F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

Transkript

1 F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING

2 Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens samspil med den øvrige videnskabelige og kulturhistoriske udvikling. Anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Forudsatte begreber: Procentregning, Elementær geometri, Lidt færdighed i arbejde med regneark. Inddragelse af supplerende stof: Matematik-historiske forløb. Ræsonnement og bevisførelse inden for udvalgte emner. DET GYLDNE SNIT SOM PROPORTION Begrebet proportion er et vigtigt begreb i dette oplæg. Ordet betyder forhold eller størrelsesforhold. Fx siger man, at proportionerne bevares, når et billede forstørres eller formindskes i en kopimaskine. Hvis det er et billede af et menneske, der forstørres, så forvrænges billedet ikke ved at blive forstørret. Hvis benene før forstørrelsen er 50 % længere end armene, er det også tilfældet efter forstørrelsen. Forholdet finder vi ved at dividere benenes længde med armenes længde. Hvis dette tal giver 1,50 før forstørrelsen, giver det også 1,50 efter forstørrelsen. Hvis vi studerer de kendte papirformater A3, A4, A5 osv., finder vi et andet eksempel på proportioner, der bevares. Hvis I ikke har prøvet det før, så prøv at folde et stykke A4-papir midt over på den lange side. Resultatet er A5-formatet. Bemærk, at forholdet imellem den lange og den korte side ser ud til at være uændret, når I har foldet papiret. Prøv at måle de to sider på A4-papiret og find forholdet imellem den lange side og den korte side. Gør det både før og efter I folder, så får to resultater. Sammenlign jeres resultater med. Øvelse 1 Siden oldtiden har man indenfor billedkunst og arkitektur interesseret sig intenst for proportioner, hvoraf Det gyldne snit er det mest berømte. Den geometriske definition på det gyldne snit er simpel: Linjen herunder er delt i det gyldne snit, hvis forholdet imellem hele linjestykket AB og det store linjestykke AS er det samme som forholdet imellem det store linjestykke og det lille linjestykke SB. Fig. 1 Det gyldne snit

3 At de to forhold er ens, kan vi udtrykke ved proportionsligningen: AB AS = AS SB Lad os sætte linjestykket SB til 1 og linjestykket AS til x, så får vi: (*) x + 1 x = x 1 (se fig. ) Fig. Ved at gange med x på begge sider i ligningen (*) får vi x + 1 = x som omformes til 0 = x x 1. Denne andengradsligning har løsningerne: og 1 5 Da vi interesserer os for længder og den sidste løsning er negativ, ser vi bort fra den.. Det gyldne snit udtrykt som tal er altså 1 + 5, som med fire decimaler er 1,6180. Man bruger som regel det græske bogstav φ (phi) som betegnelse for det gyldne snit, dvs. φ = 1,6180. Øvelse Kontroller, at AS er ca. 6% større end SB ved at måle på fig.1. Hvor mange procent udgør AS af hele stykket AB? Kontroller med lommeregneren, at der også gælder 1 = φ 1. φ φ er et irrationelt tal, hvilket betyder, at det ikke kan skrives som en brøk. Når man skriver et irrationelt tal som decimalbrøk, så gentager decimalerne sig aldrig i et periodisk mønster, som vi kender det fra brøker, der skrives som decimalbrøk. Fx er brøken = 0, Her er det cifrene 1 og 8, som gentager sig 11 i det uendelige. Hvis vi tegner et rektangel, hvor forholdet imellem siderne er det gyldne snit (fx er den ene side 1 og den anden er 1,6180), får vi et såkaldt gyldent rektangel, hvilket ofte benyttes i billedkunst, arkitektur og design. Det gyldne snit 3

4 Det har den specielle egenskab, at hvis vi fjerner det størst mulige kvadrat, så har vi et rektangel tilbage med de samme proportioner som det oprindelige, altså et nyt gyldent rektangel, bare mindre (se Fig.3). Fig.3 Det er let at indse ved at tage forholdet imellem den lange og den korte side i det nye rektangel: 1 1 φ 1 = 0, 6180 = 16180,. Fjerner vi igen det størst mulige kvadrat fra det lille rektangel, får vi endnu engang et nyt og mindre gyldent rektangel. Sådan kan vi blive ved i det uendelige. Den proces, som her bevarer proportionerne, er altså hele tiden at fjerne det størst mulige kvadrat. (I eksemplet med A4-papir bevarede man proportionen ved at fjerne halvdelen af papiret). En almindelig tændstikæske er et gyldent rektangel. Prøv selv at måle efter. Øvelse 3 Helt fra det antikke Grækenland til i dag har det gyldne snit haft en særlig æstetik, som har tiltrukket kunstnere. Der er noget umiddelbart harmonisk over former, der respekterer det gyldne snit, hvad enten det er i billeder, i arkitektur eller i musik. Samtidigt har man helt fra oldtiden tillagt det guddommelige egenskaber. I middelalderen blev det gyldne snit ligefrem kaldt den guddommelige proportion. Her er vist et billede af en græsk vase som kan indskrives i et gyldent rektangel. Mål selv efter. Fig.4 Det gyldne snit 4

5 På fig. 5 er vist et maleri af den italienske renæssancemaler Botticelli. Billedet hedder Marias bebudelse. Træet, som ses igennem vinduet, er placeret præcist i det gyldne snit. Øvelse 4 Kontroller, at træet står præcist i det gyldne snit. Fig.5 En regulær polygon er en polygon, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store. På fig.6 er vist den regulære femkant, som kaldes pentagonen. En af diagonalerne er også indtegnet. Fig.6 Udregn forholdet imellem diagonalen og en af siderne (mål de to længder med en lineal). Fik I det gyldne snit? Øvelse 5 Pentagonen optræder ligesom det gyldne rektangel igen og igen i kunst, arkitektur og design, ligesom femtals-symmetri optræder hyppigt i naturen. I projektet til sidst i dette oplæg skal I studere pentagonen nøjere. Det gyldne snit 5

6 Opgaver Figurerne her viser, hvordan man kan dele den korte side på et A4-papir i det gyldne snit udelukkende ved at folde. (De farvede områder viser et stykke papir foldet inde over et andet.) Opgave 1 Udfør foldningen efter instruktionerne her: Først skal vi have lavet et kvadrat ud af A4 papiret. Det gør vi ved at folde to gange som vist (A-D) og derpå klippe rektanglet fra (E) (A) (B) (C) (D) (E) Fold kvadratet midt over i to ens rektangler og fold ud igen (F-G) (F) (G) Fold en diagonal i det ene rektangel og fold derpå et hjørne ind (H-I): (H) (I) Fold derpå det modstående hjørne ind til slutresultatet (J) B C A (J) C deler nu AB i det gyldne snit. Det gyldne snit 6

7 Kan I finde et punkt på én af de andre sider i det sidste kvadrat, som også deler siden i det gyldne snit? Det gyldne snit er den positive løsning til andengradsligningen x x 1 = 0. (se side 3). Løs ligningen med den kendte formel hertil. Tegn grafen for parablen y = x x 1 på millimeterpapir, så I kan lave så præcis en aflæsning af dens skæring med den positive ende af x-aksen som muligt. Hvor præcis bliver jeres løsning? Benyt eventuelt denne tabel Opgave x -1-0, ,5 1,75 y Der findes flere metoder til at konstruere det gyldne snit med passer og lineal eller med et geometriprogram. Her er en anden metode end I brugte i opgave 1. Opgave 3 På en ret linje l er afsat to punkter, A og B. Linjestykket AB ønskes delt i det gyldne snit. Midtpunktet M af AB bestemmes. Den vinkelrette til linjen l oprejses i B. C afsættes på denne, så BC = AB. Med M som centrum og MC som radius tegnes cirkelbuen til skæring i T med linjen l på den anden side af B. S afsættes på AB, så AS = BT. S deler nu AB i det gyldne snit, mens B deler AT i det gyldne snit. Følg instruktionerne, og udfør derved konstruktionen med passer og lineal eller i et geometriprogram. Her følger et bevis for, at metoden fra opgave 3 faktisk deler linjestykket AB i det gyldne snit. Lav en skitse til opgave 3 og sæt dig ind i beviset. Opgave 4 Først indfører vi bogstavbetegnelser for de linjestykker, vi skal bruge: MC = MT = r. AB = BC = a. AS = BT = b. Heraf får vi MB = 1 a. Da trekant BCM er retvinklet kan vi bruge Pythagoras sætning: Det gyldne snit 7

8 1 1 5 MC = MB + BC r = ( a) + a r = a + a r = a r = a Nu har vi udtrykt r ved a. Vi vil også udtrykke b ved a: MT = MB + BT r = a + b b = r a = a a = a = a φ (Ved den sidste omformning er benyttet at: 1 = φ 1= = 1+ 5 = φ 5 1 ). Vi er nu klar til at udregne forholdet imellem AB og AS: AB a a = = = φ AS b 1 a φ Hermed er vist, at S deler AB i det gyldne snit. Også i Fibonaccitallene, som er opkaldt efter den italienske matematiker Leonardo af Pisa, finder vi det gyldne snit. I 10 præsenterede han dem som løsning på, hvordan en bestand af kaniner formerer sig under bestemte betingelser: Opgave Læg mærke til, at et nyt tal i talfølgen altid er dannet som summen af de to foregående. Det næste tal i følgen er altså = 610. Udregn forholdet imellem to på hinanden følgende tal fra talfølgen (husk at forholdet imellem tallene a og b er a:b). Overbevis dig om, at forholdet passer bedre og bedre med det gyldne snit, jo længere til højre i talfølgen I laver jeres udregning. Prøv - ved at søge på nettet - at finde en præcis forklaring på, hvordan Fibonacci forestillede sig en bestand af kaniner formerer sig. Hvis man studerer, hvordan skællene er anbragt på en kogle eller en ananas, hvordan kviste snor sig omkring grene, eller hvordan de små blomster i solsikkens blomsterkurv er anbragt, så genfinder man fibonaccitallene. På næste side ser I et regneark, hvor fibonaccitallene er udregnet. Opgave 6 Lav selv et regneark magen til, idet I benytter reglen for dannelse af et nyt fibonaccital til at lave de relevante Det gyldne snit 8

9 formler. Som vist skal I også udregne det gyldne snit med otte decimaler ud for hvert nyt fibonaccital. Gem regnearket til senere brug! FIBONACCITAL OG DET GYLDNE SNIT Tal nummer Fibonaccital Det gyldne snit , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Det gyldne snit 9

10 Projekter Projekt G PENROSE s PUSLESPIL Den engelske matematiker Roger Penrose har opfundet et puslespil, som bygger på det gyldne snit og som har nogle overraskende egenskaber. Puslespillet er i al enkelhed opbygget af to forskellige brikker, han har kaldt for pilen og dragen : Fig. 7 Når man lægger puslespillet, skal man overholde regler for, hvordan brikkerne sættes sammen. Derfor er brikkerne udstyret med gennemgående mønstre eller farver, som skal passe sammen, eller også er de udstyret med indhak og takker som skal låses sammen som i traditionelle puslespil. Når disse regler overholdes, kan puslespillet lægges på uendelig mange måder, så det dækker hele planen på en ikke-periodisk måde. Det vil sige, at det kan gøres, så mønstret ikke gentager sig periodisk (på en forudsigelig måde). Hvis man har lagt puslespillet på en uendelig stor plan, vil forholdet imellem antal drager og antal pile være det gyldne snit. Bestem størrelsen af vinklerne i både pilen og dragen. Det skal gøres udelukkende ved at sammenligne brikkerne og lægge dem op i mønstre. Der må altså ikke bruges vinkelmåler. Beskriv ved hjælp af figurer og tekst, hvordan I har fundet frem til vinklerne. I har sikkert fundet ud af, at der kun er to forskellige sidelængder i de to brikker. Hvis den korte side har længden 1, hvilken længde har den lange side så? Det gyldne snit 10

11 Den kan beregnes ved hjælp af denne formel: x 1 = sin( v ) s in ( u) hvor u og v er markeret på denne figur af dragen : u v Fig.8 Hvor deler cirkelbuerne de enkelte sider på dragen og pilen? Hvor store radier har de to typer af cirkelbuer? (Husk, den korte side er stadig 1.) I skal nu konstruere et såkaldt pentagram, som er en fem-stjerne indskrevet i den regulære femkant, pentagonen: Tegn en stor cirkel på et stykke A4 papir og tegn et linjestykke AB uden for cirklen med samme længde som radius i cirklen. Del linjestykket ved det gyldne snit (gang blot hele længden med 0,618). Tag det største stykke i passeren og afsæt det rundt på cirkel-periferien. Bemærk, at det kan afsættes præcist 10 gange. Forbind hvert andet punkt med et linjestykke, og pentagonen fremstår. Tegn diagonalerne i pentagonen, og bemærk, at der fremstår en femstjerne, det såkaldte pentagram. Midt i pentagrammet er en ny pentagon, hvori man igen kan tegne et pentagram. Tegn også det. Processen kan i princippet fortsættes i det uendelige. Find begge brikker, pilen og dragen gemt i pentagrammet og markér dem på jeres figur. Prøv at lægge puslespillet så langt I orker, og læg mærke til, at det kan lade sig gøre at variere det på et utal af måder uden der forekommer gentagelser på en forudsigelig måde. Bemærk, at man nogle gange får en lukket kurve af cirkelbuerne. Hvad kan man sige om det mønster, der dannes inden for en lukket kurve? Tag et billede af puslespillet og vedlæg en udskrift af det som bilag til jeres rapport. Brug også den gyldne passer på jeres oplæg af puslespillet og find forskellige gyldne forhold, som I markerer på udskriften af billedet. Det gyldne snit 11

12 LE CORBUSIER Den franske arkitekt Le Corbusier var dybt fascineret af matematik og benyttede i stor udstrækning matematiske strukturer i billeder, design og arkitektur. I 1940 erne udviklede han et proportioneringssystem, han kaldte Modulor, og som er bygget op over den menneskelige krops proportioner. Modulor vokser frem af to talfølger, som han kaldte den røde serie og den blå serie. Begge serier er dannet efter samme princip som fibonaccitallene. Projekt H Find frem til billeder af Modulor-manden ved at søge på Modulor. Find ud af hvilke tal den røde serie og den blå serie er dannet af og opskriv de to serier. Beskriv, hvordan de røde tal er beliggende i forhold til de blå tal ved at betragte billederne af Modulormanden. Udvid regnearket med fibonaccitallene: Behold de tre oprindelige søjler med tallets nummer, fibonaccitallene og udregningen af det gyldne snit. Men lav også fire ekstra søjler: Én med rød serie, én med udregningen af det gyldne snit ud fra rød serie. Det samme med blå serie. Er der forskel på den hastighed, hvormed de tre serier nærmer sig til det gyldne snit? Prøv at følge nogle links om Le Corbusier. Kan I finde andet, han har arbejdet med, som også er inspireret af matematik? Beskriv lidt om det og vedlæg udskriften som bilag. Det gyldne snit 1