Ø ÙØÓÖ ÀÒÖ Î Ö ØÒ Ò ÖÒ ÈÖ Ò ËÙÔÖÚ

Læs mere

Ö Ñ Ø Ë Ò Ê ÓÒ Ö ÁÐ Ò Î Ö ÓÒØ ÒØ ½ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ½¾ È Ý Ð ÙÑÔØ ÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ö Ñ Ø Ë Ò Ê ÓÒ Ö ÁÐ Ò Î Ö ÓÒØ ÒØ ½ ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ½¾ È Ý Ð ÙÑÔØ ÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÑ Ø ËÒ ÊÓÒÖ ÁÐÒ ÎÖ ÓÒØÒØ ½ ÌÖÒ ÐØÓÒ ¾ ¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½¼ Ì ÔÖÓÐÑ ½¾ ÈÝ Ð ÙÑÔØÓÒ ½ º½ Ì Þ Ó Ø ÙÒÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÖØ ÖÓÙÒ º º º º º º º

Læs mere

ÚÒÖØ ÃÖ Ý ØÑ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÍÖØ ÈÖÓØÖÙÔÔ ¹ ¹¼ ÐØÖÓÒ ¹ ÐØÖÓØÒ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ Í ¾¼ º ¾¼¼ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÐØÖÓÒ ËÝ ØÑÖ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ÌÁÌÄ ÚÒÖØ Ö Ý ØÑ ÌÅ ÒÐÓ Ý ØÑÖ Ñ ÔÐ Ñ ØÑØÖ ÈÊÇÂÃÌÈÊÁÇ ¾º Ô ¾¼¼ ¹ ¾¼º ¾¼¼ ÊÍÈÈ

Læs mere

À ÐÝ ÙÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÒÚ ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÎ ÁÚ Ò ËÐ ÔÒ Ö Ý Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ä Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Ø Â Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ò Â ¾

À ÐÝ ÙÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÒÚ ÐÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÎ ÁÚ Ò ËÐ ÔÒ Ö Ý Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ä Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Ø Â Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ò Â ¾ ÀÐÝ ÙÖØ ËÝÑÑØÖÒÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÀÝÔÖÓÐ ËÎ ÁÚÒ ËÐÔÒÖ Ý ÙÙ Ø ¼ ¼¼ ØÖØ ÄØ Ñ Ò ÖÐ ÑØÖÜ ÛØÙÐÐ ÓÐÙÑÒ ÖÒÒ ÐØ Â Ò Ò ÓÒÐ ÑØÖÜ Ó Ò Â º ÌÝÔÖÓÐ ÒÙÐÖ ÚÐÙÓÑÔÓ ØÓÒ ÀËε Ó Ø ÔÖ Âµ Ò Í Î Í ÓÖØÓÓÒÐ ÔÓ ØÚ ÒØÓÒÐ Ò Î Â¹ÓÖØÓÓÒÐ

Læs mere

ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÃºÅºÂº ÓÒØÖ Ö ºÎº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Ý ÅºÅº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Þ º ºÂº ÀÙÖ Ò Ü ÂºÃº Ä Ò ØÖ Üß Êº Ê Ú Äº ËØÓÙ Ü Å Ö ¾¼¼ ØÖ

ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÃºÅºÂº ÓÒØÖ Ö ºÎº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Ý ÅºÅº À ÐÐ ÓÖ ÓÒ Þ º ºÂº ÀÙÖ Ò Ü ÂºÃº Ä Ò ØÖ Üß Êº Ê Ú Äº ËØÓÙ Ü Å Ö ¾¼¼ ØÖ ÔÔÖÓÜÑÓÒ ÐÓÖÑ ÓÖ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ ÃÅ ÓÒÖÖ Î ÀÐÐÓÖ ÓÒ Ý ÅÅ ÀÐÐÓÖ ÓÒ Þ Â ÀÙÖÒ Ü Âà ÄÒ Ö Üß Ê ÊÚ Ä ËÓÙ Ü ÅÖ ¼¼ Ö ÁÒ ÓÚÖ ÔÖÓÐÑ Ó Ñ Ñ ÚÒ ÓÖ Û ÓÐÐÓÒ Ó Ù ÐÐ ÑÐÐ ÙÓÐÐÓÒ Ó Ó Ð Ù ÓÖ ÔÖ Ó Ñ Ö Ò ÐÓÒ ÓÒÒ ÜÐÝ ÓÒ Ó ÛÓ Ñ Á

Læs mere

AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN

AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN AEROELASTISK STABILITET AF LANGE HÆNGEBROER - RAPPORT - DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE FAKULTET AALBORG UNIVERSITET B-SEKTOREN 10. SEMESTER MORTEN GROTKJÆR HANSEN ÅÓÖØÒ ÖÓØÖ ÀÒ Ò ¾ ØØ

Læs mere

(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L

(b) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ÓÖ ÐÐ 0 x, y, z L ÅØÑØ ÓÖÒÒ Ö ØÖØÓÒ ÓÖ Ø ÓÐ ÓÑÑÖ ÓÐ Ó Ö Ö Ò ÓÖ Ö Ø Ò ØÐ Ù ÃÒÚÒ Ô Àº ÓÑÑÖ ÓÐÒ ËÖÒ ÐÖ ÃÍ ËÝÑÓÐ ÝÒÑ ÖÒ ÌÓØ ËÍ ÍÐ Ø ÓÑÒØÓÖ ÔÖÓÐÑÖ ÒÚÒÖ ØÐ ÑØÑØ ØÙÖÒ Ò Ø ÐÚÐ ËÓÑÑÖ ÓÐÒ ØÙÙѺ Ⱥº¹ ØÙÖÒ Ö Ó ÑØ ÚÐÓÑÒº Ö Ö Ø ÐØÖÝÖ

Læs mere

ÒØÒÒ Ù ÒÙÑ Ó Ò ÖÑÒØÙÖÒÒÖ Ó ÝÒÒ Ò ÒÒ Ó Ò ØØÖÙ Ô ÃÒØ ËÐÐÒ Ø ËÐÐ ÊØØÖ Ó ÏÒØÖÐ Ù ÚÖÙÐ Ö ÙÑÝÒÖ Ò Ó Ú Ò ØÖ ÐÐØ ØÐ ÚÐÓ º Ö Ø ØØ ÑÐÐ ÚÐÐÖ Ò Ò ÒÒ ÚÖ ÙÑÝÒÖÙÖ Ó

ÒØÒÒ Ù ÒÙÑ Ó Ò ÖÑÒØÙÖÒÒÖ Ó ÝÒÒ Ò ÒÒ Ó Ò ØØÖÙ Ô ÃÒØ ËÐÐÒ Ø ËÐÐ ÊØØÖ Ó ÏÒØÖÐ Ù ÚÖÙÐ Ö ÙÑÝÒÖ Ò Ó Ú Ò ØÖ ÐÐØ ØÐ ÚÐÓ º Ö Ø ØØ ÑÐÐ ÚÐÐÖ Ò Ò ÒÒ ÚÖ ÙÑÝÒÖÙÖ Ó ÊÔÔ Ò Ö Ø ÒÖ Àº ÙÑÙÒ ÓÒ ÊÙÒÚ Ò ØÓÒÙÒ À ÐÒ ÁÒÒÒÙÖ ÀÙ Ø ÓÑ Ø ÃÙÔÑÒÒÒ Ò ÆØÙÖÐÖÒ ÑÒ Ð ØÖ Àº º Ö Ø Ó ÚÖ Ò ØÐÙ ØÐ ÒÒ ÐÙ Ð Ö Ú ÀÒÖ Ð Ó ÐÖ Ð Ò¹ ÑÖÙº ÀÒ ÚÖ Ó ÒÓØÙ Ñ Ð Ð Öº Ò ÒØÙÖ ÒÖÑØ ÖÖÖ Ö ØÙ ÚÖ ÝÖ Ø ÒÒ ÐÙÒ Ð

Læs mere

ÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ ÒÒ ÓÖ ÒÓÖÑØ Ó ÅØÑØ ÅÓÐÐÖÒ Åŵ

ÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ ÒÒ ÓÖ ÒÓÖÑØ Ó ÅØÑØ ÅÓÐÐÖÒ Åŵ ÒÐÝ ËØØ Ø ÖÓÔ Ð ÖØÔØÒØÖ ÔÓØÒØÐ ¾¼¼ ÄÆ ÃËÅÆËÈÊÇÂÃÌ ÅÅ ÂÓ ÈÖ Ò Æʺ ½¼»¼ ÌÖÝØ ÅÅ ÌÍ ÖÔÔÓÖØ Ö ÐÚØ ØÐ ÑÖ Ñ ÍÒÚÖ ØØ Ó ÔØÐÖÒ ÒÒ ÓÖ ËÝÔй Ó ÇÑ ÓÖ ÓÖ ÒÒ Í˵ ÒØÖ ÓÖ Å٠й ÒØÖ ÇÒÓÐÓ Ó ÑØÓÐÓ ÐÒ Ô Ê Ó ÔØÐ ÑØ Ò¹ ÓÖ

Læs mere

Ê ÓÒ¹ ÅÓ Ð ØÖ Ø ÓÒ Â Ö ÑÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø º Ö Ð Ýº Ù Â Ñ Êº Ä ÖÙ Ð ÖÙ Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Â Ó Ê Ó Ö Ó Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Ù Ù Ø ¾¼¼ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖ Ö Ñ Ãº Ê Ñ

Ê ÓÒ¹ ÅÓ Ð ØÖ Ø ÓÒ Â Ö ÑÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø º Ö Ð Ýº Ù Â Ñ Êº Ä ÖÙ Ð ÖÙ Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Â Ó Ê Ó Ö Ó Ñ ÖÓ Ó ØºÓÑ Ù Ù Ø ¾¼¼ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖ Ö Ñ Ãº Ê Ñ ÊÓÒ¹ ÅÓÐ ØÖØÓÒ ÂÖÑÝ ÓÒØ ÓÒØ ºÖÐݺ٠ÂÑ Êº ÄÖÙ ÐÖÙ ÑÖÓ ÓغÓÑ ÂÓ ÊÓ ÖÓÑÖÓ ÓغÓÑ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÅËʹÌʹ¾¼¼ ¹ ËÖÖÑ Ãº ÊÑÒ ÖÖÑÑÖÓ ÓغÓÑ ÅÖÓ ÓØ Ê Ö ÅÖÓ ÓØ ÓÖÔÓÖØÓÒ ÇÒ ÅÖÓ ÓØ ÏÝ ÊÑÓÒ Ï ¼¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ ÖºÑÖÓ

Læs mere

à ÊÆ Ä Ê Å ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈ Ê ÌÇÊË Î ÁÌ ËÄ Î Î Ë Ä ØÖ Øº Ó Ö Ñ ÜÔ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ð À Ð ÖØ Ô Ö ÜÔÐ Ò Ò ÓÒØ ÜØ Û Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ò Û ÓÑ ØÖ Ô¹ Ô

à ÊÆ Ä Ê Å ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈ Ê ÌÇÊË Î ÁÌ ËÄ Î Î Ë Ä ØÖ Øº Ó Ö Ñ ÜÔ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ð À Ð ÖØ Ô Ö ÜÔÐ Ò Ò ÓÒØ ÜØ Û Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô Ù Ó ÒÚ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ º Ò Û ÓÑ ØÖ Ô¹ Ô ÃÊÆÄ ÊÅ ËÅÇÇÌÀÁÆ ÇÈÊÌÇÊË ÎÁÌËÄÎ ÎËÄ ØÖغ Ó ÖÑ ÜÔÒ ÓÒ Ò ÔÖÐ ÀÐÖØ Ô Ö ÜÔÐÒ Ò ÓÒØÜØ ÛØ Ø ØÓÖÝ Ó Ô ÙÓÒÚÖ ÓÔÖØÓÖ º ÒÛ ÓÑØÖ Ô¹ ÔÖÓ ÓÙØÐÒ ÓÒÒØÒ ÓØ Ö º Ò ØÖØÚ Öѹ ÔÖÓÙÖ Ù Ø Û Ò ØÓ ÚÒ ÙÒØÓÒ ÒØ ÖÑ ÓÖ Ê Þ ÓÖ Ø ÜÔÒ

Læs mere

ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼

ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ÃÑ Ò ÓÖÒ ÎÐÖ ËÖÒ Êº ú ÆÐ Ò ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÔØÚ ËÚÒÒÒ ÓÒØÖÓÐ ÅÐÐÚÒ ÝÒÑ ËØÐÐ ÃÒÒØ ÅÐ Ö ² ÃÑ Ò ÓÖÒ ÇÔÐ ËÒØÐ ½½ ½º ÙÚ ¾¼¼ ÌÖÝ ÐÓÖ ÍÒÚÖ ØØ ØØ Ò ÔÖÓØ Ö ÙÖØ Ú ÐÓÖ ÍÒÚÖ

Læs mere