Elementær Matematik. Vektorer i planen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Vektorer i planen"

Transkript

1 Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen

2 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer Multipliktion f vektor med et tl Opløsning f en vektor efter givne retninger Vektorers koordinter Stedvektor. Vektors længde Drejningsvinkel. Projektion f liniestykke på linie Skrlrprodukt Projektion f vektor på vektor Sklrproduktet udtrykt i koordinter...3. Tværvektor...6. Determinnt for et vektorpr Liniens ligning. Afstnd fr punkt til linie Liniers skæring. To ligninger med to uekendte Koordinttrnsformtioner...3

3 Vektorer i plnen. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer En prllelforskydning f en figur i plnen er en opertion, hvor lle figurens punkter flyttes det smme stykke i den smme retning. Prllelforskydningen som fører punktet A over i punktet B kn skrives som A B. En prllelforskydning kn derfor pssende illustreres ved et orienteret liniestykke, tegnet som en pil. Det er indlysende, t to pile med smme længde og smme retning repræsenterer den smme prllelforskydning. Mængden f lle pile med smme længde og retning kldes for en vektor. En enkelt pil kldes en repræsentnt for vektoren. D lle pilene svrer til smme prllelforskydning, vil vi herefter etegne en pil som en vektor i stedet for det mere omstændelige - men korrekte en repræsentnt for vektoren. En vektor, der forinder to punkter A og B i plnen, skrives som AB, men mn kn også skrive en vektor som et enkelt lille fremhævet ogstv eller et lille ogstv med en pil over. Følgende 3 skrivemåder er således ækvivlente: AB Længden f en vektor skrives med to lodrette streger: AB. Længdesymolet må ikke forveksles med det smme symol for numerisk værdi f et tl. Blndt vektorer, findes specielt en som hr længden nul. Den etegnes nulvektoren og skrives o. Nulvektoren tillægges ikke nogen retning. En egentlig vektor er en vektor, som ikke er nulvektoren. En vektor med længden kldes en enhedsvektor. Enhedsvektorer etegnes ofte som e, i, j og k. To vektorer og siges t være prllelle ( skrives ), hvis der findes en repræsentnt for og en repræsentnt for, som er prllelle. To vektorer siges t være ensrettede eller modst rettede, når deres repræsentnter er henholdsvis ensrettede eller modst rettede. To vektorer og siges t være ortogonle eller står vinkelret på hinnden (skrives ), hvis der findes en repræsentnt for og en repræsentnt for, som er ortogonle. Ved en retningsvektor for en linie, forstås en vektor, som er prllel med linien. Ved en normlvektor til en linie, forstås en vektor som er ortogonl til linien.. Sum og differens f to vektorer Ld os ntge t vi foretger en prllelforskydning, svrende til vektoren, og dernæst en prllelforskydning, svrende til vektoren, som vist på figuren nedenfor. Den resulterende prllelforskydning, svrer d til vektoren fr s egyndelsespunkt til s endepunkt. D dette er summen

4 Vektorer i plnen f de to prllelforskydninger, etegnes vektoren med +. Denne vektor kldes for sumvektoren eller summen f vektorerne og. Bemærk, t + i lmindelighed er side i en treknt med de to ndre sider og. Ifølge trekntsuligheden gælder der, t en side i en treknt ltid er mindre en summen f de to ndre sider. + < gælder kun, hvis og er ensrettede. Vektorddition er kommuttiv. Der gælder sætningen: (.) + + Hvis mn på smme figur, som er nvendt til t konstruere + Afsætter ud fr s egyndelsespunkt og konstruerer +, vil og udspænde et prllelogrm, d de modstående sider repræsenteret f er lige lnge og prllelle. + og + er egge digonlen i dette prllelogrm og derfor er + +. Denne sætning viser smtidig, t mn kn konstruere sumvektoren + på en nden måde. Hvis mn nemlig fsætter og ud fr smme punkt og konstruerer det prllelogrm, som udspændes f og, vil digonlen være en repræsentnt for +. Denne konstruktion kldes ofte for kræfternes prllelogrm. Vendingen kommer fr fysikken, fordi mn finder resultnten f to kræfter på denne måde. Vektorddition er ssocitiv. Der gælder sætningen: (.) +(+c) (+)+c

5 Vektorer i plnen 3 På figuren ovenfor er konstrueret de to vektorer: +(+c) og (+)+c. Det ses t summen i egge tilfælde er den vektor, der forinder s egyndelsespunkt med endepunktet f c. For vektorer gælder indskudsreglen: Hvis A, B og C er punkter i plnen gælder der uindskrænket: (.3) AB AC+ CB Dette følger f definitionen på sum f to vektorer. Specielt er 0 AA AB+ BA Ved den modstte vektor til en vektor, forstår mn en vektor med smme længde med modst retning f. Den modstte vektor til skrives, hvilket ofte læses som minus. Den modstte vektor til nulvektoren er nulvektoren. Der gælder i lle tilfælde t + (-) o. Betrgter vi vektorligningen x +, er løsningen åenrt den vektor, som dderet til giver. Denne vektor etegnes differensvektoren mellem og, og skrives (.4) Konstruktionen f er vist ovenfor. Vektorerne og er fst ud fr smme punkt. Det ses, t vektoren, der forinder endepunktet med endepunktet f, netop er differensvektoren. Af den nden figur ses imidlertid t differensvektoren også kn opnås ved t tge summen f og (-). Dette fordi firknten med siderne og (-) er et prllelogrm, så de to ndre sider og +( ) er identiske vektorer. Der gælder ltså: (.5) + ( ) På smme måde, som det er tilfældet med reelle tl, kn vi derfor skrive i stedet for + ( ). En nyttig konsekvens f dette er, t det ligesom for regning med tl gælder: t mn kn flytte en vektor over på den nden side f lighedstegnet ved t skifte fortegn. Dette følger f nedenstående omskrivninger: c + <> c + (-) + + (-) <> c 3. Multipliktion f vektor med et tl Ved vektoren t, hvor er en vilkårlig vektor og t er et reelt tl, forstår mn følgende:

6 4 Vektorer i plnen Hvis t0, så er t o (nulvektoren) Hvis t>0, så er t en vektor med længden t, som er ensrettet med. Hvis t<0, så er t en vektor med længden t, som er modstrettet med. I lle tilfælde er længden f t lig med t. 3. Eksempel Nedenfor er vist nogle eksempler på multipliktion f vektor med et tl. For multipliktion f vektor med tl gælder der nogle tilsyneldende simple regneregler. Hvis s og t etegner reelle tl og og vilkårlige vektorer gælder. (3.) (s t) s (t ) (s+t) s +t t ( + ) t + t Bevis for den første regneregel: Hvis s0 eller t0 er egge vektorer nulvektoren. Hvis hverken s eller t er 0, vil de to vektorer (s t) og s (t ) hve smme retning eller modst retning f, lt eftersom s t>0 eller s t<0. Endvidere gælder der: (s t) (s t) s t s t s (t ) Den nden regneregel er lidt mere kompliceret t vise. Hvis s og t hr smme fortegn, hr (s+t), s, t og s +t smme retning. Nedenfor ses, t de også hr smme længde, så det er smme vektor. s +t s + t s + t s+t (s+t) Hvis s og t hr modst fortegn, og s+t 0, hr s+t enten smme fortegn som s eller t. Antger vi, t s+t hr smme fortegn som s, hr s+t og t smme fortegn. Vi finder d ifølge ovenstående: s ((s+t) + (-t)) (s+t) +(-t)) (s+t) - t > (s+t) s +t Hvis s+t 0 er t -s og dermed s +t s +(-s) s -s o Hvis og er egentlige ikke prllelle vektorer, kn den sidste sætning kn vises, hvis vi nvender sætningen (eller ksiomet) om t ligednnede treknter er ensvinklede. Nedenfor er vist de to ligednnede treknter der dnnes f vektorerne, og +, smt f vektorerne t, t og t (+). D treknterne er ligednnede er siden, der svrer til + lig med t (+). Ifølge konstruktionen ses, t denne side også er t + t. Altså er t (+) t + t Hvis og er egentlige prllelle vektorer, er t (+) og t + t også prllelle og ensrettede, hvorf sætningen følger trivielt. Hvis enten eller er nulvek-

7 Vektorer i plnen 5 toren, så er sætningen også triviel. Vi eviser endelig følgende lille sætning. (3.3) Hvis og er to vektorer, hvor o, og enten er nulvektoren eller prllel med, så findes der netop ét tl t, så t. Bevis: Hvis t, så er t og dermed t. Endvidere, hvis er ensrettet med er t>0, og t<0, hvis er modst rettet, og t0, hvis o. I lle tilfælde findes der kun et tl, som opfylder t. At t estemt på denne måde fktisk opfylder t er indlysende, idet de to vektorer hr smme retning og længde. Ud fr (3.3) kn mn specielt estemme en enhedsvektor, som er ensrettet med en given vektor. e Det ses umiddelrt t e og t e er ensrettet med 4. Opløsning f en vektor efter givne retninger Ld der være givet to ikke prllelle linier l og m smt en vilkårlig vektor c AB. Vi tegner linier prllelle med l og m, gennem henholdsvis A og B. Linierne skærer hinnden i punktet C. Ifølge Indskudssætningen gælder: AB AC+ CB Idet vi sætter c l AC og c m CB, gælder åenrt (4.) c c l + c m Vi hr ltså fået skrevet c, som en sum f to vektorer, som er prllelle med henholdsvis l og m. Denne opløsning er entydig. Antg nemlig, t c også kn skrives som en sum f to vektorer l og m, prllelle med henholdsvis l og m, så gælder der: c l + c m l + m <> c l - l m - c m På venstre side står en vektor der er prllel med l og på højre side en vektor der er prllel med m. D l og m er ikke prllelle må de egge være nulvektoren og dermed: c l l og m c m. Formlen (4.) kldes opløsning f en vektor efter to givne retninger. Hvis c c l + c m og og er to vektorer prllelle med henholdsvis l og m, kn vi ifølge (3.3) estemme tl s og t, således t c l s og c m t For to ikke prllelle retninger l og m og to egentlige vektorer og, kn c ltså kun på en måde skrives som en linerkomintion f og. Dette kldes også for opløsningen f c efter og.

8 6 Vektorer i plnen (4.) c s + t 5. Vektorers koordinter Vi indfører nu et lmindeligt retvinklet koordintsystem med egyndelsespunkt O. Enhedspunkterne på x og y-ksen (,0) og (0,), etegner vi E og F. Vi lder i og j etegne de to ortogonle enhedsvektorer (5.) i OE og j OF Disse to vektorer, kldes for koordintsystemets sisvektorer. D koordintsystemet er fuldstændig fstlgt ved O og de to sisvektorer, etegner vi det med (O, i, j). Ifølge (4.) kn enhver vektor, skrives som en entydigt estemt linerkomintion f de to sisvektorer. (5.) x i + y j (x, y) kldes for koordinterne til vektor. Mn hr trdition for t nvngive koordinterne med det smme ogstv som vektoren, forsynet med indeks og, og i øvrigt skriver mn ofte koordinterne på højknt og nvender lighedstegn mellem koordinterne og vektoren, som vist med eksemplerne nedenfor. 0 (5.3) i + j i j 0 Hvis i + j og i + j, følger det f regnereglerne for ddition f vektorer og multipliktion f vektor med tl: + i + j + i + j ( + ) i + ( + ) j - i + j - ( i + j) ( - ) i + ( - ) j k k ( i + j) (k ) i + (k ) j Herf følger - ikke særlig overrskende - regneregler for koordinter til vektorer. (5.4) k k k 6. Stedvektor. Vektors længde. Ld der i plnen være givet et koordintsystem (O, i, j). For et vilkårlig punkt P (x,y) i plnen kldes vektoren OP for stedvektoren til P.

9 Vektorer i plnen 7 Projektionen f P på. og. ksen er Q (x,0) og R (0, y). Ifølge sætning (3.3) gælder der: og dermed (6.) OP OQ x i og OR y j x OQ + OR x i + y j y Vi hr hermed vist, t koordinterne til et punkt er lig med koordinterne til punktets stedvektor. En vilkårlig vektor er stedvektor for punktet A (, ), så OA. Ifølge fstndsformlen gælder der (6.) OA OA + Længden f en vilkårlig vektor er kvdrtroden f kvdrtsummen f dens koordinter. Hvis A og B er to vilkårlige punkter i plnen gælder ifølge indskudssætningen: (6.3) OB OA+ AB og dermed AB OB OA Hvis A (, ) og B (, ) gælder der OA og OB Indsættes dette i (6.3) får mn (6.4) AB Vi hr således vist den vigtige sætning. Koordinterne til den vektor der forinder to vilkårlige punkter A og B er endepunktets koordinter minus egyndelsespunktets koordinter. For længden f AB, finder mn ifølge (6.) en formel, som er identisk med fstndsformlen. (6.5) AB ( ) + ( ) 6.6 Eksempel. Ifølge Indskudssætningen gælder: Mnge små geometriske sætninger kn evises elegnt ved vektorregning. Vi viser først sætningen: Koordinterne til midtpunktet M f liniestykket, der forinder A og B er middeltllet mellem endepunkternes koordinter. Ld A (, ) og B (, ) være vilkårlige punkter i plnen.

10 8 Vektorer i plnen OM OM (6.7) ) Skrevet ud i koordinter: (6.7) + OM + OA+ AM OA+ ½ AB OA+ ½( OB OA) ½( OA+ OB Det ses herf f midtpunktets koordinter er middeltllet mellem endepunkternes koordinter. 6.8 Eksempel. Vi vil estemme koordinterne til medinernes skæringspunkt S i en treknt A, B og C Ld A (, ) og B (, ) og C (c,c ). Vi ved fr geometrien, t medinen forinder A med midtpunktet f den modstående side, og t medinernes skæringspunkt S deler medinen i forholdet 3:, således t Ifølge sætning (6.7) er OM ½( OA+ OB) så vi får som kn reduceres til AM AS 3 Ifølge indskudssætningen gælder 3 OS OA+ AS OA+ AM OA+ ( OM OA) OS OA+ ( OM OA) OA+ ( ( OC+ OB) OA) 3 (6.9) OS ( OA+ OB+ OC) Skrevet ud i koordinter c OS c 3 Koordinterne til medinernes skæringspunkt er middeltllet mellem koordinterne til trekntens hjørner. D udtrykket er symmetrisk i A, B og C, er det underordnet, hvilken f trekntens hjørner vi vr gået ud fr. Vi kn herefter ud fr vektorregning slutte, t medinerne går gennem smme punkt. 7. Drejningsvinkel. Projektion f liniestykke på linie. For t indføre sklrproduktet f to vektorer, er det nødvendigt t præcisere nogle små sætninger fr geometrien. 7. eksempel. Liniestykker regnet med fortegn. På en orienteret tllinie (en koordintkse), kn mn med fordel regne liniestykker med fortegn. Et liniestykke, der forinder punkterne A og B, skrives AB. Længden f liniestykket skrives som ekendt AB. AB regnes for positivt, hvis B ligger i den positive retning i forhold til A ellers negtiv. Helt præcist gælder der: Hvis AB AB, så er BA - AB. Om 3 punkter A, B og C på en tllinie gælder der ufhængig f deres indyrdes plcering indskudssætningen: (7.) AB AC + CB 3

11 Vektorer i plnen 9 Hvis B ligger til højre for A og C ligger mellem A og B, følger det umiddelrt f AB AC + CB. Hvis B ligger til højre for A og C ligger til højre for B gælder der: AC AB + BC <> AB AC - BC <> AB AC + CB Hvis AB - AB, ltså B ligger til venstre for A, og C ligger mellem B og A, gælder der. BA BC + CA <> -AB -CB AC <> AB AC + CB De øvrige tilfælde f indskudssætningen kn vises helt på smme måde. Hvis A og B hr koordinterne og, gælder der i lle tilfælde: AB -. Dette kunne også være nvendt til t evise indskudssætningen. 7. Eksempel. Drejningsvinkel. Hvis mn hr to vektorer eller to orienterede liniestykker, definerer mn vinklen mellem vektorerne, som den numerisk mindste drejning, der fører den ene vektor (eller orienterede liniestykke) over i en vektor (eller orienterede liniestykke), der hr smme retning som den nden. Med denne definition er vinklen mellem to vektorer (eller orienterede liniestykker) ltid mellem 0 og Mn hr tidligere indført egreet retningsvinkel for en linie, som en drejningsvinkel, der fører.ksens positive retning over i en retning ensrettet med en hlvlinie l. Hvis v er en retningsvinkel for l, kn smtlige retningsvinkler for linien skrives som v + p og v p 360 0, smlet v + p 80 0 hvor p er et helt tl. På figuren er indført et koordintsystem med en enhedscirkel og to linier l og m med retningsvinkler u og v. Vi ønsker t finde vinklen mellem w mellem l og m. På helt smme måde som for punkter på en linie gælder der en indskudssætning for retningsvinkler (som også regnes med fortegn). Af figuren ses umiddelrt med plceringen f l og m: v u + w > w v - u Med rug f indskudssætningen, gælder dette imidlertid ufhængigt f plceringen f l og m, og ufhængigt f fortegnet og størrelsen f u og v. Mn kn sige, t den drejning, der fører l over i m, estår f to drejninger: En på u som fører l over i x-ksen plus en drejning v, som fører x-ksen over i m. I lt en drejning på w u + v v - u Vi kn ltid finde en vinkel mellem to vektorer (eller orienterede liniestykker) med retningsvinkler u og v, som v - u. For t finde vinklen mellem de to vektorer (som defineret) ovenfor, kn det være nødvendigt t skifte fortegn eller ddere et multiplum f Det er dog vigtigt for det følgende t notere sig, t cos(v-u) er uforndret ved sådnne opertioner. 7.3 Eksempel. Projektion f liniestykke på en orienteret linie. Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn nedfældning f den vinkelrette. Mn tegner (konstruerer) en (stiplet) linie, gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen P l f P på linien l er skæringspunktet mellem de to linier.

12 0 Vektorer i plnen Projektionen f et liniestykke AB på en linie l er liniestykket A l B l, som forinder projektionen f A og B på l. Hvis AB er vinkelret på l kn projektionen udrte til et punkt. Hvis mn indfører en orientering på linien l, og lder v, være drejningsvinklen mellem liniernes positive orienteringer, fr l til AB, så gælder der, idet liniestykkerne regnes med fortegn: A l B l AB cos v. Bevis. Hvis vi prllelforskyder AB vinkelret på linien l, så A ligger på l er projektionen f AB uforndret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 90 0, ses ud fr den retvinklede treknt A l B B l, t A l B l AB cos v og dermed A l B l AB cos v. Hvis 90 0 < v < 80 0, vil der gælde: A l B l AB cos (80 0 -v). Idet A l B l - A l B l, gælder som før: A l B l AB cos v. For et rudt liniestykke, AC og CB, som vist på figuren, vil der gælde, t summen f den med fortegn regnede projektion f AC og CB vil være lig med projektionen f AB. Hvis drejningsvinklerne til AC og CB egge er mindre end 90 0, (eller egge er mellem 90 0 og 80 0 ), følger dette umiddelrt f figuren. I ndre tilfælde, følger sætningen ved t nvende indskudssætningen for A l, C l og B l, som er projektionen f A, C og B på l. Dette kn generliseres til følgende sætning: (7.4) Projektionen f en rudt linie på en linie er lig med projektionen f den linie, som forinder den rudte linies endepunkter. 8. Skrlrprodukt. Resultterne fr eksempel 7. og 7.3, kn direkte overtges til t gælde for vektorer. Et orienteret liniestykke, kn nemlig opfttes som en repræsentnt for en vektor, så vinklen mellem to vektorer og for projektion f vektor på vektor hr smme etydning som for deres repræsentnter. Dette fører umiddelrt til sætningen: (8.) Summen f projektionerne f to vektorer og på en vektor c, er lig med projektionen f sumvektoren +. Betegner vi projektionen f en vektor på c med c, gælder der ltså. c + c ( + ) c Vi vil nu indføre sklrproduktet f to vektorer. En sklr etyder et tl i modsætning til en vektor. Vi indfører sklrproduktet geometrisk, dvs. ufhængigt f et vlgt koordintsystem. Ved sklrproduktet mellem to egentlige vektorer forstår mn produktet f deres længder gnge cosinus til vinklen imellem dem. Sklrproduktet med en nulvektor er nul. Skrlrproduktet skrives med en prik og det etegnes også som prikproduktet. (8.) cos v, hvor v / (, ) er vinklen mellem og. Det er vigtigt t notere sig, t cos v er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på et liniestykke med smme orientering som. Tilsvrende er cos v er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på et liniestykke med smme orientering som. For regning med sklrprodukt gælder der nogle vigtige sætninger. (8.3) (Kommuttive lov)

13 Vektorer i plnen (8.4) (8.5) c ( + ) c + c (Distriutive lov) (8.6) (k ) (k ) k( ) (8.7) 0 o o (8.3) følger umiddelrt f definitionen. (8.4) følger f cos 0 + Hvis vi sætter u (, c), v (, c) og w (, c ), så kn (8.5) vises ved følgende omskrivning: c + c c cos u + c cos v c ( cos u + cos v) c ( c + c ) c ( + ) c c + cos w c ( + ) Vi hr her som tidligere med c, c og ( + ) c etegnet de med fortegn regnede projektioner f en repræsentnt for, og + på et liniestykke orienteret på smme måde som c, og nvendt sætning (7.4). Sætning (8.6) følger f, t hver f de 3 udtryk kn opfttes som længden f gnge k gnge projektionen f på. (8.7) følger umiddelrt f definitionen og nulreglen, idet Herf følger den vigtige 0 <> cos v 0 <> 0 0 cos v 0 0 <> o o v 90 0 Sætning: To egentlige vektorer, er ortogonle, hvis og kun hvis deres sklrprodukt er 0. 0 o o Med regnereglerne for sklrproduktet, gælder mnge f de regneregler vi kender for regning med reelle tl, hvor ddition er erstttet f vektorsum og multipliktion f sklrprodukt. For det første hr mn trdition for t sætte. (Men det kn ikke nvendes på højere potenser nturligvis). Vi vil herefter vise kvdrtsætningerne ved nvendelse f regnereglerne (8.)- (8.7) Helt tilsvrende får mn ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + + ( - ) ( + ) ( + ) - ( + ) + - -

14 Vektorer i plnen Endelig emærker vi t ( - ) ( + ) - cos v, d cosinus til en vinkel ltid er numerisk mindre end. 8.9 Eksempel. Om to vektorer og gælder :, 3 og + 3 Bestem grdtllet mellem og. Vi finder først sklrproduktet ud fr oplysningerne. + 3 > + 9 > ( + ) 9 <> <> <> - cos v v 09, Eksempel Vi vil evise sætningen om t i en vilkårlig treknt skærer højderne hinnden i smme punkt. På figuren er vist en treknt ABC, der er tegnet højderne fr A og B, som skærer hinnden i punktet P. Endvidere er tegnet vektoren c Idet PA og PB gælder der Tilsvrende er BC PC - AB PB - PB c PC. Vi vil vise, t c AB. PA og AC PC - PA c Ifølge konstruktionen gælder: c og c, hvorf følger (c ) 0 og (c ) 0 <> c og c > c c <> c - c 0 <> ( ) c 0 <> c ( ) <> c AB I en treknt skærer højderne hinnden i smme punkt. Bemærk, t vi hr regnet eksempel 8.0 rent geometrisk uden nvendelse f koordintsystem. Vi vil nu vise, hvorledes mn simpelt kn udlede cosinus-reltionen uden nvendelse f koordintsystem. 8. Eksempel. Cosinus-reltionen. På figuren er vist en treknt ABC. Vi sætter c AB, AC og hermed BC AC AB c Det er klrt t trekntens sider hr længderne

15 Vektorer i plnen 3 c c, og - c. Vi udregner d. - c ( c) + c c + c c cos A (8.) + c c cos A På helt tilsvrende vis, kn de to ndre cosinus-reltioner udledes. 9. Projektion f vektor på vektor Vi hr tidligere vist, t sklrproduktet cos v, hvor v (, ), kn fortolkes som gnge, hvor er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på en linie som er ensrettet med. Gnger vi denne projektion med en enhedsvektor, som er ensrettet med, så finder vi projektionen f på. ( cos v) e Herf finder mn formlen for projektion f vektor på vektor. (9.) e For længden f projektionen får mn ved t tge længden på højre side f det første udtryk (9.) 0. Sklrproduktet udtrykt i koordinter Vi indfører nu et koordintsystem (O, i, j) i plnen. D i og j er ortogonle enhedsvektorer gælder der (0.) i i i, j j j og i j j i 0 Ld og hve koordinterne og. Der gælder således: i + j og i + j Vi udregner nu sklrproduktet ved hjælp f regnereglerne for sklrprodukt og (0.) ( i + j) ( i + j) i + i j + j i + j +

16 4 Vektorer i plnen Vi hr d fundet følgende vigtige udtryk for sklrproduktet udtrykt i koordinter (0.) Eksempel Vi vil estemme et koordintudtryk for projektionen f ( ) ( ) på 4 Ifølge (9.) gælder: For vinklen hr vi ifølge definitionen f sklrproduktet: ( 4+ 5 ( 3) 4 + ( 3) 5 ), smt vinklen mellem de to vektorer. 3 ( ) ( ) cos v v 05, ( 3) Eksempel. Additionsformlerne. Additionsformlerne er fællesnvnet for nogle formler til eregning f cos(u-v), sin(u-v), cos(u+v) og sin(u+v). Ld e u (cos u, sin u) og e v (cos v, sin v) være to enhedsvektorer, svrende til retningsvinklerne u og v. Vinklen imellem dem er (på nær fortegn og et multiplum f som lder cosinus uforndret) er u-v. Tger vi sklrproduktet f de to enhedsvektorer, får vi ifølge definitionen: e u e v e u e v cos(u-v) cos(u-v) cos(u-v) Udregner vi derimod sklrproduktet i koordinter får mn e u e v cos u cos v + sin u sin v Herf fås den første f dditionsformlerne (0.5) cos(u-v) cos u cos v + sin u sin v Ersttter vi v med v finder mn cos(u+v) cos u cos(-v) + sin u sin(-v) cos u cos v - sin u sin v (0.6) cos(u+v) cos u cos v - sin u sin v Ersttter vi i (0.6) u med 90-u, finder mn som giver cos(90-(u-v)) cos(90 u) cos v sin(90 u) sin v (0.7) sin(u-v) sin u cos v cos u sin v Og endelig, hvis mn ersttter v med v i (0.7) får mn (0.8) sin(u+v) sin u cos v + cos u sin v Det skl emærkes, t dditionsformlerne ligesom cosinusreltionen følger meget elegnt f vekktoregning. Den geometriske udledning f dditionsformlerne er meget tungere.

17 Vektorer i plnen Eksempel. Cosinus og sinus til den doelte og hlve vinkel. Hvis vi i (0.6) og (0.8) sætter u v x, får mn reltionerne, cos(x+x) cos(x) cos x cos x - sin x sin x cos x - sin x sin(x+x) sin(x) sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Anvender mn grundreltionen cos x + sin x med omskrivningerne cos x - sin x <> sin x - cos x på formlen for cos(x), får mn følgende formler: (0.0) cos(x) cos x - sin x cos x - sin x (0.) sin(x) sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Ersttter mn x med ½x i (0.0) får mn formler for cos(½x) og sin(½x). cos(x) cos x > cos x cos (½x) Løses denne ligning med hensyn til cos(½x) får mn: (0.) x + cos x cos ± (Anvend plus, når ½x ligger i. eller 4. kvdrnt, ellers minus) Tilsvrende får mn fr cos(x) - sin x 0.3 Eksempel x cos x sin ± (Anvend plus, når ½x ligger i. eller. kvdrnt, ellers minus) De logritmiske formler for ddition f sinus og cosinus. Ved t ddere de to dditionsformler (0.5) og (0.6) får mn cos(u-v) + cos(u+v) cos u cos v + sin u sin v + cos u cos v - sin u sin v cos u cos v. Indfører vi nu x u-v og y u+v og løser med hensyn til u og v, får mn u ½(x + y) og v ½ (x - y) Indættes dette ovenfor får mn den første f de logritmiske formler (0.4) x+ y x y cos x+ cos y cos cos Formlerne kldes for logritmiske fordi mn ersttter en ddition med en multipliktion. På helt tilsvrende vis, får mn de øvrige logritmiske formler. (0.5) (0.6) (0.7) x+ y x y cos x cos y sin sin x+ y x y sin x + sin y sin cos x+ y x y sin x sin y cos sin

18 6 Vektorer i plnen. Tværvektor For en vilkårlig vektor, definerer mn tværvektoren til, som den vektor der fremkommer ved t dreje en vinkel 90 0 i positiv omløsretning. Af definitionen følger, t Endvidere ses det, t og 0 0, i j, j - i Der gælder nogle små sætninger for regning med tværvektorer (.) k k + + Af figuren nedenfor fremgår det, t vektorerne k og vil være ensrettede eller modst rettede eftersom k og er det. Endvidere hr k og k smme længde, idet k k k k k Hvorf følger k k. Idet og er vilkårlige vektorer etrgter vi treknt OAB, hvor OA, AB og OB +. Ved en drejning på 90 0 omkring O føres A over i A, B føres over i B. der gælder derfor: ^ ^ OA, B og A OB +. Idet OB OA + A B, ses, t der gælder + + Ld en vilkårlig vektor i et koordintsystem (O, i, j). Ved nvendelse f regnereglerne for tværvektor, finder mn i + j.

19 Vektorer i plnen 7 i + j i+ j i+ j j i Herf ses, t tværvektoren til hr koordinterne (.).3 Eksempel I et koordintsystem er givet vektoren Bestem koordintsættet for. Vi sætter ( ) 4 hvor med ( ). Om en vektor oplyses, t 3 og og (- ) <> -3 4 og Ved t løse disse to ligninger mht. og får mn ( ) og opskriver de to sklrprodukter i koordinter. Determinnt for et vektorpr For to vilkårlige vektorer og, definerer mn determinnten det(, ) for vektorprret som (.) det(, ) Hvis, og og udregnes determinnten i koordinter finder mn det(, ) (- ) + - (.) det(, ) - Ud fr koordintudtrykket, ses t det(, ) - det(, ), idet det(, ) (- ) + -( - ) - det(, ) Determinnten skrives ofte ved hjælp f et determinntsymol, som er to lodrette streger, hvor koordinterne oftest skrives på højknt.

20 8 Vektorer i plnen (.3) det(, ) Som en udregning viser, kn koordinterne også skrives rækkevis. det(, ) - For egentlige vektorer og gælder t er prllel med, hvis og kun hvis determinnten f vektorprret (, ) er nul. (.3) <> det(, ) 0 Dette følger f det(, ) 0 0 Der gælder følgende geometriske sætning: For egentlige vektorer og gælder, t det(, ) er relet f det prllelogrm som udspændes f og. Ld der være givet to egentlige vektorer og, smt punkter O, A og B således t OB. Vi minder om formlen for længden f projektionen f vektor på vektor. OA og Formlen udtrykker, t den numeriske værdi f sklrproduktet er lig med længden f den ene vektor gnge længden f projektionen f den nden vektor på den første. Anvender vi dette på determinnten f vektorprret (, ) får mn: (.4) det( ) ' '

21 Vektorer i plnen 9 er længden f, og ' er længden f s projektion på. Som det fremgår f figuren ovenfor, er ' netop højden i det prllelogrm, som hr, som det ene sæt prllelle sider og som det ndet. Dette gælder, hvd enten ' er ensrettet med eller modst rettet. Herf følger: (.4) det(, ) Arelet f det prllelogrm, der udspændes f og..5 Eksempel Arelet f en treknt, udspændt f to vektorer. Ld en treknt være givet ved punkterne A(-3,), B(4,5) og C(7,0). Arelet f treknten er hlvdelen f relet f det prllelogrm, der udspændes f vektorerne AB og AC AB AC Arelet f treknten er derfor: T ½ det( AB, AC) ½ ½ 7 ( ) Mn definerer omløsretningen for vektorprret (, ), som positiv, hvis den mindste drejning, der fører over i er den positive omløsretning. Det ses endvidere på figuren, t ' er ensrettet med, når omløsretningen for vektorprret (, ) er positiv, og negtiv når ' er modst rettet. Herf ses, t fortegnet for omløsretningen er den smme, som fortegnet for determinnten det(, ) udtrykt ved sklrproduktet. Ved retningsvinklen for en vektor, forstår mn retningsvinklen for en hlvlinie, som er ensrettet cosv med. Hvis P er retningspunkt for en vinkel v, så gælder der t enhedsvektoren e OP ( ) cosv Vektor med retningsvinkel v kn derfor skrives sin v Det er herefter muligt, t opskrive et udtryk for det(, ), svrende til det vi kender for sklrproduktet. Sklrproduktet er ufhængig f vlget f koordintsystem, så ved udregning f et sklrprodukt, kn vi vælge koordintsystemet som vi ønsker. Vi vælger d. ksen, så den er ensrettet med. Hvis vinklen mellem og er v, er denne vinkel retningsvinkel for. Herf følger: sin v. cosv og 0 sin v og hermed cosv (.6) det(, ) sin v 0 sin v > det(, ) sin v

22 0 Vektorer i plnen.7 Eksempel. Sinusreltionerne. Ld os tænke os en treknt ABC udspændt f to vektorer CB og CA, så svrer til siden, til siden og den mellemliggende vinkel er C. Ifølge formlen ovenfor kn mn finde relet f treknten som T ½ det(, ) ½ sinc Helt tilsvrende får mn formlerne T ½ c sina og T ½ c sinb. Ved t sætte ½ c sina ½ c sinb ½ sinc og dividere igennem med ½ c genfinder mn sinusreltionerne: sin A sin B sinc c 3. Liniens ligning. Afstnd fr punkt til linie. Ld en linie l i plnen være fstlgt ved et punkt P 0 (x 0,y 0 ) og en normlvektor til linien n ( ). Vi kn d udtrykke følgende: Punktet P(x,y) ligger på linien, hvis og kun hvis vektorerne n og P P0 er ortogonle, ltså hvis n P0 P 0 (x-x 0 ) + (y-y 0 ) 0 x + y x 0 - y 0 0 (3.) x + y +c 0 hvor vi hr st c -x 0 - y 0. Det emærkes, t ligningen også er opfyldt, når P P 0, idet P o. 0 P 0

23 Vektorer i plnen Afstnden d dist(p,l) fr punktet P til linien l, kn på smme måde findes ved t udtrykke, t d er lig med længden f projektionen f vektoren P 0 på n. For projektionen f f en vektor på en vektor, og for med længden f denne projektion, hr vi de to udtryk. P (3.) Herf fås: (4.3) d dist( l, P) n P P 0 ( x ) x0 ) + ( y y0 n + x + y + c + Det sidste udtryk svrer til det, vi tidligere hr udledt uden rug f vektorer. 4.4 Eksempel: ) En linie l hr normlvektoren n (3,4) og linien går gennem P(-,). Bestem en ligning for linien. Vi indsætter i (x-x 0 ) + (y-y 0 ) 0 og får: 3(x + ) + 4(y ) 0 <> 3x + 4y 0 Bestem fstnden fr linien til punktet A(4, -5) Ved indsættelse i (4,3) fås: d ) En linie hr retningsvektor r (,-) og går gennem (-4, ). Bestem en ligning for linien. Tværvektoren til r, vil være en normlvektor til linien. n (-, -4). Herf estemmes linien ligning som før -(x + 4) - 4(y ) 0 <> -x - 4y 0 4. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte. Når mn skl løse to ligninger med to uekendte, skrives det i lmindelighed op på følgende måde: x + y c x + y c Dette kn opfttes som ligningen for to linier, (hvor c er flyttet over på den nden side f lighedstegnet). En løsning (x, y) svrer til et koordintsæt, der tilfredsstiller egge ligninger, og som dermed er liniernes skæringspunkt. c Ligningssystemet kn imidlertid også opfttes som en vektor c, der er skrevet som en linerkomintion f vektorerne og. Opfttet på denne måde får ligningssystemet c udseendet:

24 Vektorer i plnen (3.) + c y x Pointen er nu den, t opfttet som en vektorligning, kn ligningssystemet løses ved ren vektorregning. Multiplicerer vi nemlig ligningen sklært med tværvektoren, finder mn + c y x 0, d de er ortogonle ifølge definitionen på tværvektor. Hvis 0 ), det( 0 og ikke er prllelle, så hr ligningssystemet, netop en løsning y. (3.) ), det( ), det( c c y På helt tilsvrende måde, ved t multiplicerer ligningen sklært med tværvektoren til. + c y x ), det( ), det( ), det( ), det( ), det( ), det( c c c c y det(, ) kldes for ligningssystemets determinnt. Hvis determinnten er forskellig fr 0, hr ligningssystemet netop løsning, givet ved udtrykkene ovenfor. Opskrives løsningen ved hjælp f koordinter giver det x + y c x + y c Ligningssystemets determinnt D. Hvis D 0, hr ligningssystemet netop en løsning: c c y c c x At løse to ligninger med to uekendte på denne måde etegnes som determinntmetoden.

25 Vektorer i plnen 3 Eksempel. To ligninger med to uekendte Ld der være givet de to ligninger x -3y -4 -x +5y 7 3 Ligningssystemets determinnt er D 7 0, så ligningssystemet hr netop en løsning x y Koordinttrnsformtioner Vi vil se på koordinttrnsformtioner ved rottioner i plnen. Nedenfor er vist to koordintsystemer med smme egyndelsespunkt, men hvor det ene koordintsystem er drejet en vinkel θ i forhold til det ndet. Bsisvektorerne i de to koordintsystemer fremgår f figuren. y y x j j i θ i x D i er en enhedsvektor med retningsvinkel θ, hr den koordinterne i (cosθ, sinθ). j er tværvektoren til i, så j (-sinθ, cosθ). Der gælder ltså i j cosθ i + sinϑ j sinθ i + cosϑ j I det lmindelige koordintsystem hr punktet P og dermed stedvektoren mens P i det roterede koordintsystem hr koordinterne (x,y ). OP koordinterne (x,y), OP Indsættes udtrykkene for i til i og j finder mn x i + y j og OP x i + y j og j i den sidste f ligningerne, og smles leddene med hensyn

26 4 Vektorer i plnen OP ( x x x cosϑ y cosϑ y sinϑ) i + ( x sinϑ og y x sinϑ + y sinϑ + y cosϑ) j cosϑ Hvorf fremgår Hvis ligningerne løses på sædvnligvis med hensyn til x og y får mn til slut de ønskede trnsformtionsformler (4.) x x cosϑ + y sinϑ og y x sinϑ + y cosϑ Mn hr trdition for t skrive trnsformtionsformlerne på mtrixform. Førstekoordinten i søjlen til venstre får ved t gnge (som ved et sklrprodukt) første række i mtricen med søjlen til højre, og sådn fremdeles. x cosϑ sinϑ x (4.) y sinϑ cosϑ y

27 Vektorer i plnen 5 Indeks. Determinnt for et vektorpr...7 Additionsformlerne...4 relet f prllelogrm...8 ssocitiv... sisvektorer...6 Cosinus og sinus til den doelte og hlve vinkel...5 Cosinus-reltionen... determinntmetoden... differensvektoren...3 Drejningsvinkel...8 egentlig vektor... enhedsvektor... ensrettede vektorer... For multipliktion f vektor med tl regneregler...4 indskudsreglen...3 kommuttiv... koordinttrnsformtioner...3 Liniers skæring... Længde f vektor... medinernes skæringspunkt...8 normlvektor... nulvektor... opløsning f en vektor efter to givne retninger...5 ortogonle enhedsvektorer...6 ortogonle vektorer... prllelforskydning... pil... Projektion f liniestykke på linie....8 Projektion f vektor på vektor...3 repræsentnt... retningsvektor... rottioner i plnen...3 Skrlrprodukt...0 stedvektor...6 sumvektor... To ligninger med to uekendte... trnsformtionsformlerne...4 trekntsuligheden... Tværvektor...6 vektor... Vektorers koordinter...6 Vektors længde...6

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere