DesignMat Lineære differentialligninger I
|
|
- Victoria Lindholm
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning, der kan skrives på formen a (t) x 0 + b (t) x = c (t) (1) hvor t 2 I, kaldes lineær. Når (1) har den specielle form x 0 + p (t) x = q (t) (2) siges den at være normeret. Eksempel 1. Differentialligningen tx 0 + 2x = te t (3) hvor t 2 R +, er lineær, men ikke normeret. Ved normering fås x t x = e t 1.2 Panserformlen Panserformlen Lad p, q 2 C (I) hvor I er et interval. Så er den fuldstændige løsning til x 0 + p (t) x = q (t) givet ved x (t) = e P(t) Z e P(t) q (t) dt + Ce P(t) (4) hvor P er en vilkårligt valgt stamfunktion til p, og hvor C 2 R er en arbitrær konstant. 1
2 Bevis: Da e P(t) løsninger som > 0 for alle t 2 I, har x 0 + p (t) x = q (t) de samme x 0 (t) e P(t) + p (t) e P(t) x (t) = e P(t) q (t) Men dette kan skrives dt d e P(t) x (t) = e P(t) q (t), hvilket er ensbetydende med, at e P(t) x (t) er en stamfunktion til e P(t) q (t), dvs. ensbetydende med eksistensen af en konstant C 2 R, så Z e P(t) x (t) = e P(t) q (t) dt + C 1.3 Eksempel 1 Eksempel 1 Eksempel 1. Vi betragter for t > 0 den normerede differentialligning x t x = e t Vi har p (t) = 2 t, q (t) = e t. Panserformlens P er givet ved P (t) = R 2t dt = 2 ln t. Så e P(t) = e 2 ln t = t 2 og e P(t) = t 2. Hermed er den fuldstændige løsning Z x (t) = t 2 t 2 e t dt + Ct 2 hvor C 2 R. 1.4 Eksistens- og entydighed Eksistens- og entydighed = t 2 t 2 e t 2te t 2e t + Ct 2 = 1 + 2t + 2t 2 e t + C t 2 Lad p, q 2 C (I), hvor I er et interval. Lad t 0 2 I og x 0 2 R. Begyndelsesværdiproblemet x 0 + p (t) x = q (t) med x (t 0 ) = x 0 har netop én løsning og den er defineret på hele intervallet I. Den omtalte løsning kan, når P vælges som P (t) = R t t 0 p (s) ds skrives x (t) = e P(t) Z t t 0 e P(s) q (s) ds + x 0 e P(t) Beviset består blot i at bruge bestemt integration i beviset for panserformlen ovenfor. 2
3 2 Lineære Differentialligninger af anden orden 2.1 Eksistens- og entydighed Eksistens- og entydighed Vi betragter lineære differentialligninger med konstante koefficienter: ax 00 + bx 0 + cx = q (t) (5) med q 2 C (I), hvor I er et interval. a, b, c er reelle konstanter og a 6= 0. Sætning. Lad t 0 2 I og x 0, v 0 2 R. Begyndelsesværdiproblemet for (5) med x (t 0 ) = x 0 og x 0 (t 0 ) = v 0 har netop én løsning og den er defineret på hele intervallet I. Beviset springer vi over. Eksempel. Den løsning til differentialligningen x x 0 + 2x = te 3t, der opfylder x (0) = 0, x 0 (0) = 4 5 er Hvordan? x (t) = 2.2 Den homogene ligning I Den homogene ligning I t e 3t + e t Vi betragter nu specialtilfældet hvor højresiden q (t) = 0. lineær differentialligning kaldes homogen: En sådan Stadig er a, b, c reelle konstanter og a 6= 0. ax 00 + bx 0 + cx = 0 (6) Vi begynder med at finde løsninger af formen x (t) = e Rt, hvor R er en (muligvis kompleks) konstant. Vi har x 0 = R e Rt, x 00 = R 2 e Rt. Ved indsættelse i (6) fås ar 2 + br + c e Rt = 0 Dette betyder, at x (t) = e Rt er løsning til (6) hvis og kun hvis (7) kaldes karakterligningen for (6). ar 2 + br + c = 0 (7) 3
4 2.3 Den homogene ligning II Den homogene ligning II Sætning. Hvis f 1 og f 2 er løsninger til ax 00 + bx 0 + cx = 0, så er også f (t) = c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) løsning, når blot c 1, c 2 er konstanter. Sætning. Lad f 1 og f 2 være løsninger til ax 00 + bx 0 + cx = 0. Så er den fuldstændige løsning givet ved x (t) = c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) (8) hvis og kun hvis der findes et t 0 2 R så Wronskideterminanten W (t 0 ) = f 1 (t 0 ) f 2 (t 0 ) f1 0 (t 0) f2 0 (t 0) 6= 0 Bevis. Som vist er enhver linearkombination af formen (8) løsning. Vi skal vise, at der ikke er andre. Lad da x = f (t) være en løsning til ax 00 + bx 0 + cx = 0. Vi skal vise, at der findes konstanter c 1, c 2, så f (t) = c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t). 2.4 Den homogene ligning III Den homogene ligning III Men sådanne konstanter må opfylde det lineære ligningssystem c 1 f 1 (t 0 ) + c 2 f 2 (t 0 ) = f (t 0 ) c 1 f1 0 (t 0) + c 2 f2 0 (t 0 ) = f 0 (t 0 ) Dette system har løsning for enhver højreside netop når dets determinant W (t 0 ) 6= 0. Men funktionen g (t) = c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) og f (t) opfylder samme begyndelsesbetingelser i t 0. I følge entydighedssætningen har vi derfor f = g. Sætning. Der findes to løsninger f 1 og f 2 til ax 00 + bx 0 + cx = 0 for hvilke W (t) 6= 0. Bevis: Her bruger vi eksistensdelen af eksistens- og entydighedssætningen. Vælg f 1 og f 2 som løsninger, der opfylder f 1 (0) = 1, f1 0 (0) = 0 og f 2 (0) = 0, f2 0 (0) = 1. Så gælder W (0) = 1 6= Den homogene ligning: Eksempel 1 Den homogene ligning: Eksempel 1 Eksempel. x x 0 + 2x = 0 har karakterligningen R 2 + 3R + 2 = 0 med rødderne 2 og 1. 4
5 Altså er φ 1 (t) = e 2t og φ 2 (t) = e t løsninger til x x 0 + 2x = 0. Deres Wronskideterminant er W (t) = e 2t e t = e 3t 6= 0 2e 2t Så den fuldstændige løsning er x (t) = c 1 e 2t + c 2 e t, hvor c 1, c 2 2 R. Generelt for to forskellige reelle rødder r 1 og r 2. Fuldstændige løsning x (t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t, hvor c 1, c 2 2 R. e t 2.6 Den homogene ligning: Eksempel 2 Den homogene ligning: Eksempel 2 Eksempel. x 00 6x 0 + x = 0 har karakterligningen R 2 6R + = 0 med dobbeltroden 3. Altså er φ 1 (t) = e 3t løsning til x x 0 + 2x = 0. Men vi mangler en anden. En anden er φ 2 (t) = te 3t, hvilket ses ved simpel indsættelse. Wronskideterminanten er W (t) = e 3t 3e 3t te 3t e 3t + 3te 3t = e6t 6= 0 Så den fuldstændige løsning er x (t) = c 1 e 3t + c 2 te 3t, hvor c 1, c 2 2 R. Generelt for dobbeltrod r. Fuldstændig løsning x (t) = c 1 e rt + c 2 te rt, hvor c 1, c 2 2 R. 2.7 Den homogene ligning: Eksempel 3 Den homogene ligning: Eksempel 3 Eksempel. x x 0 + 5x = 0 har karakterligningen R 2 + 2R + 5 = 0 med de imaginære rødder 1 2i. Altså er e ( 1+2i)t og e ( 1 2i)t løsninger. Men de er jo imaginære! Realdelen φ 1 (t) = Re e ( 1+2i)t = e t cos (2t) og imaginærdelen φ 2 (t) = Im e ( 1+2i)t = e t sin (2t), er også løsninger! Wronskideterminanten for disse er e t cos (2t) e t sin (2t) e t (cos (2t) + 2 sin (2t)) e t (sin (2t) 2 cos (2t)) 2e 2t 6= 0. = Så den fuldstændige løsning er x (t) = c 1 e t cos (2t) + c 2 e t sin (2t), hvor c 1, c 2 2 R. Generelt for imaginære rødder α iβ. Fuldstændig løsning x (t) = c 1 e αt cos (βt) + c 2 e αt sin (βt), hvor c 1, c 2 2 R. 5
6 2.8 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu den inhomogene ligning ax 00 + bx 0 + cx = q (t) (Inhomogen) og den tilsvarende homogene ligning ax 00 + bx 0 + cx = 0 (Homogen) Sætning. Lad ψ 1 og ψ 2 være løsninger til Inhomogen. Så er φ = ψ 1 ψ 2 en løsning til Homogen. Sætning. Lad ψ 1 være en løsning til Inhomogen og φ en løsning til Homogen. Så er ψ 2 = ψ 1 + φ en løsning til Inhomogen. Opskrift på fuldstændige løsning til Inhomogen. 1. Find den fuldstændige løsning til Homogen. Denne løsning vil indeholde to arbitrære konstanter. 2. Find bare én løsning til Inhomogen. En sådan løsning kaldes en partikulær løsning til Inhomogen. 3. Den fuldstændige løsning til Inhomogen er summen af den fundne partikulære løsning til Inhomogen og den fuldstændige løsning til Homogen. 2. Den inhomogene ligning II Den inhomogene ligning II Betragt igen den inhomogene ligning ax 00 + bx 0 + cx = q (t) (Inhomogen) Antag, at q (t) = q 1 (t) + q 2 (t) + + q n (t). Antag, at ψ 1 er løsning til ax 00 + bx 0 + cx = q 1 (t), ψ 2 løsning til ax 00 + bx 0 + cx = q 2 (t) osv. Superpositionsprincippet. Så er ψ = ψ 1 + ψ ψ n løsning til Inhomogen Eksempel 1 Eksempel 1 Vi fandt, at den løsning til x x 0 + 2x = te 3t, der opfylder x (0) = 0, x 0 (0) = 4 5 er x (t) = t e 3t + e t 6
7 Den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning er x (t) = c 1 e 2t + c 2 e t, hvor c 1, c 2 2 R. Altså er den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning x (t) = t e 3t + e t + c 1 e 2t + c 2 e t hvor c 1, c 2 2 R. Dette kan skrives mere kompakt som x (t) = t e 3t + c 1 e 2t + c 2 e t, hvor c 1, c 2 2 R. Bemærk, at x (t) = t e 3t er en særlig simpel løsning til den inhomogene ligning Eksempel 2 Eksempel 2 Betragt differentialligningen x x 0 + 2x = 4t 2. Den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning er x (t) = c 1 e 2t + c 2 e t, hvor c 1, c 2 2 R. En partikulær løsning er x (t) = 2t 2 6t + 7. En partikulær løsning til x x 0 + 2x = te 3t er x (t) = t e 3t. En partikulær løsning til x x 0 + 2x = 4t 2 + te 3t er derfor x (t) = 2t 2 6t t e 3t. Altså er den fuldstændige løsning til x x 0 + 2x = 4t 2 + te 3t hvor c 1, c 2 2 R. x (t) = 2t 2 6t t e 3t + c 1 e 2t + c 2 e t 7
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereNoter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER
UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereDOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereMAT1 A&D. Martin Raussen. Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark
Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark Efterår 2007 Prædiken Introduktion 1. lektion 2. lektion 3. lektion 4. lektion Præsentation Mål med forelæsningen konkret abstrakt forhold
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereMODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.
MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereDynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104
Dynamiske Systemer SIR-modellen Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104 Titel: Dynamiske systemer -SIR-modellen Tema: Dynamiske systemer -iteration og approksimation Projektperiode: MAT1, 3. semester 2008
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereDifferentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002
Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssstemer x-klasserne Gammel Hellerup Gmnasium 1 Indholdsfortegnelse DIFFERENTIALLIGNINGER... 3 Lineære 1.ordens
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mere