Hvad er formel logik?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvad er formel logik?"

Transkript

1 Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt de følgende eksempler: 1. Ingen virus kan reproducere udenfor en plante- eller dyrecelles omgivelser. Den almindelige forkølelse er forårsaget af en virus. Derfor kan den almindelige forkølelses-forårsagende virus ikke reproducere udenfor en plante- eller dyrecelles omgivelser. 2. Ingen mennesker, der bevidst og undgåeligt sætter deres helbred i fare, er rationelle. Alle mennesker, der drikker store mængder alkohol, sætter bevidst og undgåeligt deres helbred i fare. Så ingen mennesker, der drikker store mængder alkohol, er rationelle. 3. Violer er lilla; nogle af de blomster, jeg så, var lilla. Så nogle af de blomster, jeg så, var violer. 4. Ingen dyr er intelligente. Alle mennesker er intelligente. Så ingen mennesker er dyr. Alle disse eksempler er argumenter: De har alle to præmisser (en tilfældig omstændighed) og en konklusion, som er den dom, eksemplerne gerne skulle overbevise os om. I den ovennævnte almindelige brug af ordet drejer logik sig om, hvilke argumenter der bør anses som overbevisende. Hvilke af (1)-(4) falder indenfor denne kategori? Bemærk at vi for at afgøre dette må stille to forskellige spørgsmål: nemlig, er præmisserne sande; og følger konklusionen af præmisserne? Kun hvis vi kan svare ja til begge disse spørgsmål, er et argument rationelt overbevisende. Hvad betyder det at følge af? Vi har her at gøre med et af den filosofiske logiks helt centrale begreber, hvis afklaring er et særdeles vanskeligt og dybtrækkende problem. I slutningen af kurset skal vi have givet og afklaret mindst et eksplicit svar, der kan anvendes på en stor klasse af argumenter. Dog vil vi indtil videre nøjes med at tydeliggøre begrebet ved eksempler. I eksemplerne (1), (2) og (4) ovenfor følger konklusionen rigtignok fra præmisserne, mens den ikke gør det i (3). Hvorfor ikke? Fordi vi i (3) kan fortælle en historie om, hvordan det kan være tilfældet, at alle præmisserne er sande, mens konklusionen er falsk (sørg for at du er med på dette). Men i (1), (2) og (4) kan en sådan historie ikke fortælles.

2 8 Read & Wright Formel Logik Groft sagt: En konklusion følger af et sæt af præmisser, hvis det er umuligt, at alle præmisserne er sande, men konklusionen er falsk. (Logikere er vant til at anvende forskellige terminologiske alternativer til at sige, at en konklusion følger af et bestemt sæt af præmisser: f.eks. at præmisserne medfører (eng. entail ) konklusionen, at konklusionen er en logisk konsekvens af præmisserne, at slutningen fra præmisserne til konklusionen er gyldig, at argumentet fra præmisserne til konklusionen er gyldigt.) Bemærk, at vi appellerer til en meget streng forestilling om umulighed: Når en konklusion følger af et sæt af præmisser, så afhænger umuligheden af præmissernes sandhed og konklusionens falskhed ikke af naturvidenskabens love eller noget tilsvarende det er på ingen måde ligesom umuligheden af et længdespring over Øresund, eller konstruktionen af en evighedsmaskine. I stedet er forestillingen essentielt, at konklusionens falskhed implicit modsiger eller er inkonsistent med forestillingen om, at alle præmisserne er sande (forklar den implicitte modsigelse i eksemplerne (1), (2) og (4) ovenfor). Vores foretrukne terminologi er, at et argument er gyldigt, hvis konklusionen følger af præmisserne. Vi bør nu modificere ideen om, at logik er teorien om rationelt overbevisende argumenter: for rationelt overbevisende argumenter er gyldige argumenter, der udelukkende har sande eller rimeligt acceptable præmisser. Om et arguments præmisser er sande, er ikke noget, der afgøres af logikken. Det afgøres ved at lave naturvidenskab eller almindelige empiriske undersøgelser. (Logikere kalder normalt de gyldige argumenter med sande præmisser for sunde argumenter.) Således ser vi, at (1) og (2) ovenfor er rationelt overbevisende, mens (3) og (4) ikke er det. (3) er ikke rationelt overbevisende, fordi den er ugyldig, og (4) er det ikke fordi? Men sandheden af præmisserne i (1) og (2) er ikke afgjort af logik; alt, hvad logik kan gøre, er at vise: Hvis vi har givet disse præmisser, hvad følger der så af dem. Dvs. logik omhandler sandhed, men kun via studiet af den type argumenter, der bevarer sandhed (der overfører sandhed fra præmisserne til konklusionen) som i de gyldige argumenter, hvor konklusionen følger af præmisserne. Bemærk: Gyldige argumenter kan have falske præmisser og sande konklusioner, og falske præmisser og falske konklusioner. F.eks. har George Bush er waliser; alle walisere er over 1,75 m høje; derfor er George Bush over 1,75 m høj falske præmisser og en sand konklusion, hvorimod George Bush er waliser; alle walisere er gode rugbyspillere; derfor er George Bush en god rugbyspiller

3 Kapitel 1 9 har falske præmisser og (antageligt) en falsk konklusion. Derudover kan gyldige argumenter have blandede præmisser (dvs. nogle af præmisserne er sande, og nogle er falske) og falske konklusioner. F.eks. George Bush er amerikaner; alle amerikanere er demokrater; derfor er George Bush demokrat. Ligeledes kan gyldige argumenter have blandede præmisser og sande konklusioner. F.eks. George Bush er amerikaner; alle amerikanere er republikanere; derfor er George Bush republikaner. Og selvfølgelig kan de have sande præmisser og sande konklusioner: George Bush er amerikaner; alle amerikanere har ytringsfrihed; derfor har George Bush ytringsfrihed. gyldige argumenter kan ikke have sande præmisser og en falsk konklusion. Hvorfor ikke? Fordi et gyldigt argument, ifølge vores intuitive redegørelse, er præcis et sådant argument, hvor det er umuligt for alle præmisserne at være sande og konklusionen falsk. Bemærk også at et argument kan være ugyldigt, selvom dets præmisser og konklusion alle er sande. F.eks. Ronald Reagan er amerikaner; nogle amerikanere er af irsk afstamning; derfor er Ronald Reagan af irsk afstamning. Hvorfor er dette ugyldigt? Fordi præmisserne kunne være sande, mens konklusionen var falsk konklusionens falskhed er konsistent med præmissernes sandhed. Betragt disse eksempler: (i) Enten pådrager jeg mig hjerteproblemer, eller også gør jeg ikke. Hvis jeg gør, så vil alle mine forholdsregler have været ineffektive. Hvis jeg ikke gør, så har alle mine forholdsregler været unødvendige. Hvis alle mine forholdsregler har været enten ineffektive eller unødvendige, så har det været spild af tid at tage dem. Derfor har jeg spildt min tid med at tage dem.

4 10 Read & Wright Formel Logik (ii) Enten er Katrine hjemme, eller også er hun ikke hjemme. Hvis hun er hjemme, så har hun ikke fået min besked på arbejdet. Hvis hun ikke er hjemme, så har hun ikke set beskeden, jeg hængte på hendes fordør. Hvis hun enten ikke fik min besked på arbejdet eller ikke har set beskeden på fordøren, så venter hun mig ikke. Derfor venter hun mig ikke. Lad os fremhæve nogle kendsgerninger ved disse argumenter. De er begge gyldige (dog næppe rationelt overbevisende). Og det er slående, at de på trods af deres forskellige indhold og emne synes at have noget tilfælles. Det som de er fælles om, er deres form. Vi kan vise deres fælles form ved først at skematisere de indeholdte domme: Argument (i) P Jeg pådrager mig hjerteproblemer Q Alle mine forholdsregler har været ineffektive R Alle mine forholdsregler har været unødvendige S Jeg har spildt min tid med at tage dem Argument (ii) P Katherine er hjemme Q Hun har ikke fået min besked på arbejdet R Hun har ikke set beskeden, jeg hængte på hendes fordør S Hun venter mig ikke De to argumenters fælles form er naturligt præsenteret som: (iii) P eller ikke P; hvis P, så Q; hvis ikke P, så R; hvis Q eller R, så S; derfor S. Nu kan vi tydeligt se, at det, som gør disse to argumenter gyldige, ikke har noget at gøre med deres respektive emner og indhold. I stedet har det, som vist, noget med deres form at gøre. Man kan umiddelbart se, at hvis præmisserne er sande, så er det ganske umuligt for konklusionen at være falsk udelukkende på grund af den form, de har. Lad os prøve med to andre eksempler: (iv) (v) Hvis der er fugt i tændrørene, så bliver der ikke genereret en gnist. Hvis der ikke genereres en gnist, så vil motoren ikke starte. Derfor vil motoren kun starte, hvis tændrørene er tørre. Hvis jeg er sneet inde, når jeg ikke timen. Hvis jeg ikke når timen, så følger

5 Kapitel 1 11 faget ikke planen. Derfor vil faget kun følge planen, hvis jeg ikke er sneet inde. Her skematiseres argumenterne således: Argument (iv) P Der er fugt i tændrørene Q Der genereres ikke en gnist R Motoren vil ikke starte Argument (v) P Jeg er sneet inde Q Jeg når ikke timen R Faget følger ikke planen Den fælles form er da: (vi) hvis P, så Q; hvis Q, så R; derfor ikke R kun hvis ikke P. Igen, på trods af emne og indhold, er begge argumenter gyldige, og deres gyldighed beror på deres fælles form. Lige meget hvad vi sætter ind i stedet for dommene P, Q eller R, så vil det resultere i et gyldigt argument (forudsat at vi gør det konsistent). Argumentformen, der er udtrykt i (vi), har den egenskab, at i enhver instans af den vil det være umuligt for præmisserne at være sande, mens konklusionen er falsk. Dette er af afgørende betydning, så for at udpensle det nærmere kan vi betragte følgende simple eksempel: (vii) Hvis det er vådt, så regner det. Det er vådt. Derfor regner det. Her kan argumentformen vises sådan: (viii) Hvis P, så Q; P; derfor Q. Dette er tydeligvis et gyldigt argument. Det er ligeledes klart, at dets gyldighed ikke afhænger af dets emne og indhold (forbindelsen mellem vådhed og regn), men af dets egenskab at have formen (viii). Hvis den første præmis er sand, så har vi, at hver gang P er tilfældet, så er Q også tilfældet; men den anden præmis bekræfter netop, at P er tilfældet; så derfor må Q også være tilfældet.

6 12 Read & Wright Formel Logik Den egenskab, vi fokuserer på at være et gyldigt argument ene og alene i kraft af at have en bestemt form er et karakteristisk træk ved en stor gruppe af gyldige argumenter. Man kunne måske forvente, at et arguments gyldighed altid afhænger af dets form, men det er ikke tilfældet. Der er en lang række eksempler på gyldige argumenter, hvis gyldighed ikke skyldes deres form. F.eks.: Min hat er rød. Derfor er min hat farvet. Dette argument er gyldigt, da det klart nok er en begrebslig umulighed, at konklusionen skulle være falsk, mens præmissen er sand. Men betragter vi formen, ser vi, at argumentet er en simpel P, derfor Q, og med denne form har vi ikke svært ved at komme med eksempler, der er ugyldige. Vi kan nu introducere vores foretrukne brug af begrebet om gyldighed. Vi behandler gyldighed som en egenskab ved argumentformer. Vi siger, at et argument er af en gyldig form, kun i de tilfælde hvor alle argumenter med samme form er gyldige. Gyldighed er derfor en funktion af form, og formel logik er ikke overraskende essentielt fokuseret på studiet af gyldige former. Vi begynder studiet af den formelle logik med en gennemgang af de argumenter, hvis form kan vises som de ovenstående i termer for domme og udtryk konnektiver der kan anvendes herom, som f.eks. hvis så, og, eller, det er ikke tilfældet, at. Senere udvider vi vores undersøgelse af logisk form til klassen af argumenter, hvis form ikke kan vises blot ved domme og disse konnektiver. Men til at begynde med bekymrer vi os kun om de argumenter, der kan formaliseres indenfor sætningslogikken (eller som vi kalder det i denne bog: domslogikken). Den første egenskab, I vil få brug for, er at kunne repræsentere argumenternes former. Dette er i høj grad en erhvervet færdighed. Der findes ingen fuldstændigt effektive mekaniske regler for formalisering, da det ofte er nødvendigt at appellere til en intuitiv forståelse af sætninger og udtryk, for at identificere negationer og synonymer. Dog er det fundamentale skridt, som allerede illustreret, at lede efter tilbagevendende domme og erstatte disse med passende bogstaver. Dette er basalt set et spørgsmål om common sense, samt i de gyldige argumenters tilfælde at retfærdiggøre sine intuitioner omkring, hvad gyldigheden af det specifikke argument egentlig afhænger af. En sidste bemærkning omkring forholdet mellem form og gyldighed. Da gyldighed ikke er et absolut begreb, kan vi ikke sige, at ethvert argument, der har samme form som et gyldigt argument, må være gyldigt. Det samme argument kan repræsenteres som havende adskillige forskellige former, hvoraf nogle er gyldige, mens andre er

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

[Skriv dokumentets titel]

[Skriv dokumentets titel] [Skriv dokumentets titel] Opgaveformulering: Med entydigt fokus på den semantiske del, ønskes en indføring i moderne elementær domslogik. På udsagnsniveau skal begreber som konnektivernes semantik, tautologi,

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Almen studieforberedelse. 3.g

Almen studieforberedelse. 3.g Almen studieforberedelse 3.g. - 2012 Videnskabsteori De tre forskellige fakulteter Humaniora Samfundsfag Naturvidenskabelige fag Fysik Kemi Naturgeografi Biologi Naturvidenskabsmetoden Definer spørgsmålet

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation. Mette Dencker

Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation. Mette Dencker Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation Mette Dencker 1 Dagens program Logik Argumentation Toulmins argumentationsmodel Opgaver 2 Logik I hvad er logik? At tænke (ræsonnere) korrekt Vurdering

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998

Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998 A Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998 Semmelweis er læge. Wiensk hospital i 1840'erne. Unormal forekomst af barselsfeber. Semmelweis foretager en række undersøgelser af mulige årsager

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

En spekulativ teori om hvad det vil sige at være en normal person

En spekulativ teori om hvad det vil sige at være en normal person En spekulativ teori om hvad det vil sige at være en normal person Introduktion Jeg har i længere tid gået og spekuleret over hvad dette egentlig vil sige; hvad vi mener når vi siger, at en person er normal

Læs mere

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1 Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE. Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder.

MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE. Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder. MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE MEDIER OG E-MAIL Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder. Booster salget i dit firma 2015 Leon

Læs mere

Replique, 5. årgang 2015. Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson.

Replique, 5. årgang 2015. Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson. Replique, 5. årgang 2015 Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson. Tidsskriftet Replique udkommer hver måned med undtagelse af januar og august. Skriftet er

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

5 TIP FRA EN TVIVLER

5 TIP FRA EN TVIVLER 5 TIP FRA EN TVIVLER 5 TIP FRA EN TVIVLER MANUEL VIGILIUS Credo Forlag København 2007 5 TIP FRA EN TVIVLER 1. udgave, 1. oplag Copyright Credo Forlag 2007 Forfatter: Manuel Vigilius Omslag: Jacob Friis

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Vidensfilosofi Viden som Konstruktion

Vidensfilosofi Viden som Konstruktion Vidensfilosofi Viden som Konstruktion Martin Mølholm, studieadjunkt & ph.d. stipendiat Center for Dialog & Organisation, Institut for Kommunikation mam@hum.aau.dk Helle Wentzer, lektor E-Learning Lab,

Læs mere

Kolb s Læringsstil. Jeg kan lide at iagttage og lytte mine fornemmelser 2. Jeg lytter og iagttager omhyggeligt

Kolb s Læringsstil. Jeg kan lide at iagttage og lytte mine fornemmelser 2. Jeg lytter og iagttager omhyggeligt Kolb s Læringsstil Denne selvtest kan bruges til at belyse, hvordan du lærer bedst. Nedenfor finder du 12 rækker med 4 forskellige udsagn i hver række. Du skal rangordne udsagnene i hver række, sådan som

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Erik Rasmussen, Niels Bohr og værdirelativismen: svar til Ougaard

Erik Rasmussen, Niels Bohr og værdirelativismen: svar til Ougaard politica, 47. årg. nr. 4 2015, 598-603 Kasper Lippert-Rasmussen Erik Rasmussen, Niels Bohr og værdirelativismen: svar til Ougaard Morten Ougaard mener, det er en væsentlig mangel ved min bog, Erik Rasmussen,

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA! 1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation

Læs mere

Falsifikation og paradigmer

Falsifikation og paradigmer Her ses det indre af en partikelaccelerator fra Lawrence Radiation Laboratory i 1957. dende med en grundlæggende forandring af videnskaben: fra et være et sæt af individuelle erkendelsesprojekter blev

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Boganmeldelser. Einsteins univers

Boganmeldelser. Einsteins univers Boganmeldelser Einsteins univers Einsteins univers - en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh 154 sider Aarhus Universitetsforlag, 2008 198 kr Som fysiker skilte Albert Einstein (1879-1955)

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

HØJESTERETS DOM afsagt onsdag den 10. juni 2015

HØJESTERETS DOM afsagt onsdag den 10. juni 2015 HØJESTERETS DOM afsagt onsdag den 10. juni 2015 Sag 37/2014 (2. afdeling) FTF som mandatar for BUPL som mandatar for A (advokat Søren Kjær Jensen) mod Ankestyrelsen (Kammeradvokaten ved advokat Henrik

Læs mere

Hvad fortæller du egentlig dig selv? - og andre?

Hvad fortæller du egentlig dig selv? - og andre? Lars Carlsen Hvad fortæller du egentlig dig selv? - og andre? Inspireret af Georges Philips & Tony Jennings: Verbal Antidotes om Sprog, Ord og Tale om Sprog, Ord og Tale Jeg siger det du hører Alt, der

Læs mere

Læsevejledning til Den etiske fordring, Kap. X,1(Instansen i fordringen) og XII (Fordringens uopfyldelighed og Jesu forkyndelse)

Læsevejledning til Den etiske fordring, Kap. X,1(Instansen i fordringen) og XII (Fordringens uopfyldelighed og Jesu forkyndelse) Læsevejledning til Den etiske fordring, Kap. X,1(Instansen i fordringen) og XII (Fordringens uopfyldelighed og Jesu forkyndelse) I kap. X,1 hævder Løgstrup, at vor tilværelse rummer en grundlæggende modsigelse,

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

RETNINGSLINIER FOR KAMPE SPILLET UDEN DOMMER - opdateret d. 15. marts 2010

RETNINGSLINIER FOR KAMPE SPILLET UDEN DOMMER - opdateret d. 15. marts 2010 RETNINGSLINIER FOR KAMPE SPILLET UDEN DOMMER - opdateret d. 15. marts 2010 Generelle retningslinjer for Referees/referee assistenten der virker ved turneringer hvor der spilles kampe spillet uden dommer:

Læs mere

Akademisk tænkning en introduktion

Akademisk tænkning en introduktion Akademisk tænkning en introduktion v. Pia Borlund Agenda: Hvad er akademisk tænkning? Skriftlig formidling og formelle krav (jf. Studieordningen) De kritiske spørgsmål Gode råd m.m. 1 Hvad er akademisk

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Grow yourself ~ Grow your business Grow your business ~ Grow yourself

Grow yourself ~ Grow your business Grow your business ~ Grow yourself Grow yourself ~ Grow your business Grow your business ~ Grow yourself * Oplever du, at det nogen gange kan være svært at mærke, hvad du virkelig har lyst til? * Har du en velfungerende forretning, men

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Etisk Argumentation Efter Morten Dige, ph.d., Filosofisk institut, Århus Universitet. Etisk argumentation. "Argumentmarkører"

Etisk Argumentation Efter Morten Dige, ph.d., Filosofisk institut, Århus Universitet. Etisk argumentation. Argumentmarkører Argumenter Etisk Argumentation Efter Morten Dige, ph.d., Filosofisk institut, Århus Universitet Sandhed og gyldighed Argumentmodel Ufuldstændige argumenter "Er" og "bør" Etisk egenskab Analogier og kontraster

Læs mere

Hvad er videnskabsteori? Hvad er videnskab? Den interne paradigmatiske videnskabsproces

Hvad er videnskabsteori? Hvad er videnskab? Den interne paradigmatiske videnskabsproces Indholdsfortegnelse Introduktion Kapitel I Kapitel II Kapitel III Kapitel IV Kapitel V Kapitel VI Kapitel VII Kapitel VIII Kapitel IX Kapitel X Kapitel XI Hvad er videnskabsteori? Hvad er videnskab? Den

Læs mere

Filosofisk logik og argumentationsteori. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet

Filosofisk logik og argumentationsteori. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Filosofisk logik og argumentationsteori Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Nogle vigtige kendetegn på god videnskab rationalitet systematik éntydighed (klarhed) kontrollérbarhed

Læs mere

3. BETALINGSTJENESTELOVENS 63

3. BETALINGSTJENESTELOVENS 63 Dato: 25. november 2014 Sag: FO-13/11801-54 Sagsbehandler: /CKJ Notat om indsigelsesfristen i betalingstjenestelovens 63 1. INDLEDNING Nærværende notat, der alene vedrører forbrugerforhold, er blevet udarbejdet

Læs mere

Undervisningsmiljøvurdering

Undervisningsmiljøvurdering Undervisningsmiljøvurdering på Margrethe Reedtz Skolen 2014 Afviklet på Margrethe Reedtz Skolen i marts 2014 Spørgsmål af Anette Næsted Nielsen og Morten Mosgaard Tekst og grafik af Morten Mosgaard Ryde

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven

Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven Side 1 af 9 Rem tene, verba sequentur! Behersk emnet, så kommer ordene af sig selv! Indledning: Argumentation kan defineres som ræsonnementer,

Læs mere

Om sandhed, tro og viden

Om sandhed, tro og viden Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf

Læs mere

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?

Læs mere

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation Eksempel 2: Forløb med inddragelse af Læringsmål i forhold til Analyse af (dansk, engelsk, kult) 1. Hvad er (evt. udgangspunkt i model) 2. Argumenter kommer i bølger 3. Evt. argumenttyper 4. God Kobling:

Læs mere

- Kan Lévinas etik danne grundlag for et retfærdigt etisk møde med den enkelte prostituerede?

- Kan Lévinas etik danne grundlag for et retfærdigt etisk møde med den enkelte prostituerede? Synopsis i Etik, Normativitet og Dannelse. Modul 4 kan. pæd. fil. DPU. AU. - Kan Lévinas etik danne grundlag for et retfærdigt etisk møde med den enkelte prostituerede? 1 Indhold: Indledning side 3 Indhold

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt.

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Kort gennemgang omkring opgaver: Som udgangspunkt skal du når du skriver opgaver i idræt bygge den op med udgangspunkt i de taksonomiske niveauer. Dvs.

Læs mere

Medicotekniker-uddannelsen 25-01-2012. Vejen til Dit billede af verden

Medicotekniker-uddannelsen 25-01-2012. Vejen til Dit billede af verden Vejen til Dit billede af verden 1 Vi kommunikerer bedre med nogle mennesker end andre. Det skyldes vores forskellige måder at sanse og opleve verden på. Vi sorterer vores sanseindtryk fra den ydre verden.

Læs mere

Logisk set. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet. Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon ( f.kr.

Logisk set. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet. Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon ( f.kr. Logisk set Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Glimt af logikkens historie Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon (427-347 f.kr.) logos dialog Aristoteles (384-322 f.kr) analytikken

Læs mere

VINCENT HENDRICKS: VI ER NØDT TIL AT DROPPE DET MEGET LEMFÆLDIGE FORHOLD TIL INFORMATION

VINCENT HENDRICKS: VI ER NØDT TIL AT DROPPE DET MEGET LEMFÆLDIGE FORHOLD TIL INFORMATION VINCENT HENDRICKS: VI ER NØDT TIL AT DROPPE DET MEGET LEMFÆLDIGE FORHOLD TIL INFORMATION 08.12.2013 Hvis man har et alt for lemfældigt forhold til sandhed, så har man også et alt for lemfældigt forhold

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

en fysikers tanker om natur og erkendelse

en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vildledning er mere end bare er løgn

Vildledning er mere end bare er løgn Vildledning er mere end bare er løgn Fake News, alternative fakta, det postfaktuelle samfund. Vildledning, snyd og bedrag fylder mere og mere i nyhedsbilledet. Både i form af decideret falske nyhedshistorier

Læs mere

Epistemisk logik og kunstig intelligens

Epistemisk logik og kunstig intelligens Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik

Læs mere

strategi drejer sig om at udvælge de midler, processer og de handlinger, der gør det muligt at nå det kommunikationsmæssige mål. 2

strategi drejer sig om at udvælge de midler, processer og de handlinger, der gør det muligt at nå det kommunikationsmæssige mål. 2 KOMMUNIKATIONSSTRATEGIENS TEORETISKE FUNDAMENT I den litteratur, jeg har haft adgang til under tilblivelsen af denne publikation, har jeg ikke fundet nogen entydig definition på, hvad en kommunikationsstrategi

Læs mere

Enhedsvidenskab Videnskaben skal funderes på et samlet grundlag med en metode (Efter Jacob Birkler: Videnskabsteori. 2005)

Enhedsvidenskab Videnskaben skal funderes på et samlet grundlag med en metode (Efter Jacob Birkler: Videnskabsteori. 2005) Logisk positivisme Videnskabens ideal Videnskabens sprog Intersubjektivitet Verifikation Værdifrihed Forholde sig til det positive, det der kan observeres Logik og matematik Vi skal være i stand til at

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Høringssvar. Forslag til Fællesregulativ. For visse offentlige vandløb i Silkeborg Kommune. Vandløbslauget GST. 24. november 2015

Høringssvar. Forslag til Fællesregulativ. For visse offentlige vandløb i Silkeborg Kommune. Vandløbslauget GST. 24. november 2015 Vandløbslauget GST 24. november 2015 Høringssvar Forslag til Fællesregulativ For visse offentlige vandløb i Silkeborg Kommune Vandløbslaug for Gudenå-systemet Silkeborg Tange sø CVR-nr. 32498701 Klostergårdsvej

Læs mere

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. 3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.

Læs mere

Motiverende samtaler af cand. psych. Morten Hesse

Motiverende samtaler af cand. psych. Morten Hesse 1 Motiverende samtaler af cand. psych. Morten Hesse Indhold: Motiverende samtaler - hvad er det?... 1 Hvilke metoder anvender man?...3 At tale om samtalepartnerens oplevelser og følelser.... 3 At forøge

Læs mere

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

KOMMISSIONENS GENNEMFØRELSESFORORDNING (EU)

KOMMISSIONENS GENNEMFØRELSESFORORDNING (EU) 21.3.2013 Den Europæiske Unions Tidende L 79/7 KOMMISSIONENS GENNEMFØRELSESFORORDNING (EU) Nr. 254/2013 af 20. marts 2013 om ændring af forordning (EF) nr. 340/2008 om gebyrer og afgifter til Det Europæiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Seminaropgave: Præsentation af idé

Seminaropgave: Præsentation af idé Seminaropgave: Præsentation af idé Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik Dagsorden Opsamling på kausalmodeller Seminaropgaven: Praktisk info Præsentation Seminaropgaven: Ideer og råd Kausalmodeller

Læs mere

VEDTÆGTER for GA ØSTJYLLAND

VEDTÆGTER for GA ØSTJYLLAND VEDTÆGTER for GA ØSTJYLLAND I FORENINGENS NAVN OG FORMÅL 1 Foreningens navn Stk. 1. Foreningens navn er GA Østjylland. 2 Foreningens formål Stk. 1. Foreningens formål er gennem organisatorisk fællesskab

Læs mere

Metode- og videnskabsteori. Akademiet for Talentfulde Unge 13. November 2014

Metode- og videnskabsteori. Akademiet for Talentfulde Unge 13. November 2014 Metode- og videnskabsteori Akademiet for Talentfulde Unge 13. November 2014 1 Hvem er Erik? Erik Staunstrup 2 Program 16.15 (18.30) Erkendelsesteori 16.45 (19.00) Komplementaritet 17.00 (19.15) Videnskabsteori

Læs mere

DE SEKS TÆNKEHATTE BETRAGT DIN BESLUTNING FRA ALLE MULIGE SYNSVINKLER

DE SEKS TÆNKEHATTE BETRAGT DIN BESLUTNING FRA ALLE MULIGE SYNSVINKLER DE SEKS TÆNKEHATTE BETRAGT DIN BESLUTNING FRA ALLE MULIGE SYNSVINKLER De Seks tænkehatte er en nyttig teknik, som kan hjælpe dig med at sikre, at du får betragtet en vigtig beslutning fra alle synsvinkler

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Indhold. Anmeldelse af Sanktioner for overtrædelse af markedsforskrifterne. 1. Anmeldelse og baggrund. Til Energitilsynet

Indhold. Anmeldelse af Sanktioner for overtrædelse af markedsforskrifterne. 1. Anmeldelse og baggrund. Til Energitilsynet Til Energitilsynet Anmeldelse af Sanktioner for overtrædelse af markedsforskrifterne D1, F1, H1, H2 og I 18. september 2012 HSF/GEE/HBK Indhold 1. Anmeldelse og baggrund... 1 2. Hjemmelsmæssig sanktionering

Læs mere

DEN UAFHÆNGIGE REVISORS REVISIONSPÅTEGNING

DEN UAFHÆNGIGE REVISORS REVISIONSPÅTEGNING Paradigme standard 3: Erklæring om offentlig revision 2016 Frie skoler Fuldstændigt regnskab med generelt formål efter en begrebsramme, der giver et retvisende billede. Regnskab omfattet af [indsæt relevant

Læs mere

Hans Hansen STANDARD RAPPORT. Adaptive General Reasoning Test

Hans Hansen STANDARD RAPPORT. Adaptive General Reasoning Test Adaptive General Reasoning Test STANDARD RAPPORT Dette er en fortrolig rapport, som udelukkende må anvendes af personer med en gyldig certificering i anvendelse af værktøjet AdaptGRT fra DISCOVER A/S.

Læs mere